Modelowanie ryzyka portfela kredytowego Cz Êç II*

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modelowanie ryzyka portfela kredytowego Cz Êç II*"

Transkrypt

1 72 BankowoÊç Komercyna BANK I KREDYT czerwec 2003 Modelowane ryzyka porfela kredyowego Cz Êç II* Wocech Kury ek W pon sze cz Êc aryku u zosanà szczegó owo zaprezenowane podsawowe podeêca do zarzàdzana ryzykem porfela kredyowego zarówno e o charakerze czyso naukowym ak e kóre przybra y form powszechne znanych produków komercynych. PodeÊca opare na wykorzysanu klasyczne eor Markowza Ten yp modelowana ryzyka porfela kredyowego znalaz odbce w pracach Almana [4] [5] [6] Gollngera Morgana [3] oraz Sevansona Fadla [24]. Ró nà s one przede wszyskm meodà szacowana sóp zwrou z poszczególnych klas kredyów esymowana ch macerzy kowaranc a ak e wykorzysywanà marà ryzyka. Pon e zosanà zaprezenowane meody opracowane przez Almana oraz Gollngera Morgana. Praca Sevansona Fadla ma charaker racze nucyny. Ponewa zby ma o es w ne konkreów zosane pomn a. * Prace nad powy szà publkacà zosa y cz Êcowo sfnansowane z granu KBN PBZ-06/P03/99. Perwszà e cz Êç opublkowalêmy w nr. 5/2003 Banku Kredyu. Prace na kórych bazuà e modele sà nesey z regu y wysoce neprecyzyne ma o sformalzowane. PodeÊce Almana Praca Almana opera s na klasyfkowanu kredyów ze wzgl du na pozom ryzyka podobne ak w przypadku oblgac (. Aaa Aa A Bbb Bb B Ccc... B dzemy zak adaç e snee K akch klas a K-a klasa oznacza newyp acalnoêç. Do klasyfkac mo na wykorzysywaç analz dyskrymnacynà model logowy lub probowy. Auor sugerue ednak wykorzysane w ym celu opracowanego przez sebe modelu ZETA. Alman zak ada ponado e dla ka de klasy kredyów mo emy oblczyç na podsawe danych hsorycznych Êrednà sop zwrou w sosunku rocznym w podokrese (gdze = T kórà oznacza przez YTM. Oczekwanà rocznà sop zwrou skorygowanà o sray na okres dla -e klasy defnuemy ako EAR gdze EAL = YTM EAL oznacza oczekwanà rocznà sra oblczonà dla rozparywane próby. Przymuàc e YTM T = T YTM = oraz T EAL Êrednà hsorycznà sop zwrou = T EAL = skorygowanà o oczekwane sray dla okresu z o onego z podokresów a do T w àczne orzymuemy EAR = YTM EAL. Aby oblczyç oczekwanà sra dla -e klasy. EAL musmy naperw oszacowaç macerz przeêca m dzy poszczególnym klasam P = ( p. Prawdopodobeƒswo przeêca z -e do -e klasy =... esymuemy K za pomocà cz soêc przeêç m dzyokresowych m dzy ym klasam w rozparywane

2 BANK I KREDYT czerwec 2003 BankowoÊç Komercyna 73 próbe. Dodakowo zak adamy e umemy oszacowaç dla -e klasy przec ny czas rwana umowy d sop odzyskana nale noêc w przypadku mgrac do klasy neêcàgalnoêc rec oraz zman ró ncy m dzy sopà zysku a sopà bez ryzyka (zw. spread w wynku mgrac do dowolne z klas m dzy okresam a kórà oznaczamy przez s. Maàc powy sze dane oczekwanà rocznà sra oblczamy ako K EAL = d s p rec s p. Kolenym ( + ( ( K = K krokem es przy ce mary ryzyka oraz oszacowane macerzy kowaranc. Alman proponue ua dwa podeêca. Perwsze z nch polega na uwzgl dnenu ako mary ryzyka porfela kredyowego odchylena sandardowego okreêlonych w powy szy sposób sóp zwrou porfela kredyowego. W ym celu za pomocà danych hsorycznych nale y oszacowaç macerz kowaranc C = ( σ. Jako esymaory kowaranc =... K przymuemy wówczas kowarance próbkowe T ˆσ = T ( EAR EAR EAR EAR. = ( Druge podeêce es neco bardze zaw e zak ada e ryzyko porfela pownno byç merzone ako waranca zw. neoczekwanych sra. Zak adaàc e 2 σ EAL waranca oczekwanych sra es nezmenncza ze wzgl du na okres oraz e oczekwane sray EAL ka de klasy podokresu pochodzà z rozk adu normalnego o paramerach N( EAL σ EAL neoczekwanà sra w podokrese dla -e klasy u defnue- my ako waroêç kryycznà P( EAL 2 u = σ. Jak awo zauwa yç gdze Φ u = EAL + Φ ( ασ EAL ( oznacza odwronoêç dysrybuany wysandaryzowanego rozk adu normalnego. Alman proponue w celu uzyskana oszacowana u podsawç za σ EAL wyesymowane odchylena sandardowe próby T 2 2 T σ EAL = T ( EAL EAL. Przymuàc u = T u ( = = kowarance sóp zwrou mo na esymowaç przy u ycu T kowaranc próbkowych ˆσ = T ( u u ( u u =. Maàc oszacowane w powy szy sposób paramery modelu Markowza mo na przysàpç do wyznaczana opymalnego porfela kredyowego. PodeÊce Gollngera Morgana Gollnger Morgan [3] rozparuà naomas podza kredyów ze wzgl du na bran z kóre pochodz kredyoborca. Zak adaà e oczekwane sopy zwrou dla bran mo na oblczyç przy u ycu Loan Prcng Marx produku dosarczanego przez frm Loan Prcng Corporaon. Za mar ryzyka posuluà przy ce waranc sóp zwrou. Ponewa brakue powszechne dos pnych szeregów czasowych zrealzowanych w przesz oêc sóp zwrou dla poszczególnych ypów kredyów ne mo na przy ch u ycu oszacowaç macerzy kowaranc. Auorzy proponuà w c aby przybl yç à 2 Powy sza koncepca bezpoêredno nawàzue do sposobu merzena ryzyka za pomocà Value a Rsk. macerzà kowaranc wskaênków ocenaàcych akoêç kredyoborcy (np. wskaênk ZETA Almana lub zmenna y* w modelu logowym oraz probowym. Zak adaàc bowem e dysponuemy danym hsorycznym o akch wskaênkach. próbà w gdze oznacza yp kredyu a rozparywany okres - kowarance próbkowe wynoszà odpowedno ˆσ T = T ( w w w w. = ( Ten sam pomys zawary es ak e w pracy Sevensona Fadla [24]. Scenaruszowe podeêce Bennea Na poczàku pragn podkreêlç e model przedsawony w pracy Bennea [] ma charaker bardzo neformalny. Jes o racze ego szkc n precyzyne sformu owany model. Posaram s ednak na le o mo lwe przedsawç go w neco bardze formalny sposób. Za ó my e porfel kredyowy banku sk ada s z kredyów 3 dla ka dego z nch mo emy okreêlç pewen rang Ra {... n }. Wy sza waroêç odpowada gorsze akoêc kredyowe czyl w kszemu ry- Ra zyku. Dla ka de z rozparywanych umów kredyowych eseêmy ak e w sane okreêlç wyra onà nomnalne poencalnà sra banku (zw. pozyc ryzyka kredyowego banku lub cred exposure kórà oznaczymy przez CE. Auor zak ada e w przysz oêc mogà zaêç pewne zdarzena ze zboru mo lwych zdarzeƒ S = { s... s k } (np. s wzros nflac o 5% a s 2 spadek wzrosu PKB o 3%. Podzbór zboru zdarzeƒ S S z o ony ze wzaemne newykluczaàcych s zdarzeƒ opsue pewen scenarusz rozwou przysz o- Êc. Dyskreny rozk ad rangów kredyowych ze wzgl du na poencalnà sra mo emy zdefnowaç ako pr = CE I CE { : Ra. Zak adamy ponado e = r} ( = zrealzowane s w przysz oêc scenarusza S mo e zmenç rang -ego kredyu na Ra( S {... n}. W podobny sposób w ak roblêmy o poprzedno mo na wyznaczyç rozk ad rangów kredyowych ca- ego porfela ze wzgl du na poencalnà sra pod warunkem poawena s scenarusza S ako pr ( S= CE I CE { : Ra S r. W en sposób dla ( = } ( = dowolnego mo lwego scenarusza S mo emy polczyç zman rozk adu w wynku ego wydarzena s czyl pr( S= pr( S pr. Do pomaru ryzyka porfela kredyowego pod warunkem poawena s scenarusza S auor n u ywa nas puàcego ndeksu: Index( S= α ( S r = r p r gdze α r sà arbralne przy ym wagam akm e α r > α r-. Na podsawe ak skonsruowanego ndeksu mo na porównywaç wp yw poszczególnych scenaruszy na ryzyko kredyowe. Nech w c S oznacza nagorszy z mo lwych scenaruszy czyl ak kóry maksymalzue powy szy ndeks. Dla ka de umowy kredyowe mo emy zaem oblczyç wskaênk wp ywu poa- 3 Ne kaegor kredyów lecz samych kredyów.

3 74 BankowoÊç Komercyna BANK I KREDYT czerwec 2003 wena s nagorszego scenarusza dla e rangu czyl Z = Ra( S Ra. Zak ada s ponado e z ka dà ' umowà mo na zwàzaç e sop zwrou R (np. oprocenowane roczne kredyu. Maàc powy sze dane mo na sworzyç dagram {( Z R } =... r. Benne sugerue e preference banku wzgl dem ego le es on sk onny zap acç za zw kszene sopy zwrou (R w ermnach ryzyka (Z mo na zdefnowaç przez par dodano nachylonych prosych l: R = a + bz oraz l. Wyznaczaà one obszar pom dzy nm : R = a + bz ak e znaduàce s w Êrodku nego kombnace ryzyka a ak e sopy zwrou sà akcepowalne przez bank. Wspólne nachylene ln wyznacza preference banku w ermnach ryzyko zysk a ods p m dzy nm pewnoêç banku co do prawd owego pomaru ryzyka sopy zwrou. Kombnace znaduàce s pon e dolne ln charakeryzuà s ym e dodaà sonà porc ryzyka dlaego pownny przynosç w kszà sop zwrou. Z kole kombnace znaduàce s powy- e wyznaczonego przez lne obszaru sà bardzo arakcyne z punku wdzena banku gdy nawe po znacznym obn enu ch renownoêc by yby nadal akcepowane przez bank. Podza ak pozwala wskazaç kóre z umów kredyowych sà ma o arakcyne pownny byç usun e z porfela albo renegocowane w kerunku podwy szena sopy ch renownoêc a e kóre sà dla banku lukraywne. Ekonomeryczny model Chrnko Gulla Model Chrnko Gulla [6] es ekonomerycznà próbà uchwycena zwàzków m dzy zmennym makroekonomcznym a sraam z yu u kredyów udzelanych w ró nych sekorach gospodark. W zamerzenu auorów model en pownen byç pomocny w okreêlenu ryzyka porfela kredyowego dla nsyuc gwaranuàce depozyy by na ego podsawe usanawaç lmy zaanga owana kredyowego oraz usalaç op a ubezpeczenowà proporconalnà do rzeczywsego pozomu ryzyka danego banku. Auorzy rozparuà podza kredyów ze wzgl du na bran z kóre pochodz kredyoborca przymuà e snee I akch bran. Zak adaà ponado e egzogenczne nezale ne zmenne losowe 4 Z... Z J opsuà san gospodark gdze z z prawd. p Z = M zm z prawd. pn 4 Auorzy przymuà ako zmenne: nflac pozom sóp procenowych defcy bud eowy oraz wa ony obroam w handlu zagrancznym kurs koszyka waluowego. Mo na by s naomas speraç czy ake zmenne wolno rakowaç ako nezale ne. Zrealzowane s wszyskch ych zmennych opsue san w akm znalaz a s gospodarka. Mo e s zaem znaleêç w S sanach gdze S = M J. W sane ( z z J k... km gospodarka mo e s znaleêç z prawdopodobeƒswem π = p J = k. Dla ka dego ze sanów gospodark s =... S mo emy zaem okreêlç prawdopodobeƒswo ego poawena s ako π s. Oznaczaàc z przez wekor ( z... z M oraz przez y s wekor zmennych endogencznych wp ywaàcych na syuac e bran y w sane s akch ak np. procenowy wzros sprzeda y wzros koszów czy zw kszene s lczby podmoów dza aàcych w dane bran y auorzy zak adaà e snee deermnsyczny zwàzek pom dzy wekoram z... z J a wekorem y s opsywany przez J funkc Ψ. ys = Ψs [ z []... z ]. Posuluà by posaç powy sze funkc esymowaç za pomocà modelu przep ywów m dzyga zowych Leonefa 5. Zak ada s ponado e sraa z yu u udzelonych kredyów w -e bran y gdy gospodarka znalaz a s w sane s opsywana es przez nas puàce równane regres l s = Λ [ y s ]+ ε s gdze ε s es szokem specyfcznym dla bran y. Auorzy przymuà e funkca Λ [] es funkcà lnowà mo e byç esymowana przy u ycu meody namneszych kwadraów. Maàc w c oszacowane obe funkce oraz znaàc prognozy zmennych makroekonomcznych Z... Z J mo emy okre- Êlç przysz y rozk ad sra -e bran y czyl zmennà l l = M l W awy sposób mo emy eraz oblczyç oczekwanà sra dla ca ego porfela x = ( x... xj. Do pomaru ryzyka auorzy sugeruà u yce odchylena sandardowego sray porfela kórà oznaczamy przez l(x lub prawdopodobeƒswa ego e sraa przekroczy usalonà waroêç l* czyl η = Pl ( ( x l. Jak awo zauwa- yç zmenne l... lj ne muszà byç nezale ne czyl model uwzgl dna pewne zale noêc wys puàce m dzy sraam z yu u udzelonych kredyów w ró nych sekorach gospodark. PodeÊce Wlsona z prawd. π S z prawd. Model Wlsona [58] [59] [60] es wykorzysywany przez frm McKnsey Co. w CredPorfoloVew produkce do oceny ryzyka porfel kredyowych. Jes on modelem ekonomerycznym wykorzysuàcym meody Mone Carlo. Model zak ada e dla ka dego ypu kredyów snee pewen rodza ryzyka okreêlany ako ryzyko sysemayczne kóre ne mo e byç dywersyfkowane ÊcÊle wà e s z czynnkam makroekonomcz- 5 Model przep ywów m dzyga zowych ma posaç uk adu równaƒ lnowych Ax = d gdze wekor x przedsawa loêc poszczególnych dóbr produkowanych w gospodarce elemeny macerzy oznaczaà lczb ednosek -ego nak adu porzebnà do wyprodukowana ednosk -ego produku a wekor d oznacza egzogenczny dodakowy popy na produky (Chang [5] s π S

4 BANK I KREDYT czerwec 2003 BankowoÊç Komercyna 75 nym. Przymuàc e snee I ypów kredyów zak ada s e dla ka dego z nch prawdopodobeƒswo nesp acena przez kredyoborc kredyu opsywane es przez model logowy: oraz y = (newywàzane s ze zobowàzaƒ e el y * 0 y = 0 (wywàzane s z umowy e el * y > 0. Wskaênk oznacza yp kredyu =...T opsue podokres z kórego pochodz obserwaca a =...J o numer obserwac w rozparywanym podokrese 6. Przymue s ponado e zmenne obaênaàce z z sà zmennym makroekonomcznym akm ak bezroboce defcy bud eowy nflaca wzros... n gospodarczy. Mo emy zaem nerpreowaç zmennà * y y 0 n n ako wskaênk syuac gospodarcze. Oznaczaàc yˆ = β + β z β z prawdopodobeƒswo newywàzana s -ego kredyoborcy z umowy kredyowe w syuac gdy gospodarka opsywana es przez zmenne z... zn okreêlane es ako Py ( = =. + exp( ŷ D ugookresowe prawdopodobeƒswo nesp acena kredyu dla -ego ypu okreêlone es ako Êredna T J LDR = JT P y. Âredne prawdopodobeƒswo newywàzana s ze zobowàzaƒ dla -- = = ( = ego ypu w podokrese defnue s ako J DR = J P y. = ( = Auor zak ada dale e ka dy yp kredyu opsywany es przez eden wspólny dla wszyskch ypów sysem rangowy. Dla ka dego z ypów mo e nas powaç mgraca czyl zmana w czase rangu przyporzàdkowanego danemu ypow. Proces en uzale nony es ednak od syuac gospodark. W czase reces obn- ene rangu sae s w c bardze prawdopodobne. Auor modelue proces mgrac za pomocà neednorodnego aƒcucha Markowa. aƒcuch en zawera ponado eden san absorbuàcy 7 a manowce san newywàzana s z umowy kredyowe. Przymue s e wskaênk DR LDR merzy czy bardze prawdopodobna es zmana rangu w gór czy w dó. Zak ada s e macerz przeêca aƒcucha Markowa opsuàcego ewoluc rangów -ego ypu kredyów w podokrese zale y od powy szego wskaênka. Mo e ona przyàç rzy waroêc w zale noêc od ego czy bardze prawdopodobne es podwy szene bàdê obn ene rangu czyl e el: M 2 M ( DR LDR= M 3 M = β + β z β z + ν * 0 n n e el DR LDR + c e el DR LDR < c e el DR LDR c gdze c es pewnà arbralne przy à sa à okreêlaàcà pozom oleranc. Przymue s e zachowane makroekonomcznych zmennych opsywane es za pomocà procesu auoregres AR(q czyl równanem: 6 Implce zak ada s e powy sza funkca ne zmena s w czase. 7 T. ak san e aƒcuch w nm pozosae pod warunkem e uprzedno s w nm znalaz. q z = a + a z + ε 0 n n n= gdze a0... an sà wspó czynnkam procesu ε a dla = nezale nym zmennym losowym o rozk adze normalnym N (0. Rozk ad sra porfela kredyowego esymowany es przy u ycu meody Mone Carlo. Oznaczmy przez (υε wekor ( υ. B dzemy zak adaç e ( υε... υi ε... εn ~ N( 0 gdze: = υ εv ευ ε Macerz mo emy wyesymowaç na podsawe danych hsorycznych. Procedura esymac sra zawera nas puàce krok:. Generowane realzac wekorów X... X T gdze X ~ N( 0 Id a macerz denycznoêc Id ma wymar równy N Wykorzysuàc rozk ad Choleskego 8 macerzy = AA w awy sposób mo emy wygenerowaç Y... Y T zmenne o rozk adze Y ~ N( 0 Id przymuàc Y. Maàc e a ak e oszacowana wspó czynnków równaƒ ( (2 nale y oblczyç waroêc = AX * zmennych y oraz z dla =...T oraz =...T. Za ch pomocà mo na wyznaczyç càg prawdopodobeƒsw Py ( = newywàzana s z umowy kredyowe. 3. Powarzaàc powy sze krok ys cy razy mo emy orzymaç rozk ad prawdopodobeƒsw nesp acena kredyów dla ka dego ypu kredyu oraz dowolnego podokresu. Sàd mo na orzymaç rozk ad prawdopodobeƒsw sray ca ego porfela. 4. Maàc wyznaczony càg prawdopodobeƒsw nesp acena kredyu mo emy okreêlç wskaênk DRT LDR na ch podsawe dla ka dego ypu kredyu okreêlç càg macerzy przeêca M ( DR LDR... M ( DRT LDR. W en sposób dla ka dego rangu kredyowego (np. Aaa awo mo emy znaleêç prawdopodobeƒswo przeêca do dowolnego rangu (np. Bb oraz prawdopodobeƒswo newywàzana s z umowy (czyl przeêca do sanu odpowadaàcego emu wydarzenu w nabl szych podokresach. Jako mar ryzyka dla ka dego ypu kredyu Wlson proponue namneszy α kwanyl z wylosowane meodam Mone Carlo próby opsuàce rozk ad prawdopodobeƒsw nesp acena kredyu dla ego ypu. Jak mo na zauwa yç model en es dosyç skomplkowany gdy wymaga ume noêc esymac na podsawe danych hsorycznych paramerów modelu logowego procesu auoregres macerzy kowaranc oraz zasosowana meod Mone Carlo. 8 Rozk adem Choleskego neuemne okreêlone oraz symeryczne macerzy Σ nazywamy rozk ad macerzy Σ = Α ' Α gdze A es macerzà rókànà górnà (. macerzà o zerowych elemenach pon e przekàne.

5 76 BankowoÊç Komercyna BANK I KREDYT czerwec 2003 Model Cred Mercs Model Cred Mercs es produkem komercynym frmy J.P. Morgan. Zosa opracowany przez G.M. Gupona Ch.C. Fngera M. Bhaa [2] w 997 r. Jes o model ednookresowy zn. zmany syuac kredyoborców mogà nas powaç ylko eden raz w usalonym okrese za kóry nacz Êce przymue s eden rok. Urzymue s e kredyoborcy sà podmoam gospodarczym a ka dà umow kredyowà mo na zakwalfkowaç do edne z klas rangowych nale àcych do {...K}. Im wy szy numer rangowy ym w ksze prawdopodobeƒswo newywàzana s z umowy a nawy sza K-a klasa oznacza newyp acalnoêç kredyoborcy. Znana es ponado macerz przeêca =( p m dzy powy szym klasam oraz ermnowa srukura =... K sóp procenowych dla ka de z ych klas. Model zak ada e ka da umowa kredyowa mo e w càgu roku zmenç swoà klas rangowà zgodne z prawdopodobeƒswam zawarym w macerzy prze- Êca. Mgraca a zmena ermnowà srukur sóp procenowych dla danego kredyu gdy za o ylêmy e srukura a zale y od klasy ryzyka wyznaczone przez rang. Ka da po yczka dla -ego kredyoborcy gdze =...N rakowana es ako càg p anoêc CF... CFn zapadalnych w chwlach... n gdze oznacza laa od chwl obecne 9. Zak adaàc e w càgu roku nasàp zmana klasy rangowe z m {... K } na klas n {... K }. ne zdarzy s w càgu roku newywàzane kredyoborcy z umowy waroêç obecna akego srumena wynese: y m ( + ( + n < PVmn = CF + y m CF y y n gdze oraz oznaczaà odpowedno sopy zwrou dla m-e oraz n-e klasy rangowe od chwl 0 do usalone na podsawe ermnowe srukury sóp procenowych. W przypadku mgrac z klasy m do klasy K. w syuac gdy kredyoborca w càgu roku sane s newyp acalny przymuemy e waroêç obecna wyra a s ako PVmK = CF ( + y m + rec CF < 9 Auorzy przewduà mo lwoêç zasosowana Cred Mercs ak e w odnesenu do ln kredyowych. Wymaga o ednak oszacowana Êrednch ermnów wp a wyp a oraz ch wysokoêc. gdze rec oznacza sop odzyskana nale noêc. Auorzy w zale noêc od ego czy sà zaneresowan oblczenem ako mary ryzyka odchylena sandardowego waroêc porfela za rok czy e przybl enem na podsawe symulac Mone Carlo rozk adu waroêc porfela na konec roku w celu oblczena Value a Rsk przymuà dwa za o ena co do powy sze sopy. W przypadku oblczana odchylena sandardowego przymue s e es ona sa à równà Êredne hsoryczne sope odzyskana sraconych nale noêc zale nà od ego czy dana umowa es po yczkà podporzàdkowanà oraz czy es ob a gwarancam lub ubezpeczenem. Próbuàc wyznaczyç na podsawe meod Mone Carlo rozk ad waroêc porfela przymue s e dla ka de umowy kredyowe sopa a es zmennà losowà o rozk adze Bea B(α β kórego paramery zale à z kole wy àczne od ego czy dana umowa es po- yczkà podporzàdkowanà oraz czy es ob a gwarancam lub ubezpeczenem 0. Sopy e sà àczne nezale ne dla ró nych umów kredyowych oraz sà nezale ne od przysz ych rangów kredyoborców. Mo emy w c waroêç obecnà -ego kredyu kórego poczàkowy rang wynos m rakowaç ako nas puàcà zmennà losowà: PV gdze prawdopodobeƒswa p m sà elemenam macerzy przeêca Π. W omawanym opracowanu zaproponowano sposób wyznaczana àcznych rozk adów przeêç dla dwóch dowolnych kredyoborców =...N oraz kórych rang wynoszà obecne odpowedno m oraz m 2. Oznaczmy przez p k k 2 m àczne prawdopodobeƒswo zdarzena polegaàcego na ym e rang -ego m oraz -ego kredyoborcy wynese za rok odpowedno k oraz k 2. Podsawà ego oszacowana es za o ene e zmany w rangu -ego kredyoborcy zale à wy- àczne od zman waroêc akywów kredyoborcy maàcych rozk ad normalny waroêcach paramerach N ( µ m. Znaàc prawdopodobeƒswa przeêca pm p... mk b dàce elemenam macerzy Π mo emy wyznaczyç waroêc progowe lm l >... > mk ake e e- el X o PX> l p P X < lmk p ~ N( µ m ( m m ( = = mk oraz P( lm< X < lm = pm. Auorzy zak adaà ponado e wekor zmennych ( X... X N ma àczny rozk ad normalny o wekorze oczekwanych sóp zwrou µ m... µ m N macerzy kowaranc ( m PVm z prawd. p = M PVmK z prawd. p = ρ m O ρ =... N gdze r es korelacà m dzy zmanam waroêc akywów -ego oraz -ego kredyoborcy. WaroÊç a oblczana es na baze hsorycznych korelac m dzy zwrou skonsruowanym dla frm ndeksam sóp zwrou na podsawe danych na ema udza u sprzeda y w poszczególnych bran ach ró nych kraów oraz charakerysycznych dla nch ndeksów bran owych. 0 Rozk ad bea B(α β okreêlony es przez funkc g soêc: Γ( α + β α β fx ( = x ( x I[ x 0 ]( Γ( α Γ( β gdze α > β > 0. Procedura a es dosyç d uga neco skomplkowana dlaego ne zosane szczegó owo omówona. mk

6 BANK I KREDYT czerwec 2003 BankowoÊç Komercyna 77 Mo emy w c zapsaç: ( p = P l < X < l l < X < l k k2 m m mk mk mk 2 mk 2 Na e podsawe eseêmy w sane oblczyç kowarance m dzy waroêcam obecnym kredyów udzelonych -emu oraz -emu kredyoborcy cov( PVm PVm PVmkPVmkp = 2 k k m m k k2 {.. K} PVmkp PV p mk mk 2 mk 2 k... K... { } k2 { K} Znaàc kowarance m dzy waroêcam obecnym kredyów dla dowolnych dwóch kredyoborców mo- emy wyznaczyç macerz kowaranc waroêc obecnych umów kredyowych na e podsawe waranc ca ego porfela równà: σ 2 = ( =... Ncov PVm PV m. Oprócz brana pod uwag odchylena sandardowego ako mary ryzyka rozwa ane es ak e wykorzysane Value a Rsk kórà defnuemy ako Zα = nf { z: P( ( V EV α} z gdze V es zmennà losowà opsuàcà obecnà waroêç porfela α zaê arbralne przy ym pozomem oleranc. W ym celu auorzy zalecaà przybl ene meodà Mone Carlo rozk adu zmenne V. Polega ona na wygenerowanu próby oko o ys cy wekorów zmennych X ( ( ( = ( X... XN ~ N( µ. oraz zmennych rec. Na e podsawe mo ~ B( αk βk emy nas pne dla ka dego wygenerowanego wekora X ( oraz zmenne rec wyznaczyç àczne zmany rangów dla wszyskch N sk adnków porfela a zaem ak e waroêc obecne poszczególnych sk adnków porfela pod warunkem zrealzowana zman ch rangów. Sumuàc waroêc obecne wszyskch sk adowych porfela orzymuemy waroêç ca ego porfela kórà oznaczymy przez V (. W en sposób mo emy orzymaç rozk ad waroêc ca ego porfela. Oznaczaàc N ( ( V = V oraz Y = ( V V ako esymaor Value = a Rsk przymuemy Zˆ Y 2 α = [( α 20000]+ : Auorzy argumenuà e model mo e znaleêç zasosowane w usanawanu regu pos powana ogranczaàcych ryzyko kredyowe w ocene efekywnoêc pracy zarzàdu okreêlanu lmów kredyowych oraz adekwanoêc kapa owe (na podsawe Value a Rsk porzebne by bank móg s wywàzaç ze swoch zobowàzaƒ w przypadku gdy wydarzy s nekorzysny lecz ma o prawdopodobny scenarusz rozwou przysz oêc. zasosowanu pewnych rozwàzaƒ znanych w maemayce akuaralne. Kredyoborcy sà dzelen na roz àczne zbory ( pasma z kórych ka dy charakeryzowany es przez pewnà sa à waroêç poencalne sray. Jednosk rozrachunkowà dobera s w en sposób aby poencalna sraa by a lczbà ca kowà. Dla ka dego z pasm przeprowadza s nas puàce rozumowane. Przymue s e snee K sekorów gospodark oraz e dane pasmo sk ada s z N kredyoborców z kórych ka dy mo e meç udza w wybranych sekorach. Zak ada s e kredyoborców es bardzo du o a prawdopodobeƒswo newyp acalnoêc poedynczego kredyoborcy es newelke 3. Udza n-ego kredyoborcy w -ym sekorze oznaczmy przez θ k n dla ka dego n =...N zachodz K k θ n = k =. Zak ada s równe e na podsawe rangu przypsanego ka demu kredyoborcy mo na odpowedno okreêlç Êrednà cz soêç newywàzana s przez nego z warunków umowy P n oraz odchylene sandardowe e cz soêc σ n. Nech zmenne losowe X...X K oznaczaà Êrednà lczb przypadków newyp acalnoêc w càgu roku w odpowednch sekorach. Zak ada s e zmenne e sà nezale ne a rozk ad prawdopodobeƒswa ka de z nch es rozk adem Gamma 4 Γ( αk βk. Oznaczmy µ k przez σ k oraz odpowedno waroêç oczekwanà waranc zmenne X k. Wadomo e α βk = σ 2 µ k = µ 2 σ 2 k k k k. Przymue s N k N k µ k = p θ oraz σk = σ θ n= n n. Zak adaàc e Êredna lczba przypadków newyp acalnoêc w k-ym sek- n= n n orze wynos a x k. Xk = xk fakyczna lczba przypadków newyp acalnoêc w ym sekorze ma rozk ad Possona 5 π( x x. Twórcy produku wykorzysuàc narz dza sosowane w maemayce akuaralne uzyskuà formu y na àczny rozk ad lczby przypadków newyp acalnoêc dla danego pasma. Ponewa przy lêmy e poencalna welkoêç sray dla wszyskch kredyoborców z danego pasma es aka sama w awy sposób maàc rozk ad lczby przypadków newyp acalnoêc mo emy orzymaç dla danego pasma rozk ad welkoêc sra. Znaàc mechanzm powsawana sra dla poszczególnych pasm mo na okreêlç rozk ad sra ca ego porfela kredyowego banku. Jako mar ryzyka porfela kredyowego przymue s α kwanyl rozk adu sra porfela. Jak awo mo na zauwa yç rzy z omówonych powy e model bazuà na zwàzanu ryzyka kredyowego ze zmennym makroekonomcznym. Nale à do nch: PodeÊce akuaralne - CredRsk+ CredRsk+ es powsa ym w 996 r. produkem frmy Cred Susse s u àcym do zarzàdzana ryzykem porfela kredyowego [9]. Jego konsrukca opera s na 2 Przez Y k:n oznaczamy k-à saysyk pozycynà z próby n-elemenowe. 3 PodeÊce ake es cz so spoykane w modelach ubezpeczenowych. Przymue s wówczas e frma ubezpeczenowa ma do czynena z du à lczbà szkód z kórych ka da mo e s poawç z bardzo ma ym prawdopodobeƒswem. 4 Rozk ad Gamma Γ( αβ. es okreêlony przez funkc g soêc fx e x β α ( = x ( gdze Γ( α α β Γ α = e x x α dx es funkcà Gamma. Jego waroêç oczekwana waranca wyra a s odpowedno ako µ = αβ σ = αβ. 5 Rozk ad Possona π( x es rozk adem dyskrenym okreêlonym w nas puàcy sposób: Pn ( = n! dla n = Jego waroêç oczekwana waranca sà x n e x sobe równe wynoszà x.

7 78 BankowoÊç Komercyna BANK I KREDYT czerwec 2003 model Bennea model Chrnko Gulla oraz model Wlsona. Waro równe zauwa yç e podeêce Almana Wlsona oraz Cred Mercs zak adaà snene rangów dzelàcych kredyy na poszczególne klasy ryzyka oraz mo lwoêç oszacowana macerzy prawdopodobeƒsw przeêca m dzy nm. Nale y dodaç e spoêród powy szych model w sposób komercyny wykorzysue s edyne rzy: model Wlsona wykorzysywany w opracowanym przez McKnsey Company CredPorfoloVew produk Cred Mercs oferowany przez J.P. Morgan oraz CredRsk+ sworzony przez Cred Susse. Wynka o zapewne z faku e modele e zosa y sworzone w odpowedz na fakyczne porzeby powy szych frm. Jednak nawe e modele znaduà s eszcze w faze ws pne b dà w przysz oêc sysemayczne wzbogacane (Kome Bazylesk [0] s. 6. Ponado w kszoêç z zaprezenowanych model ne s u y do opymalzac porfela kredyowego banku lecz do wyznaczana rozk adu ego przysz ych waroêc lub Value a Rsk. Isneàce rozwàzana eêl chodz o pomar ryzyka kredyowego oraz problemy z ym zwàzane sà w ogólny sposób przedsawone w ednym z dokumenów opracowanych przez Kome Bazylesk [0]. Zawera on analz meod sosowanych w 20 bankach pochodzàcych z 0 kraów. Inny neresuàcy przeglàd prakyczne wykorzysywanych model zawary es w ksà ce Saundersa [53]. Na konec waro podkreêlç e ne sà znane porównana waroêc prognosycznych powy szych model an ne zosa a eszcze opracowana powszechne akcepowana meoda weryfkac dawanych przez ne prognoz (Kome Bazylesk [0] s. 6. Wynka o m.n. z ma e dos pnoêc d ugookresowych danych na ema zrealzowanych umów kredyowych oraz przypadków newyp acalnoêc d u nków. Ponado bank pos uguà s ró nym defncam pewnych welkoêc (np. sra oraz ró nym wewn rznym rangam kredyoborców. Równe dane porzebne do esymac model sà zberane nekoneczne w en sam sposób. W koƒcu bank u ywaà z regu y ylko ednego modelu kórego paramery esymuà na podsawe edyne sobe znanych danych. Ne es równe asne czy proponowane podeêca daà lepsze wynk od prosego podeêca bayesowskego w kórym zmana prawdopodobeƒsw przeêca opera s na eksperyze deparamenu ryzyka kredyowego m.n. na podsawe obserwowane fazy cyklu konunkuralnego. W e syuac mo lwoêc porównywana poszczególnych model sà nezwykle ogranczone. Powol poawaà s ednak perwsze próby analzy porównawcze model na podsawe ych samych zborów danych hsorycznych (Crouhy [8] Saunders [5] s Sà one eszcze bardzo nedoskona e s abo rozwn e. Nale y przypuszczaç e kolenym krokem w konsrukc model s u àcych do zarzàdzana ryzykem b dze próba negrac ryzyka kredyowego oraz rynkowego. Bblografa. E.I. Alman A. Saunders (998: Cred rsk measuremen: Developmen over he las 20 years. Journal of Bankng and Fnance 2 s E.I. Alman J.B. Caouee P. Narayanan (998: Managng Cred Rsk. John Wley. 3. E.I. Alman J.B. Caouee P. Narayanan (998: Cred-rsk measuremen and managemen: The ronc challenge n he nex decade. Fnancal Analyss Journal January-February s E.I. Alman (997: Corporae Bond and Commercal Loan porfolo Analyss. New York Unversy Salomon Brohers Cener S E.I. Alman (997: Rang Mgraon of Corporae Bonds: Comparave Resuls and Invesor/Lender Implcaons. New York Unversy Salomon Brohers Cener S E.I. Alman (997: Defaul Raes n The Syndcaed Loan Marke: A Moraly Analyss S G.F. Angel J.M. Dez-Canedo E.P. Gorbea (998: A dscree Markov chan model for valung loan porfolos. The case of Mexcan loan sales. Journal of Bankng and Fnance 22 s T.R. Beleck M. Rukowsk (2002: Cred Rsk: Modellng Valuaon and Hedgng. Sprnger Verlag. 9. Basle Commee on Bankng Supervson (200: The sandarsed approach o cred rsk consulave documen. 0. Basle Commee on Bankng Supervson (999: Cred rsk modellng: curren pracces and applcaons.. P. Benne (984: Applyng porfolo heory o global bank lendng. Journal of Bankng and Fnance 8 s M. Bhaa Ch.C. Fnger G.M. Gupon (997: Cred Mercs Techncal Documen. Morgan Guarany Trus Co. New York. 3. G. Borys (996: Zarzàdzane ryzykem kredyowym w banku. PWN.

8 BANK I KREDYT czerwec 2003 BankowoÊç Komercyna S.A. Buser E.J. Kane (979: Porfolo dversfcaon a commercal banks. Journal of Fnance 34 s A.C. Chang (994: Podsawy ekonom maemayczne. PWN. 6. R.S. Chrnko D.G. Gull (99: A framework for assessng cred rsk n deposory nsuon: Toward regulaory reform. Journal of Bankng and Fnance 5 s T.E. Copeland J.F. Weson (992: Fnancal Theory and Corporae Polcy. Addson-Wesley Publshng Company. 8. M. Crouhy D. Gala R. Mark (2000: Comperave analyss of curren cred rsk models. Journal of Bankng & Fnance 24 s Cred Susse (996: CredRsk+ hp://www.csfp.co.uk K. Cuhberson (996: Quanave Fnancal Economcs: Socks Bonds and Foregn Exchange. John Wley. 2. The Economs (998: Model behavour. February Euromoney (996: The launch of a new marke: Cred Dervaves. March s M.W. Fadl (997: Problems wh weghed-average rsk rangs: a porfolo managemen vew. Commercal Lendng Revew 2 s M.W. Fadl B.G. Sevenson (995: Modern porfolo heory: can work for commercal loans? Commercal Lendng Revew 0 s Federal Depos Insurance Corporaon (983: Depos Insurance n a Changng Envromen Washngon. 26. E.R. Fedler M.R. Pech (97: Measures of Cred Rsk and Experence. Columba Unversy Press. 27. J.K. Ford (997/98: How o benchmark porfolo rsk. Commercal Lendng Rewev Wner s J.K. Ford (997: How o assess he concenraon profle of your loan porfolo. Commercal Lendng Rewev Sprng s J.K. Ford (995: Cred analyss usng a concenraon rao o measure cred rsk. Commercal Lendng Rewev Summer s X. Frexas J.C. Roche (998: Mcroeconomcs of Bankng. MIT Press. 3. T.L. Gollnger J.B. Morgan (993: Calculaon of an Effcen Froner for a Commercal Loan Porfolo. The Journal of Porfolo Managemen Wner. 32. R. Jage o J. Nowakowsk (997: Zysk ryzyko nwesyc kredyowe. Bank Kredy nr 7-8 s R. Jage o J. Nowakowsk (998: Opymalny porfel kredyowy ako czynnk gwaranuàcy bezpeczeƒswo banku komercynego. Bank Kredy nr 5 s K. Jauga (998: Ryzyko kredyowe w fnansach - pomar zarzàdzane za pomocà nsrumenów pochodnych. W: Modelowane preferenc nsrumenów ryzyko 98. Praca zborowa pod red. T. Trzaskalka. Wydawncwo Akadem Ekonomczne w Kaowcach s R. Jarrow S. Turnbull (996: Cred Rsk The Handbook of Rsk Managemen and Analyss. Eded by Carol Alexander John Wley. 36. E.J. Kane S.A. Buser (979: Porfolo dversfcaon a commercal banks. Journal of Fnance 34 s J.G. Kemeny J.L. Snell (960: Fne Markov Chans. D Van Nosrand Company Prnceon. 38. KMV Corporaon (995: Inroducng Cred Monor. San Francsco KMV Corporaon. 39. W. Kury ek (2000: Cred scorng podeêce saysyczne. Bank Kredy nr 6 s W. Kury ek (2000: Modele mgrac kredyów. Bank Kredy nr 0 s E.C. Lawrence L.D. Smh (995: Forecasng losses on a lqudang long-erm loan porfolo. Journal of Bankng and Fnance 9 s H.M. Markowz (952: Porfolo selecon. Journal of Fnance 7 s H.M. Markowz (959: Porfolo Selecon: Effcen Dversfcaon of Invesmen. New York John Wley & Sons. 44. H.M. Markowz A.F. Perold (98: Porfolo analyss wh scenaros and facors. Journal of Fnance 36 s H.M. Markowz A.F. Perold (98: Sparsy and pecewse lneary n large porfolo opmzaon problems Sparse Marces and Ther Uses. Eded by I.S. Du. Academc Press. 46. H.M. Markowz (990: Mean-Varance Analyss n Porfolo Choce and Capal Markes. Blackwell. 47. M. Maczak J. Nowakowsk (998: Opymalzaca porfela kredyowego du ego banku w relac: srukura - zysk ryzyko. Suda Prace Kolegum Zarzàdzana Fnansów Szko y G ówne Handlowe zeszy 9 s R.C. Meron (974: On he prcng of corporae deb: The rsk srucure of neres raes. Journal o Fnance 29 s W. Ogryczak A. Ruszczyƒsk (999: From sochasc domnance o mean-rsk models: semdevaons as rsk measures. European Journal of Operaonal Research 6 s Prawo bankowe. Usawa z dna 29 serpna 997 r. po nowelzac z dna 23 serpna 200 r. Dz.U. z 2002 r. nr 72 poz. 665.

9 80 BankowoÊç Komercyna BANK I KREDYT czerwec M. Purcha L. Sern (992: Applyng heory o loan porfolo managemen. Fnancal Managers Saemen January/February. 52. P. Rose (997: Commercal bank managemen. IRWIN. 53. A. Saunders (999: Cred Rsk Measuremen: New Approaches o Value a Rsk and Oher Paradgms. J. Wley. 54. J.F. Snkey (975: A mulvarae sascal analyss of he characerscs of problem banks. Journal of Fnance 30 s M. Dewarpon J. Trole (994: The Prudenal Regulaon of Banks. MIT Press. 56. L. Wakeman (998: Cred enhancemen Rsk Managemen and Analyss. Vol. : Measurng and Modellng Fnancal Rsk. Eded by Carol Alexander John Wley. 57. A. Weron R. Weron (998: In ynera fnansowa. WNT. 58. T.C. Wlson (998: Porfolo cred rsk. Economc Polcy Revew Ocober s T.C. Wlson (997: Porfolo cred rsk (I. Rsk Magazne Sepember s T.C. Wlson (997: Porfolo cred rsk (II. Rsk Magazne Ocober s A. Woênak (999: Jak Êwa radz sobe z ryzykem kredyowym. Rynek Termnowy nr 3/5/99 s. 7-76

Mierzenie handlu wewnątrzgałęziowego

Mierzenie handlu wewnątrzgałęziowego Kaaryna Śledewska, erene handlu wewnąrgałęowego erene handlu wewnąrgałęowego Problemy merenem ele eoreycnych sposobów merena (handel wewnąrgałęowy cyl nra-ndusry rade było proponowanych w leraure predmou.

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO TEORII DECYZJI STATYSTYCZNYCH

WPROWADZENIE DO TEORII DECYZJI STATYSTYCZNYCH Ćwczene nr 1 Statystyczne metody wspomagana decyzj Teora decyzj statystycznych WPROWADZENIE DO TEORII DECYZJI STATYSTYCZNYCH Problem decyzyjny decyzja pocągająca za sobą korzyść lub stratę. Proces decyzyjny

Bardziej szczegółowo

Modele ekonometryczne w Gretlu

Modele ekonometryczne w Gretlu Modele ekonomeryczne w Grelu Grel jes aplkacją przede wszyskm do zasosowań ekonomerycznych (oraz do analzy szeregów czasowych nekórzy wolą rozgranczać ekonomerę analzę szeregów czasowych, przy czym a osana

Bardziej szczegółowo

Regulamin. udzielania pomocy materialnej o charakterze socjalnym dla uczniów zamieszkaùych na terenie Gminy Wolbórz

Regulamin. udzielania pomocy materialnej o charakterze socjalnym dla uczniów zamieszkaùych na terenie Gminy Wolbórz Zaù¹cznk Nr 1 uchwaùy Nr XXVIII/167/2005 Rady Gmny Wolbórz z dna 30 marca 2005 r. Regulamn udzelana pomocy maeralnej o charakerze socjalnym dla ucznów zameszkaùych na erene Gmny Wolbórz I. Sposób usalana

Bardziej szczegółowo

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K) STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce

Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce Ekonomiczno-echniczne aspeky wykorzysania gazu w energeyce Janusz Koowicz Wydział Inżynierii i Ochrony Środowiska Poliechnika zęsochowska Inerpreacja wskazników NPV oraz IRR Janusz Koowicz W7 Wydział Inżynierii

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA 2 POBRAĆ Z INTERNETU Plaforma WSL on-line Nazwisko prowadzącego Maryna Kupczyk Folder z nazwą przedmiou - Analiza, prognozowanie i symulacja Plik o nazwie Baza do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Ćw. 2. Wyznaczanie wartości średniego współczynnika tarcia i sprawności śrub złącznych oraz uzyskanego przez nie zacisku dla określonego momentu.

Ćw. 2. Wyznaczanie wartości średniego współczynnika tarcia i sprawności śrub złącznych oraz uzyskanego przez nie zacisku dla określonego momentu. Laboratorum z Podstaw Konstrukcj aszyn - - Ćw.. Wyznaczane wartośc średnego współczynnka tarca sprawnośc śrub złącznych oraz uzyskanego przez ne zacsku da okreśonego momentu.. Podstawowe wadomośc pojęca.

Bardziej szczegółowo

HSC Research Report. Principal Components Analysis in implied volatility modeling (Analiza składowych głównych w modelowaniu implikowanej zmienności)

HSC Research Report. Principal Components Analysis in implied volatility modeling (Analiza składowych głównych w modelowaniu implikowanej zmienności) HSC Research Repor HSC/04/03 Prncpal Componens Analyss n mpled volaly modelng (Analza składowych głównych w modelowanu mplkowanej zmennośc) Rafał Weron* Sławomr Wójck** * Hugo Senhaus Cener, Wrocław Unversy

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

4. MATERIA NAUCZANIA. 4.1. Kierowanie ruchu w sieciach telekomunikacyjnych. 4.1.1. Materia nauczania

4. MATERIA NAUCZANIA. 4.1. Kierowanie ruchu w sieciach telekomunikacyjnych. 4.1.1. Materia nauczania 4. MTERI NUCZNI 4.1. Kierowanie ruchu w sieciach elekomunikacyjnych 4.1.1. Maeria nauczania Poj cia i erminy sosowane w in ynierii ruchu Poj cia ogólne: obs uga ruchu zdolno obieku do obs ugi ruchu o okre

Bardziej szczegółowo

możliwych wypłat lub strat możliwości Cel stosowania:

możliwych wypłat lub strat możliwości Cel stosowania: Drzewo decyzyne graficzna prezenaca wszyskich eleenów probleu decyzynego, zn.: dopuszczalnych decyzi sanów naury prawdopodobieńsw sanów s i ożliwych wypła lub sra ożliwości Cel sosowania: pozwala poznać

Bardziej szczegółowo

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU

DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU DOBÓR SERWOSILNIKA POSUWU Rysunek 1 przedstawa schemat knematyczny napędu jednej os urządzena. Fp Fw mc l Sp Serwoslnk Rys. 1. Schemat knematyczny serwonapędu: przełożene przekładn pasowej, S p skok śruby

Bardziej szczegółowo

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej Sansław Urbańsk * Modelowane równowag cenowej na Gełdze Paperów Waroścowych w Warszawe w okresach przed po wejścu Polsk do Un Europejskej Wsęp Praca nnejsza sanow konynuację badań doyczących wyceny akcj

Bardziej szczegółowo

8 6 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu E L E K T R Y K K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z e b r y n k

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Monitor konwergencji cyklicznej

Monitor konwergencji cyklicznej PF Monor konwergencj cyklcznej lsopad 9 Mnserswo Fnansów Deparamen Polyk Fnansowej, Analz Saysyk Numer / 9 Buro Pełnomocnka Rządu ds. Wprowadzena Euro przez Rzeczpospolą Polską Monor konwergencj cyklcznej

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I

Bardziej szczegółowo

dyfuzja w płynie nieruchomym (lub w ruchu laminarnym) prowadzi do wzrostu chmury zanieczyszczenia

dyfuzja w płynie nieruchomym (lub w ruchu laminarnym) prowadzi do wzrostu chmury zanieczyszczenia 6. Dyspersja i adwekcja w przepływie urbulennym podsumowanie własności laminarnej (molekularnej) dyfuzji: ciągły ruch molekuł (molekularne wymuszenie) prowadzi do losowego błądzenia cząsek zanieczyszczeń

Bardziej szczegółowo

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska Jerzy Czesław Ossowsk Kaedra Ekonom Zarzdzana Przedsborswem Wydzał Zarzdzana Ekonom Polechnka Gdaska IX Ogólnoposke Semnarum Naukowe n. Dynamczne modele ekonomeryczne, Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 64 Transpor 28 Tomasz AMBROZIAK, Konrad LEWCZUK Wydzał Transporu Polechnk Warszawske Zakład Logsyk Sysemów Transporowych ul. Koszykowa 75, -662 Warszawa am@.pw.edu.pl;

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m

Bardziej szczegółowo

Rozliczanie kosztów Proces rozliczania kosztów

Rozliczanie kosztów Proces rozliczania kosztów Rozlczane kosztów Proces rozlczana kosztów Koszty dzałalnośc jednostek gospodarczych są złoŝoną kategorą ekonomczną, ujmowaną weloprzekrojowo. W systeme rachunku kosztów odbywa sę transformacja jednych

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

Europejska opcja kupna akcji calloption

Europejska opcja kupna akcji calloption Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM KAPITAŁOWYM

UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM KAPITAŁOWYM MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XV/3, 214, sr. 86 98 PROPOZYCJA MODYFIKACJI KŁADKI NEO W UBEZPIECZENIACH NA ŻYCIE Z FUNDUZEM KAPIAŁOWYM UWZLĘDNIAJĄCA DODAKOWE RYZYKO FINANOWE Magdalena Homa

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ. Warszawa, dnia 28 maja 2001 r. Druk nr 646

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ. Warszawa, dnia 28 maja 2001 r. Druk nr 646 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ IV KADENCJA Warszawa, dnia 28 maja 2001 r. Druk nr 646 MARSZAŁEK SEJMU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pani Alicja GRZEŚKOWIAK MARSZAŁEK SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zgodnie

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY CH ZASTOSOWANE Laboratorium nstrukcja do ćwiczenia nr Temat: Pomiar mocy wiązki laserowej 3. POMAR MOCY WĄZK LASEROWEJ LASERA He - Ne 3.1. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą

Bardziej szczegółowo

Multifraktalne cechy przep³ywu lokalnej sejsmicznoœci indukowanej na terenie KWK Katowice (GZW)

Multifraktalne cechy przep³ywu lokalnej sejsmicznoœci indukowanej na terenie KWK Katowice (GZW) Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, 00 Multfraktalne cechy przep³ywu lokalne sesmcznoœc ndukowane na terene KWK Katowce (GZW) Olga Polechoñska* Zbadano multfraktalne w³aœcwoœc rozk³adów epcentrów, czasów

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 5 4 EWA DZIAWGO Uniwersye Miołaa Kopernia w Toruniu ANALIZA WRA LIWO CI CENY KOSZYKOWEJ OPCJI KUPNA WPROWADZENIE

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

PÓŁAKTYWNE ELIMINATORY DRGAŃ (1)

PÓŁAKTYWNE ELIMINATORY DRGAŃ (1) WYKŁAD OBIERALNY rok akademck 2002/03 PÓŁAKTYWNE ELIMINATORY DRGAŃ (1) Uwag wstępne Półaktywne elmnatory drgań to układy regulacj które łączą pewne cechy pasywnych aktywnych elmnatorów drgań. Ogólne rzecz

Bardziej szczegółowo

Substytucja między kredytem kupieckim i bankowym w polskich przedsiębiorstwach wyniki empiryczne na podstawie danych panelowych

Substytucja między kredytem kupieckim i bankowym w polskich przedsiębiorstwach wyniki empiryczne na podstawie danych panelowych Bank Kredy 43 6, 01, 9 56 www.bankkredy.nbp.pl www.bankandcred.nbp.pl Subsyucja mędzy kredyem kupeckm bankowym w polskch przedsęborswach wynk empryczne na podsawe danych panelowych Jerzy Marzec*, Małgorzaa

Bardziej szczegółowo

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych?

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne i optymalizacyjne Strategie fundamentalne Portfel losowy 2 Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne

Bardziej szczegółowo

7 4 / m S t a n d a r d w y m a g a ± û e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K U C H A R Z * * (dla absolwent¾w szk¾ ponadzasadniczych) K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ¾ w i s p e c

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r.

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Spis treści: 1. Wstęp... 3 2. Fundusze własne... 4 2.1 Informacje podstawowe... 4 2.2 Struktura funduszy własnych....5

Bardziej szczegółowo

Ewolucja metod konstrukcji krzywej terminowej stóp procentowych po kryzysie płynności rynku międzybankowego w latach 2007-2009

Ewolucja metod konstrukcji krzywej terminowej stóp procentowych po kryzysie płynności rynku międzybankowego w latach 2007-2009 Unwersye Ekonomczny w Poznanu Wydzał Ekonom Paweł Olsza Ewolucja meod konsrukcj krzywej ermnowej sóp procenowych po kryzyse płynnośc rynku mędzybankowego w laach 007 009 Rozprawa dokorska przygoowana pod

Bardziej szczegółowo

Dochody bud etu paƒstwa*

Dochody bud etu paƒstwa* 54 Polyka Bud eowa BANK I KREDYT wrzeseƒ 2004 Dochody bud eu paƒswa* Tomasz Sza wƒsk Ws p Zagadnene gromadzena dochodów przez paƒswo poruszane jes w w kszoêc opracowaƒ doyczàcych fnansów publcznych. Analzy

Bardziej szczegółowo

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998)

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998) 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) 3. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,998) 3.. Model Hagha Isneje wele prac z la powojennych, w kórych wysępują próby modelowana kolejek ruchowych

Bardziej szczegółowo

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR Zerowe sopy procenowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR 111 seminarium BRE-CASE Warszaw awa, 25 lisopada 21 Plan Wprowadzenie Hipoezy I, II, III i IV Próba (zgrubnej)

Bardziej szczegółowo

Dziennik Ustaw Nr 229 14531 Poz. 1916 ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 12 grudnia 2002 r.

Dziennik Ustaw Nr 229 14531 Poz. 1916 ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 12 grudnia 2002 r. Dziennik Ustaw Nr 229 14531 Poz. 1916 1916 ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW z dnia 12 grudnia 2002 r. zmieniajàce rozporzàdzenie w sprawie wzorów deklaracji podatkowych dla podatku od towarów i us ug oraz

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z działalności Rady Nadzorczej TESGAS S.A. w 2008 roku.

Sprawozdanie z działalności Rady Nadzorczej TESGAS S.A. w 2008 roku. Sprawozdanie z działalności Rady Nadzorczej TESGAS S.A. w 2008 roku. Rada Nadzorcza zgodnie z treścią Statutu Spółki składa się od 5 do 9 Członków powoływanych przez Walne Zgromadzenie w głosowaniu tajnym.

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Andrzej Tatarek. Siłownie cieplne

Dr inż. Andrzej Tatarek. Siłownie cieplne Dr inż. Andrzej Tatarek Siłownie cieplne 1 Wykład 3 Sposoby podwyższania sprawności elektrowni 2 Zwiększenie sprawności Metody zwiększenia sprawności elektrowni: 1. podnoszenie temperatury i ciśnienia

Bardziej szczegółowo

Ekonomia rozwoju. dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I

Ekonomia rozwoju. dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I Ekonomia rozwoju wykład 1 dr Piotr Białowolski Katedra Ekonomii I Plan wykładu Ustalenie celu naszych spotkań w semestrze Ustalenie technikaliów Literatura, zaliczenie Przedstawienie punktu startowego

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2014/2015 Kod: BEZ-1-109-s Punkty ECTS: 2. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2014/2015 Kod: BEZ-1-109-s Punkty ECTS: 2. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Podstawy ekonomi i zarządzania - ekonomiczny 1 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: BEZ-1-109-s Punkty ECTS: 2 Wydział: Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Kierunek: Ekologiczne Źródła Energii

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / m S t a n d a r d w y m a g a ñ - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln o ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych UIWERSYE EKOOMICZY w Krakowe EKOOMERIA EKOOMERIA meod analz wkorzsana danch ekonomcznch (handous zapsk wkładowc dla sudenów) Kraków Anon Gorl Anna Walkosz Unwerse Ekonomczn w Krakowe emaka. Wprowadzene..

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 18. Anna Jakubowska, Edward Dutkiewicz ADSORPCJA NA GRANICY FAZ CIECZ GAZ. IZOTERMA ADSORPCJI GIBBSA

Ćwiczenie 18. Anna Jakubowska, Edward Dutkiewicz ADSORPCJA NA GRANICY FAZ CIECZ GAZ. IZOTERMA ADSORPCJI GIBBSA Ćwczene 18 Anna Jakubowska, Edward Dutkewcz ADSORPCJA NA GRANICY FAZ CIECZ GAZ. IZOTERMA ADSORPCJI GIBBSA Zagadnena: Zjawsko adsorpcj, pojęce zotermy adsorpcj. Równane zotermy adsorpcj Gbbsa. Defncja nadmaru

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą U M O W A zawarta w dniu pomiędzy: Miejskim Centrum Medycznym Śródmieście sp. z o.o. z siedzibą w Łodzi przy ul. Próchnika 11 reprezentowaną przez: zwanym dalej Zamawiający a zwanym w dalszej części umowy

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY CZASU PRACY. 1. PODSTAWOWY [art. 129 KP]

SYSTEMY CZASU PRACY. 1. PODSTAWOWY [art. 129 KP] 1. PODSTAWOWY [ 129 KP] Podstawowy system czasu w typowych (standardowych) stosunkach : do 8 godzin Standardowo: do 4 miesięcy Wyjątki: do 6 m-cy w rolnictwie i hodowli oraz przy ochronie osób lub pilnowaniu

Bardziej szczegółowo

1 8 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M E C H A N I K - O P E R A T O R P O J A Z D Ó W I M A S Z Y N R O L N I C Z Y C H K o d z k l a s y f i k a c j i

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE

MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE Danel Iskra Unwersye Ekonomczny w Kaowcach MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE Wprowadzene Wraz z rozwojem eor nwesycj fnansowych, nwesorzy

Bardziej szczegółowo

OCENA RYZYKA INWESTYCJI W METALE SZLACHETNE W OKRESIE ŚWIATOWEGO KRYZYSU FINANSOWEGO 2007-2012

OCENA RYZYKA INWESTYCJI W METALE SZLACHETNE W OKRESIE ŚWIATOWEGO KRYZYSU FINANSOWEGO 2007-2012 Elza Buszkowska Unwersye m. Adama Mckewcza w Poznanu, Wydzał Prawa Admnsracj, Kaedra Nauk Ekonomcznych Por Płucennk Unwersye m. Adama Mckewcza w Poznanu, Wydzał Maemayk Informayk, Pracowna Ekonomer Fnansowej

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

20 PPABank S.A. - prospekt emisyjny seria I

20 PPABank S.A. - prospekt emisyjny seria I 20 PPABank S.A. - prospekt emisyjny seria I 2 w Prospekcie 1. w Prospekcie ze strony Emitenta Pierwszy Polsko-Amerykaƒski Bank S.A. ul. Kordylewskiego 11 31-547 Kraków telefon: (0-12) 618-33-33 telefax:

Bardziej szczegółowo

OPINIA RADY NADZORCZEJ

OPINIA RADY NADZORCZEJ W SPRAWIE ZATWIERDZENIA SPRAWOZDANIA ZARZĄDU Z DZIAŁALNOŚCI mbanku S.A. ORAZ SPRAWOZDANIA FINANSOWEGO mbanku S.A. ZA ROK 2013 (Uchwała nr 1) Podjęcie przez WZ przedmiotowej Uchwały nr 1 wynika z obowiązku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Modułowy system aluminiowy o nieograniczonych możliwościach. Nieograniczony wybór różnych urządzeń o dowolnych. do zastosowania w służbie zdrowie.

Modułowy system aluminiowy o nieograniczonych możliwościach. Nieograniczony wybór różnych urządzeń o dowolnych. do zastosowania w służbie zdrowie. Modułowy system aluminiowy o nieograniczonych możliwościach Nieograniczony wybór różnych urządzeń o dowolnych wymiarach do zastosowania w służbie zdrowie. PVS RVS System profili i połączeń dla rozwiązań

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej(WPF) Gminy Dmosin na lata 2016 2027 ujętej w załączniku Nr 1

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej(WPF) Gminy Dmosin na lata 2016 2027 ujętej w załączniku Nr 1 Załącznik Nr 2 do Uchwały Nr XV/83/15 Rady Gminy Dmosin z dnia 30 grudnia 2015 r. Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej(WPF) Gminy Dmosin na lata 2016 2027 ujętej w załączniku Nr 1 I. Objaśnienia

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

1 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu B L A C H A R Z Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji zawodów

Bardziej szczegółowo

II. WNIOSKI I UZASADNIENIA: 1. Proponujemy wprowadzić w Rekomendacji nr 6 także rozwiązania dotyczące sytuacji, w których:

II. WNIOSKI I UZASADNIENIA: 1. Proponujemy wprowadzić w Rekomendacji nr 6 także rozwiązania dotyczące sytuacji, w których: Warszawa, dnia 25 stycznia 2013 r. Szanowny Pan Wojciech Kwaśniak Zastępca Przewodniczącego Komisji Nadzoru Finansowego Pl. Powstańców Warszawy 1 00-950 Warszawa Wasz znak: DRB/DRB_I/078/247/11/12/MM W

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I)

STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I) STATYSTYCZNY POMIAR EFEKTYWNOŚCI FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH OTWARTYCH ZA POMOCĄ EAM (I) dr Jacek, M. Kowalski Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu jakowalski@op.pl Absrak Jes o pierwsza część, drugiego z cyklu

Bardziej szczegółowo

TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp

TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp 1. Informacja o pracownikach wyznaczonych do udzielania pierwszej pomocy oraz o pracownikach wyznaczonych do wykonywania działań w zakresie

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce Prognozowane cen dealcznych żywnośc w Polsce Marusz Hamulczuk IERGŻ - PIB Kaarzyna Herel NBP Co dlaczego prognozujemy Krókookresowe prognozy cen dealcznych Ceny dealczne (ndywdualne produky, agregay) Isone

Bardziej szczegółowo

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?

Bardziej szczegółowo

KLAUZULE ARBITRAŻOWE

KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa

Bardziej szczegółowo

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M = M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O P T Y M A L I Z A C J A K O N S T R U K C J I F O R M Y W T R Y S K O W E J P O D K Ą T E M E F E K T Y W N O C I C H O D

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja pracowników 2006

Satysfakcja pracowników 2006 Satysfakcja pracowników 2006 Raport z badania ilościowego Listopad 2006r. www.iibr.pl 1 Spis treści Cel i sposób realizacji badania...... 3 Podsumowanie wyników... 4 Wyniki badania... 7 1. Ogólny poziom

Bardziej szczegółowo

Programowanie wielokryterialne

Programowanie wielokryterialne Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE

MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE Marcn Zawada Kaedra Ekonomer Saysyk, Wydzał Zarządzana, Polechnka Częsochowska, Częsochowa 1 WSTĘP Proces ransformacj

Bardziej szczegółowo

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU Warszawa 27 lutego 2007 SKONSOLIDOWANE RACHUNKI ZYSKÓW I STRAT

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

POMIAR RYZYKA IT W PRZEDSI BIORSTWIE. LEONARD ROZENBERG MAGDALENA KIERUZEL Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

POMIAR RYZYKA IT W PRZEDSI BIORSTWIE. LEONARD ROZENBERG MAGDALENA KIERUZEL Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie POMIAR RYZYKA IT W PRZEDSI BIORSTWIE LEONARD ROZENBERG MAGDALENA KIERUZEL Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne Streszczene W artykule przedstawono adaptacj metodyk u ywanej do oceny ryzyka

Bardziej szczegółowo