Liczby zespolone. 1. Ciekawostki historyczne

Transkrypt

1 Lcby esplne Cekwstk hstrycne Pcątk lcb esplnych sęgją juŝ XVI weku W csch dsejsych ne mŝn precenć ch ncen wkłdu w rwój nuk C cekwse jk perwsy cął je uŝywć Rfel Bmbell, który ne był mtemtykem Był n nŝynerem kerującym prcm pry susnu bgen terenów błtnych w Tskn C węcej, welu słwnych mtemtyków ne chcł pgdć sę ch stnenem precł ch stnenu Obecne lcby esplne są cdennym nrędem ne tylk mtemtyk cy fyk, le nŝyner, któremu ddją grmne kryśc w elektrnce, erdynmce td Pjwene sę lcb esplnych wąŝe sę ścśle prblemem rwąn równn kwdrtweg wyróŝnku (delce) ujemnym W scególnśc prblem sprwd sę d blcen perwstk kwdrtweg lcby ujemnej JeŜel grncymy sę d lcb recywstych, t jk wdm blcne perwstk lcby ujemnej jest newyknlne Ne kłpcąc sę tym bytn Bmbell łŝył jeg stnene nywł g lcbą urjną (wymgnwną), ppredn nne lcby lcbm recywstym Zwlenncy stnen tych lcb wyknywl n nch dłn tk, jk n lcbch recywstych ddjąc, dejmując, mnŝąc deląc Oncl perwstek lcby - lterą pryjmując, Ŝe - Swbdne ddjąc mnŝąc lcby recywste urjne twryl nwe lcby pstc +b, które dś nywmy lcbm esplnym Pcątek XIX weku drł wselką mstykę tych lcb, gdyŝ prynósł ch ścsłe kreślene Perwse nch Guss - wykł, Ŝe lcby esplne są t włścwe punkty płscyny eukldeswej, w której wprwdn pewne dłn wne ddwnem mnŝenem punktów cyl lcb esplnych Druge ujęce - Hmltn - wprwd lcby esplne jk pry lcb recywstych, e specyfcnym (specjlnym) spsbem ch ddwn mnŝen Defncj lcby esplnej, nterpretcj gemetrycn Lcbą esplną nywmy prę uprądkwną lcb recywstych (,b) Cęst tką prę psuje sę w pstc sumy + b, gde -

2 Tą pstć lcby esplnej nywmy pstcą knncną Lcbę nywmy cęścą recywstą, ś lcbę b cęścą urjną lcby esplnej Cęść recywst ncmy Re, cęść urjną symblem Im, mmy węc: Re Im b Lcb espln jest równ er wtedy tylk wtedy, gdy Re 0 Im 0 Dwe lcby esplne są równe wtedy tylk wtedy, gdy są równe dpwedn ch cęśc recywste urjne Lcbę esplną pstc -b nywmy lcbą spręŝną d lcby +b ncmy ją reguły symblem Lcbe tej dpwd n płscyźne punkt, który jest płŝny symetrycne d punktu (,b) wględem s Ox Lcby esplne pstc + 0 psujemy jk utŝsmmy lcbm recywstym Lcbm recywstym + 0 dpwdją punkty n płscyźne rędnej równej eru, tn punkty s dcętych (s Ox ) Dlteg ś dcętych nywmy są recywstą JeŜel cęść recywst lcby esplnej jest równ er, t lcb m pstć b nywmy ją lcbą urjną Lcbm urjnym b 0 +b dpwdją punkty dcętej równej eru, tn punkty s rędnych (s Oy) Dlteg ś rędnych nywmy są urjną Płscynę, której punktm pryprądkwn w pwyŝsy spsób lcby esplne, nywmy płscyną Guss Lcbe esplnej + b dpwd punkt płscyny współrędnych (,b) y (0,b) M + b O (,0) x

3 TkŜe wektre OM r łącącym pcątek ukłdu współrędnych punktem M(, b) dpwdjącym lcbe esplnej + b mówmy, Ŝe predstw gemetrycne lcbę esplną Pstć trygnmetrycn lcby esplnej Zmst kreślć lcbę esplną + b róŝną d er ppre pdne jej cęśc recywstej urjnej mŝemy ją kreślć ncej - współrędnym begunwym - pdjąc dległść r punktu M(, b) d pcątku ukłdu współrędnych r kąt φ jk twry wektr OM r ddtnm kerunkem s Ox y M(, b) r b 0 φ x Wówcs chdą wąk stąd r dl r 0 r csϕ b r snϕ r + csϕ snϕ + b b b + b Lcbę r, któr jest długścą wektr esplnej +b, c psujemy r + b + OM r jest mdułem lcby Wdć stąd, Ŝe lcb espln jest równ eru wtedy tylk wtedy, gdy mduł jej jest równy eru Kąt φ nywmy rgumentem lcby esplnej, c psujemy b

4 φ rg Dl lcby esplnej mdule równym er, rgument ne jest kreślny Argument kreślmy dkłdnścą d welkrtnśc skłdnk π, gdyŝ brót kąt π stnw brót kąt pełny Wtrść rgumentu φ spełnjącą wrunek 0 ϕ < π nywmy wrtścą główną rgumentu, lub p prstu rgumentem głównym N pdstwe wąków kreśljących mduł rgument lcby esplnej (wymennych wyŝej) lcbę esplną mŝn wyrć ppre jej mduł rgument w pstc + b (csϕ + snϕ) Pstć tę nywmy pstcą (predstwenem) trygnmetrycną lcby esplnej Prykłd Predstwmy w pstc trygnmetrycnej lcbę -+ W tym celu blcmy mduł rgument dnej lcby + ( ) + 8, cs ϕ sn ϕ 8 8 ϕ π 4 Ztem lcb -+ psn w pstc trygnmetrycnej, t 8 cs π + sn π 4 4 Pstć trygnmetrycn ułtw w scególnśc mnŝene delene lcb esplnych JeŜel lcby esplne dne są w pstc trygnmetrycnej (cs ϕ + sn ϕ) (cs ϕ + sn ) ϕ

5 t ϕ (cs( ϕ + ϕ) + sn( ϕ + )) (cs( ϕ ϕ) + sn( ϕ ϕ)) Wdć węc, Ŝe by pmnŝyć (pdelć) dwe lcby esplne wystrcy pmnŝyć (pdelć) ch mduły ddć ch rgumenty (djąć d rgumentu lcnk rgument mnwnk) Zdn Predstw w pstc trygnmetrycnej nstępujące lcby esplne 7, 4, -, 4 +, 5 4 Pstć wykłdnc lcby esplnej Opróc wymennych wceśnej pstc knncnej r trygnmetrycnej stneją tkŝe nne predstwen lcb esplnych W scególnśc lcby esplne mŝn psć w tw pstc wykłdncej ϕ e, pry cym symble, ϕ ncją dpwedn mduł rgument główny dnej lcby esplnej Dl lcb esplnych psnych w tej pstc łtw mŝn węc pdć mduł rgument Pstć t w brd dbry spsób bruje mnŝene delene lcb esplnych Od ru wdć, Ŝe w wynku mnŝen trymmy lcbę, której mduł będe równy lcynw mdułów tych lcb, rgument równy sume rgumentów 5 Dłn n lcbch esplnych

6 N lcbch esplnych mŝemy wyknywć pdbne jk n lcbch recywstych pdstwwe dłn Pryjmjmy ncen: + b, c + d Lcby esplne ddjemy, dejmujemy mnŝymy tk, jk wyrŝen lgebrcne pmętjąc, Ŝe - Tk węc: + (+c) + (b+d), ) Ddwne lcb esplnych - (-c) + (b-d), (c-bd) + (d+bc) Lcby esplne mŝn ddwć, jeŝel są predstwne w pstc lgebrcnej + + jb + + jb ( + ) + j(b + b) NleŜy ddć d sebe cęśc recywste r cęśc urjne Prykłd 5 + j8 + j j8 + ( + j6) 7 + j4 b) Odejmwne lcb esplnych Odejmwne lcb esplnych mŝn wyknć jedyne n lcbch predstwnych w pstc lgebrcnej + jb ( + jb) ( ) + j(b b) NleŜy djąć cęśc recywste lcb esplnych r ch cęśc urjne Prykłd 5 j4 0 + j 5 j4 (0 + j) 5 j4 0 j 5 j6 c) MnŜene lcb esplnych

7 MnŜene lcb esplnych jest mŝlwe równ n lcbch w pstc lgebrcnej jk n lcbch esplnych predstwnych w pstc wykłdncej -- pstć lgebrcn + ( + jb) ( + jb) + jb + jb j bb Wedąc, Ŝe j - (prypmnm, Ŝe j ) trymujemy: Prykłd + j 4 j8 ( bb ) + j( b + b ) ( + j) (4 j8) 8 j6 + j + 4 j4 -- pstć wykłdnc r jϕ j j( ) ϕ e ϕ +ϕ e re r r Prykłd 0e 5e j60 j45 j60 j45 j05 0e 5e 50e W wynku pmnŝen dwóch lcb esplnych spręŝnych trymujemy lcbę recywstą ( + jb)( jb) jb + jb + b + b d) Delene lcb esplnych Delene lcb esplnych pdbne jk ch mnŝene mŝe być wyknne n lcbch predstwnych w pstc lgebrcnej jk wykłdncej -- pstć lgebrcn + jb + jb Aby pbyć sę lcby esplnej mnwnk musmy pmnŝyć lcnk mnwnk pre lcbę spręŝną mnwnkem + jb + jb ( ( + jb)( + jb )( jb) jb ) jb + jb + b + b b + b b + b b + j b + b

8 Prykłd 5 + j0 (5 + j0)( + j4) 5 + j0 + j j50,4 + j j4 ( j4)( + j4) pstć wykłdnc Prykłd r e jϕ j( ϕ ϕ ) e jϕ re r j60 00e 00 j(60 0 ) e 4e 5e j0 5 r j50 e) Perwstkwne lcb esplnych n + jb NleŜy lcbę esplną pd perwstkem menć w pstć wykłdncą n re jϕ Ter lcymy perwstek mdułu lcby esplnej jej rgument delmy pre stpeń perwstk Prykłd n re ϕ j n 5, j j5, 0 + j40 50e 50e 7,07e 6,57 j f) Lgrytmwne lcb esplnych ln( + jb) Lgrytm lcby esplnej mŝemy wylcyć, jeśl lcb espln będe predstwn w pstc wykłdncej ln( + jb) ln(re MŜemy ter lgrytm lcynu stąpć sumą lgrytmów cyl Prykłd 50 + j80 ln(re jϕ ln r + jϕ jϕ ) ) ln r + ln e jϕ

9 ln ln(50 + j80) ln(94,4e j58 ) ln 94,4 + ln e j58 4,54 + j58 Perwstkwne lgrytmwne lcb esplnych t dłn, które są sptykne pry blcnu cwórnków fltrów elektrycnych Mdułem lcby + b nywmy lcbę + b Delene lcb esplnych jest trchę trudnejse Łtw mŝn wykć, Ŝe Oblcjąc lr (kłdjąc cywśce, Ŝe 0 ) mnŝymy lcnk mnwnk teg ułmk pre spręŝene mnwnk (lcby ) Otrymujemy wtedy nstępujący wór Dłn rytmetycne n lcbch esplnych są rserenem dłń n lcbch recywstych, tn w prypdku lcb recywstych jest bjętne cy np mnŝymy je jk lcby recywste cy esplne cęścą urjną równą er Z pdnych defncj dłń n lcbch esplnych wynk, Ŝe dłn ddwn mnŝen lcb esplnych są łącne premenne r mnŝene jest rdelne wględem ddwn Zchwne są równeŝ nne włsnśc dejmwn delen PwyŜse stwerden pwdują, Ŝe dl lcb esplnych prwdwe są wry skrócneg mnŝen, wór dwumnwy Newtn, twerdene Beut td Ne kreślmy ntmst nerównśc lcb esplnych nnych nŝ recywste Prykłd Znjdź cęść recywstą urjną lcby (5+)+(--) Aby nleźć cęść recywstą urjną nleŝy ddć pdne lcby esplne Otrymujemy wówcs

10 (5+) + (--) (5-) + (-) + Ztem cęść recywst równ jest, urjn Prykłd Wyknj dłn (-+7) (4+0) Dłn nleŝy cywśce wyknć w dpwednej klejnśc (njperw mnŝene, ptem ddwne dejmwne) pmętjąc, Ŝe - (-+7) (4+0) (-) Prykłd Jk lcb espln pwstne w wynku pdelen lcby pre lcbę + W wynku delen trymujemy cywśce ułmek + Wystrcy ter pmnŝyć lcnk mnwnk teg ułmk pre lcbę spręŝną d lcby + ( mnwnk), cyl pre -, nstępne uprścć trymne wyrŝene ( ) + ( + )( ) + + Pry delenu lcby pre lcbę + trymujemy tem lcbę + Zdn Wyknj dłn (-)(+)-5, (5-(6+4))-(+)(-), (+), 4 (-), 5,

11 5 Pdnsene d ptęg wycągne perwstk lcby esplnej Pstć trygnmetrycn lcby esplnej jest scególne prydtn pry pdnsenu d ptęg blcnu perwstk tej lcby Gdy weźmemy wór n mnŝene lcb esplnych w tej pstc dl rserymy n dwlną lść lcb esplnych, t trymmy wór n n-tą (n lcb nturln) ptęgę lcby esplnej wny wrem Mvre n n (cs( nϕ) + sn( nϕ)) Dęk temu wrw w brd prsty spsób mŝemy pdnsć lcby esplne d ptęg t dwlne duŝej Prykłd Oblcmy (+) Łtw sę preknć Ŝe lcb + m nstępujące predstwene trygnmetrycne π π + cs + sn 4 4 Ztem stsując wór de Mvre' n ptęgwne lcb esplnych trymujemy (+) 64 (- + 0 ) -64 Perwstkem n-teg stpn lcby esplnej nywmy kŝdą lcbę esplną w, któr pdnesn d n-tej ptęg dje lcbę, t ncy w n Spróbujmy nleźć spsób n blcne perwstk n-teg stpn lcby esplnej ZłóŜmy, Ŝe lcb espln psn jest w pstc trygnmetrycnej r (csφ + snφ ) Chcemy nleźć tką lcbę esplną w w pstc trygnmetrycnej by w R (csβ + snβ), w n

12 Wylcjąc w n e wru de Mvre', nstępne prównując mduły rgumenty p bu strnch równśc w n dstjemy R n r r nβ φ+kπ Ddne skłdnk kπ wynk nejednncnśc rgumentu (mŝe sę n róŝnć welkrtnść π) Ztem n ϕ + kπ R r, β n Wynk stąd, Ŝe perwstek n-teg stpn lcby esplnej stneje, le ne jest wyncny jednncne Wsystke perwstk dstnemy brąc k 0,,, Wśród rgumentów ϕ + kπ n stneje dkłdne n tkch, których róŝnce ne są welkrtnścm lcby π Są t np lcby k 0,,, n- Ztem stneje wse dkłdne n róŝnych perwstków stpn n lcby esplnej róŝnej d er Dne są ne wrm ϕ + kπ ϕ + kπ w n k cs + sn, gde k 0,,, n n n Prykłd RwąŜmy równne Rwąne równn sprwd sę d nleen wsystkch perwstków seścennych (stneją cywśce dkłdne try róŝne) PnewŜ mduł lcby jest równy, rgument 0, t krystjąc e wru n perwstk n-teg stpn lcby esplnej mmy w cs 0 + sn 0, π π w cs + sn w 0 4π cs 4π + sn +,

13 JeŜel sę pryglądnemy wrtścm perwstków lcby esplnej, t uwŝymy, Ŝe ch mduły są tke sme rgumenty róŝną sę welkrtnść n π Z tej bserwcj wnskujemy, Ŝe perwstk leŝą n jednym kręgu śrdku w punkce 0 prmenu równym perwstkw n-teg stpn mdułu r, Ŝe perwstk delą kręg n n równych cęśc Jest t brd uŝytecny wnsek pry ncnu perwstków n płscyźne Guss, pnewŝ wystrcy nryswć kręg prmenu n, plcyć ncyć jeden perwstek dnej lcby r pdelć krąg n n równych cęśc tk, by plcny perwstek był jednym punktów pdłu W ten spsób trymujemy wsystke perwstk lcby Zdn Oblc,,,, ) (, ) (