Liczby zespolone. 1. Ciekawostki historyczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liczby zespolone. 1. Ciekawostki historyczne"

Transkrypt

1 Lcby esplne Cekwstk hstrycne Pcątk lcb esplnych sęgją juŝ XVI weku W csch dsejsych ne mŝn precenć ch ncen wkłdu w rwój nuk C cekwse jk perwsy cął je uŝywć Rfel Bmbell, który ne był mtemtykem Był n nŝynerem kerującym prcm pry susnu bgen terenów błtnych w Tskn C węcej, welu słwnych mtemtyków ne chcł pgdć sę ch stnenem precł ch stnenu Obecne lcby esplne są cdennym nrędem ne tylk mtemtyk cy fyk, le nŝyner, któremu ddją grmne kryśc w elektrnce, erdynmce td Pjwene sę lcb esplnych wąŝe sę ścśle prblemem rwąn równn kwdrtweg wyróŝnku (delce) ujemnym W scególnśc prblem sprwd sę d blcen perwstk kwdrtweg lcby ujemnej JeŜel grncymy sę d lcb recywstych, t jk wdm blcne perwstk lcby ujemnej jest newyknlne Ne kłpcąc sę tym bytn Bmbell łŝył jeg stnene nywł g lcbą urjną (wymgnwną), ppredn nne lcby lcbm recywstym Zwlenncy stnen tych lcb wyknywl n nch dłn tk, jk n lcbch recywstych ddjąc, dejmując, mnŝąc deląc Oncl perwstek lcby - lterą pryjmując, Ŝe - Swbdne ddjąc mnŝąc lcby recywste urjne twryl nwe lcby pstc +b, które dś nywmy lcbm esplnym Pcątek XIX weku drł wselką mstykę tych lcb, gdyŝ prynósł ch ścsłe kreślene Perwse nch Guss - wykł, Ŝe lcby esplne są t włścwe punkty płscyny eukldeswej, w której wprwdn pewne dłn wne ddwnem mnŝenem punktów cyl lcb esplnych Druge ujęce - Hmltn - wprwd lcby esplne jk pry lcb recywstych, e specyfcnym (specjlnym) spsbem ch ddwn mnŝen Defncj lcby esplnej, nterpretcj gemetrycn Lcbą esplną nywmy prę uprądkwną lcb recywstych (,b) Cęst tką prę psuje sę w pstc sumy + b, gde -

2 Tą pstć lcby esplnej nywmy pstcą knncną Lcbę nywmy cęścą recywstą, ś lcbę b cęścą urjną lcby esplnej Cęść recywst ncmy Re, cęść urjną symblem Im, mmy węc: Re Im b Lcb espln jest równ er wtedy tylk wtedy, gdy Re 0 Im 0 Dwe lcby esplne są równe wtedy tylk wtedy, gdy są równe dpwedn ch cęśc recywste urjne Lcbę esplną pstc -b nywmy lcbą spręŝną d lcby +b ncmy ją reguły symblem Lcbe tej dpwd n płscyźne punkt, który jest płŝny symetrycne d punktu (,b) wględem s Ox Lcby esplne pstc + 0 psujemy jk utŝsmmy lcbm recywstym Lcbm recywstym + 0 dpwdją punkty n płscyźne rędnej równej eru, tn punkty s dcętych (s Ox ) Dlteg ś dcętych nywmy są recywstą JeŜel cęść recywst lcby esplnej jest równ er, t lcb m pstć b nywmy ją lcbą urjną Lcbm urjnym b 0 +b dpwdją punkty dcętej równej eru, tn punkty s rędnych (s Oy) Dlteg ś rędnych nywmy są urjną Płscynę, której punktm pryprądkwn w pwyŝsy spsób lcby esplne, nywmy płscyną Guss Lcbe esplnej + b dpwd punkt płscyny współrędnych (,b) y (0,b) M + b O (,0) x

3 TkŜe wektre OM r łącącym pcątek ukłdu współrędnych punktem M(, b) dpwdjącym lcbe esplnej + b mówmy, Ŝe predstw gemetrycne lcbę esplną Pstć trygnmetrycn lcby esplnej Zmst kreślć lcbę esplną + b róŝną d er ppre pdne jej cęśc recywstej urjnej mŝemy ją kreślć ncej - współrędnym begunwym - pdjąc dległść r punktu M(, b) d pcątku ukłdu współrędnych r kąt φ jk twry wektr OM r ddtnm kerunkem s Ox y M(, b) r b 0 φ x Wówcs chdą wąk stąd r dl r 0 r csϕ b r snϕ r + csϕ snϕ + b b b + b Lcbę r, któr jest długścą wektr esplnej +b, c psujemy r + b + OM r jest mdułem lcby Wdć stąd, Ŝe lcb espln jest równ eru wtedy tylk wtedy, gdy mduł jej jest równy eru Kąt φ nywmy rgumentem lcby esplnej, c psujemy b

4 φ rg Dl lcby esplnej mdule równym er, rgument ne jest kreślny Argument kreślmy dkłdnścą d welkrtnśc skłdnk π, gdyŝ brót kąt π stnw brót kąt pełny Wtrść rgumentu φ spełnjącą wrunek 0 ϕ < π nywmy wrtścą główną rgumentu, lub p prstu rgumentem głównym N pdstwe wąków kreśljących mduł rgument lcby esplnej (wymennych wyŝej) lcbę esplną mŝn wyrć ppre jej mduł rgument w pstc + b (csϕ + snϕ) Pstć tę nywmy pstcą (predstwenem) trygnmetrycną lcby esplnej Prykłd Predstwmy w pstc trygnmetrycnej lcbę -+ W tym celu blcmy mduł rgument dnej lcby + ( ) + 8, cs ϕ sn ϕ 8 8 ϕ π 4 Ztem lcb -+ psn w pstc trygnmetrycnej, t 8 cs π + sn π 4 4 Pstć trygnmetrycn ułtw w scególnśc mnŝene delene lcb esplnych JeŜel lcby esplne dne są w pstc trygnmetrycnej (cs ϕ + sn ϕ) (cs ϕ + sn ) ϕ

5 t ϕ (cs( ϕ + ϕ) + sn( ϕ + )) (cs( ϕ ϕ) + sn( ϕ ϕ)) Wdć węc, Ŝe by pmnŝyć (pdelć) dwe lcby esplne wystrcy pmnŝyć (pdelć) ch mduły ddć ch rgumenty (djąć d rgumentu lcnk rgument mnwnk) Zdn Predstw w pstc trygnmetrycnej nstępujące lcby esplne 7, 4, -, 4 +, 5 4 Pstć wykłdnc lcby esplnej Opróc wymennych wceśnej pstc knncnej r trygnmetrycnej stneją tkŝe nne predstwen lcb esplnych W scególnśc lcby esplne mŝn psć w tw pstc wykłdncej ϕ e, pry cym symble, ϕ ncją dpwedn mduł rgument główny dnej lcby esplnej Dl lcb esplnych psnych w tej pstc łtw mŝn węc pdć mduł rgument Pstć t w brd dbry spsób bruje mnŝene delene lcb esplnych Od ru wdć, Ŝe w wynku mnŝen trymmy lcbę, której mduł będe równy lcynw mdułów tych lcb, rgument równy sume rgumentów 5 Dłn n lcbch esplnych

6 N lcbch esplnych mŝemy wyknywć pdbne jk n lcbch recywstych pdstwwe dłn Pryjmjmy ncen: + b, c + d Lcby esplne ddjemy, dejmujemy mnŝymy tk, jk wyrŝen lgebrcne pmętjąc, Ŝe - Tk węc: + (+c) + (b+d), ) Ddwne lcb esplnych - (-c) + (b-d), (c-bd) + (d+bc) Lcby esplne mŝn ddwć, jeŝel są predstwne w pstc lgebrcnej + + jb + + jb ( + ) + j(b + b) NleŜy ddć d sebe cęśc recywste r cęśc urjne Prykłd 5 + j8 + j j8 + ( + j6) 7 + j4 b) Odejmwne lcb esplnych Odejmwne lcb esplnych mŝn wyknć jedyne n lcbch predstwnych w pstc lgebrcnej + jb ( + jb) ( ) + j(b b) NleŜy djąć cęśc recywste lcb esplnych r ch cęśc urjne Prykłd 5 j4 0 + j 5 j4 (0 + j) 5 j4 0 j 5 j6 c) MnŜene lcb esplnych

7 MnŜene lcb esplnych jest mŝlwe równ n lcbch w pstc lgebrcnej jk n lcbch esplnych predstwnych w pstc wykłdncej -- pstć lgebrcn + ( + jb) ( + jb) + jb + jb j bb Wedąc, Ŝe j - (prypmnm, Ŝe j ) trymujemy: Prykłd + j 4 j8 ( bb ) + j( b + b ) ( + j) (4 j8) 8 j6 + j + 4 j4 -- pstć wykłdnc r jϕ j j( ) ϕ e ϕ +ϕ e re r r Prykłd 0e 5e j60 j45 j60 j45 j05 0e 5e 50e W wynku pmnŝen dwóch lcb esplnych spręŝnych trymujemy lcbę recywstą ( + jb)( jb) jb + jb + b + b d) Delene lcb esplnych Delene lcb esplnych pdbne jk ch mnŝene mŝe być wyknne n lcbch predstwnych w pstc lgebrcnej jk wykłdncej -- pstć lgebrcn + jb + jb Aby pbyć sę lcby esplnej mnwnk musmy pmnŝyć lcnk mnwnk pre lcbę spręŝną mnwnkem + jb + jb ( ( + jb)( + jb )( jb) jb ) jb + jb + b + b b + b b + b b + j b + b

8 Prykłd 5 + j0 (5 + j0)( + j4) 5 + j0 + j j50,4 + j j4 ( j4)( + j4) pstć wykłdnc Prykłd r e jϕ j( ϕ ϕ ) e jϕ re r j60 00e 00 j(60 0 ) e 4e 5e j0 5 r j50 e) Perwstkwne lcb esplnych n + jb NleŜy lcbę esplną pd perwstkem menć w pstć wykłdncą n re jϕ Ter lcymy perwstek mdułu lcby esplnej jej rgument delmy pre stpeń perwstk Prykłd n re ϕ j n 5, j j5, 0 + j40 50e 50e 7,07e 6,57 j f) Lgrytmwne lcb esplnych ln( + jb) Lgrytm lcby esplnej mŝemy wylcyć, jeśl lcb espln będe predstwn w pstc wykłdncej ln( + jb) ln(re MŜemy ter lgrytm lcynu stąpć sumą lgrytmów cyl Prykłd 50 + j80 ln(re jϕ ln r + jϕ jϕ ) ) ln r + ln e jϕ

9 ln ln(50 + j80) ln(94,4e j58 ) ln 94,4 + ln e j58 4,54 + j58 Perwstkwne lgrytmwne lcb esplnych t dłn, które są sptykne pry blcnu cwórnków fltrów elektrycnych Mdułem lcby + b nywmy lcbę + b Delene lcb esplnych jest trchę trudnejse Łtw mŝn wykć, Ŝe Oblcjąc lr (kłdjąc cywśce, Ŝe 0 ) mnŝymy lcnk mnwnk teg ułmk pre spręŝene mnwnk (lcby ) Otrymujemy wtedy nstępujący wór Dłn rytmetycne n lcbch esplnych są rserenem dłń n lcbch recywstych, tn w prypdku lcb recywstych jest bjętne cy np mnŝymy je jk lcby recywste cy esplne cęścą urjną równą er Z pdnych defncj dłń n lcbch esplnych wynk, Ŝe dłn ddwn mnŝen lcb esplnych są łącne premenne r mnŝene jest rdelne wględem ddwn Zchwne są równeŝ nne włsnśc dejmwn delen PwyŜse stwerden pwdują, Ŝe dl lcb esplnych prwdwe są wry skrócneg mnŝen, wór dwumnwy Newtn, twerdene Beut td Ne kreślmy ntmst nerównśc lcb esplnych nnych nŝ recywste Prykłd Znjdź cęść recywstą urjną lcby (5+)+(--) Aby nleźć cęść recywstą urjną nleŝy ddć pdne lcby esplne Otrymujemy wówcs

10 (5+) + (--) (5-) + (-) + Ztem cęść recywst równ jest, urjn Prykłd Wyknj dłn (-+7) (4+0) Dłn nleŝy cywśce wyknć w dpwednej klejnśc (njperw mnŝene, ptem ddwne dejmwne) pmętjąc, Ŝe - (-+7) (4+0) (-) Prykłd Jk lcb espln pwstne w wynku pdelen lcby pre lcbę + W wynku delen trymujemy cywśce ułmek + Wystrcy ter pmnŝyć lcnk mnwnk teg ułmk pre lcbę spręŝną d lcby + ( mnwnk), cyl pre -, nstępne uprścć trymne wyrŝene ( ) + ( + )( ) + + Pry delenu lcby pre lcbę + trymujemy tem lcbę + Zdn Wyknj dłn (-)(+)-5, (5-(6+4))-(+)(-), (+), 4 (-), 5,

11 5 Pdnsene d ptęg wycągne perwstk lcby esplnej Pstć trygnmetrycn lcby esplnej jest scególne prydtn pry pdnsenu d ptęg blcnu perwstk tej lcby Gdy weźmemy wór n mnŝene lcb esplnych w tej pstc dl rserymy n dwlną lść lcb esplnych, t trymmy wór n n-tą (n lcb nturln) ptęgę lcby esplnej wny wrem Mvre n n (cs( nϕ) + sn( nϕ)) Dęk temu wrw w brd prsty spsób mŝemy pdnsć lcby esplne d ptęg t dwlne duŝej Prykłd Oblcmy (+) Łtw sę preknć Ŝe lcb + m nstępujące predstwene trygnmetrycne π π + cs + sn 4 4 Ztem stsując wór de Mvre' n ptęgwne lcb esplnych trymujemy (+) 64 (- + 0 ) -64 Perwstkem n-teg stpn lcby esplnej nywmy kŝdą lcbę esplną w, któr pdnesn d n-tej ptęg dje lcbę, t ncy w n Spróbujmy nleźć spsób n blcne perwstk n-teg stpn lcby esplnej ZłóŜmy, Ŝe lcb espln psn jest w pstc trygnmetrycnej r (csφ + snφ ) Chcemy nleźć tką lcbę esplną w w pstc trygnmetrycnej by w R (csβ + snβ), w n

12 Wylcjąc w n e wru de Mvre', nstępne prównując mduły rgumenty p bu strnch równśc w n dstjemy R n r r nβ φ+kπ Ddne skłdnk kπ wynk nejednncnśc rgumentu (mŝe sę n róŝnć welkrtnść π) Ztem n ϕ + kπ R r, β n Wynk stąd, Ŝe perwstek n-teg stpn lcby esplnej stneje, le ne jest wyncny jednncne Wsystke perwstk dstnemy brąc k 0,,, Wśród rgumentów ϕ + kπ n stneje dkłdne n tkch, których róŝnce ne są welkrtnścm lcby π Są t np lcby k 0,,, n- Ztem stneje wse dkłdne n róŝnych perwstków stpn n lcby esplnej róŝnej d er Dne są ne wrm ϕ + kπ ϕ + kπ w n k cs + sn, gde k 0,,, n n n Prykłd RwąŜmy równne Rwąne równn sprwd sę d nleen wsystkch perwstków seścennych (stneją cywśce dkłdne try róŝne) PnewŜ mduł lcby jest równy, rgument 0, t krystjąc e wru n perwstk n-teg stpn lcby esplnej mmy w cs 0 + sn 0, π π w cs + sn w 0 4π cs 4π + sn +,

13 JeŜel sę pryglądnemy wrtścm perwstków lcby esplnej, t uwŝymy, Ŝe ch mduły są tke sme rgumenty róŝną sę welkrtnść n π Z tej bserwcj wnskujemy, Ŝe perwstk leŝą n jednym kręgu śrdku w punkce 0 prmenu równym perwstkw n-teg stpn mdułu r, Ŝe perwstk delą kręg n n równych cęśc Jest t brd uŝytecny wnsek pry ncnu perwstków n płscyźne Guss, pnewŝ wystrcy nryswć kręg prmenu n, plcyć ncyć jeden perwstek dnej lcby r pdelć krąg n n równych cęśc tk, by plcny perwstek był jednym punktów pdłu W ten spsób trymujemy wsystke perwstk lcby Zdn Oblc,,,, ) (, ) (

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Podstawy Konstrukcji Maszyn Pdsty Knstrukcji Msyn Wykłd 9 Prekłdnie ębte cęść Krekcje Dr inŝ. Jcek Crnigski Obróbk kół ębtych Metd biedni Pdcięcie ębó Pdcięcie stpy ęb Wstępuje gdy jest duŝ kąt dległść ębó, cyli pry ncinniu młej

Bardziej szczegółowo

( ) RóŜne rodzaje grup. Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wyklad 3

( ) RóŜne rodzaje grup. Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wyklad 3 Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld RóŜne dze up up wetw W - zó wetów z ddwnem dzłnem upwym spełn wszyste złŝen ztem est upą. Nzyw sę ą upą wetwą. Gup t est nesńzn (e ząd est nesńzny) mŝe yć ął lu dysetn. Dysetn

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost

Bardziej szczegółowo

4. Podzielnica uniwersalna 4.1. Budowa podzielnicy

4. Podzielnica uniwersalna 4.1. Budowa podzielnicy 4. Podelnca unwersalna 4.. Budowa podelncy Podelnca jest pryrądem podałowym, który stanow specjalne wyposażene frearek unwersalnych. Podstawowym astosowanem podelncy jest dokonywane podału kątowego. Jest

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH

TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH 1 Olga Kopac, Adam Łodygows, Wojcech Pawłows, Mchał Płotowa, Krystof Tymber Konsultacje nauowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Ponań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWI 7 ACH TWIERDZENIE BETTIEGO (o wajemnośc prac)

Bardziej szczegółowo

WZÓR SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE/KOŃCOWE 1) ) 2) z wykonania zadania publicznego.... (tytuł zadania publicznego) w okresie od... do...

WZÓR SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE/KOŃCOWE 1) ) 2) z wykonania zadania publicznego.... (tytuł zadania publicznego) w okresie od... do... Złąn nr 3 WZÓR SPRAWOZDANIE (CZĘŚCIOWE/KOŃCOWE 1) ) 2) wnn dn publneg... (uł dn publneg) w rese d... d... reślneg w umwe nr... wrej w dnu pmęd... (nw Zleendw)... (nw Zleenbr/(-ów), sedb, nr Krjweg Rejesru

Bardziej szczegółowo

Programowanie wielokryterialne

Programowanie wielokryterialne Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)

Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3) ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

Geodezyjne metody wyznaczania przemieszczeń i odkształceń obudowy szybów w ZG Polkowice-Sieroszowice

Geodezyjne metody wyznaczania przemieszczeń i odkształceń obudowy szybów w ZG Polkowice-Sieroszowice WARSZTATY nt. Zagrżena naturalne w górnctwe Meczysław JÓŹWIK Akadema Górncz-Hutncza, Kraków Mat. Symp. Warsztaty str. 55-65 Gedezyjne metdy wyznaczana przemeszczeń dkształceń budwy szybów w ZG Plkwce-Serszwce

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

DOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH

DOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH Zgnew Kmńsk DOBÓ INIOWO-ŁMNEO OZDZIŁU SIŁ HMUJĄCYCH W SMOCHODCH DOSTWCZYCH Streszczene. W rtykule opsno sposoy dooru lnowo-łmnego rozdzłu sł mującyc w smocodc dostwczyc według wymgń egulmnu 3 ECE. Przedstwono

Bardziej szczegółowo

OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Magdalena Dynus Katedra Fnansów Bankowośc Wyżsa Skoła Bankowa w Torunu OKRES ZWROTU JAKO JEDNA Z METOD OCENY OPŁACALNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Wprowadene Okres wrotu należy do podstawowych metod

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu. Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()

Bardziej szczegółowo

TEORIA WAGNERA UTLENIANIA METALI

TEORIA WAGNERA UTLENIANIA METALI TEORIA WAGNERA UTLENIANIA METALI PROCES POWSTAWANIA ZGORZELIN W/G TAMANN A (90) Utlenz tl Utlenz Zgorzeln tl + SCHEMAT KLASYCZNEGO DOŚWIADCZENIA PFEILA (99) Powetrze Powetrze SO Zgorzeln SO Fe Fe TEORIA

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod grupowania sekwencji czasowych w rozpoznawaniu mowy na podstawie ukrytych modeli Markowa

Zastosowanie metod grupowania sekwencji czasowych w rozpoznawaniu mowy na podstawie ukrytych modeli Markowa BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 23, 2006 Zastosowane metod grupowana sekwencj casowych w roponawanu mowy na podstawe ukrytych model Markowa Tomas PAŁYS Zakład Automatyk, Instytut Telenformatyk

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M = M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O P T Y M A L I Z A C J A K O N S T R U K C J I F O R M Y W T R Y S K O W E J P O D K Ą T E M E F E K T Y W N O C I C H O D

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

I V. N a d z ó r... 6

I V. N a d z ó r... 6 C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P Z a ł ą c z n i k 1 d o U c h w a ł y n r 2 2. / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 0 8. 0 62. 0 1 5 r. P

Bardziej szczegółowo

l. Anyżᐧ剷 wᐧ剷 ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷e ᐧ剷ᐧ剷w ᐧ剷 g tel.ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 nwe tycyjnych eᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 lᐧ剷 ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷. net.ᐧ剷l ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷 ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷ᐧ剷

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE NIEMIECKO POLSKIEJ WSPÓŁPRACY SOCJALNEJ. TORO w poszukiwaniu skutecznych metod wsparcia instytucji ekonomii społecznej

STOWARZYSZENIE NIEMIECKO POLSKIEJ WSPÓŁPRACY SOCJALNEJ. TORO w poszukiwaniu skutecznych metod wsparcia instytucji ekonomii społecznej STOWARZYSZENIE NIEMIECKO POLSKIEJ WSPÓŁPRACY SOCJALNEJ TORO w psukiwniu skutenyh metd wspri instytuji eknmii spłenej WYNIKI EWALUACJI INSTRUMENTU FINANSOWEGO TORO w psukiwniu skutenyh metd wspri instytuji

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

Ś ź ć ź ć Ź ć ź ć Ą ć ć ć Ą ć ź ć ź ć Ś ć ć ć ć Ą Ą ć ć ć ć ć ć Ś ć Ź ć ć Ą ć ó ń ć ć ó ć ó ń ć ć ć ó ó ń ć ó Śń ó ó ć ó ó ó ó ć ó ń ó ó ó ó Ą ć ź ó ó ó ń ó ó ń ó ó ó ź ó ó ó ó Ść ć Ą ź ć ć ć ć Ś Ą ć ć

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

Ś Ę Ś Ą Ł Ę Ę Ę Ą ć Ę Ę ź ź Ń Ń Ę Ń Ń ź ź Ą ć Ą ć Ę Ą Ń Ń Ą Ę Ę ć Ą Ę ź Ą ć ć Ęć ć Ń ć ć ć ć ć Ś ć Ą ć ć ć Ń Ę Ś Ę Ę Ę ć Ę ć ć Ł ć Ń Ń Ęć Ę ź ć Ą Ę ź ć Ę Ę ź Ę Ą Ę Ą ć ź ź Ę ź Ę Ń ć ź ć ź Ę Ń Ę Ł Ę Ę ć

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Ż ż Ł ż ż ż Ż Ś ż ż ż Ł Ż Ż ć ż Ż Ż Ż Ń Ż Ź ż Ź Ź ż Ż ż ż Ż Ł Ż Ł Ż ż Ż ż Ż Ż Ń Ą Ż Ń Ż Ń ć ż Ż ź Ś ć Ł Ł Ź Ż Ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ł ź ć ż Ż Ż ż ż Ó ż Ł Ż ć Ż Ż Ę Ż Ż Ż ż Ż ż ż Ś ż Ż ż ż ź Ż Ń ć Ż ż Ż Ż ż ż ż

Bardziej szczegółowo

Ś Ł Ą Ś Ś ź Ś ń ż ż Ó ż ż Ś Ł ż ń ń ń ż ń Ś ń ć ŚĘ Ó Ł Ę Ł Ś Ę Ę ń ń ń ń ń Ź ń ń ń ń ń ż ń ń ń ń ń Ę ż ż ć Ść ń ń ż Ń ż ż ń ń Ś Ą ń Ś ń ń ż Ó ż Ź ń ż ń Ś Ń Ó ż Ł ż Ą ź ź Ś Ł ć Ś ć ż ź ż ć ć Ę Ó Ś Ó ż ż

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ś ź ń ź ź ź Ś Ł Ę Ę Ś ż Ś ń Ą Ś Ą Ł ż ż ń ż ć ż ż ż ź ż ć ź Ę Ę ń ć ż Ł ń ż ż ż Ś ż Ś ż ż ż ż ż ż ż ń ń ż ż ż ć ż ń ż ń ź ż ć ż ż ć ń ż Ę Ę ć ń Ę ż ż ń ń ź Ę ź ż ń ż ń ź ż ż ż ń ż ż ż ż ż ż ż ż ń ń

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ś Ę ź ń ź ź Ś Ę Ę Ś Ą Ś Ę Ż Ł ń Ę Ś ć ć ń ć ń ń ń ź ń Ę ź ń ń ń ź ź Ś ź ź ć ń ń ń ń Ś ć Ś ń ń Ś ź ń Ę ń Ś ź ź ź ź ź Ę Ę Ę Ś ń Ś ć ń ń ń ń ń ń Ę ń ń ń ń ć ń ń ń ń ć ń Ś ć Ł ń ń ń ć ń ć ź ń ź ć ń ń ć

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE FALOWE. 1. Wstęp. (W. Ostapski)

PRZEKŁADNIE FALOWE. 1. Wstęp. (W. Ostapski) PRZEKŁADNIE FALOWE (W. Ostapsk). Wstęp Perwsy patent na prekładnę harmoncną waną w Polsce falową otrymał w 959 roku w USA C.W. Musser, [04, 05]. Rok późnej była ona preentowana na wystawe w Nowym Yorku

Bardziej szczegółowo

Macierze hamiltonianu kp

Macierze hamiltonianu kp Macere halonanu p acer H a, dla wranego, war 44 lu 88 jeśl were jao u n r uncje s>; X>, Y>, Z>, cl uncje ransorujące sę według repreenacj grp weora alowego Γ j. worące aę aej repreenacj - o ora najardej

Bardziej szczegółowo

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH MOMENT BEZWŁNOŚC FGU PŁSKCH Przekrje pprzeczne prętów włów i elek figur płskie crkterzujące się nstępującmi prmetrmi: plem pwierzcni przekrju [mm cm m ] płżeniem śrdk ciężkści przekrju mmentmi sttcznmi

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Poprawiono wyświetlanie się informacji o nowych wiadomościach w przypadku, gdy wiadomość została przeczytana.

Poprawiono wyświetlanie się informacji o nowych wiadomościach w przypadku, gdy wiadomość została przeczytana. Zmiany w prgramie Uczniwie Optivum NET+ w wersji 14.01.0000 (2014-03-18) Strna startwa Kafelek Sprawdziany ddan mżliwść wyświetlania pisu zakresu materiału z jakieg ma dbyć się sprawdzian lub kartkówka.

Bardziej szczegółowo

Ą ż Ę Ą Ł ż Ą Ś Ą ć Ż ż ń Ę ż Ł Ę ż ć ż Ś ć ń ż ń ż ż ń Ł ń ż ć Ś ż Ł ń ż Ęć ń ż ń ż ż ż ć ń ż ń ż Ę ż ń Ś ż ć ż ż ż ć ż ć ż Ę ż ń Ś ć ń Ż Ż Ę Ś Ę Ę ż ż żć ż ż ć ż ć ż ż ćś Ę ć Ż ż ć ż ż ż ż ż ć ż ż żż

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana ISSN 733-867 ZESZ NAUKOWE NR (83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA E X L O - S H I 6 Andrzej Stteczny, Andrzej Lsj, Chfn Mohmmd Fzj dnych nwgcyjnych w przestrzen

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Algorytm I. Obliczanie wymaganej powierzchni absorpcji

Algorytm I. Obliczanie wymaganej powierzchni absorpcji Algorytm I. Oblcne wymgnej powerchn bsorpcj Wsp. prewodnośc olcj λ Zewnętrny wsp. wnn cepł α Prerój ew. olcj d Prerój wew. olcj d Grubość olcj d r Wsp. prenn cepł r α d π d + * ln λ d + α d Wsp. prenn

Bardziej szczegółowo

PISMO ZARZ DU REGIONU ZAG ÊBIE MIEDZIOWE NSZZ SOLIDARNOŒÆ

PISMO ZARZ DU REGIONU ZAG ÊBIE MIEDZIOWE NSZZ SOLIDARNOŒÆ NR 07/325 lpec 2012 ISSN 1509-7994 20 PISMO ZARZ DU REGIONU ZAG ÊBIE MIEDZIOWE NSZZ SOLIDARNOŒÆ lt Ośrdk Fundcj Sldrnśc Sklen plnwne n wreseń 2012 r. Cłnkwe kłdwych kmsj rewyjnych rgncj w: Huce Med Głgów

Bardziej szczegółowo

Rynek szkoleniowy w województwie kujawskopomorskim. badań 2011 2013

Rynek szkoleniowy w województwie kujawskopomorskim. badań 2011 2013 Rynek skolenowy w wojewódtwe kujawskopomorskm. Podsumowane badań 2013 Semnarum podsumowujące projekt Rynek Pracy pod Lupą Toruń, 17.XII.2013 Główny cel analy Predstawene scegółowej oferty skolenowej powatowych

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Metoda prądów obwodowych

Metoda prądów obwodowych Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

O F E R T A H o t e l Z A M E K R Y N * * * * T a m, g d z i e b łł k i t j e z i o r p r z e p l a t a s ił z s o c z y s t z i e l e n i t r a w, a r a d o s n e t r e l e p t a z m i a r o w y m s z

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

MODELE TEORII GIER. Modelowanie matematyczne. dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 5: Modele teorii gier

MODELE TEORII GIER. Modelowanie matematyczne. dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 5: Modele teorii gier MODELE TEORII GIER Podejmowne decyzj nwestycyjnych często jest dokonywne w sytucjch, w których ne wdomo, jk będze stn otoczen lub też, jką decyzję podejmą nn decydenc, mjący wpływ n wynk decyzj przez ns

Bardziej szczegółowo

Nowe funkcje w module Repozytorium Dokumentów

Nowe funkcje w module Repozytorium Dokumentów Frte Repzytrium 1 / 6 Nwe funkcje w mdule Repzytrium Dkumentów Frte Repzytrium zmiany w wersji 2012.a 2 Zmiany w trakcie wysyłania dkumentu 2 Wysyłanie dkumentów własnych. Ustawienie współpracy z w serwisem

Bardziej szczegółowo

IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELI PROCESU SKRAWANIA DLA WIELOOSTRZOWYCH NARZĘDZI OBROTOWYCH

IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELI PROCESU SKRAWANIA DLA WIELOOSTRZOWYCH NARZĘDZI OBROTOWYCH MODELOWAIE IŻYIERSKIE ISS 1896-771X 41, s. 37-314, Glwce 211 IDETYFIKACJA PARAMETRÓW MODELI PROCESU SKRAWAIA DLA WIELOOSTRZOWYCH ARZĘDZI OBROTOWYCH MIROSŁAW PAJOR MARCI HOFFMA KRZYSZTOF MARCHELEK Zachodnoomorsk

Bardziej szczegółowo

214 tel. ±48226873122 faks +48 22 6873297 zaprasza do składania ofert w ramach postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego.

214 tel. ±48226873122 faks +48 22 6873297 zaprasza do składania ofert w ramach postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego. Specyfkacja Isttnych Warunków Zamówena Zgdne (tj. D. U. Zamawający: ustawą 203 29 r. p. 907 e m.) dna stycna 2004 uregulwanam prawnym wydanym rku - Praw amóweń publcnych na jej pdstawe. K b N tsi(arb PAŃSTWA

Bardziej szczegółowo

Kryteria przyznawania ocen z matematyki uczniom klas III Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Kryteria przyznawania ocen z matematyki uczniom klas III Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Kryteria przyznawania cen z matematyki ucznim klas III Publiczneg Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Oplskich Na cenę dpuszczającą uczeń: zna pjęcie ntacji wykładniczej zna spsób zakrąglania liczb rzumie ptrzebę

Bardziej szczegółowo

Oznaczenie CE. Ocena ryzyka. Rozwiązanie programowe dla oznakowania

Oznaczenie CE. Ocena ryzyka. Rozwiązanie programowe dla oznakowania Ocena zgdnści Analiza zagrżeń Oznaczenie CE Ocena ryzyka Rzwiązanie prgramwe dla znakwania safexpert.luc.pl www.luc.pl W celu wybru najbardziej dpwiednich mdułów prgramu Safexpert plecamy zapznad się z

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

ż Ą ż Ó Ę Ś ć ż ć ż ć Ś ż Ś ż Ń ż ż Ź ż Ź ż Ą Ś ż ć ć Ś Ą ż ż ż ź ż ż Ń Ę ż ż ć Ń ż Ń ż ż ź ż ż ż ż ż ź Ś ż ż ź ż Ś Ś ż ź ź ż ź Ą ż Ź ż ź ź Ź ź Ź ź ż Ź ż ź Ę ż ż Ę ż Ó Ń ż ź ć ż ź ż Ę ż ć ż ź ź ź ż ż

Bardziej szczegółowo

Ę Ś ź Ę Ę ć ć ź ć ć ć ć ć źć ć ć ć ć Ź ź Ś ć Ł Ę ć ć Ą ź ć Ó Ł ź ć ć Ź Ł ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ź Ź ć ź ć ć ź ć ź Ź Ź ź ź ź Ś ź ź ć ć Ś Ę ć ź ć ć Ś ć ć ć ć ź ź ć ź ć ć ć Ź Ź ć Ś Ę ć Ć ć ź ć Ę ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Ł Ę Ł Ż ż Ń Ą Ó Ó ż Ś Ź ć ż ż ć Ć ż Ż ć Ó ż Ś Ó Ś ż Ó ż Ś ć ć Ż Ł ż ż ż ć ć ż Ó Ó Ę Ż Ó Ż ż Ó ż Ó Ź Ż ż Ó Ó ć Ó ż ż ć ż Ś Ż ć Ó ż Ś Ś ż ć ć Ó ż Ó Ó ż Ź Ę Ł Ż Ł Ź Ż ż Ó ż ż ż ż Ż ż ż Ż ż Ł ć Ż ż Ż ż Ó Ż

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ź Ź ź ź ć ź ć Ę Ź Ś Ś ć ć Ś ć ć ć Ź ć źć ć ć ć ć Ź ć ć ć ć ć ć ź ć Ś ć ć Ą ć Ź ć Ś Ó Ź Ś ź ć ź Ś ć Ł Ą ć ć ć ć Ź Ź ć Ź ć ć ć Ź ź ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć ć Ł ć Ś ć Ź Ź Ź ć ć Ś Ś ć ć ć ź Ą ć ć ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

ń ć ć ń Ń ź ć ć ć ć ź ć ć ń ć źć ń ź ć ć ć ć ć Ę ć ń ć ć ć Ę ź ń ń ć ć ń ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ń ć ź ć ć ć ć ź ć ń ć ć ć ń ć ć ć Ń ć ź ć ć ń ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ź Ń ń ź ń ć ń ć ć ć Ę ć

Bardziej szczegółowo

Ó ż ń Ą ź ń ż ć Ó ń ć Ć Ą ż Ą ć Ł Ę Ę Ą ć Ó ź ć ć ć ń Ń Ą ć ć ż Ó ź Ł Ł Ę ć ż ć Ę Ł ć Ń Ą Ł Ł Ę Ł ć ż ż ż Ł ć ć Ę Ń Ę Ą ń Ą ń ń ż ż ń ż ź Ń ź ć ź ń Ó ń ć Ł Ą Ą ż ż ć Ó Ł ć ć ź Ó ź ź Ę ć ć ń źć Ą ż Ą ż

Bardziej szczegółowo

Ć Ć Ą ź ń ć ń Ź ń ć Ą ć ć ć Ę ć ń Ą Ą ź ń ź ń ń Ę ń ć ć Ę Ę ć Ę Ź Ź Ą Ę ń ń ń Ę ń ń Ą ń ń Ą Ą Ć Ą ć ń ć ń ć Ć ń ń Ą ń Ą Ą ć ć ź ź Ź ć ń ń Ą ń ń ń Ę Ą ć ń Ą ć Ą Ę ć ć Ę ń Ć Ę ń Ą Ź Ę ń Ę ń ń ć ć Ń ń Ą ń

Bardziej szczegółowo

Ł Ż ć Ę Ę Ę Ę Ż Ę Ź ć ć ć Ł Ż ć Ę ć Ł ć Ę ź Ż ć Ę ć ć Ł Ł ć ź Ż Ż Ż ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ś ć ć Ę Ę Ł ć Ś ć Ł Ż Ę ć ć ć Ż Ż Ę Ł Ę ć Ę ć ć ć ć ć Ę ć ć ć Ł ź Ż Ę Ż Ż ć Ę źć źć ź Ż Ł ć ć ć Ż Ę ź

Bardziej szczegółowo

Ł Ś ÓŻ Ż Ż Ż Ż Ś Ś Ę Ł ć Ą ŚĆ Ś Ą ć Ą Ś Ą Ś ź ć ź ć ć Ą ć Ą Ń ź ź ć Ą ć ć Ą ź Ę Ś Ą ź Ś ź Ą Ą ć Ę ć ź Ą ć Ą ć ć ć Ą Ą Ą Ą ŚĆ Ść ć Ń Ś ć ć Ę Ź ć Ę Ń ć Ć ć ć ć ć Ę Ń ć ć ć Ł ć Ą ć Ą Ą Ę Ć źć ć Ś ź Ę Ą Ś

Bardziej szczegółowo

Ó Ę Ę ź ź ź Ź ź ź ź Ż Ś Ś Ż Ś ź ź Ó Ś Ż ź ć Ść Ź Ż ć Ż Ć ć ź Ź Ź Ó Ś ć ć Ż Ć Ś ć ź Ż ć Ść ć ć Ż Ś Ż ć Ż ź ć ź Ż ź ć ć Ś Ź Ż ć ć ć ć ć Ś Ś Ż ź Ę Ś Ś Ś Ż ć ź ć ć ć Ż Ż ć ć Ż Ź ć Ś Ś Ś Ś Ź Ó Ś Ś ć Ś ć Ć ź

Bardziej szczegółowo

Ń Ą Ę Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ł Ł ź Ł Ł Ł Ł Ś Ś źć Ą ź ź ć ź ć Ś ć Ą ć Ż ć ć Ę ć Ą Ł Ł Ł ź Ś Ą ź Ą Ą Ł Ś Ą Ż Ą Ł Ł ć Ż Ś ź Ó ź Ó ć Ć ź Ś ć Ł ć ć ć ć ć ć Ą Ą Ą Ł Ą ć ć ć ć Ą Ł ź ć ćź ć ć ź Ś ć ć Ą Ą Ą ć Ą ć Ż

Bardziej szczegółowo

ć Ł ć ć ź Ą ć ć ć źć Ź Ź ŹĆ ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć Ł ć ć ć ć ć ć ć ŚĆ Ś ź ć ć ć Ć Ó Ć ć Ą Ł Ł Ł ź Ś Ł ć ć Ą Ą ź ć ć Ą ć ź ć ź ź ć ź ź Ą Ą Ń ć ź Ł ć Ć ć ź ć Ś ć ć ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo

ć Ń Ż Ł ć ć Ś ź ŚĆ Ą ć ź ć ć Ż Ś ź Ą ć Ń Ć Ć ć ć Ą ć źć Ń Ł Ł Ł ź ć Ą ź Ś ź ć Ń Ń ć Ć Ć ź Ś ź ć Ś Ś Ł ź Ś Ś ź ć ź ć Ś ć Ś ć ć Ż ć Ż ź ź Ą ć Ł Ń Ć ć Ż Ś ć ć ć ć Ś ć ć ć Ą ć ć ź ć ć ć ć ć Ń Ż Ż Ż Ż Ś ć Ą

Bardziej szczegółowo

Ś ć ć Ż ć ć Ż ć ć ć ć ć Ę Ź Ż Ż ć Ę ć Ę Ź Ź Ó ć ć Ź ć Ó Ś ć Ź Ę Ę Ę ć Ń ć Ś ć Ż ć Ę Ę ć Ż Ł ź Ź Ś Ą ć Ą Ą ć Ą Ę ć ć Ę ć ć ć Ż ć Ź Ą Ł ć ć ć ć Ę ć Ź ć Ź ć Ą ć Ą ć ć ć ć Ą ć Ą ć Ż Ą ć ć ć ć ć ć Ść ć źć Ę

Bardziej szczegółowo

Ę Ę ć Ó ć ć Ń ź ź Ó Ć Ó ć ć ź ź ć ć ć Ń ć Ó ć ć ć ć Ó Ó ć Ó ć ć Ó Ę Ó ÓÓ Ę ć Ó ć ć Ó ć ć Ó Ę ć Ć Ó Ź Ę Ó Ó Ó ć Ó ź Ó ź Ń Ę Ó Ę Ę Ę ć ć Ć ć Ę Ę Ó Ó Ó ć ź Ń ć Ź ć ź ć ć Ę ć Ę ć ź ć Ó Ó Ę ć ć ć ź ć Ę ć Ź

Bardziej szczegółowo

ć ć ć ć ć ć ć źć ć ć ć ć ć ć ź Ś ź ć ć ć Ż ć Ę ć ć ć ć ć ć Ę Ę ć ć ć Ż ź ź ź ć ć ć ć ć Ś ć ć ć ć ć Ż ćż ć ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ź ć ź Ę ć ć ź ć ć Ś Ż ć ć ć Ą Ż ć ć ć Ę ć ć Ż ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć

Bardziej szczegółowo