Zeszyty Koła Naukowego Młodych sekcja matematyczno naukowo - techniczna. Złota Liczba. Zeszyt II. 2009/2010r.

Transkrypt

1 Zeszyty Koła Naukowego Młodych sekcja matematyczno naukowo - techniczna Złota Liczba Zeszyt II 009/00r.

2 Spis treści:. Złota liczba.. 3. Złoty podział odcinka.3. Złoty prostokąt Złoty trójkąt.6.4 Złote spirale 7. Pentagram.8.6 Algebra złotej liczby.9. Ciąg Fibonacciego.0. Ciąg Fibonacciego a złota liczba.. Ciąg Fibonacciego a trójkąt Pascala...3 Ciąg Fibonacciego a trójki pitagorejskie.3.4 Własności liczb Fibbonaciego Przykłady zastosowań złotej liczby 3. Złota liczba w architekturze i sztuce. 3. Złota liczba w przyrodzie Złota liczba w muzyce Redakcja 9

3 . Złota liczba.. ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA. Czym jest złoty podział? Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, boska proporcja (łac. divina proportio) podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi". φ, Konstrukcja geometryczna liczby φ. Odcinek o długości ma długość będącą sumą dwóch liczb: oraz. Pierwszą wielkość nietrudno skonstruować natomiast kwadrat drugiej czyli jest sumą kwadratów dwóch liczb: i. A to oznacza, że odcinek o długości jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych i. Trójkąt ten występuje w kwadracie o boku. Łuk okręgu o promieniu długości wykreślony ze środka tego odcinka przetnie półprostą w punkcie F. Odcinek OF ma długość będącą złotą liczbą. Konstrukcja pozwala na znalezienie na osi liczbowej liczby. Nie pozwala jednak podzielić danego odcinka punktem w sposób złoty. Iwona Kusz, Bronisława Pabiach, Złota liczba z Cabri II, Biblioteczka Cabristy zeszyt 3

4 Konstrukcja złotego podziału odcinka. Tok postępowania: rysujemy odcinek AB rysujemy prostopadłą do niego prostą na prostej wyznaczamy odcinek BC, który jest połową długości odcinka AB łączymy punkt A i C rysujemy łuk o środku w punkcie C i promieniu BC na odcinku AC zaznaczamy punkt D rysujemy łuk o środku w punkcie A i promieniu AD wyznaczamy na odcinku AB punkt E W ten sposób wyznaczyliśmy złotą proporcję odcinka AB (w punkcie E prosta AB podzielona jest według złotego podziału). Z historii złotej liczby Najstarsza wzmianka o złotej liczbie jako o,,świętej proporcji sięga 60 r p.n.e., kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Herodot (48-4 p.n.e.) nazywany przez Cycerona ojcem historii, w jednym ze swych opisów ok. 440 r p.n.e. relacjonuje, że egipscy kapłani przekazali mu informację, iż rozmiary piramidy są tak dobrane, że pole kwadratu zbudowanego na jej wysokości jest równe polu trójkąta będącego ścianą boczną piramidy. Nieznane oblicze złotej liczby Okazuje się, iż,,boska proporcja może mieć wiele wspólnego z,,tym Złym. Wynika to z działania: sin(666)+cos(6*6*6)= φ Cóż, to, co boskie, równie dobrze może być szatańskie. 4

5 . ZŁOTY PROSTOKĄT Czym jest złoty prostokąt? Złoty prostokąt - to prostokąt, w którym długości boków pozostają w złotym stosunku. Konstrukcja złotego prostokąta. ) Rysujemy kwadrat. ) Kwadrat dzielimy na dwa jednakowe prostokąty. 3) W jednym prostokącie prowadzimy przekątną. 4) Kreślimy łuk o promieniu równym długości przekątnej prostokąta. ) Prowadzimy prostopadłą przechodzącą przez punkt przecięcia łuku z linią podstawy. Otrzymujemy złoty prostokąt.

6 .3. ZŁOTY TRÓJKĄT. Czym jest złoty trójkąt? Złoty trójkąt to trójkąt, który przy wierzchołku posiada kąt ostry 36 0 oraz dwa kąty ostre przy podstawie 7 0. Stosunek długości boku każdego z nich do długości jego podstawy jest złotą liczbą. Konstrukcja pięciokąta foremnego. Rysujemy okrąg o środku S.. Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. 3. Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy - punkt A. 4. Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy.. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta. Konstrukcja złotego trójkąta Przekątne pięciokąta foremnego utworzonego w poprzednim ćwiczeniu wyznaczają złoty trójkąt. 6

7 .4. ZŁOTE SPIRALE Spirala na bazie złotego prostokąta Wiadomo, że jeżeli od złotego prostokąta odetniemy kwadrat to pozostanie kolejny złoty prostokąt. Teraz utwórzmy w każdym kolejnym kwadracie ćwierć okręgu o średnicy długości boku kwadratu, tak aby otrzymać krzywą ciągłą. Wykreślimy tym sposobem Złotą Spiralę. Złota spirala została uznana za reprezentatywny przykład złotej liczby, ponieważ jest to spirala, jaką odnajdujemy w skręcie muszli ślimaka oraz ostrygi. Spirala na bazie złotego trójkąta Podobnie do spirali opartej na złotym prostokącie można skonstruować spiralę na bazie złotego trójkąta. 7

8 . PENTAGRAM. Czym jest pentagram? Pentagram rodzaj gwiazdy pięcioramiennej, figura geometryczna, w wielu kulturach uważana za symbol magiczny. Słowo pentagram pochodzi z języka greckiego, gdzie "pente" znaczy, a "gamma" literę, tak wiec pentagram odnosi się do pięcioramiennej gwiazdy lub dowolnej innej figury składającej się z pięciu linii, a sami Grecy zapisywali pentagram jako A. Z historii pentagramu Najstarszy pentagram został odnaleziony w starożytnym mieście Ur - centrum cywilizacji Mezopotamii i datowany jest (według naukowców) na rok 300 p.n.e. Prawdopodobnie używany był jako pieczęć królewska. Co łączy pentagram i złotą liczbę? Idealny pentagram powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego i następnie zamazanie oryginału. Można również wydłużać boki pięciokąta do momentu spotkania, otrzymując większy pentagram.kąt wewnętrzny pentagramu ma miarę 36. W pentagramie ukryty jest złoty podział φ = (+ )/ =

9 9.6 ALGEBRA ZŁOTEJ LICZBY. Punkt F dzieli w złotym stosunku odcinek AB jeżeli: jest więc rozwiązaniem równania: 0 0 lub lub ) ( czyli Złota liczba ma ciekawe właściwości: aby ją podnieść do kwadratu wystarczy dodać do niej jedynkę: 0 aby znaleźć jej liczbę odwrotną wystarczy odjąć jedynkę: ułamek piętrowy (łańcuchowy), złożony z samych jedynek jest równy złotej liczbie.

10 . Ciąg Fibonacciego. Co to jest ciąg rekurencyjny? Rekurencyjne określenie ciągu wygląda np. tak: Rekurencyjne określenie ciągu polega na wyliczaniu danego wyrazu ciągu na podstawie poprzedniego. W tym przykładzie: a = a = a -= -=3 a 3 = a -= 3-= itd. Czym jest ciąg Fibonacciego? Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: F F FF n n F n dla n Początkowe wartości tego ciągu to: 0,,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33,... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. Portret Fibonacciego Leonardo Bonacci zwany Fibonaccim urodził się pod koniec XII wieku w Pizie. W młodości był kupcem i podróżnikiem. Odwiedził kraje islamskie północnej Afryki, Egipt, Syrię, Grecję i Sycylię, czyli dawne wielkie ośrpdki rozkwitu matematyki. Po powrocie do Włoch uporządkował i spisał zdobytą wiedzę w dziełach Liber abaci i Practica geoetriae. Magazyn Miłośników Matematyki, nr 4 październik

11 Słynne zadanie Fibonacciego. Każda para dojrzałych królików rodzi co miesiąc parę młodych królików. Na początku roku mamy jedną parę młodych królików. Pod koniec pierwszego miesiąca para młodych osiąga dojrzałość; pod koniec drugiego para już dojrzałych królików wciąż żyje i daje życie parze młodych. Proces dojrzewania i rozmnażania trwa nieustannie, jakimś cudem żaden królik nie umiera. Kolejne liczby, mówiące o liczbie par królików w poszczególnych miesiącach, tworzą ciąg Fibonacciego. CIĄG FIBONACCIEGO A ZŁOTA LICZBA. Co łączy ciąg Fibonacciego i złotą liczbę? W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół,68 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: φ, / / 3/ /3 8/ 3/8 /3 34/ /34,,333,6,6,6,69,67

12 . CIĄG FIBONACCIEGO A TRÓJKĄT PASCALA. Co łączy ciąg Fibonacciego i trójkąt Pascala? Utwórzmy ukośne kolumny tego trójkąta liczb i obliczmy ich sumy. Wypiszmy je kolejno. Czy są one przypadkowe? Kolejne sumy tworzą kolejne liczby ciągu Fibonacciego.

13 .3 CIĄG FIBONACCIEGO A TRÓJKI PITAGOREJSKIE. Co łączy ciąg Fibonacciego i trójki pitagorejskie? Trójka pitagorejska to trzy liczby dodatnie, y, z takie, że + y = z. Nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, które w jednej z interpretacji mówi, że każdy trójkąt prostokątny o całkowitych długościach boków określa trójkę pitagorejską. Rozważmy trójkąty prostokątne, których przyprostokątne (, y) są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego. Sprawdźmy ile wynosi suma kwadratów tych liczb (z). n liczba Fibonacciego numer n n+ y = liczba Fibonacciego numer n+ +y n+(n+) liczba Fibonacciego numer n+(n+) Okazuje się, że jeżeli dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego są kolejnymi liczbami Fibonacciego o numerze n i n+ to suma ich kwadratów jest liczbą ciągu Fibonacciego i jej numer jest sumą numerów tych liczb. n F n F F n gdzie F n oznacza n-tą liczbę Fibonacciego. Własność tę dostrzegł po raz pierwszy i udowodnił w 876 roku francuski matematyk Edward Lucas. 3

14 .4 WŁASNOŚCI LICZB FIBONACCIEGO Długości kolejnych boków kwadratów to kolejne liczby ciągu Fibonacciego. Jeśli dodamy do siebie kwadraty długości kolejnych kwadratów to otrzymamy pole powstałego prostokąta. Obserwując zależności: możemy zapisać ogólny wzór: F nfn n F Suma n poczatkowych liczb ciągu Fibonacciego wyraża się wzorem: n i F i F n Sprawdzenie wzoru dla n = 6 FFFFFFL 346 FP F Wyprowadzenie wzoru dla n =

15 3. Przykłady zastosowań złotej liczby. 3. ZŁOTA LICZBA W ARCHITEKTURZE I SZTUCE. Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi,6804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku. Innym przykładem jest Katedra w Mediolanie. Wszelkie proporcje są tu zachowane według złotego podziału. Najważniejszym przykładem wykorzystania złotej liczby jest znany człowiek witruwiański autorstwa Leonarda da Vinci. Zauważył on, że dla człowieka o prawidłowych proporcjach wysokość człowieka do długości dolnej części ciała (od pępka w dół) jest złotą liczbą (stosunek długości dolnej części ciała do górnej jest również złotą liczbą).

16 Złotą liczbę stosowano w proporcjach rzeźb. Słynne rzeźby: Apollo Belwederski, Wenus z Milo czy Diany do dziś zadziwiają wielu koneserów sztuki. W konstrukcji Partenonu antycznej Greckiej świątyni bogini Ateny - również został wykorzystany złoty podział

17 3. ZŁOTA LICZBA W PRZYRODZIE. Filotaksja (z gr. Phyllo = liść, tai = porządek) to sposób ułożenia powtarzających się elementów budowy roślin (takich jak liście, pędy boczne, kwiaty, płatki, ziemia) charakterystyczny dla tego gatunku. Tworzą one najczęściej układ spiral, których parametry są związane z liczbami Fibonacciego i liczbą złotą. Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach. W niektórych gatunkach tych roślin jest spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i. Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego:,,, 3,, 8, 3,, 34,... Innym przykładem występowania złotej liczby w przyrodzie są muszle zwierząt, np. łodzika. Przekrój jego muszli (wypełnionej głównie powietrzem) ukazuje, iż pasuje ona idealnie do złotego prostokątu, a jej łuki mieszczę się po ćwierć okręgu w każdym ze złotych kwadratów. 7

18 3.3 ZŁOTA LICZBA W MUZYCE. Antonio Stradivari (ur. 643 lub 644 w Cremonie, zm. 8 grudnia 737 tamże) włoski lutnik, przedstawiciel kremońskiej szkoły lutniczej, jeden z najwybitniejszych budowniczych instrumentów w historii lutnictwa. Wykorzystywał on złoty podział w budowie swoich skrzypiec. Różne kolory odcinków odnoszą się do różnych części skrzypiec, w których zachodzi stosunek złotej liczby Złoty podział w muzyce dostrzeżono również w dziełach Jana Sebastiana Bacha. Złote cięcie pojawia się tam nie tylko w budowie frazy ale również w harmonice i przebiegu linii melodycznych poszczególnych instrumentów. Znaleziono to również w fugach i kantatach innych twórców muzyki baroku. Podobnie jest z większości sonat Mozarta. Innymi muzykami, którzy świadomie lub nie wykorzystywali złoty podział byli: Bartok, Debussy, Bethoveen, Schubert i Satie. Przykładem utworu w którym wykorzystano złotą liczbę jest V Symfonia Beethovena. Jej tempo jest oparte na złotej liczbie a dokładnie /3, co jest stosunkiem czwartej liczby ciągu Fibonacciego do trzeciej. Iwona Kusz, Bronisława Pabiach, Złota liczba z Cabri II, Biblioteczka Cabristy zeszyt Aby usłyszeć złotą gamę wystarczy w tym celu rozpocząć ją od dźwięku C a następnie naciskać kolejno klawisze zgodnie z regułą Fibonacciego, czyli drugi, trzeci, piąty itd. Gama składa się z 8 dźwięków i podzielona jest na tercję (3 dźwięki) i kwintę ( dźwięków). Liczby te dzielą całą wielkość w stosunku złotym (liczby 3,, 8 to trójka Fibonacciego). 8

19 4. Redakcja. Od lewej stoją: Maciej Bonk, Bartłomiej Majewski, Adam Mikuła, Grzegorz Kotysz, Alicja Długosz. Od prawej siedzą: Wiktoria Nowak, Agnieszka Paul, Żaklina Osmenda, Katarzyna Wrona. Opiekun: P. Joanna Olesińska 9