2. Zasada działania cewki Rogowskiego

Transkrypt

1 ZBIGNIEW FJAŁKOWSKI, MARCIN HABRYCH*, ALEKSANDER LISOWIEC**, BOGDAN MIEDZIŃSKI, GRZEGORZ WIŚNIEWSKI Karkonoska Państwowa Szkoła Wyższa w Jeleniej Górze, *Politechnika Wrocławska, **ITR Warszawa, Problemy projektowe i optymalizacji cewki Rogowskiego wykonanej w technologii PCB Streszczenie W artykule przedstawiono wybrane problemy doboru wymaganych parametrów elektrycznych cewki Rogowskiego podczas jej projektowania. Określono wartości tych parametrów dla cewek wykonanych w technologii PCB oraz wpływ na efektywność transformacji przebiegu prądu-napięcie. Przedstawiono wyniki odpowiednich symulacji transmitancji widmowej i aproksymacji dla wielu modeli cewek oraz omówiono wyniki interpolacji ich parametrów R, L, C w funkcji ilości zastosowanych cewek drukowanych. 1. Wstęp Wzrastająca liczba i moc elementów nieliniowych w sieciach elektroenergetycznych jest przyczyną coraz to większego odkształcania przebiegu prądów pobieranych przez współczesne odbiorniki. Nowoczesne kompaktowe cyfrowe rozwiązania urządzeń elektrycznych zarówno zabezpieczeń jak i aparatury kontrolno-pomiarowej wymagają między innymi małych gabarytowo i lekkich przetworników prądu zapewniających możliwie jak najdokładniejsze transformowanie sinusoidalnych przebiegów prądu także tych znacznie odkształconych od sinusoidy. Jednym z rozwiązań znajdujących zastosowanie w praktyce pomiarowej jest zastosowanie cewki Rogowskiego jako przetwornika prądowo-napięciowego. Przetwornik ten zapewnia przetwarzanie zarówno przebiegów sinusoidalnych jak i przebiegów okresowo zmiennych odkształconych w szerokim zakresie. Dotyczy to zwłaszcza przetwarzania przebiegów prądowych o znacznych wartościach częstotliwości. Występują tutaj problemy związane z zapewnieniem odpowiedniej czułości pomiarowej oraz problemy dotyczące efektywnego ekranowania od zakłóceń elektromagnetycznych pól zewnętrznych. Jest to szczególnie trudne do wykonania w przypadku cewek Rogowskiego o małych wymiarach geometrycznych wymaganych do zastosowań w nowoczesnych małogabarytowych urządzeniach elektroenergetycznych. W tych przypadkach dobre efekty można uzyskać przy zastosowaniu wielowarstwowych obwodów drukowanych (technologia PCB). W artykule omówiono sposób optymalizacji konstrukcji cewek Rogowskiego w oparciu o wykorzystanie technologii PCB.

2 Przedstawiono wyniki badań symulacyjnych ich charakterystyk transmitancyjnych w oparciu o wyniki pomiarów dla wykonanych modeli fizycznych o określonych wymiarach geometrycznych oraz liczbie zastosowanych płytek (cewek) drukowanych. Wykonano również odpowiednie aproksymacje parametrów R, L, C przydatne w procesie projektowania cewek Rogowskiego o wymaganych właściwościach transmisyjnych. Sformułowano odpowiednie wnioski praktyczne. 2. Zasada działania cewki Rogowskiego Schemat ideowy cewki Rogowskiego pokazano na rysunku 1. Na jej zaciskach o liczbie zwojów z sprzężonych z obwodem pierwotnym (stanowiącym jeden zwój) pod wpływem zmiany strumienia φ wywołanego przepływającym prądem i(t) indukuje się siła elektromotoryczna e(t) zgodnie z równaniem (1). Rys. 1. Idea przetwornika z cewką Rogowskiego, z - liczba zwojów cewki Rogowskiego, S - pole przekroju pojedynczego zwoju, r - promień cewki liczony do osi symetrii pola S. (1) e(t ) = z dφ µ 0 z S di di = =M, dt 2π r dt dt gdzie: M - indukcyjność wzajemna obwodu pierwotnego i wtórnego. Odkształcony okresowy przebieg monitorowanego prądu i(t) można przedstawić jako sumę harmonicznych: (2) i (t ) = I km sin(k ωt + ψ k ). k =0 Harmoniczne prądu i(t) indukują w efekcie na zaciskach uzwojenia wtórnego siłę elektromotoryczną esum(t) o wartości: (3) 2 π k =1 2 esum (t ) = Ekm sin(k ωt + ψ k + ),

3 gdzie ich amplitudy: E km =ω. M. k. I km = n 2. k. I km, I km - amplituda k-tej harmonicznej prądu, ω pulsacja harmonicznej podstawowej. Współczynnik n przekształcania prądów odkształconych, określony jest jako stosunek wartości skutecznej E sk odkształconej sem indukowanej w cewce Rogowskiego do wartości skutecznej I sk odkształconego prądu i wynosi: (4) co można zapisać w postaci (5) 2 2 k I km Esk k = 1 n = = ω M, I sk 2 I k= 1 k = 1 km 2 2 k I km k= 1 n = n1, 2 I km gdzie n1 = ω M - stała przekształcania dla przebiegu nieodkształconego, dla przypadku podstawowej harmonicznej, dla pulsacji ω. Wartość współczynnika n przekształcania prądów odkształconych zgodnie z zależnością (5) jest większa od stałej przekształcania n 1 przebiegu nieodkształconego i silnie zależy od zawartości wyższych harmonicznych w monitorowanym cewką Rogowskiego prądzie i(t). Odwrotny problem występuje w przypadku transformacji prądu o częstotliwości mniejszej od harmonicznej podstawowej. Cewka Rogowskiego przekształca liniowo tylko poszczególne harmoniczne prądu natomiast wartość współczynnika przekształcania n (wartości skutecznej odkształconej sem indukowanej w cewce Rogowskiego do wartości skutecznej odkształconego prądu) zmienia się zależnie od stopnia odkształcenia prądu, a więc od zawartości wyższych harmonicznych. Bezpośrednie wykorzystanie pomiaru wartości skutecznej sem uzyskanej z cewki Rogowskiego jako sygnału np. w układach zabezpieczeń może w efekcie spowodować sytuację, w której pomimo ustalonej wartości progu rozruchowego zabezpieczenia, rozrzut jego zadziałania może dochodzić do kilkudziesięciu procent. Przykładowo, jeśli dla monitorowanego przebiegu sinusoidalnego prądu zadziałanie zabezpieczenia nastąpi przy wartości skutecznej prądu równej I, to w przypadku prądu odkształconego zadziałanie tego samego zabezpieczenia może wystąpić już wcześniej przy wartościach prądu z przedziału (0,5-1)I [1, 2]. Jeśli problem ten jest istotny wówczas cyfrowo należy odfiltrować harmoniczną podstawową stosowaną jako wielkość kryterialną. 3

4 3. Koncepcje cewek Rogowskiego z wykorzystaniem obwodów drukowanych Rozwój kompaktowych cyfrowych rozwiązań urządzeń elektrycznych zarówno zabezpieczeń jak i aparatury kontrolno-pomiarowej wymaga od mało gabarytowo i lekkich przetworników prądu możliwie dokładnego przekształcania wszystkich parametrów przebiegów prądowych. Jednym z rozwiązań znajdujących zastosowanie w praktyce pomiarowej (np. przekładniki firmy LEM) może być zastosowanie obwodów drukowanych, zamiast dotychczasowego wytwarzania w sposób tradycyjny tj. poprzez nawijanie drutu nawojowego na odpowiednio przygotowane karkasy. Metoda ta może być więc zastąpiona technologią PCB (ang. Printed Circuit Board), umożliwiającą poprawę jakościową, oraz co jest bardzo istotne zwiększenie powtarzalności proponowanego rozwiązania. Na rysunku 2 a) przedstawiono przykładowe rozwiązanie tradycyjne oraz na rysunku 2 b) przykładowe nowoczesne oparte na technologii PCB. a) b) Rys. 2. Przetworniki z cewką Rogowskiego, a) wykonane w sposób tradycyjny zawierające 8 cewek, b) wykonane w oparciu o technologię PCB zawierające 12 cewek. W celu zbadania i określenia wszystkich wymiarów geometrycznych oraz liczby warstw cewek wykonanych w technologii PCB założono wstępnie wytworzenie w tej technologii obwodów drukowanych dla dwóch typów cewek wielowarstwowych z dwoma wyprowadzeniami do płyty bazowej o możliwie jak największej liczbie zwojów. Schemat zaprojektowanych płytek i gotowe ich rozwiązanie przedstawiono na rysunku 3. 4

5 a) b) Rys. 3. Druk pojedynczej warstwy cewki a) schemat pojedynczej warstwy cewki, b) gotowa płytka PCB Kolejnym etapem pracy, było stworzenie odpowiedniej płytki bazowej (podstawy) opartej na płytce drukowanej przeznaczonej do wlutowania cewek. Założono, że miejsca wlutowania powinny umożliwiać wlutowanie dowolnej skończonej (zadanej) ich liczby a ponadto podstawa powinna być wyposażona w pierścienie drukowane zewnętrzny i wewnętrzny (jak na rysunku 4) stanowiące również tzw. przewód powrotny. Rys. 4. Schemat druku płytki bazowej na 40 listków. 5

6 W rezultacie wykonano konstrukcję przetwornika prądowo-napięciowego opartego o wykorzystanie zasady działania cewki Rogowskiego, którego wygląd przedstawiono na rysunku 5. t Rys. 5. Wygląd zmontowanego przetwornika prądowego. 4. Analiza charakterystyk transmisyjnych wykorzystujących cewki Rogowskiego W celu określenia charakterystyk transmisyjnych oraz dobrania poszczególnych parametrów cewek przeprowadzono odpowiednie analizy symulacyjne w oparciu o pomierzone parametry modelu fizycznego cewki Rogowskiego. W tym celu wyliczono charakterystyki częstotliwościowe dla układu zastępczego cewki Rogowskiego. Przeprowadzono interpolację parametrów R, L, C cewek Rogowskiego w funkcji ilości płytek drukowanych na podstawie oraz dokonano odpowiedniej aproksymacji parametrów R, L, C tych cewek dla różnych ilości zainstalowanych cewek wykonanych w technologii PCB. 6

7 4.1. Charakterystyki częstotliwościowe układu zastępczego cewki Rogowskiego Transmitancje operatorowe oraz widmowe określono dla układu zastępczego cewki Rogowskiego pokazanego na rysunku 6. Do obliczeń przyjęto pomierzone wartości parametrów R, L, C dla modeli fizycznych w zależności od ilości zastosowanych płytek drukowanych równych odpowiednio 8, 16 i 32 zestawionych w tabeli 1. Rys. 6. Układ zastępczy cewki Rogowskiego. Przyjęto następujące oznaczenia parametrów cewek: R rezystancja układu zastępczego, L indukcyjność (własna cewki) układu zastępczego, C pojemność (między zwojowa cewki) układu zastępczego. Tabela 1. Zmierzone wartości wybranych parametrów elektrycznych przykładowych modeli cewek Rogowskiego w zależności od ilości płytek (listków) na cokole równej odpowiednio: 8, 16 oraz 32. Parametr Jednostka miary Wartość zmierzona Ilość płytek R L C [szt.] [Ω] [H] [pf] , , , Transmitancja operatorowa G (s) dla układu zastępczego cewki Rogowskiego (Rys. 6) określona jest zależnością: 2 ω =, s + n (6) G( s) 2 2 2ξω ns + ωn 7

8 gdzie odpowiednio: częstotliwości drgań własnych i rezonansowa oraz współczynnik tłumienia układu: 1 1 (7) ω = [ s ], n LC 2 1 (8) ω = ω 1 2ξ [ s ], r n (9) RC R C ξ = =. 2 LC 2 L Uzyskane charakterystyki amplitudowo-fazowe Nyquista na płaszczyźnie zmiennej zespolonej oraz charakterystyki widmowo amplitudowe oraz fazowe (logarytmiczne Bodego) pokazano na rysunkach Z przebiegów tych charakterystyk wynika, że maksymalne wzmocnienie sygnału na zaciskach cewki Rogowskiego występuje dla znacznej wartości częstotliwości (w granicach 10 6 rad/s) prądu i zmienia się w zakresie od ilości zastosowanych płytek drukowanych w danym modelu fizycznym przetwornika prądowonapięciowego. W oparciu jednak o analizę przebiegów wyżej wymienionych charakterystyk można określić wymagane wartości parametrów R, L, C w celu uzyskania największego wzmocnienia sygnału napięciowego dla żądanej częstotliwości odczytywanej w realnych ich granicach. Rys. 7. Charakterystyka Bodego układu zastępczego cewki Rogowskiego (Ilość płytek = 8, ξ = , ω r = e+06) 8

9 Rys. 8. Charakterystyka Bodego układu zastępczego cewki Rogowskiego (Ilość płytek = 16, ξ = , ω r = e+06) Rys. 9. Charakterystyka Bodego układu zastępczego cewki Rogowskiego (Ilość płytek = 32, ξ = , ω r = e+05) 9

10 Rys. 10. Zestawienie charakterystyk Nyquista układu zastępczego cewek Rogowskiego dla różnej ilości płytek na cokole cewki równej odpowiednio 8, 16, Interpolacja parametrów R, L, C cewek Rogowskiego w funkcji ilości płytek na podstawie Celem interpolacji jest znalezienie krzywej zmian wartości rezystancji R, indukcyjności własnej L i pojemności C, przechodzącej przez zadane punkty nazywane węzłami interpolacji. Przykładowo mając wstępne wyniki tylko dla trzech pomiarów wartości rezystancji R można wyznaczyć wartość rezystancji dla innej niż dla zastosowania w pomiarach liczby płytek zamontowanych na podstawie. Otrzymuje się wówczas w przybliżeniu paraboliczną zależność zmian wartości rezystancji R w funkcji ilości płytek, co zobrazowano na rysunku 11. Na podstawie uzyskanych wyników obliczeń można stwierdzić, że wartości bezwzględne różnic pomiędzy wynikami interpolacji wartość rezystancji R oszacowanej różnymi metodami nie przekraczają 3.0 [Ω] co ilustrują krzywe pokazane na rysunku

11 Rys. 11. Wyniki interpolacji różnymi metodami wartości rezystancji zastępczej R[Ω] dla różnej ilości płytek rozmieszczonych na podstawie cewki Rogowskiego. 11

12 Rys. 12. Różnice między interpolowanymi wartościami rezystancji zastępczej R[Ω] dla różnej ilości płytek na cokole: o dla zmierzonych wartości rezystancji, * dla funkcji sklejanej 1 3-go stopnia i funkcji łamanej, + dla funkcji sklejanej 3-go stopnia i wielomianu 3-go stopnia, dla wielomianu 3- go stopnia i funkcji łamanej. Analogicznie, jak dla rezystancji R cewki, na podstawie otrzymanych wyników obliczeń można stwierdzić, że wartości bezwzględne różnic między wynikami interpolacji indukcyjności L różnymi metodami nie przekraczają [H]. Wyniki interpolacji oraz różnice między interpolowanymi wartościami indukcyjności L przedstawiono na rysunkach 13 i 14. Podobną zależność zaś zmian pojemności C w funkcji ilości płytek na cokole, obrazują rysunki 15 i 16 odpowiednio. Rys. 13. Wyniki interpolacji różnymi metodami wartości indukcyjności zastępczej L[H] dla różnej ilości płytek na cokole cewki Rogowskiego. 1 W ogólności przez funkcję sklejaną rozumie się każdą funkcję przedziałami wielomianową. 12

13 Rys. 14. Różnice między interpolowanymi wartościami indukcyjności zastępczej L[H] dla różnej ilości płytek na cokole: o dla zmierzonych wartości indukcyjności, * dla funkcji sklejanej 3-go stopnia i funkcji łamanej, + dla funkcji sklejanej 3-go stopnia i wielomianu 3-go stopnia, dla wielomianu 3- go stopnia i funkcji łamanej. 13

14 Rys. 15. Wyniki interpolacji różnymi metodami wartości pojemności zastępczej C[F] dla różnej ilości płytek na cokole cewki Rogowskiego. Rys. 16. Różnice między interpolowanymi wartościami pojemności zastępczej C[F] dla różnej ilości płytek na cokole: o dla zmierzonych wartości pojemności, * dla funkcji sklejanej 3-go stopnia i funkcji łamanej, + dla funkcji sklejanej 3-go stopnia i wielomianu 3-go stopnia, dla wielomianu 3- go stopnia i funkcji łamanej. Na podstawie otrzymanych wyników obliczeń można również stwierdzić, że wartości bezwzględne różnic między wynikami interpolacji pojemności C różnymi metodami nie przekraczają [F] co przedstawiono na rys Aproksymacja parametrów R, L, C cewek Rogowskiego w funkcji ilości płytek na podstawie W celu uzyskania przydatnej do projektowania informacji odnośnie do zmiany parametrów elektrycznych R, L, C cewek Rogowskiego w funkcji ilości płytek na podstawie przeprowadzono dodatkowo odpowiednią aproksymację wielomianową, która oblicza współczynniki wielomianu zadanego stopnia aproksymującego dane wejściowe optymalnie w sensie minimum sumy kwadratów błędów. Dysponując zatem wykresem dla trzech pomiarów analizowanych wielkości fizycznych dokonano aproksymacji z wykorzystaniem 14

15 wielomianu drugiego stopnia. W efekcie otrzymano wielomian aproksymujący wartość rezystancji R w postaci otrzymanej zależności (10): (10) R = -0, Ip Ip , gdzie Ip - ilości płytek zamontowanych na podstawie cewki. W postaci graficznej powyższą zależność przedstawiono na rysunku 17. Rys. 17. Wynik aproksymacji wartości rezystancji zastępczej R[Ω] dla różnej ilości płytek na cokole cewki Rogowskiego. Podobnie w wyniku dokonanych obliczeń współczynników wielomianu drugiego stopnia otrzymano wielomian aproksymujący indukcyjność L w następującej postaci (11): (11) L = e-06 Ip e-04 Ip e-05 Co w postaci graficznej ilustruje rysunek

16 Rys. 18. Wynik aproksymacji wartości indukcyjności zastępczej L[H] dla różnej ilości płytek na cokole cewki Rogowskiego. W ten sam sposób otrzymano wielomian aproksymujący pojemność C w postaci: (12) C = 1.25e-13 Ip e-12 Ip e-10 Wynik obliczeń aproksymacji wartości pojemności zastępczej C przedstawia krzywa pokazana na rysunku 19. Wnioski, uwagi końcowe: Z uzyskanych wyników analiz symulacyjnych opartych o wyniki pomiarów na modelu fizycznym można stwierdzić jednoznacznie, że zastosowanie technologii PCB umożliwia uzyskanie przetworników prądowonapięciowych (w postaci cewek Rogowskiego) o dobrych parametrach transmisyjnych. Bardzo pomocne do zoptymalizowania parametrów cewki Rogowskiego mogą być zaprezentowane w artykule analizy umożliwiające aproksymację wartości parametrów elektrycznych R, L, C w zakresie od ilości zastosowanych płytek drukowanych. 16

17 Rys. 19. Wynik aproksymacji wartości pojemności zastępczej C[F] dla różnej ilości płytek na cokole cewki Rogowskiego. LITERATURA [1] Szkółka S., Wiśniewski G. Cewka Rogowskiego w środowisku przebiegów odkształconych przykładowe zastosowania ; Przegląd Elektrotechniczny, Nr r., str [2] Szkółka S., Wiśniewski G., Fjałkowski Z., Lisowiec A. Filtr składowej zerowej prądu z cewką Rogowskiego w środowisku prądów odkształconych ; Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa, Nr 7-8 (450), sierpień 2008, s