Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości:"

Transkrypt

1 Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ 1. Przypomnienie Przyjmiemy również oznaczenie [n]{1,...,n} dlan>0, P (n){a [n]: A }. P (n){a [n]: A }. Przypominamy, że w wyładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości: oraz A B A B A B (.1) A B C A B C A B A C B C A B C. (.) Udowodnimy teraz twierdzenie będące uogólnieniem tych dwóch równości na przypade dowolnej liczby zbiorów sończonych.. Wzór włączeń i wyłączeń Twierdzenie.1.JeśliA 1,...,A n sązbioramisończonymi,to A 1... A n Dowód. Wprowadźmy oznaczenie: (1) 1 S (B 1,...,B m ) Teza twierdzenia przybiera wtedy postać: A 1... A n T P (m) T P (n). (.3) B j. (1) 1 S (A 1,...,A n ). Twierdzenia dowodzimy przez inducję względem n. Dla n 1 twierdzenie jest oczywiste.dlanin3byłojużudowodnione.załadamyteraz,żedladowolnychn zbiorów(gdzie n ) twierdzenie jest prawdziwe i dowodzimy, że jest prawdziwe dla dowolnychn1zbiorów.niechwięca 1,...,A n1 będądowolnymizbioramisończonymi. Wówczas A 1... A n1 (A 1... A n ) A n1 A 1... A n A n1 (A 1... A n ) A n1 A 1... A n A n1 (A 1 A n1 )... (A n A n1 ). Wyłady z ombinatoryi

2 Wyład Korzystamyterazdwurotniezzałożeniainducyjnego:dlazbiorówA 1,...,A n oraz dlazbiorówa 1 A n1,...,a n A n1 : A 1... A n (1) 1 S (A 1,...,A n ), (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ). Zauważmy następnie, że A 1... A n A n1 S 1 (A 1,...,A n ) A n1 (1) 1 S (A 1,...,A n ) A 1... A n A n1 S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) oraz (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) (1) n1 S n (A 1 A n1,...,a n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) (1) n1 (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n1 A 1... A n A n1 (1) S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n A 1... A n A n1 (1) S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ). Zatem A 1... A n S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) Wyłady z ombinatoryi

3 Zasada włączeń i wyłączeń 3 (1) 1 S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) S 1 (A 1,...,A n1 ) Następnie zauważmy, że (1) 1 (S (A 1,...,A n )S n1 (A 1,...,A n1 )) (1) n S n1 (A 1,...,A n1 ). S (A 1,...,A n )S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )S (A 1,...,A n1 ) Stąd ostatecznie dostajemy A 1... A n S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1,...,A n1 ), co ończy dowód twierdzenia. Wzór(.3) nazywamy wzorem włączeń i wyłączeń. Inny dowód. Przeglądamy olejne sładnii sumy stojącej po prawej stronie równości iprzyażdymelemencieiloczynu od tego, czy liczba rysujemyznapluslubminuswzależności występowaławsumiezeznaiemplusczyminus.inaczej mówiąc, jeśli zbiór T ma nieparzystą liczbę elementów, to rysujemy zna plus; jeśli zaś zbiór T ma parzystą liczbę elementów, to rysujemy zna minus. Zilustrujemy tę procedurę(w przypadu sumy trzech zbiorów A B C) serią rysunów. Dowodzimy równości A B C A B C A B A C B C A B C. Przeglądamy sładnii sumy po prawej stronie i rysujemy znai plus olejno przy ażdym elemencie zbiorów A, B i C, potem znai minus przy ażdym elemencie zbiorów A B,A CiB C,wreszcieznaiplusprzyażdymelemenciezbioruA B C. Rysune 1: zbiory A, B i C wraz z zaznaczonymi przyładowymi elementami(po jednym elemencie w ażdej sładowej). A B C Wyłady z ombinatoryi

4 4 Wyład Rysune : przy ażdym elemencie zbioru A rysujemy zna plus A B C Rysune 3: przy ażdym elemencie zbioru B rysujemy zna plus A B C Rysune 4: przy ażdym elemencie zbioru C rysujemy zna plus A B C Rysune5:przyażdymelemenciezbioruA Brysujemyznaminus A B C Wyłady z ombinatoryi

5 Zasada włączeń i wyłączeń 5 Rysune6:przyażdymelemenciezbioruA Crysujemyznaminus A B C Rysune7:przyażdymelemenciezbioruB Crysujemyznaminus A B C Rysune8:przyażdymelemenciezbioruA B Crysujemyznaplus A B C Zauważamy,żeprzyażdymelemenciesumyA B Cliczbanarysowanychplusów jest o jeden więsza od liczby narysowanych minusów: przy elementach należących do jednego zbioru narysowaliśmy tylo jeden plus, przy elementach należących do dwóch zbiorów narysowaliśmy dwa plusy i jeden minus, wreszcie przy elementach należących do wszystich trzech zbiorów narysowaliśmy cztery plusy i trzy minusy. To daje równość (liczbaplusów)(liczbaminusów) A B C. Wyłady z ombinatoryi

6 6 Wyład Nietrudno przy tym zauważyć, że w ażdym z siedmiu powyższych roów liczba narysowanych znaów była równa liczbie elementów rozpatrywanego zbioru. Stąd dostajemy równość (liczba plusów)(liczba minusów) A B C A B A C B C A B C, z tórej wynia równość(.). Powróćmy do dowodu twierdzenia.1. Znów zauważamy, że prawa strona równości(.3) jest różnicą między liczbą plusów i liczbą minusów. Wystarczy zatem poazać, że przy ażdymelemenciesumyzbiorówa 1... A n narysowaliśmyojedenpluswięcej.niech x A 1... A n.niechnastępnie M{j: x }. Inaczejmówiąc,x wtedyitylowtedy,gdyj M.Oznaczmym M ;oczywiście m>0.niechterazt P (n)ipopatrzmynazbiór ;jesttojedenzezbiorów występującychpoprawejstronierówności(.3).jeślit\m,tooczywiściemamy x.przypuśćmyzatem,żet M.Wtedyprzyelemenciexrysowaliśmyzna plus lub minus, w zależności od parzystości : plus dla nieparzystych, minus dla parzystych.dladanegoliczbataichzbiorówt jestrówna ( m ).Liczbyplusów i minusów narysowanych przy x są zatem równe liczbaplusów. liczbaminusów, >0, sąd dostajemy liczba plusów liczba minusów m ( m (1) 1 ). Zrówności(przypominamy,żem>0) m (1) 0 wynia, że czyli 1 0 m (1) 0, m (1) m ( m (1) 1 ). Wyłady z ombinatoryi

7 Zasada włączeń i wyłączeń 7 Stąd wynia, że przy elemencie x narysowaliśmy o jeden plus więcej. Ta jest dla ażdego elementuxsumya 1... A n.tozaśoznacza,żesumapoprawejstronierówności będzierównaliczbieelementówsumya 1... A n,coończydowód. 3. Liczba funcji z jednego zbioru sończonego na drugi zbiór sończony Twierdzenie..DanesądwazbiorysończoneAiB.Niech A mi B n. Wtedy m {f A B : fjest na } (1) (m) n. (.4) Dowód.Bezzmniejszeniaogólnościmożemyprzyjąć,żeA[m]iB[n].Definiujemy zbiorya 1,...,A m wnastępującysposób: dlaj1,,...,m.inaczejmówiąc {f A B : j R f } (A\{j}) B. Korzystając ze wzoru włączeń i wyłączeń otrzymujemy A 1... A m NiechzatemT P (m).wtedy m (1) 1. T P (m) (A\{j}) B (A\T) B, sąd otrzymujemy A j (A\T) B (m) n. Zatem A 1... A m m (1) 1 T P (m) (m) n m ( m (1) 1 ) (m) n. Dozaończeniadowoduwystarczyzauważyć,żesumazbiorówA 1... A m sładasię ztychfuncjif:b A,tóreniesą na.zatem {f A B : fjest na }A B \(A 1... A m ), Wyłady z ombinatoryi

8 8 Wyład czyli c.b.d.o. {f A B : fjest na } m n A 1... A m m m n (1) 1 (m) n m m n (1) (m) n m (1) (m) n, 4. Liczba nieporządów Permutacją zbioru sończonego A nazywamy funcję różnowartościową π: A A przeształcającą zbiór A na siebie. Puntem stałym permutacji π nazywamy tai element a zbioru A, dla tórego π(a) a. Nieporządiem nazywamy permutację bez puntów stałych. Zbiór wszystich permutacji zbioru A oznaczymy symbolem S(A), a zbiór nieporządów zbioru A symbolem D(A). Powyższa definicja permutacji nie jest identyczna z definicją przyjętą w wyładzie pierwszym. Poażemy teraz, że w pewnym sensie te dwie definicje opisują te same obiety ombinatoryczne. Przypuśćmy zatem, że mamy dany zbiór sończony A. Ustalmy pewne uporządowanie tego zbioru: A{a 1,a,...,a n }. Niechπ:A AbędziepermutacjązbioruAwsensiepowyższejdefinicji.Przeształcenieπmożemywtedyutożsamićzciągiem ( π(a 1 ),π(a ),...,π(a n ) ) elementówzbioru A. Oczywiście ten ciąg jest różnowartościowy, a więc jest permutacją zbioru A w sensie definicji z wyładu pierwszego. Zwróćmy uwagę na to, że utożsamienie przeształcenia π z ciągiem elementów zbioru est zależne od przyjętego na początu uporządowania zbiorua.zauważmyteż,żewprzypadu,gdya[n],obiedefinicjeporywająsię. NiechwreszcieD n oznaczaliczbęnieporządówzbiorun-elementowego,toznaczynp. D n D([n])dlan>0.PrzyjmujemyponadtoD 0 1. Twierdzenie.3Niech A n>0.wtedy D n D(A) n! (1). (.5)! Dowód.DefiniujemyzbioryA 1,...,A n wnastępującysposób: dlaj1,...,n.mamywówczas A 1... A n {π S(A): π(j)j} (1) 1 T P (n) Wyłady z ombinatoryi.

9 Zasada włączeń i wyłączeń 9 NiechterazT P (n).wówczas {π: π(j)j}{π: (π(j)j)}{π: π Tid}. Stądwynia,że Zatem A 1... A n (n)! (1) 1 T P (n) n (1) 1 ( ) n (1) 1 (n)! (1) 1 n!!. (1) 1 T P (n) (n)! n!! (n)! (n)! Następniezauważamy,żesumazbiorówA 1... A n sładasięztychpermutacji,tóre mają co najmniej jeden punt stały. Zatem sąd wynia, że D(A)S(A)\(A 1... A n ), D(A) n! A 1... A n n! n! n! To ończy dowód twierdzenia. (1) n! n! (1).! (1) 1 n!! (1) n!! Z powyższego twierdzenia wyprowadzimy wniose dotyczący prawdopodobieństwa wylosowania nieporządu. Przypuśćmy, że losujemy permutację ustalonego zbioru n-elementowego A i pytamy o to, jaie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy nieporząde. Zbiorem zdarzeń elementarnych Ω w tym przypadu jest zbiór S(A) wszystich permutacji zbioru A; przyjmujemy, że wylosowanie ażdej permutacji jest jednaowo prawdopodobne. Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia D(A) Ω. To prawdopodobieństwo jest równe P ( D(A) ) D(A) n! (1).! Wyłady z ombinatoryi

10 10 Wyład Zauważmy, że lim n (1) e 1,! sąd wynia, że dla dużych n rozważane prawdopodobieństwo jest w przybliżeniu równe e 1 0,367879(jużdlan9uzysujemydoładnośćprzybliżenia6cyfrpoprzecinu). 5. Uogólnienie wzoru włączeń i wyłączeń Przypuśćmy,żemamydanezbiorysończoneA 1,...,A n X,gdzieXjestustalonym zbiorem sończonym. Przyjmiemy, że j X. Korzystając z tej umowy, możemy wysłowić zasadę włączeń i wyłączeń w inny sposób. Zastanówmysię,ileelementówzbioruXnienależydożadnegozezbiorówA 1,...,A n. Otóż mamy X\(A 1... A n ) X j (1) 1 T P (n) n (1) (1) T P (n) T P (n). NiechnadalA 1,...,A n X.Przyjmiemywtedyoznaczenie: D r (X,A 1,...,A n ) { x X: {i [n]: x A i } r }, gdzie0 r n.inaczejmówiąc,d r (X,A 1,...,A n )jestzbioremtychelementówzbioru X,tórenależądozbiorówA i dladoładnierindesówi.jeślizbiorya 1,...,A n są ponumerowanebezpowtórzeń,tod r (X,A 1,...,A n )jestzbioremtychelementówzbioru X,tórenależądodoładnierzbiorówspośródA 1,...,A n.wdalszymciągu,będziemy pisaćwsrócie,żeelementzbioruxnależydodoładnierzbiorówspośróda 1,...,A n, mającnamyślito,żeistniejedoładnierindesówitaich,żetenelementnależydo zbiorua i. Poazaliśmy przed chwilą, że Tę równość można uogólnić. D 0 (X,A 1,...,A n ) (1) Wyłady z ombinatoryi T P (n). (.6)

11 Zasada włączeń i wyłączeń 11 Twierdzenie.4NiechA 1,...,A n będąsończonymipodzbioramizbiorusończonego X.Wówczasdladowolnegor0,1,...,nmamy D r (X,A 1,...,A n ) (1) r. (.7) r r T P (n) Dowód.NiechR P r (n).wyznaczymyliczbętychx X,tóremająwłasność: x wtedyitylowtedy,gdy j R. Inaczej mówiąc, wyznaczymy liczbę tych x X, tóre należą doładnie do tych zbiorów,dlatórychj R. Niech B oraz B j B j R dla j R. Naszym celem jest wyznaczenie liczby elementów zbioru (B\B j ), j R czyliobliczenied 0 (B,B i1,...,b inr ),gdzie[n]\r{i 1,...,i nr }. Ze wzoru(.6) wynia, że nr D 0 (B,B i1,...,b inr ) (1) nr nr nr nr nr r T R T [n] T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P r ([n]) R T T P ([n]) R T B j (1) ( B) (1) ( ) A i i R (1) ( ( ) A i ) i R (1) R (1) (1) r (1) T r. Wyłady z ombinatoryi

12 1 Wyład Dla ustalonego zbioru R obliczyliśmy, ile jest taich x X, tóre należą do doładnie tychzbiorów,dlatórychj R.Terazchcemyobliczyć,ilejesttaichx,tóre należądodoładnierzbiorów (doładniej:chcemyobliczyć,ilejesttaichx,dla tórych {i [n]: x A i } r).wtymcelumusimyzsumowaćotrzymaneliczbydla wszystich r-elementowych podzbiorów R zbioru[n]. Mamy zatem D r (X,A 1,...,A n ) co ończy dowód twierdzenia. R P r (n) T P r (n) T P r (n) r r T R T [n] R P r (T) (1) T r (1) T r ( ) T (1) T r r (1) r r T P (n) (1) r, r T P (n) 6. Liczba permutacji mających r puntów stałych W tym paragrafie obliczymy, ile jest permutacji zbioru n-elementowego mających doładnie r puntów stałych. Niech WszczególnościD 0 (A)D(A). D r (A) { π S(A): {i A: π(i)i} r }. Twierdzenie.5Niech A niniech0 r n.wtedy D r (A) n! nr r! (1). (.8)! Dowód. Sposób I. Wybieramy najpierw zbiór r puntów stałych permutacji, a następnie permutujemy pozostałe elementy ta, by nie utworzyć nowego puntu stałego; inaczej mówiąc permutacja pozostałych elementów jest nieporządiem. Stąd wynia wzór D r (A) ( ) n D nr r n! r! (nr)! (nr)! nr (1)! n! nr r! (1).! SposóbII.Korzystamyztwierdzenia.4.DefiniujemyzbioryA 1,...,A n wnastępujący sposób: {π S(A): π(j)j} Wyłady z ombinatoryi

13 Zasada włączeń i wyłączeń 13 dlaj 1,...,n.Tajawdowodzietwierdzenia.3stwierdzamy,żedlaT [n] zachodzirówność (n)! Z twierdzenia.4 otrzymujemy teraz D r (A) D r (S(A),A 1,...,A n ) (1) r r r T P (n) (1) r r r (n)! ( ) n (1) r (n)! r (1) r r r r n! (1) r r! r r r n! r! (1) r (1) r r (1) r n! nr (1) r! 1!, co ończy dowód twierdzenia. 7. Średnia liczba puntów stałych n!! (n)! (n)!! r! (r)! n!! n! r! (r)! 1 (r)! T P (n) Niech A n. Przypuśćmy, że wybieramy losowo jedną permutację ze zbioru S(A). Oznaczmyprzezp r prawdopodobieństwotego,żewylosowanapermutacjabędziemiała doładnie r puntów stałych. Z twierdzenia.5 wynia, że p r D r(a) n! r! 1 nr (1) 1!. Niech zmienna losowa X będzie oreślona wzorem X(π) {j A: π(j)j}. Wyłady z ombinatoryi

14 14 Wyład Zatem X(π) jest liczbą puntów stałych permutacji π. W tym paragrafie obliczymy wartość średnią zmiennej X. Z definicji wartości średniej mamy Mamy zatem E(X) r p r r0 r1 Korzystamy teraz ze wzoru E(X) r p r. r0 r p r r1 r1 nr 1 (1) (r1)! 1 n! nr r 1 (1) r! 1! nr r1 (1) (r1)!!. Mamy zatem nr j a r, a r,jr. r1 j1r1 E(X) nr r1 j j1r1 j j1r1 j1 j1r0 n1 j0 (1) j j! (1) n (r1)!! j j1r1 (1) jr (r1)! (jr)! (1) jr (j1)! n (j1)! (r1)! (jr)! (1) jr (j1)! (1) jr1 (j1)! ( ) j1 r1 j (1) r r0 Korzystamy teraz z równości Stąd ostatecznie ( ) j1 r j (1) r r0 j. r j1 j1r0 j1 j j1r1 (1) jr1 (j1)! (1) jr (j1)! r0 ( ) j1 r (j1)! (r1)! (jr)! (1) j1 j1 ( ) (1) (j1)! r j1 r { j 1 jeślij0, r 0 jeślij>0. E(X) n1 j0 (1) j j! j (1) r r0 ( j ) (1)0 r 0! 1. Wyłady z ombinatoryi

15 Zasada włączeń i wyłączeń 15 Średnią liczbę puntów stałych permutacji można obliczyć znacznie prościej, orzystając z następującej własności wartości średniej zmiennych losowych: E(X 1...X n )E(X 1 )...E(X n ). ZdefiniujmyteraznzmiennychlosowychX 1,...,X n : { 1 jeśliπ(i)i, X i (π) 0 jeśliπ(i) i. Nietrudnozauważyć,żewtedyXX 1...X n,gdziexjestzmiennąlosowązdefiniowanąwyżej.następniełatwoobliczyć,żee(x i )P(X1) 1 n.stąddostajemy E(X)E(X 1 )...E(X n )n 1 n Problem par małżeńsich W tym paragrafie rozwiążemy następujący problem pochodzący od Lucasa(le problème des ménages). Dany jest orągły stół, woół tórego mamy posadzić na numerowanych miejscach n par małżeńsich w tai sposób, by panie i panowie siedzieli naprzemian i by żadnapaniniesiedziałaoboswojegomęża.lucaspytałoto,nailesposobówmożemy te osoby posadzić woół stołu z zachowaniem podanych reguł. Popatrzmy najpierw na przyład.otoorągłystółz1miejscami(awięctutajn6): Przede wszystim widzimy, że panie muszą zająć albo miejca parzyste, albo nieparzyste. Ponumerujmy więc oddzielnie liczbami od 1 do 6 miejsca parzyste i nieparzyste: Wyłady z ombinatoryi

16 16 Wyład Najpierw posadzimy panie. Ich miejsca możemy wybrać na n! sposobów: musimy zdecydować, czy wybieramy miejsca parzyste, czy nieparzyste, a następnie na wybranych miejscachmamyn!możliwościposadzenianpań.ponumerujmypanie:k 1,K,...,K n, przyczymprzyjmujemy,żepanik i siedzinamiejscui.dlaustaleniauwagiprzypuśćmy, że panie posdziliśmy na miejscach parzystych, czyli białych na rysunu drugim. Ponumerujmynastępniepanów:M 1,M,...,M n,przyczymzaładamy,żepanm i jest mężempanik i.przyładowysposóbposadzenianpanówwidzimynanastępnymrysunu: K 6 M 4 M K K 1 M 1 5 M 5 K 4 4 M 4 3 K 3 Widzimy, że usadzenie panów jest zgodne z wymaganiami, jeśli spełnione są następujące waruni: panm 1 niesiedzinażadnymzmiejsc1i, panm niesiedzinażadnymzmiejsci3, panm 3 niesiedzinażadnymzmiejsc3i4, panm 4 niesiedzinażadnymzmiejsc4i5, panm 5 niesiedzinażadnymzmiejsc5i6, panm 6 niesiedzinażadnymzmiejsc6i1. Ogólnie dla n par waruni te możemy sformułować w trzech puntach: żadenzpanówm i (dlai1,...,n)niemożesiedziećnamiejscui, żadenzpanówm i (dlai1,...,n1)niemożesiedziećnamiejscui1, panm n niemożesiedziećnamiejscu1, Niechterazπ(i)oznaczanumermiejsca,natórymsiedzipanM i.naszymcelemjest znalezienie liczby µ(n) permutacji π S([n]), spełniających następujące waruni: 1)π(i) idlai1,...,n, )π(i) i1dlai1,...,n1, 3)π(n) 1. Liczba M(n) wszystich możliwych sposobów posadzenia n par małżeńsich będzie równa M(n) n! µ(n). (.9) 3 M 6 Wyłady z ombinatoryi K

17 Zasada włączeń i wyłączeń 17 Definiujemy n zbiorów: Wówczas A i1 {π S([n]): π(i)i} dlai1,...,n, A i {π S([n]): π(i)i1} dlai1,...,n1, A n {π S([n]): π(n)1}. µ(n) S([n])\(A 1... A n ) D 0 (S([n]),A 1,...,A n ) (1) T P (n) NiechT P (n).chcemyobliczyć. Zauważmy, że, wtedy i tylo wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z trzech warunów: 1)i1,i Tdlapewnegoi1,...,n, )i,i1 Tdlapewnegoi1,...,n1, 3)1,n T. Przypuśćmy bowiem, że π orazspełnionyjestwarunepierwszydlapewnegoi.wtedyπ A i1 A i,czyli π(i)iorazπ(i)i1,cojestniemożliwe.podobnie,jeślispełnionyjestwarune drugidlapewnegoi,toπ A i A i1,czyliπ(i)i1orazπ(i1)i1. Totażejestniemożliwe.Wreszcie,jeśli1,n T,toπ A 1 A n,czyliπ(1)1 orazπ(n)1,cotażejestniemożliwe.naodwrót,jeśliżadenztychtrzechwarunów niejestspełniony,czyliwzbiorzet niewystępujądwieolejneliczby(liczbyni1 tratujemy tu jao liczby olejne), to w permutacji π mamy ustalone wartości. Taie permutacjeistniejąijestich(n)!.zauważmy,żewtedyoczywiście n. Wprowadźmy na użyte tego dowodu następujące oznaczenia. Oznaczmy przez g(n, ) liczbętaichzbiorówb P (n),że: a)jeślii B,toi1 Bdlai1,...,n1, b)jeślin B,to1 B. Oznaczmynastępnieprzezh(n,)liczbęzbiorówB P (n)spełniającychtylopowyższy warune a): a)jeślii B,toi1 Bdlai1,...,n1, Wyłady z ombinatoryi

18 18 Wyład Wtedy µ(n) (1) (n)! g(n,). (.10) Naszym celem jest zatem obliczenie g(n, ). Lemat.6.h(n,) ( ) n1. Dowód. Sposób I. Mamy policzyć, ile jest -elementowych podzbiorów zbioru[n] nie zawierających dwóch olejnych liczb. Każdy -elementowy podzbiór zbioru[n] jest zbiorem wartości doładnie jednej funcji rosnącej f :[] [n]. Warune, że ten podzbiór nie zawiera dwóch olejnych liczb jest równoważny następującej własności funcjif: f(i1)f(i) dlai1,,...,n1. ( ) Dladowolnejfuncjif:[] [n]definiujemyfuncjęg:[] [n1]wzorem dlai1,,...,.mamyzatem g(i)f(i)i1 g(1)f(1), g()f()1, g(3)f(3), g(1)f(1)(), gf(1). Nietrudno zauważyć, że funcja f spełnia warune( ) wtedy i tylo wtedy, gdy funcja gjestrosnąca.zatemfuncjif:[] [n]spełniającychwarune( )jesttyle,ilefuncji rosnącychg:[] [n1],awięc ( ) n1. SposóbII.Rozumowaniebędziemyilustrowaćprzyładem,wtórymn13i4. Narysujmywjednejliniinółecze. Tworząonen1(wnaszymprzyładzien110)wolnychmiejsc:jednoprzed wszystimi ółeczami, n 1 miejsc między olejnymi ółeczami i jedno na ońcu, zawszystimiółeczami.ztychn1miejscwybierzmymiejsc(wnaszym przyładzie będzie to miejsce pierwsze, miejsce między trzecim i czwartym ółiem, miejsce między siódmym i ósmym ółiem oraz miejsce między ósmym i dziewiątym ółiem) i wstawmy w nie czarne óła: Mamy razem n ółe, w tym czarnych. Sposób wstawiania gwarantuje, że żadne dwa czarne óła nie będą stały obo siebie. Tai ciąg ółe oduje podzbiór zbioru[n]: {i [n]: nai-tymmiejscustoiczarneóło}. Wyłady z ombinatoryi

19 Zasada włączeń i wyłączeń 19 W naszym przyładzie jest to zbiór{1, 5, 10, 1}. Zauważmy wreszcie, że czarne óła możemywstawićna ( ) n1 sposobów,coończydowódlematu. ) Lemat.7.g(n,) n (n n. Dowód.ZliczamyzbioryB P (n)spełniającewarunia)ib). NajpierwzajmiemysiętaimizbioramiB,że1 B.Wtedy Borazn B. PonadtozbiórB\{1} P 1 ({3,...,n1})spełniawarunea).Stądwynia,że istniejeh(n3,1)taichzbiorówb. ZajmijmysięnastępnietaimizbioramiB,że1 B.WtedyzbiórB P ({,...,n}) spełniawarunea).istniejezatemh(n1,)taichzbiorówb.zatem c.b.d.o. g(n,)h(n3,1)h(n1,) ( ) ( ) n1 n 1 n ( ) ( ) n n n n ( ) n, Twierdzenie.8. Liczba sposobów posadzenia n par małżeńsich przy orągłym stole jest równa M(n) n! (1) ( ) n n (n)! (.11) n Dowód. Z równości(.9) i(.10) wynia, że liczba sposobów posadzenia n par małżeńsich przy orągłym stole jest równa M(n) n! µ(n) n! Korzystając z lematu.7 otrzymujemy c.b.d.o. (1) (n)! g(n,). M(n) n! (1) ( ) n n (n)!, n 9. Sumy potęg liczb naturalnych Przypomnijmy z wyładu 1 oznaczenie S (n) j 1...n, j1 Wyłady z ombinatoryi

20 0 Wyład gdzien, 1.Zwyładu1wiemy,że S 0 (n)n, ( ) n1 S 1 (n) n(n1), S (n) 4 1 ( ) n n(n1)(n1), 3 6 ( ) n1 S 3 (n) S 1 (n) n (n1). 4 Wyprowadzimy teraz pewien wzór ogólny. Będzie to wzór reurencyjny, pozwalający obliczyćs (n),jeślisąznanewszyties j (n)dlaj<. Twierdzenie.9.Jeślin, 1,to n (1) j1 S j (n). (.1) j j1 Zanim udowodnimy to twierdzenie, przyjrzymy się jego początowym przypadom i poażemy,jazniegomożnaotrzymaćwzorynas (n)dla 3.Oczywiście S 0 (n)1 0...n 0 n. Teraz,orzystającztwierdzenia.9dlamamy n (1) j1 S j (n) S 1 (n) j 1 j1 sąd otrzymujemy czyli Następnie,dla3mamy n 3 3 ( 3 (1) j1 j j1 S 1 (n)n nn(n1), ) S 3j (n) 3S (n)3 n(n1) sąd dostajemy S 1 (n) n(n1). n, 3S (n)n 3 3 n(n1) n3 3n 3nn) n(n1)(n1), 3 S (n) 1 S 0 (n)s 1 (n)n, 3 S 1 (n) n n3 3n(n1)n n(n 3n1) Wyłady z ombinatoryi 3 S 0 (n) 3

21 Zasada włączeń i wyłączeń 1 czyli Wreszciedlan4mamy sąd wynia, że czyli n 4 4 ( 4 (1) j1 j j1 4 1 S 3 (n) S (n) n(n1)(n1). 6 ) S 4j (n) 4 S (n) 4 S 1 (n) 3 4 S 0 (n) 4 4S (n)6 n(n1)(n1) 4 n(n1) 3 n 6 4S 3 (n)n(n1)(n1)n(n1)n, 4S 3 (n)n 4 n(n1)(n1)n(n1)n n (n 3 (n1)(n1)(n1)1 ) n ((n 3 1)(n1)(n1) ) n ((n1)(n n1)(n1)(n1) ) n(n1)(n n1n1)n(n1)(n n) n (n1), Udowodnimy teraz twierdzenie.9. Dowód. Weźmy zbiór S 3 (n) n (n1). 4 X[n] {(x 1,...,x ): x 1,...,x [n]}. Wtedyoczywiście X n.definiujemyteraznastępującepodzbioryzbiorux: A m {(x 1,...,x ) X: i(x i x m )} dlam1,...,.inaczejmówiąc,dozbiorua m należąteciągi,wtórychnajwięszy wyraz znajduje się na m-tym miejscu. Oczywiście ciągi mające najwięszy wyraz na ilumiejscach,należądoilutaichzbiorówa m.naprzyład,jeślin5i7,to (1,3,4,,5,4,) A 5 oraz(1,3,4,,1,4,) A 3 A 6.Ogólnie,niechT P j,gdzie 1 j.wtedy m T A m n {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)}. l1 Wyłady z ombinatoryi

22 Wyład Zauważmy następnie, że oraz zbiory {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)} l j {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)} dla różnych l są rozłączne. Zatem Wreszcie m T n l j S j (n). l1 XA 1... A, a więc z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy czyli c.b.d.o. 10. Dwie tożsamości X (1) j1 j1 T P j (1) j1 j1 j1 n T P j m T A m S j (n) (1) j1 S j (n), j (1) j1 S j (n), j j1 Rozważania tego paragrafu będą w zasadzie powtórzeniem rozważań z paragrafu 3. Zajmiemy się funcjami f:[n] [m] i będziemy chcieli policzyć funcje f spełniające dlapewnegowarune[] R f.definiujemyzbiorya 1,...,A wnastępującysposób: {f [m] [n] : j R f } dlaj1,...,.korzystajączewzoruwłączeńiwyłączeń,podobniejawparagrafie 3, otrzymujemy A 1... A (1) j1 j1 ( (1) j1 j j1 T P j i T A i (1) j1 ) (mj) n. j1 Wyłady z ombinatoryi T P j (mj) n

23 Zasada włączeń i wyłączeń 3 Funcje,tórenasinteresują,tworzązbiór[m] [n] \(A 1... A ).Zatemliczbataich funcji jest równa m n (1) j1 (mj) n j j1 (1) j (mj) n. j Wszczególności,jeślinorazm n,toistniejen!taichfuncji.zatem j0 Zdefiniujmy teraz wielomian W(x) wzorem j0 ( ) n (1) j (mj) n n! dlam n. (.13) j W(x) ( ) n (1) (x) n. Jest to wielomian stopnia co najwyżej n. Z tożsamości(.13) wynia jedna, że tę samą wartość n! przyjmuje on w niesończenie wielu puntach: W(m)n! dlam n. Stąd wynia, że ten wielomian jest wielomianem stałym, czyli ( ) n (1) (x) n n! (.14) Z rozumowaniem, tóre przeprowadziliśmy, pozwalającym przejść od tożsamości udowodnionej dla liczb naturalnych do równości wielomianów, spotamy się jeszcze w następnych wyładach. 11. Nierówności Bonferroniego Udowodnimy teraz dwie nierówności, zwane nierównościami Bonferroniego. Oto one: r A 1... A n (1) 1 (.15) oraz A 1... A n r1 T P (n) (1) 1 T P (n). (.16) Powtarzamy drugi dowód zasady włączeń i wyłączeń polegający na przeglądaniu olejnych sładniów sumy stojącej po prawej stronie nierówności i rysowaniu przy ażdym elemencieiloczynu znaupluslubminuswzależnościodtego,czyliczba Wyłady z ombinatoryi

24 4 Wyład występujewsumiezeznaiemplusczyminus.inaczejmówiąc,jeślizbiórtmanieparzystą liczbę elementów, to rysujemy zna plus; jeśli zaś zbiór T ma parzystą liczbę elementów, to rysujemy zna minus. Ta ja w poprzednim dowodzie zauważamy, że prawa strona równości(.3) jest różnicą między liczbą plusów i liczbą minusów. Musimy zatem oszacować różnicę między liczbą plusówiminusównarysowanychprzyażdymelemenciesumyzbiorówa 1... A n. Zajmiemy się najpierw nierównością(.15). Mamy teraz poazać, że przy ażdym elemenciesumyzbiorówa 1... A n narysowaliśmyconajwyżejojedenpluswięcej.niech x A 1... A n.tajapoprzednio,niech M{j: x }. Inaczejmówiąc,x wtedyitylowtedy,gdyj M.Oznaczmym M ;oczywiście m>0.niechterazt P (n)ipopatrzmynazbiór ;jesttojedenzezbiorów występującychpoprawejstronierówności(.3).jeślit\m,tooczywiściemamy x.przypuśćmyzatem,żet M.Wtedyprzyelemenciexrysowaliśmyzna plus lub minus, w zależności od parzystości : plus dla nieparzystych, minus dla parzystych.dladanegoliczbataichzbiorówt jestrówna ( m ).Liczbyplusów i minusów narysowanych przy x są zatem równe liczba plusów liczba minusów r. r, 1 sąd dostajemy r ( m liczba plusów liczba minusów (1) 1 ). Tym razem orzystamy z równości(1.7)(przypominamy, że m > 0): r (1) ( m ) 1 (1) r r ( m1 Mamyterazdwiemożliwości.Jeślim1<r,czylim r(tzn.elementxnależydo conajwyżejrzbiorów ),totajapoprzednio liczbaplusówliczbaminusów0. r ). Jeślizaśm>r,to 1 1 r Wyłady z ombinatoryi

25 Zasada włączeń i wyłączeń 5 sąd wynia, że czyli Zatem r 0 r r (1) 1, (1) 0. r (1) 1 (1) 0. Stąd wynia, że przy elemencie x narysowaliśmy co najwyżej tyle plusów, ile minusów. ZatemdlaażdegoelementuxsumyA 1... A n wobuprzypadachnarysowaliśmyco najwyżej o jeden plus więcej, co dowodzi nierówności(.15). Dowód nierówności(.16) jest analogiczny i pozostawimy go jao ćwiczenie. Zpowyższegodowoduwynia,żejeśliażdyelementsumyA 1... A n należydoco najwyżejrzbiorów,tonierówność(.15)stajesięrównością.jeślinatomiastistnieje conajmniejjedenelementnależącydowięcejniżrzbiorów,tonierówność(.15) jestostra.podobniejestznierównością(.16).jeśliażdyelementsumya 1... A n należydoconajwyżejr1zbiorów,tomamyrówność;wprzeciwnymprzypadu nierówność jest ostra. Wyłady z ombinatoryi

26 6 Wyład Spis tożsamości ombinatorycznych A B A B A B (.1) A B C A B C A B A C B C A B C. (.) A 1... A n (1) 1 T P (n). (.3) m {f A B : fjest na } (1) (m) n. (.4) (1) D(A) n!. (.5)! D 0 (X,A 1,...,A n ) (1). (.6) D r (X,A 1,...,A n ) µ(n) T P (n) (1) r r r D r (A) n! nr r! T P (n). (.7) (1). (.8)! M(n) n! µ(n). (.9) (1) (n)! g(n,). (.10) M(n) n! (1) ( ) n n (n)! (.11) n n (1) j1 S j (n). (.1) j j1 ( ) n (1) j (mj) n n! dlam n. (.13) j j0 ( ) n (1) (x) n n! (.14) A 1... A n A 1... A n m m1 (1) 1 T P (n) (1) 1 T P (n). (.15). (.16) Wyłady z ombinatoryi

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE Równania reurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE 1 Ciągi arytmetyczne i geometryczne Z najprostszymi równaniami reurencyjnymi zetnęliśmy się już w szole Zacznijmy od przypomnienia definicji ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =

P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} = Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Podstawowe techniki zliczania obiektów kombinatorycznych. Szufladkowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń.

Podstawowe techniki zliczania obiektów kombinatorycznych. Szufladkowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń. Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 Podstawowe technii zliczania obietów obinatorycznych. Szufladowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń. Szufladowa Zasada Dirichleta. Jest rzeczą

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/15 WARIACJE Liczba wariacji, czyli różnych ciągów k-elementowych o wyrazach ze zbioru n-elementowego, wynosi n k. Ciąg k-elementowy,

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Kody Huffmana oraz entropia przestrzeni produktowej. Zuzanna Kalicińska. 1 maja 2004

Kody Huffmana oraz entropia przestrzeni produktowej. Zuzanna Kalicińska. 1 maja 2004 Kody uffmana oraz entroia rzestrzeni rodutowej Zuzanna Kalicińsa maja 4 Otymalny od bezrefisowy Definicja. Kod nad alfabetem { 0, }, w tórym rerezentacja żadnego znau nie jest refisem rerezentacji innego

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zadania

Matematyka Dyskretna Zadania Matematya Dysretna Zadania Jace Cichoń Politechnia Wrocławsa, WPPT Wrocław 015 1 Wstęp 11 Oznaczenia [n] = {1,, n} [] = {X P ( : X = } (x = 1 j=0 (x j, (x = 1 (x + j Zadanie 1 j=0 Poaż za pomocą inducji

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Colloquium 3, Grupa A

Colloquium 3, Grupa A Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Zbiór zadań kolekcjonowanych w ciągu semestralnego kursu Matematyka dyskretna prof. dr hab. M. Morayne dla studentów informatyki magisterskiej WPPT PWr wiosna-lato 2005 UWAGA: Zadania

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Ciągi liczbowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Materiały merytoryczne do kursu Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne stanowią istotne klasy ciągów zarówno

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r. 1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,

Bardziej szczegółowo

3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p,

3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p, Zadanie 1. Sprawdzić, czy formuła φa ) ) = 3 a 2 zadaje funcjonał liniowy na l p dla p [1, ] i na c, jeśli ta, to czy zadaje funcjonał ciągły, i jeśli ta, policzyć normę. Dowód. Sprawdzam liniowość: φλa

Bardziej szczegółowo

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo