Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ. Przypominamy, że w wykładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości:"

Transkrypt

1 Zasada włączeń i wyłączeń 1 ZASADA WŁACZEŃ I WYŁĄCZEŃ 1. Przypomnienie Przyjmiemy również oznaczenie [n]{1,...,n} dlan>0, P (n){a [n]: A }. P (n){a [n]: A }. Przypominamy, że w wyładzie 1 udowodniliśmy następujące dwie równości: oraz A B A B A B (.1) A B C A B C A B A C B C A B C. (.) Udowodnimy teraz twierdzenie będące uogólnieniem tych dwóch równości na przypade dowolnej liczby zbiorów sończonych.. Wzór włączeń i wyłączeń Twierdzenie.1.JeśliA 1,...,A n sązbioramisończonymi,to A 1... A n Dowód. Wprowadźmy oznaczenie: (1) 1 S (B 1,...,B m ) Teza twierdzenia przybiera wtedy postać: A 1... A n T P (m) T P (n). (.3) B j. (1) 1 S (A 1,...,A n ). Twierdzenia dowodzimy przez inducję względem n. Dla n 1 twierdzenie jest oczywiste.dlanin3byłojużudowodnione.załadamyteraz,żedladowolnychn zbiorów(gdzie n ) twierdzenie jest prawdziwe i dowodzimy, że jest prawdziwe dla dowolnychn1zbiorów.niechwięca 1,...,A n1 będądowolnymizbioramisończonymi. Wówczas A 1... A n1 (A 1... A n ) A n1 A 1... A n A n1 (A 1... A n ) A n1 A 1... A n A n1 (A 1 A n1 )... (A n A n1 ). Wyłady z ombinatoryi

2 Wyład Korzystamyterazdwurotniezzałożeniainducyjnego:dlazbiorówA 1,...,A n oraz dlazbiorówa 1 A n1,...,a n A n1 : A 1... A n (1) 1 S (A 1,...,A n ), (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ). Zauważmy następnie, że A 1... A n A n1 S 1 (A 1,...,A n ) A n1 (1) 1 S (A 1,...,A n ) A 1... A n A n1 S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) oraz (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) (1) n1 S n (A 1 A n1,...,a n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 ) (1) n1 (A 1 A n1 )... (A n A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n1 A 1... A n A n1 (1) S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n A 1... A n A n1 (1) S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ). Zatem A 1... A n S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n ) Wyłady z ombinatoryi

3 Zasada włączeń i wyłączeń 3 (1) 1 S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) S 1 (A 1,...,A n1 ) Następnie zauważmy, że (1) 1 (S (A 1,...,A n )S n1 (A 1,...,A n1 )) (1) n S n1 (A 1,...,A n1 ). S (A 1,...,A n )S 1 (A 1 A n1,...,a n A n1 )S (A 1,...,A n1 ) Stąd ostatecznie dostajemy A 1... A n S 1 (A 1,...,A n1 ) (1) 1 S (A 1,...,A n1 )(1) n S n1 (A 1,...,A n1 ) n1 (1) 1 S (A 1,...,A n1 ), co ończy dowód twierdzenia. Wzór(.3) nazywamy wzorem włączeń i wyłączeń. Inny dowód. Przeglądamy olejne sładnii sumy stojącej po prawej stronie równości iprzyażdymelemencieiloczynu od tego, czy liczba rysujemyznapluslubminuswzależności występowaławsumiezeznaiemplusczyminus.inaczej mówiąc, jeśli zbiór T ma nieparzystą liczbę elementów, to rysujemy zna plus; jeśli zaś zbiór T ma parzystą liczbę elementów, to rysujemy zna minus. Zilustrujemy tę procedurę(w przypadu sumy trzech zbiorów A B C) serią rysunów. Dowodzimy równości A B C A B C A B A C B C A B C. Przeglądamy sładnii sumy po prawej stronie i rysujemy znai plus olejno przy ażdym elemencie zbiorów A, B i C, potem znai minus przy ażdym elemencie zbiorów A B,A CiB C,wreszcieznaiplusprzyażdymelemenciezbioruA B C. Rysune 1: zbiory A, B i C wraz z zaznaczonymi przyładowymi elementami(po jednym elemencie w ażdej sładowej). A B C Wyłady z ombinatoryi

4 4 Wyład Rysune : przy ażdym elemencie zbioru A rysujemy zna plus A B C Rysune 3: przy ażdym elemencie zbioru B rysujemy zna plus A B C Rysune 4: przy ażdym elemencie zbioru C rysujemy zna plus A B C Rysune5:przyażdymelemenciezbioruA Brysujemyznaminus A B C Wyłady z ombinatoryi

5 Zasada włączeń i wyłączeń 5 Rysune6:przyażdymelemenciezbioruA Crysujemyznaminus A B C Rysune7:przyażdymelemenciezbioruB Crysujemyznaminus A B C Rysune8:przyażdymelemenciezbioruA B Crysujemyznaplus A B C Zauważamy,żeprzyażdymelemenciesumyA B Cliczbanarysowanychplusów jest o jeden więsza od liczby narysowanych minusów: przy elementach należących do jednego zbioru narysowaliśmy tylo jeden plus, przy elementach należących do dwóch zbiorów narysowaliśmy dwa plusy i jeden minus, wreszcie przy elementach należących do wszystich trzech zbiorów narysowaliśmy cztery plusy i trzy minusy. To daje równość (liczbaplusów)(liczbaminusów) A B C. Wyłady z ombinatoryi

6 6 Wyład Nietrudno przy tym zauważyć, że w ażdym z siedmiu powyższych roów liczba narysowanych znaów była równa liczbie elementów rozpatrywanego zbioru. Stąd dostajemy równość (liczba plusów)(liczba minusów) A B C A B A C B C A B C, z tórej wynia równość(.). Powróćmy do dowodu twierdzenia.1. Znów zauważamy, że prawa strona równości(.3) jest różnicą między liczbą plusów i liczbą minusów. Wystarczy zatem poazać, że przy ażdymelemenciesumyzbiorówa 1... A n narysowaliśmyojedenpluswięcej.niech x A 1... A n.niechnastępnie M{j: x }. Inaczejmówiąc,x wtedyitylowtedy,gdyj M.Oznaczmym M ;oczywiście m>0.niechterazt P (n)ipopatrzmynazbiór ;jesttojedenzezbiorów występującychpoprawejstronierówności(.3).jeślit\m,tooczywiściemamy x.przypuśćmyzatem,żet M.Wtedyprzyelemenciexrysowaliśmyzna plus lub minus, w zależności od parzystości : plus dla nieparzystych, minus dla parzystych.dladanegoliczbataichzbiorówt jestrówna ( m ).Liczbyplusów i minusów narysowanych przy x są zatem równe liczbaplusów. liczbaminusów, >0, sąd dostajemy liczba plusów liczba minusów m ( m (1) 1 ). Zrówności(przypominamy,żem>0) m (1) 0 wynia, że czyli 1 0 m (1) 0, m (1) m ( m (1) 1 ). Wyłady z ombinatoryi

7 Zasada włączeń i wyłączeń 7 Stąd wynia, że przy elemencie x narysowaliśmy o jeden plus więcej. Ta jest dla ażdego elementuxsumya 1... A n.tozaśoznacza,żesumapoprawejstronierówności będzierównaliczbieelementówsumya 1... A n,coończydowód. 3. Liczba funcji z jednego zbioru sończonego na drugi zbiór sończony Twierdzenie..DanesądwazbiorysończoneAiB.Niech A mi B n. Wtedy m {f A B : fjest na } (1) (m) n. (.4) Dowód.Bezzmniejszeniaogólnościmożemyprzyjąć,żeA[m]iB[n].Definiujemy zbiorya 1,...,A m wnastępującysposób: dlaj1,,...,m.inaczejmówiąc {f A B : j R f } (A\{j}) B. Korzystając ze wzoru włączeń i wyłączeń otrzymujemy A 1... A m NiechzatemT P (m).wtedy m (1) 1. T P (m) (A\{j}) B (A\T) B, sąd otrzymujemy A j (A\T) B (m) n. Zatem A 1... A m m (1) 1 T P (m) (m) n m ( m (1) 1 ) (m) n. Dozaończeniadowoduwystarczyzauważyć,żesumazbiorówA 1... A m sładasię ztychfuncjif:b A,tóreniesą na.zatem {f A B : fjest na }A B \(A 1... A m ), Wyłady z ombinatoryi

8 8 Wyład czyli c.b.d.o. {f A B : fjest na } m n A 1... A m m m n (1) 1 (m) n m m n (1) (m) n m (1) (m) n, 4. Liczba nieporządów Permutacją zbioru sończonego A nazywamy funcję różnowartościową π: A A przeształcającą zbiór A na siebie. Puntem stałym permutacji π nazywamy tai element a zbioru A, dla tórego π(a) a. Nieporządiem nazywamy permutację bez puntów stałych. Zbiór wszystich permutacji zbioru A oznaczymy symbolem S(A), a zbiór nieporządów zbioru A symbolem D(A). Powyższa definicja permutacji nie jest identyczna z definicją przyjętą w wyładzie pierwszym. Poażemy teraz, że w pewnym sensie te dwie definicje opisują te same obiety ombinatoryczne. Przypuśćmy zatem, że mamy dany zbiór sończony A. Ustalmy pewne uporządowanie tego zbioru: A{a 1,a,...,a n }. Niechπ:A AbędziepermutacjązbioruAwsensiepowyższejdefinicji.Przeształcenieπmożemywtedyutożsamićzciągiem ( π(a 1 ),π(a ),...,π(a n ) ) elementówzbioru A. Oczywiście ten ciąg jest różnowartościowy, a więc jest permutacją zbioru A w sensie definicji z wyładu pierwszego. Zwróćmy uwagę na to, że utożsamienie przeształcenia π z ciągiem elementów zbioru est zależne od przyjętego na początu uporządowania zbiorua.zauważmyteż,żewprzypadu,gdya[n],obiedefinicjeporywająsię. NiechwreszcieD n oznaczaliczbęnieporządówzbiorun-elementowego,toznaczynp. D n D([n])dlan>0.PrzyjmujemyponadtoD 0 1. Twierdzenie.3Niech A n>0.wtedy D n D(A) n! (1). (.5)! Dowód.DefiniujemyzbioryA 1,...,A n wnastępującysposób: dlaj1,...,n.mamywówczas A 1... A n {π S(A): π(j)j} (1) 1 T P (n) Wyłady z ombinatoryi.

9 Zasada włączeń i wyłączeń 9 NiechterazT P (n).wówczas {π: π(j)j}{π: (π(j)j)}{π: π Tid}. Stądwynia,że Zatem A 1... A n (n)! (1) 1 T P (n) n (1) 1 ( ) n (1) 1 (n)! (1) 1 n!!. (1) 1 T P (n) (n)! n!! (n)! (n)! Następniezauważamy,żesumazbiorówA 1... A n sładasięztychpermutacji,tóre mają co najmniej jeden punt stały. Zatem sąd wynia, że D(A)S(A)\(A 1... A n ), D(A) n! A 1... A n n! n! n! To ończy dowód twierdzenia. (1) n! n! (1).! (1) 1 n!! (1) n!! Z powyższego twierdzenia wyprowadzimy wniose dotyczący prawdopodobieństwa wylosowania nieporządu. Przypuśćmy, że losujemy permutację ustalonego zbioru n-elementowego A i pytamy o to, jaie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy nieporząde. Zbiorem zdarzeń elementarnych Ω w tym przypadu jest zbiór S(A) wszystich permutacji zbioru A; przyjmujemy, że wylosowanie ażdej permutacji jest jednaowo prawdopodobne. Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia D(A) Ω. To prawdopodobieństwo jest równe P ( D(A) ) D(A) n! (1).! Wyłady z ombinatoryi

10 10 Wyład Zauważmy, że lim n (1) e 1,! sąd wynia, że dla dużych n rozważane prawdopodobieństwo jest w przybliżeniu równe e 1 0,367879(jużdlan9uzysujemydoładnośćprzybliżenia6cyfrpoprzecinu). 5. Uogólnienie wzoru włączeń i wyłączeń Przypuśćmy,żemamydanezbiorysończoneA 1,...,A n X,gdzieXjestustalonym zbiorem sończonym. Przyjmiemy, że j X. Korzystając z tej umowy, możemy wysłowić zasadę włączeń i wyłączeń w inny sposób. Zastanówmysię,ileelementówzbioruXnienależydożadnegozezbiorówA 1,...,A n. Otóż mamy X\(A 1... A n ) X j (1) 1 T P (n) n (1) (1) T P (n) T P (n). NiechnadalA 1,...,A n X.Przyjmiemywtedyoznaczenie: D r (X,A 1,...,A n ) { x X: {i [n]: x A i } r }, gdzie0 r n.inaczejmówiąc,d r (X,A 1,...,A n )jestzbioremtychelementówzbioru X,tórenależądozbiorówA i dladoładnierindesówi.jeślizbiorya 1,...,A n są ponumerowanebezpowtórzeń,tod r (X,A 1,...,A n )jestzbioremtychelementówzbioru X,tórenależądodoładnierzbiorówspośródA 1,...,A n.wdalszymciągu,będziemy pisaćwsrócie,żeelementzbioruxnależydodoładnierzbiorówspośróda 1,...,A n, mającnamyślito,żeistniejedoładnierindesówitaich,żetenelementnależydo zbiorua i. Poazaliśmy przed chwilą, że Tę równość można uogólnić. D 0 (X,A 1,...,A n ) (1) Wyłady z ombinatoryi T P (n). (.6)

11 Zasada włączeń i wyłączeń 11 Twierdzenie.4NiechA 1,...,A n będąsończonymipodzbioramizbiorusończonego X.Wówczasdladowolnegor0,1,...,nmamy D r (X,A 1,...,A n ) (1) r. (.7) r r T P (n) Dowód.NiechR P r (n).wyznaczymyliczbętychx X,tóremająwłasność: x wtedyitylowtedy,gdy j R. Inaczej mówiąc, wyznaczymy liczbę tych x X, tóre należą doładnie do tych zbiorów,dlatórychj R. Niech B oraz B j B j R dla j R. Naszym celem jest wyznaczenie liczby elementów zbioru (B\B j ), j R czyliobliczenied 0 (B,B i1,...,b inr ),gdzie[n]\r{i 1,...,i nr }. Ze wzoru(.6) wynia, że nr D 0 (B,B i1,...,b inr ) (1) nr nr nr nr nr r T R T [n] T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P ([n]\r) T P r ([n]) R T T P ([n]) R T B j (1) ( B) (1) ( ) A i i R (1) ( ( ) A i ) i R (1) R (1) (1) r (1) T r. Wyłady z ombinatoryi

12 1 Wyład Dla ustalonego zbioru R obliczyliśmy, ile jest taich x X, tóre należą do doładnie tychzbiorów,dlatórychj R.Terazchcemyobliczyć,ilejesttaichx,tóre należądodoładnierzbiorów (doładniej:chcemyobliczyć,ilejesttaichx,dla tórych {i [n]: x A i } r).wtymcelumusimyzsumowaćotrzymaneliczbydla wszystich r-elementowych podzbiorów R zbioru[n]. Mamy zatem D r (X,A 1,...,A n ) co ończy dowód twierdzenia. R P r (n) T P r (n) T P r (n) r r T R T [n] R P r (T) (1) T r (1) T r ( ) T (1) T r r (1) r r T P (n) (1) r, r T P (n) 6. Liczba permutacji mających r puntów stałych W tym paragrafie obliczymy, ile jest permutacji zbioru n-elementowego mających doładnie r puntów stałych. Niech WszczególnościD 0 (A)D(A). D r (A) { π S(A): {i A: π(i)i} r }. Twierdzenie.5Niech A niniech0 r n.wtedy D r (A) n! nr r! (1). (.8)! Dowód. Sposób I. Wybieramy najpierw zbiór r puntów stałych permutacji, a następnie permutujemy pozostałe elementy ta, by nie utworzyć nowego puntu stałego; inaczej mówiąc permutacja pozostałych elementów jest nieporządiem. Stąd wynia wzór D r (A) ( ) n D nr r n! r! (nr)! (nr)! nr (1)! n! nr r! (1).! SposóbII.Korzystamyztwierdzenia.4.DefiniujemyzbioryA 1,...,A n wnastępujący sposób: {π S(A): π(j)j} Wyłady z ombinatoryi

13 Zasada włączeń i wyłączeń 13 dlaj 1,...,n.Tajawdowodzietwierdzenia.3stwierdzamy,żedlaT [n] zachodzirówność (n)! Z twierdzenia.4 otrzymujemy teraz D r (A) D r (S(A),A 1,...,A n ) (1) r r r T P (n) (1) r r r (n)! ( ) n (1) r (n)! r (1) r r r r n! (1) r r! r r r n! r! (1) r (1) r r (1) r n! nr (1) r! 1!, co ończy dowód twierdzenia. 7. Średnia liczba puntów stałych n!! (n)! (n)!! r! (r)! n!! n! r! (r)! 1 (r)! T P (n) Niech A n. Przypuśćmy, że wybieramy losowo jedną permutację ze zbioru S(A). Oznaczmyprzezp r prawdopodobieństwotego,żewylosowanapermutacjabędziemiała doładnie r puntów stałych. Z twierdzenia.5 wynia, że p r D r(a) n! r! 1 nr (1) 1!. Niech zmienna losowa X będzie oreślona wzorem X(π) {j A: π(j)j}. Wyłady z ombinatoryi

14 14 Wyład Zatem X(π) jest liczbą puntów stałych permutacji π. W tym paragrafie obliczymy wartość średnią zmiennej X. Z definicji wartości średniej mamy Mamy zatem E(X) r p r r0 r1 Korzystamy teraz ze wzoru E(X) r p r. r0 r p r r1 r1 nr 1 (1) (r1)! 1 n! nr r 1 (1) r! 1! nr r1 (1) (r1)!!. Mamy zatem nr j a r, a r,jr. r1 j1r1 E(X) nr r1 j j1r1 j j1r1 j1 j1r0 n1 j0 (1) j j! (1) n (r1)!! j j1r1 (1) jr (r1)! (jr)! (1) jr (j1)! n (j1)! (r1)! (jr)! (1) jr (j1)! (1) jr1 (j1)! ( ) j1 r1 j (1) r r0 Korzystamy teraz z równości Stąd ostatecznie ( ) j1 r j (1) r r0 j. r j1 j1r0 j1 j j1r1 (1) jr1 (j1)! (1) jr (j1)! r0 ( ) j1 r (j1)! (r1)! (jr)! (1) j1 j1 ( ) (1) (j1)! r j1 r { j 1 jeślij0, r 0 jeślij>0. E(X) n1 j0 (1) j j! j (1) r r0 ( j ) (1)0 r 0! 1. Wyłady z ombinatoryi

15 Zasada włączeń i wyłączeń 15 Średnią liczbę puntów stałych permutacji można obliczyć znacznie prościej, orzystając z następującej własności wartości średniej zmiennych losowych: E(X 1...X n )E(X 1 )...E(X n ). ZdefiniujmyteraznzmiennychlosowychX 1,...,X n : { 1 jeśliπ(i)i, X i (π) 0 jeśliπ(i) i. Nietrudnozauważyć,żewtedyXX 1...X n,gdziexjestzmiennąlosowązdefiniowanąwyżej.następniełatwoobliczyć,żee(x i )P(X1) 1 n.stąddostajemy E(X)E(X 1 )...E(X n )n 1 n Problem par małżeńsich W tym paragrafie rozwiążemy następujący problem pochodzący od Lucasa(le problème des ménages). Dany jest orągły stół, woół tórego mamy posadzić na numerowanych miejscach n par małżeńsich w tai sposób, by panie i panowie siedzieli naprzemian i by żadnapaniniesiedziałaoboswojegomęża.lucaspytałoto,nailesposobówmożemy te osoby posadzić woół stołu z zachowaniem podanych reguł. Popatrzmy najpierw na przyład.otoorągłystółz1miejscami(awięctutajn6): Przede wszystim widzimy, że panie muszą zająć albo miejca parzyste, albo nieparzyste. Ponumerujmy więc oddzielnie liczbami od 1 do 6 miejsca parzyste i nieparzyste: Wyłady z ombinatoryi

16 16 Wyład Najpierw posadzimy panie. Ich miejsca możemy wybrać na n! sposobów: musimy zdecydować, czy wybieramy miejsca parzyste, czy nieparzyste, a następnie na wybranych miejscachmamyn!możliwościposadzenianpań.ponumerujmypanie:k 1,K,...,K n, przyczymprzyjmujemy,żepanik i siedzinamiejscui.dlaustaleniauwagiprzypuśćmy, że panie posdziliśmy na miejscach parzystych, czyli białych na rysunu drugim. Ponumerujmynastępniepanów:M 1,M,...,M n,przyczymzaładamy,żepanm i jest mężempanik i.przyładowysposóbposadzenianpanówwidzimynanastępnymrysunu: K 6 M 4 M K K 1 M 1 5 M 5 K 4 4 M 4 3 K 3 Widzimy, że usadzenie panów jest zgodne z wymaganiami, jeśli spełnione są następujące waruni: panm 1 niesiedzinażadnymzmiejsc1i, panm niesiedzinażadnymzmiejsci3, panm 3 niesiedzinażadnymzmiejsc3i4, panm 4 niesiedzinażadnymzmiejsc4i5, panm 5 niesiedzinażadnymzmiejsc5i6, panm 6 niesiedzinażadnymzmiejsc6i1. Ogólnie dla n par waruni te możemy sformułować w trzech puntach: żadenzpanówm i (dlai1,...,n)niemożesiedziećnamiejscui, żadenzpanówm i (dlai1,...,n1)niemożesiedziećnamiejscui1, panm n niemożesiedziećnamiejscu1, Niechterazπ(i)oznaczanumermiejsca,natórymsiedzipanM i.naszymcelemjest znalezienie liczby µ(n) permutacji π S([n]), spełniających następujące waruni: 1)π(i) idlai1,...,n, )π(i) i1dlai1,...,n1, 3)π(n) 1. Liczba M(n) wszystich możliwych sposobów posadzenia n par małżeńsich będzie równa M(n) n! µ(n). (.9) 3 M 6 Wyłady z ombinatoryi K

17 Zasada włączeń i wyłączeń 17 Definiujemy n zbiorów: Wówczas A i1 {π S([n]): π(i)i} dlai1,...,n, A i {π S([n]): π(i)i1} dlai1,...,n1, A n {π S([n]): π(n)1}. µ(n) S([n])\(A 1... A n ) D 0 (S([n]),A 1,...,A n ) (1) T P (n) NiechT P (n).chcemyobliczyć. Zauważmy, że, wtedy i tylo wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z trzech warunów: 1)i1,i Tdlapewnegoi1,...,n, )i,i1 Tdlapewnegoi1,...,n1, 3)1,n T. Przypuśćmy bowiem, że π orazspełnionyjestwarunepierwszydlapewnegoi.wtedyπ A i1 A i,czyli π(i)iorazπ(i)i1,cojestniemożliwe.podobnie,jeślispełnionyjestwarune drugidlapewnegoi,toπ A i A i1,czyliπ(i)i1orazπ(i1)i1. Totażejestniemożliwe.Wreszcie,jeśli1,n T,toπ A 1 A n,czyliπ(1)1 orazπ(n)1,cotażejestniemożliwe.naodwrót,jeśliżadenztychtrzechwarunów niejestspełniony,czyliwzbiorzet niewystępujądwieolejneliczby(liczbyni1 tratujemy tu jao liczby olejne), to w permutacji π mamy ustalone wartości. Taie permutacjeistniejąijestich(n)!.zauważmy,żewtedyoczywiście n. Wprowadźmy na użyte tego dowodu następujące oznaczenia. Oznaczmy przez g(n, ) liczbętaichzbiorówb P (n),że: a)jeślii B,toi1 Bdlai1,...,n1, b)jeślin B,to1 B. Oznaczmynastępnieprzezh(n,)liczbęzbiorówB P (n)spełniającychtylopowyższy warune a): a)jeślii B,toi1 Bdlai1,...,n1, Wyłady z ombinatoryi

18 18 Wyład Wtedy µ(n) (1) (n)! g(n,). (.10) Naszym celem jest zatem obliczenie g(n, ). Lemat.6.h(n,) ( ) n1. Dowód. Sposób I. Mamy policzyć, ile jest -elementowych podzbiorów zbioru[n] nie zawierających dwóch olejnych liczb. Każdy -elementowy podzbiór zbioru[n] jest zbiorem wartości doładnie jednej funcji rosnącej f :[] [n]. Warune, że ten podzbiór nie zawiera dwóch olejnych liczb jest równoważny następującej własności funcjif: f(i1)f(i) dlai1,,...,n1. ( ) Dladowolnejfuncjif:[] [n]definiujemyfuncjęg:[] [n1]wzorem dlai1,,...,.mamyzatem g(i)f(i)i1 g(1)f(1), g()f()1, g(3)f(3), g(1)f(1)(), gf(1). Nietrudno zauważyć, że funcja f spełnia warune( ) wtedy i tylo wtedy, gdy funcja gjestrosnąca.zatemfuncjif:[] [n]spełniającychwarune( )jesttyle,ilefuncji rosnącychg:[] [n1],awięc ( ) n1. SposóbII.Rozumowaniebędziemyilustrowaćprzyładem,wtórymn13i4. Narysujmywjednejliniinółecze. Tworząonen1(wnaszymprzyładzien110)wolnychmiejsc:jednoprzed wszystimi ółeczami, n 1 miejsc między olejnymi ółeczami i jedno na ońcu, zawszystimiółeczami.ztychn1miejscwybierzmymiejsc(wnaszym przyładzie będzie to miejsce pierwsze, miejsce między trzecim i czwartym ółiem, miejsce między siódmym i ósmym ółiem oraz miejsce między ósmym i dziewiątym ółiem) i wstawmy w nie czarne óła: Mamy razem n ółe, w tym czarnych. Sposób wstawiania gwarantuje, że żadne dwa czarne óła nie będą stały obo siebie. Tai ciąg ółe oduje podzbiór zbioru[n]: {i [n]: nai-tymmiejscustoiczarneóło}. Wyłady z ombinatoryi

19 Zasada włączeń i wyłączeń 19 W naszym przyładzie jest to zbiór{1, 5, 10, 1}. Zauważmy wreszcie, że czarne óła możemywstawićna ( ) n1 sposobów,coończydowódlematu. ) Lemat.7.g(n,) n (n n. Dowód.ZliczamyzbioryB P (n)spełniającewarunia)ib). NajpierwzajmiemysiętaimizbioramiB,że1 B.Wtedy Borazn B. PonadtozbiórB\{1} P 1 ({3,...,n1})spełniawarunea).Stądwynia,że istniejeh(n3,1)taichzbiorówb. ZajmijmysięnastępnietaimizbioramiB,że1 B.WtedyzbiórB P ({,...,n}) spełniawarunea).istniejezatemh(n1,)taichzbiorówb.zatem c.b.d.o. g(n,)h(n3,1)h(n1,) ( ) ( ) n1 n 1 n ( ) ( ) n n n n ( ) n, Twierdzenie.8. Liczba sposobów posadzenia n par małżeńsich przy orągłym stole jest równa M(n) n! (1) ( ) n n (n)! (.11) n Dowód. Z równości(.9) i(.10) wynia, że liczba sposobów posadzenia n par małżeńsich przy orągłym stole jest równa M(n) n! µ(n) n! Korzystając z lematu.7 otrzymujemy c.b.d.o. (1) (n)! g(n,). M(n) n! (1) ( ) n n (n)!, n 9. Sumy potęg liczb naturalnych Przypomnijmy z wyładu 1 oznaczenie S (n) j 1...n, j1 Wyłady z ombinatoryi

20 0 Wyład gdzien, 1.Zwyładu1wiemy,że S 0 (n)n, ( ) n1 S 1 (n) n(n1), S (n) 4 1 ( ) n n(n1)(n1), 3 6 ( ) n1 S 3 (n) S 1 (n) n (n1). 4 Wyprowadzimy teraz pewien wzór ogólny. Będzie to wzór reurencyjny, pozwalający obliczyćs (n),jeślisąznanewszyties j (n)dlaj<. Twierdzenie.9.Jeślin, 1,to n (1) j1 S j (n). (.1) j j1 Zanim udowodnimy to twierdzenie, przyjrzymy się jego początowym przypadom i poażemy,jazniegomożnaotrzymaćwzorynas (n)dla 3.Oczywiście S 0 (n)1 0...n 0 n. Teraz,orzystającztwierdzenia.9dlamamy n (1) j1 S j (n) S 1 (n) j 1 j1 sąd otrzymujemy czyli Następnie,dla3mamy n 3 3 ( 3 (1) j1 j j1 S 1 (n)n nn(n1), ) S 3j (n) 3S (n)3 n(n1) sąd dostajemy S 1 (n) n(n1). n, 3S (n)n 3 3 n(n1) n3 3n 3nn) n(n1)(n1), 3 S (n) 1 S 0 (n)s 1 (n)n, 3 S 1 (n) n n3 3n(n1)n n(n 3n1) Wyłady z ombinatoryi 3 S 0 (n) 3

21 Zasada włączeń i wyłączeń 1 czyli Wreszciedlan4mamy sąd wynia, że czyli n 4 4 ( 4 (1) j1 j j1 4 1 S 3 (n) S (n) n(n1)(n1). 6 ) S 4j (n) 4 S (n) 4 S 1 (n) 3 4 S 0 (n) 4 4S (n)6 n(n1)(n1) 4 n(n1) 3 n 6 4S 3 (n)n(n1)(n1)n(n1)n, 4S 3 (n)n 4 n(n1)(n1)n(n1)n n (n 3 (n1)(n1)(n1)1 ) n ((n 3 1)(n1)(n1) ) n ((n1)(n n1)(n1)(n1) ) n(n1)(n n1n1)n(n1)(n n) n (n1), Udowodnimy teraz twierdzenie.9. Dowód. Weźmy zbiór S 3 (n) n (n1). 4 X[n] {(x 1,...,x ): x 1,...,x [n]}. Wtedyoczywiście X n.definiujemyteraznastępującepodzbioryzbiorux: A m {(x 1,...,x ) X: i(x i x m )} dlam1,...,.inaczejmówiąc,dozbiorua m należąteciągi,wtórychnajwięszy wyraz znajduje się na m-tym miejscu. Oczywiście ciągi mające najwięszy wyraz na ilumiejscach,należądoilutaichzbiorówa m.naprzyład,jeślin5i7,to (1,3,4,,5,4,) A 5 oraz(1,3,4,,1,4,) A 3 A 6.Ogólnie,niechT P j,gdzie 1 j.wtedy m T A m n {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)}. l1 Wyłady z ombinatoryi

22 Wyład Zauważmy następnie, że oraz zbiory {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)} l j {(x 1,...,x ) X: m T(x m l)oraz m []\T(x m l)} dla różnych l są rozłączne. Zatem Wreszcie m T n l j S j (n). l1 XA 1... A, a więc z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy czyli c.b.d.o. 10. Dwie tożsamości X (1) j1 j1 T P j (1) j1 j1 j1 n T P j m T A m S j (n) (1) j1 S j (n), j (1) j1 S j (n), j j1 Rozważania tego paragrafu będą w zasadzie powtórzeniem rozważań z paragrafu 3. Zajmiemy się funcjami f:[n] [m] i będziemy chcieli policzyć funcje f spełniające dlapewnegowarune[] R f.definiujemyzbiorya 1,...,A wnastępującysposób: {f [m] [n] : j R f } dlaj1,...,.korzystajączewzoruwłączeńiwyłączeń,podobniejawparagrafie 3, otrzymujemy A 1... A (1) j1 j1 ( (1) j1 j j1 T P j i T A i (1) j1 ) (mj) n. j1 Wyłady z ombinatoryi T P j (mj) n

23 Zasada włączeń i wyłączeń 3 Funcje,tórenasinteresują,tworzązbiór[m] [n] \(A 1... A ).Zatemliczbataich funcji jest równa m n (1) j1 (mj) n j j1 (1) j (mj) n. j Wszczególności,jeślinorazm n,toistniejen!taichfuncji.zatem j0 Zdefiniujmy teraz wielomian W(x) wzorem j0 ( ) n (1) j (mj) n n! dlam n. (.13) j W(x) ( ) n (1) (x) n. Jest to wielomian stopnia co najwyżej n. Z tożsamości(.13) wynia jedna, że tę samą wartość n! przyjmuje on w niesończenie wielu puntach: W(m)n! dlam n. Stąd wynia, że ten wielomian jest wielomianem stałym, czyli ( ) n (1) (x) n n! (.14) Z rozumowaniem, tóre przeprowadziliśmy, pozwalającym przejść od tożsamości udowodnionej dla liczb naturalnych do równości wielomianów, spotamy się jeszcze w następnych wyładach. 11. Nierówności Bonferroniego Udowodnimy teraz dwie nierówności, zwane nierównościami Bonferroniego. Oto one: r A 1... A n (1) 1 (.15) oraz A 1... A n r1 T P (n) (1) 1 T P (n). (.16) Powtarzamy drugi dowód zasady włączeń i wyłączeń polegający na przeglądaniu olejnych sładniów sumy stojącej po prawej stronie nierówności i rysowaniu przy ażdym elemencieiloczynu znaupluslubminuswzależnościodtego,czyliczba Wyłady z ombinatoryi

24 4 Wyład występujewsumiezeznaiemplusczyminus.inaczejmówiąc,jeślizbiórtmanieparzystą liczbę elementów, to rysujemy zna plus; jeśli zaś zbiór T ma parzystą liczbę elementów, to rysujemy zna minus. Ta ja w poprzednim dowodzie zauważamy, że prawa strona równości(.3) jest różnicą między liczbą plusów i liczbą minusów. Musimy zatem oszacować różnicę między liczbą plusówiminusównarysowanychprzyażdymelemenciesumyzbiorówa 1... A n. Zajmiemy się najpierw nierównością(.15). Mamy teraz poazać, że przy ażdym elemenciesumyzbiorówa 1... A n narysowaliśmyconajwyżejojedenpluswięcej.niech x A 1... A n.tajapoprzednio,niech M{j: x }. Inaczejmówiąc,x wtedyitylowtedy,gdyj M.Oznaczmym M ;oczywiście m>0.niechterazt P (n)ipopatrzmynazbiór ;jesttojedenzezbiorów występującychpoprawejstronierówności(.3).jeślit\m,tooczywiściemamy x.przypuśćmyzatem,żet M.Wtedyprzyelemenciexrysowaliśmyzna plus lub minus, w zależności od parzystości : plus dla nieparzystych, minus dla parzystych.dladanegoliczbataichzbiorówt jestrówna ( m ).Liczbyplusów i minusów narysowanych przy x są zatem równe liczba plusów liczba minusów r. r, 1 sąd dostajemy r ( m liczba plusów liczba minusów (1) 1 ). Tym razem orzystamy z równości(1.7)(przypominamy, że m > 0): r (1) ( m ) 1 (1) r r ( m1 Mamyterazdwiemożliwości.Jeślim1<r,czylim r(tzn.elementxnależydo conajwyżejrzbiorów ),totajapoprzednio liczbaplusówliczbaminusów0. r ). Jeślizaśm>r,to 1 1 r Wyłady z ombinatoryi

25 Zasada włączeń i wyłączeń 5 sąd wynia, że czyli Zatem r 0 r r (1) 1, (1) 0. r (1) 1 (1) 0. Stąd wynia, że przy elemencie x narysowaliśmy co najwyżej tyle plusów, ile minusów. ZatemdlaażdegoelementuxsumyA 1... A n wobuprzypadachnarysowaliśmyco najwyżej o jeden plus więcej, co dowodzi nierówności(.15). Dowód nierówności(.16) jest analogiczny i pozostawimy go jao ćwiczenie. Zpowyższegodowoduwynia,żejeśliażdyelementsumyA 1... A n należydoco najwyżejrzbiorów,tonierówność(.15)stajesięrównością.jeślinatomiastistnieje conajmniejjedenelementnależącydowięcejniżrzbiorów,tonierówność(.15) jestostra.podobniejestznierównością(.16).jeśliażdyelementsumya 1... A n należydoconajwyżejr1zbiorów,tomamyrówność;wprzeciwnymprzypadu nierówność jest ostra. Wyłady z ombinatoryi

26 6 Wyład Spis tożsamości ombinatorycznych A B A B A B (.1) A B C A B C A B A C B C A B C. (.) A 1... A n (1) 1 T P (n). (.3) m {f A B : fjest na } (1) (m) n. (.4) (1) D(A) n!. (.5)! D 0 (X,A 1,...,A n ) (1). (.6) D r (X,A 1,...,A n ) µ(n) T P (n) (1) r r r D r (A) n! nr r! T P (n). (.7) (1). (.8)! M(n) n! µ(n). (.9) (1) (n)! g(n,). (.10) M(n) n! (1) ( ) n n (n)! (.11) n n (1) j1 S j (n). (.1) j j1 ( ) n (1) j (mj) n n! dlam n. (.13) j j0 ( ) n (1) (x) n n! (.14) A 1... A n A 1... A n m m1 (1) 1 T P (n) (1) 1 T P (n). (.15). (.16) Wyłady z ombinatoryi

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE

Równania rekurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE Równania reurencyjne 1 RÓWNANIA REKURENCYJNE 1 Ciągi arytmetyczne i geometryczne Z najprostszymi równaniami reurencyjnymi zetnęliśmy się już w szole Zacznijmy od przypomnienia definicji ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart

Bardziej szczegółowo

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału. Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze.

Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. (Scenariusz lekcji o wprowadzeniu pojęcia ciągłości funkcji w punkcie, w zbiorze CFX9859GB PLUS) Ciągłość funkcji w punkcie i w zbiorze. Cele: poznawczy - poznanie pojęć: ciągłość funkcji w punkcie, w

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Prezentacja liczb trójkątnych i kwadratowych

Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Prezentacja liczb trójkątnych i kwadratowych Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Prezentacja liczb trójkątnych i kwadratowych Opracowanie scenariusza: Richard Born Adaptacja scenariusza na język polski: mgr Piotr Szlagor Tematyka: Matematyka, Informatyka,

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego 1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10?

Bardziej szczegółowo

L A TEX krok po kroku

L A TEX krok po kroku L A TEX krok po kroku Imię i nazwisko Spis treści 1 Sekcja pierwsza 1 1.1 Lista numerowana.......................... 1 2 Wymagania podstawowe 2 2.1 Lista numerowana.......................... 2 3 Troszkę

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna

Bardziej szczegółowo

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się,

Bardziej szczegółowo

DOBÓR NASTAW ZABEZPIECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCIOWYCH DLA LINII ŚREDNIEGO NAPIĘCIA

DOBÓR NASTAW ZABEZPIECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCIOWYCH DLA LINII ŚREDNIEGO NAPIĘCIA dr inż. Witold HOPPEL DOBÓR NASTAW ZABEZPECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCOWYCH DLA LN ŚREDNEGO NAPĘCA 1. Wprowadzenie W liniach SN od sutów zwarć międzyfazowych (tylo taich załóceń dotyczy artyuł) stosuje się

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Waga szalkowa i uogólniony problem fałszywej monety

Waga szalkowa i uogólniony problem fałszywej monety Waga szalowa i uogólniony problem fałszywej monety Marcel Kołodziejczy Hugo Steinhaus w Kalejdosopie matematycznym ([7]) przedstawił następujące zadania: oraz Mamy dziewięć monet pozornie jednaowych. Wiemy,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie rozmiaro w przeszko d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego

Wyznaczanie rozmiaro w przeszko d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego Ćwiczenie v.x3.1.16 Wyznaczanie rozmiaro w przeszo d i szczelin za pomocą s wiatła laserowego 1 Wstęp teoretyczny Wyznaczanie rozmiarów szczelin i przeszód za pomocą światła oparte jest o zjawisa dyfracji

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo