Dynamiczne zagadnienie własne płyty drogowej o nawierzchni betonowej

Transkrypt

1 PAWLAK Urszula 1 SZCZECINA Michał 2 Dynamiczne zagadnienie własne płyty drogowej o nawierzchni betonowej WSTĘP Nawierzchnia dróg jest konstrukcją inżynierską, która przejmuje i przenosi na podłoże gruntowe lub inny obiekt inżynierski zadane obciążenia statyczne i dynamiczne pochodzące od pojazdów lub innych wpływów zewnętrznych (np., termicznych, sejsmicznych), w sposób zapewniający bezpieczeństwo ruchu i jej określoną trwałość [1]. W budownictwie drogowym stosowane są różnego rodzaju nawierzchnie. Ze względu na materiał warstwy jezdnej rozróżnia się nawierzchnie z: betonu cementowego, kostek kamiennych, klinkieru drogowego, bitumiczne (asfaltowe lub smołowe), tłuczniowe i żwirowe oraz płyt betonowych. Z uwagi na odkształcalność można wyróżnić nawierzchnie sztywne i podatne. Nawierzchnie sztywne (np. z betonu cementowego, rys. 1) odkształcają się sprężyście, natomiast podatne plastycznie i wykazują odkształcenia trwałe (np. bitumiczne o podbudowach podatnych, tłuczniowe, brukowe) [2]. Rys. 1. Droga z nawierzchnią betonową [3] Pierwsze nawierzchnie betonowe w Polsce pojawiły się w 1912 roku w Krakowie, ale dopiero pod koniec XX wieku wzrosło zainteresowanie takiego typu konstrukcjami, głównie z powodu powstawania na drogach asfaltowych trwałych odkształceń, tzw. kolein, zagrażających bezpieczeństwu ruchu [4]. Poprawnie zaprojektowana i wykonana nawierzchnia betonowa ma wiele zalet, do których należą: wysoka nośność i zdolność do przenoszenia obciążeń, odporność na odkształcenia trwałe, jasny kolor, dobre cechy eksploatacyjne oraz niewątpliwie niskie koszty utrzymania. Każda nawierzchnia drogowa spoczywa na podłożu gruntowym lub na innej konstrukcji inżynierskiej (most, tunel, wiadukt, przepust). Podłoże gruntowe jest zatem związane ze wszystkimi typami budowli i obiektów inżynierskich stosowanych w praktyce. Konstrukcja płyty drogowej podlega prawom dynamiki, z uwagi na dynamiczne obciążenia jakim jest poddana, jak również właściwość samego układu, który jest narażony na takie wpływy. 1 Politechnika Świętokrzyska, Wydział Budownictwa i Architektury, Kielce; al. Tysiąclecia Państwa Polskiego 7. Tel: , Fax: , u.pawlak@tu.kielce.pl 2 Politechnika Świętokrzyska, Wydział Budownictwa i Architektury, Kielce; al. Tysiąclecia Państwa Polskiego 7. Tel: , Fax: , michalsz@tu.kielce.pl 3808

2 W pracy przeprowadzona została analiza dynamicznego zagadnienia własnego płyty drogowej o nawierzchni betonowej, spoczywającej na podłożu sprężystym. Wyznaczono wartości oraz wektory własne, tj. częstości drgań własnych i postacie drgań układu. Znajomość częstości drgań własnych pozwala uniknąć bardzo niebezpiecznego dla konstrukcji zjawiska, jakim jest rezonans. Wtedy, to częstość drgań wymuszenia pokrywa się z częstością drgań własnych konstrukcji a amplitudy przemieszczeń rosną w sposób nieograniczony. Obliczenia przeprowadzono przy użyciu metody elementów skończonych z wykorzystaniem systemu Autodesk Robot. 1. SŁÓW KILKA O NAWIERZCHNIACH BETONOWYCH DRÓG Nawierzchnie betonowe odznaczają się wysokim poziomem zdolności przenoszenia obciążenia, nawet w przypadku oddziaływań skupionych w jednym punkcie. Drogi o nawierzchniach betonowych charakteryzują się dużą odpornością na odkształcenia w pełnym zakresie temperatur, dlatego też, nie powstają koleiny, a woda powierzchniowa w odpowiedni sposób odprowadzana jest z ich powierzchni. Jasny kolor nawierzchni drogi przyczynia się do poprawy bezpieczeństwa ruchu drogowego, szczególnie podczas jazdy o zmroku lub w deszczu oraz zredukowania kosztów oświetlenia drogowego. Właściwie zbudowana nawierzchnia betonowa osiąga 20-letni, a nawet 30- letni okres użytkowania. Rys. 2. Schemat układy warstw drogowej nawierzchni betonowej[4] Zespół warstw ułożonych na naturalnym lub ulepszonym podłożu gruntowym tworzy konstrukcję nawierzchni z betonu cementowego, która przejmuje i przenosi na podłoże gruntowe obciążenia pochodzące od kół pojazdów i innych wpływów zewnętrznych, w sposób gwarantujący jej określoną trwałość. Dzięki równości i szorstkości jej zewnętrznej powierzchni, zapewniony jest odpowiedni poziom wygody i bezpieczeństwa ruchu. Konstrukcja nawierzchni betonowej pokazana na rys. 2, składa się z następujących warstw: płyty betonowej, podbudowy, ulepszonego podłoża (warstwa mrozoochronna, wzmacniająca podłoże) i podłoże naturalne. Niewątpliwe i liczne zalety nawierzchni betonowych dowodzą, iż powinny one zyskać popularność i stać się uzupełnieniem wyboru dostępnych technologii obok nawierzchni asfaltowych i kostkowych [4]. 2. ZAGADNIENIE WŁASNE W DYNAMICE BUDOWLI Dynamika budowli, to nauka o drganiach konstrukcji budowlanych lub ich elementów składowych. Są to układy geometrycznie niezmienne o zachowawczej postaci równowagi[5]. Drgania konstrukcji mają charakter oscylacyjny wokół położenia równowagi statycznej, którą traktujemy w analizie dynamicznej jako układ odniesienia. Pod pojęciem zagadnienia własnego w mechanice konstrukcji, rozumiemy wyznaczenie wielkości charakterystycznych dla danego układu, tzn. wartości i wektorów własnych. Wielkości te, zależą jedynie od parametrów analizowanego ustroju, tj. sztywności, rodzaju podparcia oraz wymiarów. 3809

3 W dynamice budowli zagadnienie własne dotyczy wyznaczenia wartości własnych, którymi są częstości drgań własnych oraz odpowiadających im wektorów własnych, czyli rozkładu przemieszczeń drgającego ustroju Zagadnienie własne w dynamice budowli z uwzględnieniem podłoża sprężystego istota zagadnienia Jednym z podstawowych zagadnień dynamiki konstrukcji jest określenie warunków, w których ustrój mógłby wykonywać ruch wokół położenia równowagi bez działania zewnętrznych sił wymuszających. Równanie takiego ruchu określa (1) Mq Kq 0 (1) gdzie: M macierz bezwładności ustroju, K macierz sztywności liniowej ustroju, q, q wektor przemieszczeń, przyspieszeń ustroju. Jeżeli analizowany ustrój spoczywa na podłożu Winklera, to równanie (1) należy uzupełnić o macierz K P, uwzględniającą wpływ podłoża gdzie: M macierz bezwładności ustroju, K macierz sztywności liniowej ustroju, K K q 0 K P macierz sztywności podłoża, q, q wektor przemieszczeń, przyspieszeń ustroju. Rozwiązaniem równania (2) jest wektor Mq (2) P gdzie: q i t a e (3) a n a a a a... (4) 1 2 Formuła (3) przedstawia zbiór funkcji harmonicznych q j (t) o wspólnej częstości i amplitudach a j (j=1,2, n). Ruch określony wzorem (3) nosi nazwę drgań własnych ustroju. Nie jest to zjawisko fizyczne, ale właściwość konstrukcji narażonej na wpływy dynamiczne Podstawiając funkcję (3) do równania (2) otrzymujemy jednorodne równanie macierzowe (5), które musi być spełnione w każdej chwili t. ~ 2 M a 0 K (5) gdzie: ~ K K K P Interesuje nas rozwiązanie, gdzie a 0, dlatego też warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań jest równanie (6), z którego otrzymujemy n wartości, tj. częstości drgań własnych ustroju[6]. ~ 2 M 0 j det K (6) Pierwiastki j są rzeczywistymi liczbami dodatnimi, mogą występować pierwiastki wielokrotne. Każdej wartości własnej j (i = 1,2 n) odpowiada niezerowy wektor a i, nazywany wektorem własnym i-tej formy drgań. Określa on rozkład przemieszczeń q podczas drgań z częstością j. 3810

4 Wektory własne określone są z dokładnością do stałego czynnika. Zbiór wektorów własnych tworzy macierz własną W. 3. ANALIZA DYNAMICZNEGO ZAGADNIENIA WŁASNEGO PŁYTY DROGOWEJ O NAWIERZCHNI BETONOWEJ Analizie dynamicznego zagadnienia własnego poddano płytę drogową betonową o grubości 20cm. Uwzględniając zalecenia [4] wyznaczono wymiary krytyczne płyty: 440x480cm. Przyjęto do obliczeń płytę o wymiarach 450x300cm, co odpowiada szerokości jednego pasa ruchu. Warstwy podłoża przyjęto jak dla kategorii obciążenia ruchem KR2. Pod płytą betonową o grubości 20cm z betonu klasy C30/37 znajdują się kolejno: kruszywo grube stabilizowane cementem (wtórny moduł odkształcenia E 2 =100MPa) grubości 15cm i podłoże z gliny o stopniu plastyczności I L =0,2. Siłę nacisku na oś obliczeniową przyjęto 100kN (autobusy i samochody ciężarowe), co oznacza średnie charakterystyczne obciążenie płyty od ruchu pojazdów: 100 kn / (3 m * 4,5 m) = 7,4 kn/m 2. Ciężar własny płyty (wartość charakterystyczna): 25 kn/m 3 * 0,2 m = 5 kn/m 2. Po przyjęciu współczynników obciążenia: 1,35 dla ciężaru własnego oraz 1,5 dla obciążenia od ruchu pojazdów obliczono szacowane obciążenie płyty: 7,4 * 1,5 + 5 * 1,35 = 18 kn/m 2. Powyższe dane wejściowe oraz zestawione obciążenia posłużyły do wyznaczenia współczynnika sprężystości podłoża. Obliczenia przeprowadzono w specjalnym module,,grunty budowlane", który jest składnikiem oprogramowania Autodesk Robot. Wartość tego współczynnika określono jako K = kn/m 3. Na rys. 3 pokazano zrzut ekranowy obliczeń we wspomnianym module. Rys. 3. Obliczenie współczynnika sprężystości podłoża. Na rys. 4 przedstawiono widok aksonometryczny płyty drogowej z jej podziałem na elementy skończone oraz z podaniem podstawowych danych wejściowych. 3811

5 Rys. 4. Widok aksonometryczny analizowanej płyty drogowej. Analizę przeprowadzono z wykorzystaniem programu Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2014, opartego na metodzie elementów skończonych. Schemat statyczny przyjęto jako płytę opartą na podłożu sprężystym. W celu zbadania w jaki sposób stopień dyskretyzacji modelu płyty wpływa na wyniki obliczeń, przyjęto różne rozmiary elementu skończonego kwadratowego, a mianowicie: 20 cm, 10 cm i 5 cm. Zastosowano analizę modalną z ciągłym rozkładem masy Częstości drgań własnych płyty drogowej Na rys. 5 pokazano wyniki częstości drgań dla analizowanej płyty. Ponieważ podział na elementy skończone nie miał praktycznie żadnego znaczenia dla otrzymanych wartości częstości drgań własnych, więc podano wyniki tylko dla rozmiaru elementu 5 cm. Zwraca się szczególną uwagę na fakt, że kilka kolejno występujących po sobie częstości drgań własnych (w programie Robot nazwanych pulsacjami) ma bardzo zbliżone wartości. Projektując płytę drogową należy na ten fakt zwrócić szczególną uwagę. Rys. 5. Częstości drgań własnych analizowanej płyty drogowej Postacie drgań płyty oraz wektory własne Na rys. od 6 do 10 pokazano reprezentatywne postacie drgań własnych płyty drogowej. Dla każdej z postaci podano również wektor własny, jako maksymalne pionowe przemieszczenie węzłowe 3812

6 w centymetrach. W celu lepszej czytelności przemieszczeń, dla każdej postaci drgań płytę pokazano w innej aksonometrii, a same przemieszczenia nie są w skali w stosunku do wymiarów płyty. Rys. 6. Postać drgań dla 1. częstości drgań, przemieszczenie maksymalne: 0,021 cm. Rys. 7. Postać drgań dla 2. częstości drgań, przemieszczenie maksymalne: 0,021 cm. Rys. 8. Postać drgań dla 3. częstości drgań, przemieszczenie maksymalne: 0,012 cm. 3813

7 Rys. 9. Postać drgań dla 5. częstości drgań, przemieszczenie maksymalne: 0,0226 cm. Rys. 10. Postać drgań dla 7. częstości drgań, przemieszczenie maksymalne: 0,0257 cm. WNIOSKI Projektowanie dowolnej konstrukcji poddanej obciążeniom zmiennym nieodłącznie związane jest z koniecznością przeprowadzenia analizy dynamicznej. W przypadku nawierzchni drogowych jest to jedna z najistotniejszych analiz, jeśli wziąć pod uwagę, że nawierzchnia taka podlega obciążeniom dynamicznym i cyklicznym, a w związku z tym wystąpienie zjawiska rezonansu mechanicznego musi być brane pod uwagę. Wyniki obliczeń przeprowadzonych w referacie pokazują, że kilka następujących po sobie częstości drgań ma bardzo zbliżone wartości. Ponadto pierwsza z zaprezentowanych postaci drgań może być o tyle zaskakująca, że przebiega poprzecznie do kierunku jazdy pojazdów, w przeciwieństwie do najbardziej naturalnie wyglądającej drugiej postaci. Wyniki te pokazują więc, że zagadnienie własne w dynamice dla płyty betonowej nawierzchni drogowej jest problemem ważnym i niekoniecznie intuicyjnym. Dodatkowo zwraca się uwagę na fakt, że elementem przejmującym drgania od nawierzchni niekoniecznie musi być podłoże gruntowe, ale również inny obiekt inżynierski, np. wiadukt lub most. Należy więc pamiętać o tym, że drgania z płyty będą przenosiły się na ten obiekt i również mogą spowodować zjawisko rezonansu. Streszczenie W referacie zaprezentowano analizę dynamiczną płyty drogowej o nawierzchni betonowej. Zastosowano metodę elementów skończonych modelując przykładową płytę betonową w programie Autodesk Robot Structural Analysis. Płytę zadano jako spoczywającą na jednoparametrowym podłożu sprężystym, dla którego osobno policzono współczynnik sprężystości. Zaprezentowano wartości częstości drgań własnych oraz postacie drgań jakimi są wektory własne, w postaci maksymalnych pionowych przemieszczeń węzłowych. Na podstawie wyników obliczeń sformułowane zostały podstawowe zalecenia dla projektantów betonowych nawierzchni drogowych. Słowa kluczowe: płyta drogowa, nawierzchnia betonowa, zagadnienie własne, dynamika, wartości własne. 3814

8 The dynamic eigenvalue problem of concrete slab road surface Abstract The paper presents an analysis of the dynamic eigenvalue problem of concrete slab road surface. A sample concrete slab was modelled in Autodesk Robot Structural Analysis software and calculated with finite element method. The slab was set on a one-parameter elastic subsoil, for which the modulus of elasticity was separately calculated. The eigenfrequencies and eigenvectors (as maximal vertical nodal displacements) were presented. Based on the results of calculations, some basic recommendations for designers of concrete road surface were formulated. Keywords: road slab, concrete road surface, eigenvalue problem, dynamics, eigenvalues. BIBLIOGRAFIA 1. Gradkowski K., Nośność podłoży nawierzchni dróg samochodowych wzmacnianych geosyntetykami, OWPW, Warszawa 2008, Z Szydło A., Mackiewicz P., Nawierzchnie betonowe na drogach gminnych, poradnik, Polski Cement Sp.z.o.o., Kraków, Chmielewski T., Zembaty Z., Podstawy dynamiki budowli, Arkady Gomuliński A., Witkowski M., Mechanika budowli, kurs dla zaawansowanych, OWPW, Warszawa