Multifraktalne cechy przep³ywu lokalnej sejsmicznoœci indukowanej na terenie KWK Katowice (GZW)

Transkrypt

1 Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, 00 Multfraktalne cechy przep³ywu lokalne sesmcznoœc ndukowane na terene KWK Katowce (GZW) Olga Polechoñska* Zbadano multfraktalne w³aœcwoœc rozk³adów epcentrów, czasów oraz energ zdarzeñ sesmcznych ndukowanych eksploatac¹ w Kopaln Wêgla Kamennego Katowce (Górnoœl¹ske Zag³êbe Wêglowe). Badana przeprowadzono dla obszaru 400x400 m wokó³ œrodka œcany 53. Wymar fraktalny est parametrem efektywne opsu¹cym rozk³ad przestrzenny (np. stopeñ sklastrowana) zawska rz¹dzonego dynamk¹ nelnow¹ (chaotyczn¹). Polczono wymar uogólnony D q. Krzywe D q -q pokazu¹, e proces est multfraktalny. Polczono tak e funkce korelac pomêdzy rozk³adem energ D, D 0 D -D 0. Stwerdzono wystêpowane bardzo wysoke korelac pomêdzy trzema zdarzenam o nawy sze energ zmanam w czase wspó³czynnków korelac rozk³adu epcentrów. S³owa kluczowe: multfraktalnoœæ, rozk³ad czasowy, korelaca neparametryczna, funkca korelac Olga Polechoñska Multfractal propertes of local nduced sesmcty n the Katowce coal mne (USCB, southern Poland). Prz. Geol., 49: S u m m a r y. The dstrbuton pattern of multfractal propertes of epcentres, tme and also sesmc actvty energy nduced by mnng operatons were examned for the Katowce coal-mne n the Upper Slesan Coal Basn. An area of 400x400 m located around the centre of longwall 53 n Katowce was taken nto consderaton. The fractal dmenson s a good parameter for determnng the spatal dstrbuton of phenomena governed by chaotc (non-lnear) dynamcs, especally the degree of clusterng. The generalsed dmenson D q was calculated. D q -q curves ndcate that the process s multfractal. Correlaton functons between the energy dstrbuton and the D, D 0 and D -D 0 were calculated. The very strong correlaton between the three hghest energy events and the tme changes of correlaton coeffcent of epcentre dstrbuton was found. Key words: multfractalty, tme dstrbuton, non-parametrc correlaton, correlaton functon Przewdywane procesów zachodz¹cych w przyrodze est w znacznym stopnu ogranczone wprowadzanem na ka dym etape przetwarzana danych newelkch b³êdów pomaru, których wyelmnowane est nemo lwe z powodu skoñczone dok³adnoœc sprzêtu pomarowego. Z tego te powodu do modelowana symulowana przyrody zaczêto u ywaæ geometr fraktalne. Je podstawow¹ zalet¹ est to, e ró ne elementy przyrody mo na opsaæ za pomoc¹ prostych algorytmów. Wymar fraktalny opsue loœcowo samopodobeñstwo w³aœcwoœc fraktal ne zale ¹ od skal. Dla obektów samopodobnych sk³ada¹cych sê z N czêœc, ka da pomneszona w stosunku r do ca³oœc relaca: N(r) r -D [] defnue D wymar fraktalny samopodobeñstwa (samopownowactwa). Grassberger Procacca (983) opera¹ swo¹ defncê wymaru fraktalnego na ca³ce korelac []: N q C q ( r) ( ) N n ( r) ( s) q n r r r x xk [3] N k gdy s 0 0 gdy s 0 gdze: N(r) lczba elementów w zespole; s funkca Heavsde a; *Pañstwowy Instytut Geologczny, ul. Rakowecka 4, Warszawa; opol@pg.waw.pl Dq [] x xk norma badane welkoœc fzyczne x. Wymar korelacyny, oznaczany naczêœce D, est oblczany ze wzoru: N(r) r D [4], gdze N(r) est lczb¹ par punktów (zdarzeñ) o odleg³oœc wzaemne mnesze od r. Wêkszoœæ znanych obecne w przyrodze naturalnych zespo³ów fraktalnych est fraktalam heterogencznym (Mandelbrot, 989) multfraktalam. Charakteryzuemy e za pomoc¹ D q wymaru uogólnonego. Mo na go wyznaczyæ z nachylena wykresu zale noœc sumy korelacyne C q (r) [] w uk³adze blogarytmcznym. Przewa ne, dla dodatnch du ych wartoœc q, D q opsue nagêœce sklastrowane czêœc zboru; a dla uemnych narzadze sklastrowane. Standardowo u ywanym wymarem korelacynym est D q dla q =. Je el wartoœc D q s¹ dla wszystkch q take same, to badany zespó³ danych est fraktalem homogencznym (monofraktalem) (Cosentno n., 997). Spektra wymaru uogólnonego multfraktal s¹ ³atwo rozpoznawalne: wraz ze wzrostem wartoœc q wartoœæ wymaru spada (dla monofraktal D q ne ulega zmane przy wzroœce q). Badana Analza fraktalna chyba nawêksz¹ popularnoœæ w polskch pracach geofzycznych zyska³a w badanach dotycz¹cych problemów towarzysz¹cych pracom eksploatacynym na terene Górnoœl¹skego Zag³êba Wêglowego (np.: Marcak, 994; Mortmer & Lasock, 995; Teper &, Idzak, 995; Mortmer & Marchewka, 996; Cosentno n., 997). Pon sze badana zosta³y wykonane dla katalogu wstrz¹sów kopaln wêgla kamennego Katowce, dla œcany 53 (GZW). Dane pochodz¹ z okresu od do Aby wyelmnowaæ nelosowy czynnk akm est tempo eksploatac, wspó³rzêdne 38

2 po³o ena epcentrów wstrz¹sów zosta³y przelczone na uk³ad wspó³rzêdnych zw¹zany ze œrodkem eksploatowane œcany. Perwszym krokem badañ by³o sprawdzene, czy kolene parametry czasowe rozk³ady odleg³oœc mêdzy kolenym epcentram, energ wstrz¹sów oraz czasów wystêpowana zdarzeñ ma¹ charakter multfraktalny. W tym celu polczono uogólnony wymar fraktalny D q, dla -0<q<0. Wymar by³ estymowany z nachylena krzywe zale noœc sumy korelacynecq(r) [], w uk³adze blogarytmcznym. Stwerdzono, e wszystke trzy badane welkoœc ma¹ charakter multfraktalny, ale edyne rozk³ad epcentrów okaza³ sê slne multfraktalny. Ponewa przebeg zmennoœc D q rozk³adu czasów poawana sê kolenych wstrz¹sów odbega³ znaczne od pozosta³ych, D q zosta³o polczone ponowne dla rozk³adu odstêpów pomêdzy kolenym zdarzenam ró nce zosta³y w ten sposób w znacznym stopnu znwelowane. Ze wzglêdu na du ¹ loœæ danych w okrese od do dalsze badana ogranczono do przedza³u czasu Mortmer Marchewka (996) bada¹c rozk³ad epcentrów wstrz¹sów dla te same œcany stwerdzl, e bor¹c pod uwagê dosyæ wysok dolny próg reestrac wstrz¹sów (co est zw¹zane ze znacznym zmneszenem lczby obserwowanych zawsk) nalepsze wynk uzyskaæ D D0 D-D0 Emax Ryc.. Korelaca rozk³adu energ maksymalnych, z D, D 0, D -D 0 rozk³adu epcentrów Fg.. The correlaton of maxmal energy dstrbuton wth D -D 0 of epcentre dstrbuton korelaca correlaton 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0-0,05-0, przesunêce czasowe tme lag Ryc.. Funkca korelac rozk³adu energ maksymalnych w grupach z D -D 0 rozk³adu epcentrów Fg.. The correlaton functon of maxmal energy of subset dstrbuton wth D -D 0 of epcentre dstrbuton mo na dla zborów 0-elementowych. Te welkoœc zbory z edne strony zapewna¹ wystarcza¹c¹ warygodnoœæ lczonego wymaru fraktalnego (ze wzglêdu na lczbê zawsk), z druge strony okres trwana ednego zboru est na tyle krótk, aby wyc¹gane wnosk na temat predykc wstrz¹sów by³y sensowne. Uwzglêdna¹c powy sze rezultaty zdarzena podzelono na 56 podgrup (ka da zawera 5 wstrz¹sów). Ze wzglêdu na zmenn¹ czêstoœæ wystêpowana wstrz¹sów kolene zbory s¹ wydzelone ze zmenn¹ zak³adk¹ (kolene podgrupy nachodz¹ na sebe): od 8 do 3 zawsk. Estymowano wymary uogólnone: D D 0 (ako przybl ene wartoœc D ), a nastêpne ró ncê D D 0 w kolenych podgrupach. Spodzewano sê bowem, e ró nca taka mo e byæ dobrym prekursorem aktywnoœc sesmczne. Nastêpne sprawdzano stnene zale noœc pomêdzy badanym welkoœcam, a rozk³adem energ. Ponewa badane zmenne ne ma¹ rozk³adu normalnego oraz z powodu ch ma³e lczebnoœc ne mo na przeprowadzæ testowana parametrycznego. Wykonano wêc korelacê neparametryczn¹ przy pomocy wspó³czynnków Spearmana. W przypadku stwerdzena zale noœc pomêdzy zmennym, lczono funkcê korelac o postac: K( ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) [5] gdze: K () funkca korelac; f, f badane zmenne; czasowe przesunêce pomêdzy dwema zmennym. Jako badane zmenne (f, f ) by³y brane sere czasowe wartoœc zmennych w kolenych podgrupach. Na podstawe przebegu powy sze funkc okreœlane by³o przesunêce czasowe, dla którego nastêpne okreœlano zmennoœæ w czase wspó³czynnków korelac lczonych ako: [6] K, Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) 9 gdze: K, wspó³czynnk korelac dla -te grupy; f, f badane zmenne (sera czasowa 0 podgrup); wyznaczone z funkc korelac przesunêce mêdzy zmennym. Energa maksymalna, a uogólnone wymary D, D 0, D -D 0 rozk³adu epcentrów. Jako perwsze zbadano zestawene maksymalnych energ w kolenych podgrupach ze zmennoœc¹ D q rozk³adu epcentrów. Na ryc. est wdoczny wyraÿny podza³ na trzy skupska energetyczne. Taka neednorodnoœæ powodue, e dla adnego z rozpatrywanych przypadków ne mo na przy¹æ hpotezy o stnenu zale noœc pomêdzy zmennym (wysok pozom stotnoœc p). Spróbowano poprawæ wynk analzy 39

3 Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, 00 Tab.. Korelaca neparametryczna pomêdzy rozkladem energ maksymalnych a D, D 0 D -D 0 z wydzelenem ednorodne grupy neparametryczne poprzez wydzelene z poœród danych nawêkszego skupska poprzez odrzucene wstrz¹sów o energach powy e 0 5 J (E max 0 5 J). Wynk (tab. ) pozwala¹ na stwerdzene stnena z du ym prawdopodobeñstwem zale noœc pomêdzy D 0 oraz D -D 0, a energ¹ maksymaln¹ w podgrupach, dla s³abszych wstrz¹sów. Funkca korelac, która zosta³a polczona dla wszystkch 40 Lczba danych N Wspó³. Spearmana Pozom stotnoœc D (epc) energ. maks. 9 0,084 0,663 D 0 (epc) energ. maks. 9-0,454 0,03 D -D 0 (epc) energ. maks. 9 0,403 0,030 dla =- for = dla =0 for =0 D-D0 56 grup (ryc. ) os¹ga nawêksz¹ wartoœæ dla przesunêca = -6 (est to okres ok. mes¹ca), co oznacza, e maksymalna energa (f we wzorze [5]) -te grupy est naslne skorelowana z D -D 0 rozk³adu epcentrów (f we wzorze [5]) dla -6-te grupy. Tak du e przesunêce mo e ednak prowadzæ do b³êdnych wnosków na temat predykc stosunkowo s³abych zdarzeñ sesmcznych akm s¹ badane wstrz¹sy. Do dalsze analzy wybrano przesunêce=-, ako nabl sze zerowemu, a zarazem nawy sze z poœród tych, które mog³yby daæ cekawe rezultaty. Na ryc. 3 est wdoczny spadek wartoœc wspó³czynnka korelac K, w okresach oko³o trzech tygodn (45 grup) poprzedza¹cych grupy o nawêkszych energach maksymalnych (grupy 3 5, 38 39, 5 53, a tak e dla s³abszych 5 6). Zarówno w tym przypadku, ak we wszystkch nastêpnych wartoœc krzywych: D q maks. energa s¹ przeskalowane w pone. Wartoœc funkc korelac polczone dla pary D 0 energa maksymalna s¹ bardzo wysoke (rzêdu 0,75; 0,86) co est zgodne z welkoœc¹ p dla danego zw¹zku. Charakterystyczny est du y skok wartoœc wspó³czynnka Emaxmal Ryc. 3. Zmennoœæ w czase wspó³czynnka korelac ró ncy D -D 0 rozk³adu epcentrów z energ¹ maksymaln¹, dla przesunêæ : 0 - Fg. 3. Tme changes of D -D 0 correlaton coeffcents of epcentre dstrbuton wth maxmal energy, for tme lags : 0 and - dla =- for =- 5 dla =0 for =0 D0 5 Eœredna Eaverage Ryc. 4. Zmennoœæ w czase wspó³czynnka korelac D 0 rozk³adu epcentrów z energ¹ œredn¹, dla przesunêæ : 0 - Fg. 4. Tme changes of D 0 correlaton coeffcents of epcentre dstrbuton wth average energy, for tme lags : 0 and - korelac poprzedza¹cy dwe pary grup o nawêksze maksymalne energ (grupy ). Dla trzecego przypadku poawena sê tak wysokch energ (grupy 3 5) skok wspó³czynnka korelac ne est u tak wyraÿny. Spadek K, pomêdzy D -D 0 rozk³adu epcentrów, a rozk³adem energ oznacza, e: pommo braku wczeœneszego zró ncowana energ korelaca spada na skutek zmany charakteru fraktalnego rozk³adu epcentrów. Im gwa³towne sê on zmena tym wartoœæ korelac szybce malee. Zmennoœæ charakteru fraktalnego rozk³adu epcentrów odzwercedla poawane sê nowych elementów kszta³tu¹cych ten rozk³ad. Energa œredna, a uogólnone wymary D, D 0, D -D 0 rozk³adu epcentrów. Pommo tego, e punkty tworz¹ ednorodn¹ grupê, to tak samo ak dla energ maksymalnych wynk korelac neparametryczne odrzuca we wszystkch przypadkach mo lwoœæ stnena zale noœc pomêdzy zmennym. Sprawdzono ednak ak kszta³tue sê funkca korelac dla energ œrednch. Przyczyn¹ s¹ cekawe wynk dla energ maksymalnych. Dla parametru D -D 0, na podst. przebegu funkc korelac, K, polczono dla = -. Wynkowe krzywe s¹ zbl one do poprzednch spadek K, est ednak mne wyraÿny n w przypadku energ maksymalnych. Dla D 0 wybrano przesunêce=-. Dla takego opóÿnena uwdaczna sê (ryc. 4 ) to samo zawsko co dla energ maksymalnych du y skok wartoœc wspó³czynnka poprzedza¹cy naslnesze grupy (5 5). Energa maksymalna, a uogólnone wymary D, D 0, D -D 0 rozk³adu energ. Ponowne wybrano nawêksz¹ ednorodn¹ grupê obserwac. Funkca korelac pary: energa maksymalna D -D 0 przymue znaczne (dwukrotne) wy sze wartoœc, n dla badanego wczeœne rozk³adu epcentrów. Dla =- wartoœæ korelac est mnesza n

4 przy = 0, co oznacza, e nawêksze zale noœc nale y sê spodzewaæ przy braku czasowego przesunêca. Uwagê zwraca¹ du e skok wartoœc wsp. korelac towarzysz¹ce grupom o nawêkszych maksymalnych energach (ryc. 5). Energa œredna, a uogólnone wymary D, D 0, D -D 0 rozk³adu energ. W tym przypadku wartoœc parametru p s¹ dosyæ nske, a wykluczene z grupy obserwac tylko edne, nawêksze œredne energ (E>30000 J), powodue dodatkow¹ poprawê. Jedyne w przypadku pary zmennych: œredna energa D 0 wartoœæ p uleg³a newelkemu zwêkszenu. Jest to zrozuma³e z tego powodu, e wymar D 0 opsue nagêstsze sklastrowane, które czêsto towarzyszy poawenu sê slnego wstrz¹su. Wedz¹c u, e pomêdzy kolenym badanym zmennym mo e stneæ zw¹zek, do dalsze analzy wybrano przesunêce =. dla =0 for = D-D0 Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, 00 Energa -te grupy (ryc. 6) est rzeczywœce slne skorelowana z welkoœc¹ D -D 0 + grupy, n z grup¹ -t¹. Wy¹tek stanow okres ok. 30 dn poprzedza¹cy grupê o nawêksze œredne energ (gr. 5). Ogólne ednak przebeg obu krzywych korelacynych s¹ do sebe podobne. Energa, a uogólnone wymary D, D 0, D -D 0 rozk³adu czasowego.. Energa maksymalna a D, D 0, D -D 0 rozk³adu czasów reestrac. Charakter przebegu D q (q) dla tego rozk³adu est odmenny od pozosta³ych. Nale y ednak zbadaæ czy stnee korelaca pomêdzy badanym parametrem, a rozk³adem energ. Byæ mo e pommo obc¹ ena merzonego D q faktem, e wele danych est stale rosn¹cy (kolenoœæ czasów reestrac), wynk korelac oka ¹ sê zgodne z wynkam badañ nad rozk³adem nterwa³ów mêdzy zdarzenam. Pommo rozgrupowana obserwac na trzy podgrupy, pozomy stotnoœc w przypadku wymaru D 0 oraz D -D 0 s¹ na tyle nske, e mo na za³o yæ stnene zale noœc mêdzy badanym zmennym. Dla wymaru D pozom p przekracza wartoœæ 0,, ale Emaxmal Ryc. 5. Zmennoœæ w czase wspó³czynnka korelac ró ncy D -D 0 rozk³adu energ z energ¹ maksymaln¹, dla przesunêæ : 0 Fg. 5. Tme changes of D -D 0 correlaton coeffcents of energy dstrbuton wth maxmal energy, for tme lags : 0 dla =- for =- 5 dla =0 for =0 D-D0 Eœredna Eaverage Ryc. 6. Zmennoœæ w czase wspó³czynnka korelac ró ncy D -D 0 rozk³adu energ z energ¹ œredn¹, dla przesunêca : 0 Fg. 6. Tme changes of D -D 0 correlaton coeffcents of energy dstrbuton wth average energy, for tme lags : 0 and w porównanu z wczeœneszym zale noœcam est on nadal nsk. Jako perwsza zbadana zosta³a para D -D 0 energa maksymalna (ryc. 7). Wybrano =. Mo na stwerdzæ, e podgrupy o nawêkszych energach maksymalnych poprzedzone s¹ gwa³townym (choca ne tak du ym ak w przypadku rozk³adu epcentrów) spadkem D -D 0. Nawêksz¹ wartoœæ (dla D 0 ), w otoczenu zerowego przesunêca os¹ga funkca dla =4. Wartoœæ ta est o tyle k³opotlwa, e ne wadomo czy przyêce tak du ego przesunêca ne spowodue wyc¹gnêce sztucznych wnosków. Dla D 0 zdecydowano sê ednak na take przesunêce decyza ta est rezultatem wynków korelac neparametryczne. Wspó³czynnk korelac dla = 4 tworz¹ bardze wyg³adzon¹ krzyw¹ n dla=0. Ne est to ednak po ¹dany efekt. Dzêk temu wyg³adzenu zgnê³y bowem charakterystyczne skokowe zmany wartoœc wspó³czynnków dla mocneszych grup.. Energa œredna, a D, D 0, D -D 0 rozk³adu czasów reestrac. Ponowne uzyskane wynk s¹ zadowala¹ce w dwóch na trzy badane przypadk mo na przy¹æ stnene zale noœc pomêdzy zmennym (p<0,05). Natomast wartoœc funkc korelacyne s¹ nske. To, e dla =, wartoœc wspó³czynnków korelac s¹ nawy sze oznacza, e naslneszy zw¹zek stnee dla ró ncy D -D 0 -te grupy z energ¹ œredn¹ --ge grupy. Je el zastna³aby wêc nawet akaœ cekawa prawd³owoœæ to by³aby to dla nas tak nformaca bezu yteczna (wymar D q mo na tu oblczyæ dopero po zastnenu nteresu¹cego nas wstrz¹su). 3. Energa maksymalna, a D, D 0, D -D 0 rozk³adu nterwa³owego. Wynk korelac neparametryczne odrzuca¹ mo lwoœæ stnena zale noœc pomêdzy badanym zmennym, a wycêce zdarzeñ o nawêkszych maksymalnych energach popraw³o wynk w bardzo newelkm, nezadowala¹cym stopnu. Oblczane D q dla rozk³adu nterwa³owego ne przynos wêc korzyœc, a przy tym est bardze pracoch³onne. 4

5 Przegl¹d Geologczny, vol. 49, nr, 00 dla = for = dla =0 for =0 4. Energa œredna, a D, D 0, D -D 0 rozk³adu nterwa³owego. Tak e dla energ œrednch ne mo na przy¹æ hpotezy o stnenu zale noœc, nawet po usunêcu odsta¹cego od reszty zdarzena. Na uwagê zas³ugue edyne fakt, e dla podgrup o du ych energach œrednch wystêpue skokowe obn ene wartoœc wspó³czynnka korelac dla przesunêca czasowego =. Wnosk D-D0 Na podstawe neparametryczne korelac za pomoc¹ wspó³czynnków Spearmana mo na stwerdzæ, e nawêksze prawdopodobeñstwo stnena zw¹zku mêdzy zmennoœc¹ energ, a wymarem fraktalnym stnee w przypadku zale noœc pomêdzy energam maksymalnym, a wymaram D, D 0, D -D 0 rozk³adu epcentrów, (po oddzelenu 0 zdarzeñ o nawêkszych energach). Co wêce dalsze wynk badañ w tym przypadku s¹ bardzo cekawe. Dla trzech naslneszych maksymalnych energ (para D -D 0 rozk³adu epcentrów energa maksymalna) zaobserwowaæ mo na du y spadek wartoœc wspó³czynnka korelac K,, obemu¹cy okres œredno ok. mes¹ca poprzedza¹cego wstrz¹s. W dalszym c¹gu badañ nale- a³oby wêc sprawdzæ, czy powy sza zale noœæ powtarza sê dla nnych katalogów kopalnanych. Mo na natomast ogranczyæ oblczena do przypadku energ maksymalnych rozk³ad energ œrednch ne wprowadza w tym przypadku dodatkowych nformac. Energe œredne mo na natomast wykorzystaæ dla korelac z wymarem D 0. W³aœne dla take pary zmennych otrzymano podobne wynk ak powy e, skrócenu uleg³ natomast okres spadku z 6 do grup. Byæ mo e parametr ten oka e sê przy dalszych bardze szczegó³owych badanach prekursorem okresów aktywnoœc o zwêkszone energ œredne. Stanowczo namne nteresu¹ce s¹ rezultaty analzy zestaweñ poszczególnych wymarów rozk³adu czasowego z rozk³adem energ, zarówno maksymalnych, ak œrednch. Ju korelaca neparametryczna odrzuca, z du ym prawdopodobeñstwem, stnene zw¹zku pomêdzy tym zmennym. Dalsza analza tak e ne pozwala na wysunêce akchkolwek wnosków. Wynk powy szego opracowana pozwala¹ stwerdzæ, e ops sesmcznoœc wywo³ane dza³alnoœc¹ górncz¹, wykonany przy u ycu statystyk fraktalne mo e przyneœæ dobre wynk, a estymowane wymary fraktalne mog¹ s³u yæ krótkotermnowe predykc aktywnoœc sesmczne. Nale y ednak przeprowadzæ dalsze badana aby stwerdzæ, czy wnosk, które zosta³y wysunête dla œcany 53 kopaln Katowce mog¹ byæ stosowane tak e dla nnych kopaln. Emaxmal Ryc. 7. Zmennoœæ w czase wspó³czynnka korelac ró ncy D -D 0 rozk³adu czasów reestrac z energ¹ maksymaln¹, dla przesunêæ: 0 Fg. 7. Tme changes of D -D 0 correlaton coeffcents of recordng tme dstrbuton wth maxmal energy, for tme lags : 0 and Lteratura COSENTINO P., DE LUCA L., LASOCKI S. & LUZIO D. 997 Evaluaton of fractal dmenson estmates: Quanttatve dfferentaton of sesmcty clusters. Rockburst and Sesmcty n Mnes. Gbowcz & Lasock Balkema, Rotterdam: GRASSBERGER P. & PROCACCIA I. 983 Measurng the Strangeness of Strange Attractors. Physca D 9: 89. HENSTCHEL H.G.E. & PROCACCIA I. 983 The Infnte Number of Generalzed Dmensons of Fractals and Strange Attractors. Physca D 8: 435. MARCAK H. 994 Zastosowane welofraktalne, pasmowe analzy do badana struktury zborów sesmcznych wywo³anych eksploatac¹ górncz¹. Symp. Nauk.-Techn.: T¹pana 94 Rozw¹zana n ynerske w problematyce t¹pañ. Ustroñ: MORTIMER Z. & LASOCKI S. 996 Varatons of the fractal dmenson of epcentre dstrbuton n the mnng-nducted sesmcty. Acta Montana, Ser. A, 9: MORTIMER Z. & MARCHEWKA A. 996 Zastosowane statystyk fraktalne w opse sesmcznoœc ndukowane. Geologa, : OTT E. 997 Chaos w uk³adach dynamcznych.wyd. Nauk.-Techn. PEITGEN H. O. JURGENS H. & SAUPE D. 996 Fraktale grance chaosu. PWN. TEPER L. & IDZIAK A. 995 On fractal geometry n fault systems of the Upper Slesasn Coal Basn. Mechancs of Jonted and Faulted Rock. Rossmanth Balkema, Rotterdam. 4