PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

Transkrypt

1 Wdiał Podtawowch Poblemów Techiki PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Modelowaie metodą FDTD właściwości elektomagetcch oło iewidek Electomagetic oetie modelig of iviible cloak b FDTD method Wojciech Oki Oieku: d hab iŝ Włodimie Salejda of PW Wocław 009

2 Sedecie diękuję Maceliie Rodicom oa Rodeńtwu a wacie ówieŝ metoce odca dogi ku ukońceiu ac Pagę waić odiękowaia dla Oiekua da hab iŝ Włodimiea Salejd a wacie licmi mateiałami aukowmi jak ówieŝ dla mga iŝ Kaola Taowkiego któ oświęcił mi wiele wojego cau oa wbogacił mie o wiedę iebędą do oacowaia tematu mojej ac

3 Si teści Wtę 5 Wowadeie 5 Cel ac 5 3 Zake tematc i układ ac 6 Metamateiał 7 Defiicja 7 Rówaia Mawella 7 3 Rówaia mateiałowe 8 4 Wółcik ałamaia a eikalości ε i µ 8 5 Lewokętość metamateiałów 9 6 Pędkość guowa i ędkość faowa 7 Wauki begowe 8 Odwote awo Selliua 9 Potwiedeie ekemetale (TW i SRR) 3 9 Ujema eikalość elektca 4 9 Ujema eikalość magetca i ujem wółcik ałamaia 5 0 Zatoowaia 6 0 Ideala ocewka 6 0 Oło iewidki 7 0 Ideala i uocoa ołoa 8 0 Oło oate a okładie watwowm aametów mateiałowch 9 03 Niewidialość oe łacaie owiechi 3 3 Metoda FDTD 5 3 Algotm Yee 5 3 RóŜickowe ówaia Mawella 5 3 Padek tójwmiaow 6 3 Padek dwuwmiaow 6 3 Dketacja ochodch oa iatka Yee 7 3

4 3 Siatka Yee 7 3 Dketacja ochodch 9 33 Siatka Yee w tech wmiaach Siatka Yee w dwóch wmiaach 33 3 Watw idealie doaowae Źódła omieiowaia Źódła twade Źódła miękkie Deja Wauek tabilości Couata Modelowaie iewidialch oło 40 4 Wbae wiki modelowaia umecego 50 4 Oogamowaie mulacje 50 4 Model etei oa la badań Zatoowae źódła omieiowaia 5 44 Poagacja fali łakiej Poagacja fali łakiej e obiekt Ołoa włw omiaów Włw długości fali adającej a diałaie oło Włw cau włącaia źódła a diałaie oło Podumowaie wkoach mulacji 73 5 Podumowaie 74 Wka kótów Bibliogafia 4

5 Rodiał Wtę Wowadeie Obecie e wględu a owój aotechologii oblem wtwaaia mateiałów o ieotkach w atue właściwościach ficch jet agadieiem itewie badam W oku 968 V Veelago w ac [] oacował teoetce odtaw do twoeia elektomagetcego mateiału któego eikalości elektca i magetca mogłb jmować watości mieje od jedki a awet ujeme któe diiaj okeślae ą w liteatue źódłowej miaem Left-Haded Metamateial [] Mateiał te alał wiele atoowań mi w ateach o oleoch właściwościach w otcej aolitogafii w ueocewkach oa do kotukcji iewidialch oło elektomagetcch dolch do ukcia obiektu [3] [7] [0] [3] [6] [8] Te otatie obudają wobaźię oiewaŝ uecwitiałb maeia ludi o taiu ię iewidialm dla otoceia Moce obliceiowe diiejch komuteów owalają efektwie mulować óŝe modele fice takich oło Itieje kilka metod umecego modelowaia oagacji fal elektomagetcch w ośodkach mateialch [] Jedą ajefektwiejch jet metoda Fiite-Diffeece Time-Domai (FDTD) któa dobe awda ię dla ośodków aiotoowch iejedoodch i ieliiowch [] Obecie ie itieje dobe oogamowaie oate o metodę FDTD któe owalałob modelować iewidiale oło [6] Cel ac Celem ac bło badaie właściwości elektomagetcch aiotoowch oa dejch oło a omocą metod FDTD W tm celu: Peowadoo tudia liteatuowe w akeie dotcącm atoowaia metamateiałów do kotukcji iewidialch oło Nabto umiejętości oługiwaia ię metodą FDTD Stwooo autoki ogam komuteow OkIC w śodowiku MALAB umoŝliwiając mulowaie oagacji fal elektomagetcch e obiekt otocoe iewidialmi metamateialmi okciami; aimlemetowao i wefikowao oawość diałaia tego ogamu Peowadoo lice mulacje komuteowe w któch badao właściwości iewidialch okć dla adach aametów modelu i metod FDTD Otmae wiki umece otał oddae aaliie a omocą oacowach i aimlemetowach autokich algotmów 5

6 3 Zake tematc i układ ac W ac edtawioo: odtawowe właściwości elektomagetce metamateiałów wbae modele iewidialch oło metodę Fiite-Diffeece Time- Domai w weji odtawowej oa modfikowaej uwględiającej deję mateiałową Rodiał awiea odtaw teoetce dotcące meta mateiałów chaaktetkę ich właściwości ficch oa egląd wbach modeli oło Kolej odiał oiuje metodę otów końcoch (FDTD) wa dodatkowmi elemetami któa otała aimlemetowaa w ac Wiki modelowaia umecego amiecoo w Rodiale 4 Pacę końc odumowaie (Rodiał 5) oa i liteatu 6

7 Rodiał Metamateiał W odiale tm wowadam defiicję metamateiałów jak ówieŝ oi eegu właściwości ficch beośedio imi wiąach Defiicja Elektomagetce metamateiał (EMTM) ą to eoko oumiae tuce efektwie jedoode elektomagetce tuktu chaakteujące ię iewkłmi właściwościami ieotkami w atue Pojęcie efektwej jedoodości odoi ię do omiaów komóki elemetaej (d) któa to jet duŝo mieja iŝ długość fali (λ) elektomagetcej (FEM) adającej a meta mateiał Jako aktcą egułę ( ule of thumb ) jmuję ię wauek d < λ/4 wted to fala elektomagetca adająca a metamateiał ie auwaŝa cegółów tuktu i achowuje ię jakb adała a ośodek jedood (efektwie jedood) Jeśli wauek efektwej jedoodości otaie ełio dla daego ediału długości fali elektomagetcej (λ) to tuktua achowuje ię jak ecwit mateiał i daje am to moŝliwość wowadeia efektwch eikalości elektcej (ε) oa magetcej (µ) [] Rówaia Mawella Poagacja fali elektomagetcej w dowolm ośodku jet oiaa oe ówaia Mawella [-3] B = E K t D = H J t D = ρe B = ρm gdie: E atęŝeie ola elektcego [V/m] D idukcja elektca [C/m ] H atęŝeie ola magetcego [A/m] B idukcja magetca [Wb/m ] J gętość tumieia elektcego [A/m ] K gętość tumieia magetcego [V/m ] ρ gętość ładuku elektcego [C/m 3 ] ρ gętość ładuku magetcego [Wb/m 3 ] e m W ówaiach () wekto K oa ρmotał wowadoe w celu aewieia uełej metii ówań Mawella PowŜe wielkości ą fikcje oiewaŝ ikomu ie udało ię wkć ładuku ai ądu magetcego [4] () 7

8 3 Rówaia mateiałowe Dla ośodka liiowego iotoowego iedejego moŝem aiać układ ówań wiąŝąc wekto D E oa B H []: D = ε E = ε ε E 0 () B = µ H = µ µ E gdie ε 0 = [F/m] eikalość elektca óŝi ε eikalość elektca ośodka [F/m] ε wględa eikalość elektca ośodka µ 0 = 4π 0-7 [H/m] eikalość magetca óŝi µ eikalość magetca ośodka [H/m] µ wględa eikalość magetca ośodka 0 4 Wółcik ałamaia a wględe eikalości ε i µ Wółcik ałamaia moŝe bć oia atęującą elacją: któą moŝem edtawić w otaci ε µ = (3) = ± ε µ (4) RowaŜm tea ak wółcika ałamaia w aleŝości od watości eikalości ε i µ [] Ruek ZaleŜość aku wółcika ałamaia () w fukcji eikalości (ε i µ ) 8

9 Zetawieie owŝego uku owala am akwalifikować dowol mateiał do jedej jego ćwiatek: I iotoowe dielektki (awo-kęta tójka wektoów k E H ) II metale w obae cętotliwości otcch III metamateiał (lewo-kęta tójka wektoów k E H ) IV mateiał feomagetce Poagacja FEM moŝliwa jet w ośodkach o tch amch akach eikalości elektcej i magetcej [] tj: ε > 0 µ > 0 > 0 (5) ε < 0 µ < 0 < 0 5 Lewokętość metamateiałów Ośodki o ujemm wółciku ałamaia (LH EMTM) awam lewokętmi oiewaŝ wekto ( k E H ) twoą ójkę lewokętą w eciwieńtwie do ośodków I ćwiatki (Ruek ) któch achowaie oiae jet oe tójkę awokętą (Ruek ) (a) (b) Ruek Tójka wektóów ola elektcego magetcego i wekto falow ( k E H ) oa wekto Potiga S (a) Kowecjoal awokęt (RH) ośodek (ε µ > 0) (b) Lewokęt (LH) ośodek (ε µ < 0) Poe odtawieie fali łakiej [] jk E = E0e E (6) 0 jk H = e η do układu ówań () gdie η = E otmujem H 9

10 E = jωµ H K (7) H = jωε E J co oaca Ŝe w óŝi dla adku ε µ > 0 mam ośodek RH i wted k E = + ωµ H (8) k H = ωε E dla ε µ < 0 mam ośodek LH dla któego k E = ω µ H (9) k H = + ω ε E Ze wględu a otać ówań (8) oa (9) otmujem tójkę awokętą wektoów k E H dla ośodków RH atomiat tójkę lewokętą dla ośodków LH 6 Pędkość guowa i ędkość faowa Ze wględu a (9) ędkość faowa ośodka lewokętego: ω υ = kˆ k (0) gdie ˆ k k = jet eciwa (ujema) wględem ędkości faowej ośodka awokętego k * Wekto Potiga S = E H okeślając kieuek ełwu moc oietowa jet wdłuŝ kieuku oagacji eegii w caie i dlatego jet ówoległ do ędkości guowej FEM []: υ g = k ω () któa moŝe bć eoko oumiaa jako ędkość modulowaego gału w ieiektałcającm ośodku W eciwieńtwie do wektoa falowego k wekto Potia S ie aleŝ od eikalości elektcej i magetcej aleŝ atomiat jedie od wektoa atęŝeia ola elektcego E i ola magetcego H dlatego ędkość guowa jet dodatia dla RH i LH Podumowując moŝem aiać układ ieówości chaakteując ośodki RH i LH ( k ) ( k ) RH ośodek: υ > 0 > 0 υ > 0 LH ośodek: υ < 0 < 0 υ > 0 g g () 0

11 7 Wauki begowe Wauki begowe (BC) (Ruek 3) a gaic omięd dwoma ośodkami ą wowadae beośedio ówań Mawella Z tego owodu ą oe oawe ówieŝ dla adku gd jedm ośodków jet metamateiał []: gdie ˆ D D = ρ ( ) ( ) ( ) ( ) e ˆ B B = ρm ˆ E E = K ˆ H H = J (3) ρ e ρ m ą owiechiowmi gętościami ładuków elektcego i magetcego a gaic ośodków ˆ jet wektoem jedotkowm omalm do owiechi Z ówań (3) wika Ŝe baku ładuków owiechiowch ( ρe = ρm = 0 ) omale kładowe D oa B ą ciągłe atomiat baku ądów źódłowch ( J = K = 0 ) a owiechi ciągłe ą tce kładowe E oa H : D B E H = D = B = E = H (4) Wacając do wou () w kotekście (4) auwaŝam Ŝe kładowe tce ola elektomagetcego ie aleŝą od aametów mateiałowch Składowe omale ola mogą mieiać wot oa długość oiewaŝ ą aleŝe od eikalości elektcej ε i magetcej µ któe to mogą mieiać ak w mateiałach LH Ruek 3 Wauki begowe a owiechi omięd ośodkiem RH a LH

12 8 Odwote awo Selliua Pawo Sella (Selliua) jet to aleŝość kąta ałamaia od kąta adaia FEM []: iθ = i θ (5) Pawo to jmuje ią otać a owiechi omięd ośodkiem awokętm a lewokętm (uek 4) owodu ujemego aku wółcika ałamaia w ośodku LH (ukt 4) Zaim je w badiej ogólej fomie: gdie iθ = i θ (6) + dla ośodka RH = dla ośodka LH (7) Pawo (6) jet awdiwe ówieŝ gd obdwa ośodki ą lewokęte (a) (b) Ruek 4 Załamaie FEM a gaic dwóch ośodków (a) Padek ośodków tego amego tu (obdwa RH lub LH) dodatie ałamaie światła (PRI) (b) Padek ośodków o dwóch óŝch tach (RH i LH) ujeme ałamaie światła (NRI)

13 9 Potwiedeie ekemetale ujemego wółcika ałamaia Piew lewokęt mateiał ie bł atualą ubtacją ale właśie tucą efektwie jedoodą tuktuą (MTM) aooowaą e Smitha i eół Uiwetetu Kalifoijkiego [5] Stwoeie takiej tuktu bło aiiowae ioiekimi acami Pedego Zaooował o tuktu tu lamoowego ujemeε/dodatie-µ (Ruek 5) [6] oa dodatie-ε/ujeme-µ (Ruek 6) [7] Obdwie te tuktu mają śedi omia eiodu duŝo miej od długości adającej FEM λ (<<λ) i dlatego ą efektwie jedoodmi tuktuami (EMTM) Rodiał gotowa otał a odtawie [] Ruek 5 Stuktua thi-wie (TW) chaakteująca ię ujemm ε i dodatim µ jeŝeli E 9 Ujema eikalość elektca Stuktua chaakteująca ię ujemm ε i dodatim µ awaa jet metal thi-wie (TW) (Ruek 5) Jeśli wbudoe ole E jet ówolegle do oi ewodów ( E ) w ewodach moŝe otać widukowa ąd odłuŝ i wgeeowa ówowaŝ elektc momet diolow Peikalość elektca jet tutaj fukcją cętotliwości otaci [6 8]: ε ( ω) ω ω ζω = e = e + j e ω + jωζ ω + ζ ω ω + ζ ( ) (8) gdie ω e elektca cętość lamowa akeu GH: ω = e π c l a (9) (c ędkość światła a omień ojedcego ewodu) oa ζ jet wółcikiem tłumieia wtęującm owodu tat w metalu: 3

14 ω e a ζ = ε 0 (0) πσ (σ ewodictwo metalu) ZauwaŜm Ŝe dla to edukować jeŝeli ζ = 0 do ω < ω ζ mam Re ( ε ) < 0 MoŜa e ε < 0 dla ω < ω () Peikalość magetca ma watość µ=µ 0 oiewaŝ ie jet geeowa magetc momet diolow NaleŜ ówieŝ odkeślić Ŝe długość ewodów owia bć duŝo więka od długości FEM co oaca Ŝe ewod ą wbudae duŝo owŝej iewej eoaowej cętotliwości e Ruek 6 Stuktua lit-ig eoato (SRR) chaakteująca ię dodatim ε i ujemm µ jeŝeli H 9 Ujema eikalość magetca i ujem wółcik ałamaia Stuktua wkaująca dodatią eikalość elektcą ε oa ujemą eikalość magetcą µ awaa jet metal lit-ig eoato (SRR) (Ruek 6) Jeśli wbudoe ole magetce H jet otoadłe do owiechi ewodików kołowch (igów H ) widukowa otaje ąd w ętli i wgeeowa ekwiwalet magetcego mometu diolowego Peikalość magetca jet tutaj fukcją cętotliwości otaci [7]: Fω µ ( ω) = ω ω + jωζ 0m Fω ( ω ω 0m ) Fω ζ j ( ω ω0 m ) + ( ωζ ) ( ω ω0 m ) + ( ωζ ) = + () a gdie F = π (a omień wewęt miejego igu) magetca cętotliwość eoaowa etajala w GH: 4

15 ω = c 3 wa π l δ 0m 3 (3) (w eokość igów δ odległość kątowa omięd igami) oa wółcik oaaia wtęując e wględu a tat w metalu R' ζ = (4) aµ (R etacja metalu a jedotkę długości) Dla betatego adku ( ζ 0 ) otmujem 0 ω µ < 0 dla ω < ω < = ω F 0m 0m m (5) gdie ω awaa jet magetcą cętotliwością lamową Smith aooował [9] ołąceie tuktu Pedego (TW i SRR) do jedej komotowej tuktu (Ruek 7) Ruek 7 Pkład budow ajotego LH EMTM Pomia okaał Ŝe ta jedowmiaowa tuktua wkauje ujeme ałamaie światła W kolejej ac aeetowao tuktuę dwuwmiaową wkaującą ujemą watość wółcika ałamaia [0] 5

16 0 Zatoowaia metamateiałów 0 Ideala ocewka Stoując awo Selliua (6) dwukotie do układu kładającego ię łtki mateiału LH umiecoego omięd dwoma ośodkami RH waego ocewką LH otmujem odwój efekt ogikowaia edtawio a Ruku 8 [ ]: dwa omieie świetle oagujące ię metce do główej oi otcej w odległości l od źódła otają ujemie ałamae od kątem ówm kątowi adaia i atęie eciają wól ukt w odległości w łtce LH Natęie oowie otają ujemie ałamae a dugim ośodku RH w odległości d-l Watość odległości moŝem oblicć e wou: taθr = l (6) ta θ L gdie θ R kąt adaia fali e-m θ L R = i iθ R L kąt ałamaia FEM Rówaie (6) okauje Ŝe jeŝeli dwa ośodki mają ówą bewględą watość wółcika ałamaia ( R = R ) to ogiko jet odbiciem lutam źódła =l oiewaŝ awa Selliua θ L = θ θ R L Ruek 8 Efekt odwójego ogikowaia a ciekiej ocewce budowaej łtki LH o gubości d i wółciku ałamaia L umiecoej omięd dwoma ośodkami RH o wółciku ałamaia R cm L = R 6

17 0 Oło iewidki Obewujem obecie oące aiteeowaie teoetcą i aktcą moŝliwością twoeia oło dięki któm obiekt wewąt tawałb ię iewidial Dla odtawowego adku tuktua taka oiea ię a aiotoowej tafomacji ośodka któego eikalości elektca ε i magetca µ otmwae ą oe tafomację wółędch jedoodego ośodka iotoowego [] Pomł tafomacji wółędch aooowa e eół Joha Pedego otał otwiedo mulacjami umecmi [3] oa ekemetalie dla cętotliwości FEM akeu mikofalowego [4] (Ruek 9) Jedak ołoa ta jet budowaa oiach w odiale 8 SRR o omiaach blikich długości adającej FEM i ie moŝe bć oto aimlemetowaa dla cętotliwości otcch Ruek 9 Dwuwmiaowa mikofalowa ołoa Naieioe otał okład aametów mateiałowch Ruek aceięt ac [5] MoŜem wóŝić 3 odejścia do oblemu iewidialości: ideala i uocoa ołoa (ideale i edukowae wo a aamet mateiałowe) okład aametów mateiałowch oat o watw iewidialość oe otce wówaie owiechi 7

18 0 Ideala i uocoa ołoa Podtaw diałaia oło iewidialch wwodą ię idei tafomacji wółędch aooowaej e Joha Pedego [] Dokoując tafomacji acam od dowolej kofiguacji źódeł wbudowach w dowol dielektc i magetc ośodek Na kład acam od jedoodego ola elektcego i chcem ab liie ola bł euięte tak Ŝeb omiąć da oba co okaao a Ruku 0 Ruek 0 A: liie ola w etei wobodej a iatce w układie katejańkim B: Ziektałcoe liie ola a iektałcoch w te am oób wółędch Polem tm moŝe bć idukcja elektca D lub magetca B lub wekto Potiga S Kied wiem jaki efekt chcem oiągąć moŝem kotać gotowch macie ejścia [5] ab ukać ukae ówaia a aamet mateiałowe µ oa ε wewąt iektałcoego obau Nam celem jet aleieie takich ówań dla fecej oło cli tak akwić eteń ab odchlić omieie adające a ukwa obiekt tak Ŝeb omięł go i atęie wócił a iewot kieuek oagacji (Ruek ) Ruek 0 A: Padające omieie omijają obiekt o omieiu R ab atęie owócić a iewot kieuek oagacji B: Te am oce w widoku 3D Ruek aceięt ac [] 8

19 Komeja etei < R do obau R < < R jet atęująca: ( R R ) ' = R + R θ ' = θ φ ' = φ (7) Zetaw ówań defiiując watości aametów mateiałowch w obae obliceń a odtawie (7) jet atęując: dla < R : ε i µ mogą jmować dowole watości be włwu a oaaie dla R < < R : ( ' R ) R ε = µ = R R ' R ε θ = µ θ = R R R ε φ = µ φ = R R (8) dla > R : ε = µ = ε = µ = ε = µ = θ θ φ φ MoŜem ówieŝ edtawić owŝ model we wółędch clidcch [3]: R ε = µ = ε φ = µ φ = R ε µ = = R R R R (9) Ideala ołoa mogłab bć tuda do ealiacji e wględu a adialą aleŝość kaŝdej e kładowch w (9) dlatego aooowao w ac [7] edukowa układ ówań oiując okład aametów mateiałowch w ośodku: ε µ = = R R ε µ ε = µ = φ = φ = R R R R R (30) 9

20 Uoco okład (30) ie daje jedak bt dobch eultatów [6] Dlatego otał twoo układ ówań dla aametów mateiałowch oło oat o fukcjoał (high-ode tafomatio) [8]: ' ε = µ = ( ') g ε φ = µ φ = ' ε = µ = (3) R ' gdie = g ( ') = + ' + R Jakie ogaiceia ieie a obą atoowaie R R (3) moŝem aleźć w ac [9] 0 Oło oate a okładie watwowm aametów mateiałowch Elektomagetce iewidiale oło teoetcie owi bć budowae mateiału o aiotoowm okładie aametów mateiałowch jak moŝem wctać w atkule [] MoŜliwe jet jedak ukaie w/w efektu oe uŝcie jedoodch iotoowch kocetcch ciekich watw [0] (Ruek ) Ruek Niekońco clidc ewodik (Ŝółt) otoco (a) kocetcmi watwami dielektków aemieie A i B; (b) ówowaŝa aiotoow clidc ośodek i aleŝością adialą Obdwie oło mają taki am omień ewęt b i wewęt a Ruek aceięt ac [] 0

21 JeŜeli watw ą dotatecie ciekie w touku do długości FEM λ to moŝa taktować całą watwową tuktuę jako jede aiotoow ośodek eikalością elektcą: ε A + ηε B εθ = + η η = + ε + η ε A ε B (3) gdie ε A ε B to eikalości elektce watw A i odowiedio B ε θ ε to kładowe odowiedio kątowa i adiala efektwego aiotoowego teoa eikalości elektcej oa η jet toukiem gubości dwóch watw: db η = (33) d PowŜe modele otał edtawioe w układie wółędch clidcch moŝa jedak oiać oób odchlaia omiei w układie wółędch elitcch wa okładem watowm Zaletą takiego owiąaia jet komeja ukwaego obiektu do odcika amiat do uktu jak to ma miejce w modelu oatm o wółęde clidce Koekwecją tego jet bak oobliwch watości aametów mateiałowch a ake ich mia jet wględie mał Poadto gd długość odcika międ ogikami eli jet bado mała elitca ołoa bliŝa ię ktałtem do oło kołowej Układ ówań chaakteując okład aametów mateiałowch dla w/w adku jet atęując []: ε = µ = k A ε φ = µ φ = k coh β ε = µ = k coh ξ (34) gdie ξ ξ k = ξ ξ ξ β = k ξ = l + Ri Ri ξi = l + i = oa to długość odcika łącącego ogika eli

22 Układ wielowatwowe ajdują atoowaie w ecwitch ołoach oiewaŝ moŝem twoć je iotoowch watw któe w eciwieńtwie do ośodków aiotoowch ą łatwieje w wkoaiu W ac [] moŝem odaleźć adek dla któego jedą mieą aleŝą od ołoŝeia jet ε : ε R R = R R (35) co umoŝliwiło twoeie oło [3] dla FE< o długości ok 500 [m] cli dla cętotliwości otcej (Ruek ) Ruek Zdjęcie oło odca oagacji fal e-m o długości 53 [m] (śodek djęcia) MoŜa auwaŝć Ŝe e oba wewąt oło ie oaguje ię fala e-m w oówaiu tadcją ołoą (aw dol óg) ie otmaliowaą dla λ=53[m] Ruek aceięt ac [3] Pomimo tego Ŝe oło clidce iewidiale ie diałają awie w akeie widialm twają acę ad twoeiem at-oło któe elimiowałb tafomację otcą wowadoą e ołoę ab obiekt wewąt otał doteŝo Ifomacje a te temat moŝem aleźć w tch atkułach [9 30] 03 Niewidialość oe łacaie owiechi Rowój otki oatej a tafomacji dotacł owch aędi do kotolowaia kieuku oagacji FEM uŝciem ówań Mawella Poe uŝcie otki tafomacjej ademotowao iewą iewidialą ołoę dla akeu mikofal [4] budowaą igów metalowch twoącch metamateiał obaco ektemalmi watościami eikalości magetcej µ Ze wględu a to Ŝe igi budowae ą metalu ie jet moŝliwe ekalowaie takiej oło do ac a cętotliwościach otcch oiewaŝ ośie tłumieie oa kietca idukcjość elektoów [4 5 8] W celu uikięcia watości ektemalch aametów mateiałowch aiteeowao ię ideą otcego ukwaia obiektu od owiechią idealie odbijającą FEM [6 7] Wceśieje owiąaia baował a otcej komeji obiektu do oobliwego uktu lub liii odca gd oiwaa tutaj ołoa komeuje obiekt jedie w jedm kieuku

23 do ewodącej watw Kied obiekt jet od akwioą odbijającą owiechią ołoą łacającą u gó obewato widi jedie łaką a ie akwioą owiechię odbijającą Pkładową ecwitą ołoę moŝem obacć a Ruku 3 Ruek 3 Ołoa łacającą tafomującą owiechię odbijającą wgłębieiem a witualie łaką owiechię odbijającą (a) Schematc diagam wodukowaej oło okaując óŝe jej oba C jet obaem o gadiecie aametów mateiałowch C jedood oba tła Ołoa odukowaa jet metodą SOI gdie łtka Si acuje w eŝimie wmiaowego falowodu (b) Oba mikokou elektoowego wodukowaej oło Seokość wgłębieia woi 38 µm a głębokość 400 m Ruek aceięt ac [6] Diałaie oło otało otwiedoe ekemetalie [6] Źódłem światła bł imul Gaua dla długości FEM akeu m Na Ruku 4 moŝem obacć wik diałaia oło łacającej dla FEMλ=540 [m] Ruek 4 Reultat odbicia imulu Gaua od łakiej owiechi (a) od owiechi ieukwam obiektem (b) oa od owiechi obiektem uktm od ołoą (c) Widim Ŝe ofil atęŝeia jet odob w adku (a) oa (c) Ruek aceięto ac [6] 3

24 Rodiał 3 Metoda Fiite-Diffeece Time-Domai W odiale tm otaie oiaa metoda otów końcoch (FDTD Fiite- Diffeece Time-Domai) Metoda FDTD to ogólie ocedua dięki któej moŝem mulować oagację FEM oe owiąwaie ówań Mawella w końcom etem obae w daej chwili cau oe ciągłe obliceia watości kładowch ola e-m a odtawie watości ól ąiedich w daej chwili oa chwilach oedich [] Jako iew owiąwaie ówań Mawella oe ich dketację aooował Yee w 966 oku [3] Doieo w oku 975 Alle Taflove doacował metodą ab diałała tabilie dla adków jedo- dwu- oa tójwmiaowego [] Od tego cau metoda kuje wielu woleików e wględu mi a to Ŝe ie uŝwa algeb liiowej jet dokłada atualie modeluje achowaie gałów imulowch oa otki ieliiowej moŝliwości obliceiowe komuteów oą a więc moŝa mulować badiej komlikowae oce 3 Algotm Yee Algotm Yee jet oat o dketację ówań Mawella () oe atoowaie iloaów óŝicowch do ochodch Peteń w któej obowiąują ówaia Mawella o takim ektałceiu awam iatką Yee i jet oa klucowm elemetem algotmu 3 RóŜickowe ówaia Mawella otać W etei obawioej ładuków ówaia Mawella () jmują atęującą B = E K t D = H J (3) t D = 0 B = 0 Wekto J i K moŝem taktować jako źódła eegii ola E oa H Jedoceśie moŝem uwględić abocję eegii i jej amiaę a eegię cielą oe ówaia J = J ouce + σ E (3) * K = Kouce + σ H gdie σ ewodość elektca ( ieme met ( ohm met ) ) * σ odowiedik tat magetcch 4

25 Podtawiając ówaia (3) do (3) otmujem ówaia Mawella dla ośodka liiowego iotoowego iedejego oa tatego: H = E K + H t µ µ E = H ( J ouce + σ E) t ε ε * ( ouce σ ) (33) 3 Padek tójwmiaow Roiując wekto ola e-m a kładowe w układie katejańkim oe atoowaie oeatoa otacji w (33) otmujem etaw 6 ówań kalach: H E E = t µ + H E E = t µ + * ( Kouce σ H ) * ( Kouce σ H ) H E E = + t µ * ( Kouce σ H ) E H H = t ε + E H H = t ε + E H H = J ouce + σ E t ε ( J ouce σ E ) ( J ouce σ E ) ( ) (34) Układ owŝch eściu ęŝoch ówań óŝickowch taowi odtawę algotm FDTD 3 Padek dwuwmiaow Zakładając iekońcoość w kieuku OZ be mia ktałtu oa ekoju oecego wtkie ochodą o tej kładowej jmują watość 0 Dodatkowo moŝem oatwać tlko wbae kieuki oagacji twoąc tw mod P tch ałoŝeiach ówaia (34) moŝem owadić do układu tech ówań dla wbaego modu 5

26 Mod TM ole magetce jet otoadłe do oi H t H t E = µ + * ( Kouce σ H ) * ( Kouce σ H ) E = µ + E E H = + t ε ( J ouce σ E ) (35) Mod TE ole elektce jet otoadłe do oi E H = ( J ouce + σ E ) t ε E H = ( J ouce + σ E ) t ε H E E = + t µ * ( M ouce σ H ) (36) 3 Dketacja ochodch oa iatka Yee 3 Siatka Yee Podtawowe ałoŝeia algotmu Yee łuŝącego do owiąwaia ówań Mawella ą atęujące: Algotm Yee oblica obdwa ola elektce i magetce w caie i etei uŝwając ęŝoch ówań Mawella Jak okaao a Ruku 3 w algotmie Yee kładowe wektoów E i H ą wśodkowae a tójwmiaowej etei tak Ŝe kaŝdą kładową E otacają cte kładowe H oa kaŝda kładowa H jet otocoa e cte kładowe E 6

27 3 Jak okaao a Ruku 3 algotm Yee ówieŝ cetuje kładowe E i H w caie co awae jet układem Ŝabiego-koku (leafog) Wtkie obliceia dla wektoa E wkowae ą a odtawie aiach w amięci dach dla wektoa H Natęie wtkie obliceia dla wektoa H wkowae ą a odtawie właśie oblicoch dach dla wektoa E Poce jet kotuowa do cau aŝ otaie wkoaa licba koków caowch Ruek 3 Rokład kładowch ola elektcego i magetcego w eścieej elemetaej komóce a eteej iatce Yee Ruek aceięto ac [] Ruek 3 [] Rokład w caie i etei ola elektcego i magetcego w algotmie Yee dla jedowmiaowego adku Ruek aceięto ac [] 7

28 3 Dketacja ochodch Rówaia Mawella (34) (35) (36) ą ówaiami óŝickowmi cątkowmi iewego toia MoŜem dokoać amia oeatoów óŝickowaia a iloa óŝicowe ab moŝa bło owiąać w/w ówaia umecie Niech ukt a jedoodej otokątej iatce będie da e ( i j k ) ( i j k ) = (37) gdie oacają eiod (koki) iatki odowiedio w kieuku i atomiat i j k to licb całkowite MoŜem jąć Ŝe eiod/koki iatek w kieukach i ą obie ówe = = = Wted ukt w etei a iatce oacm e ( i j k ) ( i j k ) = (38) Niech dowola fukcja u wółędch etech i cau w dketm ukcie iatki i dketm ukcie cau oacoa będie e ( ) u i j k t = u i j k (39) gdie t - kok caow oa to licba całkowita Jak widać idek gó oaca chwilę cau t i j k wg (38) UŜwając waŝeń (38) oa (39) atomiat idek dol ukt ( ) moŝem aiać atęujące iloa óŝicowe: - ochoda cątkowa wględem wółędch etech u u u i j k i j k i j k u i+ j k i j k u = + O ( ) u i j+ k i j k u = + O ( ) u i j k+ i j k u = + O ( ) (30) - ochode cątkowe wględem kładowej caowej t u i j k + u i j k i j k u = + O ( t) (3) gdie O ( ) i O ( t ) otacji oacają et óŝickowaia fukcji aiae w kócoej 8

29 33 Siatka Yee w tech wmiaach Zatoujem tea owŝe ałoŝeia i otacje do wowadeia umecej weji ówań Mawella w tech wmiaach a odtawie układu ówań (34) Zaciem od omieia otaci ochodej cątkowej dla kładowej E : E H H = + t ε ( J ouce σ E ) (3) Na odtawie Ruku 3 wowadam ochodą cetalą do owŝego ówaia w ukcie i w caie E i j + k + otmując E ε + / / i j+ / k+ / i j+ / k+ / E t H J H H / / H i j+ k+ i j k + i j+ / k+ i j+ / k i j+ / k + / = σ ouce i j+ / k + / i j+ / k+ / i j+ / k+ / E (33) ZauwaŜm Ŝe wtkie kładowe ola e-m o awej toie ówaia wtęują w koku caowm włącie e kładową E Zgodie tm co otało owiediae w ukcie 3 a ocątku tego odiału kładowa E w koku caowm ie jet echowwaa w amięci jedie w koku -/ W celu oiągięcia ójości we woe aleŝ atoować bliŝeie: E + / / E + E = (34) i j+ / k + / i j+ / k + / i j+ / k+ / Jet to tak aawdę śedia watość E koku caowego -/ i jece ie oblicoego +/ Podtawiając (34) do (33) o otch ektałceiach otmujem ówaie owalające oblicć watość ola E w chwili atęej +/ w dam ukcie etem: 9

30 E σ i j+ / k + / t ε = + ε i j+ / k+ / + / i j+ / k + / / E i j+ / k + / σ i j / k / i j / k / t t ε + σ i j+ / k+ / t + ε i j+ / k+ / H / / H H i j+ k + i j+ k+ / i / H j k + i j+ / k+ i j+ / k J ouce i j+ / k + / (35) Potęując odobie moŝem a odtawie Ruku 3 wowadić ówaia aktualiacje dla ootałm kładowch ola e-m tj E E H H H : E + / i / j+ k + / / E i / j+ k+ / σ i / j k / i / j k / t t ε σ + ε i / j+ k + / + i / j+ k + / σ i / j+ k + / t ε = + ε i / j+ k + / i / j+ k+ / H t J H H / / H i j+ k + i j+ k i j+ k + / i j+ k+ / ouce i / j+ k + / (36) E + / i / j+ / k + / E i / j+ / k + σ i / j / k i / j / k t t ε σ + ε i / j+ / k+ + i / j+ / k + σ i / j+ / k + t ε = + ε i / j+ / k + i / j+ / k + H t J H / H / H i j+ k + i j+ k+ i / j+ k+ i / j k + ouce i / j + / k + (37) 30

31 H σ µ * i / j+ k + + i / j+ k + = H i / j+ k + * i / j+ k+ σ i / j+ k+ t + µ t E µ i / j+ k + + * σ i / j+ k + t + µ K i / j+ k + i / j+ k+ t + / + / + / + / i / j + k E + 3/ E i / j k 3/ E + + i / j+ 3/ k + i / j+ / k+ + / ouce i / j+ k + (38) H σ µ * i j+ / k+ + i j+ / k + = H i j+ / k+ * σ i j / k i j / k t µ i j+ / k+ t t E E µ i j+ / k + + * σ i j+ / k + t + / + µ Kouce i j+ / k+ i j+ / k+ + / + / + / + / i+ / j+ / k+ E i / j+ / E k+ i j+ / k+ 3/ i j+ / k+ / (39) H σ µ * i j+ k + / + i j+ k + / = H i j+ k + / * i j+ k + / σ i j+ k + / t + µ i j+ k + / t E µ i j+ k+ / + * σ i j+ k+ / t + µ K i j+ k+ / + / t E + / i j+ 3/ k+ / i j+ / k + / + / ouce i j + k + / E + / + / E i+ / j+ k + / i / j+ k + / (30) Watość dowolej kładowej ola e-m (35) - (30) w kaŝdm ukcie iatki aleŝ jedie od oediej watości tej kładowej watości ąiedich kładowch oa magetcego i elektcego 3

32 34 Siatka Yee w dwóch wmiaach Soób wowadaia ówań edtawio owŝej jet aalogic dla adku jedo- i dwuwmiaowego Ruek 33 edtawia iatkę Yee dla wmiaów oa modu TE Mod TE Ruek 33 Siatka Yee w wmiaach dla modu TE ( i j+ k+ / i j k+ / ) + / / / / i j+ / a i j+ / i j+ / b i j+ / ouce i j+ / E = C E + C H H J (3) ( i j+ k + / i j+ k + / ) + / / / / i / j+ a i / j+ i / j+ b i / j+ ouce i / j+ E = C E + C H H J (3) + / + / + / E E + E E K i / j ouce + + i j+ 3/ / + i j+ i j+ i / j+ = a + i j+ i j+ i j+ b i j+ + / + / H D H D (33) gdie C D σ i j t t ε ε t + ε + ε / i j / i j a = C i j b = σ i j i j t σ i j i j i j * σ i j t t µ µ t + + µ i j µ i j i j i j a = D b = i j i j * σ i j t σ i j (34) 3

33 3 Watw idealie doaowae PML W oku 994 J Beege oacował techikę otacaia obau obliceiowego watwami abobującmi dla metod FDTD [3] Techika PML (Pefectl Matched Lae) bauje a wkotaiu watw ecjalie aojektowaej do abocji FEM be odbicia Peim ówaia Mawella dla dwóch wmiaów i modu TE Z be źódeł ola elektcego i magetcego: E ε0 t H + σ E = E H ε0 + σ E = t H E * E µ 0 + σ H = t (35) Dodatkowo jmijm Ŝe * σ σ = (36) ε µ 0 0 któe jeŝeli jet ełioe oaca Ŝe imedacja ośodka oiaego ówaiami (35) jet ówa imedacji óŝi i dlatego ie wtąi odbicie a gaic ośodek-óŝia Podtawą watw PML jet obicie kładowej H Z a dwie kładowe H oa H cli H = H + H (37) MoŜem tea aiać etaw ówań Mawella obowiąując w watwie abobującej: E ε0 t ( H H ) + + σ E = ( H H ) E + ε0 + σ E = t H E * µ 0 + σ H = t H * E µ 0 + σ H = t (38) Dla modu TM Z obilibśm kładową E Z a E oa E 33

34 ( * * σ ) gdie aamet σ σ σ odowiadają elektcej i magetcej ewodości Rokład watości tch aametów w watwie abobującej ma klucow włw a * kutecość PML Nieeowe watości σ oa σ owodują abobowaie FEM * oagującch ię w kieuku oi aalogicie jet dla ewodości σ oa σ któch ieeowe watości owodują abocję w kieuku oi Rokład aametów a obae obliceiowch watwami PML edtawio jet a Ruku 34 Ruek 34 Romieceie watw PML wa aacomi obaami wględem * * układu wółędch gdie wtęują watości ieeowe wółcików σ σ σ σ Na begach całości umieco jet ideal ewodik elektc PEC * * Rokład watości wółcików σ σ σ σ w watwie aleŝ od gubości watw d oa odległości od obau obliceiowego Stouje ię okład geometce i wielomiaowe W mojej weji algotmu atoowałem kwadatow okład wółcika σ [ 3]: σ ( ) σ ma = d (39) 34

35 gdie odległość od gaic obau mulacji umecej d jęta gubość watw PML (waŝoa w ilości koków elemetach) σ makmala watość ewodictwa elektcego oblicaa e wou ma σ ma ( ) 3l = (330) η d µ 0 gdie to doucale odbicie η = ε Pewodość * σ σ jet wiąaa 0 e ówość µ σ = σ (33) ε * Źódła omieiowaia Zawcaj a ocątku kaŝdej mulacji metodą FDTD watości wtkich kładowch ola e-m w kaŝdm ukcie iatki Yee ą eowae Doieo o tm abiegu wa ułwem cau w wbam ukcie lub bioe uktów adawaa jet watość ola awcaj jedej jego kładowch MoŜem wóŝić kilka oobów mulowaia źódła omieiowaia e-m Wmieić moŝem tutaj źódło twade obacoe dodatkowmi iekotmi efektami źódło miękkie oa źódło odiałem ola a całkowite TF i oooe SF PoiŜej otaą oiae dwa iewe wŝej wmieioch źódeł omieiowaia 33 Źódła twade Twade źódło omieiowaia jet od wględem imlemetacjm ajote Diała a aadie adawaia watości kładowch ola E lub H odowiedią fukcją cau (koku ) a iatce FDTD Fukcja ta jet iealeŝa od kaŝdej iej mieej w modelu MoŜem aooować atęujące kokete fukcje mulujące źódło twade: - iuoidale źódło o cętotliwości f 0 włącaie w koku = 0 w ukcie dwuwmiaowej iatki ( i j ) ( π ) 0 i 0 i j H = H f t (33) 35

36 - imul gauowki o makimum w chwili 0 o watości H 0 oa chaaktetcm caie aiku d H 0 d H 0e i j = (333) aleŝ dodać Ŝe kładowa ola w (333) ma ieeową watość w = 0 wmagae jet więc gładkie ejście od ea do imulu Gaua owiie bć ełio wauek 0 > 3 d - źódło iuoidale modulowae okładem gauowkim 0 d ( π ( ) ) H = H e i f t (334) i j Wadą źódeł twadch jet to Ŝe w adku fali oagującej ię w kieuku źódła ( odbitej od obiektu) w momecie kotaktu źódło achowa ię jak PEC t fala odbije ię e mieioą faą o π Zjawiko to wowadi abueie ola mogące mieć włw a iteetację wików 33 Źódła miękkie Miękkie źódło omieiowaia jet bliŝoe imlemetacją do źódła twadego ale uwględieiem watości kładowej ola w tm ukcie Dięki temu ie taowi oo baie dla omieiowaia e-m a jet węc taaete Ocwitą aletą takiego owiąaia jet bak dodatkowch odbić któe wowadałb iechciae abueie oagacji FEM Piewm kokiem w celu ukaia źódła miękkiego jet tadadowe obliceie watości kładowej ola wg (35)-(33) Natęie watość kładowej w ukcie lub bioe uktów będącch źódłem modfikujem oe dodaie watości fukcji cau (koku caowego) f ( ) (33) (333) lub (334): gdie - i j i j i j H ɶ watość kładowej ola w ukcie ( ) ( ) H = H ɶ + f (335) i j ed uaktualieiem 36

37 - f ( ) fukcja cau toŝama tmi dla źódła twadego (ukt 33) 37

38 34 Deja W celu oawego modelowaia iewidialch oło aleŝ uwględić w mulacjach deję cli aleŝość eikalości elektcej i magetcej od cętotliwości Obecość deji jet waukiem koiecm ukaia watości miejch od jedki aametów mateiałowch ε µ WóŜiam kilka modeli oiującch deję wględej eikalości elektcej [ 33] : - model Loeta ε ω ε ( ω) = ε + (336) P = ω + jωδ ω gdie ε eikalość wględa dla iekońcoej cętotliwości ε miaa eikalości elektcej wiąaa -tą aą bieguów ω -ta cętość eoaowa δ wółcik tłumieia - model Debe a P ε ε ( ω) = ε + (337) + jωτ gdie ε eikalość wględa dla iekońcoej cętotliwości ε miaa eikalości elektcej wiąaa -tm bieguem τ ca elakacji -tego bieguu = - model Dudego ( ) ε ω = ε ω P (338) = ω jωγ gdie ε - eikalość wględa dla iekońcoej cętotliwości eoaowa γ - odwotość cau elakacji -tego bieguu ω - -ta cętość 38

39 35 Wauek tabilości Couata W celu aewieia mulacji metodą FDTD tabilości umecej t Ŝeb odca mulacji ie wtęował iefice wahaia amlitud watości koku caowego t oa koków etech = = muą ełiać kteium tabilości Couata-Fiedicha-Lev ego (CFL) [34]: t c + + (339) W ogólości gd kok dket jet taki am we wtkich kieukach = = = wauek (339) biea otać: ( ) t (340) 3 c dla dwóch wmiaów t (34) c oa dla jedego wmiau t (34) c Soób dobou odowiediej watości koku t jet cto ekemetal dlatego utabiliowaie układu bwa caochłoe waŝw a to Ŝe to tlko jede kilku aametów modelu umecego w moim wadku oło iewidialej 39

40 36 Modelowaie iewidialch oło W odiale tm otaą wowadoe ówaia aktualiacje wa wowadoą deją umoŝliwiające modelowaie umece oagacji omieiowaia e-m e iewidiale oło Będiem oatwali dwuwmiaową ołoę (D) clidcą i iekońcoą wdłuŝ oi ( µ = µ = ε = 0 w (343)) dla modu TE więc tlko 3 kładowe ola będą ieeowe tj E E i H φ Pomijm układ ówań chaakteując okład aametów mateiałowch w idealej clidcej ołoie []: R ε = µ = ε φ = µ φ = R ε µ = = R R R R (343) gdie R i R to wewęt i ewęt omień oło MoŜem ówieŝ aiać ake mia kolejch wółcików: ε µ R R ε µ R ε µ R 0 0 R φ φ R R R R PoiewaŜ miee ε µ ε oa µ ą mieje od jedki ołoa ie moŝe bć modelowaa kowecjoalą metodą FDTD e tałmi aametami MoŜem jedak waić aamet mateiałowe jako fukcję cętości uŝwając dejego modelu Dudego (338) omijm: ε ( ω) ω = ω jωγ (344) Roatujem tutaj ośodek ideal betat t cętość deeń w (344) jet ówa eo ( 0) γ = MoŜem więc ektałcić (344) do otaci ω = ω ε gdie ε oblicam (343) Itieje kilka dejch metod FDTD uŝwającch óŝch odejść do wowadeia cętotliwościowej aleŝości aametów mateiałowch wmieić moŝem: metodę RC (ecuive covolutio) [36] Z-tafomacji [37] oa metoda ówań 40

41 omocicch ADE [38] któa otała uŝta w tej ac do wowadeia deji do modelu iewidialej oło W amach metod ADE FDTD moŝem wmieić dwa chemat wowadaia deji tj chemat (E J H M) [39] oa (E D H B) któ otaie tutaj uŝt Metoda bauje a awach Faada a oa Amea: B E = t D H = t MoŜem ówieŝ aiać ówaia mateiałowe D = ε E oa B = µ H (345) (346) gdie ε i µ waŝoe ą e (343) Dketujem ówaia (345) i (346) w caie kładowo iewe ich: + / / B B B = = t t + / / B + B = t ( E) + / / B = B t ɶ E ( E) gdie ɶ to dket oeato otacji Potęując odobie w touku do (346) otmujem układ ówań: / / B + = B t ɶ E (347) + + D = D + t ɶ H / (348) NaleŜ dokoać jece dketacji eteej wektoów ola w ówaiach (347) i (348) a iatce Yee Ruku 33 Zotaie okaae to ówieŝ a awie Faada a dketm caem (347) Roiujem ówaie (347) a kładowe: 4

42 E E + / / B B + / / E E B = B t + / / B B E E (349) oiewaŝ oatujem mod TE kładowa ola elektcego E w kieuku oa kładowe ola magetcego w kieukach i ą ówe eo MoŜem atem aiać (349) w otaci: + / / E E B = B t (350) amieiając óŝickę a iloa óŝicow otmujem B B t E / / E + / E / E i+ j i j i j+ / i j / = i j i j (35) jmuję taki am kok ete w kaŝdm kieuku = = Rówaie aktualiacje a idukcję magetcą w chwili + / w ukcie ( i j ) jmuje otać: ( i+ / j i / j + ) t B B E E E E + / / = i j i j + i j / i j / (35) otęując odobie dla (348) otmujem ( i j+ i j ) t D D H H + + / + / = i j / + + i j+ / ( i+ j i j ) t D = D H H + + / + / i+ / j i+ / j (353) (354) Rówaia (35) (353) oa (354) taowią etaw ówań aktualiacjch wiującch ię w mechaim lea-fog metod FDTD a iatce Yee dla modu TE (Ruek 33) JedakŜe chemat (E D H B) dla metod ADE FDTD wmaga defiiowaia dodatkowo ówań a ola E i H owalającch wowadić deję do modelu oło 4

43 Rowińm tea metodę ADE do otaci dketej acając od wowadaia teoa ejścia układu clidcego w któm dae ą aamet mateiałowe (343) do układu katejańkiego [40]: ( φ ) ε co i i co ε ε φ + εφ φ ε ε φ φ ε ε = ( εφ ε ) iφ coφ ε i φ + εφ co φ (355) 43

44 Stoując (355) do ówaia mateiałowego D = ε E otmujem otać teoową: ε ε ε E D E ε ε D 0 ε0 ε ε E = D E = ε ε D (356) gdie ( φ ) ε i φ + εφ co φ ε ε iφ coφ ε ε ε ε = ε εφ ( εφ ε ) iφ coφ ε co φ + εφ i φ (357) NaleŜ auwaŝć Ŝe odwot teo eikalości elektcej itieje jedie gd ε 0 i ε φ 0 co ie jet ełioe dla gaic obiekt-ołoa ( = R ) dlatego w modelu uŝtm do mulacji FDTD umiecoo w tm miejcu ideal ewodik elektc (PEC) któ otał wowado jako ε ε dla <= R (358) φ Podtawiając (357) do (356) otmujem ( ) ( ) ( ) ( ) ε εφε0e = ε i φ + εφ co φ D + εφ ε iφ coφd ε εφε0e = ε co φ + εφ i φ D + εφ ε iφ coφd (359) Wowadając a dotajem ε ówaie (344) [6] cli model deji Dudego do (359) ( co ) ( ) = ( ) i + φ ( ) + ( φ ( ) ( )) ( ) = ( ) co + φ ( ) ( ) ( φ ) εφε0 ω jωγ ω E ω jωγ ω φ ε ω jωγ φ D ε ω jωγ ω jωγ ω iφ coφ D εφε0 ω jωγ ω E ( ω jωγ ω φ ε ω jωγ i φ ) D + ( ε ω jωγ ω jωγ ω ) iφ coφ D (360) 44

45 MoŜem tea ejść diedi cętotliwości do diedi cau oe atoowaie odwotej tafomat Fouiea: jω t ω (36) do układu ówań (360) Piewe ówaie (360) otmuje otać t ε ε γ ω γ ω φ ε γ φ t t t t t t φ i co E = φ + D + εφ + γ ω γ ω i co + + φ φd t t t (36) Diedia mulacji FDTD jet eeetowaa e iatkę 3D eiodami i w kieuku odowiedio Do dketacji (36) uŝjem oeatoa cetalej óŝic końcoej w caie ( δ t oa δ ) oa oeatoa śediej cetalej w caie ( µ t oa µ ): t t t δ t ( t) δ t µ t t t ω ω µ t (363) δ gdie oeato t δ µ t t oa µ t ą defiiowae [4]: + / / δ F F F δ t k k k k k k k k k + t F F F + F k k k k k k k k k k k k µ F µ t k k k t F k k k F + / / + F k k k k k k + k k k k k k k k k F + F + F 4 (364) 45

46 Zmiea F eeetuje kładową ola atomiat k k k ą toŝame ewmi dketmi uktami w diediie FDTD Rówaie (36) o dketacji ma atęującą otać δt δ t + γ µ t + ω µ t i φ δ ( ) t δ t t t εφε0 + γ µ t + ω µ t E = D ( t) t δt δ t + εφ + γ µ co t φ ( t) t (365) δt δ t εφ + γ µ t ( t) t + iφ co φd δt δ t + γ µ t + ω µ t ( t) t Stoując wowadoe oeato w (365) otmujem E E + E E E i j i j i j i j E i j + E i j + E i j i j εφε 0 + γ + ω = ( t) t 4 i ( t) t D D + D D i j i j i j D i j D i j + D i j + D i j i j φ + γ + ω + + D D + D D D i j i j i j i j i j + εφ co φ + γ ( t) t (366) + + D D + D D D i j i j i j i j i j ε φ + γ ( t) t + iφ coφ D D + D D D D + D + + ( t) t i j i j i j i j i j i j i j γ ω + D i j 46

47 Wkoując kilka otch ektałceń otmujem ukae ówaie aktualiacje a kładową ola E w chwili ( + ) w ukcie ( i j + / ) a iatce Yee (Ruek 33): E a D + b / D + c / D + d i j i j i j / D i+ / j = / l e D f ( / / ) + + i / j D g i / j E + h i j E i j+ i j+ / (367) gdie wółciki a l defiiowae ą atęująco a b c d e f g h l γ ω γ = i φ + + co + εφ φ + ( t) t 4 ( t) t ω = i φ + co εφ φ ( t) ( t) γ ω γ = i φ + co + εφ φ ( t) t 4 ( t ) t γ γ ω = εφ iφ co φ ( t) t ( t) t 4 ω = εφ iφ co φ + ( t) ( t ) γ γ ω = εφ i co + φ φ ( t) t ( t) t 4 ω = ε0εφ + ( t ) γ ω = ε0εφ + ( t ) t 4 ε ε = 0 φ + ( t) γ ω + t 4 (368) 47

48 W ówaiu (367) + D D D i+ / j i+ / j i+ / j oacają lokalie śedie watości w iach im chwilach cau i uktach a iatce Yee i ą oblicae atęująco [4]: D + k + k + k + k + k D + D / + D / + D i+ j i+ j+ i / j i / j+ D i + / j = (369) 4 gdie k { 0} Dokoując ówowaŝch ektałceń dla dugiego ówaia (360) otmujem ówaie aktualiacje dla iatce Yee (Ruek 33): E w chwili ( + ) w ukcie ( i + / j ) a E a D + b D + c D + d D i + / j i + / j i + / j i j + / = i+ / j ( ) + e D + f D g E + h E i j+ / i j+ / i+ / j i+ / j / l (370) gdie wółciki a l defiiowae ą atęująco a b c d e f g h l γ ω γ = co φ + + i + εφ φ + ( t) t 4 ( t ) t ω = co φ + i εφ φ ( t) ( t) γ ω γ = co φ + i + εφ φ ( t) t 4 ( t) t γ γ ω = εφ iφ co φ ( t) t ( t ) t 4 ω = εφ iφ co φ + ( t) ( t) γ γ ω = εφ i co + φ φ ( t) t ( t ) t 4 ω = ε0εφ + ( t ) γ ω = ε0εφ + ( t) t 4 ε ε = 0 φ + ( t) γ ω + t 4 (37) 48

49 W ówaiu (370) + D D D i j+ / i j+ / i j+ / oacają lokalie śedie watości w iach im chwilach cau i uktach a iatce Yee i ą oblicae atęująco [4]: D gdie k { 0} + k + k + k + k + k D + D / + D / + D i j+ i+ j+ i j / i+ j / D i j = (37) + 4 Rówaie aktualiacje a kładową H moŝem wowadić ówaia mateiałowego B = µ H gdie µ defiiowae jet w (343) Pedtawm eikalość magetcą kotając modelu Dudego [6]: ωm µ ( ω) = A ω jωγ m (373) gdie A = R ( R R ) / ω m magetca cętość lamowa oa γ m magetca cętość deeń mateiału Poługując ię ówowaŝą do oiaej owŝej oceduą dketacji otmujem ówaie aktualiacje a kładową H : ( ) + + H = a / B b B i j i j + c i j B + Ad i j H Ae i j H f i j (374) A gdie wółciki a f defiiujem atęująco a b c d e f γ m = + µ µ t = µ ( t) ( t) ( t ) ( t) γ m = µ µ t ( t) ω = µ ( t) 0 0 m γ ω m = + t 4 m γ ω m = + + t 4 m (375) 49

50 Rówaia (35)-(354) (367) (370) oa (374) twoą układ ówań aktualiacjch dla metod FDTD dla chematu lea-fog Oóc klacch ówań aktualiacjch otał wowadoe ecfice ówaia dla watw PML NaleŜało ołącć a gaic óŝia-pml ówaia chematu (E D H B) wa klacmi ówaiami dla watw PML (38) Wmagało to twoeia iego etawu ówań dla awej i lewej to oa iego dla gaic PML- PEC aw i PML-PEC lew Sowadiło ię to dowowadaia owch ówań dketch któe e wględu a objętość ie otał odae w jawej otaci 50

51 Rodiał 4 Wbae wiki modelowaia umecego 4 Oogamowaie mulacje W amach ac otał twoo ogam komuteow w śodowiku MATLAB 770 umoŝliwiając mulowaie oagacji FEM e wbae oło któch modele fice otał oiae w odiale 0 Pogam umoŝliwia miaę wielu aametów metod FDTD jak i amch oło MoŜem ówieŝ wświetlać a wiele oobów wiki mi twoć film edtawiające miaę okładu watości kładowch ola e-m a iatce Yee w caie Wbó śodowika otał dokoa e wględu a aawaowae oob wświetlaia wików mulacjch ejtą kładię jęka oa łatwe aądaie likami NaleŜ tu jedak wmieić odtawową wadę tego oogamowaia Ze wględu a to Ŝe jęk ogamu MATLAB jet jękiem wokiego oiomu oatm a jękach takich jak C/C++ i Java jet o ietet wol cególie objawia ię to kotaiu fukcji jmującch agumet Piewa weja ogamu oata o fukcje bła badiej ctela ale jak wkaał moje mia w tuktue kodu ogamu wiaie awatości wtkich fukcji beośedio do jedego liku ieło diałaie ogamu 33 kotie tak więc umieceie teści jedej fukcji w główm kodie ieało diałaie o ąd wielkości P wboe jęka ogamowaia aleŝ obie atem adać taie c aleŝ am a bkim twoeiu ogamu i dłuŝm ocekiwaiu a wik mulacji c oacowaiu ogamu ctelego i właej gaficej imlemetacji eetacji wików ale a to bciej licącego Obliceń dokoao a komutee o atęującej chaaktetce: - tem oeacj Widow XP Sevice Pack 3 - oceo Itel Coe Quad Q GH - ilość amięci RAM 35 GB Pecięta mulacja dla iatki Yee o omiaach ok a komutee w/w woaŝeiem i oogamowaiem twa h MoŜa atem łatwo olicć ile twałb obliceia be oiaej wŝej toukowo ote otmaliacji kodu W jęku MATLAB każda fukcji mui ajdować ię w oobm liku 5

52 4 Model etei oa la badań Jedm celów tej ac bło eowadeie modelowaia umecego okładu ola e-m w etei w któej ajduje ię wbaa ołoa uwględieiem cau oagacji oe atoowaie metod FDTD Smulacje te otał eowadoe w autokim ogamie oiam w ukcie 4 Ruek 4 Układ dwuwmiaowego (D) modelu etei uŝtego do mulowaia oagacji FEM e iewidiale oło Na uku 4 otał okaa model dwuwmiaowej etei (D) w któej otał dokoae obliceia umece Model otał ogaico do dwóch wmiaów e wględu a ogaicoe moŝliwości obliceiowe uądeń któmi doowao Dwuwmiaowa (D) iatka Yee (ukt 3) otała akońcoa obdwu to w kieuku OX idealie doaowami watwami Beegea PML (Rodiał 3) w celu aabobowaia ola e-m oagującego ię w tm kieuku Watw te umoŝliwiają eowadeie mulacji a długim odciku cau e wględu a bak odbić dięki cemu ie atęuje itefeecja FEM o eciwm wocie W kieuku OY atoowae otał eiodce wauki begowe w celu umoŝliwieia oawego mulowaia ochodeia ię fali łakiej Źódło otało wowadoe o lewej toie badaego obiektu (Ruek 4) jako koluma (wdłuŝ oi OX) uktowch źódeł fal elektomagetcch o okładie iuoidalm (oiŝej dokłade dae) 5

53 Zotał jęt atęując la mulacji komuteowch dla układu Ruku 4: ) Wefikacja oawości oagacji fali łakiej w óŝi be obiektu ukwaego oa be oło ) Poagacja fali łakiej obiektem ukwam 3) Poagacji fali łakiej w ośodku umieom obiektem otocom idealą ołoą Rokład aametów mateiałowch w etei oia jet układem ówań (9) Smulacje otał eowadoe dla: a) tech óŝch omiaów oło b) cteech óŝch długości FEM emitowaej e źódło c) dwóch óŝch caów włącaia źódła 4) Wefikacja oawości diałaia oło - otaie eowadoa a odtawie oówaia wików modelowaia umecego uktu 3) wikami uktów ) i ) 43 Zatoowae źódła omieiowaia W odiale 4 oiae otało okótce uŝte źódło FEM aleŝ jedak dokładie chaakteować jego odaj i aamet W am adku otało uŝte źódło miękkie (Rodiał 33) Niech Y oaca wokość obau obliceiowego godie Rukiem 4 atomiat S to ukt e biou S [ X ] gdie X to eokość obau obliceiowego P tch ałoŝeiach źódło fali łakiej oiae jet fukcją: dla kaŝdego [ Y ] dla wbaego [ X ] S S : / + / + H = Hɶ ( ) ( ) i S j + f π f t < o = = S i= S j= t S i dla 0 + / + / H = Hɶ i( ) dla i S j + π f t o S i S j t = = = = MAX S (4) gdie f ( ) obwiedia fali FEM defiiowaa jako wielomia f ( ) 0m 5m 6m = + - m = o t 53

54 - t = f t licba koków caowch t adająca a oke FEM - o ca włącaia źódła do emitowaia FEM o makmalej amlitudie - MAX ewidiaa licba koków caowch ca twaia mulacji Ruek 4 Wke fukcji (4) dla o = 30 i = 6000 MAX Ruek 43 Wke fukcji (4) dla o = 5 i = 6000 MAX 54

55 Ca włącaia źódła o włwa a licbę woko cętotliwościowch kładowch wchodącch w kład widma oóc domiującej kładowej o cętotliwości f Im te ca jet kót tm więcej jet kładowch o wokich cętotliwościach któe owodują iektałceie imulu [43] Ruki 4 i 43 edtawiają acę źódła odowiedio dla o = 30 i o = 5 44 Poagacja fali łakiej Podtawową wefikacją ed tąieiem do właściwego modelowaia umecego jet awdeie c w układie Ruku 4 awidłowo oaguje ię fala łaka UŜwam układu Ruku 4 be oło oa be obiektu dla atęującch watości aametów: gdie L Paamet Watość [ m] Y 70 3 X m 4 λ [ ] 5 t [ ] 6 ma 6000 t 7 o 30T 8 d 0 9 σ ma S 50 Tabela Watości aametów dla mulacji oagacji fali łakiej - omia koku eteego - Y wokość obau obliceiowego (at Ruek 4) - X eokość obau obliceiowego (at Ruek 4) - λ długość FEM emitowaej e źódło - t kok caow licba koków caów okeślająca ca twaia mulacji - ma - o ca włącaia źódła (at Rodiał 4) - d eokość watw PML (Ruek 4 oa Rodiał 3) - σ ma aamet watw PML okeślo e wó (330) - S ołoŝeie źódła 55

56 Dla jętch w Tabeli aametów i koku caowego = 5600 otmao okład watości kładowej ola E widoc a Ruku 44 Ruek 44 (góa cęść) Rokład watości kładowej ola (cęść dola) Wke watości kładowej ola E w obębie obau obliceiowego E w fukcji eokości obau obliceiowego dla =Y/ 56

57 MoŜem auwaŝć ówomie okład watości kładowej awidłowe modelowaie umece oagacji FEM w óŝi E ola e-m co oaca 45 Poagacja fali łakiej e obiekt Kolejm etaem wefikacji oawości diałaia ogamu jet mulacja oagacji łakiej FEM w modelu Ruku 4 be oło okwającej a jedie umiecom obiektem Chcem w tm ukcie aobewować okład watości kładowej E - ola e-m któa otaie oooa a badam obiekcie Wik tego modelowaia będie taowił ukt odieieia dla oce kutecości diałaia iewidialej oło Pjmujem atęujące watości aametów: L Paamet Watość [ m] Y 0 3 X m 4 λ [ ] 5 t [ ] 6 ma 6000 t 7 o 30T 8 d 0 9 σ ma S obiektu 50 R 00 Tabela Watości aametów dla mulacji oagacji fali łakiej w ośodku amm obiektem gdie R obiektu to omień umiecoego obiektu ootałe aamet oiae ą w Rodiale 43 Obiekt jet modelem idealego ewodika elektcego PEC któ jet tutaj wowado oe weowaie kładowch ola elektcego co odowiada iekońcoej watości eikalości elektcej ε Na Ruku 45 (cęść góa) moŝem be dodatkowej aali auwaŝć abueie jakie wowada obiekt (PEC) Widim Ŝe a obiektem watość atęŝeia ola jet duŝo mieja iŝ a obeŝach obau obliceiowego co w ecwitm ficm adku widoce błob jako cień uca e obiekt owodując jego widocość dla obewatoa RówieŜ odbicie FEM w kieuku źódła cli owót ifomacji w otaci FEM o obiekcie to ówieŝ włwa a widocość obiektu dla obewatoa 57

58 Ruek 45 (Góa) ) Rokład watości kładowej ola E w obębie obau obliceiowego widocm oaaiem a obiekcie (Dół) Wke watości kładowej ola eokości obau obliceiowego dla =Y/ E w fukcji 58

59 46 Ołoa włw omiaów W tm odiale otaie bada włw mia omiaów oło a jakość ukwaia obiektu PEC Zmiaa omiaów godie e woami (9) owoduje więke lub mieje komeowaie etei < R do etei R < < R Im badiej komeujem eteń cli im bliŝ jedki jet touek R R tm miej dketch uktów mieści ię w am modelu w etei oło ( R < < R ) tch amch omiaach iatki Yee Powoduje to bak ocekiwaego łego okładu watości aametów mateiałowch a tm amm iedokłade dkete bliŝeie aalitcej otaci okładu eikalości elektcej i magetcej (9) Potwiedeie tego oumowaia ajdujem w wikach mulacji okaach a Rukach Modelowaie umece otało eowadoe dla atęującch watości aametów: R ) = R gdie R i R to omieie wewęt i ewęt iewidialej oło (Ruek 4) Watości aametów: L Paamet Watość [ m] Y 70 3 X m 4 λ [ ] 5 t [ ] 6 ma 6000 t 7 o 30T 8 d 0 9 σ ma S obiektu 50 R 00 R R Tabela 3 Watości aametów dla mulacji oagacji fali łakiej w ośodku obiektem ołoiętm iewidialą ołoą dla R = R 59

60 R = 5R gdie R i R to omieie wewęt i ewęt iewidialej oło ) (Ruek 4) Watości aametów: L Paamet Watość [ m] Y 50 3 X m 4 λ [ ] 5 t [ ] 6 ma 6000 t 7 o 30T 8 d 0 9 σ ma S obiektu 50 R 00 R R Tabela 4 Watości aametów dla mulacji oagacji fali łakiej w ośodku obiektem ołoiętm iewidialą ołoą dla R = 5R R = R gdie R i R to omieie wewęt i ewęt iewidialej oło 3) (Ruek 4) Watości aametów: L Paamet Watość [ m] Y 50 3 X m 4 λ [ ] 5 t [ ] 6 ma 6000 t 7 o 30T 8 d 0 9 σ ma S obiektu R 00 R R 00 0 Tabela 5 Watości aametów dla mulacji oagacji fali łakiej w ośodku obiektem ołoiętm iewidialą ołoą dla R = R

61 Ruek 46 Rokład watości kładowej ola E w obębie obau obliceiowego uŝciem oło o omieiach R = R Ruek 47 Rokład watości kładowej ola E w obębie obau obliceiowego uŝciem oło o omieiach R = 5R 6

62 Ruek 48 Rokład watości kładowej ola E w obębie obau obliceiowego uŝciem oło o omieiach R = R Aaliując Ruki moŝem twiedić ałoŝoe a ocątku odiału abueie ojawiające ię wa e miejaiem omiaów oło Dla iewego adku (Ruek 46) widim Ŝe fot falow otaje odbudowa o ejściu e obiekt ołoą ie jet auwaŝal adek atęŝeia jak ówieŝ ie wtęują odbicia w toę źódła Dla miejch watości touku omieia ewętego do wewętego oło (Ruek 48 Rodiał 46) auwaŝam dwukote obiŝeie atęŝeia kładowej ola elektcego E co oaca ojawieie ię cieia a obiektem ołoą W eciwieńtwie do adku be oło (Rodiał 44) ktałt fotu falowego otaje odbudowa ale iewielkimi euięciami fa Nie wtęują atomiat odbicia w kieuku źódła co ci obiekt adal iewidial dla obewatoa umiecoego o tej toie układu Poddajm tea wiki modelowaia umecego dla tech wowadoch tutaj adków (Ruki 46 48) dokładej aaliie jakości ukaego odbudowaia fotu falowego fali łakiej Do tego celu otał uŝte autokie kt komuteowe oddające aaliie okład watości kładowch ola w ocególch uktach iatki Yee Zotaą eowadoe atęujące wefikacje: Tet I Odchleie od śediej watości atęŝeia kładowej ola e-m 6 E wdłuŝ oi a ołoą Tet ma a celu awdeie w jakim toiu ukao ówomie okład ola o ejściu łakiej FEM e ołaia oba Schemat omiau otał okaa a Ruku 49