Rezerwa IBNR w ubezpieczeniach majątkowych

Transkrypt

1 Rezerwa IBNR w ubezpeczenach maątkowych metody e kalkulac mgr Agneszka Pobłocka Unwersytet Gdańsk

2 RTU ogółem (Dzał I Dzał II) ch udzał w PKB (w mld zł, %) 9,0% 7,5 % 7,7 % 7,6 % 120,00 8,0% 7,3 % 6,6 % 6,2 % 6,0 % 100,00 7,0% 6,0% 5,5 % 80,00 5,0% 3,9 % 3,4 % ,9 2,9 % 60,00 4,0% 3,0% 9 0 2,5 % ,9 % 5 7 1,4 % 40,00 2,0% 5 1 1,2 % 4 5 1,1 % 1,0 % 0,9 % ,0 3,8 2,4 1,0 0,9 % 0,7 5 20,00 1,0% 0,0% 0, Rezerwy TU brutto (dzał I II) [mld PLN] Udzał rezerw TU ogółem w PKB [w m ld P L N ]

3 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% RTU Dzał II ch udzał w PKB (w mld zł, %) 0,00% 2,15% 2 9 2,12% 2 6,9 2,06% 2 4,2 2,09% 2 2,2 2,15% 2 1,1 2,14% 1 9,7 2,22% 1 8,7 2,17% 1 7,6 1,57% 1 2,2 1,41% 1 0,5 1,33% 8,8 1,17% 7,1 0,96% 5,0 0,69% 2,9 0,56% 1,9 0,62% 1,3 0,60% 0,64% 0,7 3 0,92% 0,7 4 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0, Rezerwy TU brutto dzał II Udzał rezerw TU brutto dzał II w PKB [w m ld P L N]

4 Rezerwy na newypłacone odszkodowana śwadczena obemuą[1]: rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych oszacowanych rezerwy z tytułu szkód zgłoszonych, ale eszcze neoszacowanych rezerwy z tytułu szkód zastnałych, ale nezgłoszonych (Incurred But Not Reported, IBNR) rezerwy z tytułu szkód wznowonych t. spornych. [1] Zgodne z ustawą o rachunkowośc, Dz. U. 1994, Nr 121, poz. 591 z późn. zm. (art. 81 ust. 2 pkt 6 lt. A.) ostatn akt zmenaący: Dz.U nr 223 poz. 1466

5 Udzał rezerwy IBNR w RTU (Dzał II) 25,00% 20,00% 15,00% 18,81% 17,85% 20,72% 20,61% 21,14% 21,31% 20,17% 20,72% 19,65% 19,55% 20,54% 21,62% 19,28% 21,01% 20,36% 19,82% 17,29% 17,91% 10,00% 5,00% 0,00% na udzale własnym brutto

6 Zarys hstoryczny metod kalkulac rezerwy IBNR Perwszą technkę determnstyczną przedstawł T. F. Tarbell [1934] Perwszy klasyczny model stochastyczny dla: zakumulowanych danych szkodowych zaprezentowal Kramreter oraz Straub [1973], a rozwał B. Zehnwrth [1989] oraz T. Mack [1993] nezakumulowanych danych szkodowych wprowadzł Verbeek [1972], który uogólnł Kremer [1982] ako dwuczynnkowy model analzy waranc Perwsze neklasyczne modele stochastyczne zaprezentowal F. De Vylder M. Goovaerts [1979]

7 Klasyfkaca metod estymac rezerwy IBNR A. Wolny [2005] wyróŝnła metody: statystyczne proste statystyczne zaawansowane W. Ronka Chmelowec [1997] podzelła metody na: przyblŝone ryczałtowe rytmu płatnośc szkód aktuaralne J. Charles S. Westphal [2006] wyszczególnl metody: oparte na skumulowanych danych szkodowych bazuące na neskumulowanych danych szkodowych symulacyne (metody bootstrapowe, Feldbluma) bayesowske

8 Klasyfkaca metod estymac rezerwy IBNR c.d. G. Taylor [1986] oraz G. Taylor, G. McGure, A. Greenfeld [2003, str 2-8] sklasyfkowal modele według: występowana zmennych losowych modele determnstyczne stochastyczne występowana zmennych opóźnonych w czase modele statyczne dynamczne struktury modelu macro-modele mcro-modele metod szacowana parametrów model metody heurystyczne optymalzac

9 Metody determnstyczne Metody uproszczone: model Tarbell a, metoda szkodowośc model średnego opóźnena w zgłoszenu szkody model wypłaconych odszkodowań model wypadkowe funkc opóźneń zgłaszanych szkód Metody szacowana współczynnków rozwou szkód: metoda średnch wartośc współczynnków rozwou szkód metoda rozwou szkody metoda grossng up prosta technka Chan Ladder ( e modyfkace) metoda Bornhuttera-Fergusona

10 Klasyczne metody stochastyczne Modele szacowana współczynnków rozwou szkód Model Kramreter a Straub a [1973] Stochastyczny model chan ladder Mack a [1994] Modele regres Model regres logarytmczno-normalne Chrstofdes a [1990] Sem-parametryczny model Doray a [1996] Probablstyczny model rodzny trendu Barnett'a Zehnwrth a [1998] Modele uogólnone regres lnowe GLM Model logarytmczno-normalny Kremer a [1982] Model Posson a ako stochastyczny model CL Renshaw a R. Verrall a [1994] Model gamma Mack a [1991], Renshaw a Verrall a [1994] Arytmetyczny model separac Verbeek'a [1972] Geometryczny model separac Taylor a [1977] Model namneszych kwadratów De Vylder a [1978]

11 Neklasyczne metody stochastyczne Modele oparte o teorę zaufana (credblty theory) De Vylder a model warygodnośc Mack a model warygodnośc Gunnara Benktandera Straub a Technka fltru Kalman a Modele bayesowske Modele herarchczne Bayasowsk predyktor zaufana Modele symulacyne Metody bootstrapowe Metoda Feldblum a

12 Wybór modelu Który model wybrać w praktyce???

13 Praktyka ubezpeczenowa Do oszacowana rezerwy IBNR dla róŝnych grup ryzyka stosowane są róŝne technk oblczenowe Jeden zakład ubezpeczeń dzału II wykorzystue od klku do klkunastu metod szacowana te rezerwy Na przykład: ryzyko z grupy 3 10 (Auto Casco OC posadaczy poazdów) oraz ryzyko z tytułu welkch szkód komunkacynych szacowane moŝe być metodą Chan- Ladder ryzyko z grupy 6 12 (ubezpeczena morske) szacowane moŝe być metodą średne ruchome z ostatnch klku lat ryzyko z grupy 15 (ubezpeczena gwaranc) moŝna oszacować metodą opartą na współczynnku szkodowośc

14 Praktyka ubezpeczenowa Aktualne nabardze popularne metody szacowana IBNR w Polsce to [1]: prosta technka Chan-Ladder (CL) metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) metoda Gunnara Benktandera (GB) w Europe [2]: prosta technka Chan-Ladder (CL) metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) metody uogólnonego modelu lnowego (GLM) [1] Bak W., Smętek M. Szymańsk W. [2006], Buletyn KNUFE [2] Wuthrch M.V. [2007], Clams Reservng n Non-Lfe Insurance, General Insurance, P&C Insurance, CSIRO, Sydney

15 Trókąt rozlczana szkód [X] (the run-off trangle) Okres wystąpena szkody () Okres opóźnena w rozlczanu szkód () \ n-2 n X 00 X X 10 X X X X 22 M M M n-2 n-1 X X n 2,0 n 2, 1 X n 1,0 X... X... X0, n 2 X0, n 1 X 1, n 2 Oznaczena: X - łączne neskumulowane płatnośc z tytułu szkód zastnałych w tym okrese wypadkowym (powstana szkody), które zostały rozlczone z opóźnenem o okresów tzn. w chwl +-1. n - lczba okresów wypadkowych wykorzystywana w badanu.

16 Trókąty rozlczena szkód [X] [C] ZałóŜmy, Ŝe dane w trókące szkód opsuą nezakumulowane szkody: [X] {X: 0,1,,n-1; 0,1,,n-+1} zakumulowane szkody: [C] {C: 0,1,,n-1; 0,1,,n-+1} C X k k 0

17 Metoda średnch wartośc współczynnków rozlczana szkód (SW) średne współczynnk rozlczana szkód z trókąta [C]: ~ f n 1 n 0 f 1, gdze: f C C dla, 0,1,2,...,n-1 skumulowane przyszłe płatnośc: Cˆ ~, C, n 1 fn 1 ~ f rezerwa IBNR w metodze SW: Rˆ SW ( Cˆ C ) n 1 0, n 1, n 1

18 Metoda grossng up (GU) zakłada zamknęty okres wypadkowy 0,1,2,...,n-1,po którym ne wystąp uŝ w Ŝadna wypłata odszkodowana (C0C0,n-1), współczynnk całkowte szkody z trókąta [C]: skumulowane przyszłe płatnośc: rezerwa IBNR w metodze GU: Rˆ f GU k 0 C C 0 0 dla 0,1,2,...,n-2 n (, ) 1 ˆ k C C, n 1, n 1 0, n 1 gdze, k oznacza lczbę okresów, w których C est znane Cˆ C f

19 Metoda chan-ladder (CL) współczynnk prześca z trókąta [C]: f n n C C, 1, dla 0,1,2,...,n-1 skumulowane przyszłe szkody: Cˆ, C, k rezerwa IBNR w metodze CL: ˆ ~ ~ f k k gdze, ( Cˆ C ) CL n R 1, n f k f 1

20 Metoda Bornhuettera-Fergusona (BF) współczynnk rozwou szkód: 1 ˆ 0, n f f n 1 wskaźnk podzału z trókąta [C]: gdze: (0,1,2,...,n-2) dzelące całkowte zobowązana na wypłacone przyszłe ˆ W Ĉ ˆ C C (1 p ) P ˆ Cˆ Sk rezerwa IBNR w metodze BF: ˆ BF n 1 R 0 p 1 n 1 0 WS 1 Cˆ fˆ P. f Cˆ C C C p

21 Przykład 1 Tabela 1. Trókąt szkód neskumulowanych Okres Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () wypadkowy () Źródło: Scollnc D.P.M. Actuaral Modelng wth MCMC and BUGS, North Amercan Actuaral Journal 2001, 5(2)

22 Wynk dla przykładu 1 Okres Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR Rezerwy IBNR wypadkowy () Metoda SW Metoda CL Metoda GU Łączne IBNR

23 Przykład 2 Tablca 1. Trókąt nezakumulowanych szkód Okres wypadkowy () Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () Składka Źródło: Charles J., Westphal S., 2006, Stochastc reservng, CAE Sprng 2006 Meetng.

24 Wynk dla przykładu 2 Tablca 4. Szacowane rezerwy IBNR Okres Rezerwy IBNR wypadkowy Metoda SW Metoda CL Metoda SW* Metoda BF* Metoda GU Metoda RS Łączne IBNR *Przyęto, Ŝe C Składka * Wsp. Szkodowośc (72%) Źródło: Opracowane własne, na podstawe tablcy 1.

25 Wynk dla przykładów CL SW GU

26 Wypłacalność II (Solvency II) Program ma zostać zamplementowany dna roku Zgodne z nm nastąp przełom w szacowanu RTU: aktualne są szacowane do końca okresu wypadkowego (the ultmate) bez wymogu oszacowana błędu prognozy a będą mały oszacować roczne ryzyko zakładów ubezpeczeń, czyl roczną zmanę dyspers rezerw (the volatlty) A zatem, metody determnstyczne zostaną naturalne zastąpone metodam stochastycznym umoŝlwaącym oszacowane rocznego błędu prognozy rezerw, czyl rocznego ryzyka zakładów ubezpeczeń

27 Modele stochastyczne gdze, zakładaą, Ŝe szkody moŝna reparametryzować na czynnk: X α β γ ξ, α to parametr opsuący efekty -tego okresu wypadkowego, β to parametr opsuący efekty -tego okresu rozwou szkody, a γ to parametr opsuący czynnk losowe w +-1-tym okrese kalendarzowym, ξ to parametr opsuący czynnk losowe.

28 Klasyczny model regres logarytmczno-lnowe Chrstofdes a X α β ξ nezaleŝne o dentycznym rozkładze Y,. ln X, Y + a + b e ( Y + e e µ ), ~ IID N a b ( 0,σ ), są nezaleŝne o dentycznym rozkładze ˆ exp( ˆ 0.5 ˆ [ ] X Y + VarY ) ˆ ˆ exp( ˆ ) 2 Var X X VarY 1 ( )

29 X Model Posson a GLM Renshaw a Verrall a stochastyczny model chan ladder α β γ γ 1 k Y X, Y ~ Pos( λ ), EY λ α β Y m + e, e over-dspersed Posson dstrbuton EY m, ( m ) m VarY φ V, gdze: 1 log m η, η µ + a + b, b V m m, φ, ( ) a > m exp( µ ) EY

30 Model Posson a GLM Renshaw a Verrall a stochastyczny model chan ladder Xˆ ( ) ( ) 2 ˆ η exp ˆ µ + aˆ + bˆ ˆ σ m exp, MSE [ ] ( ) 2 Xˆ E X Xˆ Var[ X ] + Var[ Xˆ ] ( ) 2 φ V m + m Var( ˆ η ) 2 φ m + m Var( ˆ η )

31 Model gamma GLM Mack a, Renshaw a Verrall a X α β γ γ 1 k Y X, Y ( ) ~ gamma ~ α ~, β, EY ~ α ~ / β, Y m + e, VarY ~ ~ α / β 2 EY m, ( m ) VarY φ V, gdze: φ 1/ ~ α η ln m, η µ + a + b, b a > EY m exp( µ ) , ( ) 2 m m V,

32 Model gamma GLM Mack a, Renshaw a Verrall a Xˆ ( ) ( ) 2 ˆ η exp ˆ µ + aˆ + bˆ ˆ σ m exp, MSE [ ] ( ) 2 Xˆ E X Xˆ Var[ X ] + Var[ Xˆ ] ( ) 2 φ V m + m Var( ˆ η ) 2 φ m 2 + m Var( ˆ η )

33 Bayesowsk model chan ladder Scollnc a f f n n C C, 1, dla 1,2,...,n; 2,...,n, f ~ N ( θ, τ, θ ), 1,...n oraz 1,...n-1 ( µ ) N, 0 0, ~ τ w µ 0 ~ N ( 1,0.001) τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001), τ 0 ~ N ( 0.001,0.001) e ~ N (0, ) gdze: θ est parametrem ryzyka, τ, est precyzą rozkładu

34 Metoda bayesowska Verrall a opera sę na modelu Posson a GLM, w którym wprowadzony est rozkład a pror dla okresów zgłoszena rozlczena szkód X α β γ γ 1 k Y X, Y ~ Pos( λ ), EY λ α β Y m + e, e over-dspersed Posson dstrbuton α ~ N ( θ, τ, ), 1,...n oraz 1,...n-1 θ ( µ ) N 0, 0, ~ τ w β Γ (1, τ ) µ 0 ~ N ( 1,0.001) τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001) ~ τ τ, τ ~ Γ( 0.001,0.001) w, τ 0 ~ N ( 0.001,0.001) e ~ N (0, )

35 Metoda bootstrapowa chan ladder Neskalowane reszty Pearsona r ( P) X Var m ( X ) φv ( m ) X m W modelu regres lnowe W modelu Posson a GLM Pseudo dane : r r ( P) ( P) B X X Var ( P) m m ( X ) m C r m + m X m SE φ P B C φ R + P n n SE p B ( R) 1 m ˆ k 1 k m n ˆ ( ) 2, n B ( ) r P 2 n p B gdze, φp to parametr skal, mk bootstrapowy estymator średne, BC błąd predykc, standardowy błąd estymatora średne SE B R SE ˆ to standardowy

36 Przykład 3 Tablca 2. Trókąt nezakumulowanych szkód Okres wypadkowy () Okres opóźnena w wypłace odszkodowana () Źródło: Taylor G.C., Ashe F.R. [1983], Second moments of estmates of outstandng clams, Journal of Econometrcs 23, str

37 Wynk dla przykładu 3 Tablca 3. Szacowane rezerwy IBNR Okres wypadko Metoda Bootstrap chan ladder wy Chan Ladder Mack'a Regres Chrstofdes'a Posson GLM Gamma GLM Verrall Łączne IBNR Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clam reservng, Mathematcs and Economcs 25, str

38 Wynk dla przykładu 3 c.d. Tablca 4. Błędy prognozy oszacowanych rezerw [w %] Okres wypadko Rezerwy IBNR Bootstrap chan ladder wy Chan Ladder Model Mack'a Model regres Chrstofdes'a Posson GLM Gamma GLM Verrall Łączne Źródło: P. England, R. Verrall [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clam reservng, Mathematcs and Economcs 25, str

39 Podsumowane nowy problem? Według akego lub akch kryterów wybrać nalepszy t. nabardze odpowedn model stochastyczny dla danego portfela ryzyk ubezpeczenowych danego zakładu ubezpeczeń, aby bezpeczne oszacować ego naleŝnośc roczne ryzyko? Czy lepszy model to ten, który bezpeczne szacue rezerwy (wększy) dokładne szacue rezerwy (mneszy błąd prognozy)

40 Lteratura Adamus-Hacura M. [2006], Metody Bayesowske szacowana rezerwy szkodowe [w:] Prace naukowe Akadem Ekonomczne we Wrocławu nr 1108, Wrocław, str Bak W., Smętek M., Szymańsk W. [2006], Analza rezerw na newypłacone odszkodowana śwadczena z tytułu ubezpeczeń pozostałych osobowych maątkowych w oparcu o trókąty szkód, Buletyn KNUFE, Warszawa Bornhuetter R. L., Ferguson R. E. [1972], The Actuary and IBNR, Proceedngs of the Casualty Actuaral Socety LIX, str Charles J., Westphal S., 2006, Stochastc reservng, CAE Sprng 2006 Meetng Chrstofdes S. [1990], Regresson Models Based On Log-Incremental Payments [w:] Clams Reservng Manual, vol 2. (09/1997 Secton D5) Insttute of Actuares, London Efron B., Tbshran R. J., [1993], An ntroducton to the Bootstrap, Chapman and Hall England P., Verrall R [1999], Analytc and bootstrap estmates of predcton errors n clams reservng, Insurance: Mathematcs and Economcs 25, str England P. D., Verrall R. J. [2002], Stochastc clams reservng n general nsurance, Brtsh actuaral Journal, 8, str Kramreter H., Straub E. [1973], On the calculaton of IBNR reserves II, Mttelungen der Verengung Schwezerscher Verscherungsmathematker, 73, str Kremer E. [1982], IBNR clams and two-way model of ANOVA, Scandnavan Actuaral Journal, 1, str Mack T. [1991], A smple parametrc model for ratng automoble nsurance or estmatng IBNR reserves. ASTIN Bulletn 22 (1), str Mack T. [1993], Dstrbuton free calculaton of the standard error of chan ladder reserve estmates. ASTIN Bulletn 23 (2), str Mack T. [1994], Whch stochastc model s underlyng the chan ladder model? Insurance: Mathematc and Economcs 15, str McCullagh P., Nelder J.A. [1989], Generalzed Lnear Models, 2dn Edton, Chapman and Hall, New York, USA, str. 511

41 Lteratura Nedler J.A., Wedderburn R.W.M. [1972], Generalzed Lnear Models, Journal of the Royal Statstcs Socety, Seres A, 135, Pnhero P. J. R., Andrade e Slva M., M. de Lourdes Centeno [2000], Bootstrap Methodology n Clam Reservng, Centre for Appled Maths to Forecastng & Economc Decson, FCT PRAXIS XXI Renshaw A. E., Verrall R. J. [1994], A stochastc model underlyng the chan ladder technque, Proceedngs of the XXV ASTIN Colloquum, Cannes Ronka Chmelowec W. [1997], Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wyd. Akadem Ekonomczne m. Oskara Langego we Wrocławu, Wrocław Scollnc D.P.M. Actuaral Modelng wth MCMC and BUGS, North Amercan Actuaral Journal 2001, 5(2) Chrstofdes S. [1990], Regresson models based on log-ncremental payments, [w:] Clams reservng manual, vol 2. More advanced method, the Staple n Actuaral Socety 06/90, str Tarbell T.F. [1934], Incurred But Not Reported Clams Reserves, Proceedngs of the Causalty Actuaral Socety, Vol. XX, 1934, p. 275 Verrall R. J. [1990], Bayesan and emprcal Bayes Estmaton for Chan Ladder Model, ASTIN Bulletn 20(2) Weteska S. [2004], Rezerwy technczno-ubezpeczenowe zakładów ubezpeczeń maątkowo-osobowych, Wyd. Branta, Bydgoszcz Łódź Wolny A. [2005], Podeśce Aktuaralne do kalkulac rezerwy szkodowe, Statystyczne zaawansowane metody kalkulac rezerwy szkodowe, [w:] Metody kalkulac ryzyka rezerw szkodowych w ubezpeczenach maątkowo-osobowych. Sera: Statystyka ubezpeczenowa pod redakcą W. Szkutnka, Wyd. Akadem Ekonomczne m. Karola Adameckego w Katowcach, Katowce Wuthrch M., [2007], Clams Reservng In Non-Lfe Insurance, ETH Zurych, CSIRO Sydney Zehnwrth B. [1989], The Chan Ladder Technque a stochastc model [n:] Clams reservng manual, vol 2. More advanced method (02/89), Insttute of Actuares, London, str