Czasowo częstotliwościowa analiza drgań z wykorzystaniem metody overlapping

Transkrypt

1 KORNATOWSKI Eugeniusz 1 Czasowo częstotliwościowa analiza drgań z wykorzystaniem metody overlapping WSTĘP Czasowo częstotliwościowe metody analizy sygnału, to najczęściej wykorzystywane narzędzia w diagnostyce wibroakustycznej. Zbiór znanych i stosowanych reprezentacji czasowo częstotliwościowych jest bardzo duŝy. Metody te moŝna podzielić na dwie zasadnicze grupy: reprezentacje czas częstotliwość i czas skala [1, 5]. Interpretuje się je jako metody krótkoczasowej analizy częstotliwościowej, poniewaŝ umoŝliwiają estymację widma sygnału w skończonym i krótkim przedziale czasowym, na podstawie fragmentów sygnału wycinanego przez okno czasowe przesuwające się wzdłuŝ analizowanego sygnału. 1. KRÓTKOCZASOWA TRANSFORMACJA FOURIERA Szczególną rolę w analizie sygnałów w diagnostyce wibroakustycznej pełni krótkoczasowa transformacja Fouriera STFT (Short Time Fourier Transform) i spektrogram, naleŝące do grupy reprezentacji czas częstotliwość. STFT i analiza spektrogramu umoŝliwiają obserwację zmian widma sygnału w czasie, dając moŝliwość formułowania wniosków duŝo bardziej precyzyjnych i ogólnych niŝ np. uśredniona DFT (FFT). Ciągła, krótkoczasowa transformacja Fouriera moŝe być traktowana jako szczególny przypadek transformacji Gabora [5], a jej definicja dla analogowego sygnału x(t) ma następujące postaci: a) w dziedzinie czasu: b) w dziedzinie częstotliwości: T x * jπfτ STFT ( t, f ) = x( τ) w ( τ t) e dτ (1) F x jπft STFT ( t, f ) = e X ( θ) W ( θ f ) e dθ () gdzie w(t) jest oknem czasowym (oknem obserwacji) o widmie Fouriera W(f), a X(f) jest widmem analizowanego sygnału. Z punktu widzenia analizy cyfrowych sygnałów wibroakustycznych szczególne znaczenie ma dyskretna postać równania (1): * jπθt + x m= * π j k m N STFT ( n, k) = ( m) w ( n m) e (3) oraz dla okna czasowego o N rzeczywistych i niezerowych próbkach 1 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Wydział Elektryczny, ul. 6 Kwietnia 1, Szczecin, korn@zut.edu.pl 314

2 N 1 m= π j k m N STFT( n, k) = w( m) x( n m) e (4) gdzie: k=, 1,,, N-1, n=, N, N,., M-N, M liczba próbek analizowanego sygnału. Wykorzystując krótkoczasową transformację Fouriera dla sygnału dyskretnego spektrogram definiuje się jako: S( n, k) = STFT( n, k) (5) Wykonywanie obliczeń według równania (4) realizuje się metodą przesuwania okna w dziedzinie czasu, obliczając dyskretną transformatę Fouriera dla kolejnych fragmentów sygnału wycinanych przez przesuwające się okno czasowe w(n). Zasadniczy wpływ na czytelność spektrogramu ma odpowiedni dobór rozdzielczości w dziedzinie czasu i częstotliwości. Szerokie okno w STFT gwarantuje duŝą rozdzielczość na osi częstotliwości, a okno o małej liczbie elementów zwiększa rozdzielczość w dziedzinie czasu, kosztem rozdzielczości w dziedzinie częstotliwości. Efekt ten ma swoje uzasadnienie w zaleŝnościach widmowo czasowych dotyczących okna czasowego. Chcąc uzyskać duŝą rozdzielczość czasową naleŝałoby zastosować okno czasowe w(n) o małej liczbie elementów. JeŜeli liczba elementów okna N będzie mała, to obliczanie DFT, wykonywane dla kolejnych częstotliwości wzajemnie odległych o f=f p /N (f p częstotliwość próbkowania), będzie realizowane z duŝym przyrostem częstotliwości. Dodatkowo wystąpi efekt rozmycia widma spowodowany duŝą szerokością listka głównego na częstotliwościowej charakterystyce amplitudowej okna czasowego. Na rysunku 1 pokazano logarytmiczne charakterystyki amplitudowe LD(ω) okna Dirichleta dla trzech wartości N, gdzie wyraźnie widać wpływ liczby elementów okna na szerokość listka głównego. -1 N=1 N= N=4 - LD [db] ω [rad] Rys. 1. Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowe okna Dirichleta dla N=1,, 4; ω=πf/f p jest pulsacją cyfrową Dla duŝej wartości N rozdzielczość na osi częstotliwości wzrośnie, szerokość listka głównego charakterystyki amplitudowej okna czasowego zmaleje lecz obliczanie DFT będzie wykonywane 315

3 w tym przypadku z duŝym krokiem czasowym t=n/f p. W związku z tym, w celu poprawienia dokładności spektrogramu, w procesie obliczania STFT i dalej tworzenia spektrogramu, moŝna zastosować tzw. nakładkowanie (overlapping), technikę często wykorzystywaną w problemach dotyczących audiotechnologii [3] rysunek. Kolejne pozycje okna Próbki sygnału X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X < N > <----N n ---->... Rys.. Proces nakładkowania w algorytmie tworzenia spektrogramu Na rysunku pokazano kolejne pozycje okna czasowego o ośmiu elementach, które lokowane wzdłuŝ ciągu próbek (symbole X) wycina fragmenty analizowanego sygnału. W przykładzie pokazanym na rysunku nakładkowanie wynosi 5% (N n =4 próbki). Łatwo moŝna stwierdzić, Ŝe dla okna czasowego o liczbie N próbek nakładkowanie moŝe wynosić od N n =1 do N n =N-1 próbek.. DOBÓR PARAMETRÓW SPEKTROGRAMU Uzyskanie spektrogramu umoŝliwiającego efektywne wnioskowanie, co do analizowanego sygnału, limitowane jest odpowiednim doborem długości okna i rozdzielczością w dziedzinie czasu. Największą rozdzielczość w dziedzinie czasu uzyskuje się stosując maksymalne nakładkowanie (N n =N-1), a rozdzielczość częstotliwościowa jest wprost proporcjonalna do liczby elementów okna czasowego N. Zastosowanie maksymalnego nakładkowania wydaje się być naturalne i ze wszech miar poŝądane, lecz trzeba mieć świadomość tego, Ŝe wówczas znacząco wzrasta nakład obliczeń. Dobór długości okna natomiast definiuje rozdzielczość częstotliwościową zgodnie z zaleŝnością f=f p /N. JeŜeli analiza dotyczyłaby sygnału o moŝliwym do przewidzenia rozkładzie częstotliwości harmonicznych tak jak np. w przypadku sygnału drgań kadzi transformatora, gdzie wiadomo, Ŝe podstawowa harmoniczna to 1 Hz, a pozostałe są jej wielokrotnościami wystarczyłoby wybrać N o takiej wartości, aby zagwarantować f = 1 Hz. Oczywiście zawsze warto, jeśli to moŝliwe, zagęścić przedział dyskretyzacji częstotliwości, gwarantując tym samym moŝliwość detekcji częstotliwości pośrednich, jeśli takie w widmie wystąpią. Problem doboru odpowiedniej długości okna N jest nieco bardziej złoŝony, jeŝeli analizowany sygnał jest zmodulowany w częstotliwości. W [] wykazano, Ŝe dla takich sygnałów długość przedziału czasowego obejmowanego przez okno powinna być taka, aby stosunek średniokwadratowej szerokości częstotliwościowej B do czasowej A okna był równy stosunkowi przyrostu częstotliwości do czasu, w którym on nastąpił: gdzie B f (6) A t 316

4 1 B = f W ( f ) df (7) E jest średniokwadratową szerokością częstotliwościową okna w(t) o widmie Fouriera W(f), natomiast 1 A = t w( t) dt (8) E jest jego średniokwadratową szerokością czasową, przy czym E = w( t) dt = W ( f ) df (9) W przypadku analizy sygnałów dyskretnych (4) za rozdzielczość w dziedzinie częstotliwości odpowiada parametr N. Rozdzielczość czasową moŝna zwiększyć przyjmując maksymalne nakładkowanie, ale wiąŝe się to ze znaczącym wzrostem obliczeń. Przy braku nakładkowania, chcąc uzyskać duŝą rozdzielczość czasową naleŝałoby zastosować okno czasowe o niewielkiej liczbie elementów, co spowoduje małą rozdzielczość częstotliwościową. W takim przypadku moŝna zwiększyć rozdzielczość w dziedzinie częstotliwości przez uzupełnienie okna ciągiem zer [4]. Oznacza to, Ŝe jeŝeli okno w(m) przyjmuje wartości niezerowe dla m=, 1,,, N p -1, to naleŝy uzupełnić je zerami do długości N i wyznaczyć wartości z (4) następująco: N 1 m= π j k m N STFT( n, k) = w ( m) x( n m) e (1) gdzie w( m) dla m =, 1,,, N p 1 wu ( m) = (11) dla m = N p, N p + 1,, N 1 u 3. WYNIKI BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH Zalety stosowania nakładkowania w procesie tworzenia spektrogramu dobrze zilustruje przykład analizy czasowo - częstotliwościowej sygnału drgań silnika samochodowego. Analizowany sygnał zarejestrowano akcelerometrem przytwierdzonym do bloku silnika rysunek 3. Sygnał rejestrowano w czasie ok. 1 s: od momenty uruchomienia poprzez okres ok. 1 s pracy ze stabilnymi obrotami ok. obr/min, następnie wymuszono wzrost obrotów do ok. 4 obr/min, dalej zredukowano obroty do 5 obr/min, po czym zapłon wyłączono. Przebieg czasowy zarejestrowanego sygnału pokazano na rysunku 4. Przebieg pokazany na rysunku 4 poddano analizie z wykorzystaniem STFT tworząc spektrogramy dla trzech przypadków: za krótkie okno (N=64) i nakładkowanie N n =, okno o odpowiedniej długości N=51 i nakładkowanie N n =, okno o N=51 elementach i nakładkowanie N n =511. Do analizy we wszystkich przypadkach wykorzystano okno Hanninga. Obliczone spektrogramy pokazano na rysunku

5 Rys. 3. Akcelerometr umocowany do bloku silnika samochodu a [m/s ] ,5 5 7,5 1 1, ,5 t [s] Rys. 4. Przebieg czasowy drgań zarejestrowanych akcelerometrem na bloku silnika samochodu; a wartość chwilowa przyspieszenia drgań Analizowany sygnał drgań silnika samochodowego moŝna traktować jako modulowany w częstotliwości w zakresie od ok. ósmej do czternastej sekundy (rysunek 4). W czasie od 8. do 13. sekundy moŝna przyjąć, Ŝe częstotliwość narasta w przybliŝeniu liniowo. Wartość współczynnika f/ t (6) w tym interwale czasowym zawiera się w przedziale od ok. 16 do 3 w zaleŝności od zakresu częstotliwości: dla częstotliwości w pobliŝu 1Hz częstotliwość wzrasta z mniejszym nachyleniem, a dla częstotliwości wyŝszych szybkość przyrostu częstotliwości jest większa. W obliczeniach, których wynik pokazano na rysunkach 5b i 5c, przyjęto długość okna czasowego N=51, co odpowiada wartości B/A=, obliczonej z wykorzystaniem wzorów od (6) do (9). Dla spektrogramu z rysunku 5a, przy N=64, wartość B/A=8, a więc leŝy znacznie poniŝej przedziału <16, 3>, co ewidentnie przekłada się na czytelność pokazanego wykresu. Pozytywny wpływ nakładkowania na czytelność spektrogramu jest wyraźnie widoczny (rysunki 5b i 5c) przy częstotliwościach od 3 Hz do 6 Hz w przedziałach od. do 8. i od 14. do. sekundy. 318

6 a) b) c) Rys. 5. Spektrogramy drgań silnika samochodu: a) okno N=64 elementów i nakładkowanie N n =, b) okno o długości N=51 i nakładkowanie N n =, c) okno o N=51 elementach i nakładkowanie N n =511 WNIOSKI Przedstawiona w artykule metoda diagnostyki wibroakustycznej z wykorzystaniem techniki nakładkowania (overlapping) umoŝliwia poprawę czytelności spektrogramu sygnału drgań. Warunkiem otrzymania spektrogramu o poprawionej jakości (czytelności) jest odpowiednie dobranie rozdzielczości częstotliwościowej i czasowej. Stosunek obu rozdzielczości rzutuje dalej na parametry zastosowanego okna czasowego. Liczbę elementów okna czasowego naleŝy tak dobrać, aby stosunek średniokwadratowej szerokości częstotliwościowej okna do jego średniokwadratowej szerokości czasowej był równy stosunkowi rozdzielczości częstotliwościowej do rozdzielczości czasowej. Poprawę jakości czytelności spektrogramu uzyskuje się kosztem zwiększonego nakładu obliczeń, Streszczenie W artykule opisano zasady optymalnego doboru parametrów spektrogramu (rozdzielczość czasowa i częstotliwościowa) w diagnostyce wibroakustycznej. Wykazano, Ŝe czytelność spektrogramu moŝna znacząco poprawić stosując tzw. overlapping. Technika ta, stosowana w zagadnieniach dotyczących audiotechnologii, opiera się na następującym schemacie postępowania: Dla kolejnych pozycji przesuwającego się okna czasowego obliczana jest dyskretna transformata Fouriera. KaŜda następna lokalizacja okna ma część wspólną z poprzednią. JeŜeli liczba elementów okna czasowego wynosi N, to część wspólna dla kolejnych pozycji okna czasowego moŝe wynosić co najwyŝej N-1. Stosując 319

7 overlapping o maksymalnej liczbie elementów czytelność spektrogramu znacząco poprawia się kosztem zwiększenia nakładu obliczeń. Stosowanie techniki nakładkowania wymaga przy tym odpowiedniego doboru rozdzielczości czasowej i częstotliwościowej, z uwzględnieniem charakteru analizowanego sygnału i parametrów przetwarzania analogowo cyfrowego. Time - frequency vibration analysis using the overlapping method Abstract The article describes the principles of the optimal selection of spectrogram parameters (time and frequency resolution) in the vibro-acoustic diagnostics. It has been shown, that the readability of a spectrogram can be significantly improved by using a so-called overlapping. This technique, used in issues relating to audio technology, is based on the following scheme of the case: For the following position of sliding time window discrete Fourier transform is calculated. Each additional location of the window has a common part of the previous one. If the number of elements of the time window is N, then the common part for the following position of the time window may be at most N-1. Using the maximum number of overlapping elements, readability of the spectrogram significantly improves at the expense of an increase of calculation. The use of overlapping techniques requires the appropriate selection of the time and frequency resolution, taking into account the nature of the analyzed signal and parameters of analog digital conversion. BIBLIOGRAFIA 1. Białasiewicz J.T., Falki i aproksymacje, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 4.. Bracewell R., Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, Kornatowski E., Monitoring of the Multichannel Audio Signal, Computational collective intelligence. Technologies and applications, Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 64, Springer Verlag, pp Lyons R.G., Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, Zieliński T.P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa,