Klasykacja ryzyka. Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Klasykacja ryzyka. Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej"

Transkrypt

1 Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek Matematyka Specjalno± Matematyka Finansowa Studia II stopnia - magisterskie Katarzyna Niemczyk Klasykacja ryzyka Zakres pracy: Przedstawienie problematyki klasykacji a priori ryzyka w ubezpieczeniach odpowiedzialno±ci cywilnej w oparciu o model regresji Poissona oraz jego mieszanych rozszerze«zastosowanych do niejednorodnego portfela polis ubezpieczeniowych. Analiza metod wyznaczania skªadki netto w oparciu o teori wiarogodno±ci oraz histori liczby roszcze«zgªaszanych przez ubezpieczonych kierowców. Gda«sk 2013

2 Spis tre±ci 1 Wst p 2 2 Rozkªady u»ywane w ubezpieczeniach 4 3 Rozkªad Poissona, mieszane modele Poissona w odniesieniu do liczby roszcze« Rozkªad Poissona Mieszane modele Poissona Modele mieszane Mieszane modele Poissona Procesy stochastyczne w odniesieniu do prezentowanych zagadnie« Modele regresji a klasykacja ryzyka w rmach ubezpieczeniowych Zagadnienie motor ratemaking w ubezpieczeniach komunikacyjnych Uogólnione modele liniowe Modele regresji Analiza regresji Poissona Problematyka modeli regresji w odniesieniu do czynników niemierzalnych - mieszane modele regresji Przykªad numeryczny Dane Analiza jednokierunkowa Interakcje Modele regresji Porównanie modeli Interpretacja wpªywu poszczególnych zmiennych obja±niaj cych w odniesieniu do klasykacji ryzyka Klasy ryzyka Modele dla danych z wieloma zerami Rozkªady modykowane dla warto±ci zerowych ang. Zero-Inated Models) Modele z zapor w zerze ang. Hurdle models) Model wiarogodno±ci Estymator Bayesowski wzgl dem kwadratowej funkcji straty Zastosowanie - model wiarogodno±ci Poisson-Gamma Predyktor liniowy Wnioski Interpretacja predyktora liniowego oraz korekty a posteriori Wnioski 80 Zaª cznik 1 81 Zaª cznik 2 88 Spis tabel i wykresów 90 Bibliograa 91 1

3 1 Wst p Poddaj c analizie zdarzenia maj ce miejsce w»yciu codziennym obserwowana jest trudna do przewidzenia zmienno± tych zdarze«oraz ich rezultatów. Analiza ta dotyczy gªównie zdarze«, które s konsekwencj dziaªalno±ci czªowieka, ale tak»e zjawisk naturalnych. Potencjalna zmienno± uzyskiwanych rezultatów jest zwi zana z poj ciem ryzyka. Powy»sza interpretacja stanowi punkt odniesienia w rozwa»aniach dotycz cych wyznaczaniu poziomu ryzyka w ubezpieczeniach. Z wprowadzonym poj ciem ryzyka mamy do czynienia wsz dzie, gdzie skutki dziaªa«nie mog zosta precyzyjnie przewidziane. Je±li chodzi o zdolno± przewidywania skutków dziaªa«, wyró»niane s tutaj poj cia pewno±ci, inaczej okre±laj c braku w tpliwo±ci oraz niepewno±ci. Niepewno± zale»y od poziomu wiedzy na temat analizowanego podmiotu, dokªadnego poznania otoczenia, obowi zuj cych zasad, zwi zków przyczynowo-skutkowych oraz warunków reguluj - cych dane zdarzenia. Odnosz c si z poj ciem niepewno±ci do towarzystw ubezpieczeniowych nale»y mie na uwadze,»e jednym z ich zada«jest zapewnienie wypªacalno±ci. Przepisy prawne okre±laj margines wypªacalno±ci jako wielko± ±rodków wªasnych danej rmy, która musi przekracza minimaln wysoko± kapitaªu gwarancyjnego. Regulacj tej wielko±ci maja zapewnia system Solvency I oraz Solvency II. Wspomniany system Solvency II jest rozszerzeniem Solvency I, który jest wprowadzany ze wzgl du na dynamiczne zmiany gospodarcze jak i nansowe na obszarze Unii Europejskiej. U podstaw tego systemu badania wypªacalno±ci wymienia si, analizowane w tej pracy, metody bazuj cej na skªadkach, które jednak nie wª czaj wszystkich istotnych ryzyk, co jedna z niedoskonaªo±ci tych metod. Poprawna identykacja, ocena, a tak»e monitorowanie ryzyk ma na celu ochron rmy ubezpieczeniowej przed poniesieniem strat. W tym celu, jako przedmioty analizy ubezpieczeniowej, wymienia si liczby zgªoszonych roszcze«w okresie obowi zywania polis, ich cz stotliwo±, ale tak»e dotkliwo±, rozró»niana z powodu wyst powania zarówno roszcze«o maªych wielko±ciach,jak równie» okre±lane mianem ekstremalnych, wynikaj cych z katastrof naturalnych, karamboli, itp. Specyka podmiotu rozwa»a«teorii ryzyka ubezpieczeniowego pozwoliªa wyodr bni charakterystyczne czynniki, tak zwane faktory ryzyka, a tak»e powi zania mi dzy nimi a osobami ubezpieczonymi. Powi zania te sprawiªy,»e analiza jednokierunkowa jest ju» niewystarczaj ca. Co wi cej, podmiot ubezpieczenia przez swoje aktywne dziaªania poª czone z okre±lonymi czynnikami, powoduje zmienno± - wzrost lub spadek prawdopodobie«stwa realizacji danego ryzyka, przypisanego do grupy, klasy, w obr bie której dany podmiot jest rozpatrywany. Pozwala to na stworzenie modeli bazuj cych na zmiennych losowych, które s identykowane ze skutkami realizacji ryzyka, tj. nansowymi lub materialnymi. Przykªadem systemu wykorzystywanego w ubezpieczeniach, który jest oparty na powy»szych czynnikach oraz zale»no±ciach jest system bonus-malus. System bonus-malus jest oparty o tarykacj a posteriori, która w zgodny z przyj tymi zasadami przez rm ubezpieczeniow, przydziela wysoko± skªadki w zale»no±ci od liczby roszcze«zgªoszonych we wcze±niejszych okresach obowi zywania polisy, na okres jednego roku. W zale»no±ci od liczby zgªoszonych roszcze«w rozpatrywanym okresie i klasy taryfowej, do której jest przydzielony, ubezpieczony kierowca jest przenoszony w kolejnym okresie jest przenoszony do wy»szej b d¹ ni»szej klasy. Klasy taryfowe inaczej poziomy kwalikacji) rozró»nia wysoko± procentowa ang. relativity) w odniesieniu do skªadki bazowej. Klasa o warto±ci przekraczaj - cej 100% charakteryzuje kierowców o podwy»szonej skªadce, czyli obarczonych kar malus) za zgªoszenie szkód, natomiast klasa o warto±ci poni»ej 100%, to klasa zni»kowa, w której kierowca otrzymuje rabat za bezszkodow jazd. System ten rozwa»a jedynie liczby zgªaszanych roszcze«, a nie ich zasi g nansowy. Punktem odniesienia analizowanych zagadnie«teoretycznych s ubezpieczenia komunika- 2

4 cyjne, wchodz ce w skªad ubezpiecze«maj tkowych ang. non-life insurance). Wymieniane s tutaj takie ubezpieczenia, jak: samochodowe ubezpieczenie odpowiedzialno±ci cywilnej OC ang. third party insurance), ubezpieczenie od uszkodze«zycznych AC, a tak»e wyst puje ubezpieczenie nast pstw nieszcz ±liwych wypadków - NW, zaliczane do ubezpieczeyciowych. Zajm si ubezpieczeniami OC, które w Polsce s obowi zkowe i s regulowane rozporz dzeniem z roku wraz z naniesionymi poprawkami. Jest to ubezpieczenie od strat powstaªych w wyniki szkód wyrz dzonym innym uczestnikom ruchu drogowego i b d cych wynikiem dzia- ªa«ubezpieczonego kierowcy. W przypadku polisy OC, ubezpieczyciel zobowi zuje si pokry szkody powstaªe w wyniku zdarzenia drogowego, który spowodowaª wªa±ciciel polisy, nie przekraczaj ce wysoko±ci sumy gwarancyjnej. Poni»sza praca ma na celu przedstawienie zagadnie«zwi zanych z ubezpieczeniami w oparciu o dane, przedstawiaj ce liczby zgªaszanych roszcze«w danej polisie, miedzy innymi sposoby kwalikacji ubezpieczonych do danej grupy ryzyka, a tak»e metodyk wyznaczania wysoko±ci skªadki na podstawie analizowanego typu danych. Rozpatrywane zagadnienia s wykorzystywane w analizie podªo»y funkcjonowania komercyjnych systemów wyznaczaj cych wysoko±ci skªadek. W drugim rozdziale zostaªy wyró»nione rozkªady dla wspomnianych zmiennych losowych wyst puj cych w modelach ubezpieczeniowych. Rozdziaª trzeci wprowadza rozkªad Poissona, jego mieszane rozszerzenia, a tak»e przedstawione jest zagadnienie procesów stochastycznych w odniesieniu do ubezpiecze«komunikacyjnych. Czwarty rozdziaª dotyczy analizy danych dotycz cych liczby roszcze«zgªaszanych przez ubezpieczonych kierowców z uwzgl dnieniem takich zagadnie«jak: klasykacja a priori ryzyka, tworzenie klas w portfelu, modele regresji z naciskiem na przedstawienie narz dzi uogólnionych modeli liniowych, regresja Poissona, mieszanej regresji Poissona, czy te» modeli zmodykowanych z zerze. Przedstawiony przykªad numeryczny przedstawia kolejne kroki w procesie klasykacji ryzyka. Rozdziaª pi ty rozszerza przedstawion analiz ubezpieczeniow danych dotycz cych liczby roszcze«zgªaszanych przez poszczególnych kierowców. Przeanalizowana zostanie metodyka wyznaczania skªadki netto skªadki Bayesowskiej) w oparciu o teori wiarogodno±ci oraz histori liczby roszcze«zgªaszanych przez kierowców. Równie» zostanie wprowadzony predyktor liniowy. Przedstawi tu zagadnienie analizy a posteriori. 3

5 2 Rozkªady u»ywane w ubezpieczeniach W modelach matematycznych sªu» cych procesom klasykacji ryzyka uwzgl dniane s dwa rodzaje zmiennych losowych - zmienne losowe ci gªe, obrazuj ce zmienno± wysoko±ci roszcze«czy te» odszkodowa«, - zmienne losowe skokowe, obrazuj ce zmienno± liczby roszcze«czy te» odszkodowa«. Rozkªady zmiennych losowych wykorzystywane w modelach aktuarialnych stanowi narz dzie sªu» ce do oceny i prognozy elementów ubezpiecze«, które zwi zana s z realizacj danego ryzyka. Nale»y podkre±li, i» rozkªady którymi operuje si w analizach, równie» ubezpieczeniowych, opieraj si na danych statystycznych i przez to przybli»aj aktuariuszy do oceny wyszczególnionego ryzyka, jednak nie umo»liwiaj postawienia swoistej oceny tego ryzyka. Za po±rednictwem zmiennych losowych wyª cznie mo»na oszacowa w dokªadny sposób) prawdopodobie«stwo realizacji konkretnego ryzyka przy uwzgl dnieniu danych warunków pobocznych. Pierwsza grupa rozkªadów dla zmiennych losowych ci gªych jest narz dziem u»ywanym w analizie materialnych skutków realizacji ryzyka ubezpieczeniowego, czyli wysoko±ci wypªacanych odszkodowa«czy te» wysoko±ci napªywaj cych do ubezpieczyciela roszcze«. Wyró»niamy tu dwie podgrupy ze wzgl du na cechy charakterystyczne istotne dla tematyki ubezpieczeniowej, pod która charakteryzujemy prawdopodobie«stwo wysokich strat. Rozwa»aj c specyk funkcji g sto±ci uzyskujemy podziaª - rozkªady ci»koogonowe, w których prawdopodobie«stwo wysokich strat nie jest do pomini cia; - rozkªady lekkoogonowe, w których prawdopodobie«stwo wysokich strat jest mo»liwe do pomini cia, ze wzgl du na jego nisk warto±. U»yte w powy»szym podziale zmienne losowe przyjmuj warto±ci dodatnie. Dodatkow cech uwzgl dnian w procesie wyznaczania rozkªadu zmiennej losowej Z, pod która rozumiemy wysoko± roszcze«lub wysoko± odszkodowa«jest fakt,»e wspomniane wypªaty s w wi kszo- ±ci niewielkie, ale charakteryzuje je du»a liczba, ale tak»e maj miejsce wielkie roszczenia, np. wynikaj ce z karambolu i nale»y je równie» uwzgl dni w analizie. Niech Ω, P, F) b dzie przestrzeni probabilistyczna. Dystrybuant nieujemnej zmiennej losowej Z w punkcie x R oznaczmy przez F Z x). Rozkªady ci»koogonowe Denicja Rozkªad o dystrybuancie F Z x) jest rozkªadem ci»koogonowym, je»eli dla ka»dego a > 0, b > 0 zachodzi F Z x) 1 F Z x) > ae bx. δ x>δ Wi kszo± rozwa»anych realizacji ryzyka ubezpieczeniowego charakteryzuje si omawianymi rozkªadami, przy czym ró»ni si one sko±no±ci oraz asymetri. Do najcz ±ciej wykorzystywanych w teorii ubezpieczeniowej nale» nast puj ce rozkªady: Rozkªad logarytmiczno-normalny z parametrami µ R oraz σ > 0. Funkcja g sto±ci: f Z x) 1 σ 2Πx exp lnx ) µ)2, x > 0. 2σ 2 4

6 Funkcja F Z x): F Z x) erf lnx µ σ 2, Warto± oczekiwana: gdzie erfx) 2 x e t2 dt, Π EZ) exp µ + 1 ) 2 σ2, 0 Wariancja: V arz) expσ 2 ) 1)exp2µ + σ 2 ), Cechy charakterystyczne: Charakteryzuje si asymetri lewostronna, tj. im warto± parametru µ jest bli»sza zeru, tym asymetria lewostronna jest silniejsza. Zastosowanie: Bardzo dobrze opisuje wysoko± roszcze«. Cz sto wykorzystywany w ubezpieczeniach komunikacyjnych, poniewa» w wielu przypadkach najlepiej oddaje empirycznych rozkªad szkód w analizie wysoko±ci szkód ubezpiecze«komunikacyjnych. Rozkªad Pareto z parametrami α > 0 oraz λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) αλ α λ + x) α+1), x > 0, F λ ) α, Z x) x > 0, λ + x EZ) V arz) λ α 1, α > 1, αλ 2 α 1) 2 α 2), α > 2, Cechy charakterystyczne: Stosowany do przypadków o najci»szych ogonach. Z powy»szych wzorów na warto± oczekiwan oraz wariancj dopuszczana jest mo»liwo± nie istnienia tych warto±ci. Zastosowanie: Jeden z najpopularniejszych rozkªadów stosowanych w procedurach klasykacji ryzyka katastrocznego, charakteryzuj cego si rzadkimi realizacjami, ale nios cymi straty ogromnej warto±ci, a tym samym du»e odszkodowania. Zauwa»alna jest cecha funkcji g sto±ci dla zmiennej losowej o rozkªadzie Pareto, i» wolno d»y do zera. Tym samym uniemo»liwia zaniedbywanie prawdopodobie«stwa realizacji ryzyka poci gaj cego du»e warto±ci materialne. Nale»y podkre±li,»e ze wzgl du na ró»ny zakres oddziaªywania zjawisk katastro- cznych wprowadzono modykacje modeli matematycznych, którymi posªuguj si ubezpieczyciele, tzn. w przypadkach umów ubezpieczeniowych z okre±lon granica odpowiedzialno±ci ubezpieczyciela lub te» w przypadku reasekuracji stosowany jest uci ty rozkªad Pareto. 5

7 Rozkªad Burra z parametrami α > 0, λ > 0 oraz c > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: f Z x) cαλα x c 1, x > 0, λ + x c ) α+1 F λ ) α, Z x) x > 0, λ + x c EZ) λ 1 c Γα 1)Γ1 + 1) c c, ac > 1, Γα) gdzie funkcj gamma deniujemy: Wariancja: Γx) V arz) λ 2 c Γα 2 c )Γ1 + 2 c ) Γc) 0 t x 1 exp t)dt, x > 0, 1 λ c Γα 1 c )Γ1 + 1) ) 2 c, ac > 2, Γc) Cechy charakterystyczne: Dla c 1 pokrywa si z rozkªadem Pareto, a dla α 1 z rozkªadem logarytmicznonormalnym. Zastosowanie: Pozwala na zaostrzanie kryteriów klasykacji za pomoc ogranicze«nakªadanych na parametry rozkªadu. Rozkªad Weibulla z parametrami 0 < c < 1 oraz λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) cλx c 1 exp λx c ), x > 0, F Z x) exp λx c ), x > 0, EZ) λ 1 c Γ ), 0 < c < 1, c 1 c V arz) λ)2 Γ ) Γ )) 2, 0 < c < 1, c c Cechy charakterystyczne: Dla c 1 otrzymujemy rozkªad wykªadniczy, z grupy rozkªadów lekkoogonowych. Warto± owego parametru c wpªywa na charakter rozkªadu, poprzez wkl sªo±, wypukªo± czy asymetrie. Dla c 0, 1) rozkªad przejawia wi ksz asymetri, a przy mniejszej warto±ci λ posiada wydªu»ony gruby ogon. Natomiast dla c 1 staje si rozkªadem lekkoogonowym. Zastosowanie: Daje du»e mo»liwo±ci wykorzystania ze wzgl du na warto±ci parametrów c oraz λ wpªywaj ce na ksztaªt funkcji g sto±ci. 6

8 Rozkªady lekkoogonowe Denicja Rozkªad o dystrybuancie F Z x) jest rozkªadem lekkoogonowym, je»eli istnieje a > 0, b > 0,»e zachodzi F Z x) 1 F Z x) ae bx. δ x>δ Rozkªady lekkoogonowe, dla których wykresy funkcji g sto±ci dla wysokich warto±ci realizacji zmiennej losowej Z zmierzaj do zera, charakteryzuj przypadki rzadko wyst puj cych wysokich szkód. Rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) λexp λx), x 0, F Z x) exp λx), x 0, EZ) 1 λ, V arz) 1 λ 2, Funkcja generuj ca momenty: M Z t) λ λ t, t < λ, Zastosowanie: Zjawiska z pogranicza ekonomii i techniki, tj. dziedzina teorii niezawodno±ci. Rozkªad gamma z parametrami α > 0 oraz β > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): F Z x) x 0 f Z x) βα x α 1 exp βx), x > 0, Γα) f Z s)ds 1 Γα) x 0 y α 1 exp y)dy, a > 0, x > 0, Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: M Z t) EZ) α β, V arz) α β 2, β ) α, t < β, β t 7

9 Cechy charakterystyczne: Krzywe realizuj ce wykres funkcji g sto±ci dla ró»nych parametrów α zachowuj podobne ksztaªty do innych rozkªadów, tj. dla α < 1 uzyskuje podobne cechy wykresu g sto±ci jak w przypadku rozkªadu Weidbulla lekkoogonowego, dla α 1 do wykresu funkcji g sto±ci rozkªadu wykªadniczego, a natomiast dla α > 1 do wykresu funkcji g sto±ci rozkªadu logarytmiczno-normalnego. Zastosowanie: Szerokie zastosowania przy analizie wysoko±ci roszcze«czy te» szkód, ze wzgl du na wiele cech upodobniaj cych do innych rozkªadów. Rozkªad Weibulla z parametrami c 1 oraz λ > 0. Rozkªady skokowe Niech zmienna losowa N oznacza liczb roszcze«lub te» odszkodowa«. Posiada ona jeden z najcz ±ciej stosowanych rozkªadów dyskretnych skokowych) scharakteryzowanych poni»ej. Rozkªad dwumianowy binomialny) z parametrami n oraz q. Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): ) n P N k) q k 1 q) n k, n N, k 0, 1,..., n. k Dystrybuanta: Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: F N x) 0 k x ) n q k 1 q) n k, k EN) nq, V arn) nq1 q), M N t) qexpt) + 1 q)) n, t R. Cechy charakterystyczne: Je»eli N jest wystarczaj co du»e oraz sko±no± nie jest za du»a, tj. q nie jest zbyt bliskie 0 lub 1, rozkªad binomialny mo»na aproksymowa za pomoc rozkªadu normalnego. Je»eli natomiast liczba obserwacji jest du»a, a prawdopodobie«stwo sukcesu q jest maªe, dobrym narz dziem aproksymacji jest rozkªad Poissona. Rozkªad ujemny dwumianowy z parametrami r oraz q, tj. N NBinr, q). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): P N k) Γr + k) q k 1 q) r. Γr)k! 8

10 Bior c pod uwag interpretacj parametrów wyst puj cych w analizowanym rozkªadzie, tj. P N k) jest prawdopodobie«stwem zaj±cia pora»ek przed r-tym sukcesem w serii do±wiadcze«bernoulliego przy prawdopodobie«stwie sukcesu 1 q), zapiszmy powy»sz funkcj jako: ) r + k 1 P N k) q k 1 q) r. 1) k Warto± oczekiwana: Wariancja: EN) V arn) rq 1 q, rq 1 q) 2, Funkcja generuj ca momenty: 1 q ) r, M N t) t < lnq). 1 q expt) Rozkªad logarytmiczny z parametrem θ, tj. Logθ). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): Warto± oczekiwana: Wariancja: P N k) Funkcja generuj ca momenty: θ k, k 1, 2,..., 0 < θ < 1. kln1 θ) EN) θ 1 θ)ln1 θ), θ + ln1 θ) V arn) θ 1 θ) 2 ln 2 1 θ), M N t) Rozkªad Poissona z parametrem λ > 0, tj. P oisλ). ln1 θt) ln1 θ). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): Dystrybuanta Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: F N x) P N k) λk k! exp λ), r k0 λ k exp λ), r x, k! EN) λ, V arn) λ, M N t) expλexpt) 1)), t R. 9

11 3 Rozkªad Poissona, mieszane modele Poissona w odniesieniu do liczby roszcze«3.1 Rozkªad Poissona Rozkªad Poissona jest nazywany prawem maªych liczb z uwagi,i» jest rozkªadem prawdopodobie«stwa liczby wyst pie«zdarze«, które zdarzaj si rzadko zdarzenia maj miejsce w losowy oraz niezale»ny sposób w przestrzeni oraz w czasie), ale wyst puje bardzo wiele mo»liwo- ±ci, aby miaªy miejsce. Jest on rozkªadem cz sto stosowanym praktyce analiz ubezpieczeniowych zajmuj cych si liczb wypªacanych odszkodowa«oraz wpªywaj cych roszcze«dla rozpatrywanych polis portfeli ubezpieczeniowych. Dla rozkªadu Poissona cech charakterystyczn, która nakªada ograniczenie w zakresie jego stosowalno±ci, jest równo± warto±ci oczekiwanej oraz wariancji. Dla znacznej wi kszo±ci danych warunek ten nie zachodzi, co zmusza do poszukiwania innych, alternatywnych, rozkªadów zmiennych losowych opisuj cych liczb roszcze«. Najcz ±ciej s to wymienione wcze±niej rozkªady: dwumianowy oraz ujemny dwumianowy. W literaturze dotycz cej sposobów werykacji i operowania ryzykiem mo»na wyró»ni algorytm post powania w procesie identykacji rozkªadu skokowego zmiennej losowej. Wskazane jest, aby proces identykacji byª przeprowadzany dla próby przekraczaj cej 300 obserwacji, a decyzj nale»y podejmowa na podstawie wyznaczonych na podstawie próby warto±ci oczekiwanej EN) oraz wariacji V arn). W.-R. Heilmann w pracy Fundamentals of Risk Theory wyró»nia nast puj cy algorytm decyzyjny Przypadek 1. Je»eli zachodzi równo± warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) V arn), 2) to przyjmujemy,»e rozkªad Poissona jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Przypadek 2. Je»eli zachodzi relacja warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) > V arn), 3) to przyjmujemy,»e rozkªad binomialny jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Przypadek 3. Je»eli zachodzi relacja warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) < V arn), 4) to przyjmujemy,»e mieszany rozkªad Poissona jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Uzasadnienie 2. Rozwa»my posta warto±ci oczekiwanej oraz wariancji dla rozkªadu dwumianowego. Wyra»aj si one za pomoc wzorów EN) nq oraz V arn) nq1 q), gdzie 0 < 1 q) < 1, przy wa»no±ci oznacze«u»ytych we wcze±niejszym opisie. Zauwa»my,»e przy przyj ciu rozkªadu binomialnego dla zmiennej losowej N zachodzi, i» nq > nq1 q), a dalej 1 > 1 q), co potwierdza 3). 10

12 Uzasadnienie 3. Rozwa»my posta warto±ci oczekiwanej oraz wariancji dla rozkªadu ujemnego dwumianowego. Wyra»aj si one za pomoc wzorów EN) rq 1 q oraz V arn) rq, gdzie 0 < 1 q) < 1, 1 q) 2 przy wa»no±ci oznacze«u»ytych we wcze±niejszym opisie. Zauwa»my,»e przy przyj ciu rozkªadu ujemnego dwumianowego dla zmiennej losowej N zachodzi V arn) 1 EN), 1 q 1 a w konsekwencji > 0, co potwierdza 4). 1 q Sko±no± dla zmiennej losowej N P oiλ) wynosi γn 1 λ. Oczywi±cie γn zmienia si wraz z λ. Dla maªych warto±ci λ dystrybuant cechuje bardzo du»a asymetria, a przy λ 15 dystrybuant cechuje si wyra¹na symetria. 3.2 Mieszane modele Poissona Model Poissona jest gªównym narz dziem analizy ilo±ciowych danych dyskretnych, przy czym zakªadane jest, i» przypadkowo± charakteryzuj ca rozwa»an populacj jest jednorodna. Jednak to zaªo»enie nie jest mo»liwe do speªnienia w przypadku rzeczywistych danych ubezpieczeniowych. Mieszany rozkªad Poissona jest rozszerzeniem rozkªadu Poissona i jest u»ywany w przypadku wyst powania niejednorodno±ci. Problem wyst powania niejednorodno±ci ma pod- ªo»e w nieobserwowalnych zachowaniach i indywidualnych reakcjach kierowców. Co wi cej, indywidualne roszczenia kierowców w portfelu ubezpieczeniowym s zgªaszane wedªug procesu Poissona o pewnej warto±ci ±redniej, lecz warto± ±rednia ilo±ci indywidualnych zgªosze«mo»e by ró»na dla ka»dej z obowi zuj cych polis czy te» klas wydzielonych w danym portfelu Modele mieszane Modele mieszane s kombinacjami ci gªych oraz dyskretnych rozkªadów przy uwzgl dnieniu odpowiednich wag przypisanych danym modelom wspóªtworz cym. Sªu» one do reprezentacji niejednorodnych populacji skªadaj cych si z kilku odr bnych podpopulacji charakteryzuj cych si innymi parametrami. Inaczej formuªuj c, modele te maj zastosowanie w analizach niejednorodnych populacji skªadaj cych si z kilku podpopulacji, z których ka»da mo»e zosta opisana za pomoc prostszego modelu. Rozwa»my dwie grupy modeli mieszanych: dyskretne oraz ci gªe. Typ dyskretny Denicja Wykorzystuj c funkcj masy prawdopodobie«stwa zdeniowanej przy pomocy p i : N R R +, dla ka»dego i 1,..., v, dystrybuanta zmiennej losowej N mo»e by przedstawiona w nast puj cej liniowej formie pk, ψ) : P N k, ψ q 1 p 1 k, ξ 1 ) q v p v k, ξ v ), gdzie ψ q T, ξ T ) T, q T q 1,..., q v ), ξ T ξ 1,..., ξ v ), ξ j - parametr charakteryzuj cy funkcj masy prawdopodobie«stwa p j, ξ j ), 11

13 q j - wagi modelu mieszanego znane b d¹ nieznane), takie»e q j 0, a tak»e p j k, ) 1. k0 v q j 1, Na podstawie powy»szej denicji wida,»e jest dopuszczone aby ka»da z u»ytych funkcji masy prawdopodobie«stwa nale»aªa do innej rodziny parametrycznej. W wi kszo±ci przypadku u»ywa si uproszczenia tej mo»liwo±ci i tym samym zakªada, i» jest ona wspólna dla danego modelu. Rozpatrywany model przyjmuje wówczas posta P N k, ψ q 1 pk, ξ 1 ) q v pk, ξ v ), gdzie q mo»na przyj jako funkcj rozkªadu dyskretnego ξ opisuj c wariancj wyboru danego parametru z analizowanej rodziny. Do opisanej klasy zaliczane s mieszane rozkªady Poissona, które maj na celu zliczanie danych modelu, np. liczba roszcze«zgªaszanych do rmy ubezpieczeniowej. Interpretacja powy»szego modelu w odniesieniu do liczby roszcze«jest nast puj ca - ubezpieczeni kierowcy zostali podzielenie na v kategorii, - ka»dej kategorii odpowiada oczekiwana roczna cz stotliwo± roszcze«ξ 1,..., ξ v, - skªadowe funkcje masy prawdopodobie«stwa maj rozkªad Poissona ze ±redni ξ j, - wagi proporcjonalno±ci udziaªu danej kategorii wyra»aj si przez q 1,..., q v. Tym samym funkcja masy prawdopodobie«stwa liczby zgªaszanych roszcze«jest ±redni wa»on v-funkcji masy prawdopodobie«stwa przypisanych do analizowanych kategorii. Typ ci gªy Dla du»ej ilo±ci v kategorii preferowane jest wprowadzenie ci gªych funkcji rozkªadu prawdopodobie«stwa. Denicja Dla ci gªej ξ o funkcji g sto±ci rozkªadu prawdopodobie«stwa g ) dystrybuanta zmiennej losowej N mo»e by przedstawiona za pomoc funkcji masy prawdopodobie«stwa w nast puj cej formie pk) : P N k pk, ξ)gξ)dξ. Zazwyczaj g ) rozpatrywana jest z zakresu pewnej rodziny parametrycznej, co daje w wyniku równie» funkcj parametryczn. Natomiast, gdy w powy»szym wzorze jest u»yta g sto± g ) modelowana z wyª cze«zaªo»e«parametrycznych, to wprowadzona funkcja masy prawdopodobie«stwa p ) jest parametrycznym modelem mieszanym Mieszane modele Poissona Jak zaznaczono wcze±niej, zdolno±ci kieruj cych s bardzo ró»norodne, a nawet ka»dy kierowca przejawia indywidualne cechy, co doprowadza do niejednorodno±ci portfela. W tym wypadku w analizie u»ywany jest zmodykowany rozkªad Poissona, w którym na ±redni cz stotliwo± λ nakªadany jest dodatni efekt losowy Θ, a zatem nie wszyscy ubezpieczeni w rozwa»anym portfelu posiadaj identyczn cz stotliwo± λ. j1 12

14 Wprowadzona nowa cz stotliwo± portfela b dzie zmieniaªa si wedªug nieobserwowalnej nieujemnej zmiennej losowej Θ, gdzie EΘ 1, a sam rozkªad warunkowy deniujemy jako pk λθ) : P N k Θ θ exp λθ) λθ)k, k 0, 1,... k! gdzie p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni λθ, θ > 0. Do analizy rocznej liczby roszcze«dla losowo wybranych ubezpieczonych z danego portfela nale»y u»y dystrybuanty mieszanego rozkªadu Poissona. Denicja Zmienna losowa N ma mieszany rozkªad Poissona z parametrem λ oraz poziomem ryzyka Θ i EΘ 1, co oznaczamy N MP oisλ, Θ), je»eli jej funkcj masy prawdopodobie«stwa jest postaci P N k Epk λθ) exp λθ) λθ)k df Θ θ), 0 k! gdzie k 0, 1,... - liczba roszcze«zgªoszonych przez losowo wybranych kierowców, przy uwzgl dnieniu rozkªadu warunkowego wzgl dem Θ; Θ - efekt losowy o typie mieszanym; F Θ - dystrybuanta wzgl dem Θ, przy czym F Θ 0) 0. Reprezentuje niejednorodno± portfela. df Θ - funkcja struktury. Mieszany model Poissona ma zastosowanie jako model skªonno± kierowców do powodowania wypadków. Zakªada si równie»,»e ±rednia cz stotliwo± napªywania roszcze«nie zmienia si w czasie, ale dopuszcza si aby niektórzy ubezpieczeni charakteryzowali si wy»sz od ±redniej cz stotliwo±ci zgªaszania roszcze«. Wªasno±ci Dla N MP oisλ, Θ) rozpatrywane s nast puj ce wªasno±ci Warto± oczekiwana Wyliczenie EN λ. EN E EN Θ θ kexp λθ) λθ)k df Θ θ) 0 k! k0 exp λθ) k λθ)k df Θ θ) exp λθ) k! 0 0 k0 exp λθ) λθ)expλθ) df Θ θ) 0 0 k1 λθdf Θ θ) λeθ λ. λθ)λθ) k 1 df Θ θ) k 1)! Zauwa»my,»e przy rozwa»aniu oczekiwanej liczby szkód dla danego portfela ubezpieczeniowego wªasno± niejednorodno±ci nie jest obserwowalna przy analizie warto±ci oczekiwanych, ze wzgl du i» w rozkªadzie Poissona oraz w mieszanym rozkªadzie Poissona s sobie równe i wynosz λ. Ma to dopiero miejsce w przypadku rozwa»ania wariancji. 13

15 Wariancja EN 2 0 EN λ. λθ + λ 2 Θ 2 )df Θ θ) λeθ + λ 2 EΘ 2. V arn EN 2 EN) 2 λeθ + λ 2 EΘ 2 λ 2 EΘ) 2 λ + λ 2 V arθ. Nad rozproszenie ang. Overdispersed) Sko±no± γn EN EN)3 V arn) 3 2 V arn λ + λ 2 V arθ λ EN. 1 V arn) 3 2 Funkcja tworz ca momenty tλθ) k ϕ N t) exp λθ) df Θ θ) k! co równowa»nie daje tekst 0 0 3V arn 2EN + ϕ N 1 λ t + 1) M Θt). 0 ) γθ V arn EN) 2. V arθ EN expλθt 1))dF Θ θ) M Θ λt 1)), Twierdzenie Nierówno± Jensena) Niech X b dzie zmienn losow, tak»e E X < oraz niech g b dzie tak funkcj wypukª,»e E gx) <. Wtedy gex) EgX). Korzystaj c z powy»szej nierówno±ci uzyskujemy,»e P N 0 0 exp λθ)df Θ θ) exp 0 λθdf Θ θ)) exp λ). Wªasno± ta pokazuje, i» mieszany rozkªad Poissona przejawia nadmiar zerowych warto±ci w porównaniu z rozkªadem Poissona przy tej samej ±redniej, co przejawiaj badania empiryczne nad liczb zgªaszanych roszcze«, a dokªadniej ubezpieczonych charakteryzuj cych si zerow liczb roszcze«jest wi cej ni» przewidywana liczba wyodr bniona przy u»yciu rozkªadu Poissona. Problem ten zostanie szerzej omówiony w podrozdziale dotycz cym modeli zero-inated. Co wi cej, kolejne wªasno±ci pokazuj, i» mieszany rozkªad Poissona posiada grubszy prawy ogon rozkªadu ni» rozkªad Poissona o tej samej ±redniej). Wªasno± Niech N ma mieszany rozkªad Poissona o ±redniej EN λ. Istniej dwie liczby 0 k 0 < k 1 takie,»e 1 P N k exp λ) λk k!, dla k 0, 1,..., k 0, P N k exp λ) λk k!, dla k k 0 + 1,..., k 1, P N k exp λ) λk k!, dla k k 1. 1 Wªasno± t przedstawia Shaked's Two Crossings Theorem. Szkic dowodu tego twierdzenia mo»na znale¹ w pozycji Regression Analysis of Count Data autorstwa A. Colin Cameron,Pravin K. Trivedi z 1988 roku. 14

16 Sytuacj t przedstawia poni»szy rysunek pogl dowy, na którym zostaªo ukazane porównanie rozkªadów Poissona oraz Ujemnego Dwumianowego, b d ce przykªadem mieszanego rozkªadu Poissona. Oba rozkªadu posiadaj ±rednia wynosz c 10, dodatkowo rozkªad mieszany ma wariancj równ 0.2. tekst Wykres 3.6. Porównanie rozkªadu Poissona oraz rozkªadu mieszanego Poissona. Poni»ej zostan przedstawione najcz ±ciej stosowane rozkªady mieszane stosowane w obsªudze danych ilo±ciowych dotycz cych roszcze«ubezpiecze«komunikacyjnych. tekst Ujemny dwumianowy rozkªad Poissona Rozkªad Poisson-Gamma) Jak wcze±niej zostaªo pokazane, rozkªad ujemny dwumianowy jest u»ywany w przypadku nad rozproszenia ang. overdispersion), tj. gdy wariancja znacz co przewy»sza ±rednia. Stosowanie tego rozkªadu jest poparte nast puj cymi zaªo»eniami: liczba wypadków dokonywana przez indywidualnych ubezpieczonych ma rozkªad Poissona, gdzie skªonno± do wypadków jest zmienna dla ka»dej jednostki badanej populacji ubezpieczonych kierowców rozumiana jako ±rednia rozkªadu Poissona). Zakªadane jest zrandomizowanie tej ±redniej za pomoc rozkªadu Gamma, w wyniku czego ogólny rozkªad wypadków na ubezpieczonego przyjmuje ujemny dwumianowy rozkªad. St d przyjmuj c,»e tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, d > 0 Θ Gama, a), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,..., a > 0, rozwa»amy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa 15

17 P N k Epk dλθ) 0 exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! 0 exp dλθ) dλθ)k k! a a θ a 1 Γa) exp aθ)dθ aa dλ) k θ a+k) 1 exp dλ + a)θ)dθ {stosuj c caªkowanie przez cz ±ci} k!γa) 0 { } v θ a+k) 1 du exp dλ + a)θ)dθ) dv a + k) 1)θ a+k) 2 dθ u exp dλ+a)θ) dλ+a) aa dλ) k ) a + k) 1) θ a+k) 2 exp dλ + a)θ)dθ k!γa) dλ + a aa dλ) k k!γa) aa dλ) k k!γa) 0 a + k) 1)...a + k) a + k) 1)) ) dλ + a) a+k) 1 Γa + k) dλ + a) a+k) a + k 1 k ) dλ dλ + a ) k 0 exp dλ + a)θ)dθ a ) a. dλ + a ) dλ Zauwa»my,»e dla zmiennej losowej N NBina, ) mamy nast puj ce wªasno±ci dλ+a Uwaga tekst Posta parametrów oraz wªasno±ci rozkªadu ujemnego dwumianowego rozpatrujemy w odniesieniu do wprowadzonych denicji w 1) na stronie 9, gdzie odpowiednio sukces r : a rozpatrujemy z prawdopodobie«stwem 1 q : rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ)2. a ) a a. Funkcja tworz ca ϕ N z) z 1) a dλ tekst Rozkªad Poisson-Wald a. dλ+a Rozkªad Walda lub te» rozkªad odwrotny Gaussowski Inverse Gaussian) stosowany jest do nieujemnych prawo-sko±nych danych. Dla zmiennej losowej Z JGauµ, β) mamy Funkcja g sto±ci: Warto± oczekiwana Wariancja f Z x) µ exp 1 ) 2Πβx 3 2βx x µ)2, x > 0. EZ) µ. V arz) µβ. 16

18 Funkcja generuj ca momenty µ M Z t) exp β 1 ) 2βt). Zakªadaj c zrandomizowanie ±redniej rozkªadu Poissona za pomoc rozkªadu Walda oraz przyjmuj c,»e tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, Θ JGau1, τ), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,... rozpatrujemy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa P N k Epk dλθ) tekst 0 Wªasno±ci exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ) 2 τ. Funkcja tworz ca ϕ N z) exp tekst Rozkªad Poisson-Lognormalny 1 τ 0 exp dλθ) dλθ)k k! 1 1 2τλz 1)) ). 1 exp 1 ) 2Πτθ 3 2τθ θ 1)2 dθ. Zakªadaj c zrandomizowanie ±redniej rozkªadu Poissona za pomoc rozkªadu lognormalnego oraz dla warunków tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, dλθ Θ LNor σ2, 2 σ2 ), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,... rozpatrujemy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa P N k Epk dλθ) 0 exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! 0 exp dλθ) dλ 1 σ2 lnθ + ) k! θk 1 2 exp )2 dθ. 2Π 2σ 2 17

19 Wªasno±ci rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ) 2 expσ 2 ) 1). tekst Rozkªad dla grup W przypadku grupowania danych w procesie wst pnej analiz zbioru danych ubezpieczeniowych wyró»niany jest nast puj cy typ niejednorodno±ci. Niech liczba grup ma rozkªad Poissona, tj. K P oiµ). Liczba ubezpieczonych w danej grupie ma rozkªad logarytmiczny z parametrem θ, tj. M i Logθ), dla i 1, 2,..., K. Niech tak»e M 1, M 2,... s niezale»nymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie logarytmicznym z parametrem θ. Za ogólny rozkªad tego zagadnienia przyjmowany jest rozkªad ujemny dwumianowy. Dla N M M K, N ma zªo»ony rozkªad Poissona. Okre±lmy funkcj tworz c ϕ N z) Ez M M K P K kez M M k P K kez M 1...z M k k0 P K kez M 1...Ez M k k0 Przykªad zastosowania k0 P K kϕ M z)) k ϕ K ϕ M z)) k0 1 θ ) µ ln1 θ). 1 θz W wypadku maj cym miejsce w okre±lonym momencie mogªo bra udziaª kilka ubezpieczonych pojazdów. Ka»dy z kierowców ma mo»liwo± zgªoszenia roszczenia z tego wypadku do ubezpieczalni, tym samym jeden wypadek powoduje wpªyniecie kilku roszcze«. Je»eli liczba wypadków w okre±lonym przedziale czasu ma rozkªad Poissona, a liczba roszcze«na dany wypadek komunikacyjny ma rozkªad logarytmiczny, to liczba wszystkich roszcze«w okre±lonym przedziale czasu przejawia si za pomoc ujemnego dwumianowego rozkªadu. tekst 3.3 Procesy stochastyczne w odniesieniu do prezentowanych zagadnie«denicja Proces stochastyczny jest zbiorem zmiennych losowych {Nt), t T } indeksowanych za pomoc rzeczywistego parametru t przyjmuj cego warto±ci w zbiorze indeksów T R +. Proces stochastyczny {Nt), t T } nazywamy procesem licz cym, je»eli t Nt) jest prawostronnie ci gªe oraz Nt) Nt ) przyjmuje warto± 0 lub 1. Dodatkowo proces ten charakteryzuj poni»sze wªasno±ci i) Nt) 0, ii) Nt) przyjmuje warto±ci caªkowite, iii) je»eli s < t, to Ns) Nt), iv) dla s < t, Nt) Ns) jest równa liczbie zdarze«, które miaªy miejsce w przedziale s, t. Przyjmujemy równie»,»e N0) 0. 18

20 Denicja Proces licz cy {Nt), t T } nazywamy jednorodnym procesem Poissona z intensywno±ci λ je»eli i) proces posiada przyrosty stacjonarne, ii) proces posiada niezale»ne przyrosty, iii) zachodzi gdzie oh) jest funkcj od h oraz 1 λh + oh) je»eli k 0, P Nh) k λh + oh) je»eli k 1, oh) je»eli k 2, oh) lim h 0 h 0. Odnosz c powy»sze warunki do przedmiotu ubezpiecze«komunikacyjnych uzyskujemy nast puj ce interpretacje ad.i) - Zakªada, si i» prawdopodobie«stwo spowodowania wypadku jest takie same ka»dego dnia i w ka»dym okresie badania, zatem negacji podlegaj warunki meteorologiczne, warunki bezpiecze«stwa oraz podobne czynniki zmienne w czasie. ad.ii) - Wyst pienie wypadku w pewnym punkcie czasu jest niezale»ne od wszystkich pozosta- ªych maj cych miejsce wcze±niej. Inaczej interpretuj c, zgªoszenie wypadku nie wpªywa na zmian prawdopodobie«stwa spowodowania kolejnych wypadków w przyszªym czasie, tj. wypadki drogowe wyst puj losowo w czasie. ad.iii) - Prawdopodobie«stwo, i» ubezpieczony zgªosi dwa lub wi cej roszcze«w stosunkowo maªym przedziale czasowym jest nieistotne w porównaniu z prawdopodobie«stwem zgªoszenia zeru b d¹ jednego roszczenia. Wªasno± Dla procesu Poissona liczba zdarze«maj cych miejsce w przedziale czasowym o dªugo±ci t ma rozkªad Poissona ze ±redni λt, tzn. dla ka»dego s, t 0 P Nt + s) Nt) n exp λt) λt)n, n 0, 1, 2,... n! Proces Poissona ma zastosowanie równie» w analizach ubezpieczonych, których okresy obj to±ci polis s równe dªugo±ci d. Wówczas przy zaªo»eniu,»e napªyw roszcze«wyst puje wedªug powy»szego procesu z intensywno±ci dλ, gdzie P N k) exp λd) λd)k, k 0, 1,... k! gdzie N - liczba zgªoszonych roszcze«oraz N P oiλd). Wprowadzona warto± d w powy»szym wzorze jest interpretowana jako podatno± na ryzyko. Dodatkowym narz dziem analizy roszcze«ubezpieczeniowych jest niejednorodny proces Poissona, który jest uogólnieniem procesu jednorodnego za pomoc wprowadzenia zmiennej w czasie intensywno±ci. Efekt ten jest uzyskiwany za pomoc zamiany staªej intensywno±ci λ funkcj zale»n od czasu t λt). Niejednorodny proces Poissona z intensywno±ci λ ) speªnia warunki ii) oraz iii) wcze±niej deniowanego procesu, przy czym nie speªnia wªasno±ci 19

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia - O±rodek Ksztaªcenia Zabrania si kopiowania i rozpowszechniania niniejszego regulaminu przez inne podmioty oraz wykorzystywania go w dziaªalno±ci innych podmiotów. Autor regulaminu zastrzega do niego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska Temat wiczenia: Wyznaczanie stosunku przekrojów czynnych na aktywacj neutronami termicznymi

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej

Bardziej szczegółowo

Część 1 Postanowienia wspólne. Część 2 Załącznik nr 2 do OWU Komunikacyjnych GoAuto - Ubezpieczenie pojazdów od uszkodzeń i kradzieży AUTOCASCO

Część 1 Postanowienia wspólne. Część 2 Załącznik nr 2 do OWU Komunikacyjnych GoAuto - Ubezpieczenie pojazdów od uszkodzeń i kradzieży AUTOCASCO Gothaer Towarzystwo Ubezpieczeń S.A. ul. Wołoska 22A, 02-675 Warszawa tel. 22 469 69 69 www.gothaer.pl Aneks nr 1/2015 do Ogólnych Warunków Ubezpieczeń Komunikacyjnych GoAuto zatwierdzonych Uchwałą Zarządu

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 244, 2010. Anna Szyma ska *

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 244, 2010. Anna Szyma ska * A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 44, 010 * WPŁYW PARAMETRÓW ROZKŁADU WIELKO CI SZKÓD NA WYSOKOS SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNKACYJNYCH OC 1. TEORETYCZNE ZASADY

Bardziej szczegółowo

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach.

Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. 1 PROJEKTY KOSZTOWE 2 PROJEKTY PRZYCHODOWE 3 PODZIAŁ PROJEKTÓW ZE WZGLĘDU

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

- WZÓR- UMOWA Nr... Gminą i Miastem Czerwionka-Leszczyny, będącą płatnikiem podatku VAT, nr NIP: 642-000-97-26, reprezentowaną przez:......

- WZÓR- UMOWA Nr... Gminą i Miastem Czerwionka-Leszczyny, będącą płatnikiem podatku VAT, nr NIP: 642-000-97-26, reprezentowaną przez:...... - WZÓR- UMOWA Nr... zawarta w dniu... 2012 roku pomiędzy: Gminą i Miastem Czerwionka-Leszczyny, będącą płatnikiem podatku VAT, nr NIP: 642-000-97-26, reprezentowaną przez:... zwaną w dalszej części umowy

Bardziej szczegółowo

URZĄD OCHRONY KONKURENCJI I KONSUMENTÓW

URZĄD OCHRONY KONKURENCJI I KONSUMENTÓW URZĄD OCHRONY KONKURENCJI I KONSUMENTÓW Wyniki monitorowania pomocy publicznej udzielonej spółkom motoryzacyjnym prowadzącym działalność gospodarczą na terenie specjalnych stref ekonomicznych (stan na

Bardziej szczegółowo

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska * A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI

Bardziej szczegółowo

Szkodowość klienta - jak się ją liczy i dlaczego tak często się zmienia? Kongres Brokerów 2011

Szkodowość klienta - jak się ją liczy i dlaczego tak często się zmienia? Kongres Brokerów 2011 Szkodowość klienta - jak się ją liczy i dlaczego tak często się zmienia? Kongres Brokerów 2011 I. Techniczny rachunek wyników (analiza głównych składowych) 2 Wynik finansowy Ubezpieczyciela Składki Odszkodowania

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI Kierunek: Specjalno± : Automatyka i Robotyka (AIR) Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Podatny manipulator planarny - budowa i sterowanie Vulnerable planar

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

GENERALNY INSPEKTOR OCHRONY DANYCH OSOBOWYCH

GENERALNY INSPEKTOR OCHRONY DANYCH OSOBOWYCH GENERALNY INSPEKTOR OCHRONY DANYCH OSOBOWYCH dr Wojciech R. Wiewiórowski DOLiS - 035 1997/13/KR Warszawa, dnia 8 sierpnia 2013 r. Pan Sławomir Nowak Minister Transportu, Budownictwa i Gospodarki Morskiej

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZENIE Nr 121/2015 Rektora Uniwersytetu Wrocławskiego z dnia 2 grudnia 2015 r.

ZARZĄDZENIE Nr 121/2015 Rektora Uniwersytetu Wrocławskiego z dnia 2 grudnia 2015 r. ZARZĄDZENIE Nr 121/2015 Rektora Uniwersytetu Wrocławskiego z dnia 2 grudnia 2015 r. w sprawie wprowadzenia Zasad używania samochodu osobowego niebędącego własnością pracodawcy w celach służbowych do jazd

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych?

Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych? Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych? 1 Podstawowe pojęcia: 2 3 4 5 Dana (ang.data) najmniejsza, elementarna jednostka informacji o obiekcie będąca przedmiotem przetwarzania

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO Łódź, dnia 20 kwietnia 2016 r. Poz. 1809 UCHWAŁA NR XVIII/114/2016 RADY GMINY JEŻÓW z dnia 30 marca 2016 r. w sprawie zasad wynajmowania lokali wchodzących w skład

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Rozdziaª I. Postanowienia wst pne

Rozdziaª I. Postanowienia wst pne REGULAMIN RADY RODZICÓW PA STWOWEJ SZKOŠY MUZYCZNEJ I ST. NR 4 IM. KAROLA KURPI«SKIEGO Rozdziaª I. Postanowienia wst pne Ÿ1 Podstaw prawn niniejszego Regulaminu Rady Rodziców, zwanego dalej Regulaminem

Bardziej szczegółowo

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą U M O W A zawarta w dniu pomiędzy: Miejskim Centrum Medycznym Śródmieście sp. z o.o. z siedzibą w Łodzi przy ul. Próchnika 11 reprezentowaną przez: zwanym dalej Zamawiający a zwanym w dalszej części umowy

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

ZAŠ CZNIK DANYCH TECHNICZNYCH

ZAŠ CZNIK DANYCH TECHNICZNYCH Transmitel Sp. z o.o. ul. Solarza 9a 35-118 Rzeszów tel. (17) 850-45-14 fax. (17) 850-45-15 ZAŠ CZNIK DANYCH TECHNICZNYCH dla Umowy ±wiadczenia usªugi dost pu do sieci Internet w Imi : Nazwisko: Zamieszkaªy(a):

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::

Bardziej szczegółowo

BPSP-322-2/13 Warszawa, dnia 20 marca 2013 r.

BPSP-322-2/13 Warszawa, dnia 20 marca 2013 r. BPSP-322-2/13 Warszawa, dnia 20 marca 2013 r. Do wszystkich Wykonawców: Numer sprawy: BPSP-322-2/13 Dotyczy: prowadzonego, w trybie przetargu nieograniczonego, postępowania o udzielenie zamówienia publicznego

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN KONTROLI ZARZĄDCZEJ W MIEJSKO-GMINNYM OŚRODKU POMOCY SPOŁECZNEJ W TOLKMICKU. Postanowienia ogólne

REGULAMIN KONTROLI ZARZĄDCZEJ W MIEJSKO-GMINNYM OŚRODKU POMOCY SPOŁECZNEJ W TOLKMICKU. Postanowienia ogólne Załącznik Nr 1 do Zarządzenie Nr4/2011 Kierownika Miejsko-Gminnego Ośrodka Pomocy Społecznej w Tolkmicku z dnia 20 maja 2011r. REGULAMIN KONTROLI ZARZĄDCZEJ W MIEJSKO-GMINNYM OŚRODKU POMOCY SPOŁECZNEJ

Bardziej szczegółowo

Koªo Naukowe Robotyków KoNaR. Plan prezentacji. Wst p Rezystory Potencjomerty Kondensatory Podsumowanie

Koªo Naukowe Robotyków KoNaR. Plan prezentacji. Wst p Rezystory Potencjomerty Kondensatory Podsumowanie Plan prezentacji Wst p Rezystory Potencjomerty Kondensatory Podsumowanie Wst p Motto W teorii nie ma ró»nicy mi dzy praktyk a teori. W praktyce jest. Rezystory Najwa»niejsze parametry rezystorów Rezystancja

Bardziej szczegółowo

Strona Wersja zatwierdzona przez BŚ Wersja nowa 26 Dodano następujący pkt.: Usunięto zapis pokazany w sąsiedniej kolumnie

Strona Wersja zatwierdzona przez BŚ Wersja nowa 26 Dodano następujący pkt.: Usunięto zapis pokazany w sąsiedniej kolumnie Zmiany w Podręczniku Realizacji PIS (wersja z dnia 25 sierpnia 2008) (W odniesieniu do wersji z 11 lipca 2008 zatwierdzonej warunkowo przez Bank Światowy w dniu 21 lipca 2008) Strona Wersja zatwierdzona

Bardziej szczegółowo

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska Zarządzanie projektami wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska 1 DEFINICJA PROJEKTU Zbiór działań podejmowanych dla zrealizowania określonego celu i uzyskania konkretnego, wymiernego rezultatu produkt projektu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 Przepisy ogólne

Rozdział 1 Przepisy ogólne ROZPORZDZENIE MINISTRA FINANSÓW z dnia 17 listopada 1998 r. w sprawie ogólnych warunków obowizkowego ubezpieczenia odpowiedzialnoci cywilnej podmiotu przyjmujcego zamówienie na wiadczenia zdrowotne za

Bardziej szczegółowo

Ogólnopolska konferencja Świadectwa charakterystyki energetycznej dla budynków komunalnych. Oświetlenie publiczne. Kraków, 27 września 2010 r.

Ogólnopolska konferencja Świadectwa charakterystyki energetycznej dla budynków komunalnych. Oświetlenie publiczne. Kraków, 27 września 2010 r. w sprawie charakterystyki energetycznej budynków oraz postanowienia przekształconej dyrektywy w sprawie charakterystyki energetycznej budynków Ogólnopolska konferencja Świadectwa charakterystyki energetycznej

Bardziej szczegółowo