Klasykacja ryzyka. Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Transkrypt

1 Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek Matematyka Specjalno± Matematyka Finansowa Studia II stopnia - magisterskie Katarzyna Niemczyk Klasykacja ryzyka Zakres pracy: Przedstawienie problematyki klasykacji a priori ryzyka w ubezpieczeniach odpowiedzialno±ci cywilnej w oparciu o model regresji Poissona oraz jego mieszanych rozszerze«zastosowanych do niejednorodnego portfela polis ubezpieczeniowych. Analiza metod wyznaczania skªadki netto w oparciu o teori wiarogodno±ci oraz histori liczby roszcze«zgªaszanych przez ubezpieczonych kierowców. Gda«sk 2013

2 Spis tre±ci 1 Wst p 2 2 Rozkªady u»ywane w ubezpieczeniach 4 3 Rozkªad Poissona, mieszane modele Poissona w odniesieniu do liczby roszcze« Rozkªad Poissona Mieszane modele Poissona Modele mieszane Mieszane modele Poissona Procesy stochastyczne w odniesieniu do prezentowanych zagadnie« Modele regresji a klasykacja ryzyka w rmach ubezpieczeniowych Zagadnienie motor ratemaking w ubezpieczeniach komunikacyjnych Uogólnione modele liniowe Modele regresji Analiza regresji Poissona Problematyka modeli regresji w odniesieniu do czynników niemierzalnych - mieszane modele regresji Przykªad numeryczny Dane Analiza jednokierunkowa Interakcje Modele regresji Porównanie modeli Interpretacja wpªywu poszczególnych zmiennych obja±niaj cych w odniesieniu do klasykacji ryzyka Klasy ryzyka Modele dla danych z wieloma zerami Rozkªady modykowane dla warto±ci zerowych ang. Zero-Inated Models) Modele z zapor w zerze ang. Hurdle models) Model wiarogodno±ci Estymator Bayesowski wzgl dem kwadratowej funkcji straty Zastosowanie - model wiarogodno±ci Poisson-Gamma Predyktor liniowy Wnioski Interpretacja predyktora liniowego oraz korekty a posteriori Wnioski 80 Zaª cznik 1 81 Zaª cznik 2 88 Spis tabel i wykresów 90 Bibliograa 91 1

3 1 Wst p Poddaj c analizie zdarzenia maj ce miejsce w»yciu codziennym obserwowana jest trudna do przewidzenia zmienno± tych zdarze«oraz ich rezultatów. Analiza ta dotyczy gªównie zdarze«, które s konsekwencj dziaªalno±ci czªowieka, ale tak»e zjawisk naturalnych. Potencjalna zmienno± uzyskiwanych rezultatów jest zwi zana z poj ciem ryzyka. Powy»sza interpretacja stanowi punkt odniesienia w rozwa»aniach dotycz cych wyznaczaniu poziomu ryzyka w ubezpieczeniach. Z wprowadzonym poj ciem ryzyka mamy do czynienia wsz dzie, gdzie skutki dziaªa«nie mog zosta precyzyjnie przewidziane. Je±li chodzi o zdolno± przewidywania skutków dziaªa«, wyró»niane s tutaj poj cia pewno±ci, inaczej okre±laj c braku w tpliwo±ci oraz niepewno±ci. Niepewno± zale»y od poziomu wiedzy na temat analizowanego podmiotu, dokªadnego poznania otoczenia, obowi zuj cych zasad, zwi zków przyczynowo-skutkowych oraz warunków reguluj - cych dane zdarzenia. Odnosz c si z poj ciem niepewno±ci do towarzystw ubezpieczeniowych nale»y mie na uwadze,»e jednym z ich zada«jest zapewnienie wypªacalno±ci. Przepisy prawne okre±laj margines wypªacalno±ci jako wielko± ±rodków wªasnych danej rmy, która musi przekracza minimaln wysoko± kapitaªu gwarancyjnego. Regulacj tej wielko±ci maja zapewnia system Solvency I oraz Solvency II. Wspomniany system Solvency II jest rozszerzeniem Solvency I, który jest wprowadzany ze wzgl du na dynamiczne zmiany gospodarcze jak i nansowe na obszarze Unii Europejskiej. U podstaw tego systemu badania wypªacalno±ci wymienia si, analizowane w tej pracy, metody bazuj cej na skªadkach, które jednak nie wª czaj wszystkich istotnych ryzyk, co jedna z niedoskonaªo±ci tych metod. Poprawna identykacja, ocena, a tak»e monitorowanie ryzyk ma na celu ochron rmy ubezpieczeniowej przed poniesieniem strat. W tym celu, jako przedmioty analizy ubezpieczeniowej, wymienia si liczby zgªoszonych roszcze«w okresie obowi zywania polis, ich cz stotliwo±, ale tak»e dotkliwo±, rozró»niana z powodu wyst powania zarówno roszcze«o maªych wielko±ciach,jak równie» okre±lane mianem ekstremalnych, wynikaj cych z katastrof naturalnych, karamboli, itp. Specyka podmiotu rozwa»a«teorii ryzyka ubezpieczeniowego pozwoliªa wyodr bni charakterystyczne czynniki, tak zwane faktory ryzyka, a tak»e powi zania mi dzy nimi a osobami ubezpieczonymi. Powi zania te sprawiªy,»e analiza jednokierunkowa jest ju» niewystarczaj ca. Co wi cej, podmiot ubezpieczenia przez swoje aktywne dziaªania poª czone z okre±lonymi czynnikami, powoduje zmienno± - wzrost lub spadek prawdopodobie«stwa realizacji danego ryzyka, przypisanego do grupy, klasy, w obr bie której dany podmiot jest rozpatrywany. Pozwala to na stworzenie modeli bazuj cych na zmiennych losowych, które s identykowane ze skutkami realizacji ryzyka, tj. nansowymi lub materialnymi. Przykªadem systemu wykorzystywanego w ubezpieczeniach, który jest oparty na powy»szych czynnikach oraz zale»no±ciach jest system bonus-malus. System bonus-malus jest oparty o tarykacj a posteriori, która w zgodny z przyj tymi zasadami przez rm ubezpieczeniow, przydziela wysoko± skªadki w zale»no±ci od liczby roszcze«zgªoszonych we wcze±niejszych okresach obowi zywania polisy, na okres jednego roku. W zale»no±ci od liczby zgªoszonych roszcze«w rozpatrywanym okresie i klasy taryfowej, do której jest przydzielony, ubezpieczony kierowca jest przenoszony w kolejnym okresie jest przenoszony do wy»szej b d¹ ni»szej klasy. Klasy taryfowe inaczej poziomy kwalikacji) rozró»nia wysoko± procentowa ang. relativity) w odniesieniu do skªadki bazowej. Klasa o warto±ci przekraczaj - cej 100% charakteryzuje kierowców o podwy»szonej skªadce, czyli obarczonych kar malus) za zgªoszenie szkód, natomiast klasa o warto±ci poni»ej 100%, to klasa zni»kowa, w której kierowca otrzymuje rabat za bezszkodow jazd. System ten rozwa»a jedynie liczby zgªaszanych roszcze«, a nie ich zasi g nansowy. Punktem odniesienia analizowanych zagadnie«teoretycznych s ubezpieczenia komunika- 2

4 cyjne, wchodz ce w skªad ubezpiecze«maj tkowych ang. non-life insurance). Wymieniane s tutaj takie ubezpieczenia, jak: samochodowe ubezpieczenie odpowiedzialno±ci cywilnej OC ang. third party insurance), ubezpieczenie od uszkodze«zycznych AC, a tak»e wyst puje ubezpieczenie nast pstw nieszcz ±liwych wypadków - NW, zaliczane do ubezpieczeyciowych. Zajm si ubezpieczeniami OC, które w Polsce s obowi zkowe i s regulowane rozporz dzeniem z roku wraz z naniesionymi poprawkami. Jest to ubezpieczenie od strat powstaªych w wyniki szkód wyrz dzonym innym uczestnikom ruchu drogowego i b d cych wynikiem dzia- ªa«ubezpieczonego kierowcy. W przypadku polisy OC, ubezpieczyciel zobowi zuje si pokry szkody powstaªe w wyniku zdarzenia drogowego, który spowodowaª wªa±ciciel polisy, nie przekraczaj ce wysoko±ci sumy gwarancyjnej. Poni»sza praca ma na celu przedstawienie zagadnie«zwi zanych z ubezpieczeniami w oparciu o dane, przedstawiaj ce liczby zgªaszanych roszcze«w danej polisie, miedzy innymi sposoby kwalikacji ubezpieczonych do danej grupy ryzyka, a tak»e metodyk wyznaczania wysoko±ci skªadki na podstawie analizowanego typu danych. Rozpatrywane zagadnienia s wykorzystywane w analizie podªo»y funkcjonowania komercyjnych systemów wyznaczaj cych wysoko±ci skªadek. W drugim rozdziale zostaªy wyró»nione rozkªady dla wspomnianych zmiennych losowych wyst puj cych w modelach ubezpieczeniowych. Rozdziaª trzeci wprowadza rozkªad Poissona, jego mieszane rozszerzenia, a tak»e przedstawione jest zagadnienie procesów stochastycznych w odniesieniu do ubezpiecze«komunikacyjnych. Czwarty rozdziaª dotyczy analizy danych dotycz cych liczby roszcze«zgªaszanych przez ubezpieczonych kierowców z uwzgl dnieniem takich zagadnie«jak: klasykacja a priori ryzyka, tworzenie klas w portfelu, modele regresji z naciskiem na przedstawienie narz dzi uogólnionych modeli liniowych, regresja Poissona, mieszanej regresji Poissona, czy te» modeli zmodykowanych z zerze. Przedstawiony przykªad numeryczny przedstawia kolejne kroki w procesie klasykacji ryzyka. Rozdziaª pi ty rozszerza przedstawion analiz ubezpieczeniow danych dotycz cych liczby roszcze«zgªaszanych przez poszczególnych kierowców. Przeanalizowana zostanie metodyka wyznaczania skªadki netto skªadki Bayesowskiej) w oparciu o teori wiarogodno±ci oraz histori liczby roszcze«zgªaszanych przez kierowców. Równie» zostanie wprowadzony predyktor liniowy. Przedstawi tu zagadnienie analizy a posteriori. 3

5 2 Rozkªady u»ywane w ubezpieczeniach W modelach matematycznych sªu» cych procesom klasykacji ryzyka uwzgl dniane s dwa rodzaje zmiennych losowych - zmienne losowe ci gªe, obrazuj ce zmienno± wysoko±ci roszcze«czy te» odszkodowa«, - zmienne losowe skokowe, obrazuj ce zmienno± liczby roszcze«czy te» odszkodowa«. Rozkªady zmiennych losowych wykorzystywane w modelach aktuarialnych stanowi narz dzie sªu» ce do oceny i prognozy elementów ubezpiecze«, które zwi zana s z realizacj danego ryzyka. Nale»y podkre±li, i» rozkªady którymi operuje si w analizach, równie» ubezpieczeniowych, opieraj si na danych statystycznych i przez to przybli»aj aktuariuszy do oceny wyszczególnionego ryzyka, jednak nie umo»liwiaj postawienia swoistej oceny tego ryzyka. Za po±rednictwem zmiennych losowych wyª cznie mo»na oszacowa w dokªadny sposób) prawdopodobie«stwo realizacji konkretnego ryzyka przy uwzgl dnieniu danych warunków pobocznych. Pierwsza grupa rozkªadów dla zmiennych losowych ci gªych jest narz dziem u»ywanym w analizie materialnych skutków realizacji ryzyka ubezpieczeniowego, czyli wysoko±ci wypªacanych odszkodowa«czy te» wysoko±ci napªywaj cych do ubezpieczyciela roszcze«. Wyró»niamy tu dwie podgrupy ze wzgl du na cechy charakterystyczne istotne dla tematyki ubezpieczeniowej, pod która charakteryzujemy prawdopodobie«stwo wysokich strat. Rozwa»aj c specyk funkcji g sto±ci uzyskujemy podziaª - rozkªady ci»koogonowe, w których prawdopodobie«stwo wysokich strat nie jest do pomini cia; - rozkªady lekkoogonowe, w których prawdopodobie«stwo wysokich strat jest mo»liwe do pomini cia, ze wzgl du na jego nisk warto±. U»yte w powy»szym podziale zmienne losowe przyjmuj warto±ci dodatnie. Dodatkow cech uwzgl dnian w procesie wyznaczania rozkªadu zmiennej losowej Z, pod która rozumiemy wysoko± roszcze«lub wysoko± odszkodowa«jest fakt,»e wspomniane wypªaty s w wi kszo- ±ci niewielkie, ale charakteryzuje je du»a liczba, ale tak»e maj miejsce wielkie roszczenia, np. wynikaj ce z karambolu i nale»y je równie» uwzgl dni w analizie. Niech Ω, P, F) b dzie przestrzeni probabilistyczna. Dystrybuant nieujemnej zmiennej losowej Z w punkcie x R oznaczmy przez F Z x). Rozkªady ci»koogonowe Denicja Rozkªad o dystrybuancie F Z x) jest rozkªadem ci»koogonowym, je»eli dla ka»dego a > 0, b > 0 zachodzi F Z x) 1 F Z x) > ae bx. δ x>δ Wi kszo± rozwa»anych realizacji ryzyka ubezpieczeniowego charakteryzuje si omawianymi rozkªadami, przy czym ró»ni si one sko±no±ci oraz asymetri. Do najcz ±ciej wykorzystywanych w teorii ubezpieczeniowej nale» nast puj ce rozkªady: Rozkªad logarytmiczno-normalny z parametrami µ R oraz σ > 0. Funkcja g sto±ci: f Z x) 1 σ 2Πx exp lnx ) µ)2, x > 0. 2σ 2 4

6 Funkcja F Z x): F Z x) erf lnx µ σ 2, Warto± oczekiwana: gdzie erfx) 2 x e t2 dt, Π EZ) exp µ + 1 ) 2 σ2, 0 Wariancja: V arz) expσ 2 ) 1)exp2µ + σ 2 ), Cechy charakterystyczne: Charakteryzuje si asymetri lewostronna, tj. im warto± parametru µ jest bli»sza zeru, tym asymetria lewostronna jest silniejsza. Zastosowanie: Bardzo dobrze opisuje wysoko± roszcze«. Cz sto wykorzystywany w ubezpieczeniach komunikacyjnych, poniewa» w wielu przypadkach najlepiej oddaje empirycznych rozkªad szkód w analizie wysoko±ci szkód ubezpiecze«komunikacyjnych. Rozkªad Pareto z parametrami α > 0 oraz λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) αλ α λ + x) α+1), x > 0, F λ ) α, Z x) x > 0, λ + x EZ) V arz) λ α 1, α > 1, αλ 2 α 1) 2 α 2), α > 2, Cechy charakterystyczne: Stosowany do przypadków o najci»szych ogonach. Z powy»szych wzorów na warto± oczekiwan oraz wariancj dopuszczana jest mo»liwo± nie istnienia tych warto±ci. Zastosowanie: Jeden z najpopularniejszych rozkªadów stosowanych w procedurach klasykacji ryzyka katastrocznego, charakteryzuj cego si rzadkimi realizacjami, ale nios cymi straty ogromnej warto±ci, a tym samym du»e odszkodowania. Zauwa»alna jest cecha funkcji g sto±ci dla zmiennej losowej o rozkªadzie Pareto, i» wolno d»y do zera. Tym samym uniemo»liwia zaniedbywanie prawdopodobie«stwa realizacji ryzyka poci gaj cego du»e warto±ci materialne. Nale»y podkre±li,»e ze wzgl du na ró»ny zakres oddziaªywania zjawisk katastro- cznych wprowadzono modykacje modeli matematycznych, którymi posªuguj si ubezpieczyciele, tzn. w przypadkach umów ubezpieczeniowych z okre±lon granica odpowiedzialno±ci ubezpieczyciela lub te» w przypadku reasekuracji stosowany jest uci ty rozkªad Pareto. 5

7 Rozkªad Burra z parametrami α > 0, λ > 0 oraz c > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: f Z x) cαλα x c 1, x > 0, λ + x c ) α+1 F λ ) α, Z x) x > 0, λ + x c EZ) λ 1 c Γα 1)Γ1 + 1) c c, ac > 1, Γα) gdzie funkcj gamma deniujemy: Wariancja: Γx) V arz) λ 2 c Γα 2 c )Γ1 + 2 c ) Γc) 0 t x 1 exp t)dt, x > 0, 1 λ c Γα 1 c )Γ1 + 1) ) 2 c, ac > 2, Γc) Cechy charakterystyczne: Dla c 1 pokrywa si z rozkªadem Pareto, a dla α 1 z rozkªadem logarytmicznonormalnym. Zastosowanie: Pozwala na zaostrzanie kryteriów klasykacji za pomoc ogranicze«nakªadanych na parametry rozkªadu. Rozkªad Weibulla z parametrami 0 < c < 1 oraz λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) cλx c 1 exp λx c ), x > 0, F Z x) exp λx c ), x > 0, EZ) λ 1 c Γ ), 0 < c < 1, c 1 c V arz) λ)2 Γ ) Γ )) 2, 0 < c < 1, c c Cechy charakterystyczne: Dla c 1 otrzymujemy rozkªad wykªadniczy, z grupy rozkªadów lekkoogonowych. Warto± owego parametru c wpªywa na charakter rozkªadu, poprzez wkl sªo±, wypukªo± czy asymetrie. Dla c 0, 1) rozkªad przejawia wi ksz asymetri, a przy mniejszej warto±ci λ posiada wydªu»ony gruby ogon. Natomiast dla c 1 staje si rozkªadem lekkoogonowym. Zastosowanie: Daje du»e mo»liwo±ci wykorzystania ze wzgl du na warto±ci parametrów c oraz λ wpªywaj ce na ksztaªt funkcji g sto±ci. 6

8 Rozkªady lekkoogonowe Denicja Rozkªad o dystrybuancie F Z x) jest rozkªadem lekkoogonowym, je»eli istnieje a > 0, b > 0,»e zachodzi F Z x) 1 F Z x) ae bx. δ x>δ Rozkªady lekkoogonowe, dla których wykresy funkcji g sto±ci dla wysokich warto±ci realizacji zmiennej losowej Z zmierzaj do zera, charakteryzuj przypadki rzadko wyst puj cych wysokich szkód. Rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): Warto± oczekiwana: Wariancja: f Z x) λexp λx), x 0, F Z x) exp λx), x 0, EZ) 1 λ, V arz) 1 λ 2, Funkcja generuj ca momenty: M Z t) λ λ t, t < λ, Zastosowanie: Zjawiska z pogranicza ekonomii i techniki, tj. dziedzina teorii niezawodno±ci. Rozkªad gamma z parametrami α > 0 oraz β > 0. Funkcja g sto±ci: Funkcja F Z x): F Z x) x 0 f Z x) βα x α 1 exp βx), x > 0, Γα) f Z s)ds 1 Γα) x 0 y α 1 exp y)dy, a > 0, x > 0, Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: M Z t) EZ) α β, V arz) α β 2, β ) α, t < β, β t 7

9 Cechy charakterystyczne: Krzywe realizuj ce wykres funkcji g sto±ci dla ró»nych parametrów α zachowuj podobne ksztaªty do innych rozkªadów, tj. dla α < 1 uzyskuje podobne cechy wykresu g sto±ci jak w przypadku rozkªadu Weidbulla lekkoogonowego, dla α 1 do wykresu funkcji g sto±ci rozkªadu wykªadniczego, a natomiast dla α > 1 do wykresu funkcji g sto±ci rozkªadu logarytmiczno-normalnego. Zastosowanie: Szerokie zastosowania przy analizie wysoko±ci roszcze«czy te» szkód, ze wzgl du na wiele cech upodobniaj cych do innych rozkªadów. Rozkªad Weibulla z parametrami c 1 oraz λ > 0. Rozkªady skokowe Niech zmienna losowa N oznacza liczb roszcze«lub te» odszkodowa«. Posiada ona jeden z najcz ±ciej stosowanych rozkªadów dyskretnych skokowych) scharakteryzowanych poni»ej. Rozkªad dwumianowy binomialny) z parametrami n oraz q. Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): ) n P N k) q k 1 q) n k, n N, k 0, 1,..., n. k Dystrybuanta: Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: F N x) 0 k x ) n q k 1 q) n k, k EN) nq, V arn) nq1 q), M N t) qexpt) + 1 q)) n, t R. Cechy charakterystyczne: Je»eli N jest wystarczaj co du»e oraz sko±no± nie jest za du»a, tj. q nie jest zbyt bliskie 0 lub 1, rozkªad binomialny mo»na aproksymowa za pomoc rozkªadu normalnego. Je»eli natomiast liczba obserwacji jest du»a, a prawdopodobie«stwo sukcesu q jest maªe, dobrym narz dziem aproksymacji jest rozkªad Poissona. Rozkªad ujemny dwumianowy z parametrami r oraz q, tj. N NBinr, q). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): P N k) Γr + k) q k 1 q) r. Γr)k! 8

10 Bior c pod uwag interpretacj parametrów wyst puj cych w analizowanym rozkªadzie, tj. P N k) jest prawdopodobie«stwem zaj±cia pora»ek przed r-tym sukcesem w serii do±wiadcze«bernoulliego przy prawdopodobie«stwie sukcesu 1 q), zapiszmy powy»sz funkcj jako: ) r + k 1 P N k) q k 1 q) r. 1) k Warto± oczekiwana: Wariancja: EN) V arn) rq 1 q, rq 1 q) 2, Funkcja generuj ca momenty: 1 q ) r, M N t) t < lnq). 1 q expt) Rozkªad logarytmiczny z parametrem θ, tj. Logθ). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): Warto± oczekiwana: Wariancja: P N k) Funkcja generuj ca momenty: θ k, k 1, 2,..., 0 < θ < 1. kln1 θ) EN) θ 1 θ)ln1 θ), θ + ln1 θ) V arn) θ 1 θ) 2 ln 2 1 θ), M N t) Rozkªad Poissona z parametrem λ > 0, tj. P oisλ). ln1 θt) ln1 θ). Funkcja prawdopodobie«stwa tj. prawdopodobie«stwo wyst pienia k szkód): Dystrybuanta Warto± oczekiwana: Wariancja: Funkcja generuj ca momenty: F N x) P N k) λk k! exp λ), r k0 λ k exp λ), r x, k! EN) λ, V arn) λ, M N t) expλexpt) 1)), t R. 9

11 3 Rozkªad Poissona, mieszane modele Poissona w odniesieniu do liczby roszcze«3.1 Rozkªad Poissona Rozkªad Poissona jest nazywany prawem maªych liczb z uwagi,i» jest rozkªadem prawdopodobie«stwa liczby wyst pie«zdarze«, które zdarzaj si rzadko zdarzenia maj miejsce w losowy oraz niezale»ny sposób w przestrzeni oraz w czasie), ale wyst puje bardzo wiele mo»liwo- ±ci, aby miaªy miejsce. Jest on rozkªadem cz sto stosowanym praktyce analiz ubezpieczeniowych zajmuj cych si liczb wypªacanych odszkodowa«oraz wpªywaj cych roszcze«dla rozpatrywanych polis portfeli ubezpieczeniowych. Dla rozkªadu Poissona cech charakterystyczn, która nakªada ograniczenie w zakresie jego stosowalno±ci, jest równo± warto±ci oczekiwanej oraz wariancji. Dla znacznej wi kszo±ci danych warunek ten nie zachodzi, co zmusza do poszukiwania innych, alternatywnych, rozkªadów zmiennych losowych opisuj cych liczb roszcze«. Najcz ±ciej s to wymienione wcze±niej rozkªady: dwumianowy oraz ujemny dwumianowy. W literaturze dotycz cej sposobów werykacji i operowania ryzykiem mo»na wyró»ni algorytm post powania w procesie identykacji rozkªadu skokowego zmiennej losowej. Wskazane jest, aby proces identykacji byª przeprowadzany dla próby przekraczaj cej 300 obserwacji, a decyzj nale»y podejmowa na podstawie wyznaczonych na podstawie próby warto±ci oczekiwanej EN) oraz wariacji V arn). W.-R. Heilmann w pracy Fundamentals of Risk Theory wyró»nia nast puj cy algorytm decyzyjny Przypadek 1. Je»eli zachodzi równo± warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) V arn), 2) to przyjmujemy,»e rozkªad Poissona jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Przypadek 2. Je»eli zachodzi relacja warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) > V arn), 3) to przyjmujemy,»e rozkªad binomialny jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Przypadek 3. Je»eli zachodzi relacja warto±ci oczekiwanej oraz warto±ci wariancji EN) < V arn), 4) to przyjmujemy,»e mieszany rozkªad Poissona jest rozkªadem dla liczby roszcze«. Uzasadnienie 2. Rozwa»my posta warto±ci oczekiwanej oraz wariancji dla rozkªadu dwumianowego. Wyra»aj si one za pomoc wzorów EN) nq oraz V arn) nq1 q), gdzie 0 < 1 q) < 1, przy wa»no±ci oznacze«u»ytych we wcze±niejszym opisie. Zauwa»my,»e przy przyj ciu rozkªadu binomialnego dla zmiennej losowej N zachodzi, i» nq > nq1 q), a dalej 1 > 1 q), co potwierdza 3). 10

12 Uzasadnienie 3. Rozwa»my posta warto±ci oczekiwanej oraz wariancji dla rozkªadu ujemnego dwumianowego. Wyra»aj si one za pomoc wzorów EN) rq 1 q oraz V arn) rq, gdzie 0 < 1 q) < 1, 1 q) 2 przy wa»no±ci oznacze«u»ytych we wcze±niejszym opisie. Zauwa»my,»e przy przyj ciu rozkªadu ujemnego dwumianowego dla zmiennej losowej N zachodzi V arn) 1 EN), 1 q 1 a w konsekwencji > 0, co potwierdza 4). 1 q Sko±no± dla zmiennej losowej N P oiλ) wynosi γn 1 λ. Oczywi±cie γn zmienia si wraz z λ. Dla maªych warto±ci λ dystrybuant cechuje bardzo du»a asymetria, a przy λ 15 dystrybuant cechuje si wyra¹na symetria. 3.2 Mieszane modele Poissona Model Poissona jest gªównym narz dziem analizy ilo±ciowych danych dyskretnych, przy czym zakªadane jest, i» przypadkowo± charakteryzuj ca rozwa»an populacj jest jednorodna. Jednak to zaªo»enie nie jest mo»liwe do speªnienia w przypadku rzeczywistych danych ubezpieczeniowych. Mieszany rozkªad Poissona jest rozszerzeniem rozkªadu Poissona i jest u»ywany w przypadku wyst powania niejednorodno±ci. Problem wyst powania niejednorodno±ci ma pod- ªo»e w nieobserwowalnych zachowaniach i indywidualnych reakcjach kierowców. Co wi cej, indywidualne roszczenia kierowców w portfelu ubezpieczeniowym s zgªaszane wedªug procesu Poissona o pewnej warto±ci ±redniej, lecz warto± ±rednia ilo±ci indywidualnych zgªosze«mo»e by ró»na dla ka»dej z obowi zuj cych polis czy te» klas wydzielonych w danym portfelu Modele mieszane Modele mieszane s kombinacjami ci gªych oraz dyskretnych rozkªadów przy uwzgl dnieniu odpowiednich wag przypisanych danym modelom wspóªtworz cym. Sªu» one do reprezentacji niejednorodnych populacji skªadaj cych si z kilku odr bnych podpopulacji charakteryzuj cych si innymi parametrami. Inaczej formuªuj c, modele te maj zastosowanie w analizach niejednorodnych populacji skªadaj cych si z kilku podpopulacji, z których ka»da mo»e zosta opisana za pomoc prostszego modelu. Rozwa»my dwie grupy modeli mieszanych: dyskretne oraz ci gªe. Typ dyskretny Denicja Wykorzystuj c funkcj masy prawdopodobie«stwa zdeniowanej przy pomocy p i : N R R +, dla ka»dego i 1,..., v, dystrybuanta zmiennej losowej N mo»e by przedstawiona w nast puj cej liniowej formie pk, ψ) : P N k, ψ q 1 p 1 k, ξ 1 ) q v p v k, ξ v ), gdzie ψ q T, ξ T ) T, q T q 1,..., q v ), ξ T ξ 1,..., ξ v ), ξ j - parametr charakteryzuj cy funkcj masy prawdopodobie«stwa p j, ξ j ), 11

13 q j - wagi modelu mieszanego znane b d¹ nieznane), takie»e q j 0, a tak»e p j k, ) 1. k0 v q j 1, Na podstawie powy»szej denicji wida,»e jest dopuszczone aby ka»da z u»ytych funkcji masy prawdopodobie«stwa nale»aªa do innej rodziny parametrycznej. W wi kszo±ci przypadku u»ywa si uproszczenia tej mo»liwo±ci i tym samym zakªada, i» jest ona wspólna dla danego modelu. Rozpatrywany model przyjmuje wówczas posta P N k, ψ q 1 pk, ξ 1 ) q v pk, ξ v ), gdzie q mo»na przyj jako funkcj rozkªadu dyskretnego ξ opisuj c wariancj wyboru danego parametru z analizowanej rodziny. Do opisanej klasy zaliczane s mieszane rozkªady Poissona, które maj na celu zliczanie danych modelu, np. liczba roszcze«zgªaszanych do rmy ubezpieczeniowej. Interpretacja powy»szego modelu w odniesieniu do liczby roszcze«jest nast puj ca - ubezpieczeni kierowcy zostali podzielenie na v kategorii, - ka»dej kategorii odpowiada oczekiwana roczna cz stotliwo± roszcze«ξ 1,..., ξ v, - skªadowe funkcje masy prawdopodobie«stwa maj rozkªad Poissona ze ±redni ξ j, - wagi proporcjonalno±ci udziaªu danej kategorii wyra»aj si przez q 1,..., q v. Tym samym funkcja masy prawdopodobie«stwa liczby zgªaszanych roszcze«jest ±redni wa»on v-funkcji masy prawdopodobie«stwa przypisanych do analizowanych kategorii. Typ ci gªy Dla du»ej ilo±ci v kategorii preferowane jest wprowadzenie ci gªych funkcji rozkªadu prawdopodobie«stwa. Denicja Dla ci gªej ξ o funkcji g sto±ci rozkªadu prawdopodobie«stwa g ) dystrybuanta zmiennej losowej N mo»e by przedstawiona za pomoc funkcji masy prawdopodobie«stwa w nast puj cej formie pk) : P N k pk, ξ)gξ)dξ. Zazwyczaj g ) rozpatrywana jest z zakresu pewnej rodziny parametrycznej, co daje w wyniku równie» funkcj parametryczn. Natomiast, gdy w powy»szym wzorze jest u»yta g sto± g ) modelowana z wyª cze«zaªo»e«parametrycznych, to wprowadzona funkcja masy prawdopodobie«stwa p ) jest parametrycznym modelem mieszanym Mieszane modele Poissona Jak zaznaczono wcze±niej, zdolno±ci kieruj cych s bardzo ró»norodne, a nawet ka»dy kierowca przejawia indywidualne cechy, co doprowadza do niejednorodno±ci portfela. W tym wypadku w analizie u»ywany jest zmodykowany rozkªad Poissona, w którym na ±redni cz stotliwo± λ nakªadany jest dodatni efekt losowy Θ, a zatem nie wszyscy ubezpieczeni w rozwa»anym portfelu posiadaj identyczn cz stotliwo± λ. j1 12

14 Wprowadzona nowa cz stotliwo± portfela b dzie zmieniaªa si wedªug nieobserwowalnej nieujemnej zmiennej losowej Θ, gdzie EΘ 1, a sam rozkªad warunkowy deniujemy jako pk λθ) : P N k Θ θ exp λθ) λθ)k, k 0, 1,... k! gdzie p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni λθ, θ > 0. Do analizy rocznej liczby roszcze«dla losowo wybranych ubezpieczonych z danego portfela nale»y u»y dystrybuanty mieszanego rozkªadu Poissona. Denicja Zmienna losowa N ma mieszany rozkªad Poissona z parametrem λ oraz poziomem ryzyka Θ i EΘ 1, co oznaczamy N MP oisλ, Θ), je»eli jej funkcj masy prawdopodobie«stwa jest postaci P N k Epk λθ) exp λθ) λθ)k df Θ θ), 0 k! gdzie k 0, 1,... - liczba roszcze«zgªoszonych przez losowo wybranych kierowców, przy uwzgl dnieniu rozkªadu warunkowego wzgl dem Θ; Θ - efekt losowy o typie mieszanym; F Θ - dystrybuanta wzgl dem Θ, przy czym F Θ 0) 0. Reprezentuje niejednorodno± portfela. df Θ - funkcja struktury. Mieszany model Poissona ma zastosowanie jako model skªonno± kierowców do powodowania wypadków. Zakªada si równie»,»e ±rednia cz stotliwo± napªywania roszcze«nie zmienia si w czasie, ale dopuszcza si aby niektórzy ubezpieczeni charakteryzowali si wy»sz od ±redniej cz stotliwo±ci zgªaszania roszcze«. Wªasno±ci Dla N MP oisλ, Θ) rozpatrywane s nast puj ce wªasno±ci Warto± oczekiwana Wyliczenie EN λ. EN E EN Θ θ kexp λθ) λθ)k df Θ θ) 0 k! k0 exp λθ) k λθ)k df Θ θ) exp λθ) k! 0 0 k0 exp λθ) λθ)expλθ) df Θ θ) 0 0 k1 λθdf Θ θ) λeθ λ. λθ)λθ) k 1 df Θ θ) k 1)! Zauwa»my,»e przy rozwa»aniu oczekiwanej liczby szkód dla danego portfela ubezpieczeniowego wªasno± niejednorodno±ci nie jest obserwowalna przy analizie warto±ci oczekiwanych, ze wzgl du i» w rozkªadzie Poissona oraz w mieszanym rozkªadzie Poissona s sobie równe i wynosz λ. Ma to dopiero miejsce w przypadku rozwa»ania wariancji. 13

15 Wariancja EN 2 0 EN λ. λθ + λ 2 Θ 2 )df Θ θ) λeθ + λ 2 EΘ 2. V arn EN 2 EN) 2 λeθ + λ 2 EΘ 2 λ 2 EΘ) 2 λ + λ 2 V arθ. Nad rozproszenie ang. Overdispersed) Sko±no± γn EN EN)3 V arn) 3 2 V arn λ + λ 2 V arθ λ EN. 1 V arn) 3 2 Funkcja tworz ca momenty tλθ) k ϕ N t) exp λθ) df Θ θ) k! co równowa»nie daje tekst 0 0 3V arn 2EN + ϕ N 1 λ t + 1) M Θt). 0 ) γθ V arn EN) 2. V arθ EN expλθt 1))dF Θ θ) M Θ λt 1)), Twierdzenie Nierówno± Jensena) Niech X b dzie zmienn losow, tak»e E X < oraz niech g b dzie tak funkcj wypukª,»e E gx) <. Wtedy gex) EgX). Korzystaj c z powy»szej nierówno±ci uzyskujemy,»e P N 0 0 exp λθ)df Θ θ) exp 0 λθdf Θ θ)) exp λ). Wªasno± ta pokazuje, i» mieszany rozkªad Poissona przejawia nadmiar zerowych warto±ci w porównaniu z rozkªadem Poissona przy tej samej ±redniej, co przejawiaj badania empiryczne nad liczb zgªaszanych roszcze«, a dokªadniej ubezpieczonych charakteryzuj cych si zerow liczb roszcze«jest wi cej ni» przewidywana liczba wyodr bniona przy u»yciu rozkªadu Poissona. Problem ten zostanie szerzej omówiony w podrozdziale dotycz cym modeli zero-inated. Co wi cej, kolejne wªasno±ci pokazuj, i» mieszany rozkªad Poissona posiada grubszy prawy ogon rozkªadu ni» rozkªad Poissona o tej samej ±redniej). Wªasno± Niech N ma mieszany rozkªad Poissona o ±redniej EN λ. Istniej dwie liczby 0 k 0 < k 1 takie,»e 1 P N k exp λ) λk k!, dla k 0, 1,..., k 0, P N k exp λ) λk k!, dla k k 0 + 1,..., k 1, P N k exp λ) λk k!, dla k k 1. 1 Wªasno± t przedstawia Shaked's Two Crossings Theorem. Szkic dowodu tego twierdzenia mo»na znale¹ w pozycji Regression Analysis of Count Data autorstwa A. Colin Cameron,Pravin K. Trivedi z 1988 roku. 14

16 Sytuacj t przedstawia poni»szy rysunek pogl dowy, na którym zostaªo ukazane porównanie rozkªadów Poissona oraz Ujemnego Dwumianowego, b d ce przykªadem mieszanego rozkªadu Poissona. Oba rozkªadu posiadaj ±rednia wynosz c 10, dodatkowo rozkªad mieszany ma wariancj równ 0.2. tekst Wykres 3.6. Porównanie rozkªadu Poissona oraz rozkªadu mieszanego Poissona. Poni»ej zostan przedstawione najcz ±ciej stosowane rozkªady mieszane stosowane w obsªudze danych ilo±ciowych dotycz cych roszcze«ubezpiecze«komunikacyjnych. tekst Ujemny dwumianowy rozkªad Poissona Rozkªad Poisson-Gamma) Jak wcze±niej zostaªo pokazane, rozkªad ujemny dwumianowy jest u»ywany w przypadku nad rozproszenia ang. overdispersion), tj. gdy wariancja znacz co przewy»sza ±rednia. Stosowanie tego rozkªadu jest poparte nast puj cymi zaªo»eniami: liczba wypadków dokonywana przez indywidualnych ubezpieczonych ma rozkªad Poissona, gdzie skªonno± do wypadków jest zmienna dla ka»dej jednostki badanej populacji ubezpieczonych kierowców rozumiana jako ±rednia rozkªadu Poissona). Zakªadane jest zrandomizowanie tej ±redniej za pomoc rozkªadu Gamma, w wyniku czego ogólny rozkªad wypadków na ubezpieczonego przyjmuje ujemny dwumianowy rozkªad. St d przyjmuj c,»e tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, d > 0 Θ Gama, a), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,..., a > 0, rozwa»amy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa 15

17 P N k Epk dλθ) 0 exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! 0 exp dλθ) dλθ)k k! a a θ a 1 Γa) exp aθ)dθ aa dλ) k θ a+k) 1 exp dλ + a)θ)dθ {stosuj c caªkowanie przez cz ±ci} k!γa) 0 { } v θ a+k) 1 du exp dλ + a)θ)dθ) dv a + k) 1)θ a+k) 2 dθ u exp dλ+a)θ) dλ+a) aa dλ) k ) a + k) 1) θ a+k) 2 exp dλ + a)θ)dθ k!γa) dλ + a aa dλ) k k!γa) aa dλ) k k!γa) 0 a + k) 1)...a + k) a + k) 1)) ) dλ + a) a+k) 1 Γa + k) dλ + a) a+k) a + k 1 k ) dλ dλ + a ) k 0 exp dλ + a)θ)dθ a ) a. dλ + a ) dλ Zauwa»my,»e dla zmiennej losowej N NBina, ) mamy nast puj ce wªasno±ci dλ+a Uwaga tekst Posta parametrów oraz wªasno±ci rozkªadu ujemnego dwumianowego rozpatrujemy w odniesieniu do wprowadzonych denicji w 1) na stronie 9, gdzie odpowiednio sukces r : a rozpatrujemy z prawdopodobie«stwem 1 q : rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ)2. a ) a a. Funkcja tworz ca ϕ N z) z 1) a dλ tekst Rozkªad Poisson-Wald a. dλ+a Rozkªad Walda lub te» rozkªad odwrotny Gaussowski Inverse Gaussian) stosowany jest do nieujemnych prawo-sko±nych danych. Dla zmiennej losowej Z JGauµ, β) mamy Funkcja g sto±ci: Warto± oczekiwana Wariancja f Z x) µ exp 1 ) 2Πβx 3 2βx x µ)2, x > 0. EZ) µ. V arz) µβ. 16

18 Funkcja generuj ca momenty µ M Z t) exp β 1 ) 2βt). Zakªadaj c zrandomizowanie ±redniej rozkªadu Poissona za pomoc rozkªadu Walda oraz przyjmuj c,»e tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, Θ JGau1, τ), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,... rozpatrujemy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa P N k Epk dλθ) tekst 0 Wªasno±ci exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ) 2 τ. Funkcja tworz ca ϕ N z) exp tekst Rozkªad Poisson-Lognormalny 1 τ 0 exp dλθ) dλθ)k k! 1 1 2τλz 1)) ). 1 exp 1 ) 2Πτθ 3 2τθ θ 1)2 dθ. Zakªadaj c zrandomizowanie ±redniej rozkªadu Poissona za pomoc rozkªadu lognormalnego oraz dla warunków tekst p λθ) - funkcja masy prawdopodobie«stwa rozkªadu Poissona ze ±redni dλθ, λ - oczekiwana roczna liczba roszcze«, d - podatno± na ryzyko, uwzgl dnianie przy nierównych okresach obowi zywania polis, dλθ Θ LNor σ2, 2 σ2 ), EΘ 1, θ > 0, k 0, 1, 2,... rozpatrujemy nast puj c funkcj masy prawdopodobie«stwa P N k Epk dλθ) 0 exp dλθ) dλθ)k df Θ θ) k! 0 exp dλθ) dλ 1 σ2 lnθ + ) k! θk 1 2 exp )2 dθ. 2Π 2σ 2 17

19 Wªasno±ci rednia EN dλ. Wariancja V arn dλ + dλ) 2 expσ 2 ) 1). tekst Rozkªad dla grup W przypadku grupowania danych w procesie wst pnej analiz zbioru danych ubezpieczeniowych wyró»niany jest nast puj cy typ niejednorodno±ci. Niech liczba grup ma rozkªad Poissona, tj. K P oiµ). Liczba ubezpieczonych w danej grupie ma rozkªad logarytmiczny z parametrem θ, tj. M i Logθ), dla i 1, 2,..., K. Niech tak»e M 1, M 2,... s niezale»nymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkªadzie logarytmicznym z parametrem θ. Za ogólny rozkªad tego zagadnienia przyjmowany jest rozkªad ujemny dwumianowy. Dla N M M K, N ma zªo»ony rozkªad Poissona. Okre±lmy funkcj tworz c ϕ N z) Ez M M K P K kez M M k P K kez M 1...z M k k0 P K kez M 1...Ez M k k0 Przykªad zastosowania k0 P K kϕ M z)) k ϕ K ϕ M z)) k0 1 θ ) µ ln1 θ). 1 θz W wypadku maj cym miejsce w okre±lonym momencie mogªo bra udziaª kilka ubezpieczonych pojazdów. Ka»dy z kierowców ma mo»liwo± zgªoszenia roszczenia z tego wypadku do ubezpieczalni, tym samym jeden wypadek powoduje wpªyniecie kilku roszcze«. Je»eli liczba wypadków w okre±lonym przedziale czasu ma rozkªad Poissona, a liczba roszcze«na dany wypadek komunikacyjny ma rozkªad logarytmiczny, to liczba wszystkich roszcze«w okre±lonym przedziale czasu przejawia si za pomoc ujemnego dwumianowego rozkªadu. tekst 3.3 Procesy stochastyczne w odniesieniu do prezentowanych zagadnie«denicja Proces stochastyczny jest zbiorem zmiennych losowych {Nt), t T } indeksowanych za pomoc rzeczywistego parametru t przyjmuj cego warto±ci w zbiorze indeksów T R +. Proces stochastyczny {Nt), t T } nazywamy procesem licz cym, je»eli t Nt) jest prawostronnie ci gªe oraz Nt) Nt ) przyjmuje warto± 0 lub 1. Dodatkowo proces ten charakteryzuj poni»sze wªasno±ci i) Nt) 0, ii) Nt) przyjmuje warto±ci caªkowite, iii) je»eli s < t, to Ns) Nt), iv) dla s < t, Nt) Ns) jest równa liczbie zdarze«, które miaªy miejsce w przedziale s, t. Przyjmujemy równie»,»e N0) 0. 18

20 Denicja Proces licz cy {Nt), t T } nazywamy jednorodnym procesem Poissona z intensywno±ci λ je»eli i) proces posiada przyrosty stacjonarne, ii) proces posiada niezale»ne przyrosty, iii) zachodzi gdzie oh) jest funkcj od h oraz 1 λh + oh) je»eli k 0, P Nh) k λh + oh) je»eli k 1, oh) je»eli k 2, oh) lim h 0 h 0. Odnosz c powy»sze warunki do przedmiotu ubezpiecze«komunikacyjnych uzyskujemy nast puj ce interpretacje ad.i) - Zakªada, si i» prawdopodobie«stwo spowodowania wypadku jest takie same ka»dego dnia i w ka»dym okresie badania, zatem negacji podlegaj warunki meteorologiczne, warunki bezpiecze«stwa oraz podobne czynniki zmienne w czasie. ad.ii) - Wyst pienie wypadku w pewnym punkcie czasu jest niezale»ne od wszystkich pozosta- ªych maj cych miejsce wcze±niej. Inaczej interpretuj c, zgªoszenie wypadku nie wpªywa na zmian prawdopodobie«stwa spowodowania kolejnych wypadków w przyszªym czasie, tj. wypadki drogowe wyst puj losowo w czasie. ad.iii) - Prawdopodobie«stwo, i» ubezpieczony zgªosi dwa lub wi cej roszcze«w stosunkowo maªym przedziale czasowym jest nieistotne w porównaniu z prawdopodobie«stwem zgªoszenia zeru b d¹ jednego roszczenia. Wªasno± Dla procesu Poissona liczba zdarze«maj cych miejsce w przedziale czasowym o dªugo±ci t ma rozkªad Poissona ze ±redni λt, tzn. dla ka»dego s, t 0 P Nt + s) Nt) n exp λt) λt)n, n 0, 1, 2,... n! Proces Poissona ma zastosowanie równie» w analizach ubezpieczonych, których okresy obj to±ci polis s równe dªugo±ci d. Wówczas przy zaªo»eniu,»e napªyw roszcze«wyst puje wedªug powy»szego procesu z intensywno±ci dλ, gdzie P N k) exp λd) λd)k, k 0, 1,... k! gdzie N - liczba zgªoszonych roszcze«oraz N P oiλd). Wprowadzona warto± d w powy»szym wzorze jest interpretowana jako podatno± na ryzyko. Dodatkowym narz dziem analizy roszcze«ubezpieczeniowych jest niejednorodny proces Poissona, który jest uogólnieniem procesu jednorodnego za pomoc wprowadzenia zmiennej w czasie intensywno±ci. Efekt ten jest uzyskiwany za pomoc zamiany staªej intensywno±ci λ funkcj zale»n od czasu t λt). Niejednorodny proces Poissona z intensywno±ci λ ) speªnia warunki ii) oraz iii) wcze±niej deniowanego procesu, przy czym nie speªnia wªasno±ci 19