30 Matematyka finansowa i bankowa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "30 Matematyka finansowa i bankowa"

Transkrypt

1 30 Matematyka fiasowa i bakowa koszty admiistrowaia, koszty koserwacji, koszty utrzymaia techiczego budyku, koszty utrzymaia pomieszczeń wspólych op laty za utrzymaie czystości, eergiȩ elektrycz a i ciepl a. Po stroie kosztów wyróżia siȩ koszty operacyje i kapita lowe. Do kategorii kosztów kapita lowych zalicza siȩ wszelkie wydatki a iwestycje i koszty wyikaj ace z zad lużeia, p. obs lugi kredytu. Sk ladaj a siȩaieak lady a: remoty, moderizacje, rozbudowy itp. Natomiast koszty operacyje, ze wzglȩduatojakimaaiewp lyw zarz adca ieruchomości dziel a siȩakoszty sta le i zmiee. Dokosztów sta lych zalicza siȩ: podatek od ieruchomości, ubezpieczeie i ie op laty i podatki. Koszty zmiee to przede wszystkim: koszty mediów, wydatki a aprawy i remoty bież ace, wydatki a utrzymaie czystości, a us lugi p. ochroa budyku, prowadzeie ksiȩgowości, koszty admiistracyje i wyagrodzeia p. koszty sporz adzaia umów, wyagrodzeie zarz adcy. Podstawowym rodzajem budżetu jest tzw. roczy budżet operacyjy. Zawieraowszystkiewp lywy i wydatki o charakterze operacyjym, a bez kosztów kapita lowych, w ujȩciu miesiȩczym i roczym. Sk lada siȩozsześciu poziomów: 1. Przychody; 2. Ca lkowity przychód jakosumawszystkichsk ladików 1; 3. Straty czyszowe i pustostay iewykorzystae czȩści ieruchomości; 4. Przychód efektywy brutto, jako 2 3; 5. Koszty operacyje; 6. Dochód operacyjy etto, jako 4 5. Fukcjouje też astȩpuj ace alteratywe azewictwo i ozaczeia: Potecjaly przychód brutto GPI z ag. gross possible icome, który obejmuje wszelkie możliwe przychody z ieruchomości, przy za lożeiu wyajȩcia powierzchi w ca lości, czyli ca lkowity przychód; Efektywy przychód brutto EGI z ag. effective gross icome; Dochód operacyjy etto NOI z ag. et operatig icome. NOI staowi podstwȩ do sporz adzaia budżetu przep lywów pieiȩżych CF azywaego też budżetem kapita lowym. Każdy taki budżet odpowiada a pytaie: ile gotówki jesteśmy w staie uzyskać zieruchomości i ile środków bȩdziemy potrzebowali a pokrycie wyszczególioych wydatków w kolejych miesi acach. Oba budżety, operacyjy i kapita lowy różi a siȩ tym,że w budżecie CF uwzglȩdia siȩ dodatkowo wydatki ieoperacyje obs luga zad lużeia kredytowego oraz wydatki iwestycyje remoty kapitale, moderizacje, a pozycje, których 30

2 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie 31 Operacja Pozycja Przychody czyszowe - Pustostay i straty czyszowe = Efektywy przychód brutto EGI + Ie dochody = Dochód operacyjy brutto - Wydatki operacyje = Dochód operacyjy etto NOI - Koszty obs lugi d lugu raty kapita lowe i odsetkowe - Nak lady iwestycyje = Przep lyw gotówki CF Tabela 2.3: kostrukcja przep lywów pieiȩżych CF dostarcza budżet kapita lowy. Tabela 2.3 zawiera schematcze ujȩcie kostrukcji takiego budżetu. Możemy teraz wrócić do omawiaia sygalizowaych wskaźików kredytowych. Zacziemy od kilku podstawowych uwag. Przypuśćmy, że dae s a dwie wielkości ekoomicze A > 0 i B > 0 mierzale w jedostkach odpowiedio rówych [j A ]i[j B ]. Weźmy ich iloraz zway też wskaźikiem Wtedy: W = A B [ ja ]. j B 1. W mówi ile jedostek wielkości A przypada a jedostkȩ wielkości B, 2. aby wyzaczyć wartość wskaźika W ależy zać wartości A i B, 3. pos lugiwaie siȩ wskaźikiem W polega a tym, że zaj ac aktual a wartość wielkości B, przyjmijmy,że jest to B, możemy obliczyć aktual a wartość à wielkości A, bowiem à = W B, 4. wiȩkszym wartościom wskaźika W > 0 odpowiadaj a wiȩksze wartości wielkości A, czyli W 1 <W 2 A 1 = W 1 B<A 2 = W 2 B. Wśród sygalizowaych wskaźików a uwagȩ zas luguj a astȩpuj ace: 31

3 32 Matematyka fiasowa i bakowa 1. Stopa pokrycia d lugu DSCR z ag. Dept Service Coverig Ratio gdzie: DSCR = NOI ADS, 2.34 ADS z ag. Aual Dept Service ozacza roczy koszt obs lugi kredytu, czyli sumarycz a wartość bez uwzglȩdieia zjawiska zmiay piei adza w czasie kapita lu i ależych odsetek za rok. Szczegó ly zwi azae z zasadȩ obliczaia ADS podamy w dalszej czȩści opracowaia. W ramach kalkulacji DSCR dokouje siȩ: a ustaleia wysokości zysku brutto, amortyzacji, zap lacoych odsetek od kredytu, wydatków jedorazowych, oszczȩdości, b ustaleia wysokości podatku dochodowego, c wyliczeia adwyżki środków fiasowych gotówki bȩd acych w dyspozycji i przezaczoych a obs lugȩ zad lużeia. DSCR określa stopień pokrycia adwyżk a gotówki pozosta lej w dyspozycji, sp laty ależości kredytowych. Jego wartość iformuje jaka czȩść tej adwyżki przypada a jedostkȩ zobowi azań kredytowych. Z puktu widzeia baku jego oczekiwaa wartość powia wyosić co ajmiej 1, Wskaźik kredyt do wartości LTV z ag. Loa to Value gdzie: LTV = L V, 2.35 L z ag. Loa ozacza wysokość kredytu V z ag. Value ozacza tutaj wartość iwestycji a ieruchomości. Może to być rówież wartość zastawu a ieruchomości hipoteki jako elemetu zabezpieczeia kredytu. Wskaźik te pozwala wyzaczyć maksymal a kwotȩ kredytu, jak a bak jest sk loy udzielić z zabezpieczeiem ustaowioym a ieruchomości, w tym przypadku a hipotece. Dla baku wioskuj acy musi spe lić waruek LTV 0, Wskaźik czystego zwrotu z ieruchomości FCR z ag. Free ad Clear Retur FCR = NOI V Wskaźik te uwzglȩdia sytuacjȩ samofiasowaia siȩ i opisuje wartość zysku jaka przypada a jedostkȩ wartości ieruchomości. 32

4 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie Wskaźik zwrotu z zaiwestowaej gotówki ROI z ag. Retur o Ivestmet ROI = CF INVB, 2.37 gdzie: INVB ozacza kapita lw lasy s luż acy sfiasowaiu pocz atkowych ak ladów iwestycyjych, a który sk ladaj a siȩ: środki w lase, dotacje. Jest to wskaźik statyczy, bowiem przy aalizie CF ie uwzglȩdia siȩ efektu zmiay piei adza w czasie. Dlatego wskaźikiem tym a ogó l pos lugujemy siȩ we wczesej fazie aalizy. Za pomoc a wskaźika ROI moża oceić op lacalość, czyli retowość daej iwestycji wykoaej a ieruchomości albo wybrać wariat ajlepszy. Przyjmuje siȩ, że aalizowaa iwestycja jest op lacala, gdy ROI r o, 2.38 gdzie r o ozacza stopȩ wyrażaj ac a maksymaly koszt pozyskaia kapita lu dla sfiasowaia daej iwestycji a ieruchomości. Lepszym wariatem iwestycyjym spośród porówywaych jest te, dla którego ROI jest wiȩksze. 5. Wskaźik sta lej kredytu k k = ADS L Wyraża o koszt piei adza uzyskaego poprzez fiasowaie kredytem. Jest to bowiem ta czȩść kredytu, która jest iezbȩda aby sp lacić roczezo- bowi azaie z tytu lu zaci agiȩtego kredytu rata+odsetki. Wskaźik te wykorzystuje siȩ dla celów kalkulacji tzw. dźwigi fiasowej. Jesttoi- strumet fiasowy wykorzystyway w celu zwiȩkszeia efektywości podmiotu z puktu widzeia zyskowości. Jego rola polega a tym aby w wyiku dofiasowaia kapita lem obcym kredytem zwiȩkszyć zysk przyajmiej w stopiu pozwalaj acym a sp latȩ kosztów pozyskaia tego kapita lu. Z dodati a dźwigi a fiasow a mamy do czyieia wtedy gdy dochód geeroway przez ieruchomość, a której przeprowadzoo iwestycjȩ zapo- moc a środków kredytowych charakteryzuje siȩ wyższ a stop a zwrotuaiżeli koszt takiego kredytu, a k < ROI. W przeciwym razie mówimy o ujemej dźwigi fiasowej. W przypadku wspólot mieszkaiowych, może oa skorzystać z kredytu przezaczoego a przyk lad a remot czȩści wspólej ieruchomości, która zostaie przezaczoa a ajem, o ile dochód operacyjy zwi azay z wp lywami z tytu lu ajmu przewyższy koszt zwi azay zobs lug a kredytu. 33

5 34 Matematyka fiasowa i bakowa Na zakończeie tej czȩści sformu lujemy przyk lad, rozwi azaiem którego zajmiemy siȩ w dalszej czȩści opracowaia. Przyk lad Wspólota mieszkaiowa Alteratywy 4 bierze pod uwagȩ wykoaie a czȩści wspólej iwestycji termomoderizacyjej o wartości z l. Wgrȩwchodz a dwa wariaty, których celowość ależy rozwżyć: 1. iwestycja zostaie zrealizowaa gotówk a z fuduszu remotowego; 2. tylko czȩściowo gotówk a, reszta kredytem w wysokości z l, oprocetowaym wg stopy p.a. R =0, 12 z okresem sp laty 10 lat sp lata w cyklu miesiȩczym. Wartość wskaźika LTV wymagaa przez bak wyosi 0, 7. Zastosowaie techologii termomoderizacji ozacza, że wspólota jest w staie roczie zaoszczȩdzić z l. Należy sprawdzić, czy wspólota spe lia waruek baku dotycz acy LTV. Obliczyćwartość wskaźika k i a tej podstawie określić zak dźwigi fiasowej dla tej iwestycji. Zajmiemy siȩ teraz problemem umorzeia kredytu, czyli sposobami kostruowaia ależości kredytowych baku i ich sp lat przez wierzyciela. Wyróżia siȩ cztery podstawowe zasady takich kostrukcji: 1. metoda rat odsetkowych malej acych, zwaa metod a kapita low a ze wzglȩdu a jedakow a ratȩ kapita low a, 2. metoda rówych rat kredytowych, zwaa też auitetow a, 3. metoda dyskotowa, 4. metoda lii kredytowej. Szczegól a uwagȩ pośimy dwóm pierwszym, dla których poczyimy astȩpuj ace za lożeia: 1. czas a jaki udzielay jest kredyt sk lada siȩ z podokresów 2, z lożoych z jedakowej ilośc di, 2. a pocz atku pierwszego podokresu wyp lacay jest kredyt w wysokości PRIN z ag. pricipal, 3. a koiec każdego podokresu ustalae jest aktuale zad lużeie w wyiku sp laty j tej raty kapita lowej PRIN j,gdzie j=1 PRIN j = PRIN, 34

6 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie za każdy podokres j, odsetkiint j z ag. iteger aliczae s a wed lug stopy bazowej = R T,gdzieR jest stop a p.a., od zad lużeia ustaloego ldr a koiec poprzediego okresu BAL j 1 :zag.balace tutaj sta kota INT j = BAL j 1, BAL o = PRIN, dla j =1, 2,...,, gdzie BAL j = PRIN j PRIN s,j=1, 2,..., 1, s=1 5. ależość baku a koiec każdego podokresu, azywaa rat a kredytow a wyosi PMT j = PRIN j + INT j z ag. paymet. Wariat 1 W metodzie od zad lużeia, zak lada siȩ, że raty kapita lowe s a jedakowe, czyli PRIN j = PRIN. Zza lożeia 4 i dlatego BAL j = PRIN j s=1 PRIN s = PRIN j PRIN = PRIN 1 j. St ad INT 1 = BAL o = PRIN, INT 2 = BAL 1 =PRIN PRIN 1 = PRIN 1 1, i ogólie INT j = BAL j 1 = PRIN 1 j 1 oraz odsetki te malej a wkolejychpodokresach. Niech INT ozacza sumarycz a wartość odsetek, czyli INT = j=1 INT j. Wtedy z powyższego wzoru PRIN + INT = PRIN + PRIN j=1 1 j 1. Poieważ 1 j 1 = 1 j=1 j=1 j 1 = = +1, 2 35

7 36 Matematyka fiasowa i bakowa oraz PMT j = PRIN INT = PRIN PRIN 1 j 1 = PRIN 1+ j Dlatego wartość sumarycza zad lużeia ADS wyiesie o T = ldr o ADS = PMT j = PRIN j=1 o j=1 1+ j +1, co po wysumowaiu daje ADS = PRIN o 1+ 2 o Uwaga INT ie staowi o rzeczywistym koszcie kredytu, bowiem ie uwzglȩdioo tutaj mechaizmu zmiay piei adza w czasie. Jak wiemy z MOZ, o koszcie tym decyduje stopa efektywa za ca ly okres sp laty zad lużeia, a i ef =1+ 1, i wtedy koszt rzeczywisty INT re wyiesie INT re = PRINi ef = PRIN Zierówości Beroulliego 1 + > 1+ idlatego INT re >PRIN >INT. W szczególości możemy mówić o roczej efektywej stopie i o =1+ o 1, gdzie o T = ldr. W tym przypadku i o > o = o R T ldr = R. Przyk lad Wyzaczyć pla umorzeia kredytu oraz jego rocz a stopȩ efektyw a, jeśli wiadomo, że w laściciele wspóloty mieszkaiowej Alteratywy 4 podjȩli uchwa lȩ ozaci agiȩciu kredytu w celu sfiasowaia kosztów iwestycji remotowej istalacji kaalizacyjej. Koszt remotu oszacowao a z l. Na te cel wspólota zaci agȩ la kredyt krótkotermiowy a 1 rok wg stopy p.a. R = 18%, który ma być sp lacay w 4 jedakowych ratach a koiec każdego podokresu. 36

8 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie 37 Zza lożeia =4,PRIN = i dlatego PRIN j = PRIN = 2500 dla 4 j =1, 2, 3, 4. Bior ac = R =0, 045, dla kolejych odsetek INT 4 j dostaiemy: INT 1 = PRIN = , 045 = 450, 00, INT 2 = BAL 1 = , 045 = 337, 50, INT 3 = BAL 2 = , 045 = , 045 = 225, 00, INT 4 = BAL 3 = , 045 = , 045 = 112, 50. St ad INT = 1125, 00. wzoru 2.40, Latwo jest sprawdzić otrzymay wyik, bowiem ze INT = PRIN +1 2 = , 045 2, 5 = 1125, 00. Przy takim sceariuszu umorzeia kredytu koleje p latości a koiec każdego podokresu wyios a: PMT 1 = PRIN 1 + INT 1 = = 2950, 00, PMT 2 = PRIN 2 + INT 2 = , 50 = 2837, 50, PMT 3 = PRIN 3 + INT 3 = , 00 = 2725, 00, PMT 4 = PRIN 4 + INT 4 = , 50 = 2612, 50. Wreszcie rocza efektywa stopa procetowa dla tego kredytu wyosi i o = 1+ R 4 4 1= 1, 045 1=0, 1925, 4 idlategoi o =19, 25% >R= 18%. Bardzo czȩsto w takiej sytuacji pla takiego umorzeia kredytu sporz adza siȩ w postaci tabeli patrz tabela 2.4. Koleja sp lata BAL j Sp lata w okresie PRIN j INT j PMT j , , , , , , , , 50 RAZEM Tabela 2.4: pla umorzeia kredytu metod a kapita low a 37

9 38 Matematyka fiasowa i bakowa Wariat 2 W metodzie auitetowej zak lada siȩ, że raty kapita lowe s a tak skostruowae, że dla każdego podokresu j, PMT j = PRIN j + INT j przyjmuje sta l a wartość A. Wyzaczeie tej wartości sprowadza siȩ dowziȩcia strumieia CF = PRIN,A,...,A symbol A powtarza siȩ razy irozwi azaia tzw. rówaia bakowego NPV =0zestop adyskotow a, czyli A A A = PRIN. Z zasady sumowaia postȩpu geometryczego dostaiemy i po przekszta lceiu Dlatego A = PRIN 1+ A = PRIN. A = PRIN 1 1 oraz ADS = o A o T = ldr Na tej podstawie oraz za lożeia 4 i 5 możemy wyliczyć kolejeratyka- pita lowe: PRIN 1 + BAL o = A idlategoz2.42 PRIN 1 = PRIN PRIN, co daje Podobie sk ad 1 PRIN 1 = PRIN PRIN 2 = PRIN PRIN 2 + BAL 1 = A, PRIN PRIN 1, 38

10 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie 39 czyli I ogólie PRIN 2 = PRIN 1 + PRIN 1 = PRIN PRIN j = PRIN j 1, dla j =2,..., Prostym rachukiem moża sprawdzić, że j=1 PRIN j = PRIN. Przyk lad Wspólota mieszkaiowa Alteratywy 4 zaci agȩ la kredyt auitetowy w wysokości z l a 6 miesiȩcy ze stop a p.a. R = 18%. Wyzaczyć pla umorzeia dla tego kredytu oraz rocz a efektyw a stopȩ, jeśli sp lata kredytu bȩdzie odbywa la siȩ w cyklu miesiȩczym. Zza lożeia T =1miesi ac, = 6 oraz = R 1 =0, 015. Ze wzoru możemy wyliczyć sta l a comiesiȩcz a ależość baku oraz oraz Poieważ 0, 015 PMT j = = 1755, 25. 1,015 6 PRIN 1 + INT 1 = PMT 1 INT 1 = BAL o = , 015 = 150, 00, PRIN 1 = 1755, , 00 = 1605, 25. Dla pozosta lych rat kapita lowych i odsetkowych rachuek wygl ada podobie: PRIN 2 + INT 2 = PMT 2 INT 2 = BAL 1 = , 25 0, 015 = 8394, 75 0, 015 = 125, 92, PRIN 2 = 1755, , 92 = 1629, 33. PRIN 3 + INT 3 = PMT 3 oraz INT 3 = BAL 2 = , , 33 0, 015 = , 58 0, 015 = 6765, 42 0, 015 = 101, 48, 39

11 40 Matematyka fiasowa i bakowa PRIN 3 = 1755, , 48 = 1653, 77. PRIN 4 + INT 4 = PMT 4 oraz INT 4 = BAL 3 = , , , 77 0, 015 = , 35 0, 015 = 5111, 65 0, 015 = 76, 67, PRIN 4 = 1755, 25 76, 67 = 1678, 58. PRIN 5 + INT 5 = PMT 5 oraz INT 5 = BAL 4 = , , , , 58 0, 015 = , 93 0, 015 = 3433, 07 0, 015 = 51, 49, PRIN 5 = 1755, 25 51, 49 = 1703, 76. PRIN 6 + INT 6 = PMT 6 oraz INT 6 = BAL 5 = , , , , , 76 0, 015 = , 69 0, 015 = 1729, 31 0, 015 = 25, 94, PRIN 6 = 1755, 25 25, 94 = 1729, 31. Podobie jak dla wariau 1, rówież tewyikimoża zebrać w postaci tabeli 12 Dla roczej efektywej stopy mamy i o = 1, 015 1=0,

12 2.6 Kredyt, wskaźiki kredytowe i jego umorzeie 41 Koleja sp lata BAL j Sp lata w okresie PRIN j INT j PMT j , , , , , , , , , , , , , 58 76, , , , 76 51, , , , 31 25, , 25 RAZEM Tabela 2.5: pla umorzeia kredytu metod a auitetow a Możemy teraz wrócić do przyk ladu 10, który podaliśmyprzyokazjioma- wiaia wskaźików kredytowych. Przypomijmy, że ależa lo obliczyć wartości wskaźików LTV i FCR. Z treści wyika, że L = z l, V = z l idlategoltv =0, 66. Ozacza to, że wymagaia postawioe przez bak w tej kwestii wspólota spe lia. Poieważ dochód operacyjy etto wspóloty jest rówy oszczȩdościom uzyskaym dziȩki moderizacji, w przypadku samofiasowaia siȩ, wskaźik czystego zwrotu FCR = =0, W wariacie 2 wspólota iwestuje z l swoichśrodków, jako ak ladów a iwestycje INVB, przy kredycie L = z l. Zak ladaj ac, że kredyt umarzay jest wed lug schematu rat auitetowych, ze wzoru 2.42 dla: PRIN = z l, = 1 R =0, 01, 12 o = 12, dostaiemy 0, 01 PMT j = PRIN 1 = = 573, , St ad ADS = o PMT j =12 573, 88 = 6886, 56 z l. Poieważ przep lyw gotówki wyosi CF = NOI ADS = , 56 = 3113, 44 z l, wartość wskaźika zwrotu z zaiwestowaej gotówki wyiesie ROI = CF 3113, 44 = =0, INVB Aby określić zakdźwigi fiasowej, ależy ajpierw obliczyć wskaźik kredytu k = ADS = 6886,56 = 0, 1722, a astȩpie porówać gozroi. Poieważ L k > ROI, ozacza to że dźwigia ma zak ujemy. Pod tym wzglȩdem celowość wykoywaia iwestycji przy takim fiasowaiu budzi w atpliwości, a korzyść wariatu 1. Uzyskae wyiki zebraliśmy w tabeli

13 42 Matematyka fiasowa i bakowa Lp. Rodzaj wskaźika Rodzaj fiasowaia wariat 1 wariat 2 1 wartość iwestycji V kredyt L =ak lad w lasy INVB dochód operacyjy etto NOI rocza obs luga zad lużeia ADS , 56 6 =strumień gotówki CF , 44 7 czysty wskaźik zwrotu FCR 0, wskaźik zwrotu gotówki ROI 0, sta la kredytu k 0, 1722 Tabela 2.6: porówaie dwóch wariatów iwestycyjych 42

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu;

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; 3.3 Budżet nieruchomości 47 aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; danych o charakterze demograficznym celem ustalenia liczby potencjalnych nabywców, najemców; tendencji na

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

2.2 Model odsetek prostych 9

2.2 Model odsetek prostych 9 2.2 Model odsetek prostych 9 Uwaga 2.2.2 Komentarza wymaga znaczenie stopy bazowej. Z definicji wynika, że i T = FV PV, co wcale nie oznacza, że wartość indeksu i PV T zależy od wartości pocz atkowej PV.Wskaźnik

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Michał Księżakowski Project Manager (Kraków, 17.02.2012)

Michał Księżakowski Project Manager (Kraków, 17.02.2012) Ekoomicze aspekty budowy biogazowi i dystrybucji biogazu Michał Księżakowski Project Maager (Kraków, 17.02.2012) Czyiki warukujące budowę biogazowi Uwarukowaia Ekoomicze Prawe Techologicze Aspekty Prawe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Źródła finansowania i ich koszt

Źródła finansowania i ich koszt Źódła fiasowaia i ich koszt Kapitalizacja i dyskoto: k K K0 (1 ) ; 1 ; k 0 k log k0 log 1 efektywa stopa pocetowa; 1 1 Stałe płatości (ety): ef m m ; K o K 1 (1 ) (pzy płatościach częstszych iż ocze) 1

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie finansami

Zarządzanie finansami STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ W POZNANIU Zarządzaie fiasami DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Pieiądze posiadają określoą wartość. Wartość w diu dzisiejszym omialej

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych Ekoomia Meedżerska 2009, r 5, s. 45 62 Marek Łukasz Michalski* Okresy i stopy zwrotu akładów iwestycyjych w oceie efektywości iwestycji rzeczowych 1. Wprowadzeie Podstawowym celem przedsiębiorstwa, w długim

Bardziej szczegółowo

STUDIUM WYKONALNOŚCI INWESTYCJI PREZENTACJA WYNIKÓW

STUDIUM WYKONALNOŚCI INWESTYCJI PREZENTACJA WYNIKÓW STUDIUM WYKONALNOŚCI INWESTYCJI PREZENTACJA WYNIKÓW PoniŜszy przykład ma na celu przybliŝenie logiki wynikającej z Wytycznych. ZałoŜenia projekcji finansowej dla celów przeprowadzenia analizy ekonomiczno-finansowej

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

Metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody oceny projektów inwestycyjnych Metody ocey projektów iwestycyjych PRZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Pla wykładu Temat: Metody ocey projektów iwestycyjych 5 FINANSOWE METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH... 4 5.1. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia

Bardziej szczegółowo

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów

4. Decyzje dotycza ce przyznawania świadczeń pomocy materialnej. doktorantów ZASADY PRZYZNAWANIA ŚWIADCZEŃ POMOCY MATERIALNEJ DLA DOKTORANTÓW W INSTYTUCIE MATEMATYCZNYM POLSKIEJ AKADEMII NAUK OBOWIA ZUJA CE OD ROKU AKADEMICKIEGO 2013/14 1. PODSTAWA PRAWNA Świadczenia pomocy materialnej

Bardziej szczegółowo

Wp³yw wdro enia Zintegrowanego Systemu Informatycznego na przewagê konkurencyjn¹ Grupy LOTOS SA

Wp³yw wdro enia Zintegrowanego Systemu Informatycznego na przewagê konkurencyjn¹ Grupy LOTOS SA Wp³yw wdro eia Zitegrowaego Systemu Iformatyczego a przewagê kokurecyj¹ Grupy LOTOS SA Warszawa, 22 listopada 2004 r. Tadeusz Rogaczewski, Szef Biura Zarz¹dzaia Iformatyk¹ Warszawa, 22 listopada 2004 r.

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki nansowej

Podstawy matematyki nansowej Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś

Bardziej szczegółowo

o zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw.

o zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw. SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ VIII KADENCJA Warszawa, dia 12 listopada 2013 r. Druk r 487 MARSZAŁEK SEJMU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pa Bogda BORUSEWICZ MARSZAŁEK SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zgodie

Bardziej szczegółowo

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem płata długów Rozliczeia związae z zadłużeiem Źódła fiasowaia Źódła fiasowaia Kapitał własy wkład właściciela, wpłaty udziałowców, opłaty za akcje, wkład zeczowy, apot. Kapitał obcy kedyty, pożyczki, ie

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Prognoza 2015. Prognoza 2016. Prognoza 2017. Prognoza 2018

Prognoza 2015. Prognoza 2016. Prognoza 2017. Prognoza 2018 WIELOLETNIA PROGNOZA FINANSOWA GMINY MIASTA CHEŁMŻY NA LATA 2015-2025 Załącznik Nr 1 do uchwały Nr VII/53/15 Rady Miejskiej Chełmży z dnia 17 września 2015r. L.p. Formuła Wyszczególnienie Wykonanie 2012

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA . CHARAKTERYSTYKA PIENIĄDZA JAKO TWORZYWA FINANSÓW.. Fukcje pieiądza Najwygodiejszym sposobem defiiowaia pieiądza jest wymieieie jego główych, klasyczych fukcji. I tak pieiądz jest: mierikiem wartości

Bardziej szczegółowo

Uchwała Nr XVII/501/15 Rady Miasta Gdańska z dnia 17 grudnia 2015r.

Uchwała Nr XVII/501/15 Rady Miasta Gdańska z dnia 17 grudnia 2015r. Uchwała Nr XVII/501/15 Rady Miasta Gdańska z dnia 17 grudnia 2015r. w sprawie przyjęcia Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Miasta Gdańska. Na podstawie art.226, art. 227, art. 228, art. 230 ust. 6

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE SILNIKÓW O DUśEJ SPRAWNOŚCI DO NAPĘDÓW WENTYLATORÓW MŁYNOWYCH

ZASTOSOWANIE SILNIKÓW O DUśEJ SPRAWNOŚCI DO NAPĘDÓW WENTYLATORÓW MŁYNOWYCH Zeszyty Problemowe Maszyy Elektrycze Nr 88/2010 135 Grzegorz Badowski, Jerzy Hickiewicz, Krystya Macek-Kamińska, Marci Kamiński Politechika Opolska, Opole Piotr Pluta, PGE Elektrowia Opole SA, Brzezie

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE FINANSAMI

ZARZĄDZANIE FINANSAMI STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ WIELKOPOLSKI W POZNANIU ZARZĄDZANIE FINANSAMI WYBRANE ZAGADNIENIA (1/2) DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - 1 SPIS TREŚCI 1. RYZYKO W ZARZĄDZANIU FINANSAMI... 4 1.1.

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA 1. ZAMAWIAJĄCY TALEX S.A., ul. Karpia 27 d, 61 619 Pozań, e mail: cetrumit@talex.pl 2. INFORMACJE OGÓLNE 2.1. Talex S.A. zaprasza do udziału w postępowaiu przetargowym,

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej Powiatu Gryfickiego na lata 2015-2030

Objaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej Powiatu Gryfickiego na lata 2015-2030 Objaśnienia wartości przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej Powiatu Gryfickiego na lata 2015-2030 I. Objaśnienia wartości dochodów przyjętych w Wieloletniej Prognozie Finansowej Powiatu Gryfickiego

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

SPRAWOZDAWCZOŚĆ FINANSOWA według krajowych i międzynarodowych standardów.

SPRAWOZDAWCZOŚĆ FINANSOWA według krajowych i międzynarodowych standardów. SPRAWOZDAWCZOŚĆ FINANSOWA według krajowych i międzynarodowych standardów. Autorzy: Irena Olchowicz, Wstęp Rozdział 1. Sprawozdawczość finansowa według standardów krajowych i międzynarodowych Irena Olchowicz

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

SPRAWOZDANIE FINANSOWE. Fundacja Uniwersytet Dzieci

SPRAWOZDANIE FINANSOWE. Fundacja Uniwersytet Dzieci SPRAWOZDANIE FINANSOWE Fundacja Uniwersytet Dzieci Sprawozdanie dotyczy okresu sprawozdawczego 01.01.2014 31.12.2014 1/11 Spis treści Bilans za rok 2014... 3 Rachunek Zysków i Strat za rok 2014... 5 Dodatkowe

Bardziej szczegółowo

FIN 402: Nieruchomość jako inwestycja narzędzia finansowe

FIN 402: Nieruchomość jako inwestycja narzędzia finansowe FIN 402: Nieruchomość jako inwestycja narzędzia finansowe Szczegółowy program kursu 1. Budżetowanie i analiza Budżety stanowią dla zarządców jedno z głównych źródeł informacji przy podejmowaniu decyzji

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

500 1,1. b) jeŝeli w kolejnych latach stopy procentowe wynoszą odpowiednio 10%, 9% i 8%, wówczas wartość obecna jest równa: - 1 -

500 1,1. b) jeŝeli w kolejnych latach stopy procentowe wynoszą odpowiednio 10%, 9% i 8%, wówczas wartość obecna jest równa: - 1 - Zdyskotowae pzepływy pieięŝe - Pzepływy pieięŝe płatości ozłoŝoe w czasie - Pzepływy występujące w kilku óŝych okesach ie są poówywale z uwagi a zmiaę watość pieiądza w czasie - śeby poówywać pzepływy

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych.

20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych. Z1. Sformu lować model dla optymalnego planowania produkcji w nast epujacych warunkach: Wytwórca mebli potrzebuje określić, ile sto lów, krzese l i biurek powinien produkować, aby optymalnie wykorzystać

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

Zakład Systemów Zasilania (Z-5) Opracowanie nr 292/Z5 z pracy statutowej pt.

Zakład Systemów Zasilania (Z-5) Opracowanie nr 292/Z5 z pracy statutowej pt. Zakład Systemów Zasilaia (Z-5) Opracowaie r 292/Z5 z pracy statutowej pt. Aaliza istiejących w Polsce regioalych różic wartości czyików wpływających a koszt eergii używaej w telekomuikacyjych systemach

Bardziej szczegółowo

Kolektory słoneczne Jeden dach, jedno wzornictwo idealne dopasowanie

Kolektory słoneczne Jeden dach, jedno wzornictwo idealne dopasowanie Kolektory słoecze Jede dach, jedo wzorictwo ideale dopasowaie Oferta waża od 01.0.010 Atrakcyjy wygląd i fukcjoalość VELUX od blisko 70 lat rozwija swoje produkty, zapewiając ich harmoije połączeie z architekturą

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm Regulami Kokursu I. POSTANOWIENIA OGÓLNE. 1. Regulami określa zasady KONKURSU p. Wygrywaj agrody z KAN-therm (dalej: Kokurs). 2. Orgaizatorem Kokursu jest KAN Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku- Kleosiie,

Bardziej szczegółowo

Formularz SAB-Q IV / 98

Formularz SAB-Q IV / 98 Formularz SAB-Q IV / 98 (dla bank w) Zgodnie z 46 ust. 1 pkt 2 Rozporz dzenia Rady Ministr w z dnia 22 grudnia 1998 r. (Dz.U. Nr 163, poz. 1160) Zarz d Sp ki: Bank Handlowy w Warszawie SA podaje do wiadomoci

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

Zacznij oszczędzać na emeryturę

Zacznij oszczędzać na emeryturę Zaczij oszczędzać a emeryturę - to TWOJA sprawa! ZAPEWNIJ SOBIE FINANSOWĄ PRZYSZŁOŚĆ! Kto się będzie Tobą opiekował, gdy przejdziesz a emeryturę? Aktualie państwowa emerytura wyosi EUR 193,30 tygodiowo

Bardziej szczegółowo

Bilans w tys. zł wg MSR

Bilans w tys. zł wg MSR Skrócone sprawozdanie finansowe Relpol S.A. za I kw. 2005 r Bilans w tys. zł wg MSR Wyszczególnienie 31.03.2005r 31.03.2004r 31.12.2004r 31.12.2003r AKTYWA I AKTYWA TRWAŁE 41 455 43 069 41 647 43 903 1

Bardziej szczegółowo

PROTOKÓŁ nr XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO

PROTOKÓŁ nr XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO PROTOKÓŁ r XLI/05 Z XLI SESJI RADY POWIATU OBORNICKIEGO która odbyła się w diu 11 paździerika 2005r. o godz. 10.00 w sali sesyjej Starostwa Powiatowego w Obor ikach, ul. 11 Listopada 2a. Obrady rozpoczęto

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Czynnik czasu a modyfikacja dynamicznych miar oceny efektywności inwestycji

Czynnik czasu a modyfikacja dynamicznych miar oceny efektywności inwestycji ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO r 803 Fiase, Ryki Fiasowe, Ubezpieczeia r 66 (2014) s. 111 121 Czyik czasu a modyfikacja dyamiczych miar ocey efektywości iwestycji Jarosław Kaczmarek * Streszczeie:

Bardziej szczegółowo

Wytwarzanie energii odnawialnej

Wytwarzanie energii odnawialnej Adrzej Nocuñ Waldemar Ostrowski Adrzej Rabszty Miros³aw bik Eugeiusz Miklas B³a ej yp Wytwarzaie eergii odawialej poprzez współspalaie biomasy z paliwami podstawowymi w PKE SA W celu osi¹giêcia zawartego

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Załącznik 5. do Umowy nr EPS/[ ]/2016 sprzedaży energii elektrycznej na pokrywanie strat powstałych w sieci przesyłowej. zawartej pomiędzy [ ]

Załącznik 5. do Umowy nr EPS/[ ]/2016 sprzedaży energii elektrycznej na pokrywanie strat powstałych w sieci przesyłowej. zawartej pomiędzy [ ] Załączik 5 do Umowy r EPS/[ ]/ sprzedaży eergii elektryczej a pokrywaie strat powstałych w sieci przesyłowej zawartej pomiędzy Polskie Sieci Elektroeergetycze Spółka Akcyja [ ] a WARUNKI ZABEZPIECZENIA

Bardziej szczegółowo

INFORMACJA O KSZTAŁTOWANIU SIĘ WIELOLETNIEJ PROGNOZY FINANSOWEJ oraz o przebiegu realizacji przedsięwzięć POWIATU SANDOMIERSKIEGO

INFORMACJA O KSZTAŁTOWANIU SIĘ WIELOLETNIEJ PROGNOZY FINANSOWEJ oraz o przebiegu realizacji przedsięwzięć POWIATU SANDOMIERSKIEGO Załącznik nr 2 INFORMACJA O KSZTAŁTOWANIU SIĘ WIELOLETNIEJ PROGNOZY FINANSOWEJ oraz o przebiegu realizacji przedsięwzięć POWIATU SANDOMIERSKIEGO ZA I PÓŁROCZE 2014 R Wieloletnia Prognoza Finansowa Powiatu

Bardziej szczegółowo

NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA

NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA NAKŁADY KWOTA I. Wydatki w ramach kredytu/pożyczki : z tego: II. Nakłady w ramach środków własnych: z tego: SUMA NAKŁADOW (I+II) ŹRÓDŁA FINANSOWANIA: 1. Środki własne 2.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje:

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje: . Cele wycey przedsiębiorstw. Przedsiębiorstwa w rozwiiętej gospodarce rykowej są powszechie przedmiotem różorakich trasakcji hadlowych co implikuje potrzebę uzyskaia szacuków ich wartości przy pomocy

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1 Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Józef PASKA, Mariusz KŁOS, Karol PAWLAK Politechika Warszawska METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Magazyowaie eergii w ostatich latach cieszy się coraz większym zaiteresowaiem,

Bardziej szczegółowo

NOTY OBJAŚNIAJĄCE DO RACHUNKU STRAT I ZYSKÓW KOMPAP S.A.

NOTY OBJAŚNIAJĄCE DO RACHUNKU STRAT I ZYSKÓW KOMPAP S.A. NOTY OBJAŚNIAJĄCE DO RACHUNKU STRAT I ZYSKÓW KOMPAP S.A. 1.PRZYCHODY ZE SPRZEDAŻY PLN 000 PLN 000 Sprzedaż towarów i materiałów 1 071 3 157 Sprzedaż produktów 8 512 13 590 Przychody z tytułu świadczonych

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Chemiczny LABORATORIUM PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PROJEKTOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Chemiczny LABORATORIUM PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PROJEKTOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Chemiczny LABORATORIUM PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PROJEKTOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH Ludwik Synoradzki Jerzy Wisialski EKONOMIKA Zasada opłacalności Na początku każdego

Bardziej szczegółowo

KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20

KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20 ptbssp. z o.o. 43 200 Pszczyna ul. Jana Kilińskiego 5a KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20 NA MOMENT ODDANIA BUDYNKÓW

Bardziej szczegółowo

Zakładowy plan kont jednostki budżetowej Urzędu Gminy dla realizacji projektu,,budowa kąpieliska gminnego w Kozielsku

Zakładowy plan kont jednostki budżetowej Urzędu Gminy dla realizacji projektu,,budowa kąpieliska gminnego w Kozielsku Załącznik nr 2 do Zarządzenia Nr Or. 0152-21/10 Wójta Gminy Damasławek z dnia 27 października 2010r Zakładowy plan kont jednostki budżetowej Urzędu Gminy dla realizacji projektu,,budowa kąpieliska gminnego

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekoomisty Mieriki wzrostu gospodarczego dr Baha Kaliowska-Sufiowicz Uiwersytet Ekoomiczy w Pozaiu 7 marca 2013 r. Ayoe who believes that expotetial growth ca go o for ever i a fiite world

Bardziej szczegółowo

Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę).

Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę). 3 WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ziea watość pieiądza w czasie to ieodłączy atybut pieiądza właściwy ie tylko aszy czaso W teoii fiasów, okesowe płatości azywa się stuieie pieiędzy, pzepływe pieiędzy lub z

Bardziej szczegółowo

A. Założenia i wskaźniki przyjęte do opracowania projektu budżetu na 2006 rok.

A. Założenia i wskaźniki przyjęte do opracowania projektu budżetu na 2006 rok. Załącznik nr 7 do zarządzenia Nr 0151/53/2005 Wójta Gminy Łaziska z dnia 10 listopada 2005 r. OBJAŚNIENIA DO PROJEKTU UCHWAŁY BUDŻETOWEJ NA 2006 ROK A. Założenia i wskaźniki przyjęte do opracowania projektu

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo