ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA DO MODELOWANIA I BADANIA UKŁADU MECHANICZNEGO TOR- POJAZD SZYNOWY. Streszczenie

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 25, (987) ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA DO MODELOWANIA I BADANIA UKŁADU MECHANICZNEGO TOR- POJAZD SZYNOWY WŁODZIMIERZ CHOROMAŃ JERZY KISILOWSKI BOGDAN RACIBORSKI SKI Politechnika Warszawska Streszczenie Badania dynamiki poprzecznej modelu matematycznego układu mechanicznego tor- pojazd szynowy mają niezwykle istotne znaczenie biorą c pod uwagę specyfikę badanego obiektu. Chodzi mianowicie o zapewnienie jednopunktowego styku podczas ruchu pomię dzy kołem pojazdu szynowego a główką szyny. Autorzy proponują do rozwią zania problemu wykorzystać teorię procesów Markowa. Jakkolwiek przedstawione w pracy wyniki odnoszą się do konkretnego obiektu mechanicznego to proponowaną metodę postę powania wydaje się moż na uogólnić do dowolnego układu mechanicznego opisanego ukł adem równań róż niczkowych zwyczajnych, na które narzucone są ograniczenia i który jest poddany wymuszaniu losowemu.. Wstę p Badanie dynamiki poprzecznej zestawu koł owego w ruchu po torze prostym jest zadaniem posiadają cym wiele aspektów teoretycznych i utylitarnych. Ma ono niezwykle istotne znaczenie z punktu widzenia specyfiki badanego obiektu, chodzi mianowicie o zapewnienie podczas ruchu jednopunktowego" styku w ukł adzie koł o- gł ówka szyny (brak styku obrzeża kół z szyną ). Model nominalny analizowanego obiektu przedstawiono na rys.. Tradycyjne podejś cie do rozważ anego zagadnienia w literaturze dotyczą cej pojazdów szynowych sprowadza się zazwyczaj do analizy statecznoś ci w sensie Lapunowa zlinearyzowanego modelu autonomicznego. N ie uwzglę dnione zostają zatem z jednej strony losowe czynniki wystę pują ce w modelowanym obiekcie jak również ograniczenia narzucone na poszczególne przemieszczenia (bę dą ce np. wynikiem warunku jednopunktowego styku). Tymczasem wymuszenia działają ce na zestaw koł owy pochodzą gł ównie od czynników losowych jak np. nierównoś ci toru. Naturalnym wię c wydaje się zastosowanie w rozważ a- nym przypadku analizy probabilistycznej.

2 62 W. CHOROMAŃ SKI, J. KISILOWSKI, B. RACIBORSKI 4= s ; Rys.. 2. Sformułowanie problemu Przyję ty model matematyczny zestawu kołowego w ruchu po torze prostym ma w ogólnym przypadku postać: Y t [Y',,Y?,... YfY wektor «- - współrzę dnyc h uogólnionych uż ytych do opisu modelu, X t = [Xł,X? t...,xff wektorowy n- wymiarowy proces stochastyczny opisują cy losowe wymuszenia, T oznacza transpozycję, ' l/ l>72> >Jn\. G = g"ll gin Snl " oun. pochodna czasowa. Przyję to, że X t jest stacjonarnym w szerokim sensie procesem Markowa. S I S3 Rys. 2.

3 ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA 63 Z punktu widzenia specyfiki badanego obiektu wyróż niono trzy charakterystyczne stany, w jakich może znajdować się zestaw koł owy (rys. 2). 5 stan, gdy zestaw kołowy ma dwa punkty styku" z tokami szynowymi, 52 stan, gdy zestaw kołowy ma trzy punkty styku" z tokami szynowymi, 53 stan, gdy zestaw kołowy ma cztery punkty styku" z tokami szynowymi. Dla tak opisanego modelu ukł adu przeprowadzono wyznaczenie szeregu wł asnoś ci probabilistycznych, a w tym przede wszystkim wyznaczenie prawdopodobień stwa wystą - pienia stanu Sl (najbardziej korzystnego z punktu widzenia eksploatacji). 3. Metody analizy Znalezienie rozwią zania układu stochastycznych równań róż niczkowych () z wymuszeniem w postaci dowolnego porocesu stochastycznego jest na ogół niemoż liwe. Jednak w przypadku stochastycznych równań róż niczkowych ITO [2] z wymuszeniem w postaci biał ego szumu, istnieje aparat matematyczny pozwalają cy na dokł adne obliczenie charakterystyk probabilistycznych procesu opisują cego rozwią zanie układu. Stą d wynika, że pierwszym istotnym zagadnieniem jest sprowadzenie układu równań róż niczkowych () do układu stochastycznych równań róż niczkowych ITÓ postaci: tc=f(y<c,t)+g(y tc,t)- t, t, (2) pochodna czasowa, % i r lti>vt2 T ] wektor niezależ nych białych szumów. Moż na wykazać [2], że rzeczywisty proces normalny x t moż na z dowolną dokł adnoś cią aproksymować procesem stochastycznym bę dą cym rozwią zaniem pewnego stochastycznego równania róż niczkowego. Niech S x (co) oznacza gę stość spektralną procesuj. Aproksymujemy funkcję S x (co) funkcją P(z) postaci 5 { (co) = otj, js; stał e współ czynniki.! P(z) = f} o z m + p l z"< & Q{z) = z"' + <x z n « a, n s > m, Proces o gę stoś i c spektralnej S^co) moż na otrzymać jako rozwią zanie nastę pują cego równania [2]: r\ biały szum, d"' j- ^ ns- ta pochodna. ftp's / / ^"s - d m n % ^F=r+ - +J = / V^ Art. (3) Dokonują c elementarnych podstawień moż na powyż sze równanie sprowadzić do układu równań róż niczkowych I- rzę du, w których nie wystą pią już pochodne białego

4 <>4 W. CHOROMAŃ SKI, J. KISILOWSKI, B. RACIBORSKI szumu (traktowane w zapisie równania (d) czysto formalnie, ze wzglę du na nieróż niczkowalność biał ego szumu). = H( r\ t~)' = [ ] r (4) Uwzglę dniaj ą powyż sze fakty oraz równania () i (4) otrzymamy ukł ad (4) przy czym: Ytc = [Yi, Y?... Y", li, 2 > IIISF' (5) Rozwią zanie równania (2) jest wektorowym procesem stochastycznym Y, c. Aby otrzymać peł ny jego opis probabilistyczny należy znaleź ćwszystkie skoń czeni e wymiarowe rozkł ady. W praktyce ograniczymy się do - wymiarowego rozkł adu f t (Y tc ) ( f t funkcja jednowymiarowej gę stośi cprawdopodobień stwa). W dalszej czę śi cwszelkie rozważ ania odnosić się bę dą do równania (2). Proces F, c stanowią cy rozwią zanie ukł adu równań stochastycznych jest procesem Markowa pod warunkiem, iż funkcje g i / (równanie (2)) speł niają pewne warunki regularnoś ci (został y one sformuł owane m.in. w [2] i [3]). Jednowymiarową gę stość prawdopodobień stwa f t (Y tc ) procesu Y tc moż na wyznaczyć dokł adnie rozwią zując równanie Fokkera- Plancka- Koł mogorow a (FPK). n + fls n + ns f t o(y tc )=fo(y tc ). Rozwią zanie równań FPK jest w ogólnym przypadku praktycznie niemoż liwe, dlatego też do analiz moż na zastosować pewną metodę przybliż oną zwaną metodą linearyzacji bezpoś redniej [2]. Ukł ad (2) moż na przedstawić w nastę pują j cepostaci: Y t - F s (Y te,n u t), F()= F o, (7) ^dzie: F s jest funkcją nieliniową. Ten nieliniowy ukł ad równań róż niczkowych zwyczajnych moż na przybliż yć ukł adem liniowym rozwijając prawą stronę w szereg Taylora wzglę dem fluktuacji (F/ c = Y tc M t, rft Vt M? = t} t ) i odrzucając czł ony z potę gami wię kszymi od jeden (z analizy ukł adu wynika, że przemieszczenia zestawu koł owego są dostatecznie mał e aby moż na był o dokonać takiego przybliż enia). Otrzymujemy w wyniku takich operacji dwa ukł ady równań: jest to deterministyczny ukł ad równań róż niczkowych zwyczajnych, który moż na rozwiązać numerycznie na EMC Niech: P q w-

5 ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA 65 wtedy: - [ * ]. Y;=A t Y;+B t t, (9) jest to ukł ad liniowych, stochastycznych równań róż niczkowych. Ponieważ przekształ cenie liniowe zachowuje normalność a t\ jest normalny więc proces Y tc jest również procesem normalnym. Do znalezienia jego charakterystyk wystarczy obliczenie wektora wartoś ci ś rednich M, z ukł adu oraz macierzy dyspersji D, speł niają ce j nastę pująe crównanie różniczkowe: D t = A t D ( + D,A, z> + B t OB t, () A / 5 B, te same co w (9), a Q = d(t- o t)e(rj t - hri t o). Gę stość prawdopodobień stwa /,(F ) procesu Y tc wyraża się wzorem: /,(F) =. exp ~(Xt- Mt)Dr (Y t -M t ) T I. () y (2re)"det D, [ 2 Interesują cy nas rozkł ad współ rzę dnyc h (Y^ ci ) otrzymujemy obliczając rozkł ad brzegowy: CO O) MY )' f... f MY t )dy 3...dY n ). (2) Jest to gę stość prawdopodobień stwa okreś lona na cał ej przestrzeni R 2. Przyję to, że granice obszaru Q zmiennoś ci współ rzę dnyc h mają charakter ekranów odbijają cych (oznacza to, że trajektorie procesu (57 C ) po dotarciu do granicy są lustrzanym odbiciem trajektorii procesu, które przekroczył y granicę ). 4. Algorytm obliczeń. Przykł ad zastosowania metody W oparciu o zaprezentowaną metodę opracowano algorytm postę powania umoż li - wiają cy obliczenie prawdopodobień stwa znalezienia się zestawu koł owego w stanie S\. Schemat blokowy algorytmu przedstawiono na rys. 3. Model matematyczny badanego obiektu (zestawu koł owego w ruchu po torze prostym) zaczerpnię ty został z pracy []. Ma on postać dwóch nieliniowych równań róż niczkowych (uwzglę dniona tzw. nieliniowość typu kinematycznego [] drugiego rzę du): ^ = Q y ^LI^I* obrót zestawu koł owego wokół osi pionowej OZ (rys. ), qx\ Y\ przemieszczenie poprzeczne (wzdł uż osi OY) ś rodka masy zestawu koł owego* *' w nawiasach podano równoważ ne oznaczenia współ rzę dnych uż ywanych w pracy. (3)

6 66 W. CHOROMAŃ SKI, J. KISILOWSKI, B. RACIBORSKI Wczytanie parametrów równań ruchu Wczytanie wartoś ci począ tkowych M ( ), D () t = 6 ł h ł Znalezienie wartoś ci Mit), D It), np. metodq. Runge - Kutty Znalezienie ł macierzy odwrotnej D" ) Okreś leni e gę stoś ci prawdopodobień stwa Znalezienie gę stośi cbrzegowej Znalezienie prawdopodobień stwa P, (Q) = f ff ly/ Rys. 3. Qr>Qx Siłę styczną siły styczne wystę pują ce w punktach styku ukł adu tor- zestaw kołowy, (w nawiasie podano równorzę dnie uż ywane oznaczenia). Q r i moment Q v okreś lono zgodnie z liniową teorią Kalkera: N [i- k^ (Y w ~Y) + *k K bv (4) Y w rzeczywiste losowo wymuszenie kinematyczne działają ce na układ. Wykaz parametrów wraz z ich wartoś ciami zebrano w tabeli I. Gę stość spektralną rzeczywistego procesu F w utoż samiamy z losowym wymuszeniem X, równania () przedstawiono na rys. 4. Ograniczenia narzucone zaś na ukł ad, warunkują ce przebywanie jego w stanie Sl pokazano na rys. 5. Po wprowadzeniu współrzę dnych stanu q t = y, q 2 = W q 3 = f, q 4 = W sprowadzono układ (3) do ukł adu 4 równań I rzę du: ;^! ' (5)

7 ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA 6 Tabela Oznaczenie Okreś lenie Wartość Jednostka m Jx Jr b 6 e r tcps kpx kpy N A V masa zestawu kołowego moment bezwładnoś ci zestawu kbłowego wzglę dem osi OX moment bezwładnoś ci zestawu kołowego wzglę dem osi OY poł owa odległoś ci mię dzy punktami styku układu tor- zestaw kołowy w położ eniu ś rodkowym połowa ką ta stoż kowatośi cprofilu zestawu kołowego parametr sztywnoś ci grawitacyjnej ś redni promień toczny zestawu kołowego współczynnik Kalkera dla poś lizgu wiertnego współczynnik Kalkera dla poś lizgu wzdłuż nego współczynnik Kalkera dla poś lizgu poprzecznego siła normalna w punkcie kontaktu koła z szyną parametr ekwiwalentnej stoż kowatośi c prę dkość protoł iniowego ruchu zestawu kołowego kg kg- m 2 kg- m z m rad rad m N rad m/ s Y W,Y W ), A = m + d 2 J Ydq iq2 b 2 (Is k ) q 2 B Lffl] "o r e N [b 2bNk p Ą e- 6] " b J 2k py Ndr bv 7 Mech. Teoret. i Stos. 4/ 87

8 68 W. CHOROMAŃ SKI, J. KISILOWSKI, B. RACIBORSKI -,85.25,6 co Rys. 4. Rys. i. m y (t), -,- l i r 2 tlit m,(t),. A - \, I f \ l,5 I / \ / i i i \ t 2 J,5 Rys. 6. Rys. 7. I f\ ft 2P \ & ti»: jsisf.tl,,5-,2 _L _L. 2fl Rys. 8. łlsl Rzeczywistą gę stość spektralną aproksymowano funkcją postaci: Równanie (4) przyję ło postać:, x (co 2 a 2 ) 2 + af<u (6) JC jest białym szumem o wartoś ci ś redniej i intensywnoś ci. Parametry ct t i a 2 został y przy tym tak dobrane aby punkty ekstremalne obu funkcji (S x (a>), Sę (ca)) pokrywały się, tzn.: = X (7) dco - = 5-3 [mm 2 ]

9 ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA 69 Mnoż ąc obustronnie ukł ad (5) przez A" oraz uwzglę dniając zwią zki (7) otrzymano ostatecznie ukł ad w postaci (2) tzn. Y tc = A~ F(g,g 2, g 3,?4 ) + A- B[,, q 5, q 6 ] x y,?5 = l5 & h- Stosując metodę i algorytm podany uprzednio uzyskano nastę pująe cwyniki dotyczą ce wartoś ci ś rednich współ rzę dnyc h y (rys. 6 i 7) oraz prawdopodobień stwa znalezienia się ukł adu w stanie Sl (rys. 8). Moż na zauważ yć, że krzywa okreś lają a c prawdopodobień stwa znalezienia się ukł adu w stanie Sl po bardzo krótkim czasie stabilizuje się wokół wartoś ci,69 (niezależ nie od warunków począ tkowych). 5. Wnioski koń cowe Prezentowana w niniejszej pracy metoda analizy ukł adu mechanicznego z ograniczeniami i losowym wymuszeniem, wydaje się efektywnym narzę dziem badawczym prowadzą cym do otrzymania szeregu interesują cych charakterystyk probabilistycznych. Przedstawione rozważ ania mogą zostać uogólnione na dowolne ukł ady mechaniczne, pod warunkiem speł nienia sformuł owanych w pracy zał oż eń. Wykorzystana teoria procesów Markowa dostarcza bardzo silnego aparatu badawczego. Stosując ją moż na otrzymać szereg dodatkowych charakterystyk probabilistycznych nie omawianych w pracy (jak np. rozkł ad prawdopodobień stwa maksymalnych wartoś ci procesu Y t ). Skomplikowana forma zależ nośi cjak i duża wymiarowość stosowanych modeli wymaga jednak uż ycia zarówno efektywnych procedur numerycznych jak również szybkich EMC. Literatura. J. KisiLOWSKt, Dynamika ukł adu tor- pojazd.prace Instytutu Transportu PW, z. 5, Wyd. PW, W- wa K. SOBCZYK, Metody dynamiki statystycznej. PWN, W- wa B. H. THXOHOB, A. M. MHPHOB, Mapicoecnue npotfeccu, MoCKBa CoBercKoe panno" 977. P e 3 IO M e AHAJIH3 JJHHAMHKH CHCTEMBI PEJIBC- PEUBCOBBlft COCTAB C HCnOJIB3OBAHHEM ripoececcob MAPKOBA Anamra nonepeihoń flhhamhkhchctembi pentc- pejibcobbrit coctab H3-3a cnenji^k^eckhx CBOHCIB 3TOH CHCTeMH HBUHCTCH OMeHb BaHoiośł 3a# ameii. CymecTBeHHoił npogjiemofi OTJIHCTCH 3aflaia o6ecne- *iehhh TcraeHHoro KomaKTa Mewfly KojiecoM H TOJIOBKOH pejitca. JJnfl ahajih3a abtopbi npeflnonaraiot HcnojiB3OBaTB Teopmo npot(eccob MapKoBa H (J)opMajiH3M croxactiwecknx ypabhemni HTO. PaccyHi- OTHOCHTCH K KoHKpeTHOH MexaHiraecKoft chcieme, HO MoryT fibitb o6o6mehbi na jno6yio iwexa- CHCTeiwy onhcbibaeiviyio osbikhobehhwmh pji<ł >(bepemjjiam>ia.ikh ypabhehhhmh co croxacrhneckwiw. BO3MymeHHHMH H

10 62 W. CHOROMAŃ SKI, J. KISILOWSKI, B. RACIBORSKI S u m mary APPLICATION OF MARKOV PROCESSES FOR MODELLING AND INVESTIGATING, MECHANICAL TRACK- RAIL VEHICLE SYSTEM The investigation of the lateral dynamics of the track- railway vehicle system is extremely important due to the specific features of such a system. The problem is how obtain a one point contact between the rolling wheel and rail. The authors propose to use the theory of Marków processes and the stochastic ITO equations to solve the problem. Although the results are obtained there a concrete mechanical system the presented method seems to be applicable to arbitrary mechanical systems described by a set of ordinary differential equations, subject to constraints and random loading. Praca wpłynę ła do Redakcji dnia 3 kwietnia 984 roku.