Program. nauczania matematyki. dla liceum ogólnokszta càcego, liceum profilowanego i technikum. Kszta cenie ogólne w zakresie podstawowym

Transkrypt

1 Program nauczania matematyki dla liceum ogólnokszta càcego, liceum profilowanego i technikum Kszta cenie ogólne w zakresie podstawowym Piotr Grabowski

2 Projekt ok adki: Konrad Klee Opracowanie graficzne: Konrad Klee Realizacja projektu graficznego: Dorota Gajda Redaktor serii: Magdalena Spaliƒska Redaktor prowadzàcy: Maria Ma ek Redakcja j zykowa: Anna Rajca-Salata Program dopuszczony do u ytku szkolnego przez ministra w aêciwego do spraw oêwiaty i wychowania na podstawie recenzji rzeczoznawców: dr. hab. Jacka M. J drzejewskiego i mgr. Marka Sadowskiego. Nr dopuszczenia: DKOS /07 ISBN Copyright by NOWA ERA Warszawa 2008 Sk ad i amanie: Nowa Era Sp. z o.o. Nowa Era Sp. z o.o. Aleje Jerozolimskie 146 D, Warszawa tel , faks nowaera@nowaera.pl

3 Spis treêci Wst p 3 I Cele kszta cenia 4 II Procedury osiàgania celów 5 III Materia nauczania i przewidywane umiej tnoêci, które uczniowie powinni zdobyç 6 Klasa I TreÊci nauczania 6 Przewidywane umiej tnoêci ucznia 9 Klasa II TreÊci nauczania 10 Przewidywane umiej tnoêci ucznia 12 Klasa III TreÊci nauczania 13 Przewidywane umiej tnoêci ucznia 14 IV Propozycje metod kontroli i oceny osiàgni ç 15 Katalog wymagaƒ programowych 17 V Orientacyjny przydzia godzin 30

4 Wst p W matematyce umiej tnoêci sà znacznie wa niejsze od wiadomoêci, dlatego te w nauczaniu matematyki to, jak uczymy, mo e byç wa niejsze od tego, czego uczymy. György Polya Program nauczania matematyki dla liceum ogólnokszta càcego, liceum profilowanego i technikum. Kszta cenie ogólne w zakresie podstawowym w pe ni respektuje za o enia reformy szkolnictwa oraz zatwierdzonej przez MEN Podstawy programowej kszta cenia ogólnego z dn r. TreÊci nauczania w zasadzie nie wykraczajà poza has a podstawy. Matematyka, przedmiot obowiàzkowo zdawany na maturze, powinna byç opanowana w stopniu co najmniej dostatecznym przez ka dego ucznia. Nie jest to zadanie atwe, ani dla uczniów ani dla nauczycieli. Autor prezentowanego programu wyznaje zasad, e lepiej zawrzeç w nim mniej treêci, za to atwiejszych do przyswojenia i dobrego zrozumienia. Wysi ek ucznia oraz nauczyciela powinien byç racjonalny i twórczy, a nie mechaniczny. Tym bardziej, e matematyka daje ka demu nauczycielowi ogromne mo liwoêci poszerzania materia u o ciekawe lub trudniejsze zadania. Wystarczy wspomnieç, e bardzo interesujàce zadania na poziomie olimpiad matematycznych dotyczà teorii liczb, wielomianów czy geometrii! Lekcje nie powinny byç nudne, nawet dla bardzo zdolnego ucznia, który zdecydowa si na program matematyki ograniczony tylko do zakresu podstawowego. Niniejsza pozycja sk ada si z kilku cz Êci. Na poczàtku wymienione zosta y najwa niejsze cele edukacyjne i wychowawcze kszta cenia w zakresie matematyki. Kolejnà cz Êç programu poêwi cono procedurom osiàgania celów oraz metodom sprawdzania i oceny osiàgni ç uczniów. Dalej omówiony zosta materia nauczania wraz z przewidywanymi osiàgni ciami uczniów. Na koƒcu zamieszczono uwagi na temat realizacji programu z podaniem orientacyjnego przydzia u godzin. Zrealizowanie celów nauczania wymaga czasu. Przy obowiàzujàcej siatce godzin nie jest go zbyt wiele. Do decyzji nauczyciela nale y wybór, czy realizowaç podanà propozycj, czy dokonaç w niej pewnych korekt. Nie mo na zak adaç jednolitego 4

5 schematu nauczania nawet w obr bie jednego programu. Dobór form i metod nauczania musi byç dostosowany do konkretnych warunków liczby uczniów, wyposa enia szko y, planu zaj ç itp. Do niniejszego programu Wydawnictwo Nowa Era przygotowuje pakiet zawierajàcy podr czniki dla uczniów oraz poradniki metodyczne dla nauczycieli. 5

6 I Cele kszta cenia Nauka matematyki powinna wspomagaç rozwój intelektualny ucznia, przygotowywaç go do dzia aƒ zespo owych, przyczyniaç si do wszechstronnego kszta towania jego osobowoêci oraz pomóc mu w poznawaniu i rozumieniu problematyki rozwoju kraju i Êwiata. Cele edukacyjne opanowanie umiej tnoêci uogólniania przyk adów, formu owania hipotez i twierdzeƒ, przeprowadzania prostych rozumowaƒ dedukcyjnych; opanowanie umiej tnoêci podawania przyk adów i kontrprzyk adów, definiowania poj ç oraz pos ugiwania si definicjà; wykszta cenie umiej tnoêci budowania modeli matematycznych ró norodnych sytuacji z ycia codziennego oraz ich wykorzystania do rozwiàzywania problemów; opanowanie umiej tnoêci potrzebnych do iloêciowej oceny i opisu ró nych zjawisk; wykszta cenie wyobraêni przestrzennej przez wyznaczanie zwiàzków metrycznych i miarowych w otaczajàcej nas przestrzeni i obliczanie miar figur geometrycznych; nauczenie wykrywania zwiàzków mi dzy liczbowymi parametrami zjawisk, szacowania wartoêci tych parametrów, opisywania zwiàzków pomi dzy nimi za pomocà równaƒ i nierównoêci, wykrywania mi dzy nimi zale noêci funkcyjnych lub rekurencyjnych oraz analiza ich w asnoêci, wyznaczania stanów optymalnych i ekstremalnych; opanowanie umiej tnoêci odczytywania w asnoêci zwiàzków opisanych wykresami, diagramami itp., konstruowanie wykresów; nauczenie wykonywania dzia aƒ na liczbach i wyra eniach algebraicznych; opanowanie umiej tnoêci sporzàdzania notatek; 6

7 opanowanie umiej tnoêci korzystania z opracowaƒ podr cznikowych, pomocy naukowych, komputera, kalkulatora itp. Procesy wychowawcze nauka dobrej organizacji pracy, wytrwa oêci i systematycznoêci w dà eniu do osiàgni cia zamierzonych celów; kszta cenie umiej tnoêci logicznego rozumowania; wyrabianie samodzielnoêci, dociekliwoêci i krytycyzmu; rozwijanie zdolnoêci poznawczych; pobudzanie aktywnoêci umys owej; rozwijanie umiej tnoêci prezentowania wyników w asnej pracy i dowodzenia racji z wykorzystaniem precyzyjnego j zyka matematyki; rozwijanie umiej tnoêci pracy i wspó pracy w zespole oraz prowadzenia dyskusji z wykorzystaniem argumentów merytorycznych. 7

8 II Procedury osiàgania celów Program nauczania matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum, liceum i technikum uk ada si spiralnie. Te same has a programowe omawiane sà w kolejnych latach na coraz wy szym poziomie abstrakcji i cechuje je coraz wi kszy stopieƒ trudnoêci. W miar realizacji programu zadania si komplikujà, a wymagania, dotyczàce np. dowodzenia twierdzeƒ czy bardziej precyzyjnego stosowania definicji, rosnà. Takie ustawienie programu wymusza na nauczycielu sta e metody pracy z uczniami. Punktem wyjêcia jest przygotowanie planu pracy na ca y rok, co u atwiç mo e umieszczona w programie propozycja orientacyjnego przydzia u godzin. Planujàc cykl lekcji poêwi conych konkretnemu zagadnieniu (np. poj ciu funkcji, zastosowaniom trygonometrii itp.), nale y przeznaczyç czas na powtórzenie i usystematyzowanie omówionego wczeêniej materia u dotyczàcego danego has a programowego. Materia ten mo na rozszerzyç o ciekawsze i trudniejsze zadania. Nast pnie, najlepiej jako uogólnienie prezentowanych wczeêniej problemów, wprowadzone zostajà nowe poj cia. Przy ich omawianiu bardzo wa ne jest stosowanie zasady stopniowania trudnoêci. Utrwalenie nowych poj ç zaczynamy od najprostszych przyk adów i zadaƒ, a nast pnie przechodzimy do coraz bardziej skomplikowanych. W ca ym procesie nauczania matematyki wa nà rol odgrywa rozwiàzywanie zadaƒ. Bardzo istotne jest równie zró nicowanie ich tematyki. Dotyczy to tak e zadawanych prac domowych. Monotonne powtarzanie tych samych czynnoêci skutecznie niszczy zainteresowanie matematykà i ch ç uczenia si jej. Aby przybli yç uczniom wprowadzane poj cia matematyczne, warto zwróciç uwag na ich powiàzanie z yciem codziennym, np. pokazaç jak, znajàc procenty mo na oceniç ró ne systemy kredytowania. Bardzo wa ne jest, aby tematyka zadaƒ ukazywa a sposoby zastosowania matematyki w ró nych dziedzinach ycia. Warto równie, aby uczniowie samodzielnie wyszukiwali informacje matematyczne w materia ach êród owych, np. Êwiadomie korzystali z danych statystycznych. Przy omawianiu materia u istotne jest stosowanie w sposób przemyêlany i uzasadniony pomocy naukowych komputera, kalkulatora, tablic matematycznych, 8

9 najrozmaitszych modeli, plansz, diagramów, wykresów itp. Zamiast wykonywaç d ugie, m czàce i nudne rachunki trzeba çwiczyç dzia ania na kalkulatorze. Taka umiej tnoêç bez wàtpienia bardzo przyda si w yciu ka demu. Nale y przy tym zachowaç proporcje i np. nie pos ugiwaç si kalkulatorem przy robieniu prostych obliczeƒ. Poza tradycyjnym prowadzeniem lekcji w formie wyk adu warto wprowadzaç metody aktywizujàce uczniów. Jednà z nich jest praca w ma ych, 3 4-osobowych grupach. Wspólne zmaganie si z problemem jest skuteczniejsze i mniej stresujàce ni wysi ek jednostkowy. Poszukiwanie b dów w pracach swoich i kolegów wyrabia nawyk samodzielnego sprawdzania rozwiàzaƒ. U atwi to prac w domu, która powinna stanowiç kontynuacj zaj ç lekcyjnych. Istotne jest tak e nauczenie si korzystania z podr czników i zbiorów zadaƒ. Umiej tnoêç robienia dobrych notatek z wyk adu bywa cz sto niedoceniana zarówno przez uczniów, jak i przez nauczycieli. Warto temu zagadnieniu poêwi ciç wi cej uwagi. W procesie dydaktycznym niezwykle wa ne jest utrwalenie i sprawdzenie zdobytej wiedzy i umiej tnoêci. S u à temu odpowiedzi ustne oraz wszelkiego rodzaju pisemne prace klasowe rozwiàzywanie zadaƒ i przyk adów, testy zwyk e i wielokrotnego wyboru. Nale y zwróciç uwag, by tok nauczania by jak najbardziej zindywidualizowany, szczególnie, gdy mamy do czynienia z uczniami o zró nicowanym stopniu zainteresowaƒ i zdolnoêci. Uczniom s abszym mo na zaproponowaç zaj cia wyrównawcze, zaê szczególnie zainteresowanym przedmiotem zaj cia fakultatywne, rozszerzajàce omawiany w klasie materia. Dobierajàc metody pracy, niezale nie od omawianych zagadnieƒ, warto odpowiedzieç sobie na dwa pytania: przed danà lekcjà czego chc dziê uczniów nauczyç, a po niej czego ich faktycznie nauczy em. ÂwiadomoÊç stawianych sobie celów kszta cenia w sposób widoczny zwi kszy szans ich realizacji. Chcàc osiàgnàç cele wychowawcze, nale y przede wszystkim pami taç o tym, e najefektywniej si wychowuje, dajàc samemu dobry przyk ad. 9

10 III Materia nauczania i przewidywane umiej tnoêci, które uczniowie powinni zdobyç Klasa I KSZTA CENIE OGÓLNE W ZAKRESIE PODSTAWOWYM (3 godz. tygodniowo, razem 114 godz.) TreÊci nauczania I. Liczby i ich zbiory 1. Intuicja poj cia zbioru, podzbiory, zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory, wprowadzenie symboli Œ, Ã. 2. Liczby naturalne i ca kowite. Liczby wymierne u amki zwyk e, rozwini cia dziesi tne okresowe, zamiana u amków dziesi tnych okresowych na u amki zwyk e. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych). Liczby niewymierne, rozwini cia dziesi tne nieokresowe, przybli enia oraz poj cie b du przybli enia (b àd bezwzgl dny, b àd wzgl dny), rachunki na kalkulatorach, szacowanie wartoêci wyra eƒ liczbowych. 3. Cztery dzia ania w zbiorze liczb rzeczywistych i ich w asnoêci, dzia ania na pierwiastkach, znoszenie niewymiernoêci z mianownika. 4. Dzia ania na pot gach o wyk adnikach naturalnych i ich w asnoêci. 5. Definicje pot g a 0, a n (n Œ N + ). Dzia ania na pot gach o wyk adnikach ca kowitych i ich w asnoêci. 6. OÊ liczbowa, przedzia y liczbowe, cz Êç wspólna przedzia ów liczbowych, suma przedzia ów, ró nice przedzia ów. 10

11 7. WartoÊç bezwzgl dna liczby i jej podstawowe w asnoêci, interpretacja geometryczna wartoêci bezwzgl dnej na osi liczbowej, okreêlanie przedzia ów liczbowych za pomocà wartoêci bezwzgl dnej, d ugoêç odcinka na osi liczbowej. 8. Obliczenia procentowe, diagramy procentowe, wielkoêci wi ksze (mniejsze) o a procent, obliczenia procentowe z u yciem kalkulatorów, punkty procentowe. II. Funkcje i ich w asnoêci 1. Definicja funkcji jako przyporzàdkowania y = f(x), przyk ady funkcji, funkcje u ywane w statystyce opisowej, tabelki, diagramy, funkcje opisujàce zjawiska przyrodnicze, ekonomiczne, socjologiczne itp. 2. Dziedzina funkcji i zbiór wartoêci funkcji, wyznaczanie dziedziny funkcji liczbowej okreêlonej wzorami. 3. Definicja wykresu funkcji liczbowej, wykresy funkcji opisujàce zale noêci w gospodarce i yciu codziennym uwzgl dnienie ró nych jednostek na osiach. Odczytywanie z wykresu funkcji jej dziedziny i zbioru wartoêci, a tak e wartoêci najwi kszej (najmniejszej) osiàganej przez funkcj w dziedzinie lub w okreêlonym przedziale, odczytywanie z wykresu argumentów, dla których funkcja przyjmuje okreêlone wartoêci ( f(x) = m, f(x) > m, f(x) < m). 4. Miejsce zerowe funkcji, odczytywanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych. 5. Definicja funkcji monotonicznej na przedziale (a; b), wyznaczanie przedzia ów monotonicznoêci funkcji na podstawie jej wykresu. 6. Przekszta canie wykresów funkcji: y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, wykonywanie takich przesuni ç, je eli funkcja dana jest wykresem (bez wzoru). III. Funkcja liniowa i jej w asnoêci 1. ProporcjonalnoÊç prosta. Funkcja liniowa, interpretacja jej wspó czynnika kierunkowego i wyrazu wolnego. Rysowanie wykresów funkcji liniowych i kawa kami liniowych. Przekszta cenie wzoru i wykresu funkcji liniowej f(x) = ax (przesuni cie wzd u osi uk adu wspó rz dnych). 2. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie jej wykresu (wykorzystanie interpretacji wspó czynnika kierunkowego i wyrazu wolnego). 3. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji liniowych i kawa kami liniowych. Punkty przeci cia wykresu funkcji liniowej z osiami uk adu wspó rz dnych. 4. Uk ady dwóch równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi rozwiàzywanie i interpretacja geometryczna. Zadania tekstowe prowadzàce do uk adów równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi. 11

12 IV. Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej ax + by + c = 0 przejêcie od wykresu funkcji liniowej, proste x = a, punkty przeci cia prostej z osiami uk adu wspó rz dnych, równanie prostej przechodzàcej przez dwa dane punkty p aszczyzny kartezjaƒskiej. 2. Wzajemne po o enie dwóch prostych na p aszczyênie. Proste równoleg e i proste prostopad e na p aszczyênie kartezjaƒskiej. 3. Odleg oêç na p aszczyênie kartezjaƒskiej. Wspó rz dne Êrodka odcinka. 4. Równanie okr gu (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. V. Funkcja kwadratowa 1. Funkcja f(x) = ax 2 (a π 0) i jej wykres, w asnoêci funkcji odczytywane z wykresu: dziedzina, zbiór wartoêci, wartoêci najwi ksze i wartoêci najmniejsze w dziedzinie lub na okreêlonym przedziale, przedzia y monotonicznoêci, miejsce zerowe. 2. Wykres i wzór funkcji y= ax 2 + q, odczytywanie z wykresu w asnoêci (jw.). 3. Wykres i wzór funkcji y= a(x p) 2, odczytywanie z wykresu w asnoêci (jw.). 4. Postaç kanoniczna funkcji kwadratowej y= a(x p) 2 + q, wspó rz dne wierzcho ka paraboli. 5. Postaç ogólna funkcji kwadratowej y= ax 2 + bx + c, wyprowadzenie wzoru y= (x b ) 2 + D. WartoÊç najwi ksza i wartoêç najmniejsza funkcji kwadratowej w przedziale zastosowanie w zadaniach tekstowych, wykresy funkcji 2a 4a kwadratowej. 6. Równanie kwadratowe niepe ne x 2 + a = 0, x 2 + bx = 0. Wyró nik trójmianu i zwiàzek jego znaku z liczbà miejsc zerowych funkcji kwadratowej, wyprowadzenie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego. NierównoÊci kwadratowe z jednà niewiadomà. 7. Rozwiàzywanie zadaƒ prowadzàcych do równaƒ i nierównoêci stopnia drugiego. Przewidywane umiej tnoêci ucznia Po ukoƒczeniu klasy pierwszej uczeƒ powinien: wykonywaç podstawowe dzia ania na zbiorach (suma, cz Êç wspólna, ró nica zbiorów); wykonywaç obliczenia na liczbach rzeczywistych, w szczególnoêci dzia ania na pot gach o wyk adnikach ca kowitych oraz na pierwiastkach; 12

13 odró niaç liczby wymierne od liczb niewymiernych; zamieniaç u amki zwyk e na u amki dziesi tne okresowe i odwrotnie; znaç poj cie wartoêci bezwzgl dnej liczby rzeczywistej i jej zwiàzek z odleg oêcià na osi liczbowej; porównywaç liczby rzeczywiste; szacowaç wartoêci wyra eƒ liczbowych; rozwiàzywaç nierównoêci liniowe oraz ich uk ady i zapisywaç wyniki w postaci przedzia ów liczbowych; stosowaç obliczenia procentowe; rysowaç wykresy funkcji liczbowych zadanych tabelkà oraz funkcji przedzia- ami liniowych; odczytywaç z dowolnego wykresu funkcji jej w asnoêci: dziedzin, zbiór wartoêci, miejsca zerowe, przedzia y monotonicznoêci, liczb rozwiàzaƒ równania f(x) = m, m Œ R, rozwiàzania nierównoêci f(x) > 0, f(x) < 0; znajdowaç na podstawie wykresu funkcji jej wartoêci najwi ksze (najmniejsze) w dziedzinie lub jej podzbiorze; przekszta caç wykresy funkcji (przesuni cia wzd u osi uk adu); wyznaczaç równania prostej na p aszczyênie; rozwiàzywaç uk ady równaƒ liniowych i znaç interpretacj geometrycznà takich uk adów w uk adzie wspó rz dnych; stosowaç uk ady równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi do rozwiàzywania zadaƒ tekstowych; obliczaç d ugoêç odcinka na p aszczyênie kartezjaƒskiej; okreêlaç poj cia i formu owaç podstawowe twierdzenia dotyczàce funkcji kwadratowej; rysowaç wykresy funkcji kwadratowych i odczytywaç z wykresów w asnoêci funkcji dziedzin, zbiór wartoêci, miejsca zerowe, przedzia y monotonicznoêci, rozwiàzania nierównoêci f(x) > 0, f(x) < 0; rozwiàzywaç równania i nierównoêci kwadratowe. 13

14 Klasa II KSZTA CENIE OGÓLNE W ZAKRESIE PODSTAWOWYM (3 godz. tygodniowo, razem 114 godz.) TreÊci nauczania I. Wielomiany i funkcje wymierne 1. Jednomiany i wielomiany stopnia n z jednà zmiennà, wielomian stopnia zero, wielomian zerowy, równoêç wielomianów. 2. Dodawanie, odejmowanie i mno enie wielomianów. 3. Wzory skróconego mno enia, w tym (a ± b) 3 oraz a 3 ± b Pierwiastki wielomianu i odczytywanie ich z postaci iloczynowej wielomianu. 5. Rozk ad wielomianu na czynniki (grupowanie i wy àczanie czynnika przed nawias, wzory skróconego mno enia). 6. Rozwiàzywanie prostych równaƒ wielomianowych metodà rozk adu wielomianu na czynniki. 7. Dzia ania na wyra eniach wymiernych rozszerzanie i skracanie wyra eƒ wymiernych, sprowadzanie wyra eƒ wymiernych do wspólnego mianownika, dodawanie, odejmowanie, mno enie i dzielenie wyra eƒ wymiernych. 8. Wyznaczanie dziedziny wyra enia wymiernego z jednà zmiennà. Obliczanie wartoêci liczbowej wyra enia wymiernego dla danej wartoêci zmiennej. 9. Funkcja wymierna i jej dziedzina. 10. ProporcjonalnoÊç odwrotna. 11. Funkcja f(x) = a x, jej dziedzina i wykres. Odczytywanie w asnoêci funkcji f(x) = a x z wykresu. 12. Rozwiàzywanie prostych równaƒ wymiernych. 13. Rozwiàzywanie zadaƒ o kontekêcie praktycznym, prowadzàcych do prostych równaƒ wymiernych. II. Pot ga o wyk adniku rzeczywistym 1. Pot ga liczb nieujemnych o wyk adniku wymiernym. 2. Dzia ania na pot gach o wyk adniku wymiernym. 3. Pot ga liczb nieujemnych o wyk adniku rzeczywistym (informacja). 4. Funkcja wyk adnicza, jej wykres i podstawowe w asnoêci. 5. OkreÊlenie logarytmu. 14

15 6. W asnoêci logarytmów logarytm iloczynu, logarytm ilorazu, logarytm pot gi o wyk adniku naturalnym. III. Ciàgi liczbowe 1. Definicja ciàgu liczbowego funkcji, której dziedzinà jest zbiór (lub podzbiór) liczb naturalnych, ciàg skoƒczony i nieskoƒczony. 2. Ciàg arytmetyczny, wzór na n-ty wyraz oraz sum n poczàtkowych wyrazów, wyraz Êrodkowy jako Êrednia arytmetyczna wyrazów sàsiednich, monotonicznoêç ciàgu arytmetycznego. 3. Ciàg geometryczny, wzór na n-ty wyraz oraz sum n poczàtkowych wyrazów, zale noêç a n 2 = a n 1 a n + 1, monotonicznoêç ciàgu gdy a 1 > 0 i q < 0 (roênie lub maleje w post pie geometrycznym). 4. Procent sk adany, oprocentowanie lokat i kredytów bankowych, sprzeda y ratalnej itp. IV. Zwiàzki miarowe w figurach p askich 1. Kàty w kole (kàt Êrodkowy, kàt wpisany, kàt mi dzy stycznà a ci ciwà). 2. Podobieƒstwo, figury podobne. 3. Cechy podobieƒstwa trójkàtów. 4. Twierdzenie Talesa i jego zwiàzek z podobieƒstwem. 5. Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym. 6. Definicja funkcji trygonometrycznych kàta ostrego w trójkàcie prostokàtnym. 7. Podstawowe zwiàzki mi dzy funkcjami trygonometrycznymi kàta ostrego. 8. Pola wielokàtów, pole i obwód ko a, obliczanie pól, obwodów i innych zwiàzków miarowych z zastosowaniem poznanych wzorów i trygonometrii. Przewidywane umiej tnoêci ucznia Po ukoƒczeniu klasy drugiej uczeƒ powinien: zredukowaç wyrazy podobne i uporzàdkowaç wielomian; wyznaczaç wspó czynniki i okreêliç stopieƒ wielomianu; dodawaç, odejmowaç i mno yç wielomiany; rozk adaç wielomiany na czynniki; stosowaç grupowanie wyrazów i wy àczanie wspólnego czynnika przed nawias w celu roz o enia wielomianu na czynniki; 15

16 stosowaç wzory skróconego mno enia w celu roz o enia wielomianu na czynniki; odczytywaç pierwiastki wielomianu z jego postaci iloczynowej; rozwiàzywaç proste równania wielomianowe (metodà rozk adu na czynniki); dodawaç, odejmowaç, mno yç i dzieliç wyra enia wymierne; sporzàdzaç wykres i odczytywaç w asnoêci funkcji f(x) = a x ; rozwiàzywaç zadania praktyczne zwiàzane z proporcjonalnoêcià odwrotnà; rozwiàzywaç proste równania wymierne; opisywaç zwiàzki pomi dzy wielkoêciami liczbowymi za pomocà równaƒ i nierównoêci; rozwiàzywaç zadania praktyczne prowadzàce do prostych równaƒ wymiernych; pos ugiwaç si pot gami o wyk adnikach wymiernych; stosowaç prawa dzia aƒ na pot gach o wyk adnikach rzeczywistych; sporzàdzaç wykresy funkcji wyk adniczej (o ró nych podstawach) i opisywaç jej w asnoêci; stosowaç poj cie logarytmu; stosowaç wzory na logarytm iloczynu i logarytm ilorazu; wyznaczaç wyrazy ciàgu liczbowego zadanego wzorem; podawaç przyk ady ciàgów liczbowych skoƒczonych i nieskoƒczonych; stosowaç wzory na n-ty wyraz i sum n poczàtkowych wyrazów ciàgu arytmetycznego i ciàgu geometrycznego; znaç i stosowaç zale noêç mi dzy trzema sàsiednimi wyrazami ciàgu arytmetycznego i ciàgu geometrycznego; stosowaç w asnoêci ciàgu geometrycznego do zadaƒ zwiàzanych z bankowo- Êcià (lokaty i kredyty), w szczególnoêci korzystaç z poj cia procentu sk adanego; okreêlaç funkcje trygonometryczne kàta ostrego w trójkàcie prostokàtnym; znaç podstawowe zwiàzki mi dzy funkcjami trygonometrycznymi; wyznaczaç wartoêci funkcji trygonometrycznych kàtów ostrych; wyznaczaç miar kàta ostrego, znajàc wartoêç funkcji trygonometrycznej tego kàta; znajàc wartoêç funkcji trygonometrycznej jakiegoê kàta, wyznaczaç wartoêci pozosta ych funkcji trygonometrycznych tego kàta; stosowaç zwiàzki pomi dzy kàtem Êrodkowym, kàtami wpisanymi i kàtem mi dzy stycznà a ci ciwà ko a (wyznaczonymi przez ten sam uk); 16

17 wyznaczaç zwiàzki metryczne i miarowe dla figur p askich; stosowaç twierdzenie Talesa, podobieƒstwo i funkcje trygonometryczne w zadaniach dotyczàcych zwiàzków miarowych figur, tak e w sytuacjach praktycznych. Klasa III (3 godz. tygodniowo, razem 84 godz.) TreÊci nauczania I. Kombinatoryka; rachunek prawdopodobieƒstwa oraz elementy statystyki opisowej 1. Proste zadania kombinatoryczne uwzgl dniajàce losowanie kolejno ze zwracaniem i bez zwracania oraz losowania podzbiorów danego zbioru. 2. Zasada mno enia. 3. DoÊwiadczenia losowe, zdarzenia losowe, zbiór zdarzeƒ elementarnych, dzia ania na zdarzeniach zdarzenie pewne, niemo liwe, koniunkcja i alternatywa zdarzeƒ, zdarzenie przeciwne, zdarzenia wykluczajàce si. 4. Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa i jego podstawowe w asnoêci: P(Δ) = 0, P(W) = 1, P(A»B) = P(A) + P(B) P(A«B), P(A ) + P(A) = Obliczanie prawdopodobieƒstw zdarzeƒ w skoƒczonych przestrzeniach probabilistycznych, zastosowanie w asnoêci prawdopodobieƒstwa. 6. Elementy statystyki opisowej badanie próby losowej i jej opis za pomocà liczb charakterystycznych, Êrednia arytmetyczna, Êrednia wa ona, mediana, wariancja i odchylenie standardowe, przyk ady badaƒ statystycznych GUS. II. Stereometria 1. Równoleg oêç i prostopad oêç w przestrzeni. 2. Twierdzenie o trzech prostych prostopad ych. 3. Kàt nachylenia prostej do p aszczyzny. 4. Kàt dwuêcienny. 5. Graniastos upy powtórzenie podstawowych w asnoêci, graniastos upy prawid owe, proste, prostopad oêciany. 6. Ostros upy powtórzenie podstawowych w asnoêci, ostros upy prawid owe, twierdzenie o ostros upie, który ma wszystkie kraw dzie boczne równej d ugoêci. 17

18 7. Pola powierzchni i obj toêci wieloêcianów powtórzenie wzorów, obliczenia równie z zastosowaniem trygonometrii. 8. Walec, sto ek, kula powtórzenie podstawowych w asnoêci, pola powierzchni i obj toêci, obliczanie równie z zastosowaniem trygonometrii. III. Powtórzenie przed maturà Przewidywane umiej tnoêci ucznia Po ukoƒczeniu klasy trzeciej uczeƒ powinien: zliczaç obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowaç zasad mno enia; konstruowaç model matematyczny doêwiadczeƒ losowych (skoƒczone zbiory zdarzeƒ elementarnych); wykonywaç (w prostych sytuacjach) dzia ania na zdarzeniach; obliczaç prawdopodobieƒstwa w przyk adach wykorzystujàcych klasycznà definicj prawdopodobieƒstwa; krytycznie analizowaç dane doêwiadczalne (badania statystyczne) i ich graficzne reprezentacje, operowaç podstawowymi charakterystykami liczbowymi zestawów danych, wskazywaç i obliczaç kàty mi dzy Êcianami wieloêcianu, Êcianami i odcinkami oraz mi dzy odcinkami takimi, jak kraw dzie, przekàtne, wysokoêci; opisywaç w asnoêci podstawowych wieloêcianów i bry obrotowych; wyznaczaç zwiàzki miarowe w otaczajàcej go przestrzeni, wyznaczaç miary bry równie z zastosowaniem trygonometrii. 18

19 IV. Propozycja metod kontroli i oceny osiàgni ç Jednym z najtrudniejszych zadaƒ stojàcych przed nauczycielem jest sprawdzanie i ocenianie osiàgni ç uczniów. Jego prawid owe wykonanie jest niezb dne dla: ucznia, gdy potwierdza lub kwestionuje jego samoocen (a tym samym uczy w aêciwego oceniania samego siebie); jest sygna em do uzupe nienia niedociàgni ç; motywuje do dalszego kszta cenia oraz rozwijania w asnych uzdolnieƒ i zainteresowaƒ; nauczyciela, gdy dostarcza informacji o poprawnoêci stosowanych metod nauczania oraz stopniu osiàgni cia zamierzonych celów edukacyjnych. Matematyka jest dyscyplinà nauki, w której umiej tnoêci tylko pozornie sà atwe do oceny. Cz stym b dem jest na przyk ad klasyfikowanie pisemnych rozwiàzaƒ zadaƒ wy àcznie w dwóch kategoriach jako zrobione b dnie albo bezb dnie. Tymczasem mo na tak post powaç tylko w stosunku do odpowiedzi w testach. Najwi kszà trudnoêç sprawia ustalenie, na ile uczeƒ rozumie to, co robi. Bardzo wa ne jest wi c stawianie mu pytaƒ sprawdzajàcych zrozumienie kolejnych etapów pracy. Z powy szych uwag wynika, e metody sprawdzania osiàgni ç ucznia powinny byç ró norodne. Nie nale y przy tym ka dego sprawdzania umiej tnoêci koƒczyç ocenà wyra onà stopniem. Uczeƒ powinien kszta ciç si na w asnych b dach oraz twórczo poszukiwaç w aêciwych rozwiàzaƒ. Pod adnym pozorem nie mo na dopuêciç do sytuacji, w której strach przed negatywnà ocenà parali uje i odbiera ch ç aktywnego uczestniczenia w lekcji. Swobodne wypowiedzi sà dla nauczyciela dobrà wskazówkà, czy proces dydaktyczny przebiega prawid owo. Uczniom warto zadaç przygotowanie publicznej prezentacji rozwiàzania problemu, który wczeêniej opracujà w 2 3-osobowych grupach. Takie zadanie skutecznie motywuje do dok adnego zrozumienia tematu. Podczas prezentowania wyników pracy przez jednego z cz onków grupy, nale y bardzo dociekliwie pytaç: skàd ten wniosek?, dlaczego?, czy zawsze?, czy dla dowolnych? itp. Na ogó uczniowie, 19

20 przyzwyczajeni do takiej formy pracy, stawiajà sobie nawzajem podobne pytania podczas przygotowywania prezentacji. Jest to bardzo efektywny sposób nauki, a dla nauczyciela prezentacja jest jednà z najlepszych metod sprawdzenia, czy, zw aszcza trudniejsze, poj cia lub teorie matematyczne, zosta y dobrze zrozumiane. Uczniom nale y zadawaç prac do domu. Jest to konieczne ze wzgl du na zbyt du y zakres materia u w stosunku do liczby godzin. Praca taka spe ni swoje zadanie, o ile nauczyciel b dzie kontrolowa poprawnoêç jej wykonania, co nie powinno jednak àczyç si z ocenà na stopieƒ. OczywiÊcie, nie trzeba rezygnowaç z tradycyjnej formy odpowiedzi ustnej ocenianej stopniem. Uczeƒ powinien umieç prezentowaç swoje umiej tnoêci nawet w sytuacji zwiàzanej z du ym stresem. Warto tak zaplanowaç lekcje, aby w ciàgu semestru ka dy otrzyma przynajmniej jednà ocen z odpowiedzi ustnej. Pisemne sprawdziany wiadomoêci to zwykle kartkówki, prace klasowe oraz ró nego rodzaju testy. Krótkie kartkówki sà wygodnà formà kontroli umiej tnoêci nabytych w trakcie ostatnich (3 4) lekcji. Powinny byç raczej ocenà sprawnoêci rachunkowej, znajomoêci i stosowania definicji itp., ni rozwiàzywaniem zadaƒ problemowych. Po wi kszej partii materia u przeprowadza si na ogó godzinne prace klasowe. Przygotowanie prawid owego zestawu zadaƒ jest dla nauczyciela swoistym wyzwaniem, gdy : liczba zadaƒ nie powinna przekraczaç trzech, czterech; zadania powinny mieç zró nicowany stopieƒ trudnoêci; rozwiàzania powinny daç mo liwoêç oceny pracy w pe nej skali, od niedostatecznej do celujàcej; cz Êç z postawionych problemów powinna dawaç szans na wykazanie si myêleniem twórczym. To tylko niektóre z cech dobrze opracowanej pracy klasowej. Coraz cz Êciej spotykanà formà pracy pisemnej sà testy. M odzi ludzie, wcze- Êniej czy póêniej, spotkajà si z tà formà sprawdzianu, wi c warto çwiczyç z nimi umiej tnoêç ich rozwiàzywania. Praktyka dowodzi, e bez wczeêniejszego treningu trudno jest, nawet osobie dobrze przygotowanej merytorycznie, prawid owo rozwiàzaç egzamin testowy. Zdaniem autora niezwykle wa ne jest staranne, rzetelne, w pe ni profesjonalne przygotowanie ka dego sprawdzianu. Stosujàc obowiàzujàcy w Polsce system oceniania, warto zadbaç o przejrzystoêç kryteriów i konsekwencj w ich stosowaniu. Wiadomo, jak bardzo potrafi zniech ciç do dalszej nauki niesprawiedliwa lub nieuzasadniona ocena. 20

21 Zadaniem ka dego nauczyciela jest opracowanie na poczàtku roku szkolnego Przedmiotowego Systemu Oceniania zgodnego z Wewnàtrzszkolnym Systemem Oceniania. Obydwa dokumenty, zatwierdzone przez Rad Pedagogicznà powinny uwzgl dniaç specyfik szko y, Êrodowisko uczniów, profil klasy itp. Szczegó owe zasady oceniania wewnàtrzszkolnego okreêla statut szko y, z uwzgl dnieniem przepisów rozporzàdzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 19 kwietnia 1999 r. (z póêniejszymi zmianami). Prezentowany poni ej katalog wymagaƒ programowych nale y zatem traktowaç wy àcznie jako propozycj wymagajàcà rozwa- enia i dopasowania do sytuacji ka dej klasy. Dotyczy to zw aszcza podzia u wymagaƒ na dwie kategorie podstawowe i ponadpodstawowe. KATALOG WYMAGA PROGRAMOWYCH Liczby i ich zbiory Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: stosowaç prawid owo poj cie zbioru podaç przyk ady zbiorów skoƒczonych i nieskoƒczonych wypisaç wszystkie elementy prostych zbiorów skoƒczonych stosowaç prawid owo poj cia zbioru pustego, podzbioru, zbiorów równych wykonywaç podstawowe dzia ania na zbiorach (suma, cz Êç wspólna, ró nica zbiorów) podaç przyk ady podzbiorów danego zbioru powiedzieç, jakiej postaci sà liczby naturalne, ca kowite, wymierne rozwiàzaç proste zadanie tekstowe dotyczàce liczb ca kowitych wykonaç dzielenie z resztà w zbiorze liczb naturalnych odró niaç liczby pierwsze i liczby z o one zamieniaç u amek zwyk y na u amek dziesi tny podaç przyk ady liczb niewymiernych podaç przybli enie dziesi tne liczby (np. korzystajàc z kalkulatora) z zadanà dok adnoêcià stosowaç kolejnoêç dzia aƒ w zbiorze liczb rzeczywistych stosowaç wzory skróconego mno enia (a ± b) 2, a 2 b 2, (a ± b) 3, a 3 ± b 3 obliczyç Êrednià arytmetycznà n liczb 21

22 rozwiàzywaç zadania tekstowe dotyczàce Êredniej arytmetycznej porównaç liczby wymierne odró niç liczb wymiernà od niewymiernej porównaç liczby rzeczywiste (np. korzystajàc z kalkulatora) stosowaç w asnoêci dzia aƒ na pot gach o wyk adniku wymiernym wykonaç dzia ania na pierwiastkach wy àczaç czynnik spod pierwiastka w àczaç czynnik pod pierwiastek 1 usuwaç niewymiernoêç w wyra eniu typu a wykonaç dzia ania dodawania, odejmowania i mno enia na liczbach postaci a + b c wskazaç ró nic mi dzy definicjà pierwiastka stopnia parzystego a definicjà pierwiastka stopnia nieparzystego wykonywaç dzia ania na pierwiastkach wy szych stopni wy àczaç czynnik spod pierwiastka wy szego stopnia w àczaç czynnik pod pierwiastek wy szego stopnia wyznaczyç na osi liczbowej danà liczb wymiernà pos ugiwaç si pot gami o wyk adnikach wymiernych stosowaç poj cie logarytmu stosowaç wzory na logarytm iloczynu i logarytm ilorazu zaznaczaç na osi liczbowej przedzia y liczbowe wyznaczyç sum i cz Êç wspólnà przedzia ów liczbowych obliczyç wartoêç bezwzgl dnà liczby rzeczywistej stosowaç interpretacj geometrycznà wartoêci bezwzgl dnej liczby do rozwiàzywania prostych równaƒ i nierównoêci typu x = 3, x < 2, x 2 = 4, x 3 > 5 obliczyç odleg oêç dwóch liczb na osi liczbowej obliczyç p% danej wielkoêci w obliczyç wielkoêç w, gdy dany jest jej procent obliczyç, jakim procentem wielkoêci w jest wielkoêç a wykonaç w pami ci proste obliczenia typu: o 50% wi cej ni 10, o 200% wi cej od 15, o 20% mniej od 50 itp. prawid owo odczytaç informacje zawarte w ró nego rodzaju diagramach statystycznych obliczyç b àd bezwzgl dny i wzgl dny przybli enia oszacowaç wartoêç wyra enia liczbowego przekszta ciç proste wyra enia algebraiczne 22

23 sprawdziç, czy dana liczba jest rozwiàzaniem równania, nierównoêci I stopnia z jednà niewiadomà rozwiàzaç równanie i nierównoêç I stopnia z jednà niewiadomà rozwiàzaç uk ad nierównoêci I stopnia i zapisaç wynik w postaci przedzia u liczbowego u o yç równanie do zale noêci przedstawionej tekstem Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: odró niaç relacj nale enia od relacji zawierania porzàdkowaç zbiory zgodnie z relacjà zawierania (w prostych przyk adach) wypisaç wszystkie podzbiory zbioru 1, 2, 3 i 4-elementowego stosowaç ogólny zapis liczb naturalnych parzystych, nieparzystych, podzielnych przez 3 itp. uzasadniç niewykonalnoêç dzielenia przez zero zapisaç liczb naturalnà w postaci np. 3n + k (k = 0, 1, 2) zamieniaç u amek dziesi tny okresowy na u amek zwyk y rozwiàzywaç zadania wymagajàce u ycia zapisu wyk adniczego konstruowaç odcinki o d ugoêci n, n Œ N d usuwaç niewymiernoêç w mianowniku wyra enia typu: a+b c wykonywaç bardziej z o one dzia ania na przedzia ach liczbowych (np. (A»B) C«D prawid owo zastosowaç definicj x 2 = x podczas przekszta cania wyra- eƒ algebraicznych stosowaç w asnoêci dzia aƒ na pot gach o wyk adniku rzeczywistym stosowaç wzór na logarytm pot gi o wyk adniku naturalnym rozwiàzaç zadanie tekstowe wymagajàce zastosowania pierwiastków wy szych stopni porównywaç pierwiastki (bez stosowania kalkulatora) krytycznie czytaç teksty zawierajàce uêrednione dane obliczyç, o ile procent wielkoêç a jest wi ksza (mniejsza) od wielkoêci b swobodnie operowaç poj ciem punktu procentowego krytycznie czytaç teksty zawierajàce i komentujàce dane procentowe rozwiàzywaç z o one zadania tekstowe prowadzàce do równania (uk adu równaƒ) z wykorzystaniem obliczeƒ procentowych przeprowadziç proste badanie statystyczne, opracowaç i zaprezentowaç jego wyniki oceniç dok adnoêç zastosowanego przybli enia 23

24 Funkcje i ich w asnoêci Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: rozpoznaç funkcje wêród przyporzàdkowaƒ podaç przyk ady zale noêci funkcyjnych w otaczajàcej nas rzeczywistoêci okreêlaç funkcje na ró ne sposoby (diagram, tabela, wzór, wykres, opis s owny) obliczyç wartoêci funkcji dla ró nych argumentów wyznaczyç dziedzin funkcji na podstawie diagramu, tabeli, opisu s ownego wyznaczyç, w prostych przypadkach, dziedzin na podstawie wzoru funkcji znaleêç, w prostych przypadkach, zbiór wartoêci funkcji o danej dziedzinie i wzorze swobodnie operowaç uk adem wspó rz dnych rozpoznaç funkcje wêród wykresów sporzàdziç wykresy funkcji o kilkuelementowej dziedzinie narysowaç wykres funkcji liniowej i kawa kami liniowej na podstawie wykresu funkcji odczytaç jej dziedzin na podstawie wykresu funkcji odczytaç zbiór jej wartoêci na podstawie wykresu funkcji wskazaç najwi kszà wartoêç funkcji i najmniejszà wartoêç funkcji (w ca ej dziedzinie lub w podanym przedziale) na podstawie wykresu funkcji odczytaç jej miejsca zerowe znajdowaç miejsca zerowe funkcji w przypadku, gdy prowadzi to do rozwiàzywania równaƒ liniowych na podstawie wykresu funkcji okreêliç liczb rozwiàzaƒ równania f(x) = m dla ustalonej wartoêci m odczytaç z wykresu funkcji rozwiàzanie nierównoêci f(x) > m, f(x) < m, f(x) m, f(x) m okreêliç przedzia y monotonicznoêci funkcji na podstawie jej wykresu przesunàç wykres funkcji wzd u osi x zgodnie z podanym wzorem y = f(x a) przesunàç wykres funkcji wzd u osi y zgodnie z podanym wzorem y = f(x) + b narysowaç wykres funkcji y = f(x a) + b, majàc dany wykres albo wzór funkcji y = f(x) sporzàdzaç wykresy funkcji wyk adniczej (przy ró nych podstawach) i opisywaç jej w asnoêci 24

25 Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: wyznaczyç zbiór wartoêci funkcji zdefiniowanych w bardziej z o ony sposób znaleêç na podstawie zadania tekstowego zale noêç funkcyjnà mi dzy dwiema wielkoêciami i wyznaczyç dziedzin otrzymanej funkcji narysowaç wykres funkcji na podstawie wykonanych pomiarów ró nych zjawisk na podstawie wykresu funkcji okreêliç liczb rozwiàzaƒ równania f(x) = m w zale noêci od wartoêci m znajdowaç miejsca zerowe funkcji o dziedzinie ograniczonej pewnym warunkiem uzasadniç, e funkcja f(x) = 1 x nie jest monotoniczna na swojej dziedzinie odczytaç z wykresów funkcji rozwiàzania równaƒ i nierównoêci typu f(x) = (<, >) g(m) zaprojektowaç wykresy funkcji o zadanych w asnoêciach Funkcja liniowa Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: zaznaczaç punkty oraz zbiory na p aszczyênie kartezjaƒskiej rozpoznaç wielkoêci wprost proporcjonalne narysowaç wykres funkcji liniowej i omówiç jej w asnoêci podaç wzór funkcji liniowej na podstawie jej wykresu narysowaç wykres funkcji kawa kami liniowej i omówiç jej w asnoêci podaç zale noêç funkcyjnà mi dzy wielkoêciami wprost proporcjonalnymi opisanymi w zadaniu tekstowym przekszta ciç równanie prostej z postaci kierunkowej do ogólnej i odwrotnie wyznaczyç punkty przeci cia prostej (opisanej równaniem w postaci ogólnej) z osiami uk adu wspó rz dnych sprawdziç rachunkowo, czy dany punkt le y na danej prostej wyznaczyç równanie prostej przechodzàcej przez dwa dane punkty sprawdziç wspó liniowoêç punktów (na p aszczyênie kartezjaƒskiej) wyznaczyç cz Êç wspólnà dwóch prostych na p aszczyênie kartezjaƒskiej wyznaczyç równanie prostej równoleg ej do danej prostej i przechodzàcej przez dany punkt wyznaczyç równanie prostej prostopad ej do danej prostej i przechodzàcej przez dany punkt 25

26 znajdowaç wspó rz dne wierzcho ków wielokàtów, majàc dane równania ich boków obliczyç odleg oêci punktów na p aszczyênie kartezjaƒskiej obliczaç obwody wielokàtów o danych wierzcho kach obliczyç pole trójkàta prostokàtnego o danych wierzcho kach wyznaczyç wspó rz dne Êrodka odcinka, znajàc wspó rz dne jego koƒców wyznaczyç wspó rz dne koƒca odcinka, znajàc wspó rz dne jego Êrodka i drugiego koƒca Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: przeanalizowaç, jak w zale noêci od wspó czynników (zapisanych w postaci parametrów) funkcji liniowej zmieniajà si jej w asnoêci podaç wzór funkcji kawa kami liniowej na podstawie jej wykresu rozwiàzaç proste zadania z parametrem dotyczàce po o enia prostej na p aszczyênie kartezjaƒskiej rozwiàzaç zadanie tekstowe wymagajàce znalezienia wzoru funkcji liniowej na podstawie jej dwóch danych wartoêci rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do uk adu równaƒ liniowych z dwiema niewiadomymi wyznaczyç czwarty wierzcho ek równoleg oboku, majàc dane trzy pozosta e rozwiàzaç zadanie z geometrii analitycznej, wykorzystujàc równoleg oêç i prostopad oêç prostych obliczyç odleg oêç punktu od prostej rozwiàzaç zadanie z geometrii analitycznej, wykorzystujàc wzór na Êrodek odcinka Funkcja kwadratowa Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: narysowaç wykres funkcji f(x) = ax 2 (x Œ R, a π 0) i podaç jej w asnoêci narysowaç wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i podaç jej w asnoêci okreêliç w asnoêci (zbiór wartoêci, przedzia y monotonicznoêci, wartoêç ekstremalnà) funkcji kwadratowej na podstawie jej postaci kanonicznej 26

27 przekszta ciç wzór funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej do ogólnej i odwrotnie obliczyç wspó rz dne wierzcho ka paraboli y= ax 2 + bx + c wyznaczyç wartoêç najwi kszà i wartoêç najmniejszà funkcji kwadratowej w podanym przedziale rozwiàzaç równanie kwadratowe niepe ne (ax 2 + bx = 0, ax 2 + c = 0) metodà rozk adu na czynniki okreêliç liczb pierwiastków równania kwadratowego na podstawie znaku wyró nika rozwiàzaç równanie kwadratowe za pomocà wzorów na pierwiastki sprowadziç funkcj kwadratowà do postaci iloczynowej odczytaç miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej rozwiàzaç nierównoêç kwadratowà zapisaç równanie okr gu o danym Êrodku i promieniu wyznaczyç z równania okr gu jego Êrodek i promieƒ narysowaç okràg i ko o na p aszczyênie kartezjaƒskiej Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: przekszta ciç parabol przez symetri wzgl dem prostej równoleg ej do osi x lub osi y uk adu wspó rz dnych oraz napisaç równanie otrzymanego obrazu tej paraboli narysowaç wykres i opisaç w asnoêci funkcji przedzia ami kwadratowej znaleêç brakujàce wspó czynniki funkcji kwadratowej na podstawie ró nych informacji o jej wykresie rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do szukania wartoêci ekstremalnych funkcji kwadratowej rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do równania kwadratowego wykonaç dzia ania na zbiorach rozwiàzaƒ nierównoêci kwadratowych znaleêç równanie okr gu na podstawie ró nych informacji o jego po o eniu Wielomiany i funkcje wymierne Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: rozpoznaç, które wyra enia algebraiczne sà jednomianami i okreêliç ich stopieƒ wykonaç redukcj jednomianów podobnych 27

28 napisaç wielomian o danych wspó czynnikach i wypisaç wspó czynniki danego wielomianu okreêliç stopieƒ wielomianu oraz obliczyç wartoêç wielomianu dla danego argumentu dobraç wartoêci parametrów tak, aby dwa wielomiany by y równe przekszta ciç wielomiany z zastosowaniem wzorów skróconego mno enia wykonaç dzia ania arytmetyczne w zbiorze wielomianów odczytaç pierwiastki wielomianu z jego postaci iloczynowej roz o yç wielomian na czynniki metodà grupowania wyrazów sprawdziç, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu rozwiàzaç proste równanie wielomianowe metodà rozk adu na czynniki okreêliç stopieƒ jednomianu i wielomianu wielu zmiennych zredukowaç jednomiany podobne (wielu zmiennych) obliczyç wartoêç wielomianu dla podanych wartoêci zmiennych zapisaç zale noêç mi dzy danymi wielkoêciami za pomocà wielomianu wielu zmiennych dodawaç, odejmowaç i mno yç wielomiany wielu zmiennych skróciç i rozszerzyç wyra enia wymierne sprowadziç wyra enia wymierne do wspólnego mianownika dodaç i odjàç wyra enia wymierne mno yç i dzieliç wyra enia wymierne uproêciç wyra enia wymierne rozwiàzaç równanie wymierne prowadzàce do równania liniowego lub kwadratowego wyznaczyç (w prostych przypadkach) ze wzoru jednà zmiennà w zale noêci od innych opisywaç zwiàzki pomi dzy wielkoêciami liczbowymi za pomocà równaƒ lub nierównoêci rozwiàzaç (w prostych przypadkach) zadania praktyczne zwiàzane z proporcjonalnoêcià odwrotnà narysowaç wykres i podaç w asnoêci funkcji y = a x Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: podaç przyk ad wielomianu, znajàc np. jego miejsca zerowe i stopieƒ roz o yç na czynniki wielomiany niemajàce pierwiastków (w prostych przypadkach, np.: x czy x 4 + 5x 2 + 1) 28

29 sprowadziç wyra enie wymierne do najprostszego wspólnego mianownika w sytuacjach wymagajàcych stosowania np. wzoru na sum szeêcianów rozwiàzaç (w bardziej skomplikowanych przypadkach) zadania praktyczne zwiàzane z proporcjonalnoêcià odwrotnà okreêliç (w prostych przypadkach) dziedzin funkcji wymiernej narysowaç wykres i opisaç w asnoêci funkcji f(x) = a x p + q narysowaç wykres funkcji typu f(x) = x 2 1 x + 1 wyznaczyç ze wzoru jednà zmiennà w zale noêci od innych w przypadkach wymagajàcych wykonania bardziej skomplikowanych przekszta ceƒ Planimetria Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: okreêliç wzajemne po o enie dwóch okr gów okreêliç wzajemne po o enie okr gu i prostej zastosowaç w zadaniach warunki wewn trznej i zewn trznej stycznoêci okr gów wskazaç kàty Êrodkowe i wpisane oparte na danych ukach zastosowaç twierdzenie o zale noêci mi dzy kàtem Êrodkowym, kàtami wpisanymi i kàtem mi dzy stycznà a ci ciwà (wyznaczonymi przez ten sam uk) stosowaç wzory na pole i obwód podstawowych figur geometrycznych (trójkàt, czworokàt, ko o) obliczyç potrzebne wielkoêci z trójkàtów prostokàtnych o kàtach 30, 60 lub 45, wykorzystujàc wzór na wysokoêç trójkàta równobocznego i przekàtnà kwadratu rozwiàzaç proste zadania tekstowe prowadzàce do obliczania pól i obwodów figur geometrycznych korzystaç z twierdzenie Pitagorasa oraz zwiàzków miarowych w trójkàcie prostokàtnym rozpoznaç odcinki proporcjonalne wykorzystaç twierdzenie Talesa do obliczenia d ugoêci odcinków podzieliç konstrukcyjnie odcinek w zadanym (wymiernym) stosunku rozwiàzaç proste zadania z zastosowaniem twierdzenia Talesa sprawdziç czy dane (np. na p aszczyênie kartezjaƒskiej) figury sà podobne obliczyç d ugoêci boków figur podobnych, wykorzystujàc skal podobieƒstwa oszacowaç rzeczywistà odleg oêç mi dzy punktami, znajàc odleg oêç mi dzy tymi punktami na mapie i skal mapy 29

30 zastosowaç w zadaniach twierdzenie o stosunku pól figur podobnych sprawdziç czy dwa trójkàty sà podobne, stosujàc cechy podobieƒstwa prawid owo zapisaç proporcje boków w trójkàtach podobnych stosowaç podobieƒstwo trójkàtów w elementarnych zadaniach obliczyç wartoêci funkcji trygonometrycznych kàta ostrego w trójkàcie prostokàtnym, majàc dane boki tego trójkàta obliczyç d ugoêci boków i kàty trójkàta prostokàtnego, majàc dany jeden bok i wartoêç funkcji trygonometrycznej jednego z kàtów ostrych podaç wartoêci funkcji trygonometrycznych kàtów 30, 60 i 45 odczytaç z tablic wartoêci funkcji trygonometrycznych danego kàta ostrego stosowaç podstawowe zwiàzki mi dzy funkcjami trygonometrycznymi znaleêç w tablicach kàt ostry, znajàc wartoêç jego funkcji trygonometrycznej obliczyç wartoêci wszystkich funkcji trygonometrycznych kàta, znajàc jednà z nich udowodniç prostà to samoêç trygonometrycznà Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: udowodniç twierdzenie o odcinkach stycznych udowodniç twierdzenie Pitagorasa wyprowadziç zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym skonstruowaç odcinek o d ugoêci równej Êredniej geometrycznej dwóch odcinków danych konstruowaç odcinki o szukanych d ugoêciach (typu a 2 b 2 ab ) w oparciu o twierdzenie Talesa i twierdzenie Pitagorasa swobodnie operowaç skalà map stosowaç podobieƒstwo trójkàtów w zadaniach o podwy szonym stopniu trudnoêci rozwiàzaç zadanie tekstowe prowadzàce do wyznaczania kàtów i boków w trójkàcie prostokàtnym z zastosowaniem trygonometrii Ciàgi Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: obliczyç n-ty wyraz ciàgu, znajàc jego wzór ogólny wyznaczyç miejsce zerowe ciàgu o danym wzorze ogólnym 30

31 narysowaç wykres ciàgu odczytaç z wykresu w asnoêci ciàgu rozpoznaç ciàg arytmetyczny obliczyç n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego, znajàc wyraz pierwszy i ró nic wyznaczyç ciàg arytmetyczny, znajàc jego dwa wyrazy obliczyç sum n poczàtkowych wyrazów danego ciàgu arytmetycznego rozpoznaç ciàg geometryczny obliczyç n-ty wyraz ciàgu geometrycznego, znajàc wyraz pierwszy i iloraz wyznaczyç ciàg geometryczny, znajàc jego dwa wyrazy obliczyç sum n poczàtkowych wyrazów danego ciàgu geometrycznego zastosowaç w zadaniach zale noêç mi dzy wyrazami a n 1, a n, a n + 1 ciàgu arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego rozwiàzaç proste zadanie tekstowe, w którym dane wielkoêci sà kolejnymi wyrazami ciàgu arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego wyznaczyç wielkoêci zmieniajàce si zgodnie z zasadà procentu sk adanego obliczyç wartoêç lokaty, znajàc stop procentowà, okres rozrachunkowy i czas oszcz dzania Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: podaç wzór ogólny ciàgu, znajàc kilka poczàtkowych wyrazów zbadaç monotonicznoêç ciàgu wyznaczyç ciàg arytmetyczny, znajàc np. jeden z jego wyrazów i iloczyn pewnych dwóch wyrazów lub dwie sumy cz Êciowe itp. obliczyç, ile wyrazów danego ciàgu arytmetycznego nale y dodaç, aby otrzymaç okreêlonà sum zastosowaç w zadaniach zale noêç mi dzy wyrazami a n k, a n, a n + k ciàgu arytmetycznego lub ciàgu geometrycznego rozwiàzaç zadania wymagajàce jednoczesnego stosowania w asnoêci ciàgu arytmetycznego i ciàgu geometrycznego obliczyç wartoêç lokaty o zmieniajàcym si oprocentowaniu obliczyç wysokoêç raty kredytu sp acanego (w równych wielkoêciach) systemem procentu sk adanego obliczyç wysokoêci rat malejàcych porównaç zyski z ró nych lokat i ró ne sposoby sp acania kredytu 31

32 Rachunek prawdopodobieƒstwa i statystyka Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: rozpoznaç, czy dana sytuacja jest doêwiadczeniem losowym okreêliç zbiór zdarzeƒ elementarnych danego doêwiadczenia losowego zliczyç obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych stosowaç zasad mno enia obliczyç prawdopodobieƒstwo zdarzenia A (AÃW) z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieƒstwa, znajàc A = oraz W = obliczyç prawdopodobieƒstwa zdarzeƒ w prostych zadaniach o monetach, kulach i kartach wyznaczyç sum, iloczyn, ró nic danych zdarzeƒ rozpoznaç zdarzenia wykluczajàce si wyznaczyç median, dominant, Êrednià i rozst p danych surowych obliczyç Êrednià wa onà wyników odczytaç podstawowe informacje z wykresu, diagramu, histogramu zaprezentowaç dane w postaci diagramu ko owego, diagramu s upkowego, wykresu narysowaç histogram Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: zastosowaç w zadaniach wzór na prawdopodobieƒstwo sumy dwóch zdarzeƒ zastosowaç w zadaniach wzór na prawdopodobieƒstwo zdarzenia przeciwnego rozwiàzaç zadania dotyczàce Êredniej wa onej (np. znajdowaç brakujàce wagi) obliczyç odchylenie przeci tne, wariancj i odchylenie standardowe zbioru danych narysowaç histogram wymagajàcy zgrupowania danych w klasy porównaç ró ne zestawy danych surowych na podstawie opisujàcych je parametrów (w prostych przypadkach) Stereometria Na poziomie wymagaƒ podstawowych uczeƒ potrafi: wskazaç p aszczyzny równoleg e i prostopad e do danej p aszczyzny wskazaç proste równoleg e i prostopad e do danej p aszczyzny 32

33 odró niç proste równoleg e od prostych skoênych wskazaç proste prostopad e w przestrzeni wyznaczyç kàt nachylenia kraw dzi bocznej ostros upa do p aszczyzny podstawy tego ostros upa wyznaczyç kàt nachylenia Êciany bocznej ostros upa do p aszczyzny podstawy tego ostros upa rozpoznawaç graniastos upy proste i pochy e, równoleg oêciany i prostopad oêciany rysowaç siatki graniastos upów i ostros upów wypuk ych zastosowaç w zadaniach zwiàzki mi dzy liczbà Êcian, kraw dzi i wierzcho ków graniastos upów i ostros upów wypuk ych wskazaç promieƒ podstawy, wysokoêç i tworzàce walca oraz sto ka; zastosowaç w zadaniach zwiàzki mi dzy nimi wskazaç kàt rozwarcia sto ka oraz kàt nachylenia tworzàcej do podstawy zastosowaç funkcje trygonometryczne do wyznaczania d ugoêci odcinków i miar kàtów w bry ach obliczyç obj toêç i pole powierzchni graniastos upa, ostros upa, walca, sto ka i kuli Na poziomie wymagaƒ ponadpodstawowych uczeƒ potrafi: wyznaczyç kàt nachylenia odcinka w graniastos upie do Êciany nieb dàcej podstawà graniastos upa wyznaczyç kàt dwuêcienny mi dzy Êcianami bocznymi ostros upa rozpoznaç wieloêciany foremne i opisaç ich podstawowe w asnoêci zbadaç w asnoêci bry powsta ych z obrotu wokó osi ró nych figur p askich (np. sumy dwóch trójkàtów) wyznaczyç obj toêç i pole powierzchni bry, w których dane majà postaç wyra eƒ algebraicznych i doprowadziç wynik do prostej postaci obliczyç obj toêç i pole powierzchni bry, majàc nietypowe dane (np. kàt mi dzy Êcianami bocznymi ostros upa lub kàt nachylenia przekàtnej Êciany bocznej graniastos upa trójkàtnego do sàsiedniej Êciany) 33