Przykładowy model ekonometryczny. Sebastian Michalski

Transkrypt

1 Przykładowy model ekonometryczny Sebastian Michalski 1

2 Spis treści 1 Postać modelu Dane Graficzna prezentacja danych Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig a 6 3 Oszacowanie parametrów strukturalnych Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych Interpretacja błędów szacunku parametrów Badanie własności koincydencji 9 5 Normalność rozkładu składnika loswego Test Jarque-Bera Autokorelacja składnika losowego Test Durbin a-watson a Test mnożnika Lagrange a Heteroskedastyczność składnika losowego Test White a Liniowość modelu test liczby serii 1 9 Współliniowość zmiennych obajaśniających Istotność zmiennych objaśniających test t-studenta Współczynnik determinacji Skorygowany współczynnik derterminacji Prognozy Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu linowego Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu wielomianowego Ocena ex ante prognozy Prognoza przedziałowa Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu ekonometrycznego (warunkowa) Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trenduliniowego Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu wielomianowego Ocena ex post prognozy Prognoza na podstawie modelu prostego wyrównania wykładniczego Brown a

3 1 Postać modelu Y t X 1t X t X 3t Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (1) wartość wyprodukowanych (przewiezionych) komputerów w USA w milionach USD w latach , (ang. Electronic Computer Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 1, wartość nowych zamówień na produkcję komputerów w USA w milionach USD w latach , (ang. Electronic Computer Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted), wartość wyprodukowanych (przewiezionych) nośników danych, pamięci masowych w USA w milionach USD w latach , (ang. Computer Storage Device Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 3, wartość wyprodukowanych (przewiezionych) półprzewodników w USA w milionach USD w latach , (ang. Semiconductor and Related Device Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 4, α j parametry strukturalne, j =0, 1,, 3, ɛ t składnik losowy

4 1.1 Dane Dane do modelu obejmują 73 obserwacje od lutego 199 do lutego 1998: t Y t X 1t X t X 3t t Y t X 1t X t X 3t

5 1. Graficzna prezentacja danych 7000 Y x1 x x Y 6000 x x 7000 x

6 Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig a Correlation matrix y x1 x x3 y x x x gdzie: R 0 R 0 = 0,968 0,84 0,967, R = 1 0, 785 0, 945 0, , 799 0, 945 0, 799 1, () =[r j ] macierz wspólczynników korelacji liniowej pomiędzy j. zmienną obajaśniającą a zmienną objaśnianą, j =1,,..., k, R =[r ij ] macierz wspólczynników korelacji liniowej pomiędzy i. a j. zmienną obajaśniającą, i =1,,..., k, j =1,,..., k, k liczba zmiennych objaśniających w modelu. Ilość możliwych podzbiorów ze zbioru zmiennych objaśniających X 1,X,X 3 (bez zbioru pustego): S = k 1= 3 1=7. (3) Te możliwe podzbiory to: numer podzbioru (s) podzbiór zbió indeksów zmiennych tworzących dany podzbiór (C s ) 1 {X 1 } 1 {X 3 {X {X 1,X } 1, 5 {X 1,X 3 } 1,3 6 {X,X 3 },3 7 {X 1,X,X 3 } 1,,3 Pojemność indywidualną j. zmiennej s. podzbioru określamy jako: h sj = r j i C s r ij. (4) Pojemność integralna s. podzbioru to suma jego pojemności idywidualnych: H s = j C s h sj. (5) 6

7 Pojemność integralna i indywidualna dla zbioru jednoelementowego jest identyczna: (1) {X 1 }: h 11 = () {X }: h = (3) {X 3 }: h 33 = r 1 i {1} r i {} r 3 i {3} (0,968) = ri1 1 0, 937 = H 1, (0,84) = ri 1 0, 679 = H, (0,967) = ri3 1 0, 935 = H 3, oraz: (4) {X 1,X }: h 41 = h 4 = r i {1,} r 1 i {1,} H 4 =h 41 + h 4 =0, 905, (5) {X 1,X 3 }: h 51 = h 53 = r 3 i {1,3} (0,968) = ri ,785 0, 55, (0,84) = ri 0, , 380, r 1 i {1,3} H 5 =h 51 + h 53 =0, 963, (6) {X,X 3 }: h 6 = h 63 = r 3 i {,3} (0,968) = ri ,945 0, 48, (0,967) = ri3 0, , 481, r i {,3} H 6 =h 6 + h 63 =0, 897, (0,84) = ri 1 + 0,799 0, 377, (0,967) = ri3 0, , 50, (7) {X 1,X,X 3 }: h 71 = r 1 i {1,,3} = (0,968) ri , ,945 0, 343, h 7 = h 73 = r i {1,,3} = (0,84) ri 0, ,799 r 3 i {1,,3} = (0,967) ri3 0, , H 7 =h 71 + h 7 + h , 319, 0, 341, Zestawienie pojemności integralnych: s podzbiór H s 1 {X 1 } 0,937 {X 0,679 3 {X 3 0,935 4 {X 1,X } 0,905 5 {X 1,X 3 } 0,963 6 {X,X 3 } 0, {X 1,X,X 3 } 1, 000 7

8 Wybieramy ten podzbiór, dla którego pojemność integralna jest największa: C opt =max{h s : s =1,,...,S = k 1} = C 7. (6) Zatem do modelu wchodzą zmienne: X 1,X,X 3. Można uniknąć licznia pojemności integralnych dla wszystkich podzbiorów: z możliwych podzbiorów należy wykluczyć te, które nie zawierają zmiennej najsilniej skorelowanej ze zmienną objaśnianą (w naszym przykładzie odrzucamy kombinacje bez zmiennej X 1 : s =, 3, 6). 3 Oszacowanie parametrów strukturalnych Pakiet PC-Give podaje wyniki: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant x x x R^ = F(3,69) = [0.0000] \sigma = DW = 1.96 RSS = for 4 variables and 73 observations Oszacowany metodą najmniejszych kwadratów model przyjmuje zatem postać: Ŷ t = ˆα 0 + ˆα 1 X 1t + ˆα X 1t + ˆα 3 X 3t, (7) Ŷ t = 493, , 487X 1t +0, 495X t +0, 65X 3t, (8) (15, 46) (0, 069) (0, 179) (0, 043). (9) W nawiasach podano średnie błędy szacunku. 3.1 Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych ˆα 1 =0, 487 wzrost wartości zmówień na produkację komputerów o l mln USD (ceteris paribus - przy pozostałych warunkach niezmienionych) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 487 tys. USD, ˆα =0, 495 wzrost wartości produkcji nośników danych o 1 mln USD (ceteris paribus) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 495 tys. USD, ˆα 3 = 0, 65 wzrost wartości wyprodukowanych półprzewodników o 1 mln USD (ceteris paribus) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 65 tys. USD. 3. Interpretacja błędów szacunku parametrów S ˆα0 = 15, 46 szacując α 0 na poziomie 493,30 mylimy się średnio o ±15,46, S ˆα1 =0, 069 szacując α 1 na poziomie 0,487 mylimy się średnio o ±0,069, 8

9 S ˆα =0, 197 szacując α na poziomie 0,495 mylimy się średnio o ±0,197, S ˆα3 =0, 043 szacując α 3 na poziomie 0,65 mylimy się średnio o ±0, Badanie własności koincydencji Model jest koincydentny, gdy spełniony jest warunek: sgn rj = sgn ˆα j, j =1,,...,k. 5 (10) sgn (r 1 =0, 968) = + oraz sgn (ˆα 1 =0, 487) = + sgn (r =0, 84) = + oraz sgn (ˆα =0, 495) = + sgn (r 3 =0, 967) = + oraz sgn (ˆα 3 =0, 65) = + Ponieważ dla wszystkich par znaki są zgodne, zatem model spełnia postulat koincydencji. 5 Normalność rozkładu składnika loswego 5.1 Test Jarque-Bera Po oszacowaniu modelu: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (11) obliczamy statystykę JB: JB = n 1 1 n e 3 t 6 n ( ) n e 4 t t=1 1 n 4 n ( ) 4 3, n t=1 e t=1 1 n t n t=1 e t (1) która ma rozkład χ df =. Jeżeli JB < χ α=0,05; df = to: H 0 : ɛ t N(0,σ ) składnik losowy ma rozkład normalny, jeżeli JB > χ α=0,05; df = to: H 1 : ɛ t N(0,σ ) składnik losowy nie ma rozkładu normalnego Normality test for Residual Sample size 73: 199 () to 1998 () Normality Chi^()= [0.9873] χ df = =0, 055 oraz α =0, Zatem dopiero przy prawie 99% poziomie istotności moglibyśmy odrzucić H 0, co znacznie przekracza 5% poziom błędu. Uznajemy więc, że w naszym modelu składnik losowy ma rozkład normalny. 5 Por. równania () oraz (7), (8) 9

10 6 Autokorelacja składnika losowego 6.1 Test Durbin a-watson a Test DW możemy stosować, gdy: (1) w modelu występuje wyraz wolny (α 0 0), () składnik losowy ma rozkład normalny (ɛ t N(0,σ )), (3) model nie ma postaci autoregresyjnej nie występuje opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca. Składnik losowy ɛ t możemy przedstawić w postaci: gdzie: ɛ t = ρɛ t 1 + ξ t, ρ < 1, (13) ρ ξ t współczynnik autokorelacji, składnik losowy. Nieobciążonym estymatorem współczynnika ρ jest: ˆρ = n n t= e te t 1 t= e t n t= e t 1. (14) Statystykę DW obliczamy jako: DW = n t= (e t e t 1 ) n. (15) t=1 e t Pomiędzy DW aˆρ zachodzi związek: DW (1 ˆρ). (16) DW < DW > Proces weryfikacji: H 0 : ρ =0 H 0 : ρ =0 brak autokorelacji brak autokorelacji H 1 : ρ>0 H 1 : ρ<0 dodatnia autokorelacja ujemna autokorelacja H 1? H 0 H 0? H 1 d L d U 4 d U 4 d L R^ = F(3,69) = [0.0000] \sigma = DW = 1.96 RSS = for 4 variables and 73 observations 10

11 Zatem: H 1 : ρ>0, odczytane wartości krytyczne z tablic dla α =0, 05, n=73,k=3to: d L =1, 543, d U =1, 709. Ponieważ 1, 96 > 1, 709 (DW > d U ), zatem na postawie testu Durbin a-watson a nie możemy odrzucić H 0 o braku autokorelacji składnika losowego. 6. Test mnożnika Lagrange a Po oszacowaniu modelu: szacujemy model: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (17) e t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + β 4 e t 1 + ξ t (18) i obliczamy R. Obliczamy statystykę (n 1)R i odczytujemy z tablic χ α=0,05; df =1. Jeżeli (n 1)R <χ α=0,05; df =1 to: H 0 : ρ = 0 brak autokorelacji składnika losowego, jeżeli (n 1)R χ α=0,05; df =1 to: H 1 : ρ 0 autokorelacja składnika losowego Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to 1 Chi^(1) = [0.9198] and F-form(1,68) = [0.98] χ df =1 =0, 010 oraz α =0, Zatem dopiero przy prawie 9% poziomie istotności moglibyśmy odrzucić H 0, co znacznie przekracza 5% poziom błędu. Uznajemy więc, że w naszym modelu nie występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego. Możemy również odczytać wartości oszcowanch parametrów równania (13): Autoregression for Residual: lags from 1 to 1 The present sample is: 199 (3) to 1998 () Constant Lag 1 Coeff Std.Err ˆɛ t = 1, , 01ɛ t 1, co potwierdza niską wartość współczynnika autokorelacji. 7 Heteroskedastyczność składnika losowego 7.1 Test White a Po oszacowaniu modelu: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (19) 11

12 szacujemy model: lub: e t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + β 4 X 1t + β 5X t + β 6X 3t + ξ t, (0) e t = β 0+β 1 X 1t +β X t +β 3 X 3t +β 4 X 1t +β 5X t +β 6X 3t +β 7X 1t X t +β 8 X 1t X 3t +β 9 X t X 3t +ξ t (1) i obliczamy R. Obliczamy statystkę nr i odczytujemy z tablic: χ α=0,05; df =6 dla modelu (0), dla modelu (1). χ α=0,05; df =9 Jeżeli nr <χ α;df to: H 0 : σ i = σ składnik losowy jest homoskedastyczny, jeżeli nr >χ α;df to: H 1 : σ i σ składnik losowy jest heteroskedastyczny Testing for Heteroscedastic errors (squares) Chi^(6) = 7.11 [0.3098] and F-form(6,6) = [0.369] Testing for Heteroscedastic errors (squares and cross-products) Chi^(9) = [0.4659] and F-form(9,59) = [0.547] Czyli: χ df =6 =7, 11 oraz α =0, 3098, dla modelu (0), χ df =9 =8, 695 oraz α =0, 4659, dla modelu (1). W obu przypadkach krytyczny poziom istotności znacznie przekracza 5%. Uznajemy więc, że w naszym modelu składnik losowy jest homoskedastyczny. 8 Liniowość modelu test liczby serii H 0 H 1 : oszacowany model jest liniowy, : oszacowany model nie jest liniowy. poziom istotności: α = 0, 05, liczba serii: r=37 liczba reszt dodatnich: n 1 =35, liczba reszt ujemnych: n =38, poziom krytyczny odczytany z tablic: r =30. Przy 5% poziome istotności r>r, więc nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o liniowości modelu. 1

13 9 Współliniowość zmiennych obajaśniających Dla k modeli: X 1t = α 1,0 + α 1, X t + α 1,3 X 3t α 1,k X kt + ɛ 1t, X t = α,0 + α,1 X 1t + α,3 X 3t α,k X kt + ɛ t,. X kt = α k,0 + α k,1 X 1t + α k, X t α k,k 1 X (k 1)t + ɛ kt, obliczamy współczynnik determinacji Rj oraz czynnik inflacji wariancji estymatora α j : 1 CIW j = 1 Rj. () Jeżeli: R j = 0 oraz CIW j = 1 brak współliniowości zmiennych, R j > 0orazCIW j > 1 przybliżona współliniowość zmiennych, CIW j > 10 współliniowość zmiennych trwale zakłócająca jakość modelu. Obliczenia: ˆX 1t = 1484, 8+0, 397X t +0, 59X 3t, R1 =0, 895 = CIW =9, 5, ˆX t = 46, , 058X 1t +0, 067X 3t, R =0, 647 = CIW =, 83, ˆX 3t = 494, 7+1, 373X 1t +1, 194X t, R3 =0, 901 = CIW =10, 1. Zatem w modelu zmienna X 3 powinna zostać usunięta. W celach czysto rachunkowych pozostawimy tą zmienną w modelu, przedstawiając jej wpływ na dalszą analizę. W programie STATISTICA możemy odczytać Rj przycisk Redundancy: wciskając po oszacowaniu 10 Istotność zmiennych objaśniających test t-studenta H 0 : α j =0 j. zmienna jest nieistotna w modelu, j =0, 1,,...,k, H 1 : α j 0 j. zmienna jest istotna w modelu, j =0, 1,,...,k. 13

14 Zmienna losowa: t ˆαj = ˆα j, (3) S ˆαj ma rokzkład t-studenta z n (k + 1) stopniami swobody. Statystyki t-studenta oraz krytyczne (nominalne) poziomy istotności dla poszczególnych zmiennych wynoszą odpowiednio: Variable t-value t-prob Constant x x x Z powyższych krytycznych poziomów istotności wynika, że wszystkie zmienne (+wyraz wolny) są statystycznie istotne dla poziomów istotności (odpowiednio): α 0 od 0, 19%, X 1 od 0, 00%, X od 0, 74%, X 3 od 0, 00%.. sposób: Statystyka t-studenta odczytana z tablic dla 5% poziomu istotności i df =73-(3+1)=69 stopni swobody wynosi: t α=0,05;df =69 = (4) i jest mniejsza od wartości statystyk t-studenta dla poszczególnych zmiennych, co prowadzi do wniosku o statystycznej istotności zmiennych. 11 Współczynnik determinacji Współczynnik determinacji możemy obliczyć korzystając ze wzorów: n R t=1 = (ŷ t ȳ) n n t=1 (y t ȳ) =1 t=1 (y t ŷ) n t=1 (y t ȳ) = (5) e T e =1 y T y nȳ =1 yt y ˆα T X T y y T y nȳ = (6) = R T 0 R 1 R 0 (7) R 0, 967: około 97% zmienności produkcji komputerów jest wyjaśniane przez zmienność zmiennych: (a) (b) (c) zamówienia na produkcję komputerów, produkcję nośników danych, produkcję półprzewodników. 14

15 11.1 Skorygowany współczynnik derterminacji R 0, Prognozy R = R Wprowadźmy oznaczenia dla okresu prognozowanego τ: τ = n +1,n+,...,n+ s = T. Zatem długość okresu prognozy wynosi: T n = s. k n (k +1) (1 R ), (8) 1.1 Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu linowego Szacujemy model postaci: Y t = α 0 + α 1 t + ɛ t, (9) otrzymując: na podstawie wyników: Ŷ t = 787, 3+41, 5t, (30) - Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant Trend R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - Prognoza Y na okres τ=74: Y P 74 = 787, 3+41, 5 74 = 5859, 93. (31) Ponieważ w modelu występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego (niskie DW), zatem aby dokonać prognozy punktowej zmiennej Y t należy skorygować powyższy wynik o ˆρe 73, gdzie: e reszta modelu trendu obliczona jako: Y 73 Ŷ73, ˆρ współczynnik autokorelacji składnika losowego obliczony ze wzoru (16), e 73 = 5570 (787, 3+41, 5 73) = 48, 406, ˆρ =1 0,845 =0, 57. Zatem: ˆρe 73 = 143, 45, = 5859, , 45 = 5716, 5. Y P 74 15

16 Ze względu na dość kłopotliwy sposób obliczania wariancji predykcji (średniego błedu prognozy) w warunkach autokorelacji składnika losowego 6, można poszukać innej postaci trendu, która będzie pozbawiona tej niedogodności. 1. Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu wielomianowego Postać trendu wielomianowego dla zmiennej Y t : Y t = α 0 + α 1 t + α t α q t q + ɛ t, (3) Rząd q ustalamy na podstawie otrzymanego optymalnego modelu: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e R^ = F(6,66) = 4.83 [0.0000] \sigma = DW = 1.86 RSS = for 7 variables and 73 observations Zatem oszacowany model przyjmuje postać: Ŷ t = 785, 8+38, 5t 35, 79t +, 09t 3 0, , 0006t 5 0, t 6. (33) Podstawiając za t = 74 otrzymujemy 7 : = 539, Y P 74 Ponieważ DW wskazuje na brak autokorelacji składnika losowego (potwierdza to również poniższy test mnożnika Lagrange a), możemy przejść do analizy błędów ex ante prognozy Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to 1 Chi^(1) = [0.593] and F-form(1,65) = [0.6144] Ocena ex ante prognozy Średni błąd prognozy ex ante obliczamy jako: Sτ S P = + x T ˆD τ (ˆα)x τ = S 1+x T τ (XT X) 1 x τ, (34) gdzie 8 : S = e T e n (k +1), (35) 6 Zeliaś A., Teoria Prognozy, PWE, Warszawa 1997, s Precyzyjnych obliczeń dokonano w Excel. 8 W pakietach komputerowych S podawane jest najczęściej jako sigma. 16

17 x τ wektor prognozowanych wartości zmiennych objaśniających. S P 74=81, Średni względny błąd prognozy ex ante: V τ = Sτ P Yτ P, (36) V 74 =0, 05. Zatem średni względny błąd ex ante prognozy na 74 okres wynosi 5,%. 1.. Prognoza przedziałowa Jeśli składnik losowy ma rozkład normalny to zmienna losowa: yτ y P τ u =, (37) ma rozkład t-studenta z n (k + 1) stopniami swobody. Przedział ufności prognozowanej zmiennej wyznaczamy jako: P ( yτ P t α,df Sτ P <y τ <yτ P + t α,dfs τ P ) =1 α. (38) Zatem dla α=0,05 oraz df =73 (6 + 1) = 66: P (539, 76 81, 45 <y 74 < 539, , 45) = 0, 95, P (489, 87 <y 74 < 5955, 66) = 0, 95. Przedział o końcówkach (489,87; 5955,66) pokrywa prognozowaną wartość Y 74 (na 1 okres do przodu) z prawdopodobieństwem 95%. S P τ 9 Obliczeń dokonano w Excel. 17

18 1.3 Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu ekonometrycznego (warunkowa) Oszacowany model z równania (1) na postać: 10 Ŷ t = 493, , 487X 1t +0, 495X t +0, 65X 3t. (39) Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu liniowego Dokonujemy prognoz zmiennych egzogenicznych na τ = 74 okres na podstawie modeli trendu liniowego: X jt = α 0 + α 1 t + ɛ t, (40) otrzymując: - dla X1: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - dla X: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - dla X3: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - Dla każdego z trzech powyższych modeli DW jest zbyt niskie by pomyślnie przejść test autokorelacji składnika losowego. Potwierdza to również test mnożnika Lagrange a: Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to dla X1: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = 3.66 [0.0000] ** dla X: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = [0.0000] ** dla X3: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = [0.0000] ** Podsumowując: Modele trendu liniowego dla zmiennych egzogenicznych mają postać: ˆX 1t = 849, 9+40, 1t, 10 Por. równanie (8) 18

19 ˆX t = 700, 0 + 7, 85t, ˆX 3t = 089, 1+68, 91t. Każdy z nich obarczony jest autokorelacją składnika losowego. Prognozy punktowe na ich podstawie muszą być skorygowane o ˆρe 73 (jak w przypadku modelu trendu liniowego dla Y t ): dla X 1t : e 73 = 5735 (849, 9+40, 1 73) = 4, 77, ˆρ =1 0,999 =0, 5, ˆρe 73 = 1, 39, zatem: Y74 P = 849, 9+40, , 39 = 5796, 49, dla X t : e 73 = 1496 (700, 0 + 7, 85 73) =, 83, ˆρ =1 0,816 =0, 59, ˆρe 73 = 131, 47, zatem: Y P 74 = 700, 0 + 7, , 47 = 141, 49, dla X 3t : e 73 = 6505 (089, 1+68, 91 73) = 614, 75, ˆρ =1 0,485 =0, 76, ˆρe 73 = 467, 1, zatem: Y74 P = 089, 1+68, , 1 = 671, 45. Wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych wynosi: 1 x 74 = 5796,49 141,49. (41) 671,45 Podstawiając go do równania (39) otrzymujemy wartość punktowej prognozy warunkowej Y 74 : = 493, , , , , , , 45 = 5796, 84. Y P 74 Ocena ex ante prognozy Korzystając z równania (34) obliczmy średni błąd prognozy ex ante: S = 171, 707, 11 S P 19 = 179, 61,1 Średni względny błąd prognozy ex ante: 11 PC-Give: po oszacowaniu regresji odczytujemy sigma. 1 Na podstawie obliczeń w Excel. 19

20 V 74 = 179, ,84 =0, 031. Zatem średni względny błąd ex ante prognozy na 74 okres wynosi 3,1%. Prognoza przedziałowa Korzystając ze wzoru (38) obliczamy końcówki prognozy przedziałowej: P (5796, , 61 <y 74 < 5796, , 61) = 0, 95, P (5437, 6 <y 74 < 6156, 05) = 0, 95. Przedział o końcówkach (5437,6; 6156,05) pokrywa prognozowaną wartość Y 74 (na 1 okres do przodu) z prawdopodobieństwem 95% 13. Prognozę przedziałową można obliczyć przy pomocy programu STATISTI- CA, korzystając z opcji Compute prediction limits, podając wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych. Należy pamiętać, że STATISTICA nie bierze pod uwagę zjawiska autokorelacji składnika losowego - nie obliczy więc poprawnie przedziałów prognozy gdy autokorelacja występuje. Nieznaczne różnice w końcówkach wynikają z dokładniejszej wartości t Studenta w STATISTICE (t α=0,05; df =69 =1, ). 13 Uwaga: Powinniśmy obliczyć końcówki prognozy ex ante dla każdej z prognoz punktowych dla zmiennych egzogenicznych, następnie lewe i prawe (oddzielnie) końcówki potraktować jako prognozowany wektor zmiennych egzogenicznych, obliczyć prognozy warunkowe, dla każdej z nich obliczyć końcówki prognozy i dopiero ich skrajne wartości potraktować jako prognozę przedziałową. 0

21 1.3. Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu wielomianowego Postać trendu wielomianowego dla zmiennych X jt : X jt = α 0 + α 1 t + α t α q t q + ɛ t. (4) Rząd q ustalamy na podstawie otrzymanego optymalnego modelu: dla X1 Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e R^ = F(6,66) = [0.0000] \sigma = DW = 1.94 RSS = for 7 variables and 73 observations ====================================================================== dla X Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e t e e t e e R^ = F(8,64) = [0.0000] \sigma = DW =.04 RSS = for 9 variables and 73 observations ====================================================================== dla X3 Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t t e e t e e t e e R^ = F(9,63) = [0.0000] \sigma = DW = 1.93 RSS = for 10 variables and 73 observations ====================================================================== Otrzymujemy zatem trzy modele, w których składnik losowy pozbawiony jest autokorelacji: Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to

22 dla X1: Chi^(1) = [0.803] and F-form(1,65) = [0.8148] dla X: Chi^(1) = [0.7646] and F-form(1,63) = [0.7817] dla X3: Chi^(1) = [0.7879] and F-form(1,6) = [0.8049] Ostatecznie otrzymujemy: , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X1 5617,3395 =================================================== 995, , , , , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X 1668,617 =================================================== 03, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X3 6570,7998 =================================================== Wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych wynosi: 1 x 74 = 5617, ,617. (43) 6570,7998 Podstawiając go do równania (39) otrzymujemy wartość punktowej prognozy warunkowej Y 74 : Y74 P = 493, , , , , , , 7998 = 5796, Ocena ex post prognozy Szacujemy model postaci: Y t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + η t, (44)

23 skracając liczbę obserwacji o 3. Te 3 obserwacje potraktujemy jako realizacje prognozy (ex post). Prognozy i realizacje podaje tabela: ---- Analysis of 1-step forecasts ---- Date Actual Forecast Y-Yhat Forecast SE t-value Tests of parameter constancy over: 1997 (1) to 1998 () Forecast Chi^( 3)= [0.360] Chow F( 3, 66) = [0.3898] ---- (1) Średni błąd (ang. average error, AE lub mean error, ME): ME = 1 s T τ =n+1 () Średni błąd procentowy (ang. average percentage error, AP E lub mean percentage error, MPE): MPE = 1 s T τ =n+1 y τ y P τ y τ 100% = ( yτ yτ P ) = 31, 97. (45) ( ) yτ yτ P T τ =n+1 y 100% = 0, 64%. (46) τ T τ =n+1 (3) Średni absolutny błąd (ang. average absolute error, AAE lub mean absolute error, MAE): MAE = 1 s T τ =n+1 (4) Średni absolutny błąd procentowy (ang. average absolute percentage error, AAP E lub mean absolute percentage error, MAPE): MAPE = 1 s T τ =n+1 y τ yτ P y τ (5) Błąd średniokwadratowy (ang. mean square error, MSE): MSE = 1 s y τ yτ P = 169, 76. (47) T 100% = τ =n+1 y τ yτ P T τ =n+1 y 100% =, 999%. τ (48) T τ =n+1 ( yτ yτ P ) = 31410, 78. (49) 3

24 (6) Procentowy błąd średniokwadratowy (ang. mean square percentage error, MSPE): MSPE = 1 s T ( yτ yτ P y τ =n+1 τ ) 100% = ( yτ y P τ T τ =n+1 T τ =n+1 y τ ) 100% = 0, 098%. (50) (7) Pierwiastek błędu średniokwadratowego (ang. root mean square error, RMSE): RMSE = 1 T (y τ yτ s P ) = 177, 3. (51) τ =n+1 (8) Pierwiastek procentowego błędu średniokwadratowego (ang. root mean square percentage error, RMSPE): RMSP E = 1 T ( ) yτ y P T τ 100% = τ =n+1 (y τ yτ P ) s y T 100% = 3, 13%. τ =n+1 τ τ =n+1 y τ (5) (9) Współczynnik rozbieżności 1 (ang. inequality coefficient 1, IC1): IC1= 1 T s τ =n+1 (y τ yτ P ) 1 s T τ =n+1 yp τ 1 T + s τ =n+1 y τ =0, (53) (10) Współczynnik rozbieżności (ang. inequality coefficient, IC): 1 T s τ =n+1 IC= τ yτ P ) 1 T s τ =n+1 y τ =0, 031. (54) 1.4 Prognoza na podstawie modelu prostego wyrównania wykładniczego Brown a Dokonujemy wygładzenia szeregu czasowego zmiennej Y t na podstawie wzoru: gdzie: ŷ t+1 wartość wygładzona w czasie t +1, ŷ t wartość wygładzona w czasie t, y t wartość empiryczna Y w czasie t, α stała wygładzania, ŷ 1 = y 1. ŷ t+1 = αy t +(1 α)ŷ t, α [0, 1], (55) 4

25 Wartość prognozy obliczamy jako: gdzie: e t = y t ŷ t błądex post prognozy. ŷ t+1 =ŷ t + αe t, (56) Korzystając z programu STATISTICA wybieramy moduł Time series, Forecasting, wybieramy zmienną Y, następnie exponential smoothing and forecasting, następnie Automatic search for best parameters (), otrzymując wartość prognozy równą: ŷ 74 = 5579, 731, przy α =0, Dobór α następuje na podstawie minimalnych błędów ocen prognozy ex post: Graficzną prezentację wyrównania wykładniczego przedstawia rysunek: 14...α >0,5 może świadczyć o obecności w danych trendu czasowego, efektów sezonowych czy cyklicznych. Warto wtedy rozważyć zastosowanie innej metody. Por.: Gajda J. B., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, C.H. BECK, Warszawa 001, s