O PEWNEJ MOŻLIWOŚCI UWZGLĘDNIENIA SUBSTYTUCJI NAKŁADÓW W MODELACH DEA. 1. Wstęp

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr Bogusław GUZIK* O PEWNEJ MOŻLIWOŚCI UWZGLĘDNIENIA SUBSTYTUCJI NAKŁADÓW W MODELACH DEA W klasyczych wariatach etody DEA (p. CCR czy super-efficiecy DEA) akłady są całkowicie kopleetare i ie a ich substytucji. Bierze się to z tego, że ożik poziou akładów jest jedolity dla wszystkich akładów. W artykule wskazao a ożliwość uwzględiaia substytucji akładów poprzez wprowadzeie różych ożików dla różych akładów, co jest charakterystycze dla tzw. o-radial (ieradialej) DEA, opracowaej w swoi czasie przez Dysoa i Thaassoulisa (1992). Zapropoowao prosty ierik substytucji, oparty a ożikach akładów. Słowa kluczowe: Data Evelopet Aalysis, substytucja akładów, efektywość ie-radiala 1. Wstęp Metoda DEA jest chyba ajpopulariejszą etodą ustalaia efektywości względej obiektów gospodarczych. Jak wiadoo, zapropoowali ją Chares, Cooper i Rhodes [2]. Od tego czasu doczekała się wielu odyfikacji, rozwiięć oraz ogroej liczby zastosowań 1. Moża a przykład wyieić astępujące główe ujęcia etody 2 : 1. CCR Chares, Cooper, Rhodes [2]. 2. BCC Baker, Chares, Cooper [3]. 3. CEM (cross-efficiecy odel; efektywość krzyżowa) Sexto, Silka, Hoga [14]. 4. SE-DEA (super-efficiecy DEA; ad-efektywość DEA) Aderse, Peterse [1]. * Katedra Ekooetrii, Akadeia Ekooicza, al. Niepodległości 10, Pozań, e-ail: b.guzik@ae.poza.pl 1 Np. opracowaa przez Tawaresa bibliografia etody DEA za lata zawiera poad 3000 pozycji [19]. 2 Szerzej oówioo je w artykule Su, Lu [16].

2 72 B. GUZIK 5. CEP (cross-efficiecy profilig; profilowaa efektywość krzyżowa) Doyle, Gree [5], Tofallis [20]. 6. SE-BCC (super-efficiecy BCC) Seiford, Zhu [15]. 7. SE-SBM (supper- efficiecy- slack-based easure; adefektywość oparta a luzach) Toe [18]. 8. NR-DEA (o-radial DEA; ieradiala DEA) Thaassoulis, Dyso [17]. Metoda DEA w literaturze polskiej została zaprezetowaa bodaj po raz pierwszy w pracach Rogowskiego [12], [13] oraz Gospodarowicza [7]. W chwili obecej jej polska bibliografia jest już zacząca. Oprócz podaych prac Rogowskiego i Gospodarowicza obejuje p. artykuły: Doagała [4], Feruś [6], Gospodarowicz (2004), Kopczewski [8], Kopczewski, Pawłowska [9], Pawłowska [10], Prędki (2002). We wszystkich opublikowaych w aszy kraju zaych autorowi pracach dotyczących DEA przyajiej a etapie forułowaia odelu przyjuje się, że akłady są względe siebie całkowicie kopleetare i ie zachodzi zjawisko jakiejkolwiek ich substytucji. W iiejszy artykule wskazao a ożliwość wykorzystaia odelu ieradialej DEA, w który oże ieć iejsce, przyajiej częściowa, substytucja akładów. Propozycja wydaje się istoty uogólieie dotychczasowych ujęć etody DEA w kieruku szerszego uwzględieia różych okoliczości o aturze ekooiczej i techologiczej. Przedstawiając ieradialą DEA będziey się odwoływać do klasyczego profilu CCR (Chares, Cooper, Rhodes [2]). Ograiczyy się do ieradialego odelu CCR, w skrócie NR-CCR, zorietowaego a akłady. 2. Określaie efektywości etodą CCR ukierukowaą a akłady 2.1. Idea określaia efektywości etodą CCR 1. Day jest pewie zbiór obiektów gospodarczych (p. oddziałów baku, fir, jedostek przestrzeych). Pouerujy je przez j = 1,, J. 2. Obiekty te przekształcają akłady X 1, X 2, X N w rezultaty Y 1, Y 2,..., Y R Dostępe są astępujące iforacje o każdy z obiektów: 3 Używay tu teriologii: akład (iput) oraz rezultat (output), a ie rezultat w zaczeiu efekt, gdyż to ostatie prowadzi do paradoksów słowych. O ile bowie w przypadku efektywości ukierukowaej a akłady (koszty) oża ówić o tzw. efektywości kosztowej, o tyle w przypadku efektywości ukierukowaej a efekty trzeba by ówić o efektywości efektowej. Przyjując atoiast, że output jest rezultate (wyikie), oża ówić o efektywości wyikowej.

3 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów x j wielkość akładu -tego rodzaju poiesioego w obiekcie j-ty ( = 1,, N), y rj wielkość rezultatu r-tego rodzaju uzyskaego w obiekcie j-ty (r = 1,, R; j = 1,, J ). Nakłady i rezultaty wyrażają się liczbai ieujeyi, przy czy przyajiej jede rodzaj akładu i przyajiej jede rodzaj rezultatu jest w day obiekcie liczbą dodatią. Zadaie polega a określeiu efektywości (sprawości) poszczególych obiektów przy trasforowaiu ich wiązek akładów w wiązki rezultatów. Wektor x j T j =, (1) y j gdzie: x j (pioowy) wektor akładów poczyioych w obiekcie j-ty, y j (pioowy) wektor rezultatów uzyskaych w obiekcie j-ty, azywa się techologią obiektu j-tego. Dla określeia efektywości wybraego obiektu, ającego powiedzy uer o-ty, w etodzie CCR ukierukowaej a akłady rozwiązuje się dotyczące tego obiektu, ściśle określoe (i dość proste) liiowe zadaie decyzyje. Jego cele jest ustaleie takiej liiowej kobiacji techologii poszczególych obiektów, że akłady poiesioe a uzyskaie za jej poocą autetyczych rezultatów obiektu o-tego są ajiejsze w klasie wektorów akładów proporcjoalych do wektora akładów obiektu o-tego. Ozaczy: λ oj 0 ( j = 1,, J ) (2) współczyiki liiowej kobiacji techologii poszczególych obiektów, T ~ J o = j = 1 λ T (3) liiowa kobiacja techologii obiektowych. Kobiacja techologicza T ~ o jest swego rodzaju techologią wspólą całego układu, skojarzoą z akładai i rezultatai obiektu o-tego. Wagą obiektu j-tego jest λ oj. θ o ożik wielkości akładów obiektu o-tego, określający jaką krotość rzeczywistych akładów obiektu o-tego usiałaby wykorzystać techologia wspóla dla uzyskaia rzeczywistych rezultatów (4) obiektu o-tego. oj j

4 74 B. GUZIK Przykład 1 Jeśli a przykład θ o = 0,7, ozacza to, że zrealizowaie za poocą techologii wspólej tych rezultatów, jakie uzyskał obiekt o-ty, wyaga 70% wielkości akładów poiesioych w obiekcie o-ty. Iterpretując zaś te wyik w drugą stroę, oża powiedzieć, że aby obiekt o-ty był w pełi efektywy, usi o swoje akłady proporcjoalie zredukować przyajiej do 70% dotychczasowych. Możik θ o < 1 świadczy, że za poocą techologii wspólej rezultaty obiektu o-tego ogłyby być uzyskae przy iejszy 4 akładzie iż to iało iejsce w tyże obiekcie, a zate świadczy, że baday obiekt ie był (w pełi) efektywy. Jeśli atoiast θ o 1 ozacza to, że techologia wspóla ie jest lepsza od techologii obiektu o-tego, a więc, że obiekt o-ty jest efektywy. W zadaiu CCR jest 0 θ o 1. Z uwagi a przedstawioą iterpretację, ożik θ o jest też wskaźikie efektywości obiektu o-tego. Jeśli θ o = 1, obiekt jest w pełi efektywy. Jeśli zaś θ o < 1, efektywość badaego obiektu ie jest 100-procetowa i wyosi θ o 100% Zadaie CCR dla obiektu o-tego I. Dae wielkości akładów oraz rezultatów w poszczególych obiektach, x j oraz y rj j = 1,, J; r = 1,, R; = 1,, N. II. Ziee decyzyje: λ o1, λ o2,..., λ oj współczyiki kobiacji techologii wspólej, iezbędej dla uzyskaia rzeczywistego rezultatu obiektu o-tego. θ o ożik poziou akładów obiektu o-tego. (6) III. Fukcja celu θ o i iializacja ożika poziou akładów o biektu o-tego. (7) IV. Waruki ograiczające: rezultaty techologii wspólej są ie iejsze od rezultatów osiągiętych przez obiekt o-ty: J j = 1 y rj oj (5) λ y ro (dla r = 1,, R); (8) 4 Ogólie ie większy.

5 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów akłady techologii wspólej są ie większe od części akładów poiesioych przez obiekt o-ty: V. Waruki zakowe: J j = 1 x j λ θ o x (dla = 1,, N); (9) oj o θ o 1. (10) θ o ; λ o1, λ o2,..., λ oj 0. (11) Zadaie podaego typu, z warukie ierówościowy (8) dla rezultatów i warukie ierówościowy dla akładów, oża azwać zadaie w szeroki sesie zorietoway a akłady ( zorietowaie a akłady ozacza, że optyalizowaa jest wielkość akładów; szeroki ses że rezultaty techologii wspólej są rówe lub większe od rezultatów obiektu o-tego; a więc, że oże powstać adwyżka rezultatów poad wyagay doly liit). Zadaie (5) (7), (9) (11), w który będzie chodziło o iializację akładów przy realizacji ściśle określoych rezultatów, a więc zadaie, w który dotycząca rezultatów ierówość (8) zostaje zastąpioa przez rówość J y rj j = 1 λ = y ro (dla r = 1,, R), (12) oj oża azwać zadaie ściśle zorietoway a akłady ( ścisłe zorietowaie ozacza, iż za poocą techologii wspólej ależy uzyskać dokładie takie sae rezultaty, jak w obiekcie o-ty). Jest zrozuiale, że wyik obu zadań: ściśle oraz w szeroki sesie ukierukowaego, a ogół będą ie. Dalej, ówiąc o zadaiu ukierukoway a akłady, będziey ieć a yśli zadaie ukierukowae a akłady w szerszy sesie, czyli zadaie (5) (11). W celu ustaleia efektywości wszystkich obiektów trzeba rozwiązać po jedy zadaiu dla każdego obiektu. Z foralego puktu widzeia oża jedak połączyć je w jedo duże zadaie, z fukcją celu postulującą iializację suy wszystkich wskaźików efektywości θ o, o = 1,, J, gdyż zadaia dla pojedyczych obiektów są iezależe. 3. Proble 1: szacowaie efektywości CCR Wykorzystay dae z pracy Gospodarowicza [7]. Rozpatrzoo ta 50 polskich oraz zagraiczych baków działających w 1998 roku w Polsce i zbadao ich

6 76 B. GUZIK efektywość techologiczą, przyjując cztery rezultaty i cztery akłady. Nasz przykład a wyłączie charakter ilustracyjy i dlatego ograiczyy się do 10 baków oraz dwóch akładów (i czterech rezultatów). Iforację statystyczą podao w tabeli 1. Tabela 1. Rezultaty i akłady baków Bak B1 B2 B3 B4 B5 B6 B12 B14 B15 B16 Nakłady ajątek , , ,4 567 wkłady Rezultaty kredyty ależości papiery , prowizje ,78 54, , , Ź ródł o: Gospodarowicz [7, tab. 3]. Stosując CCR ukierukowaą a akłady, otrzyuje się wyiki podae w tabeli 2. Efektywość θ o Bak Tabela 2. Wyiki CCR ukierukowaej a akłady Współczyiki λ oj B1 B2 B3 B4 B5 B6 B12 B14 B15 B16 0,990 B , ,29 0,81 0 5,75 0 0,795 B , ,17 0,43 0 4,71 0 1,000 B ,897 B , ,73 0,15 0 2,75 0 1,000 B ,000 B ,000 B ,000 B ,000 B ,815 B ,10 4,26 0,12 0 8,67 0 Ź ródł o: Obliczeia włase. Przykładowe wioski: W pełi efektywe w sesie CCR ukierukowaej a akłady są baki: B3, B5, B6, B12, B14 oraz B15. Najiej efektywy jest bak B2, którego efektywość staowi ok. 80% efektywości baków ajlepszych oraz bak B16 (efektywość 81,5%). Bak B2 byłby efektywy, gdyby każdy swój akład obiżył do poziou 79,5% akładu dotychczasowego.

7 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Nową, dającą 100-procetową efektywość, optyalą techologią dla baku B2 byłaby techologia obliczoa jako: 2% techologii baku B3 plus 217% techologii B6 plus 43% techologii B12 plus 471% techologii B15, czyli: ,1 7,78 0, ,56 ~ 98,7 57, ,4 T 2 = 0,02 +2,17 +0,43 +4,71 = ; T 2 = ajatek ajątek wklady wkłady kredyty. ależości alezosci papiery prowizje Autetyczą techologię obiektu drugiego podaje wektor T 2. W techologii wzorcowej akład ajątku oraz wkładów będzie iejszy iż autetyczy, a rezultaty odośie do kredytów, ależości, prowizji będą takie sae, w stosuku do papierów będą atoiast większe 4. Iterpretacja ożika akładów θ Z puktu widzeia substytucji akładów w odelach DEA ajistotiejsze zaczeie a iterpretacja ożika poziou akładów θ o. Zauważy przede wszystki, że z waruku (9) dla CCR: J j = 1 x j λ θ o x (dla = 1,..., N ) oj o wyika, iż zadaie będzie dążyło do ukształtowaia takiego iialego poziou prawej stroy, który wystarczy do zrealizowaia rezultatów przewidziaych przez waruek (8), i który będzie proporcjoaly do autetyczego akładu poczyioego

8 78 B. GUZIK w obiekcie o-ty. Współczyik θ o jest więc współczyikie proporcjoalości akładów. W stadardowych odelach DEA ożik poziou akładów θ jest jedolity dla wszystkich akładów. W odelach tych zakłada się, że w celu iializacji ogólego poziou akładów ależy wszystkie je zieiać w tej saej proporcji. Przykład 2 Powiedzy, że akłady obiektu o-tego były astępujące: 100 x o =. 400 W zadaiu DEA będzie się próbowało, a przykład, astępujące góre pułapy akładów: θ o = 0,90, 0,80, 0,64, (*), 360, 320, 256 tj. 90%, 80%, 64% wektora x o. W stadardowych wersjach etody DEA a iejsce 100-procetowa kopleetarość i zerowa substytucja akładów. Przykład 3 W stadardowej DEA ie a więc iejsca a przykład a astępujące kobiacje akładów zieiające wektory akładu z przykładu 2: (**), 354, spadek X 1 o 2 wzrost X 1 o 2 wzrost X 1 o 2 wzrost X 2 o 4 ; spadek X 2 o 20; spadek X 2 o 5 czyli ie a iejsca a (choćby iialą) substytucję akładów. W rzeczywistości gospodarczej substytucja akładów, oże ie 100-procetowa, ale częściowa, a iejsce. W kosekwecji kopleetarość akładów oże ie być całkowita. Podstawowe założeie stadardowych etod DEA o 100-procetowej kopleetarości jest zbyt sile i ależy je w iejszy lub w większy stopiu odrzucić.

9 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Ogóla idea ieradialej DEA Pukte wyjścia etod NR-DEA ukierukowaych a akłady jest rezygacja z jedolitego ożika poziou dla wszystkich akładów = 1,..., N. Przyjuje się atoiast, że każdy akład oże ieć iy ożik (co ie wyklucza, oczywiście, że dla iektórych będzie o jedolity). Niech więc θ o (0, 1] ozacza ożik poziou -tego akładu w obiekcie o-ty. Jak już powiedziao, dopuszczay, że ożiki te dla różych akładów ogą być róże. Przykład 4 Powiedzy, że autetycze akłady w obiekcie o-ty były takie, jak wyżej, tz. x 1o = 100, x 2o = 400. Między akładai zachodziła więc proporcja X 1 /X 2 = 0,250. W stadardowej wersji DEA proporcja ta byłaby utrzyywaa dla każdego poziou akładów. Niektóre wektory akładów odpowiadające tej proporcji podao w przykładzie 2. Obecie, zakładając ożliwość substytucji, proporcja ta oże ulec ziaie, co zilustrowao w przykładzie 3. W pierwszej podaej ta sytuacji jest X 1 /X 2 = 0,242, bo w stosuku do wyjściowej proporcji X 1 /X 2 = 0,25 astąpiła substytucja akładu pierwszego przez drugi. Z kolei w drugiej sytuacji jest X 1 /X 2 = 0,273, gdyż iała iejsce substytucja akładu drugiego przez pierwszy. 5. Zadaie NR-CCR ukierukowae a akłady dla obiektu o-tego I. Dae jak w CCR, czyli: x j wielkość akładu -tego rodzaju w j-ty obiekcie, y rj wielkość rezultatu r-tego rodzaju w j-ty obiekcie. II. Ziee decyzyje: λ oj ( j = 1,..., J ) współczyiki liiowej kobiacji techologii obiektowych, (13) θ o ( = 1,..., N) ożiki poziou poszczególych akładów w obiekcie o-ty.(14) III. Fukcja celu N = 1 θ i (15) o

10 80 B. GUZIK iializacja suy ożików poziou akładów 5 ; wobec (17) ozacza to iializację akładów techologii wspólej. IV. Waruki ograiczające rezultaty techologii wspólej są ie gorsze od rezultatów obiektu o-tego J j=1 λ y ro (r = 1,..., R), (16) oj y rj akład -ty w techologii wspólej ie przekracza pewej z uwagi a (15) ożliwie ajiejszej części tego akładu w obiekcie o-ty J oj x j j=1 λ θ o x o ( = 1,, N), (17) θ o 1 ( = 1,..., N) (18) (waruek (18) jest aalogoe waruku θ o 1 dla etody CCR; z uwagi a jego postać ie trzeba dodawać waruku, by sua ożików θ o ie przekraczała N 6 ). V. Waruki zakowe λ oj 1 ( j = 1,..., J). (19) λ oj, θ o 0 ( j = 1,..., J; = 1,..., N). (20) Wskaźik θ o a, iędzy iyi, astępujące iterpretacje: 1. jest wskaźikie efektywości obiektu o-tego ze względu a akład -ty; 2. określa procet, do jakiego powiie zostać ziejszoy akład -ty w baday obiekcie, aby obiekt uzyskał 100-procetową efektywość ze względu a ów akład, 3. ozacza, przy jakiej krotości akładu obiektu o-tego cały układ obiektów stosując swą optyalą techologię wspólą uzyska rezultat aalogiczy do rezultatu obiektu o-tego. 5 Ozacza to, oczywiście, iializację średiej z ożików dla akładów w day obiekcie. 6 W CCR każdy akład a ożik θ o 1. W CCR sua ożików dla akładów jest więc ie większa od N.

11 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Proble 2: szacowaie efektywości ieradialej Obecie rozwiążey zadaie ustalaia efektywości baków (tab. 1) za poocą etody NR-CCR. Przyjiey, że dla obu akładów ożiki pozioów w day obiekcie ogą być róże. Optyale ożiki θˆ oraz optyale współczyiki becharkigowe λˆ podao w tabeli 3. Tabela 3. Optyale rozwiązaie zadaia NR-CCR ukierukowaego a akłady Majątek Wkłady Współczyiki λˆ oj Bak ˆ θ1o θˆ B1 B2 B3 B4 B5 B6 B12 B14 B15 B16 2o 0,947 1 B , ,879 0, , ,707 0,818 B , ,527 0, , B ,573 0,969 B , ,496 0, , B B B B B ,616 B ,011 6,515 0, ,177 0 Ź ródł o: Obliczeia włase. Przykładowe wioski dotyczące efektywości obiektów Bak B1 jest w pełi efektywy ze względu a akład drugi i jest efektywy w 94,7% ze względu a akład pierwszy. Ozacza to, że dla uzyskaia pełej efektywości powiie o zredukować pierwszy akład do 94,7% akładu obecego (i pozostawić akład drugi a obecy pozioie). Bak B3 jest w pełi efektywy ze względu a oba akłady. Z uwagi a akład pierwszy bak B4 jest efektywy tylko w 57,3%, a ze względu a akład drugi w 96,9%. Uzyskaie 100% efektywości jest ożliwe, gdy pierwszy akład zostaie ziejszoy do 57,3% aktualego poziou, a akład drugi do 96,9% obecego poziou. Becharkig Bak B1 staie się efektywy, jeśli zaczie działać według techologii: 35,2% techologii B ,9% techologii B6 + 80,5% techologii B ,9% techologii B15.

12 82 B. GUZIK Techologią wzorcową baku B1 jest wektor: ˆT 1 = Techologią autetyczą jest wektor: T 1 = Wzorcowe akłady są takie jak autetycze, rezultaty atoiast są ieco a wyrost : techologia wspóla wytwarza więcej iż trzeba rezultatu r 3 (To zjawisko adwyżek po stroie rezultatów i iejszych iż wyagao akładów, tzw. slack ów czyli zieych swobodych, jest żywo dyskutowae w DEA ). 7. Substytucja w odelu NR-DEA Przedstawioe zaiay wielkości akładów przy przejściu od akładów epiryczych do akładów optyalych ozaczają oczywiście ziaę struktury akładów w porówaiu ze strukturą początkową. Jeśli więc obiekt działa racjoalie, co dalej zakładay, to ziay te ozaczają substytucję jedych akładów przez ie. Substytucja jest to koiecze ziejszeie jedego akładu z uwagi a wzrost drugiego lub też bardziej itesywe ziejszeie jedego akładu z uwagi a woliejszy, iż ależało, spadek drugiego akładu. Dla ustaleia uwagi przyjijy, że rozpatrujey substytucję (wzrostu lub woliejszego iż trzeba spadku) akładu -tego przez (spadek) akładu -tego. Uwagi teriologicze W etodzie DEA, jak już ówioo, rozpatruje się sytuację, gdy za poocą daego akładu uzyskuje się, w ogóly przypadku, kilka rezultatów; a do uzyskaia daego rezultatu iezbęde jest wykorzystaie, w ogóly przypadku, kilku akładów. 1. Cząstkowe wielkości akładów poiesioych dla uzyskaia rezultatów, czyli r liczby x j (j = 1,..., J; = 1,..., N; r = 1,..., R) ie są jedak zae. Zae są tylko ogóle (geerale) wielkości akładów, x j, poiesioych w poszczególych obiektach dla uzyskaia wszystkich rezultatów tego obiektu. Dlatego też ówiąc o substytucji akładów w odelach DEA, ie ay a yśli substytucji poiędzy akładai stosowayi do uzyskiwaia daego, kokretego rezultatu (substytucja cząstkowa), lecz tylko substytucję tych akładów w odiesieiu do całej wiązki rezultatów, czyli substytucję ogólą (geeralą).

13 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Mówiąc o substytucji akładów, ay a yśli ziay relacji poiędzy akładai w stosuku do sytuacji początkowej. Kopleetarość atoiast będzie ozaczała brak takich zia. 3. W dalszy ciągu artykułu przyjujey, że uer badaego obiektu, o, jest ustaloy, co pozwoli zrezygować z tego ideksu i uprości otację. 4. Pisząc sybol θˆ, będziey ieć a yśli optyalą wartość ożika akładów. Pisząc zaś sybol θ ( bez daszka ), ówiy ogólie o jakiś ożiku akładów, a ie o jego kokretej wartości będącej rozwiązaie zadaia NR-CCR. Syptoy substytucji Dla potrzeb artykułu przyjiey bardzo prostą regułę: O substytucji akładów będzie świadczyła rozbieżość iędzy optyalyi ożikai poziou poszczególych akładów. a) Jeśli dla dwóch akładów: oraz ( ; 1, N) zachodzi w obiekcie o-ty: θˆ = θˆ, (21) to w obiekcie ty akłady -ty oraz -ty są w 100% kopleetare (i w 0% są substytucyje). b) Jeśli atoiast dla tych akładów θˆ θˆ, (22) to w baday obiekcie porówywae akłady są substytucyje. Aaliza substytucji dotyczy wyłączie obiektów ie w pełi efektywych, przyajiej ze względu a jede akład i to takich, że wskaźiki efektywości dla przyajiej dwóch akładów są róże. Gdy wskaźiki efektywości dla wszystkich akładów są idetycze (p. rówe 1), wówczas akłady są kopleetare. Przykład 5 Niech tak, jak w przykładzie drugi, w sytuacji początkowej akłady x 1o = 100, x 2o = 400. a) Jeśli w rozwiązaiu zadaia NR-CCR ożiki ˆ θ 1 oraz ˆ θ 2 będą idetycze (iekoieczie rówe 1), ozaczać to będzie, że zadaie optyalizacyje sugeruje pozostawieie poprzediej proporcji tych akładów, czyli sugeruje ich kopleetarość w stosuku do sytuacji początkowej. Na przykład gdy ˆ θ 1 = ˆ θ 2 = 0,7, ozacza to, że oba akłady ależy kopleetarie ziejszyć do 70% akładów początkowych, czyli do x 1o = 70, x 2o = 280. * b) Jeśli atoiast ożiki będą róże, a przykład ˆ θ 1 = 0,8; ˆ θ 2 = 0,5, ozaczać to będzie, że pierwszy akład ależy ziejszyć do 80% poprzediej wielkości, czyli do 80, a drugi do 50%, czyli do 200. Nastąpi więc ziaa struktury akładów z 1:4 a

14 84 B. GUZIK 1:2,5, którą przy założeiu racjoalości działaia obiektu ależy wiązać z substytucją akładów. 8. Niektóre charakterystyki substytucji w odelu NR-CCR Substytucja jest to koiecze ziejszeie jedego akładu z uwagi a wzrost drugiego lub też bardziej itesywe ziejszeie jedego akładu z uwagi a woliejszy, iż ależało, spadek drugiego akładu. Wskaźik rozpiętości substytucji Za wskaźik rozpiętości substytucji iędzy dwoa akładai oża przyjąć różicę iędzy ich ożikai poziou akładów: = ˆ θ ˆ θ. (23) Zerowa wartość odchyleia (23) świadczy, że akłady są kopleetare, dodatia że są oe substytucyje i to ty bardziej, i to odchyleie jest większe. Poieważ w etodzie NR-CCR oba ożiki θˆ oraz θˆ są liczbai z przedziału [0, 1], rówież rozpiętość substytucji jest z przedziału [0, 1], czyli od 0% do 100%. Przypadek 100-procetowej substytucji a iejsce, gdy ożik dla jedego akładu jest rówy 1, zaś dla drugiego jest rówy 0. Wskaźik (23) jest, co oczywiste, syetryczy względe oraz. Wskaźik substytucji Wskaźikie substytucji akładu -tego przez akład -ty oża azwać iloraz Obecą strukturę obu akładów reprezetuje iloraz ˆ θ W ; =. (24) ˆ θ σ ; = x. (25) Uwzględiając wskaźik substytucji, strukturę docelową akładów oża określić jako ˆ σ ; = xˆ xˆ x = σ ; W ;. (26) Wskaźik substytucji wyzacza więc ziaę struktury akładów epiryczych, iezbędą do uzyskaia struktury docelowej.

15 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Zauważy, że rówaie (26) orzeka, iż z czego wyika, że xˆ xˆ xˆ x = = x W;, x xˆ x W ;. (27) Gdyby faktyczy iloraz akładu -tego był większy od postulowaego: faktyczy iloraz drugiego akładu usiałby spełiać relację ˆ x * x ˆ x * x = = xˆ x xˆ x (1 + a), a > 0, (28) xˆ x a W ;, (29) czyli usiałby być iejszy od postulowaego o ułaek występujący po zaku ius. Pukt kopleetarości oraz liia substytucji Kobiację akładów (a więc i ożików akładów), w który a iejsce kopleetarość obu akładów azwiey pukte kopleetarości akładów -tego oraz -tego i ozaczyy przez K. Jego współrzęde dotyczące ożika θ oraz ożika θ są idetycze (bo iaczej ie iałaby iejsca kopleetarość); ozaczyy je przez k. Niech poadto P ozacza przedział zieości ożika θ, a P przedział zieości ożika θ : P = [θ, i, θ, ax ]; P = [θ, i, θ, ax ] (30) Określeia i oraz ax ozaczają iialą oraz aksyalą wartość ożika akładów. Oczywiście wartości iiale są ie iejsze od zera, a aksyale ie większe od 1. Wartość k ależy do obu przedziałów. Przedziały P oraz P azwiey przedziałai substytucji. Mogą oe być syetrycze lub iesyetrycze względe odpowiediej współrzędej puktu kopleetarości. Pukt kopleetarości jest iejsce przecięcia się liii kopleetarości (przez którą rozuiey liię, a której oba akłady zieiają się w ty say stopiu) z liią substytucji, czyli liią określającą stopień zastępowaia jedego akładu przez drugi. W przestrzei {θ, θ } liia kopleetarości to wychodząca z początku układu współrzędych liia zapewiająca, że θ = θ (w kosekwecji prowadzi to do idetyczości współrzędych puktu kopleetarości). Liia sub-

16 86 B. GUZIK stytucji atoiast to liia ukośa, zawierająca substytucyje względe siebie kobiacje (θ, θ ). θ, ax k θ liia kopleetarości pukt kopleetarości K liia liia substytucji K θ, i θ, i k θ, ax θ Rys. 1. Liia substytucji i pukt kopleetarości. Syetrycze przedziały substytucji Przebieg liii substytucji zależy od rodzaju substytucji (liiowa czy ieliiowa i jakiego typu) oraz od tego, czy przedziały substytucji P oraz P są syetrycze względe k. Na rysuku 1 zilustrowao pukt kopleetarości oraz liię substytucji i liię kopleetarości w przypadku, gdy substytucja jest liiowa, a przedziały substytucji są syetrycze względe swojej współrzędej puktu kopleetarości. Z kolei a rysuku 2 zilustrowao liię substytucji, liie kopleetarości oraz pukt kopleetarości, gdy substytucja jest liiowa a przedział substytucji ie jest syetryczy względe puktu kopleetarości. θ, ax θ liia kopleetarości pukt kopleetarości K k liia substytucji θ, i θ, i k θ, ax θ Rys. 2. Liia substytucji i pukt kopleetarości. Asyetrycze przedziały substytucji

17 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Segetowa liia substytucji zieia kształt w iarę przesuwaia się puktu kopleetarości po liii kopleetarości. W graiczy przypadku liia substytucji składa się z dwóch odcików do siebie prostopadłych. Na rysuku 3 podao atoiast przykład ieliiowej liii substytucji z syetryczyi przedziałai substytucji. Ilustracja ieliiowej liii substytucji w przypadku asyetryczych przedziałów substytucji jest podoba do rysuku 2 z ty, że liia substytucji ie jest fukcją segetową, lecz fukcją gładką. θ θ, ax liia kopleetarości k pukt kopleetarości liia substytucji K θ, i θ, i k θ, ax θ Rys. 3. Nieliiowa liia substytucji i pukt kopleetarości. Syetryczy przedział substytucji Itesywość substytucji Itesywością substytucji akładu -tego przez akład -ty w pukcie θ = θ* azwiey (ius) pierwszą pochodą liii substytucji, wziętą względe θ w pukcie θ = θ*. (Zakładay oczywiście, że ta pochoda istieje.) Przykładowo, jeśli substytucja akładu przez akład (i odwrotie) jest liiowa a przedziały substytucji są takie sae i są syetrycze względe puktu kopleetarości obu akładów, to pukt kopleetarości θ jest oczywiście środkie przedziału, czyli θ + θ θ =. (31) 2 a wskaźik substytucji S ; = 1. W ogóly przypadku substytucji liiowej z przedziałai substytucji iekoieczie rówyi i iekoieczie syetryczyi względe odpowiediej składowej puktu kopleetarości, itesywość substytucji akładu -tego przez akład - ty wyzaczaa jest przez współczyik kierukowy odpowiediego segetu liii substytucji:

18 88 B. GUZIK S ; = S S 1 ; 2 ; dla θ k dla θ > k, (32) gdzie: 1 S ; = 2 S ; = θ,ax k k θ θ θ,ax k,i,i k, (dla θ k), (33), (dla θ > k). (34) Itesywość substytucji to (wyagaa) prędkość spadku ożika -tego akładu, gdy ożik akładu -tego wzrasta o jedostkę, p. wzrasta w stosuku do tego poziou, jaki powiie ieć iejsce. Gdyby jedostką zia ożików był 1 pukt procetowy, czyli wartość 0,01, S ; określałby, o ile puktów procetowych zieia się ożik akładów, a więc określałyby, o ile procet usi ziejszyć się wielkość akładu -tego, gdy wielkość akładu -tego wzrośie o 1% (a o 1% w stosuku do poziou postulowaego). Wielkość akładu jest bowie iloczye początkowej wielkości akładów przez ożik. Ustalaie itesywości substytucji liiowej W odelu CCR akłady są w pełi kopleetare. Dlatego otrzyay za poocą etody CCR wskaźik efektywości θˆ CCR obiektu o-tego oża uzać za oszacowaie jego puktu kopleetarości 7. W taki razie oża przyjąć, że k = θˆ CCR. (35) I. Sposób szacowaia itesywości substytucji liiowej Gdybyśy przyjęli, że aksyale ożiki akładów są rówe 1, a iiale są rówe 0, oszacowae wskaźiki efektywości byłyby określoe wzorai: 1 S ; = 1 ˆ θ ˆ θ CCR CCR, (dla θ k), (36) 2 S ; = ˆ θ 1 ˆ θ CCR CCR 1 = 1 S ;, (dla θ > k). (37) 7 Jest to oszacowaie bez żadych paraetryczych założeń o aturze substytucji akładów.

19 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów II. Sposób szacowaia itesywości substytucji liiowej Gdybyśy atoiast przyjęli, że dla porówywaej pary akładów aksyala wartość ożika akładów określaa jest przez te cząstkowy ożik θˆ, θˆ, który jest większy, a iiala wartość ożika akładów przez te ożik cząstkowy, który jest iejszy, czyli: wtedy: θ,ax = θ,ax = θ ax = ax{ θˆ, θˆ }; θ,i =θ,i = θ i = i{ θˆ, θˆ }; 2 S ; = 1 θ S ; = ˆ θ ˆ θ θ CCR ax ax CCR θ ˆ θ i (39) ˆ θ CCR, (dla θ k), (40) θ i CCR 1 = 1 S ;, (dla θ > k). (41) 1. Warto paiętać, że: a) szacowaie wskaźików substytucji w odelach DEA dotyczy obiektów ie w pełi efektywych, tz. takich, dla których przyajiej ze względu a jede akład efektywość jest iejszy od 1; b) wskaźik substytucji W ; akładu -tego przez akład -ty jest odwrotością wskaźika substytucji W ; ; c) itesywość substytucji S ; akładu -tego przez akład -ty jest odwrotością S ;. 2. Należy też zazaczyć, że o substytucji akładu -tego przez akład -ty oża ówić, gdy efektywość akładu -tego, θˆ, jest iejsza od 1. Gdyby bowie efektywość akładu -tego (który trzeba ziejszać, aby zrekopesować wzrost lub iedostateczy spadek akładu -tego) była rówa 1, to ziejszaia akładu -tego byłoby ieopłacale: akład -ty adal będzie iał efektywość co ajwyżej 1 i ic ie zyskujey a jego efektywości, przy jedoczesy spadku efektywości akładu -tego. 9. Proble 3: Szacowaie wskaźików substytucji oraz itesywości substytucji W tabeli 4 przytoczoo wielkości poszczególych akładów i ich wskaźiki efektywości. Podao też wskaźiki substytucji.

20 90 B. GUZIK Bak Tabela 4. Możiki akładów oraz wskaźiki substytucji Wielkości akładów Wskaźiki efektywości Wskaźiki substytucji ajątek () wkłady () ajątek () wkłady () ajątek () wkłady () x x θˆ o θˆ W o ; W ; B , ,947 1,055 B ,707 0,818 0,864 1,157 B ,573 0,969 0,591 1,692 B ,616 1,623 0,616 Ź ródł o: obliczeia włase, tabela 1, tabela 3. Przykładowe wioski dotyczące wskaźika substytucji Nakłady w baku B1 są prawie kopleetare, gdyż ożiki poziou dla pierwszego i dla drugiego akładu są prawie idetycze. Dlatego też uzyskaie optyalej struktury akładów (wyikającej ze 100-procetowej efektywości) ie będzie, przy obecych akładach, wyagało jakieś radykalych działań, trzeba tylko ajątek ziejszyć do 94,7% dotychczasowego poziou. Obecie akład pierwszy w baku B1 wyosi 626, a akład drugi 13292, czyli realizuje się strukturę 1: 21,23. Należy ją zieić do proporcji 0,947 (1/ 21,23), czyli do proporcji akładów 1: 22,42. Z kolei w baku B4 ziay uszą być radykale, gdyż ożiki poziou akładów wyraźie się różią: ˆ θ = 0,573, ˆ 1o θ = 0,969. Obeca proporcja obu akładów 2o 1: 22,57 powia się zieić do 0,591 (1/22,57), czyli do 1: 38,2. W tabeli 5 przedstawioo wyiki obliczeń wskaźików itesywości substytucji (wzrostu lub iejszego iż trzeba spadku) ajątku przez spadek wkładów. Zastosowao II sposób szacowaia tych wskaźików. Iterpretując itesywość substytucji ajątku przez wkłady, trzeba sprawdzać, czy optyaly wskaźik dla ajątku jest iejszy od k. Bak Majątek () ˆ θ1o Tabela 5. Itesywość substytucji Wkłady () θˆ 2o θ i θ ax k θˆccr 1 S ; 2 S ; B1 0, ,947 1,000 0,990 0,233 4,30 B2 0,707 0,818 0,707 0,818 0,795 0,261 3,83 B4 0,573 0,969 0,573 0,969 0,897 0,222 4,50 B16 1 0,616 0,616 1,000 0,815 0,930 1,08 Ź ródł o: obliczeia włase, tabela 2, tabela 3.

21 O pewej ożliwości uwzględieia substytucji akładów Przykładowe wioski dotyczące itesywości substytucji W baku B1 wzrost akładów ajątku o 1% powiie być zrekopesoway spadkie wkładów o 0,233% (wzięto pierwszą wartość S, gdyż θˆ < k ). Spadek wkładów ie jest jedak opłacaly, gdyż ich efektywość ie zwiększy się, bowie już wyosi 1. W baku B2 wzrost ajątku o 1% usi być zrekopesoway spadkie wielkości wkładów o 0,261%. Z kolei w baku B16 wzrost ajątku o 1% usi być zrekopesoway spadkie wartości wkładów o 1,08% (bierzey drugą wartość S, gdyż θˆ > k ). Na rysuku 4. zilustrowao liie substytucji w przypadku baku B4. 0,97 k=0,90 θ ( ˆ θ, ˆ θ ) liia kopleetarości pukt kopleetarości K liia substytucji 0,57 0,57 k=0,90 0,97 θ Rys. 4. Segetai liiowa liia substytucji ajątku () przez wkłady (). Bak B4 Bibliografia [1] ANDERSEN P., PETERSEN N.C., A procedure for rakig efficiet uits i Data Evelopet Aalysis, Maageet Sciece, 1993, 39(10). [2] CHARNES A., COOPER W.W., RHODES E., Measurig the efficiecy of decisio akig uits, Europea Joural of Operatioal Research, 1978, 2. [3] BANKER R.D., CHARNES A., COOPER W.W., Soe odels for estiatig techical ad scale iefficiecies i Data Evelopet Aalysis, Maageet Sciece, 1984, 30/9. [4] DOMAGAŁA A., Postulat hoogeiczości jedostek decyzyjych w etodzie DEA. Sugestie teoretycze a wyiki syulacji epiryczych [w:] Ekooetria fiasowa, Zeszyty Naukowe AE w Pozaiu, Wyd. AE Pozań, Pozań 2006 (w druku). [5] DOYLE J., GREEN R., Efficiecy ad cross-efficiecy i DEA: Derivatio, eaigs ad uses, Joural of Operatioal Research Society, 1994, 45(5). [6] FERUŚ A., Zastosowaie etody DEA do określaia poziou ryzyka kredytowego przedsiębiorstw, Bak i Kredyt, 2006, 7, NBP, Warszawa 2006.

22 92 B. GUZIK [7] GOSPODAROWICZ M., Procedury aalizy i ocey baków, Materiały i Studia, zeszyt 103, NBP, Warszawa [8] KOPCZEWSKI T., Efektywość techologicza i kosztowa baków koercyjych w Polsce w latach , cz. I, Materiały i Studia, zeszyt 113, NBP, Warszawa [9] KOPCZEWSKI T., PAWŁOWSKA M., Efektywość techologicza i kosztowa baków koercyjych w Polsce w latach , cz. II, Materiały i Studia, zeszyt 135, NBP, Warszawa [10] PAWŁOWSKA M., Wpływ fuzji i przejęć a efektywość w sektorze baków koercyjych w Polsce w latach , Bak i Kredyt, 2003, 2, NBP, Warszawa [11] PRĘDKI A., Aaliza efektywości za poocą etody DEA. Podstawy forale i ilustracja ekooicza, Przegląd Statystyczy, 2003, 1, Warszawa [12] ROGOWSKI G., Metody aalizy i ocey działalości baku a potrzeby zarządzaia strategiczego, Wydawictwo WSB w Pozaiu, Pozań [13] ROGOWSKI G., Aaliza i ocea działalości baków z wykorzystaie etody DEA, Bak i Kredyt, 1996, 8, NBP, Warszawa [14] SEXTON T., SILKMAN R., HOGAN A., Data Evelopet Aalysis: Critique ad Extesios, [w:] R. Silka (red.), Measurig Efficiecy: A Assesset of Data Evelopet Aalysis. New Directios for Progra Evaluatio, 1986, Jossey Bass, Sa Fracisco. [15] SEIFORD L.M., ZHU J., Ifeasibility of supper efficiecy Data Evelopet Aalysis, INFOR, 1998, 37, 2. [16] SUN S., LU W.M., A cross-efficiecy profilig for icreasig discriiatio i Data Evelopet Aalysis, Ifor, 2005, 43, 1. [17] THANASSOULIS E., DYSON R.G., Estiatig preferred target iput-output levels usig Data Evelopet Aalysis, Europea Joural of Operatioal Research, 1992, 56. [18] TONE K., A slacks-based easure of efficiecy i Data Evelopet Aalysis, Europea Joural of Operatioal Research, 2001, 130. [19] TAWARES G., A bibligraphy of Data Evelopet Aalysis, , BRR, 1/2002, [20] Tofallis C., Iprovig disceret i DEA usig profilig, Oega, 1996, 24(3). Icludig substitutio of iputs i DEA odels Classic DEA odels (e.g., CCR or super-efficiecy DEA) assue that iputs are copleetary ad there is o substitutio of iputs. The lack of substitutio is a result of usig the sae iput ultiplier for all iputs. The author idicates that there is a possibility of icludig the substitutio of iputs by usig idividual ultiplier for each iput. This is a characteristic of so-called o-radial DEA, which was proposed by Dyso ad Thaassoulis (1992). The author presets soe siple easures of substitutio which are based o idividual ultipliers of iputs: substitutio rage, substitutio idex, substitutio itesity. The substitutio idex describes what chage of iitial structure of iputs is eeded to reach the optial techology. The substitutio itesity describes the velocity of ecessary decrease of oe iput iduced by a icrease or ot as fast as expected a decrease of the secod iput. Aother characteristic of substitutio is a substitutio lie the estiatio of which is also proposed by the author. Keywords: Data Evelopet Aalysis (DEA), substitutio of iputs, o-radial efficiecy