3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych

Transkrypt

1 Równnie Bernoullieo l rzeływu łynów okonłyc Równnie Bernoullieo wyrż zę, że w rucu utlony nieściśliweo łynu ielneo obywjący ię w olu ił ciężkości, cłkowit eneri łynu kłjąc ię z enerii kinetycznej, enerii otencjlnej ciśnieni i enerii ołożeni jet tł wzłuż nej linii rąu Njczęściej otykn, lebriczn otć równni Bernoullieo, wyrżjąc zę zcowni enerii ecnicznej rzetwi ię ntęująco: z cont zie: - wyokość rękości - wyokość ciśnieni z - wyokość ołożeni (wznieienie) Niewioyi w równniu ą rękość i ciśnienie, ętość jet znn i niezienn, oobnie jk rzyiezenie ziekie Jeżeli uwzlęniy równnie ciąłości l rzeływu łynów nieściśliwyc i rzyjiey, że równnie Bernoullieo wżne jet l śreniej linii rąu, otrzyy: S S Q ie z z cont Rozwiąznie owyżzyc równń ozwoli n uzykć wrtości rękości śreniej i ciśnieni nująceo w kży z rzekrojów Szczeólny rzykie rw zcowni enerii, jet rwo Torricelleo, określjące rękość wyływu cieczy ze zbiornik rzez ły otwór w ścinie:

2 γ γ zie: γ - ciężr włściwy w N/ Z równni ciąłości l obu rzekrojów y: S S S S Jeżeli ole rzekroju zbiornik jet zncznie więkze o ol rzekroju wylotu otworu wtey ożey oinąć i określić rękość wyływu jko: Powyżz zleżność zotł wyznczon l rzyku, w który n owierzcni zbiornik jk i w rzetrzeni o której obywł ię wyływ, nowło ciśnienie toferyczne Prwo Torricelleo ożn również onieść o rzyku rzeływu cieczy ze zbiornik A o B, w któryc wytęują różne ciśnieni A B γ Wrtości rękości wyływu n woy i oleju obliczone z rw Torricelleo ą tkie e, oniewż rwo otyczy rzeływu łynu okonłeo i nie uwzlęni trt rzeływu wytęującyc ięzy rzekroji kontrolnyi, owoownyc lekością łynu W rzyku łynów lekic rękość wyływu jet niejz o teoretycznej, związek oięzy rękością rzeczywitą rz teoretyczną rzyjęto wyrżć w forie iloczynu: rz α w który α jet wółczynnikie rękości, wrtość któreo zwier ię w rnicc α Bezwłność oruzjącyc ię eleentów łynu owouje, że w niewielkiej olełości z otwore wytęuje rzewężenie truieni Zjwiko to nzywne jet kontrkcją truieni, ilościowo określ je bezwyirowy wółczynnik kontrkcji β, bęący ilorze njniejzeo rzekroju truieni f 0 o rzekroju otworu f: f β 0 f

3 Wrtość wółczynnik kontrkcji uzleżnion jet łównie o otrości krwęzi otworu, tkże o kztłtu i uytuowni otworu Dl otworów kołowyc o otryc krwęzic wółczynnik kontrkcji zwier ię w rnicc β Mniejze wrtości rzeczywitej rękości wyływu rz i ol rzekroju truieni f 0 owoują, że i rzeczywity truień objętości cieczy wyływjącej rzez ły otwór jet niejzy o teoretyczneo Ilorz rzeczywiteo truieni objętości o truieni teoretyczneo nzywy wółczynnikie rzeływu: V& µ rz V & W roty oób ożn uowonić, że: µ α β Wrtość wółczynnik rzeływu rzy wyływie z otworu o otryc krwęzic zleży łównie o wrtości wółczynnik kontrkcji i ieści ię w rnicc µ PRZYKŁADOWE ZADANIA Znie (oz bibl [], z, tr 7) Obliczyć, z jką rękością bęzie rzeływć wo rzez ły otwór znjujący ię w ścince zbiornik N zwierciłe woy w zbiorniku i n wylocie z otworu nuje ciśnienie toferyczne Otwór znjuje ię wyokości 5 Pozio woy w zbiorniku jet tły Dne: 0 5 Obierzy w rzekroje: 0-0 n owierzcni cieczy orz - n wylocie ze zbiornik Dl tyc wóc rzekrojów ułożyy równnie Bernoullieo Jko ozio onieieni rzyjijy oś otworu: 0 0 z0 z zie 0, z 0, z 0 W rzyku cont rękość 0 cont Po uwzlęnieniu tyc wrunków równnie rzybierze otć ką 0,

4 Znie (oz bibl [], z, tr 8) Z użeo otwrteo zbiornik wyływ wo rzez rzewó kłjący ię z wóc ocinków o śrenicc 0, 0 Oś rzewou znjuje ię w olełości o zwiercił woy w zbiorniku Obliczyć rękości, orz ciśnieni i nujące w określonyc ocinkc rzewou Ciśnienie toferyczne 00 kn/ Dne: 0,,, 0 00 kn/ P Obiery w rzekroje: 0-0 n owierzcni woy w zbiorniku i - n wylocie kły l nic równnie Bernoullieo: 0 0 W równniu ty y wie niewioe rękości: 0 i W rzyku użeo zbiornik ożn rzyjąć 0 0 Przy ty złożeniu znjziey: Prękość obliczy z równni ciąłości: Q Q zie Q (π /) truień objętości w rzewozie o śrenicy, Q (π /) - truień objętości w rzewozie o śrenicy, więc: π π, ką Aby obliczyć ciśnienie w rzewozie o śrenicy, obiery otkowy rzekrój - i ukły równnie Bernoullieo l rzekrojów 0-0 orz -: 0 0 Z równni teo, rzyjując 0 0, znjziey : kn (ciśnienie bolutne) 5

5 lub n 00 N/ (nciśnienie) W nloiczny oób obliczy ciśnienie : lub n kn (nciśnienie) Znie (oz bibl [], z, tr 8) Tunel eroyniczny z otwrtą częścią oirową wylot o śrenicy 500 Do zerokiej części tunelu o śrenicy D 00 ołączono wony noetr -rurkowy Znleźć rękość owietrz w części oirowej tunelu, jeśli wkznie noetru wynoi 00 Gętość owietrz 9 k/ Poinąć trty trci Dne: 500 D k/ Obiery w rzekroje kontrolne: - w iejcu ołączeni noetru o zerokiej części tunelu orz - w rzetrzeni oirowej Dl tyc wóc rzekrojów ukły równnie Bernoullieo: W równniu ty oinięto wyokość ołożeni z, yż obrn tru jet ozio Niewioyi wielkościi ą, i Z równni ciąłości: Q Q otrzyujey: πd π D Potwijąc wyrżenie n o równni Bernoullieo znjziey: Różnic ciśnień: ( ) D w 6

6 Ottecznie: w D Znie (oz bibl [], z, tr 8) Dw zbiorniki wyełnione woą ołączono rzewoe o śrenicy 50 Obliczyć truień objętości woy rzeływjącej z leweo zbiornik o rweo, jeśli różnic ozioów woy w zbiornikc jet tł i wynoi Woę trktowć jko łyn ielny (oinąć trty trci) Dne: 50 Q Obiery ierwzy rzekrój kontrolny 0-0 n ozioie zwiercił woy w lewy zbiorniku, rzekrój rui - n wylocie z rzewou o zbiornik rweo Wrowzy otkową niewioą ; jet to łębokość znurzeni wylotu rzewou o zbiornik rweo kły l tyc rzekrojów równnie Bernoullieo Z ozio onieieni rzyjujey ozio wylotu z rzewou 0 0 Jeśli cont, to rękość 0 0 Otrzyujey wtey: Po urozczeniu wiziy, że wrowzon wielkość zreukowł ię, rękość: Struień objętości: π π 005 Q S Znie 5 (oz bibl [], z, tr 50) W zbiorniku znjuje ię wo, któr wyływ rzez rzewó ionowo o óry Olełość ięzy ozioe cieczy w zbiorniku wylote Nciśnienie nujące w zbiorniku n 50 kn/ Obliczyć rękość wyływu woy orz wyokość n jką wznieie ię truień Przekrój - obrny jet n tkiej wyokości, by rękość 0 Woę trktowć jko łyn ielny (trty trci w rzewozie orz oór owietrz oinąć) Gętość woy rzyjąć 000 k/ 7

7 Dne: n 50 kn/ k/, Rozwiąznie ) Dl rzekrojów 0-0 i - z równni Bernoullieo określy rękość rzy złożeniu że ozio onieieni znjuje ię n ozioie wylotu z rzewou: Dl cont 0 0, zte: 0 n n b) Wyokość obliczy z równni Bernoullieo ułożoneo l rzekrojów - i -: ką:, n Znie 6 (oz bibl [], z 5, tr 5) Wo z leweo zbiornik rzeływ rzez otwór w bocznej ścince o śrenicy o rweo zbiornik, z któreo z kolei rzez otwór o śrenicy o tofery Mjąc tłą różnicę ozioów woy w zbiornikc orz łębokość znurzeni ruieo otworu 5, obliczyć rękość rzeływu w ozczeólnyc otworc orz tounek śrenic Woę trktowć jko łyn ielny (oinąć trty trci) Dne:,, / 5, kły równni Bernoullieo: ) Dl rzekrojów 0-0 i -: 0, rzy czy 0 0, złożon łębokość ołożeni otworu o śrenicy ; tą: 98, 8

8 b) Dl rzekrojów - i - 0, zte:, c) Z równni ciąłości znjziey: 55 Znie 7 (oz bibl [], z 8, tr 5) Ze zbiornik rotokątneo o rzekroju b rzez rzewó wyływ wo o tofery Wyokość woy w zbiorniku Śrenice rzewou: 00, 70, 50 Określić truień objętości wyływjącej woy i ciśnieni w rzekrojc - i - Płyn jet okonły ( 05 i ) Dne:, b Q,, ) Równnie Bernoullieo l rzekrojów 0-0 i -: 0 0 ( ) Poniewż 0, równnie to urości ię o otci: 0 Z równni ciąłości S 0 0 S znjziey: Potwiy o równni Bernoullieo: 0 S S 0 π b 9

9 50 u b u π, b u π ką: ( ) ( ) b π π Struień objętości wynieie: S Q π b) Prękości w ozczeólnyc ocinkc rzewou:, c) Ciśnieni w rzekrojc - i -: Z równni Bernoullieo l rzekrojów - i -:,, zie ) ( P ) 7 000(99 Z równni Bernoullieo l rzekrojów - i -: ( ) ) ( ( ) P ) 000(99

10 5 Znie 8 (oz bibl [], z 0, tr 50) Wo o teerturze t 0 0 C wyływ ze zbiornik rzez rzewó z rzewężenie Obliczyć tounek śrenic /D, l któreo wytąi kwitcj w rzewężeniu rzewou Przyjąć 00, 800, 90 kn/ Dl woy o teerturze 0 0 C ciśnienie wrzeni wynoi w 750 N/ Dne: 00 /D kn/ w 750 N/ Obiery rzekroje: 0-0 n owierzcni zwiercił woy, - w rzewężeniu, i - n wylocie o tofery Z równni ciąłości y: D D Q Q π π Z równni Bernoullieo l rzekrojów 0-0 i - wyznczy : 0, Przy złożeniu, że 0 0 y: ) ( Z równni Bernoullieo l rzekrojów 0-0 i - wyznczy rzy złożeniu że ciśnienie w ty rzekroju równe jet ciśnieniu wrzeni w : w w 0 Stounek śrenic wynieie wtey: 0,6 D w

11 Znie 9 (oz bibl [], z, tr 50) Wo ze zbiornik wyływ rzez rzewó rozłęzijący Śrenice rozłęzień rzewoów wylotowyc ą równe i wynozą 5 Olełość, Jk ui być wyokość woy w zbiorniku, by truień objętości woy wyływjącej rzez rzewó órny był w rzy niejzy o truieni objętości woy łynącej rzez rzewó olny Obliczyć truienie objętości Q i Q Woę trktowć jko łyn ielny (oinąć trty trci) Dne: 5, Q, Q, Q Q Równnie Bernoullieo l rzekrojów 0-0 i -: 0 Zkłjąc, że 0 0, wynoi: ( ) Z równnie Bernoullieo l rzekrojów 0-0 i - otrzyy : ( ) Wyokość wyliczy z zleżności ięzy truienii objętości: Q Q, π π ( ) ( ) Stą: 5 Struienie objętości wynioą: π π Q ( ),95 Q π π ( ),89 Znie 0 W nie tloweo zbiornik znjuje ię otrokrwęziowy otwór o śrenicy c rzez który wyływ wo Pozio woy w zbiorniku jet tły i znjuje ię n wyokości 5 o n Wyznczyć wółczynnik rzeływu jeżeli wioo, że w ciąu 5-ci inut wyłynęło ze zbiornik 0 litrów woy Obliczyć wółczynnik kontrkcji otworu rzy złożeniu, że wółczynnik rękości wynoi α 095 5

12 Dne: c µ, β,5 t 5 in V 0 l α 095 Wółczynnik rzeływu obliczy ze wzoru efinicyjneo: V& µ rz V & Rzeczywity truień objętości wynoi: V V & 0 0 rz 000 t 5 60 Struień objętości teoretyczny liczyy jko iloczyn ol otworu i rękości teoretycznej obliczonej ze wzoru Torricelleo: V& π 00 f Wtey: 000 µ Wółczynnik kontrkcji liczyy z kolei ze wzoru: µ 065 β α 095 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Znie (oz bibl [], z 5, tr 55) W rzewó o śrenicy D 00 wtwiono zwężkę Venturieo Do zwężki ołączono noetr rtęciowy Obliczyć truień objętości woy rzeływjącej rzez rzewó jeśli różnic ozioów rtęci w noetrze 00 N rtęcią w jeny i rui rieniu znjuje ię wo Śrenic rzewężeni zwężki 50 Oowieź: Q 009 / Znie (oz bibl [], z, tr 55) W celu zierzeni rękości rzeływjącyc rzez rzewó lin wtwiono o nieo ttyczną rurkę Pitot i ołączono ją o noetru irytuoweo Różnic ozioów wynoił 5 Teertur lin t 00 o C Gętość lin w wrunkc norlnyc 0 9 k/ (Śrenic rurki Pitot jet użo niejz o śrenicy rzewou D) Przyjąć 87 k/ Wkzówk: W wrunkc norlnyc: t 0 o C, 760 (0 P) Oowieź: 0 5 / 5

13 Znie (oz bibl [], z, tr 5) Określić truień objętości Q z oocą zwężki Venturieo o wyirc D 00, 50 wtwionej o ozioeo rzewou który łynie wo, jeśli różnic wkzń ciśnień n wlocie o zwężki i w rzewężeniu wynoi 50 Oowieź: Q / Znie (oz bibl [], z 9, tr 56) N jką wyokość onieie ię rtęć w rurce ołączonej jeny końce o zwężki Venturieo rui o otwrteo nczyni z rtęcią, jeśli zwężkę uieściy w owietrzu rzeływjący z rękością 0 / Wyiry zwężki: D 80, 0 Oowieź: 0 Znie 5 (oz bibl [6], z 6, tr ) W nie nczyni cylinryczneo o śrenicy D znjuje ię otwór któreo śrenic jet równ N cieczą wyełnijącą nczynie uiezczono tłok o ciężrze G, oruzjący ię zczelnie lecz bez trci Poijjąc trty w otworze wyływowy, określić zleżność oięzy rękością wyływjącej cieczy ołożenie tłok Przyjąć ętość cieczy równą Oowieź: G D π D Znie 6 (oz bibl [6], z, tr 8) Ze zbiornik ciśnienioweo wyływ wo (o teerturze T K) rzez rzewó o śrenicy D, w który znjuje ię rzewężenie Śrenic rzewężeni 08D Przy jki nciśnieniu n nujący w zbiorniku, oże wytąić zjwiko kwitcji? Przyjąć: wyokość oziou cieczy w zbiorniku, ciśnienie wrzeni woy w nej teerturze w 75 kp, ciśnienie broetryczne 0 kp orz ętość woy 000 k/ Wzytkie trty oinąć Oowieź: 0 698( ) kp n w 5 5

14 Znie 7 (oz bibl [], z 6, tr 9) Wo z więkzeo zbiornik rzeływ o zbiornik niejzeo z oocą lewr Różnic ozioów woy w zbiornikc wynoi Kolno lewr znjuje ię n wyokości 6 ) jk ui być śrenic rzewou, by truień objętości woy wynoił Q 78 /, b) jkie ciśnienie nuje w kolnie lewr Oowieź: ) 68, b) ciśnienie bolutne 0 P Znie 8 (oz bibl [], z 8, tr 9) N cylinrycznej części wlotu o wentyltor o śrenicy D 00, zyjąceo owietrze z tofery, uiezczono zklną rurkę, której rui koniec jet ztoiony w nczyniu z woą Obliczyć truień objętości owietrz rzeływjąceo rzez wentyltor jeśli wo w rurce onioł ię o wyokości 50 Gętość owietrz 9 k/ Oowieź: Q 9 / Znie 9 Ciecz o ętości łynie wzłuż ozioeo rurociąu o zwężjący ię rzekroju jk n ryunku Do rurociąu ołączono noetr różnicowy rtęciowy ierzący różnicę ciśnień rze i z rzewężenie, któreo wkznie wynoi Obliczyć truień objętości cieczy rzeływjącej rzez rurocią 5 Oowieź: Q π ( ) Znie 0 W ścinie otwrteo zbiornik znjuje ię ły rotokątny otwór o wyirc c c znurzony n łębokość oniżej zwiercił, rzez który wyływ wo Obliczyć, jk objętość teoretyczn woy wyłynie rzez ten otwór w czie inuty O ile litrów bęzie niejz objętość rzeczywit rzy złożeniu, że wółczynnik rzeływu wynoi µ 06 Oowieź: V 5 l, V 9 l 55