STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA KARTA KURSU. 1. Przedmioty podstawowe z matematyki. 1.1 Wstęp do logiki i teorii mnogości

Transkrypt

1 I. ROGRM TUDIÓ pierwszego stopnia prowadzonych w Instytucie Matematyki Uniwersytetu edagogicznego w Krakowie od roku akademickiego 2010/2011 (karty kursów, wymagania do egzaminu licencjackiego) TUDI IERZEGO TONI 1. rzedmioty podstawowe z matematyki 1.1 stęp do logiki i teorii mnogości załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ stęp do logiki i teorii mnogości NZ J. NG. Introduction to ogic and et Theory KOD UNKTCJ ECT 8 KOORDYNTOR Dr hab prof. U Katarzyna Korwin-łomczyńska ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra Zastosowań i odstaw Matematyki KURY 1. Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań i kwantyfikatorów. Dowody formalne, w tym metoda dowodzenia niewprost. lgebra zbiorów: element zbioru, sposoby określania zbioru, podzbiór, zbiór potęgowy, prawa rachunku zbiorów, sumy i iloczyny rodzin zbiorów (w tym nieskończonych). 2. ara uporządkowana i iloczyn kartezjański zbiorów. Relacje: dziedzina i przeciwdziedzina, składanie relacji, relacja odwrotna. łasności relacji: zwrotność, symetryczność, antysymetryczność, przechodniość i spójność. Relacje równoważności: klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy, relacja równoważności a podział zbioru, zastosowanie do tworzenia pojęć abstrakcyjnych.

2 3. Konstrukcja liczb całkowitych i wymiernych. Zbiory częściowo i liniowo uporządkowane: elementy wyróżnione, porządek gęsty. Funkcje: obraz i przeciwobraz, składanie funkcji, funkcja odwrotna, injekcja, surjekcja, bijekcja, twierdzenie o faktoryzacji. 4. iczby naturalne, indukcja matematyczna, zasada minimum i definiowanie przez indukcję. ojęcie równoliczności zbiorów: zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, przeliczalność zbioru liczb wymiernych i nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. 1. tosowanie rachunku zdań i kwantyfikatorów oraz indukcji matematycznej w prowadzeniu rozumowań, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń. 2. wykonywania działań na zbiorach i funkcjach. 3. interpretowania zagadnień znanych z innych dziedzin matematyki w języku teorii zbiorów 4. rozumienie zagadnień związanych z różnymi rodzajami nieskończoności oraz porządków w zbiorach. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI egzamin zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z egzaminu ODTO UZUEŁNIJĄC ITERTUR 1.. Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, ydawnictwo,,dla szkoły'', ilkowice Guzicki,. Zakrzewski, stęp do matematyki. Zbiór zadań, ydawnictwo Naukowe N, arszawa Guzicki,. Zakrzewski, ykłady ze wstępu do matematyki, 1.. Chronowski, Elementy teorii mnogości, N, Kraków J. Cichoń, ykłady ze wstępu do matematyki, Dolnośląskie ydawnictwo Edukacyjne, rocław K. Kuratowski, stęp do teorii mnogości i topologii, N,arszawa R. Murawski, K. Świrydowicz,

3 ydawnictwo Naukowe N, arszawa Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, N, arszawa H. Rasiowa, stęp do matematyki współczesnej, N, arszawa stęp do teorii mnogości, ydawnictwo Naukowe UM, oznań naliza matematyczna 1 KRT KURU NZ naliza matematyczna 1 NZ J. NG. Mathematical nalysis 1 KOD UNKTCJ ECT 8 KOORDYNTOR rof. dr hab. Tadeusz iniarski ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań Funkcyjnych KURY 5. iczby rzeczywiste. ksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. 6. iczby zespolone. 7. Odwzorowania. kładanie, odwracanie, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. odstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ciągi i podciągi. 8. Teoria granic. Granica ciągu liczbowego. Granica dolna i górna ciągu liczbowego i funkcji rzeczywistej w punkcie. rzestrzenie metryczne, otoczenia punktów, zbiory otwarte i domknięte, punkty skupienia. Zwartość, spójność i zupełność podzbiorów przestrzeni euklidesowej. 9. Odwzorowania ciągłe i ich własności. odstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość i granice z nimi związane. łasność Darboux. Ciągłość jednostajna. 10. Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej. Działania na funkcjach a pochodna. Twierdzenia o wartości średniej. 1. obliczanie granic cigów, funkcji jednej zmiennej. 2. badania zbieżności ciągów. 3. obliczanie pochodnych

4 4. badanie przebiegu funkcji. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI egzamin zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z egzaminu ITERTUR ODTO 1. J. Banaś,. ędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, N- T, arszawa G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, ydawnictwo racowni Komputerowej Jacka kalmierskiego, Gliwice B.. Demidowicz, bornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, N, arszawa F. eja, Rachunek różniczkowy i całkowy, N, arszawa Rudin, odstawy analizy matematycznej, N, arszawa UZUEŁNIJĄC 1. J. Dieudonne, Foundations of Modern nalysis, cademic ress, New York and ondon, Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I,II, ydawnictwo UMC, ublin Krysicki,. łodarski, naliza matematyczna w zadaniach, cz. I, N, arszawa T. Krasiński, naliza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), UŁ, Łódź H. J. Musielakowie, naliza matematyczna t. I cz.1, 2, ydawnictwo Naukowe UM, oznań. 6. E. achnicki, Z. owązka, roblemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, ydano nakładem Instytutu Matematyki kademii edagogicznej w Krakowie, naliza matematyczna 2

5 KRT KURU NZ naliza matematyczna 2 NZ J. NG. Mathematical nalysis 2 KOD UNKTCJ ECT 7 KOORDYNTOR rof. dr hab. Tadeusz iniarski ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań Funkcyjnych 11. Teoria granic. Granica ciągu liczbowego. Granica dolna i górna ciągu liczbowego i funkcji rzeczywistej w punkcie. 12. Odwzorowania ciągłe i ich własności. odstawowe funkcje elementarne w dziedzinie rzeczywistej, ich ciągłość i granice z nimi związane. łasność Darboux. Ciągłość jednostajna. 13. Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej. Działania na funkcjach a pochodna. Twierdzenia o wartości średniej. KURY naliza matematyczna 1 1. Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Reguła de l'hospitala. zór Taylora i jego zastosowania (ekstrema lokalne, wypukłość). symptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji. 2. zeregi liczbowe (rzeczywiste i zespolone). Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. 3. Rachunek całkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Całka nieoznaczona. Całkowanie elementarne. Całka oznaczona. łasności całki oznaczonej. arunki konieczne i wystarczające całkowalności. Zastosowanie geometryczne i fizyczne całki. Całki niewłaściwe. Kryterium całkowe zbieżności szeregu. 5. obliczanie granic cigągów i szeregów oraz funkcji jednej zmiennej. 6. badania zbieżności ciągów i szeregów. 7. obliczanie pochodnych 8. badanie przebiegu funkcji ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI zaliczenie zaliczenie na podstawie kolokwiów

6 K OCEN Średnia ważona ocen z odpowiedzi indywidualnych i prac zaliczeniowych UZUEŁNIJĄC ITERTUR ODTO 7. J. Banaś,. ędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, N- T, arszawa G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, ydawnictwo racowni Komputerowej Jacka kalmierskiego, Gliwice B.. Demidowicz, bornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, N, arszawa F. eja, Rachunek różniczkowy i całkowy, N, arszawa Rudin, odstawy analizy matematycznej, N, arszawa J. Dieudonne, Foundations of Modern nalysis, cademic ress, New York and ondon, Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I,II, ydawnictwo UMC, ublin Krysicki,. łodarski, naliza matematyczna w zadaniach, cz. I, N, arszawa T. Krasiński, naliza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), UŁ, Łódź H. J. Musielakowie, naliza matematyczna t. I cz.1, 2, ydawnictwo Naukowe UM, oznań. 12. E. achnicki, Z. owązka, roblemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, ydano nakładem Instytutu Matematyki kademii edagogicznej w Krakowie, naliza matematyczna 3 załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ naliza matematyczna 3 NZ J. NG. Mathematical nalysis 3 KOD UNKTCJ ECT 7 KOORDYNTOR rof. dr hab. Tadeusz iniarski ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań

7 Funkcyjnych KURY naliza matematyczna 2, lgebra liniowa 2, stęp do topologii 1. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego. 2. zeregi potęgowe. zereg Taylora i pojęcie funkcji analitycznej zmiennej rzeczywistej. Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych. Funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej. 3. zereg Fouriera. Zbieżność punktowa i jednostajna, twierdzenie eierstrassa dla odcinka. 4. Odwzorowania wielu zmiennych. Granica, granice iterowane, ciągłość. 5. Rachunek różniczkowy (odwzorowania z w ). ochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji. ochodna, jej sens geometryczny. ochodna funkcji zespolonej. Macierz Jacobiego, jakobian i gradient. Działania na odwzorowaniach a pochodne. ochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej. zór Taylora. Zastosowania do badania ekstremów lokalnych. Twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności odwzorowania klasy. Ekstrema warunkowe lokalne. 1. Obliczania sum szeregów; badania zbieżności ciągów i szeregów. 2. Obliczania pochodnych i całek funkcji jednej i wielu zmiennych. 3. Obliczania granic funkcji wielu zmiennych ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI Egzamin (obejmujący również zakres kursu naliza matematyczna2) zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z egzaminu

8 ODTO ITERTUR 1. J. Banaś,. ędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, N- T, arszawa G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, ydawnictwo racowni Komputerowej Jacka kalmierskiego, Gliwice Birkholc, naliza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, N, arszawa B.. Demidowicz, bornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, N, arszawa Krysicki,. łodarski, naliza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, N, arszawa F. eja, Rachunek różniczkowy i całkowy, N, arszawa Rudin, odstawy analizy matematycznej, N, arszawa R. Rudnicki, ykłady z analizy matematycznej, N, arszawa R. ikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), N, arszawa UZUEŁNIJĄC 1. J. Dieudonne, Foundations of Modern nalysis, cademic ress, New York and ondon, Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, cz. I,II, ydawnictwo UMC, ublin Kołodziej, naliza matematyczna, N, arszawa T. Krasiński, naliza matematyczna (funkcje jednej zmiennej), UŁ, Łódź H. J. Musielakowie, naliza matematyczna t. I cz.1, 2. t. II cz.1, ydawnictwo Naukowe UM, oznań. 6. M. pivak, naliza na rozmaitościach, N, arszawa E. achnicki, Z. owązka, roblemy z analizy matematycznej w zadanich, Część I, ydano nakładem Instytutu Matematyki kademii edagogicznej w Krakowie, naliza matematyczna 4 (nie dotyczy specjalności matematyka stosowana) załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ naliza matematyczna 4 NZ J. NG. Mathematical nalysis 4 KOD UNKTCJ ECT 5 KOORDYNTOR rof. dr hab. Tadeusz iniarski ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań Funkcyjnych

9 KURY naliza matematyczna 3 Całki wielokrotne. Całka Riemanna w. Całki iterowane. Całki w obszarze normalnym i regularnym. Twierdzenie o zamianie zmiennych. Zastosowania geometryczne, obliczanie objętości i pola płata powierzchniowego. Zastosowania w fizyce. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Całki pierwszego i drugiego rodzaju. arunki niezależności całki od drogi całkowania. zory Greena, Gaussa-Ostrogradzkiego, twierdzenie tokesa. Zastosowania w fizyce. ojęcie równania różniczkowego. Rozwiązanie równania różniczkowego, intrepretacja geometryczna. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego. rzykłady równań całkowalnych. Układy równań różniczkowych liniowych. Informacja o klasycznych równaniach cząstkowych fizyki matematycznej. odstawowe algorytmy numeryczne dla zadań rachunku różniczkowego i całkowego. Obliczanie całek wielokrotnych, krzywoliniowych i powierzchniowych. Zastosowanie w problemach fizycznych i geometrycznych. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych oraz ich układów. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI egzamin zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z egzaminu ODTO ITERTUR 1. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, ydawnictwo racowni Komputerowej Jacka kalmierskiego, Gliwice Birkholc, naliza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, N, arszawa B.. Demidowicz, bornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa J. Dieudonne, Foundations of Modern nalysis, cademic ress, New York and ondon, G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, UZUEŁNIJĄC 1.. Łojasiewicz, stęp do teorii funcji rzeczywistych, N, arszawa K. Maurin, naliza, cz. I,II, N, arszawa chwartz, Kurs analizy matematycznej, t.i,ii, N, arszawa 1979.

10 N, arszawa Krysicki,. łodarski, naliza matematyczna w zadaniach, cz. II, N, arszawa Kołodziej, naliza matematyczna, N, arszawa F. eja, Rachunek różniczkowy i całkowy, N, arszawa H. J. Musielakowie, naliza matematyczna t. II cz.1, ydawnictwo Naukowe UM, oznań. 10. J. Musielak, M. Jaroszewska, naliza matematyczna t. II cz.2, 3, ydawnictwo Naukowe UM, oznań J. Musielak,. krzypczak, naliza matematyczna t. III cz.1, ydawnictwo Naukowe UM, oznań Rudin, odstawy analizy matematycznej, N, arszawa R. Rudnicki, ykłady z analizy matematycznej, N, arszawa R. ikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), N, arszawa M. pivak, naliza na rozmaitościach, N, arszawa lgebra liniowa 1 załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ lgebra liniowa 1 NZ J. NG. inear lgebra 1 KOD UNKTCJ ECT 7 KOORDYNTOR Dr hab. Janusz Brzdęk ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań funkcyjnych

11 KURY Grupa, pierścień, ciało; modele tych struktur, w szczególności ciała liczbowe,,, oraz ciała skończone. Homomorfizmy struktur jedno- i dwudziałaniowych, ich niezmienniki. odgrupa, podpierścień, podciało (definicje i warunki równoważne tym definicjom). odgrupa (podpierścień, podciało) generowana przez zbiór. rzestrzeń wektorowa, jej podprzestrzeń (warunek równoważny definicji podprzestrzeni). Modele przestrzeni wektorowych (przestrzenie, których wektorami są ciągi, funkcje, macierze, wielomiany). odprzestrzeń przestrzeni wektorowej generowana przez zbiór jej wektorów. iniowa niezależność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. spółrzędne wektora w przestrzeni skończenie wymiarowej. rzekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego. lgebra macierzy i endomorfizmów przestrzeni wektorowej. yznaczniki. Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej (definicja i twierdzenie pozwalające wyznaczyć tę macierz). Macierz przejścia od bazy do bazy w przestrzeni skończenie wymiarowej. yznaczanie macierzy przekształcenia liniowego w różnych bazach. rozwiązywania równań liniowych i ich interpretowania w terminach wektorów i odwzorowań liniowych; obliczania wyznaczników; znajdowania macierzy przekształceń liniowych w różnych bazach; obliczania wartości własnych i sprowadzania przekształceń/macierzy do postaci kanonicznej; dostrzegania struktury grupowej (pierścienia, ciała) w znanych obiektach algebraicznych (permutacje, izometrie, podzbiory liczb rzeczywistych i zespolonych); wyrażania faktów z elementarnej teorii liczb w terminach grup i pierścieni; ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI zaliczenie zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Średnia ważona ocen z odpowiedzi indywidualnych i kolokwiów zaliczeniowych ODTO UZUEŁNIJĄC ITERTUR 1. J. Gancarzewicz, lgebra liniowa z elementami geometrii, ydawnictwo UJ, Kraków B. Gleichgewicht, lgebra, Oficyna ydawnicza Gi, rocław Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek- Etgens, odstawy algebry liniowej w zadaniach, N, Kraków Białynicki-Birula, lgebra liniowa z geometrią, N, arszawa, M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, N, arszawa T. Jurlewicz, Z. koczylas, lgebra liniowa 1 (przykłady i zadania),

12 4.. rzybyło,. zlachtowski, lgebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, NT, arszawa Oficyna ydawnicza Gi, rocław T. Jurlewicz, Z. koczylas, lgebra liniowa 1 (definicje, twierdzenia, wzory), Oficyna ydawnicza Gi, rocław lgebra liniowa 2 załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ lgebra liniowa 2 NZ J. NG. inear lgebra 2 KOD UNKTCJ ECT 8 KOORDYNTOR Dr hab. Janusz Brzdęk ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań funkcyjnych. odgrupa, podpierścień, podciało (definicje i warunki równoważne tym definicjom). odgrupa (podpierścień, podciało) generowana przez zbiór. rzestrzeń wektorowa, jej podprzestrzeń (warunek równoważny definicji podprzestrzeni). Modele przestrzeni wektorowych (przestrzenie, których wektorami są ciągi, funkcje, macierze, wielomiany). odprzestrzeń przestrzeni wektorowej generowana przez zbiór jej wektorów. iniowa niezależność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej. spółrzędne wektora w przestrzeni skończenie wymiarowej. rzekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego. lgebra macierzy i endomorfizmów przestrzeni wektorowej. yznaczniki. Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej (definicja i twierdzenie pozwalające wyznaczyć tę macierz). Macierz przejścia od bazy do bazy w przestrzeni skończenie wymiarowej. yznaczanie macierzy przekształcenia liniowego w różnych bazach. Znajdowania macierzy przekształceń liniowych w różnych bazach; obliczania wartości własnych i sprowadzania przekształceń/macierzy do postaci kanonicznej; dostrzegania struktury grupowej (pierścienia, ciała) w znanych obiektach algebraicznych (permutacje, izometrie, podzbiory liczb rzeczywistych i zespolonych); wyrażania faktów z elementarnej teorii liczb w terminach grup i pierścieni; KURY lgebra liniowa 1 Układy równań liniowych. Układ Cramera. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera- Capellego. artości i wektory własne endomorfizmu. Diagonalizacja macierzy. Formy kwadratowe i ich macierze. rzestrzeń wektorowa euklidesowa, baza ortonormalna w tej przestrzeni, ortogonalizacja chmidta. rzekształcenia ortogonalne, macierzowa reprezentacja przekształceń ortogonalnych. odstawowe algorytmy numeryczne. rzestrzeń afiniczna, jej podprzestrzeń. Układy bazowe w przestrzeni afinicznej. rzekształcenia afiniczne. rzestrzeń euklidesowa afiniczna. Równania podprzestrzeni afinicznych, w szczególności równania prostych i płaszczyzn w przestrzeni trójwymiarowej.

13 rozwiązywania równań liniowych i ich interpretowania w terminach wektorów i odwzorowań liniowych;znajdowania macierzy przekształceń liniowych w różnych bazach; obliczania wartości własnych i sprowadzania przekształceń/macierzy do postaci kanonicznej; wyznaczanie wzorów przekształceń w różnych bazach, znajdowanie macierzy przejścia oraz macierzy odwrotnej ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI Egzamin (obejmujący również kurs lgebra liniowa 1) zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z egzaminu ITERTUR ODTO 1. J. Gancarzewicz, lgebra liniowa z elementami geometrii, ydawnictwo UJ, Kraków B. Gleichgewicht, lgebra, Oficyna ydawnicza Gi, rocław Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek- Etgens, odstawy algebry liniowej w zadaniach, N, Kraków rzybyło,. zlachtowski, lgebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, NT, arszawa UZUEŁNIJĄC 1.. Białynicki-Birula, lgebra liniowa z geometrią, N, arszawa, M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, N, arszawa T. Jurlewicz, Z. koczylas, lgebra liniowa 1 (przykłady i zadania), Oficyna ydawnicza Gi, rocław T. Jurlewicz, Z. koczylas, lgebra liniowa 1 (definicje, twierdzenia, wzory), Oficyna ydawnicza Gi, rocław lgebra załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ lgebra

14 ICZBGODZIN15 15 FORMYRDZNIEFEKTÓKZTŁCENI zaliczenie zaliczenie napodstawiekolokwiów K OCENŚredniaważonaocenzodpowiedzi indywidualnychi kolokwiówzaliczeniowych ITERTUR 1.B.Gleichgewicht,lgebra,Oficyna 2..Łomnicki,M.Magdoń,M.Żurek- ydawniczagi,rocław204. ODTO UZUEŁNIJĄC 1.M.Bryński,J.Jurkiewicz,Zbiór zadańzalgebry,n,arszawa, NZ J. NG. lgebra KOD UNKTCJ ECT 4 KOORDYNTOR Dr hab. Janusz Brzdęk ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra nalizy Matematycznej i Równań Funkcyjnych KURY lgebra liniowa 2 Grupy cykliczne (charakterystyka takich grup). Modele grup przekształceń płaszczyzny i przestrzeni, w szczególności grup izometrii własnych wybranych figur (płaskich i przestrzennych). Grupy permutacji. Twierdzenia agrange'a i Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe, komutant grupy. truktura skończenie generowanych grup abelowych (informacyjnie). Ideały pierścienia, ideał maksymalny, kongruencje, pierścienie ilorazowe. Elementy teorii liczb. ierścienie wielomianów, ich ideały. ierścień całkowity, ciało ułamków tego pierścienia. Rozszerzenia ciał. Informacja o ciałach algebraicznie domkniętych. dostrzegania struktury grupowej (pierścienia, ciała) w znanych obiektach algebraicznych ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH K rokuakademickiego2010/2011(kartykursów,

15 Etgens, odstawy algebry liniowej w zadaniach, N, Kraków, J. Rutkowski, lgebra abstrakcyjna w zadaniach, N, arszawa, Geometria 1 załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ Geometria 1 NZ J. NG. Geometry1 KOD UNKTCJ ECT 7 KOORDYNTOR Dr Maria Robaszewska ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra Geometrii i Równań Różniczkowych KURY 1. rzestrzeń euklidesowa i podstawowe pojęcia geometrii euklidesowej. Figury płaskie i przestrzenne i ich własności. zajemne położenie prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni, wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. Równoległość dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn. Naturalne uporządkowanie prostej; odcinek, półprosta, półpłaszczyna, półprzestrzeń. Figury wypukłe. Geometryczna odległość punktów; kula, sfera, figura ograniczona, nieograniczona, figura otwarta, figura domknięta, brzeg figury. zajemne położenie prostej i okręgu: sieczna i styczna. Twierdzenie o odcinkach stycznych. zajemne położenie dwóch okręgów. rostopadłość dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn. Odległość figur geometrycznych. Łamana, łamana zwyczajna, łamana zamknięta, wielokąt. Kąt płaski, kąt dwuścienny, kąt wielościenny. Kąty w okręgu. Kąt wewnętrzny i kąt zewnętrzny wielokąta. Twierdzenie sinusów. Twierdzenie o kącie dopisanym. Relacja nierówności w zbiorze odcinków i kątów. Dodawanie odcinków i kątów. Trójkąt. Twierdzenia o: symetralnych, dwusiecznych, wysokościach i środkowych. rosta Eulera, okrąg dziewięciu punktów. Czworokąt. Czworokąt wypukły i czworokąt wklęsły. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg, twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenie tolemeusza. ielokąty foremne. ielościany. Twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych. ielościany foremne. Bryły i powierzchnie obrotowe. owierzchnie prostokreślne. 2. rzekształcenia geometryczne. Izometria płaszczyzny i przestrzeni euklidesowej; podstawowe własności i niezmienniki izometrii. ymetrie: osiowa (na płaszczyźnie i w przestrzeni), płaszczyznowa, środkowa. Niezmienniki symetrii. Generowanie izometrii symetriami. Oś symetrii, środek symetrii, płaszczyzna symetrii figury geometrycznej. ektor zaczepiony i wektor swobodny. Translacja. Kąt skierowany i kąt skierowany swobodny. Orientacja kąta i płaszczyzny. Obrót wokół punktu (na płaszczyźnie i w przestrzeni). ymetria osiowa z poślizgiem, symetria płaszczyznowa z poślizgiem, obrót z prostopadłym odbiciem, ruch śrubowy. Cechy przystawania figur (w szczególności cechy przystawania dwóch trójkątów). Izometrie parzyste i izometrie nieparzyste. Izometrie i ich klasyfikacja ze względu

16 na przestrzeń punktów stałych oraz liczbę złożeń symetrii hiperpłaszczyznowych. odstawowe typy izometrii. Ruchy jako przekształcenia zachowujące orientację. odobieństwo, podstawowe własności i niezmienniki podobieństwa. Jednokładność, podstawowe własności i niezmienniki jednokładności. Rozkład podobieństwa na izometrię i jednokładność. Figury podobne i jednokładne, cechy podobieństwa figur (w szczególności cechy podobieństwa dwóch trójkątów). Związki miarowe w trójkącie prostokątnym, twierdzenie itagorasa, twierdzenie odwrotne, uogólnione twierdzenie itagorasa. Twierdzenie cosinusów. otęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa. Rzut równoległy na prostą i na płaszczyznę. Twierdzenie Talesa. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego trójkąta. Twierdzenie Cevy, twierdzenie Menelaosa. 3. Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza konstrukcji, opis konstrukcji, dowód poprawności, liczba rozwiązań wraz dyskusją istnienia rozwiązania). odstawowe konstrukcje geometryczne (symetralna, dwusieczna, prosta styczna do okręgu, proste styczne do dwóch okręgów), konstrukcje odcinkowe związane z twierdzeniem Talesa, konstrukcja średniej geometrycznej, złoty podział odcinka. Zastosowanie przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI zaliczenie zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Ocena z zaliczenia ITERTUR ODTO 1. H.. M. Coxeter, stęp do geometrii dawnej i nowej, N, arszawa R. Doman, ykłady z geometrii elementarnej, ydawnictwo Naukowe UM, oznań Z. Krygowska, Geometria płaszczyzny, cz. I i cz. II, Z, arszawa UZUEŁNIJĄC 1. M. Małek, Geometria. Zbiór zadań, GO, Gdańsk R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, pringer, New York, 2000.

17 1.11 Geometria 2 załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ Geometria 2 NZ J. NG. Geometry 2 KOD UNKTCJ ECT 2 KOORDYNTOR Dr Maria Robaszewska ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra Geometrii i Równań Różniczkowych KURY Geometria 1, lgebra liniowa 2, lgebra, naliza 3 1. Konstrukcje geometryczne. Konstruowalność w ujęciu algebraicznym. rzykłady konstrukcji niewykonalnych środkami klasycznymi (np. podwojenie sześcianu, kwadratura koła, rektyfikacja okręgu, trysekcja pewnych kątów). Konstruowalność wielokątów foremnych. Konstrukcje wybranych wielokątów foremnych. Konstrukcje nieklasycznymi środkami: konstrukcje Mohra-Mascheroniego, konstrukcje steinerowskie. 2. Krzywe algebraiczne i powierzchnie algebraiczne stopnia 2. Krzywe stożkowe; podstawowe własności afiniczne i metryczne krzywych stożkowych: środek, średnice, bieguny, biegunowe, asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów. tożki, walce, hiperboloidy, poraboloidy, elipsoidy; podstawowe własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. łaskie przekroje powierzchni stożkowych. owierzchnie prostokreślne, powierzchnie obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej. Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia Geometria różniczkowa krzywych; parametryzacja dowolna i naturalna krzywej. Krzywizna krzywej i jej interpretacja geometryczna, okrąg ściśle styczny, promień krzywizny. rosta styczna i normalna do krzywej. Trójścian Freneta, wzory Freneta. kręcenie krzywej i jej interpretacja geometryczna. Równania naturalne krzywej. Badanie kształtu krzywej gładkiej. 4. ksjomatyczna budowa geometrii - dzieje aksjomatu Euklidesa, informacje o różnych geometriach. 1. Rozwiązywanie zadań konstrukcyjnych. 2. Badanie krzywej zadanej opisem geometrycznym. yznaczanie stycznej, normalnej, krzywizny oraz repera Freneta. 3. Konstrukcje w modelach nieeuklidesowych. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH

18 ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI zaliczenie zaliczenie na podstwie kolokwiów K OCEN Średnia ważona ocen z odpowiedzi indywidualnych i kolokwiów zaliczeniowych ODTO ITERTUR 1. K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, N, arszawa M. Bryński, M. łodarski, Konstrukcje geometryczne, i, arszawa H.. M. Coxeter, stęp do geometrii dawnej i nowej, N, arszawa J. Gancarzewicz, B. Opozda, stęp do geometrii różniczkowej, ydawnictwo UJ, Kraków B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, Oficyna ydawnicza olitechniki arszawskiej, arszawa Goetz, Geometria różniczkowa, N, arszawa Z. Krygowska, Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, N, arszawa F. eja, Geometria analityczna, N, arszawa M. Małek, Geometria, Zbiór zadań, GO, Gdańsk rzybyło,. zlachtowski, lgebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, NT, arszawa UZUEŁNIJĄC 1... Bachwałow,.. Modenow,.. archomienko, Zbór zadań z geometrii analitycznej, N, arszawa M. de Carmo, Differential Geometry of Curves and urfaces, rentice- Hall Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, pringer, New York, M. tark, Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej, N, arszawa, M. Kordos, O różnych geometriach, ydawnictwo "lfa", arszawa J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, ydawnictwo Naukowe N, arszawa stęp do topologii załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007

19 KRT KURU NZ stęp do topologii NZ J. NG. Introduction to Topology KOD UNKTCJ ECT 4 KOORDYNTOR Dr Janusz Krzyszkowski ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra Geometrii i Równań Różniczkowych KURY stęp do logiki i teorii mnogości ojęcie metryki i przestrzeni metrycznej. ojęcie kuli; ciągi zbieżne i ich własności. Różne rodzaje zbiorów (otwarte, domknięte, brzegowe, gęste, nigdziegęste, pierwszej kategorii) i ich własności. ojęcie przestrzeni topologicznej. Operacje na zbiorach (domknięcie, wnętrze, brzeg, pochodna) i ich własności. Odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy, izometrie i ich niezmienniki. ewne rodzaje przestrzeni - zupełne, zwarte, spójne. Ciągłe obrazy zbiorów zwartych oraz spójnych. Charakteryzacja zbiorów zwartych w zbieżność punktowa i jednostajna.. rzestrzenie funkcyjne, Rozpoznawania podstawowych własności topologicznych podzbiorów w przestrzeni euklidesowej. ORGNIZCJ FORM ZJĘĆ YKŁD () ĆICZENI GRUCH ICZB GODZIN FORMY RDZNI EFEKTÓ KZTŁCENI zaliczenie zaliczenie na podstawie kolokwiów K OCEN Średnia ważona ocen z odpowiedzi indywidualnych i kolokwiów zaliczeniowych ITERTUR ODTO UZUEŁNIJĄC

20 1. J. Krzyszkowski, E. Turdza, Elementy topologii, N, Kraków K. Kuratowski, stęp do teorii mnogości i topologii, N, arszawa Z. Moszner, Elementy teorii mnogości i topologii, N, Kraków R. Duda, prowadzenie do topologii, N, arszawa H. atkowska, stęp do topologii, N, arszawa Rzymowski, rzestrzenie metryczne w analizie, ydawnictwo UMC, ublin Równania różniczkowe zwyczajne (dotyczy specjalności matematyka stosowana) załącznik nr 2 do zarządzenia Rektora nr R-12/2007 KRT KURU NZ Równania różniczkowe zwyczajne NZ J. NG. Ordinary differential equations KOD UNKTCJ ECT 8 KOORDYNTOR Dr hab. prof. Uładimir Mitiuszew ZEÓŁ DYDKTYCZNY Katedra Geometrii i Równań Różniczkowych Rachunek różniczkowy i całkowy. odstawy fizyki. odstawy pracy z komputerem. KURY naliza matematyczna 2. lgebra liniowa 2. Geometria 1. Fizyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne. iadomości wstępne: pojęcie równania, rozwiązania, ich rodzaje, zagadnienia początkowe, interpretacja geometryczna. Równania elementarnie całkowalne. Równania o zmiennych rozdzielonych, zupełne i do nich sprowadzalne. Równania liniowe o stałych współczynnikach. odstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych rzędu pierwszego i równań wyższych rzędów. Twierdzenie o ciągłej i gładkiej zależności rozwiązań od wartości początkowych i parametrów. odstawowe własności rozwiązań układów równań różniczkowych liniowych I rzędu. rzestrzeń liniowa rozwiązań układu jednorodnego, jej baza - układ fundamentalny, wymiar, macierz fundamentalna, twierdzenie iouville'a. ostać rozwiązania ogólnego układu niejednorodnego. łasności rozwiązań równań liniowych rzędu n-tego. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach i algebraiczne sposoby ich rozwiązywania. yznaczenie układu fundamentalnego, macierzy fundamentalnej i rozwiązania ogólnego układu niejednorodnego. tabilność rozwiązań równania różniczkowego w sensie apunowa, kryteria stabilności. Informacja o zagadnieniach brzegowych dla równań rzędu drugiego. Równania różniczkowe cząstkowe. iadomości wstępne, klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych. odstawowe zagadnienia graniczne, początkowe, brzegowe, mieszane, pojęcie zagadnienia postawionego poprawnie. Równania cząstkowe rzędu pierwszego i ich związek z równaniami zwyczajnymi, całki pierwsze. rzybliżone rozwiązywanie równań różniczkowych. Zagadnienia fizyczne modelowana za pomocą równań różniczkowych: zagadnienia z teorii przewodności cieplnej i elektrotechniki, równanie wahadła, rozpad radu, modele biologiczne,