Arkusz I. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA Arkusz I Poziom podstawowy Zadanie 1 Zadanie Kient kupił dwa kwadratowe dywany i zapłacił 1870 zł Cena pierwszego dywanu była równa 0 zł/m, a cena drugiego 5 zł/m Obicz wymiary dywanów, wiedząc, że bok pierwszego dywanu był o m dłuższy od boku drugiego dywanu W tabei przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego wśród maturzystów na temat iczby zadań maturanych rozwiązywanych przez nich codziennie Liczba zadañ Liczba maturzystów a) Przedstaw dane na diagramie słupkowym b) Obicz średnią iczbę zadań rozwiązywanych codziennie przez maturzystów c) Obicz odchyenie standardowe iczby zadań rozwiązywanych przez uczniów d) Obicz medianę iczby zadań Zadanie (6 pkt) Na koe opisano trapez prostokątny ABCD ( AB AD ), którego podstawy mają długości Obicz długości ramion trapezu ABCD oraz tangens kąta ostrego trapezu AB = 1, C D = 6 Zadanie 4 Kient zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości 700 zł Spłatę rozłożył na 10 rat, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 60 zł Obicz wysokość pierwszej i piątej raty Zadanie 5 Wafowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy 0, a tworząca ma długość 15 cm Obicz, ie cm odów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie napełniony w 95%

2 4 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL Zadanie 6 Aby obiczyć pierwiastek kwadratowy z iczby , można postąpić następująco: etap dzieimy daną iczbę na grupy, odiczając po dwa miejsca, począwszy od rzędu jedności; etap = szukamy iczby, której kwadrat mieści się w grupie iczb pierwszej od ewej strony będzie to, bo = 9 Znaeziona iczba jest pierwszą cyfrą szukanego wyniku Od pierwszej grupy iczb odejmujemy otrzymany kwadrat i do wyniku dopisujemy koejną grupę iczb (otrzymujemy 149); etap = _ podwajamy iczbę znaezioną na drugim etapie ( = 6) Do iczby 6 dopisujemy taką cyfrę, aby utworzona w ten sposób iczba pomnożona przez taką iczbę jak dopisana cyfra dała w wyniku największą iczbę mieszczącą się w 149 (6 = 14) Liczba to koejna cyfra szukanego wyniku; etap = = = podwajamy iczbę stanowiącą w tej chwii część wyniku () i następnie powtarzamy wszystkie czynności etapu ( = 64; = 576) Odp: = 4 Postępując anaogicznie, obicz pierwiastek kwadratowy z iczby Zadanie 7 ( pkt) Zadanie 8 Spośród odcinków o długościach, 4, 5, 6, 7 osujemy trzy Obicz prawdopodobieństwo zdarzenia A poegającego na tym, że z wyosowanych odcinków można zbudować trójkąt Miejscem zerowym funkcji f(x) = x + b jest iczba 6 Wyznacz te argumenty x, da których funkcja f i funkcja g(x) = x + 9x + 5x przyjmują te same wartości

3 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA 5 Zadanie 9 Zadanie 10 Do szkoły wchodzi się po czterech stopniach Każdy z nich ma 15 cm wysokości Zapanowano zbudowanie podjazdu da osób niepełnosprawnych o nachyeniu 6 Obicz długość podjazdu Zaokrągij wynik do 10 cm Przez punkt R położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono trzy proste równoegłe do boków trójkąta Otrzymano w ten ( ) sposób trzy trójkąty o wspónym wierzchołku R o poach P 1, P, P Uzasadnij, że P ABC = P + P + 1 P Zadanie 11 Opisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich punktów naeżących do pięciokąta ABCDE Obicz poe tego wieokąta

4 6 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL Arkusz II Zadanie 1 Obicz wartość wyrażenia: 4 + ) ( ) ( 8 Poziom rozszerzony poprzednio uzasadniając, że składniki w nawiasie kwadratowym są wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego Zadanie 1 (6 pkt) Rozwiąż nierówność: x og (x ) 1 x 4 Zadanie 14 W równoegłoboku dany jest kąt ostry równy 60 Krótsza przekątna równoegłoboku o długości e = 8 jest prostopadła do boków krótszych Obicz długość dłuższej przekątnej równoegłoboku Zadanie 15 (7 pkt) Zbadaj ciągłość funkcji i narysuj jej wykres: πx sin f ( x) = x,, x x > Zadanie 16 (7 pkt) Z pojemnika zawierającego 7 ku, wśród których znajduje się n białych ku ( n N ), osujemy trzy razy po jednej kui ze zwracaniem Da jakiej iczby n prawdopodobieństwo wyosowania dokładnie dwóch białych ku jest największe? Zadanie 17 Udowodnij, że da każdego n N + iczba (10 n + 4 n ) jest podziena przez 6

5 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA 7 Zadanie 18 Kwadrat ABCD, gdzie A = (0, 1), B = (, 5), C = (6, ), D = (4, 1), przekształcono przez transację o wektor u = [, 1], a następnie otrzymany obraz A'B'C'D' przez jednokładność o środku O= (0, 0) i skai k = Napisz równanie okręgu opisanego na czworokącie A''B''C''D'', który jest obrazem czworokąta A'B'C'D' w jednokładności Zadanie 19 Sporządź iustrację graficzną i podaj wszystkie pary iczb całkowitych spełniających układ nierówności: y x x 0 y + x < 1 Zadanie 0 (6 pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α = 60 Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8 Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β = 60 Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoegła do dłuższej przekątnej podstawy Obicz poe otrzymanego przekroju Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój Mode odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Za każdą czynność oznaczoną uczeń otrzymuje 1 punkt Zadanie 1 Anaiza warunków zadania, np wprowadzenie i opisanie oznaczeń: x + długość boku pierwszego dywanu, x długość boku drugiego dywanu ( ) 1870 Zapisanie równania: 0 x + + 5x =, D = R+ Rozwiązanie równania z uwzgędnieniem dziedziny: x = 4 m Obiczenie długości boku pierwszego dywanu: x + = 7 m 19050

6 8 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL Zadanie Sporządzenie diagramu słupkowego Obiczenie średniej x = 4,9 iczby zadań rozwiązywanych przez uczniów Napisanie wzoru na odchyenie standardowe Obiczenie odchyenia standardowego: σ =,5 Obiczenie mediany: M e = 4 Zadanie (6 pkt) Anaiza zadania, np sporządzenie rysunku B Zastosowanie twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt Zapisanie warunku: 18 = b + d, gdzie b i d długości ramion trapezu Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie równania: d + 6 = b Rozwiązanie równania z jedną zmienną, np obiczenie długości ramienia b: b = 10 Obiczenie długości drugiego ramienia: d = 8 Obiczenie tangensa kąta ostrego: tg α = 4 Zadanie 4 Zauważenie, że kwoty rat tworzą maejący skończony ciąg arytmetyczny o różnicy r = 60, n = 10 Zastosowanie wzoru na sumę częściową i wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ( 60) i zapisanie równania: 700 = a 10 Obiczenie wysokości pierwszej raty: a 1 = 990 zł Obiczenie wysokości piątej raty: a 5 = 750 zł Zadanie 5 Anaiza zadania, np sporządzenie i oznaczenie rysunku: r promień podstawy stożka h wysokość stożka

7 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA 9 Zapisanie związków prowadzących do obiczenia h i r: h o 15 = cos15, r o 15 = sin15 Obiczenie wysokości i promienia: h = 14,49cm 14,5 cm, r =,885 cm,9 cm Obiczenie objętości stożka: V = 0,84 cm Obiczenie objętości odów: 95%V = 19, cm Zadanie 6 Podzieenie iczby na grupy: 18'9'99'04 Wyznaczenie pierwszej cyfry pierwiastka kwadratowego: 4 Wyznaczenie drugiej cyfry pierwiastka kwadratowego: 4 Wyznaczenie trzeciej i czwartej cyfry pierwiastka kwadratowego: 45 Zadanie 7 ( pkt) 5 Obiczenie iczby wszystkich zdarzeń eementarnych: Ω = = 10 Obiczenie iczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 9 9 Obiczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: P(A) = 10 Zadanie 8 Wykorzystanie definicji miejsca zerowego i zapisanie równania: ( ) 6 + b=18 Obiczenie współczynnika b: b = 18 Zapisanie równania f ( x) = g( x) : x + 9x + 5x = x + 18 Przekształcenie równania do postaci ( )( x 9) = 0 x Rozwiązanie równania: x = x = x = 9 Zadanie 9 Anaiza zadania, np sporządzenie i oznaczenie rysunku: x długość podjazdu

8 10 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL Obiczenie różnicy poziomów na podjeździe: AC = 60 cm 60 Zapisanie związku: = sin 6 o x Obiczenie długości podjazdu, zaokrągenie do 10 cm: x = 570 cm Zadanie 10 Uzasadnienie, że DER ~ ABC, RFG ~ ABC, MRK ~ ABC Wykorzystanie związku między poem figur podobnych i zapisanie związków: MR P1 =, AB P DE P =, AB P Wyznaczenie długości boku AB: RF P = AB P AB = P1 AB + P P P AB + P P AB Przekształcenie wyrażenia i zapisanie: P = P P P Podniesienie obu stron równości do kwadratu i zapisanie: ( P + P ) P = + 1 P Zadanie 11 Wyznaczenie równań prostych AB, BC, AE Uwzgędnienie znaku nierówności nieostrej Zapisanie układu nierówności opisujących pięciokąt ABCDE: x y 4 y x y x 5 y x + 10 Obiczenie długości podstawy i wysokości trójkąta ABE: EB = 7, OA = Obiczenie długości krótszej podstawy i wysokości trapezu EBCD: DC = 5, DE = 4 Obiczenie poa pięciokąta: P = 1 [j ] Uwaga! Za każde poprawne rozwiązanie zadania, inne od zaproponowanego w modeu odpowiedzi, przyznaje się maksymaną iczbę punktów

9 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA 11 Mode odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Za każdą czynność oznaczoną uczeń otrzymuje 1 punkt Zadanie 1 Uzasadnienie, że składniki sumy w nawiasie kwadratowym tworzą ciąg geometryczny a o iorazie q = tzn a = = const a a 1 Zauważenie, że < 1 i powołanie się na twierdzenie o nieskończonym ciągu geometrycznym zbieżnym Obiczenie sumy składników w nawiasie kwadratowym: Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wyrażenia w postaci: ( ) Obiczenie wartości wyrażenia: ( ) 1 ( 1 ) Zadanie 1 (6 pkt) Zapisanie warunków prowadzących do wyznaczenia dziedziny x x > 0 x 1 x 4 0 > 0 x 4 Okreśenie dziedziny: ( 4 ) D =, x Przekształcenie nierówności do postaci: x x 4 Przekształcenie nierówności wymiernej i doprowadzenie do postaci: ( x + 8x 14)( x 4) 0 Rozwiązanie nierówności wieomianowej: x (, 4 4,4 + Uwzgędnienie dziedziny i podanie odpowiedzi: x (4, 4 + Zadanie 14 Anaiza zadania, np sporządzenie i oznaczenie rysunku: d dłuższa przekątna Zapisanie związków prowadzących do wyznaczenia długości boków równoegłoboku

10 1 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL 8 a = sin 60 8, = tg 60 b 16 Obiczenie długości boków równoegłoboku: a =, 8 b = Zastosowanie twierdzenia cosinusów i obiczenie długości dłuższej przekątnej: 8 d = 1 Zadanie 15 (7 pkt) Stwierdzenie, że funkcja f(x) jest ciągła w przedziałach,,, i wskazanie punktów, w których naeży zbadać ciągłość funkcji: x 0 =, x = 0 Obiczenie granic jednostronnych funkcji f(x) w punkcie, x = 0 πx im sin = 0, im x = 0 + x x ( ), ( ), ( ) Obiczenie wartości funkcji f(x) da argumentu Stwierdzenie, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie, Obiczenie granic jednostronnych funkcji f(x) w punkcie x 0 = :, im x x = 4, im+ x sin ( π ) = 0 Stwierdzenie, że funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x 0 =, Narysowanie wykresu funkcji f(x) 0 = Zadanie 16 (7 pkt) Opisanie zdarzenia osowego, np A zdarzenie poegające na wyosowaniu dokładnie dwóch białych ku przy trzykrotnym osowaniu ze zwracaniem Zauważenie, że doświadczenie osowe dotyczy n prób Bernouiego i wyznaczenie prawdopodobieństw n 7 n porażki i sukcesu: p =, q = 7 7

11 GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA 1 Zastosowanie schematu Bernouiego i zapisanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: P(A) = 7n n Doprowadzenie P(A) do postaci: 7 P(A) = ( ) Obiczenie pochodnej P (A) = ( 54n n ) 7 n 7 n 7 7 Rozwiązanie równania P (A) = 0: n = 0 n = 18 Zbadanie znaku pochodnej i wskazanie punktu, w którym funkcja P osiąga maksimum: n =18 Uzasadnienie, że funkcja P w punkcie n =18 przyjmuje wartość największą Zadanie 17 Wykazanie prawdziwości twierdzenia da n =1 Zapisanie założenia i tezy indukcyjnej: Z: da n = k 6 10 k + 4 k, czyi k k = 6c, c iczba ca³kowita T: da n = k + 1 k+ 1 k k k Przekształcenie wyrażenia 10 k k + do postaci: Wykorzystanie założenia indukcyjnego i zapisanie wyrażenia w postaci: k k c, gdzie c jest iczbą całkowitą Przekształcenie wyrażenia i zapisanie w postaci: k k k k k k 1 k k 1 ( ) + 6c = ( 5 + ) + 6c = 6( 5 + ) k 1 k k 1 6( c) = 6d = Uzasadnienie, że d jest iczbą całkowitą, i stwierdzenie końca dowodu ( ) ( ) + 6c = Zadanie 18 Wyznaczenie współrzędnych obrazów A', B', C', D' punktów A, B, C, D w transacji: A' = (, ), B' = (4, 6), C' = (8, 4), D' = (6, 0) Wyznaczenie współrzędnych obrazów A'', B'', C'', D'' punktów A', B', C', D' w jednokładności: A'' = ( 4, 4), B'' = ( 8, 1), C'' = ( 16, 8), D'' = ( 1, 0) Obiczenie współrzędnych środka S okręgu: S = ( 10, 6) Obiczenie promienia r okręgu: r = 160 = 10 Napisanie równania okręgu: ( + 10) + ( y 6) = 40 x Zadanie 19 Wskazanie na płaszczyźnie zbioru punktów, których współrzędne spełniają nierówność: y x x Wskazanie na płaszczyźnie zbioru punktów, których współrzędne spełniają nierówność: y < x + Wskazanie ioczynu zbiorów Odczytanie par iczb całkowitych spełniających układ nierówności: (0, 0), (, ), (, 1), (, 0)

12 14 MATURA GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL Zadanie 0 (6 pkt) Sporządzenie rysunku graniastosłupa i zaznaczenie na nim przekroju: Uzasadnienie, że otrzymany przekrój BKD'M jest rombem 16 Obiczenie przekątnej przekroju BD : BD ' = d = oraz długości odcinka SS : SS ' = 4 8 Obiczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: a = Obiczenie długości krótszej przekątnej przekroju KM: KM = 8 64 Obiczenie poa przekroju P: P = [j ] Uwaga! Za każde poprawne rozwiązanie zadania inne od zaproponowanego w modeu odpowiedzi przyznaje się maksymaną iczbę punktów Przykładowy zestaw zadań maturanych z matematyki przygotowały Jadwiga Brzezińska i Ewa Ludwikowska, egzaminatorki Centranej Komisji Egzaminacyjnej, autorki Wymagań programowych z matematyki da iceum ogónokształcącego, iceum profiowanego i technikum oraz Zestawów maturanych zakres podstawowy i rozszerzony (wyd Nowa Era)