3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

Transkrypt

1 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. C Zadanie. (0 ) Liczba log jest równa A. log log 0 B. log 6 log C. log 6 log D. log 0 log 6.6. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. B Zadanie. (0 ) m równania x x jest liczba A. B. C. 8 D. 8

2 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05.. Zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności. D Zadanie. (0 ) Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x 5x 6 0 jest A. 6 B. C. D... Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą. B Zadanie 5. (0 ) Zbiorem rozwiązań nierówności A. 5 5, x 5 jest, B. 5 5,, C. 5, D. 5,.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. B Zadanie 6. (0 ) Liczba jest miejscem zerowym funkcji liniowej f x mx. Wynika stąd, że A. m 0 B. m C. m D. m

3 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy.7. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej. D Zadanie 7. (0 ) y 0 x Rysunek powyżej przedstawia wykres funkcji y f x. Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji f x y. A. B. y y 0 x 0 x C. D. y y 0 x 0 x

4 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05.. Zdający na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = f(x), y = f( x). D Zadanie 8. (0 ) Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y x x. A. x B. x C. x D. x.0. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). C Zadanie 9. (0 ) Prosta o równaniu y a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f ( x) x 6x 0. Wynika stąd, że A. a B. a 0 C. a D. a.0. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje). C

5 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 5 Zadanie 0. (0 ) Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f ( x) x x w przedziale 0,? A. 7 B. C. D... Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. C Zadanie. (0 ) Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y x 5? A. y x B. y x C. y x D. y x 8.. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych. B Zadanie. (0 ) Punkty A, i 7,9 C są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy A. 0 B. 6 C. 5 D Zdający oblicza odległość dwóch punktów. C

6 6 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie. (0 ) Dane są długości boków BC 5 i AC trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym (zobacz rysunek). Wtedy B A. sin B. 5 sin 5 C. sin D. 5 sin C. A 6.. Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80. C Zadanie. (0 ) Kąt jest ostry i sin. Wówczas A. cos B. cos C. cos D. cos 6.5. Zdający znając wartość jednej z funkcji sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. D

7 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 7 Zadanie 5. (0 ) Kąt jest ostry i tg. Jaki warunek spełnia kąt? A. 0 B. 0 C. 60 D Zdający korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora). A Zadanie 6. (0 ) Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 80. Jaka jest miara kąta środkowego? A. 60 B. 90 C. 0 D Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. C Zadanie 7. (0 ) Ciąg n a n jest określony wzorem n a 9 n dla n. Wynika stąd, że A. a 8 B. a 7 C. a 0 D. a Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. C

8 8 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie 8. (0 ) Liczby x, i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A. B. C. D Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. B Zadanie 9. (0 ) Liczby 8, i x (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa A. B., 5 C. D Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. A Zadanie 0. (0 ) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 0, jest A. 5 B. C. D Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. C

9 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 9 Zadanie. (0 ) Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa A. 5 B. 0 C. 5 D. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. 0.. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. B Zadanie. (0 ) Rozwiąż równanie x. x.8. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych x x lub kwadratowych, np., x. x x Lewa strona równania jest określona dla x. Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: x 0, x x x 5 8x 0, x x Stąd otrzymujemy 58x 0, czyli określone, więc liczba 0. 5 x. Dla tej wartości x obie strony równania są 8 5 x jest szukanym rozwiązaniem równania. 8

10 50 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie. (0 ) Rozwiąż nierówność x 6x Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Korzystając ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego lub dostrzegając rozkład na czynniki x 6x 7 x 7 x, otrzymujemy dwa pierwiastki trójmianu kwadratowego: x 7, x. Ponieważ parabola o równaniu y x x 6 7 ma ramiona skierowane do góry, leży ona poniżej osi Ox między swoimi miejscami zerowymi. Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział domknięty 7,. Zadanie. (0 ) Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f ( x) x 6x w przedziale 0,... Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y x 6x. Mamy b xw, yw 8. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, to a a w przedziale, dana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim przedziale 0,. Wobec tego najmniejszą wartość przyjmie ona w prawym końcu, czyli dla x. Tą wartością jest y 6.

11 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 5 Zadanie 5. (0 ) O funkcji liniowej f wiadomo, że f () oraz że do wykresu tej funkcji należy punkt P,. Wyznacz wzór funkcji f..6. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie. Funkcja f jest liniowa, więc jej wzór możemy zapisać w postaci: f x ax b. Z warunku f wynika, że a b. Skoro punkt P należy do jej wykresu, to mamy także f a b. Rozwiązujemy otrzymany układ równań i otrzymujemy a 7, b. Zatem szukany wzór ma postać 7 f x x. Zadanie 6. (0 ) Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y x i przechodzącej przez punkt P (, ). 8.. Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. Wszystkie proste równoległe do danej prostej mają taki sam współczynnik kierunkowy. Szukamy zatem prostej o równaniu postaci y x b. Ponieważ szukana prosta przechodzi przez punkt P (, ), otrzymujemy b, skąd b 0. Zatem prosta ta ma równanie y x.

12 5 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie 7. (0 ) Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami, 6, C 7,0. są punkty: A, B, IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 8.5.Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka. 8.. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej). Wiemy, że szukana prosta przechodzi przez punkt 7,0 C oraz przez punkt D, będący środkiem boku AB. Zatem korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy 6 D,,0. Ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane y x 7 0, a stąd 5y 0x 0 0, czyli punkty otrzymujemy: y x 0. Zadanie 8. (0 ) W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości i, jeden z kątów ostrych ma miarę. Oblicz sin cos. IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 6..Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80. Niech będzie kątem leżącym naprzeciwko boku o długości, zaś kątem leżącym naprzeciwko boku o długości. Zauważmy, że sin cos oraz cos sin, więc mamy sin cos sin cos, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta. Przeciwprostokątna w danym trójkącie ma długość 0. Z definicji funkcji 8 trygonometrycznych otrzymujemy sin cos

13 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 5 Zadanie 9. (0 ) Kąt jest ostry i sin. Oblicz tg. 6.. Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin sin cos, tg oraz sin (90 ) cos. cos sin Mamy tg, więc tg sin sin. cos cos sin 5 7 Zatem tg. 5 5 Zadanie 0. (0 ) n Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a określony wzorem a n n n dla n? 5..Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. Szukamy liczb naturalnych n spełniających nierówność Zapiszmy tę nierówność w postaci n n n n n n n 0. n 5 0, n 5 0, skąd 5 5 0, 6 0. Ponieważ n 0, otrzymujemy n 6. Zatem liczba n może przyjmować jedną z pięciu wartości:,,,, 5, czyli ciąg ma pięć wyrazów ujemnych.

14 5 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie. (0 ) Liczby, x, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. 5.. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Mamy a oraz a x, zatem różnica ciągu wynosi a a r x, skąd 6 x 5 i w końcu x r x x 5. Ponadto Zadanie. (0 ) n Wyrazami ciągu arytmetycznego a są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę. Ponadto a. Oblicz a 5. IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 5.. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Ponieważ dokładnie co piąta liczba naturalna daje z dzielenia przez 5 resztę, to różnica danego ciągu arytmetycznego wynosi 5. Wobec tego a a r a 0, skąd a. Wobec tego a5 a r 5 7.

15 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 55 Zadanie. (0 ) Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 0% oraz zwiększamy długość boku b o 0%. Wyznacz stosunek a, jeśli wiadomo, że otrzymany prostokąt ma taki b sam obwód jak prostokąt wyjściowy. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. 5.. (gimnazjum) Zdający stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent, wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej. Otrzymany prostokąt ma boki długości 0,9a oraz, b. Z porównania obwodów obu prostokątów otrzymujemy związek 0,9a, b a b, skąd 0,b 0,a. Wobec a 0, tego b 0,. Zadanie. (0 ) Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x y xy. V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków...zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zauważmy, że dla dowolnych liczb x, y mamy x y 0 dowód., skąd x y xy, co kończy

16 56 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie 5. (0 ) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. 0.. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Zdarzeniami elementarnymi są pary liczb całkowitych a, b, gdzie a, b 6 mamy 6 takich par. Zdarzenia elementarne sprzyjające to pary,5 oraz 5,. Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe. 6 8 Zadanie 6. (0 ) W ciągu arytmetycznym a n dane są wyrazy: a, a6 9. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału 0, 00? III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. 5.. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Mamy a r, 9 a 5r. Stąd r 5, r 5 oraz a 6. Pytamy, dla jakich n, czyli n mamy 0 a n Stąd 6 5n 06, n, n Pierwszą nierówność spełniają liczby n, a drugą liczby n. Zatem liczb naturalnych spełniających obydwa warunki mamy 0 i tyle też wyrazów ciągu leży w przedziale 0,00.

17 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 57 Zadanie 7. (0 ) Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym ACB 90 oraz AC 5, BC zbudowano kwadrat ACDE (zobacz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt EHA 90. Oblicz pole trójkąta HAE. D C E H A B IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 7.. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów. Zauważmy, że trójkąt prostokątny EAH jest podobny do trójkąta ABC, gdyż kąty EAH oraz ABC są przystające, jako kąty o ramionach równoległych. Oznaczymy przez s skalę podobieństwa trójkąta EAH do trójkąta ABC. Wtedy 5 0 PEAH s PABC s AC BC s s. Pozostaje zatem obliczyć s. Mamy AE AC 5 5 s AB AC BC 5 Zatem P EAH 0. 69

18 58 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie 8. (0 ) Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC BC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że rysunek). Udowodnij, że ADC 5 ACD. AD CD oraz AB BD (zobacz C D V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. A B 0.7 (gimnazjum) Zdający rozpoznaje figury, które mają oś symetrii i figury, które mają środek symetrii. Wskazuje oś symetrii i środek symetrii figury. I Niech BAD i ACD. Trójkąty ABD, ACD i ABC są równoramienne, więc DAB BAD, CAD ACD oraz CAB CBA. Suma miar kątów trójkąta ACD jest równa 80, więc ADC 80. Z drugiej strony ADC 80 ADB, czyli A Stąd. Suma miar kątów trójkąta ABC jest równa 80, więc 80, czyli 80. Stąd Zatem ADC ACD. To kończy dowód. C D B II Oznaczmy kąty i jak w poprzednim rozwiązaniu. Ponieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc. Również kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc ADC 5 5 ACD, co kończy dowód.

19 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 59 Zadanie 9. (0 ) Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 9.. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC utworzony przez przekątną AB sześcianu, przekątną AC podstawy sześcianu oraz krawędź BC, jak na rysunku. Kąt ostry tego trójkąta jest kątem między przekątną sześcianu i płaszczyzną jego podstawy. Długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a, więc sinus kąta jest równy a sin. a C B A Zadanie 0. (0 ) W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że sin 0,. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

20 60 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 I Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. H G Trójkąt BDH jest prostokątny, więc h sin, czyli h. Stąd d 5 d h d. 5 E F Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDH otrzymujemy BD d h d d d 5 5. d Pole podstawy graniastosłupa jest więc równe PABCD BD d d. 5 5 Zatem objętość tego graniastosłupa jest równa A D a B a C V P h d d d ABCD. II Przyjmijmy oznaczenia jak w rozwiązaniu I. h Trójkąt BDH jest prostokątny, więc sin, czyli h d sin. Stąd h 0, d. d a W trójkącie BDH mamy również cos, czyli a d d d d Stąd V a h 0,96 d 0, d 0,096 d. cos (0, ) 0,96. Zadanie. (0 ) Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste. Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą. IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. 0.. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

21 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 6 Mamy do dyspozycji 5 cyfr parzystych: 0,,, 6, 8 oraz 5 cyfr nieparzystych:,, 5, 7, 9. Musimy jednak pamiętać, że 0 nie może być pierwszą cyfrą zapisu dziesiętnego liczby. Dlatego rozważymy dwa przypadki: a) gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta oraz b) gdy pierwsza cyfra jest parzysta. W przypadku a) pierwszą cyfrę można wybrać na 5 sposobów; każda pozostała cyfra musi być parzysta i każdą z nich też możemy wybrać na 5 sposobów. Zatem w przypadku a) mamy 5 możliwości. W przypadku b) cyfrę parzystą, stojącą na pierwszym miejscu, możemy wybrać na sposoby. Na pozostałych miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę nieparzystą oraz dwie cyfry parzyste. Miejsce dla cyfry nieparzystej możemy wybrać na sposoby; na pozostałych dwóch miejscach umieścimy cyfry parzyste. Cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na 5 sposobów. Zatem w przypadku b) mamy 5 5 możliwości. W obu przypadkach łącznie otrzymujemy spełniających warunki zadania liczb Zadanie. (0 ) Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. 0.. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. I (model klasyczny) Oznaczmy przez w, w losy wygrywające, a przez p, p, p losy puste. Wszystkie wyniki losowania dwóch losów bez zwracania możemy przedstawić w tabeli: wynik pierwszego losowania wyznacza wiersz, a wynik drugiego losowania kolumnę, w przecięciu których leży pole, odpowiadające tej parze losowań. Pola położone na przekątnej odrzucamy, gdyż odpowiadałyby one wylosowaniu dwukrotnie tego samego losu, a to jest niemożliwe, gdyż losujemy bez zwracania.

22 6 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zaznaczamy w tabeli krzyżykiem (x). w w p p p w x x x x w x x x x p x x p x x p x x Mamy więc 0 wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli 0, oraz zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli A. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe A 7 P A. 0 0 II (metoda drzewa) Losowanie z pojemnika kolejno dwóch losów bez zwracania możemy zilustrować za pomocą drzewa, gdzie w oznacza wylosowanie losu wygrywającego, a p losu pustego. Pogrubione gałęzie drzewa odpowiadają zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Na odcinkach drzewa zostały zapisane odpowiednie prawdopodobieństwa. w p w p w p Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe P A

23 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 6 Zadanie. (0 ) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków...zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. I Dla dowodu przekształcimy w sposób równoważny tezę Ponieważ obie strony danej nierówności podnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno: są dodatnie, możemy je Obie strony tej nierówności są także dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu otrzymujemy Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest również prawdziwa, co kończy dowód. II Oznaczmy że a b, a 50 50, b. Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich, mamy a b 0, skąd a b ab. Wobec tego a b a b ab a b a b a b Stąd a 5 6 b, co kończy dowód.

24 6 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 0/05 Zadanie. (0 5) W roku 05 na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed 7 lat pomnożę przez swój wiek za 5 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma ten jubilat. III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu... Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą. Oznaczmy przez x obecny wiek jubilata (w latach). Wówczas wiek jubilata sprzed 7 lat jest równy x 7, wiek, jaki będzie miał za 5 lat, jest równy x 5, a rok jego urodzenia to 05 x. x 7 x 5 05 x. Mamy więc równanie Po uporządkowaniu otrzymujemy x x 0 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby x 55, x. Stąd wiemy, że jubilat w roku 05 obchodzi 55. urodziny.