WPROWADZENIE. 2 Jacek Bojarski:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WPROWADZENIE. 2 Jacek Bojarski: www.wmie.uz.zgora.pl/pracownicy/jbojarski"

Transkrypt

1 WPROWADZENIE 1 Jacek Bojarski:

2 PROGRAMY KOMPUTEROWE DO ANALIZ STATYSTYCZNYCH Darmowe oprogramowanie R-project- gretl- bogata lista darmowych programów- Komercyjne oprogramowanie STATISTICA- SAS- SPSS- Statgraphics Plus- 3 Jacek Bojarski: CIEKAWE STRONY chance/chancelecture/audiovideo.html, richmon4/richmondstats.htm Pozycje powyższej listy, oprócz własnych poszukiwań, zaczerpnięte z opracowania Ireny Kasperowicz-Ruki- Internetowe wspomaganie statystyki wykładanej na studiach dziennych i zaocznych SGH 4 Jacek Bojarski:

3 Rozdział 1 MODEL STATYSTYCZNY 5 Populacja składa się z obiektów Obiekt posiada jedną lub kilka cech Cecha obiektu zmienna losowa Przedmiotem statystyki matematycznej jest wnioskowanie statystyczne na podstawie próby o populacji generalnej 6 Jacek Bojarski:

4 UWAGA! CIĘŻKA ARTYLERIA PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA (Ω, F,P θ ), (1.1) gdzie: Ω- przestrzeń zdarzeń elementarnych, F - σ-ciało podzbiorów zbioru Ω, P θ -miaraprobabilistyczna. gdzie: PRZESTRZEŃ STATYSTYCZNA X - zbiór wartości obserwowalnej zmiennej losowej(cechy) X, A- σ-ciałopodzbiorówzbioru X, (X, A, P), (1.) P = {P θ }-rodzinamiarprobabilistycznychindeksowanychparametrem θ Θ, Θ- przestrzeń parametrów. 7 Jacek Bojarski: Model probabilistyczny Przykład 1. Model statystyczny Rzucamy n-razy idealną kostką do gry. Interesuje nas liczba wyrzuconych szóstek. Wtedy zmienna losowa X określa liczbę wyrzuconych szóstek. Łatwo zauważyć, że to doświadczenie daje się opisać rozkładem binomialnym B(n, 1/6). Zatem Ω = {0, 1,...,n}, Rzucamy n-razy jakąś kostką do gry. Interesuje nas liczba wyrzuconych szóstek. Wtedy zmienna losowa X określa liczbę wyrzuconych szóstek. Łatwo zauważyć, że to doświadczenie daje się opisać rozkładem binomialnym B(n, θ). Zauważmy, że tym razem nie znamy rzeczywistej wartości prawdopodobieństwa pojawienia się szóstki w jednym rzucie. Zatem θ = 1 6, P θ = B(n, 1 6 ) i ostatecznie ({0, 1,...,n}, F,B(n, 1 6 ) ). i ostatecznie X = {0, 1,...,n}, θ =?(nieznane), P θ = B(n,θ) ({0, 1,...,n}, A,B(n,θ)). 8 Jacek Bojarski:

5 Definicja1.1.Mówimy,żeprzestrzeństatystyczna (X, A,P)jestproduktemprzestrzeni (X i, A i,p i ), i = 1,,...,n,jeżeli X = X 1 X... X n, A = A 1 A... A n (σ-ciałoproduktowe)oraz P = {P 1 P... P n : P i P i, i = 1,,...,n}. Jeżelizmiennelosowe X i, i = 1,,...,n,sąniezależnymikopiamitejsamejzmiennejlosowej Xindukującejprzestrzeń (X, A, P),toprzestrzeństatystycznąindukowanąprzezwektorlosowy X = (X 1,X,...,X n ) oznaczamy (X, A, P) n. Definicja1..Wektorlosowy X = (X 1,X,...,X n ),gdzie X i dla i = 1,,...,nsąniezależnymizmiennymi losowymiojednakowymrozkładzieprawdopodobieństwa P θ, θ Θ,nazywamy n-elementowąpróbązrozkładu P θ. Uwaga! Będziemyrównieżużywalizapisu: X 1,X,...,X n jestpróbązrozkładu P θ. UFF! WYCOFAĆ CIĘŻKĄ ARTYLERIĘ 9 Jacek Bojarski: Ciągwartości x 1, x,...,x n próbylosowej X 1, X,...,X n będziemynazywaćrealizacjąpróbylosowej. Definicja1.3.Zmiennąlosową T(X) = (T 1 (X),T (X),...,T k (X)),gdzie X = (X 1, X,...,X n ) losową, nazywać będziemy statystyką. jestpróbą Uwaga! Statystykaniemożezależećodparametru θindeksującegorodzinęrozkładów P = (P θ : θ Θ). Przykład. Niech X 1, X,...,X n będziepróbązrozkładu P θ,gdzie θ = (µ,σ) Θ. Wtedy statystykami są statystykami nie są X = (X 1, X,...,X n ) X = 1 n X i n s 1 n ( = Xi X ) n 1 X i X i = 1,,...,n s X i µ s X i µ σ i = 1,,...,n i = 1,,...,n 10 Jacek Bojarski:

6 1.1 ESTYMATORY Model statystyczny (X, A, {P θ, θ Θ}) Pytanie: Ile wynosi θ? Definicja1.4.Niech X = (X 1, X,...,X n ) będziepróbąlosowązrozkładu P θ, θ Θ.Estymatorembędziemy nazywać statystykę T(X), której rozkład zależy od parametru θ. estymacja ocena, oszacowanie 11 Jacek Bojarski: Estymacja punktowa Statystykę T(X) służącą do oszacowania wartości nieznanego parametru populacji nazywamy estymatorem punktowym. Zatem estymator punktowy jest odwzorowaniem T : X Θ. Dlakonkretnychwartościpróby X 1 = x 1,X = x,...,x n = x n,liczbę T(x 1,x,...,x n )nazywamywartością estymatora. Przykład 3. Niech X 1,X,...,X n będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ), µ R, σ > 0.Wartościparametrów µiσ są nieznane. Estymatorem parametru µ jest statystyka X = 1 n X i. (1.3) n Estymatorem σ jeststatystyka s = 1 n 1 a stąd estymatorem parametru σ jest statystyka n ( Xi X ), (1.4) s = s = 1 n 1 n ( Xi X ). (1.5) 1 Jacek Bojarski:

7 Własności estymatorów Załóżmy,że θjestnieznanymparametremrozkładu P θ, θ Θ,którychcemyestymowaćnapodstawiepróby. Jakiej statystyki użyć do oceny θ? Czy istnieje najlepszy estymator? Jednązocendokładnościestymatora Tjestbłądśredniokwadratowy,ozn. BSK θ (T) BSK θ (T) = E θ [ (T θ) ] = E θ [ (T Eθ (T)) ] + [E θ (T) θ] Definicja1.5.Estymator T 1 jestlepszyodestymatora T,jeżeli = var θ (T) + b θ(t). (1.6) BSK θ (T 1 ) BSK θ (T ) dlakażdego θ Θ i chociażby dla jednej wartości θ spełniona jest nierówność ostra BSK θ (T 1 ) < BSK θ (T ). Definicja 1.6. Estymator T nazywa się dopuszczalny, jeżeli nie istnieje estymator lepszy niż T. W przeciwnym razie estymator T nazywa się niedopuszczalny. 13 Jacek Bojarski: BSK θ (T) BSK θ (T 1 ) BSK θ (T ) θ 1 θ Θ Zpowyższegorysunkuwynika,żeestymator T 1 jestlepszydlaparametrów θzprzedziału (θ 1,θ ),natomiast estymator T jestlepszydla θ < θ 1 lub θ > θ. 14 Jacek Bojarski:

8 Definicja 1.7. Estymator T(X) parametru θ jest nieobciążony, jeżeli E θ [T(X)] = θ, dlakażdego θ Θ. (1.7) Definicja 1.8. Obciążeniem estymatora T parametru θ nazywać będziemy różnicę E θ [T(X)] θ. (1.8) Przypomnijmy, że statystyka T zależy od n elementowej próby. Często pożądaną własnością estymatora T jest, by wraz ze wzrostem liczebności próby, jego wartość dążyła coraz bliżej do prawdziwej wartości parametru θ, tzn gdy n,to Tdążydo θ. Definicja 1.9. Estymator T parametru θ nazywamy zgodnym, jeżeli jest on zbieżny według prawdopodobieństwa doparametru θ,tzn.gdy dlakażdego ε > 0 lim P( T θ > ε) = 0. (1.9) n Definicja Estymator T parametru θ nazywamy asymptotycznie nieobciążonym estymatorem parametru θ, jeżeli lim E(T) = θ. (1.10) n 15 Jacek Bojarski: Zauważmy. Jeżeli Tjestestymatoremnieobciążonymparametru θ,tojegobłądbsk θ (T)zależytylkood wariancji. Definicja Nieobciążony estymator T parametru θ nazywamy estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji (NMW), jeżeli wśród wszystkich estymatorów nieobciążonych parametru θ nie istnieje estymator, którego wariancja byłaby mniejsza dla dowolnej wartości θ Θ. Definicja 1.1. Błędem standardowym estymatora T parametru θ nazywamy dowolny estymator jego odchylenia standardowegoioznaczamy SE T. Definicja Niech T będzie nieobciążonym estymatorem parametru θ. Wówczas studentyzowanym estymatorem θ nazywamy wielkość T θ SE T. (1.11) 16 Jacek Bojarski:

9 17 Jacek Bojarski: 1. WYBRANEROZKŁADY Rozkład binomialny Definicja1.14.Zmiennalosowamarozkładbinomialnyzparametrami n Ni p (0, 1) (b(n,p)),jeżelijej gęstość jest postaci ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x = 1,,...,n. (1.1) x Jeżeli X b(n,p),to E(X) = np, var(x) = np(1 p). (1.13) Własności. Jeżeli X b(n,p)iy b(k,p)orazzmiennetesąniezależne,to X + Y b(n + k,p). 18 Jacek Bojarski:

10 Gęstości rozkładu binomialnego b(n, p) 0.3 b(4, 0.5) 0.3 b(1, 0.5) b(50, 0.5) b(50, 0.8) Jacek Bojarski: Rozkład normalny Definicja1.15.Zmiennalosowamarozkładnormalnyzparametrami µ Riσ>0(N(µ,σ )),jeżelijej gęstość ma postać f(x) = 1 ) (x µ) exp (. (1.14) πσ σ Jeżeli X N(µ,σ ),to E(X) = µ, var(x) = σ. (1.15) Własności. Jeżeli X N(µ,σ )oraz a,b R,to a X + b N(aµ + b,a σ ). Jeżeli X 1,X,...,X n jestciągiemniezależnychzmiennychlosowychorozkładach N(µ i,σi ),dla i = 1,,...,n,to ( n n ) n X i N µ i,. σi 0 Jacek Bojarski:

11 Gęstościrozkładunormalnego N(µ,σ ) Abraham de Moivre (1733) 0.4 N(0, 1) 0.3 N(1, 1) Pierre-Simon Laplace (1778) www-history.mcs.st-andrews.ac.uk N(0, ) Carl Friedrich Gauss (1809) www-history.mcs.st-andrews.ac.uk Jacek Bojarski: Rozkład chi-kwadrat Definicja1.16.Rozkłademchi-kwadratonstopniachswobody(χ n)nazywamyrozkładprawdopodobieństwa sumy Y = X 1 + X X n, (1.16) gdzie X 1,X,...,X n sąniezależnymizmiennymilosowymiorozkładzie N(0, 1)każda. Funkcja gęstości zmiennej losowej Y ma postać f(x) = ( 1 n Γ ( )x n 1 exp n ) I n (0, ) (x). (1.17) Jeżeli Y χ n,to E(Y ) = n, var(y ) = n. (1.18) Własności. Jeżeli Y 1,Y,...,Y k jestciągiemniezależnychzmiennychlosowychorozkładach χ n i, i = 1,,...,k,to k k Y i χ n, n = n i. Jacek Bojarski:

12 Gęstościrozkładuchi-kwadrat χ n 0.5 n = n = n = 3 Karl Pearson (1900) www-history.mcs.st-andrews.ac.uk 0.1 n = 6 n = Jacek Bojarski: Rozkład t Studenta Definicja1.17.RozkłademtStudentaznstopniamiswobody (t n )nazywamyrozkładprawdopodobieństwailorazu Z = X 1 Y, (1.19) n gdzie Xi Y sąniezależnymizmiennymilosowymioraz X N(0, 1), Y χ n. Funkcja gęstości zmiennej losowej Z ma postać f(x) = 1 Γ ( ) n+1 ( nπ Γ ( ) n 1 + x n ) n+1. (1.0) Jeżeli Z t n,to E(Z) = 0 (dla n > 1), var(z) = n (dla n > ). (1.1) n Uwaga. Dla n = 1rozkładtStudentajestrozkłademCauchy egozparametrami0i1. Własności. Jeżeli Z t n,to Z F 1,n. 4 Jacek Bojarski:

13 GęstościrozkładutStudenta t n 0.4 n = 14 n = 0.3 n = 1 William Sealy Gosset (1908) www-history.mcs.st-andrews.ac.uk Jacek Bojarski: Rozkład F Snedecora Definicja1.18.Rozkładem FSnedecoraznikstopniamiswobody (F n,k )nazywamyrozkładprawdopodobieństwa ilorazu 1 n Z = X 1 Y, (1.) k gdzie Xi Y sąniezależnymizmiennymilosowymioraz X χ n, Y χ k. Funkcja gęstości zmiennej losowej Z ma postać f(x) = Γ ( ) n+k Γ ( n ) Γ ( k ) ( ) k k x n 1 ( ) n+k n x + k n I (0, ) (x). (1.3) E(Z) = k k (dla k > ), var(z) = k (n + k ) n(k ) (k 4) (dla k > 4). (1.4) Własności. Jeżeli Z F n,k,to 1/Z F k,n. 6 Jacek Bojarski:

14 Gęstościrozkładu F-Snedecora F n,k n = 1, k = 5 n = 10, k = 5 n = 9, k = Sir Ronald Aylmer Fisher www-history.mcs.st-andrews.ac.uk George W Snedecor Jacek Bojarski: ESTYMATORYC.D. Twierdzenia graniczne i rozkłady wybranych statystyk i funkcji statystyk Definicja1.19.Dystrybuantąempirycznązpróby X = (X 1,X,...,X n ) nazywamyfunkcję F n : R R n [0, 1] określoną wzorem F n (t;x) = 1 n I (,t] (X i ), t R,X R n. (1.5) n Własności. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładu P θ zdystrybuantą F,wtedydlakażdego t Rzachodzi ( EF n (t) = F(t), ) (1.6) P lim n(t) = F(t) n = 1, (1.7) F n (t) F(t) n F(t)(1 F(t)) N(0, 1),gdy n. (1.8) Twierdzenie1.1.(Gliwienki-Canteliego).Jeśli X 1, X,...,X n sąniezależnymizmiennymilosowymiojednakowychdystrybuantach F,natomiast F n jestdystrybuantąempiryczną,to P ( lim sup n <t< F n (t) F(t) = 0 ) = 1. 8 Jacek Bojarski:

15 Twierdzenie1..(PrawoWielkichLiczbBernoulliego).Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) jestpróbązrozkładuośredniej µiskończonejwariancji σ,todladowolniemałejdodatniej liczby ε P ( X µ ε ) 1,gdy n. (1.9) Jacob Bernoulli (1689) Twierdzenie1.3.(CentralneTwierdzenieGraniczne).Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) ośredniej µiskończonejwariancji σ,to jestpróbązrozkładu X µ σ n N(0, 1),gdy n. (1.30) Równoważnie. Rozkład Xjestwprzybliżeniurównyrozkładowi N(µ,σ /n). 9 Jacek Bojarski: Twierdzenie1.4.(Fishera).Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) jestpróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),tostatystyki X = 1 n X i, i s = 1 n (X i X) n n 1 są stochastycznie niezależne. Ponadto X N (µ, 1 ) n σ oraz (n 1)s σ χ n 1. (1.31) Stwierdzenie1.1.Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) jestpróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),tozmiennalosowa X µ n tn 1. (1.3) s Stwierdzenie1..Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) sąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σX)oraz N(µ Y,σY ),to s X σx F n 1,k 1. (1.33) s Y σy 30 Jacek Bojarski:

16 Stwierdzenie1.3.Jeżeli X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) sąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σ )oraz N(µ Y,σ ),to X Y σ nk n + k N(0, 1), (1.34) (n 1)s X + (k 1)s Y σ χ n+k, (1.35) X Y nk(n + k ) (n 1)s X + (k 1)s n + k Y t n+k. (1.36) 31 Jacek Bojarski: Rozdział Wybrane metody otrzymywania estymatorów 3

17 Metoda momentów([5, str. 16]) Definicja.1.Momentemzwykłymrzędu kzmiennejlosowej Xnazywamy EX k. Definicja..Momentemcentralnymrzędu kzmiennejlosowej Xnazywamy E (X EX) k. Definicja.3.Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuogęstości P θ.momentemzpróbyzwykłym rzędu k nazywamy statystykę X k = 1 n Xi k. n Uwaga. Moment z próby zwykły rzędu k jest nieobciążonym estymatorem momentu zwykłego rzędu k. Definicja.4.Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuogęstości P θ.momentemzpróbycentralnym rzędu k nazywamy statystykę S0 k = 1 n ( Xi X ) k. n Uwaga. Moment z próby centralny rzędu k jest obciążonym estymatorem momentu centralnego rzędu k. 33 Jacek Bojarski: Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuogęstości P θ,gdzie θ = (θ 1,θ,...,θ k ). Momentyrozkładu (µ i )sązazwyczajfunkcjamiparametrów θ 1,θ,...,θ k (µ i (θ 1,θ,...,θ k )). Estymatory metodą momentów uzyskuje się przez przyrównanie pierwszych k momentów z próby do odpowiednich k momentów rozkładu i rozwiązaniu powstałego układu równań. X = µ 1 (θ 1,θ,...,θ k ) X = µ (θ 1,θ,...,θ k ) X k = µ k (θ 1,θ,...,θ k ). Przykład 4. Niech Xbędziezmiennąlosowązeskończonąwartościąoczekiwaną µiwariancją σ. Otrzymujemyukładrównań { X = µ którego rozwiązaniem jest X = µ + σ, µ = X, σ = X X = 1 n ( Xi X ). n 34 Jacek Bojarski:

18 Uwaga. Estymatory wyznaczone metodą momentów często nie są wyznaczone jednoznacznie. Przykład 5. Niech XbędziepróbązrozkładuPoissonazparametrem λ > 0.Ponieważ E(X) = var(x) = λ,tometoda momentów daje dwa różne estymatory parametru λ λ 1 = X, λ = X X. 35 Jacek Bojarski: Metoda największej wiarogodności Definicja.5.Niechzmiennalosowa Xmagęstość P θ (x), θ Θ R k iniech X = (X 1,X,...,X n ) będzie próbą z rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej. Łączna gęstość próby X rozpatrywana jako funkcja parametru θ nazywa się funkcją wiarogności i jest oznaczana przez L(θ); n L(θ;x 1,x,...,x n ) = P θ (x i ). Definicja.6. Estymatorem największej wiarogności parametru θ (ENW(θ)) nazywamy statystykę, która maksymalizuje funkcję wiarogności L(θ), θ = arg maxl(θ). θ Uwaga. Często, dla uproszczenia rachunków, funkcję wiarogności L(θ) zastępujemy przez ln L(θ). 36 Jacek Bojarski:

19 Przykład 6. Niech X 1,X,...,X n będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ), µ R, σ > 0.Wartościparametrów µiσsąnieznane. Funkcja wiarogności ( ) ( ) n L(µ,σ 1 ;x 1,x...,x n ) = exp (x i µ) 1 πσ σ = ( ) n exp 1 n (x i µ). πσ σ Jej logarytm lnl(µ,σ ;x 1,x...,x n ) = 1 σ Wyznaczamypochodnewzględem µiσ iprzyrównujemydo0 n (x i µ) n lnσ n ln π. lnl µ lnl σ = 1 n σ (x i µ) = 0 = 1 σ 4 n (x i µ) n σ = 0. Rozwiązaniem powyższego układu równań jest µ = 1 n n x i = x, σ = 1 n n (x i x). Należyjeszczesprawdzić,żefunkcja lnl(µ,σ )wpunkcie µi σ osiągaistotniemaksimum. Ostatecznie µi σ sąestymatoraminajwiększejwiarogodnościparametrów µiσ wrozkładzienormalnym N(µ,σ ). 37 Jacek Bojarski: Uwaga. Estymatory największej wiarogności nie zawsze istnieją. Własności. Jeżeli θjestestymatoremnajwiększejwiarognościparametru θifunkcja g : Θ Rjestróżnowartościowa, to g( θ)jest ENW(g(θ)), ENW(θ) jest zgodny, ENW(θ) jest asymptotycznie nieobciążony. 38 Jacek Bojarski:

20 Rozdział 3 Estymacja przedziałowa 39 Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuogęstości P θ należącegodorodzinyrozkładów P = {P θ : θ Θ}. Definicja3.1.Jeżeli [T 1 (X),T (X)],gdzie P θ (T 1 < T ) = 1,jestprzedziałemlosowymtakim,że P θ (T 1 θ T ) = 1 α,dlakażdego θ Θ izadanego α (0, 1),to [T 1,T ]nazywasię 100(1 α)%przedziałemufnościdlaparametru θ Θ. Wartość współczynnika 1 α nazywa się poziomem ufności. Pozaobserwowaniudanych x = (x 1,x,...,x n ) przedział [T 1 (x),t (x)]jest 100(1 α)%ocenąprzedziałową nieznanego parametru θ Θ. 40 Jacek Bojarski:

21 Konstrukcja przedziałów ufności Definicja3..Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładu P θ, θ Θ.Funkcja Q(X,θ)nazywasię funkcja centralną lub wiodącą dla parametru θ Θ, jeżeli jej rozkład prawdopodobieństwa nie zależy od θ. Przykład 7. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ0),gdzie µ Rjestnieznanymparametrem,aσ0znanąliczbądodatnią. Niech Q(X,µ) = X µ n. σ 0 Funkcja Q(X, µ) ma rozkład normalny N(0, 1) niezależny od µ. Jest to funkcja centralna dla parametru µ. Załóżmy, że dysponujemy funkcją centralną Q(X, θ) parametru θ. Wybieramy liczby a i b tak, by spełniały nierówność P θ [a Q(X,θ) b] = 1 α, dlakażdego θ Θizadanego α (0, 1). Gdy Q(X,θ)jestfunkcjąciągłąiściślemonotonicznąparametru θ,tonierówność a Q bjestrównoważna nierówności L(X,a,b) θ U(X,a,b). Stąd L(X,a,b)oraz U(X,a,b)sąodpowiedniodolnymigórnymkońcem 100(1 α)%przedziałuufnoscidla parametru θ Θ. 41 Jacek Bojarski: Przedział [L(x,a,b),U(x,a,b)]jest 100(1 α)%ocenąprzedziałowąparametru θ Θ. Przykład 8. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ 0),gdzie µjestnieznanymparametrem a σ 0znanąliczbądodatnią.Chcemyznaleźć 100(1 α)%przedziałufnościdla µ.funkcjacentralna Q(X,µ) = X µ n σ 0 marozkładnormalny N(0, 1).Nierówność a Q bjestrównoważnanierówności X b σ 0 n µ X a σ 0 n. Obierzmy a = z α/, b = z 1 α/,gdzie z α/ i z 1 α/ sąkwantylamirzędu α/i1 α/1zmiennejlosowejo rozkładzie N(0, 1).Zauważmy,że z α/ = z 1 α/.wówczas P ( X z 1 α/ σ 0 n µ X + z 1 α/ σ 0 n ) = 1 α. Zatem przedział [ ] σ 0 σ [L,U] = X z 1 α/ 0,X + z 1 α/ n n jest 100(1 α)% przedziałem ufności dla µ. 4 Jacek Bojarski:

22 Przykład 9. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),gdzie µiσ sąnieznanymiparametrami. Chcemy znaleźć 100(1 α)% przedział ufności dla µ. Funkcja centralna Q(X,µ) = X µ n s ma rozkład t-studenta z n 1 stopniami swobody. Po prostych przekształceniach otrzymujemy przedział [ [L,U] = X s t n 1,1 α,x + s ] t n n 1,1 α n Przykład 10. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),gdzie µiσ sąnieznanymiparametrami.chcemyznaleźć 100(1 α)%przedziałufnościdla σ.funkcjacentralna marozkład χ n 1. Po prostych przekształceniach otrzymujemy przedział [ [L,U] = Q(X,σ ) = (n 1) s σ (n 1) s χ n 1,1 α, (n 1) s χ n 1, α ] 43 Jacek Bojarski: Przykład 11. Niech X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) będąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σ0)oraz N(µ Y,σ0),gdzie µ X i µ Y sąnieznanymiparametramiaσ0znanąliczbądodatnią.chcemyznaleźć 100(1 α)% przedziałufnościróżnicyśrednich µ X µ Y. Funkcja centralna Q(X,µ X µ Y ) = X Y (µ X µ Y ) nk σ 0 n + k marrozkład N(0, 1). Po prostych przekształceniach otrzymujemy przedział [L,U] = X Y z 1 α n + k n + k nk σ 0,X Y + z 1 α nk σ 0. Przykład 1. Niech X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) będąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σ0)oraz N(µ Y,σ0),gdzie µ X, µ Y oraz σ0 > 0sąnieznanymiparametrami.Chcemyznaleźć 100(1 α)%przedziałufności różnicyśrednich µ X µ Y. Funkcja centralna Q(X,µ X µ Y ) = X Y (µ X µ Y ) nk(n + k ) (n 1)s X + (k 1)s n + k Y marrozkład t n+k. 44 Jacek Bojarski:

23 Po prostych przekształceniach otrzymujemy przedział [L,U] = [ X Y t n+k,1 α X Y + t n+k,1 α n + k nk(n + k ) n + k nk(n + k ) (n 1)s X + (k 1)s Y, (n 1)s X + (k 1)s Y ]. Przykład 13. Niech X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) będąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σX)oraz N(µ Y,σY ),gdzie µ X, µ Y, σx > 0oraz σy > 0sąnieznanymiparametrami.Chcemyznaleźć 100(1 α)% przedziałufnościilorazuwariancji σx/σ Y. Funkcja centralna s X σ X marozkład F n 1,k 1. Jakoćwiczenie,wyznaczyćprzedziałufnościdla σ X/σ Y. s Y σy F n 1,k 1 45 Jacek Bojarski: Rozdział 4 TESTOWANIE HIPOTEZ 46

24 Definicja 4.1. Każde założenie dotyczące rodziny rozkładów prawdopodobieństwa(związanej z pewnym eksperymentem) nazywamy hipotezą statystyczną. Rozkładyrodziny P θ możnawięcpodzielićnatakie,dlaktórychhipotezajestprawdziwaitakie,dlaktórych jest on fałszywa. PRZESTRZEŃ PARAMETRÓW Θ PRZESTRZEŃ PRÓBY X Θ 1 Θ 0 X 1 X 0 Θ 0 Θ 1 = Θ X 0 X 1 = X H 0 : θ Θ 0, H 1 : θ Θ 1 47 Jacek Bojarski: Jeżelizbiór Θ 0 składasiędokładniezjednegopunktu,tohipotezę H 0 nazywamyhipoteząprostą.wprzeciwnym razie jest hipotezą złożoną. Testem hipotezy statystycznej nazywamy regułę, która precyzuje: 1.Dlajakichwartościpróby Xpodejmowanajestdecyzjaoprzyjęciuhipotezy H 0 jakoprawdziwej..dlajakichwartościpróby Xhipoteza H 0 jestodrzucanaiprzyjmowanajesthipoteza H 1 jakoprawdziawa. Definicja4..Podzbiór X 1 przestrzenipróby X,dlaktóregohipoteza H 0 jestodrzucananazywasięobszarem odrzucenia lub obszarem krytycznym. Dopełnienieobszarukrytycznego X 0 = X \ X 1 nazywasięobszaremprzyjęcia. Definicja4.3.Testemhipotezy H 0 przeciwkohipotezie H 1 nazywamyfunkcję ϕ : X 0, 1zdefiniowaną następująco { 1, jeżeli x X1, ϕ(x) = 0, jeżeli x X Jacek Bojarski:

25 Dwa rodzaje błędów w testowaniu hipotez decyzja Przyjąć H 0 Odrzucić H 0 rzeczywistość H 0 Decyzjapoprawna BłądIRodzaju H 1 BłądIIRodzaju Decyzjapoprawna Jeżeli θ Θ 0,aletestodrzuca H 0,topopełniamyBłądIRodzaju. Jeżelinatomiast θ Θ 1,atestdecydujeoprzyjęciu H 1,topopełniamyBłądIIRodzaju. P θ (X X 1 ) = { prawdopodobieństwobłęduirodzaju, jeżeli θ Θ0, jedenminusprawdopodobieństwobłęduiirodzaju, jeżeli θ Θ Jacek Bojarski: Definicja4.4.Funkcję β : Θ [0, 1]owartościach β(θ) = P θ (X X 1 ) nazywamy funkcja mocy testu z obszarem odrzucenia X. Definicja4.5.Dla 0 α 1testzfunkcjąmocy β(θ)jesttestemrozmiaru α,jeżeli sup β(θ) = α. θ Θ 0 Definicja4.6.Dla 0 α 1,testzfunkcjąmocy β(θ)jesttestemnapoziomieistotności α,jeżeli supβ(θ) α θ Θ 50 Jacek Bojarski:

26 Jerzy Spława-Neyman Egon Sharpe Pearson Lemat Neymana-Pearsona[5, strona 174]. Hipotezie zerowej przypisujemy inną wagę niż hipotezie alternatywnej Z reguły, za hipotezę zerową przyjmujemy tę, której prawdziwość poddajemy w wątpliwość i którą chcemy odrzucić, jeśli tylko znajdziemy do tego podstawę. 51 Jacek Bojarski: Nieodrzucenie hipotezy zerowej nie dowodzi jej prawdziwości, a jedynie wynika z braku podstaw do jej odrzucenia. Przykład 14. Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ0),gdzie µ Rjestnieznanymparametrem,aσ0znanąliczbądodatnią. Stawiamyhipotezę,że prawdziwa wartośćnieznanegoparametru µjestrówna µ 0 przy hipotezie alternatywnej Statystyka testowa H 0 : µ = µ 0 a) b) c) H 1 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 H 1 : µ > µ 0 u s = X µ 0 n, σ 0 któraprzyprawdziwościhipotezyzerowej(h 0 )marozkład N(0, 1). Wprzypadkuzachodzeniajednejzhipotezalternatywnych(a),b)lubc))statystykatestowa u s marozkład ( ) µ µ0 N n, 1. σ 0 Zapiszmy statystykę testową w następujący sposób u s = X µ 0 σ 0 n = X µ σ 0 n + µ µ 0 σ 0 n. 5 Jacek Bojarski:

27 Zatemwprzypadkuzachodzeniahipotezyalternatywnej(H 1 )statystykatestowa u s marozkładnormalnyprzesunięty względem rozkładu standardowego o µ µ 0 σ 0 n. Stądmożnaokreślić nietypowe wartościstatystykitestowej u s podwarunkiemzachodzenia H 0 przyalternatywie H 1 : a) b) c) duże duże wartości ujemne duże wartości dodatnie wartości ujemne lub dodatnie Naturalnympostępowaniemjestbyprzy nietypowych wartościach u s odrzucaćhipotezę H 0.Oczywiście, możliwymjest,że nietypowe wartościwystąpiąnawetprzyzachodzeniuhipotezy H 0.Jednakchcielibyśmy aby takie zdarzenia zachodziły z małym prawdopodobieństem. Ustalmy to prawdopodobieństwo na poziomie α. a) b) c) α α α α u 1 α/ 0 u 1 α/ u 1 α 0 0 u 1 α P H0 ( us u 1 α/ ) = α PH0 (u s u 1 α ) = α P H0 (u s u 1 α ) = α gdzie u 1 α/ i u 1 α sąkwantylamirozkładunormalnegostandaryzowanegoodpowiedniorzędów 1 α/, 1 α. 53 Jacek Bojarski: Ostateczniepodejmujemydecyzjęoodrzuceniuhipotezy H 0 przyhipoteziealternatywnej H 1,gdy a) b) c) u s u 1 α/ u s u 1 α u s u 1 α Poziomem istotności nazywać będziemy prawdopodobieństwo popełnienia Błędu I Rodzaju. Definicja 4.7. Najmniejszy poziom istotności, przy którym zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej, nazywamy p-wartością przeprowadzonego testu. Im mniejsza jest p-wartość, tym mocniejsze staje się przekonanie testującego o fałszywości hipotezy zerowej. 54 Jacek Bojarski:

28 Testy dla wartości średniej w rodzinie rozkładów normalnych będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),gdzie µiσ sąnieznanymipara- Niech X = (X 1,X,...,X n ) metrami. Testujemy hipotezę przeciwko hipotezie alternatywnej H 0 : µ = µ 0 a) b) c) H 1 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 H 1 : µ > µ 0 Statystyka testowa t s = X µ0 n. s Przyprawdziwościhipotezyzerowej t s marozkładt-studentazn 1stopniamiswobody. Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy a) b) c) t s t n 1,1 α/ t s t n 1,1 α t s t n 1,1 α 55 Jacek Bojarski: Testy o równości wartości średnich dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Niezależne próby Niech X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) będąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σ )oraz N(µ Y,σ ),gdzie µ X, µ Y oraz σ > 0sąnieznanymiparametrami. Testujemy hipotezę przeciwko hipotezie alternatywnej H 0 : µ X = µ Y a) b) c) H 1 : µ X µ Y H 1 : µ X < µ Y H 1 : µ X > µ Y Statystyka testowa t s = X Y nk(n + k ). (n 1)s X + (k 1)s n + k Y Przyprawdziwościhipotezyzerowej t s marozkładt-studentazn + k stopniamiswobody.hipotezę H 0 odrzucamy, gdy a) b) c) t s t n+k,1 α/ t s t n+k,1 α t s t n+k,1 α 56 Jacek Bojarski:

29 Testy dla wariancji w rodzinie rozkładów normalnych będziepróbązrozkładunormalnego N(µ,σ ),gdzie µiσ sąnieznanymipara- Niech X = (X 1,X,...,X n ) metrami. Testujemy hipotezę przeciwko hipotezie alternatywnej H 0 : σ = σ 0 Statystyka testowa a) b) c) H 1 : σ σ0 H 1 : σ < σ0 H 1 : σ > σ0 χ s = (n 1)s. σ0 Przyprawdziwościhipotezyzerowej χ smarozkład χ z n 1stopniamiswobody. Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy a) b) c) χ s χ n 1,α/ lub χ s χ n 1,1 α/ χ s χ n 1,α χ s χ n 1,1 α 57 Jacek Bojarski: Porównanie dwóch populacji Niech X = (X 1,X,...,X n ) i Y = (Y 1,Y,...,Y k ) będąniezależnymipróbamizrozkładów N(µ X,σ X)oraz N(µ Y,σ Y ),gdzie µ X, µ Y, σ X > 0oraz σ Y > 0sąnieznanymiparametrami. Testujemy hipotezę H 0 : σ X = σ Y przeciwko hipotezie alternatywnej Statystyka testowa a) b) c) H 1 : σx σy H 1 : σx < σy H 1 : σx > σy F s = s X s Y Przyprawdziwościhipotezyzerowej F s marozkładf-snedecorazn 1ik 1stopniamiswobody. Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy a) b) c) F s F n 1,k 1,α/ lub F s F n 1,k 1,1 α/ F s F n 1,k 1,α F s F n 1,k 1,1 α 58 Jacek Bojarski:

30 Rozdział 5 Testy zgodności [6]Testem zgodności nazywamy test do weryfikacji hipotezy(prostej albo złożonej) dotyczącej zgodności (dopasowania) rozkładu zbioru wartości w próbie z rozkładem teoretycznym, tzn. hipotezy postaci H 0 :dystrybuantą F(x)badanejcechy Xpopulacjijestdystrybuanta F 0 (x), H 1 :dystrybuantą F(x)badanejcechy Xpopulacjiniejestdystrybuanta F 0 (x). 59 Wykresy [7] Graficzne przedstawienie rozkładu cechy(na podstawie próby) nie są testami w ścisłym sensie, nie można bowiem obliczyć p-wartość czy też powziąć decyzji na zadanym poziomie istotności. Wykresy dostarczają jedynie wizualnej informacji o badanej próbie losowej. Jednak taka dobrze zinterpretowana informacja jakościowa okazuje się mieć bardzo duże znaczenie praktyczne. HISTOGRAM Histogram jest graficznym przedstawieniem szeregu rozdzielczego Jacek Bojarski:

31 WYKRES KWANTYLOWY kwantyle empiryczne kwantyle teoretyczne kwantyle empiryczne kwantyle teoretyczne Niech x 1,x,...,x n będązaobserwowanymielementamipróbylosowej.uporządkujmyelementypróbyodnajmniejszegodonajwiększego: x 1:n,x :n,...,x n:n.wtedy x i:n jestprzybliżeniemkwantylarzędu i 0.5. n Niech F(x) będzie odwracalną dystrybuantą pewnego rozkład(teoretycznego). Wtedy z i 0.5 n ( ) i 0.5 = F 1 n i = 1,,...,n są kwantylami teoretycznymi rozkładu o dystrybuancie F. Nanosimy na wykres punkty o współrzędnych ( ) xi:n,z i 0.5 i = 1,,...,n. n 61 Jacek Bojarski: Testzgodności χ -Pearsona Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuonieznanejdystrybuancie F.Niech F 0 będziezadaną dystrybuanta. Testujemy hipotezę H 0 : F = F 0 vs. H 1 : F F 0. Danegrupujemywkrozłącznychklasacholicznościach n 1,...,n k,gdzie n n k = n.niech p i, i = 1,...,k,oznaczateoretyczneprawdopodobieństwo,przyprawdziwejhipotezie H 0,żeobserwowanazmienna losowa przyjmie wartość z i-tej klasy. Statystyka testowa k χ (n i np i ) s =. np i Przyprawdziwościhipotezyzerowej χ smarozkład χ k 1 r,gdzie rliczbaestymowanychparametrówrozkładu F 0.Estymacjęnależywykonaćmetodąnajwiększejwiarogodności.Przyjmujesię,że np i,dlakażdego ipowinno byćniemniejszaniż5. Hipotezę odrzucamy, gdy χ s χ k 1 r,1 α. 6 Jacek Bojarski:

32 Test zgodności Kołmogorowa Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładutypuciągłegoonieznanejdystrybuancie F.Niech F 0 będzie zadaną dystrybuantą. Testujemy hipotezę Statystyka testowa(kołmogorowa) gdzie F n jestdystrybuantąempiryczną. H 0 : F = F 0 vs. H 1 : F F 0. D n = sup F n (x) F 0 (x), <x< Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy D n d 1 α, gdzie d 1 α jestkwantylemrzędu 1 αrozkładustatystyki D n. Andriej Nikołajewicz Kołmogorow Jacek Bojarski: Test zgodności z rozkładem normalnym Shapiro-Wilka Niech X = (X 1,X,...,X n ) będziepróbązrozkładuonieznanejdystrybuancie F.Testujemyhipotezę H 0 : Fjestdystrybuantąrozkładunormalnego, H 1 : Fniejestdystrybuantąrozkładunormalnego. Statystyka testowa W = [ [n/] a i (n) ( X (n i+1):n X i:n )] n ( Xi X ), gdzie X 1:n,...,X n:n jestuporządkowanąpróbą, a i (n)sąwartościamistablicowanymi. Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy W < w(α),gdzie w(α)jestkwantylemrzędu αrozkładustatystyki W. 64 Jacek Bojarski:

33 Rozdział 6 Jedno i dwukierunkowa analiza wariancji Celem jednokierunkowej(dwukierunkowej) analizy wariancji jest stwierdzenie istnienia wpływu jednego (dwóch) czynnika na interesującą nas cechę. 65 ANOVA- jednokierunkowa analiza wariancji (jednoczynnikowa analiza wariancji) gdzie µ jest średnią ogólną(stała), poziomy czynnika replikacje- wyniki przeprowadzonego badania dla danego poziomu czynnika 1 x 11 x 1... x 1J x 1 x... x J.... I x I1 x I... x IJ Model α i jestefektem i-tegopoziomubadanegoczynnika(stałe), X ij = µ + α i + ε ij, i = 1,...,I,j = 1,...,J, (6.1) ε ij sąniezależnymizmiennymilosowymiorozkładach N(0,σ )(błądlosowyobserwacji). Łatwozauważyć,że X ij N(µ + α i,σ ). Możnarównieżzapisać X ij N(µ i,σ ),gdzie µ i = µ + α i.wtedy µ i jestśredniądla i-tegopoziomuczynnika. 66 Jacek Bojarski:

34 Niech danych będzie I prób X 1 = (X 11,X 1,...,X 1J ) X = (X 1,X,...,X J ). =. X I = (X I1,X I,...,X IJ ) pochodzącychodpowiedniozrozkładów N(µ 1,σ ),...,N(µ 1,σ ),gdzie µ i = µ + α i. Zakładamy,żezmienne X ij mająreprezentacjęzmodelu(6.1). Testujemy hipotezę postaci H 0 : µ 1 = µ =... = µ I przeciwalternatywnejhipotezie H 1 orzekającej,żeistniejąconajmniejdwiespośród Iśrednich,któresąróżne. Równoważną formą jest hipoteza H 0 : α 1 = α =... = α I = 0 przeciwalternatywnejhipotezie H 1 orzekającej,żeistniejeconajmniejjedenspośród Iefektów,któryjest różny od zera. 67 Jacek Bojarski: Przyjmijmy następujące oznaczenia: X i = 1 J X ij średnia i-tegopoziomuczynnika, J j=1 X = 1 I J X ij średniaogólna, IJ j=1 I J ( ) SST = Xij X zmiennośćcałkowita, j=1 I ( ) SSA = J Xi X zmiennośćmiędzypoziomamiczynnika, I J ( ) SSE = Xij X i zmiennośćwewnątrzgrup. j=1 Statystyka s = SSE I(J 1) jestestymatoremwariancji σ.możnawykazaćtożsamość SST = SSA + SSE. Statystyka testowa I(J 1)SSA F s = (I 1)SSE. Przyprawdziwościhipotezyzerowej F s marozkład F-Snedecorazliczbamistopniswobody I 1iI(J 1). Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy F s F I 1,I(J 1),1 α. 68 Jacek Bojarski:

35 Opisana metoda analizy wariancji wymaga założenia równości wariancji w badanych grupach. Hipoteza o jednorodnosci wariancji przyjmuje postać H 0 : σ 1 = σ =... = σ I, gdzie σi jestwariancjąwi-tejgrupie.hipotezaalternatywnaorzeka,żeistniejąconajmniejdwiegrupyo różnych wariancjach. W praktycznych zastosowaniach najbardziej popularnym testem jest test Bartletta. Niech s i = 1 J ( ) Xij X i J 1 będzieestymatoremwariancji σ iw i-tejgrupie, i = 1,,...,I. j=1 Statystyka testowa M s = I(J 1) ln ( 1 I ) I I s i (J 1) ln s i. Dla dużych J przy prawdziwości hipotezy zerowej zmienna losowa M s = M s 1 + I J 1 1 I(J 1) 3(I 1) mawprzybliżeniurozkład χ z I 1stopniamiswobody. Hipotezę H 0 odrzucamy,gdy M s χ I 1,1 α. 69 Jacek Bojarski: MANOVA- wielokierunkowa analiza wariancji wieloczynnikowa analiza wariancji Poniżej ograniczymy się do modelu w dwukierunkowej analizie wariancji. gdzie µ jest średnią ogólną(stała), Model X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk, i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,K, (6.) α i jestefektem i-tegopoziomupierwszegoczynnika(stałe), β j jestefektem j-tegopoziomudrugiegoczynnika(stałe), γ ij jestinterakcjąpomiędzy i-tympoziomempierwszegoczynnikaaj-tympoziomemdrugiegoczynnika (stałe), ε ijk sąniezależnymizmiennymilosowymiorozkładach N(0,σ )(błądlosowyobserwacji). 70 Jacek Bojarski:

36 Niech danych będzie IJ prób X 11 = (X 111,X 11,...,X 11K ) X 1 = (X 11,X 1,...,X 1K ). =. X I1 = (X I11,X I1,...,X I1K ) X 1 = (X 11,X 1,...,X 1K ) X = (X 1,X,...,X K ). =. X I = (X I1,X I,...,X IK ) X 1J = (X 1J1,X 1J,...,X 1JK ) X J = (X J1,X J,...,X JK ). =. X IJ = (X IJ1,X IJ,...,X IJK ) Pochodzącychodpowiedniozrozkładów N(µ 11,σ ),...N(µ 1J ), N(µ 1,σ ),...,N(µ IJ,σ ),gdzie µ ij = µ+α i + β j + γ ij. Zakładamy,żezmienne X ijk mająreprezentacjęzmodelu(6.). Testujemy trzy następujące hipotezy H 10 : α 1 = α =... = α I = 0 vs. K 10 : istniejeconajmniejjedno α i 0, H 0 : β 1 = β =... = β J = 0 vs. K 0 : istniejeconajmniejjedno β J 0, H 30 : γ 11 = γ 1 =... = γ IJ = 0 vs. K 30 : istniejeconajmniejjedno γ ij Jacek Bojarski: Przyjmijmy następujące oznaczenia: X ij = 1 K X ijk średnia i-tegopoziomupierwszegoczynnikaij-tegopoziomudrugiego K k=1 czynnika, X i = 1 J K X ijk średniadla i-tegopoziomupierwszegoczynnika, JK j=1 k=1 X j = 1 I K X ijk średniadla j-tegopoziomudrugiegoczynnika, IK k=1 1 I J K X = X ijk średniaogólna, IJK j=1 k=1 I J K ( ) SST = Xijk X zmiennośćcałkowita, j=1 k=1 I K ( ) SSA = JK Xi X zmiennośćmiędzypoziomamipierwszegoczynnika, k=1 I K ( ) SSB = IK X j X zmiennośćmiędzypoziomamidrugiegoczynnika, k=1 I J ( ) SSAB = K Xij X i X j X zmiennośćwynikającazewspółdziałaniaczynników, j=1 SSE = SST SSA SSB SSAB zmienność wewnątrz grup. 7 Jacek Bojarski:

37 Statystyka s = Statystyki testowe SSE jestestymatoremwariancji IJ(K 1) σ. F 1s F s = = F 3s = IJ(K 1)SSA (I 1)SSE, IJ(K 1)SSB (J 1)SSE, IJ(K 1)SSAB (I 1)(J 1)SSE. Przyprawdziwości H 10 F 1s F I 1,IJ(K 1), Przyprawdziwości H 0 F s F J 1,IJ(K 1), Przyprawdziwości H 30 F 3s F (I 1)(J 1),IJ(K 1). Hipotezęzerową H i0 odrzucamyjeżeliodpowiadającajejwartośćstatystykitestowejprzekraczakwantylrozkładu F-Snedecora(z odpowiednimi stopniami swobody) rzędu 1 α. Uwaga. Testem Bartletta należy sprawdzić równość wariancji w każdej z grup. 73 Jacek Bojarski: 74 Jacek Bojarski:

38 Bibliografia [1] E. Babbie. Badania społeczne w praktyce. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 004. [] J. Brzeziński. Badania eksperymentalne w psychologii i pedagogice. Scholar, Warszawa 000. [3] A. Dąbrowski, S. Gnot, A. Michalski, and J. Srzednicka. STATYSTYKA, 15 godzin z pakietem statgraphics. Akademia Rolnicz we Wrocławiu, Wrocław [4] C. Domański. Testy statystyczne. Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa [5] M. Krzyśko. Statystyka Matematyczna. Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 004. [6] R. Mageria. Modele i metody statystyki matematycznej. GiS, Wrocław 00. [7] J. Mielniczuk and J. Koronacki. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 004. [8] A. Plucińska and E. Pluciński. Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczne. WNT, Warszawa [9] Y. Takane and G. Ferguson. Analiza statytyczna w psychologii i pedagogice. Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 003. [10] M. Walesiak, E. Gatnar, and inni. Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem programu R. Wydawnictwo Naukowe PWN, Jacek Bojarski:

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.

Bardziej szczegółowo

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4 Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.

W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

W4 Eksperyment niezawodnościowy

W4 Eksperyment niezawodnościowy W4 Eksperyment niezawodnościowy Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Badania niezawodnościowe i analiza statystyczna wyników 1. Co to są badania niezawodnościowe i

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne PLAN SPOTKAŃ ĆWICZEŃ: Data Grupa 2a Grupa 4a Grupa 2b Grupa 4b 2008-02-19 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-02-26 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-03-04 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-11 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-18 wolne

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności

Bardziej szczegółowo

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób

Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA STOSOWANA Nazwa w języku angielskim APPLIED STATISTICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki STA - Wykład 5

Elementy statystyki STA - Wykład 5 STA - Wykład 5 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 ANOVA 2 Model jednoczynnikowej analizy wariancji Na model jednoczynnikowej analizy wariancji możemy traktować jako uogólnienie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo