Przykład: Fale anharmoniczne będące sumami oscylacji sinusoidalnych: Fourierowska reprezentacja fali prostokątnej: Analiza Fouriera 1/18/2010

Transkrypt

1 Wykład 3 Wprowadzenie do opyki ulraszybkiej Przykład: Fale anharmoniczne będące sumami oscylacji sinusoidalnych: RozwaŜmy sumę fal sinusoidalnych (o jes harmonicznych) o róŝnych częsościach: O analizie fourierowskiej Co o jes ransformaa Fouriera Długość impulsu a jego widmo Jak wyworzyć krókie impulsy? Ulrakrókie impulsy laserowe Dyspersja prędkości grupowej a impulsy świała O ulraszybkiej spekroskopii laserowej Opyka ulrakrókich impulsów; opyka nieliniowa sza fala sinusoidalna Suma ga fala sinusoidalna Fala będąca ich sumą jes okresowa, ale nie harmoniczna. Większość fal o fale nieharmoniczne. Analiza Fouriera Bardzo częso w fizyce i innych naukach ścisłych mierzone wielkości mają charaker okresowy (są powarzalne z określonym okresem). Wielkości akie moŝna zazwyczaj opisać funkcją okresową, kóra daje się przedsawić w posaci nieskończonego szeregu rygonomerycznego zwanego eŝ szeregiem Fouriera: f ( ) = F cos( m ) + F sin( m ) m m π m= π m= część parzysa część nieparzysa Współczynniki Fouriera są ampliudami odpowiednich składowych harmonicznych: F m = f () cos(m) d F m = f () sin(m) d + a Fourierowska reprezenacja fali prosokąnej: Falę prosokąną zapisać moŝna jako sumę funkcji harmonicznych. Im więcej składowych harmonicznych jes sumowanych, ym lepsze jes przybliŝenie przebiegu prosokąnego. Jedna składowa Dwie składowe Trzy składowe Fala prosokąna

2 Fourierowska reprezenacja fali prosokąnej: Odwrona ransformaa Fouriera Transformaa Fouriera pozwala nam przejść od f() do F(): PrzybliŜenie funkcji rec() szeregiem Fouriera. K liczba członów uwzględnionych w sumie f ( ) = F cos( m ) + F m sin( m ) π m m= π m= jes częsością kołową A co z przejściem w drugą sronę? F( ) = f ( ) exp( i ) d Wniosek: Sygnały (fale świelne) moŝna orzymać jako superpozycję nieskończonej liczby funkcji sin i cos. Współczynniki rozwinięcia zaleŝą od charakeru funkcji, kórą chcemy przedsawić. Ich znajomość jednoznacznie określa funkcję, jako aką. f ( ) = F( ) exp( i) d π Transformaa Fouriera: F() jes innym sposobem parzenia na funkcje lub fale: F( ) = f ( ) exp( i ) d jes częsością kołową F() jes ransformaą fourierowską danej funkcji f(). Zawiera ona ę samą informację, co funkcja f(). Mówimy, że f() żyje w dziedzinie u (przesrzeni), a F() żyje w dziedzinie częsości. Jean Bapise Joseph Fourier (768-83), francuski maemayk Transformaa Fouriera zamienia charakerysyki owe lub przesrzenne zjawisk, na ich charakerysyki częsoliwościowe. Czego oczekujemy od Transformay Fouriera? Chcielibyśmy mieć miarę częsości obecnych w fali, czyli widmo (spekrum) jej częsości Pole elekryczne Fala płaska posiada jedynie jedną częsość. Czas Taka fala posiada wiele częsości. Częsość rośnie z em (od czerwonej do niebieskiej). Byłoby dobrze, gdyby nasza miara zdawała sprawę z ego, kiedy pojawia się dana częsość. Pole elekryczne Czas 3 4

3 Spekrum mocy: Definiujemy spekrum mocy S(), fali E(): Transformaa Fouriera funkcji exp(-a ), jes eŝ funkcją wykładniczą: S( ) Y { E( )} Zdaje one sprawę z ego, jakie częsości są obecne w fali E(): F {exp( )} = exp( )exp( ) a a i d exp( / 4 a) exp( a ) exp( / 4 a) Przykład: Transformaa Fouriera funkcji rec() / F ( ) = exp( i) d = [exp( i)] i / = [exp( i / ) exp( i/)] i = exp( i / ) exp( i/) ( /) i sin( /) = sinc( /) ( /) F {rec( ) } = sinc( /) / / F() Składowa urojona = Transformaa Fouriera funkcji δ() o. δ ( ) exp( i) d = exp( i[]) = δ() A ransforama fouriera jedynki o πδ(): πδ() exp( i) d = π δ ( ) 5 6

4 Transformaa Fouriera funkcji exp(i ) F { } exp( i ) = exp( i ) exp( i ) d = exp( i[ ] ) d = π δ ( ) exp(i ) Y {exp(i )} Im Re Transformaa Fouriera funkcji skaująca: f(a) F { f ( a)} = F( / a) / a Im krószy impuls, ym szersze spekrum! - jes o w isocie zasada nieoznaczoności Króki impuls Impuls średniej długości Długi impuls f( ) F() Transformaa Fouriera funkcji cos( ) F { } cos( ) = cos( ) exp( i ) d = [ exp( i ) + exp( i ) ] exp( i ) d = exp( i[ ] ) d + exp( i[ + ] ) d = π δ ( ) + π δ ( + ) cos( ) F {cos( )} + Impulsy długie a krókie: Relacja nieoznaczoności: iloczyn szerokości owej i spekralnej impulsu: π lub: ν Długi impuls Króki impuls NaęŜenie vs. Widmo częsość częsość 7 8

5 Transformaa Fouriera względem przesrzeni Jeśli f(x) jes funkcją połoŝenia, F( k) = f ( x) exp( ikx) dx x Skala u Cykl kwarcowego zegara w kompuerze Błysk fs-owy flesza impuls świała minua Jeden miesiąc Wiek piramid Wiek człowieka Wiek wszechświaa Y {f(x)} = F(k) Czas (sekundy) k jes częsością przesrzenną. Wszysko o, co doyczy ransformay Fouriera pomiędzy dziedziną i ma zasosowanie równieŝ względem x i k. k fs ma się ak do minuy jak minua ma się do wieku wszechświaa. Sysem Meryczny Przypomnijmy sobie prefiksy sysemu merycznego, gdyŝ impulsy świała porafią być nieprawdopodobnie krókie, a ich moce i inensywności naprawdę wysokie. Skala u Prefiksy: Małe Milli (m) -3 Micro (µ) -6 Nano (n) -9 Pico (p) - Femo (f) -5 Ao (a) -8 DuŜe Kilo (k) +3 Mega (M) +6 Giga (G) +9 Tera (T) + Pea (P) +5 9

6 Ile rwa femosekunda? Najkrósze procesy s /3 s µs = -6 s Czas powszechnie spoykany w Ŝyciu codziennym. Świało przebiega ¾ drogi na KsięŜyc. Najkrószy, w kórym oko zareaguje na impuls świała. W ym ie impuls świała przebywa dysans Chicago Tokio ( km). Czas rwania błysku lampy błyskowej. Pocisk pisoleowy sfoografowany w akim ie wydaje się nieruchomy..3 femosekund cyklu fali świelnej λ=39 nm (widialne/ulrafiole).57 femosekund cyklu fali świelnej λ=77 nm (widzialne/podczerwień) femosekund najszybsze reakcje chemiczne 3 femosekund rwania wibracji aomów w cząseczce jodyny Ile rwa femosekunda? ns = -9 s ps = - s fs = -5 s Czas przełączenia się ranzysora w procesorze ze sanu zaporowego do sanu przewodzenia. Świało przebywa jedynie ok. 3 cm. ZamroŜone obrazy ruchów molekuł. Świało przebiega ok.,3 mm. Najkrósze impulsy wywarzane i mierzone przez człowieka. Świało przebiega ok. 3 nm (świało o ej długości fali o ulrafiole) Narodziny echnologii ulraszybkiej Zakład: czy wszyskie kopya galopującego konia naraz znajdują się ponad ziemią? Palo Alo, CA 87 Nowoodkrya echnologia zdjęć foograficznych: Rozdzielczość owa: /6 sekundy!

7 Jak wyworzyć krókie impulsy? Mode-locking Mode-locking echnika indukowania sałych relacji fazowych pomiędzy modami wnęki laserowej. Dwa mody, w chwili począkowej w fazie. echnika indukowania sałych relacji fazowych pomiędzy modami wnęki laserowej. Inerferencja między modami sprawia, Ŝe świało lasera worzy ciąg impulsów. W zaleŝności od cech lasera, impulsy e mogą być niezwykle krókie: kilka femosekund. Laser pracy ciągłej poszczególne mody w róŝnych fazach Osiem modów, fazy usalone Przypadkowe fazy modów laserowych Usalone (locked) fazy modów laserowych Mode-locking nie nie nie w fazie w fazie w fazie Czas nie nie w fazie w fazie w fazie Czas NaęŜęnie vs. Przypadkowe fazy Usalone (locked) fazy Czas Ulrakróki impuls Najkrósze z impulsów (femoskundy) Ulrakrókie impulsy laserowe Akywny mode locking Synchronizując w fazie mody lasera Pasywny mode locking moŝna orzymać Colliding pulse mode locking femosekundowe impulsy świała. Exra-caviy pulse compression Ale równieŝ: impulsy '65 '7 '75 '8 '85 aosekundowe '9 '95 Rok ( -8 sec)! Ulraszybki laser Ti:szafir ~. fsec 3 4

8 Ulraszybka opyka a elekronika Impulsy świelne a świało ciągłe Sała i funkcja delaa sanowią parę dla ransformy Fouriera: NaęŜenie vs. Widmo Wiązka ciągła: częsość Nie wydaje się, by elekronika mogła kiedykolwiek dogonić opykę. Ulrakróki impuls: Ulrakrókie impulsy laserowe są najkrószymi wydarzeniami wykreowanymi przez człowieka! częsość NajwyŜsze naęŝenia: impulsowe lasery errawaowe. TW =,,, waów! Impulsy długie a krókie: Relacja nieoznaczoności: iloczyn szerokości owej i spekralnej impulsu: π lub: ν NaęŜenie vs. Widmo Długi impuls częsość Króki impuls khz Chirped-Pulse Amplificaion (CPA) sysem (Universiy of Colorado) częsość Im krószy impuls, ym szersze spekrum! 5 6

9 Dyspersja prędkości grupowej a impulsy świała Schema wzmacniania impulsu ćwierkającego Impuls świała jes szeroki spekralnie (zawiera wiele częsości). Prędkość grupowa będzie jes dla róŝnych długości świała. Impuls począkowy Źródło krókich impulsów Para siaek rozdziela spekrum i rozciąga impuls o czynnik ysiąc owy począek impulsu owy koniec impulsu Długi, słaby impuls (dobry do wzmacniania) Impuls po wzmocnieniu v gr (Ŝóła) < v gr (czerwona) Dyspersja prędkości grupowej impulsu sanowi powaŝne wyzwanie, kóre nie isnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW). Wzmacniacze mocy Druga para siaek, odwraca dyspersję szej pary, i ponownie kompresuje impuls Wyjściowy ulrakróki impuls o duŝej energii Impuls ćwierkający (chirped) Prędkość grupowa sprawia, Ŝe częsość impulsu zmienia się w ie: Charakerysyki owo-przesrzenne impulsów ulrakrókich Impulsy ulrakrókie zawierają szerokie spekrum częsości. Ich róŝna prędkość grupowa (róŝne n) sprawiają, Ŝe impuls podlegać będzie zniekszałceniom nie ylko w ie, ale i przesrzeni. Ką rozbieŝności wiązki θ zaleŝy od λ: θ = λ/πw, gdzie: w = jes średnicą przekroju wiązki Świałowód W ym impulsie częsość rośnie liniowo w ie (od czerwieni do niebieskiego). Impuls aki o impuls ćwierkający (chirped), przez analogię do dźwięków wydawanych przez paki. Tak więc, jeśli λ zmienia się od 5 nm do nm, θ zmienia się o czynnik. A więc w polu dalekim, przekrój plamki wiązki i jej naęŝenie zmieniać się będą wyraziście z barwą! Soczewka 7 8

10 Dyspersja powoduje przechylanie się fronu falowego impulsu Frony fazowe impulsu wchodzącego są prosopadłe do kierunku propagacji. PoniewaŜ zazwyczaj prędkość grupowa jes mniejsza niŝ prędkość fazowa, fron impulsu nachyla się po przejściu impulsu przez pryzma. Impuls wchodzący Wyjściowy impuls pochyły Ulraszybka spekroskopia laserowa Badanie narodzin cząseczek: Nagroda Nobla 999r w dziedzinie chemii, Ahmed Zewail, Cal Tech Zewail uŝył ulraszybkiej echniki laserowej do zbadania, jak poruszają się aomy w ie reakcji chemicznej. Drgania cząseczek liczy się w femosekundach. PoniŜej ej granicy nie obserwuje się juŝ "chemicznego Ŝycia". Femochemia, jak nazwano sworzony przez Zewaila obszar badań, umoŝliwia śledzenie najdrobniejszych szczegółów reakcji chemicznych. Pryzma Impuls wchodzący Siaka dyfrakcyjna Efek en moŝe być poŝyeczny (echniki pomiaru impulsu), ale moŝe sanowić isony problem. Reagen wprowadzany jes do komory próŝniowej w posaci srumienia cząseczek. Silny impuls laserowy wzbudza cząseczki ak, Ŝe pokonują one barierę energii akywacji; reakcja rozpoczyna się. Nasępują kolejne impulsy laserowe próbkujące, juŝ słabsze, kóre "foografują" kolejne eapy rwania reakcji. Analizie podlegają widma, jakie powsały w ie kolejnych impulsów laserowych. Technika: pump-probe Ulraszybka spekroskopia laserowa Czy jes porzebna? Większość procesów zachodzących w aomach i cząseczkach: femosekundy i pikosekundy W cząseczkach skala przesrzenna jes bardzo mała, a więc i związany z ruchem poszczególnych aomów w cząseczce jes króciuki. Fluorescencja pojawia się po ie rzędu nanosekund, ale konkurujące z nią procesy nieradiacyjne zwiększają prędkość procesów, gdyŝ poszczególne y (y relaksacji) sprzęgają się poprzez dodawanie prędkości: = + τ ex τ fl τ nr W waŝnych procesach biologicznych energia zuŝywana jes na inne cele niŝ fluorescencja i dlaego procesy e muszą być bardzo szybkie. Zderzenia w cieczach w emperaurze pokojowej zachodzą w skali kilku femosekund; prawie wszyskie procesy w cieczach są ulraszybkie. Procesy o znaczeniu echnologicznym w półprzewodnikach ( i nie ylko) są ulraszybkie (inaczej nie byłyby dla nas ineresujące). Sondowanie oscylacji cząseczek Review: Garraway and Suominen Rep. Prog. Phys. 58 (995) 365 9

11 Opyka ulrakrókich impulsów o OPTYKA NIELINIOWA Zakres opyki liniowej: niewielkie naęŝenia świała ~(,-) W/cm niewielkie naęŝenie pola E: - 3 V/cm dział opyki obejmujący zjawiska nie spełniające zasady superpozycji fal. Są o zjawiska, w kórych opyczne własności ośrodka zależą od naężenia padającego świała. Przykłady efeków nieliniowych: Zakres opyki nieliniowej: naęŝenia świała ~GW/cm naęŝenia pola elekrycznego: 5-8 V/cm n = n(e) Przykłady efeków nieliniowych: Dziękuj kuję za uwagę Konsulacje (dla chęnych) odbędą się w dniu 5..r., godz.4: w pokoju 4, budynek VIII, parer (lub w sali D) Egzamin odbędzie się: 8..r. (czwarek)..r. (poniedziałek) w pokoju 4, budynek VIII, parer Na egzamin zapisywać się moŝna od 5..r. wybierając ermin na liście zawieszonej przed pokojem 4.