EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

Transkrypt

1 rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 0 KO UZUPEŁNI ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 strony (zadania 4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.. Odpowiedzi do zadań zamkniętych ( ) przenieś na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego przeznaczone. łędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6 4) może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów.. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego. 9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 0. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Godzina rozpoczęcia: 9:00 zas pracy: 70 minut Liczba punktów do uzyskania: 0 MM-P_P-

2 W zadaniach od. do. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) ena pewnego towaru wraz z 7-procentowym podatkiem VT jest równa 4 47 zł. ena tego samego towaru wraz z -procentowym podatkiem VT będzie równa. 7 6 zł. 9 84, zł zł. 4 46,8 zł Zadanie. ( pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność x + 4, 6 jest. x =. x =. x =. x = 6 Zadanie. ( pkt) Liczba 4 jest równa Zadanie 4. ( pkt) Liczba log0 log4 jest równa.. log 96. log 6. Zadanie. ( pkt) Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność x x jest przedziałem 6. 9, +. Zadanie 6. ( pkt) 8, ziedziną funkcji f określonej wzorem f ( x). wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 4 i od 4.. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 4 i od 0.. wszystkich liczb rzeczywistych.., 0 +. x + 4 = może być zbiór x 4x 9, Zadanie 7. ( pkt) Rozwiązaniem równania. x = 0. x 4 = x 4 jest liczba x =. x =. Strona z 4 x =

3 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona z 4

4 Zadanie 8. ( pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem f ( x) = x + 4 jest Zadanie 9. ( pkt) Punkt M =, należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f( x) = ( a) x+. Wtedy. a =. a =. a =. a = Zadanie 0. ( pkt) Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu y = ax+ b y P = (, ) 4 6 Q = (, ) x Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy. a =. a =. a =. a = Zadanie. ( pkt) a określonym dla n dane są a = 4 i r =. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 6? W ciągu arytmetycznym ( ) n Zadanie. ( pkt) W rosnącym ciągu geometrycznym ( a n ), określonym dla n, spełniony jest warunek a = a. Iloraz q tego ciągu jest równy 4. q =. q =. q =. q = Strona 4 z 4

5 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona z 4

6 Zadanie. ( pkt) rabinę o długości 4 metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości,0 m od tego muru (zobacz rysunek). 4 m Kąt α, pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek. 0 < α < 0. 0 < α < 4. 4 < α < < α < 90 α,0 m Zadanie 4. ( pkt) Kąt α jest ostry i sinα =. Wówczas cos α jest równy Zadanie. ( pkt) W trójkącie równoramiennym spełnione są warunki: =, = 0. Odcinek jest dwusieczną kąta, a odcinek E jest wysokością opuszczoną z wierzchołka na bok. Miara kąta E jest równa E? 0. 0.,.,. Strona 6 z 4

7 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona 7 z 4

8 Zadanie 6. ( pkt) Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne. α b β 4 α Wówczas a β 6. a =, b = 7. a = 0, b = 8. a = 9, b = 9. a =, b = Zadanie 7. ( pkt) Proste o równaniach: y = mx m oraz y m x m. m =. Zadanie 8. ( pkt) ane są punkty M = (, ) oraz N = (, 7) równanie. y = x+ 4. y = x 4. = są prostopadłe dla m =. m =. m =. Prosta przechodząca przez te punkty ma y = x+ 4. y = x+ 4 Zadanie 9. ( pkt) ane są punkty: P = (, ), Q = (, ). Odległość punktu P od punktu Q jest równa.... Zadanie 0. ( pkt) Punkt K = ( 4, 4) jest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka leży na osi Oy. Wynika stąd, że. S = ( 0, ). S = (, 0). S = ( 4, 0). S = ( 0, 4) Strona 8 z 4

9 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona 9 z 4

10 Zadanie. ( pkt) Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie O = (, ) i przechodzi przez punkty S = ( 0, 4) i T = ( 0, ). Okrąg ten jest opisany przez równanie 6 y 4 S. ( x ) ( y ) = 8. ( x ) ( y ) + + = O 4 6 T 7 8 x. ( x ) ( y ) + = 8. ( x ) ( y ) + + = 8 Zadanie. ( pkt) Przekątna ściany sześcianu ma długość. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe Zadanie. ( pkt) Kula o promieniu cm i stożek o promieniu podstawy 0 cm mają równe objętości. Wysokość stożka jest równa. π cm. 0 cm. 0 π cm Zadanie 4. ( pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych:, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:, 4, 7, 8, 9, x. Wynika stąd, że. cm. x = 0. x =. x =. x = 6 Zadanie. ( pkt) W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe Strona 0 z 4

11 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona z 4

12 Zadanie 6. ( pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x 8xy+ y 0. Strona z 4

13 Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż nierówność x 4x x. Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt Strona z 4

14 Zadanie 8. ( pkt) Rozwiąż równanie 4x + 4x x = 0. Odpowiedź:.... Strona 4 z 4

15 Zadanie 9. ( pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. 4 y x Funkcja h określona jest dla, x wzorem ( ) ( ) h x = f x + q, gdzie q jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba x 0 =. a) Wyznacz q. b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h. Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt Strona z 4

16 Zadanie 0. ( pkt) any jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444, a ostatni jest równy 6. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Odpowiedź:.... Strona 6 z 4

17 Zadanie. ( pkt) any jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę. L M? O 8º K Wypełnia egzaminator Nr zadania 0.. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt Strona 7 z 4

18 Zadanie. (4 pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Strona 8 z 4

19 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt Strona 9 z 4

20 Zadanie. (4 pkt) Wśród osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Rodzaj kupionych Liczba osób biletów ulgowe 76 normalne 4 Uwaga! 7 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka. Strona 0 z 4

21 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt Strona z 4

22 Zadanie 4. ( pkt) iegacz narciarski orys wyruszył na trasę biegu o 0 minut później niż inny zawodnik, dam. Metę zawodów, po przebyciu -kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku orysa była o 4, km h trasę biegu. większa niż w przypadku dama. Oblicz, w jakim czasie dam pokonał całą Strona z 4

23 Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 4. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt Strona z 4

24 RUNOPIS (nie podlega ocenie) Strona 4 z 4

25

26

27

28

29 MM-P_P Nr zad. Punkty 0 4 WYPEŁNI EGZMINTOR WYPEŁNI ZJĄY SUM PUNKTÓW J Odpowiedzi Nr zad. PESEL Miejsce na naklejkę z nr. PESEL

30 KO EGZMINTOR zytelny podpis egzaminatora KO ZJĄEGO