EKONOMETRIA ECONOMETRICS 4(46) 2014

Transkrypt

1 EKONOMERIA ECONOMERICS 4(46) 2014 Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2014

2 Redaktor Wydawnctwa: Aleksandra Ślwka Redaktor technczny: Barbara Łopusewcz Korektor: Barbara Cbs Łamane: Magorzata Czupryńska Projekt okładk: Beata Dębska Publkacja jest dostępna w Internece na stronach: w Dolnośląskej Bblotece Cyfrowej he Central European Journal of Socal Scences and Humantes he Central and Eastern European Onlne Lbrary a także w adnotowanej bblograf zagadneń ekonomcznych BazEkon bazy_ae/bazekon/nowy/ndex.php Informacje o naborze artykułów zasadach recenzowana znajdują sę na strone nternetowej Wydawnctwa oraz na strone czasopsma Kopowane powelane w jakejkolwek forme wymaga psemnej zgody Wydawcy Copyrght by Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wrocław 2014 ISSN Wersja perwotna: publkacja drukowana Druk oprawa: EXPOL, P. Rybńsk, J. Dąbek, sp.j. ul. Brzeska 4, Włocławek

3 Sps treśc Wstęp... 7 Aneta Ptak-Chmelewska: Modele predykcj upadłośc MŚP w Polsce analza z wykorzystanem modelu przeżyca Coxa modelu regresj logstycznej... 9 Aleksandra Szpulak: Modelowane operacyjnego kaptału obrotowego z zastosowanem arkusza kalkulacyjnego. Budowa weryfkacja modelu Alcja Wolny-Domnak: Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych Anna Zęba: Wykorzystane modelu PCM w prognozowanu potencjału zawodowego kandydatów do pracy Łukasz Mach: Czynnk kształtujące wartość neruchomośc meszkanowych w kontekśce uwarunkowań makro-, mkro- oraz ultraotoczena Monka Hadaś-Dyduch: Wpływ rozszerzena próbk przy generowanu współczynnków falkowych szeregu na trafność prognozy Mara Szmuksta-Zawadzka, Jan Zawadzk: Modele herarchczne w prognozowanu zmennych o wysokej częstotlwośc obserwowana w warunkach braku pełnej nformacj Mara Kaźmerska-Zatoń, Wojcech Zatoń: Jakość prognostyczna wskaźnków konunktury przemysłowej dla Polsk w przekroju województw Iwona Dttmann: Heurystyk w prognozowanu w przedsęborstwe Małgorzata Krajewska, Knga Szopńska, Iwona Dttmann: Wpływ uwarunkowań planstycznych na ceny gruntów meszkanowych w powece bydgoskm Edyta Ropuszyńska-Surma: Metody foresghtowe w zarządzanu klasyfkacja metod wybór metodyk Edyta Ropuszyńska-Surma: Łączene metod loścowych jakoścowych na przykładze regonalnego foresghtu energetycznego Barbara Dańska-Borsak: Płaca mnmalna a lczba młodych pracujących. Zwązk przyczynowe prognozy warantowe Anna Chojnacka-Komorowska, Marcn Hernes: Defncja struktury reprezentacj wedzy w podsysteme controllngu zntegrowanego systemu nformatycznego zarządzana Arkadusz Kjek: Welowymarowa analza atrakcyjnośc nwestycyjnej spółek sektora spożywczego notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe omasz Bartłomowcz: Implementacja metody Maxmum Dfference Scalng w pakece MaxDff programu R

4 6 Sps treśc omasz Bartłomowcz: Prognozowane szeregów czasowych ze składową perodyczną z wykorzystanem paketu Spredcton programu R Marcn Pełka: Podejśce welomodelowe w regresj danych symbolcznych nterwałowych Summares Aneta Ptak-Chmelewska: Predcton models of SME bankruptcy n Poland analyss usng Cox survval model and logstc regresson model Aleksandra Szpulak: Modelng of an operatng workng captal spreadsheet approach. Buldng and model verfcaton Alcja Wolny-Domnak: Sngle-model a pror ratemakng n short term non- -lfe nsurance Anna Zęba: Usng PCM model n the predcton of career potental of canddates for a job Łukasz Mach: Factors determnng the value of real estate n macro, mcro and ultra envronment Monka Hadaś-Dyduch: Impact of sample extenson n the generaton of wavelet coeffcents seres on the accuracy of forecasts Mara Szmuksta-Zawadzka, Jan Zawadzk: Herarchcal models n forecastng of the hgh-frequency varables n the condtons of lack of full nformaton Mara Kaźmerska-Zatoń, Wojcech Zatoń: Forecast qualty of ndcators of ndustral tendency survey across vovodeshps of Poland Iwona Dttmann: Heurstcs n forecastng n enterprses Małgorzata Krajewska, Knga Szopńska, Iwona Dttmann: he mpact of plannng condtons on resdental land prces n the dstrct of Bydgoszcz Edyta Ropuszyńska-Surma: Foresght methods n management classfcaton and choce of methodology Edyta Ropuszyńska-Surma: Combnng quanttatve and qualtatve methods on the example of regonal foresght related to energy ndustry Barbara Dańska-Borsak: he mnmum wage versus labor demand of young people. Causal relatonshps and varant forecasts Anna Chojnacka-Komorowska, Marcn Hernes: Defnton of a knowledge structure n controllng sub-system of ntegrated management nformaton system Arkadusz Kjek: Multvarate nvestment attractveness analyss of food sector companes of Warsaw Stock Exchange omasz Bartłomowcz: Implementaton of maxmum dfference scalng n Max- Dff R package omasz Bartłomowcz: Forecastng tme seres wth perodc component usng Spredcton R package Marcn Pełka: Ensemble learnng n regresson model of symbolc nterval data. 220

5 EKONOMERIA ECONOMERICS 4(46) 2014 ISSN Alcja Wolny-Domnk Unwersytet Ekonomczny w Katowcach e-mal: alcja.wolny-domnak@ue.katowce.pl JEDNOMODELOWA ARYFIKACJA A PRIORI W KRÓKOERMINOWYCH UBEZPIECZENIACH MAJĄKOWYCH Streszczene: W obecnej praktyce bznesowej zakłady ubezpeczeń majątkowych dla portfel, w których występuje duża lczba pols (np. komunkacyjne, ubezpeczene neruchomośc), wykorzystują w taryfkacj a pror dwa modele regresyjne: model częstośc szkód (clams freqency) oraz model wartośc szkody (clams severty). Najczęścej stosowane są modele GLM oraz regresja negatywno-dwumanowa w przypadku nadmernej dyspersj lczby szkód. Alternatywą dla dwumodelowej taryfkacj jest modelowane wykorzystujące jedyne jeden model regresyjny, w którym zmenną objaśnaną jest łączna wartość szkód dla pojedynczej polsy przy założonym złożonym rozkładze Possona (compound Posson). aka taryfkacja wymaga zatem analzowana jedyne jednej grupy czynnków ryzyka, pomja np. modelowane lczby szkód. Ponadto pozwala na uwzględnane nadmernej lczby wartośc zerowych, co jest bardzej zawłe w przypadku taryfkacj dwumodelowej. Celem nnejszego artykułu jest zaproponowane modelu regresyjnego w jednomodelowej taryfkacj uwzględnającego specyfkę danych w portfelu ubezpeczenowym, tj. założene nezależnośc pols w portfelu ne jest spełnone. Słowa kluczowe: jednomodelowa taryfkacja, ubezpeczena majątkowe, składka czysta, rozkład weede, złożony rozkład Possona. DOI: /ekt Wstęp W obecnej praktyce bznesowej zakłady ubezpeczeń majątkowych dla portfel, w których występuje duża lczba pols (np. komunkacyjne, ubezpeczene neruchomośc), wykorzystują w taryfkacj a pror dwa modele regresyjne: model częstośc szkód (clam frequency model) oraz model wartośc pojedynczej szkody (clam severty model), wykorzystując nformacje o lczbe szkód oraz wartośc szkód dla poszczególnych pols [Dmakos, D Rattalma 2002; Wolny-Domnak 2011; Antono, Valdez 2012]. Oba modele pozwalają na estymację wartośc składk ryzyka (pure Praca częścowo fnansowana przez grant Narodowego Centrum Nauk (nr NN ).

6 Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych 35 rsk premum) dla pojedynczego ryzyka rozumanej jako wartość oczekwana łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka. W modelach tych zmennym objaśnającym są welokategoralne czynnk ryzyka ustalane osobno dla lczby szkód oraz wartośc pojedynczej szkody. Najczęścej stosowane są modele GLM, tj. GLM- -Posson oraz GLM-gamma, ew. regresja negatywno-dwumanowa w przypadku nadmernej dyspersj dla lczby szkód. Do estymacj parametrów model stosuje sę metodę najwększej warygodnośc. Jako ż maksymalzacja funkcj warygodnośc ne może być przeprowadzona analtyczne (brak rozwązana analtycznego dla równań skorngowych), nezbędne jest stosowane algorytmów numerycznych. W pracy korzystamy z szybkego algorytmu teracyjnego IWSL [McCullagh, Wedderburn 1972]. Alternatywą dla dwumodelowej taryfkacj jest modelowane wykorzystujące jedyne jeden model regresyjny, w którym zmenną objaśnaną jest łączna wartość szkód dla pojedynczej polsy przy założonym złożonym rozkładze Possona (compound Posson) [Jørgensen, Paes De Souza 1994]. Jednomodelowa taryfkacja a pror jest alternatywą dla popularnej taryfkacj dwumodelowej główne w sytuacj, gdy zakład ubezpeczeń dysponuje jedyne nformacjam o łącznej wartośc szkód dla ndywdualnych pols, a ne zna lczby szkód N. Wymaga ona analzowana jedyne jednej grupy czynnków ryzyka, ponadto uzyskujemy jeden błąd modelu, a ne dwa jak w przypadku taryfkacj dwumodelowej. Jednak problemem w podejścu jednomodelowym jest fakt, ż funkcj gęstośc złożonego rozkładu Possona ne można zapsać w postac analtycznej. Wadomo jednak powszechne, ż jest on szczególnym przypadkem rozkładu weede dla p (1, 2). Mmo ż rozkłady weede równeż ne mają swojej analtycznej postac, jednak należą do dyspersyjnej rodzny rozkładów, co pozwala na stosowane algorytmu IWSL. Wadą tego podejśca jest jednak koneczność estymacj dodatkowego parametru p. Algorytm zaproponowany w pracy [Dunn, Smyth 2008] dla dużych zborów danych, a takm są portfele masowe, dzała bardzo wolno, co powoduje neefektywność jego stosowana w praktyce. Celem nnejszego artykułu jest zaproponowane modelu regresyjnego w jednomodelowej taryfkacj, który uwzględna specyfkę danych w portfelu ubezpeczenowym w aspekce nezależnośc ryzyk. W tym przypadku nezależność ta rozumana jest jako nezależność zmennych losowych reprezentujących łączną wartość szkód dla pojedynczego ryzyka. W perwszej częśc artykułu przedstawono podstawy teoretyczne zwązane z modelowanem oraz estymacją w jednomodelowej taryfkacj. Druga część zawera proponowany model klasy HGLM będący rozszerzenem modelu GLM o efekty losowe. Artykuł kończy przykład empryczny, który ma na celu zobrazowane proponowanych model w procese estymacj parametrów tych model. W oblczenach wykorzystano program R.

7 36 Alcja Wolny-Domnak 2. Jednomodelowa taryfkacja a pror Rozważmy portfel n pols w portfelach ubezpeczeń majątkowych o dużej lczbe pols. Każdej polse 1 odpowada pewna zmenna losowa o określonym rozkładze, dalej oznaczana przez S, 1,..., n. Oznaczmy przez N lczbę szkód dla -tej polsy w portfelu, natomast przez Y k, k 1,..., N odpowadającą jej wartość pojedynczej szkody 2. Wtedy zmenna S ma postać: S Y... Y 1 określa łączną wartość szkód wygenerowaną przez -tą polsę. ak zdefnowana zmenna, przy założenach: 1) N Pos ( ), ~ 2) Y 1,..., Y N mają take same rozkłady pochodzące z dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych z parametram (,, p) spełnające warunek Var ( ) (podrodzna weede rozkładów), Y k p 3) Y 1,..., Y N są nezależne oraz nezależne od N, rozkłada sę zgodne ze złożonym rozkładem Possona (ozn. CPos). W tym przypadku dwa perwsze momenty rozkładu CPos mają następującą postać: N E S ] E[ E[ S N ]] E[ Y ] E[ N ], [ 2 Var ( S ) E [ Y ] Var ( N ) E[ N ] Var ( Y ). Składka ryzyka (pure rsk premum) dla pojedynczego ryzyka defnowana jest jako: (1) E S ], 1,..., n. (2) [ W celu uzyskana konkretnej wartośc składk ryzyka w masowych portfelach pols zakłady ubezpeczeń powszechne stosują odpowedne modele statystyczne, w których wartość składk ryzyka jest estymowaną wartoścą ˆ na podstawe nformacj zawartych w portfelu (próbe statystycznej). Jako ż charakterystyczną cechą portfela pols jest jego nejednorodność, powodująca generowane różnych wartośc szkód dla polsy, stosowane są najczęścej modele regresyjne klasy GLM. Portfel różncują czynnk ryzyka charakteryzujące ogólne osobę ubezpeczającą sę, przedmot ubezpeczena oraz zmenną przestrzenną (w sense geografcznym). 1 W kontekśce ubezpeczenowym polsa wraz z odpowadającym jej zmennym losowym nazywana jest ryzykem, natomast portfel pols portfelem ryzyk.

8 Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych 37 Przyjmjmy w rozważanym portfelu założene nezależnośc zmennych S 1,...,S n. Wtedy model ma postać: gdze ( 0, 1,..., k ) S ~ CPos (,, p), (3) E exp( β x ) β jest wektorem efektów stałych, x jest -tym werszem macerzy modelu X, natomast E oznacza ekspozycję na ryzyko jest to najczęścej czas trwana polsy. Wektor parametrów modelu ma zatem postać ( 0, 1,..., k, p, ). Korzystając z tego, ż β jest wektorem stałych, wartość składk ryzyka dla -tej polsy wynos: ˆ E exp(ˆ β x ). (4) W estymacj parametrów modelu (3) zastosowane znajduje metoda najwększej warygodnośc. W pracy [Jørgensen, Paes De Souza 1994] autorzy wykazal, ż złożony rozkład Possona z przyjętym rozkładem gamma elementów sumy jest specyfcznym przypadkem rozkładu weede, w którym 1 p 2. Dzęk temu, mmo że ten przypadek złożonego rozkładu Possona ne ma swojej analtycznej postac funkcj gęstośc, znana jest jego postać funkcj warancj V ( ). Pozwala to zatem na numeryczne wyznaczene estymatorów parametrów modelu z wykorzystanem klasycznego algorytmu IWSL bez potrzeby znajomośc postac funkcj warygodnośc. 3. Model z efektam stałym losowym klasy HGLM Zauważmy, ż założene nezależnośc zmennych S,...,S 1 n ne zawsze jest spełnone w portfelu ryzyka, a spełnona jest jedyne nezależność warunkowa. Analzując ubezpeczene domu, należy pamętać, że w momence, kedy w jednym domu wybuchne pożar, to pożar może wybuchnąć równeż w domu stojącym obok, natomast ne wybuchne w domu stojącym w dużej odległośc [Otto 2013]. Fakt ten można uwzględnć, przechodząc od modelu GLM do modelu GLM z efektam losowym ( u 1,..., u K ), uzyskując model meszany, gdze u, 1,..., K są nezależnym realzacjam zmennej losowej U. Oznacza to podzał portfela na klastry spełnające warunek: polsy należące do tego samego klastra są zależne, natomast dwe polsy z dwóch różnych klastrów są nezależne. Zatem spełnony jest warunek: cov( Sj, Sk U) 0, j, k 1,..., n, (5) gdze S j, S k oznaczają łączną wartość szkód dla j-tej oraz k-tej polsy należących do -tego klastra, natomast n oznacza lczebność -tego klastra. W przypadku gdy

9 38 Alcja Wolny-Domnak założymy, ż nezależne efekty losowe u przyjmują rozkład z dyspersyjnej rodzny wykładnczej (ozn. EDM Exponental Dsperson Model [Jorgensen 1987]) z parametram,, uzyskujemy model klasy HGLM [Lee, Nelder 1996]. Postać mo- u u delu jest następująca: gdze ( 1 ( 0, 1,..., r,, u, u ) v u) (ln( u ),...,ln( )) Sj U ~ CPos ( j,, p) u ~ EDM ( u, u ), (6) j ( u) Ej exp( β xj v( u) zj ) u K przypadku być przyjmowana dwojako: 3. Wektor parametrów modelu wynos wtedy. Wartość składk ryzyka dla -tej polsy może w tym ˆ ( ) [ ] exp( ˆ u E S U E βx v( u) z ) j j j j j ˆ ˆ E[ S ] E[ E[ S U]] E exp( βx) E[ v( uˆ) z ] j j j j j j ˆ E exp( βx) ˆ. j j u (7) Estymacja parametrów modelu (6) ne jest już taka oczywsta jak w przypadku modelu (3). Wynka to z faktu, ż znane są postac rozkładów dla rozkładu warunkowego zmennej S j U (weede z parametrem 1 p 2) oraz efektów losowych u 1,...,u K, natomast ne jest znana postać rozkładu brzegowego zmennej S j. W takej sytuacj można wykorzystać funkcję rozszerzonej warygodnośc będącą de facto rozszerzenem funkcj quas-warygodnośc [Bjørnstad 1996]. W pracy korzystamy z pewnego przypadku funkcj rozszerzonej warygodnośc zwanej funkcją herarchcznej warygodnośc oznaczanej przez H(.) 4 : H K n ( 0, 1,..., r,, u, u ; sj ) f, ( sj u) g u u, ( ) u 1 j1. (8) Do wyznaczena wartośc maksymalnych funkcj log-h(.) zastosowane znajduje algorytm teracyjny H-IWSL (herarchczny IWSL) [Lee, Nelder 1996]. Algorytm ten zawera swoją mplementację w programe R w pakece {hglm} [Ronnegard n. 2010]. 3 Ops przekształcena v(.) por. [Lee n s. 102], Example Warunkem tego, aby funkcja rozszerzonej warygodnośc była funkcją herarchcznej warygodnośc, zob. [Lee n. 2006, s ].

10 Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych Przykład oblczenowy W celu zobrazowana dzałana modelu HGLM w jednomodelowej taryfkacj analzujemy portfel 664 pols. Został on zaczerpnęty z pracy [Ohlsson Johansson 2010] zawarty w pakece programu R o nazwe {nsurancedata} [Wolny-Domnak, rzęsok 2014]. Czynnk ryzyka zarejestrowane w portfelu przedstawa tab. 1. abela 1. Ops czynnków ryzyka w portfelu Nazwa czynnka ryzyka Ops zmennej Kategore zmennej Wek.k Klasa.MC Wek kerowcy Współczynnk: moc slnka dzelona przez wagę pojazdu + 75(kg) Kategore A-G (najstarszy) Kategore A-G Wek.poj Wek pojazdu Kategore A-C Regon Regon użytkowana pojazdu Kategore A-G Źródło: oblczena własne. Przyjmujemy, ż portfel pogrupowany jest na klastry ze względu na czynnk Regon, który najczęścej generuje zależnośc w portfelu (o tzw. area effect por. [Dmakos, D Rattalma 2002; Żądło 2014]). Zatem w modelu mamy u 1,...,u7 efektów losowych. Przyjmując klasyczne rozkład normalny dla zmennej geografcznej (wtedy ), należy zauważyć, że postać modelu jest następująca: 2 u u Sj U ~ CPos( j,, p) 2 u ~ N(0, u), j ( u) Ej exp[ 0 β1wek. kj β2klasa. MCj β3wek. pojj v( REgonj )] gdze 1,..., 7, j 1,...,n, n 1... n7 664 (9). Ze względu na to, że każdy czynnk w modelu jest zmenną welokategoralną, każdy wektor parametrów posada tyle współrzędnych, le jest kategor danego czynnka, np. β,,...,. abela 2 przedstawa uzyskane szacunk parametrów 1 ( 1A 1B 1 G ) modelu (9), które można dalej wykorzystać do wyznaczena wartośc składk dla pojedynczego ryzyka. Dodatkowo tab. 2 zawera oszacowana parametrów w modelu GLM, bez efektów losowych u. β

11 40 Alcja Wolny-Domnak abela 2. Szacunkowe wartośc parametrów model GLM oraz HGLM GLM exp( ˆ) s.e. exp( ˆ) HGLM Wyraz wolny , ,3562 Wek.kerB Wek.kerC Wek.kerD Wek.kerE Wek.kerF Wek.kerG Klasa.MCB Klasa.MCC Klasa.MCD Klasa.MCE Klasa.MCF Klasa.MCG Wek.pojB Wek.pojC Źródło: oblczena własne. s.e. 1B 0,9633 0,3853 0,9685 0,2801 1c 0,9431 0,3854 0,9457 0,2813 1D 0,9303 0,4131 0,8931 0,3004 1E 0,4006 0,3824 0,4040 0,2769 1F 0,5016 0,4084 0,5549 0,2962 1G 0,4003 0,6071 0,3903 0,4394 2B 0,4521 0,4166 0,4100 0,3012 2c 0,5809 0,3535 0,5111 0,2560 2D 0,9561 0,3822 0,7949 0,2765 2E 0,5378 0,3571 0,4766 0,2585 2F 0,8178 0,3518 0,7408 0,2551 2G 1,5738 0,9754 1,7220 0,7071 3B 0,5864 0,2601 0,5626 0,1880 3C 0,2436 0,2206 0,2395 0,1596 Rozkład łącznej wartośc szkód ma dodatkowe parametry, p, których szacunk w naszym przypadku wynoszą ˆ 2, 47 oraz p ˆ 1, 99. Z kole parametr rozkładu efektów losowych ˆ 2 u 0, Zauważmy, ż generalne model HGLM generuje mnejsze błędy dla parametrów w stosunku do modelu GLM. Najwększy błąd występuje dla parametru, co jest spowodowane tym, ż w portfelu występuje tylko 2G jedna polsa o takej kategor zmennej Klasa.MCG. 5. Zakończene Wprowadzene do modelu GLM efektów losowych uwzględnających zależnośc w portfelu ne jest nowoścą w omawanej tematyce. W pracy [Nelder, Verrall 1997] autorzy przedstawal poszczególne modele warygodnośc jako szczególne przypadk modelu HGLM, gdze efektam losowym są czynnk neobserwowalne charakte-

12 Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych ubezpeczenach majątkowych 41 rystyczne dla ndywdualnych ryzyk (np. cechy charakteru osoby ubezpeczającej sę). Z kole w pracy [Dmakos, D Rattalma 2002] autorzy proponowal model z losowym efektam przestrzennym, którego parametry szacowal w ujęcu bayesowskm. W proponowanym w pracy modelu HGLM zależnośc występujące w portfelu ryzyk dotyczą pewnych zjawsk, które charakteryzują dana grupę ryzyk (klaster). o znaczy, że polsy w klastrze dzelą jeden wspólny efekt losowy, w odróżnenu np. od efektów ndywdualnych. Jest to zatem podejśce zblżone do tego zaproponowanego w pracy [Dmakos, D Rattalma 2002]. Jednak w odróżnenu od podejśca bayesowskego stosujemy podejśce klasyczne, bazujące ma metodze najwększej warygodnośc. Wydaje sę ono bardzej ntucyjne dla praktyków na co dzeń stosujących modele GLM. Lteratura Antono K., Valdez E.A., 2012, Statstcal concepts of a pror and a posteror rsk classfcaton n nsurance, AStA Advances n Statstcal Analyss, 96(2), Bjørnstad J.F., 1996, On the generalzaton of the lkelhood functon and the lkelhood prncple, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 91(434), De Jong, P., Heller G.Z., 2008, Generalzed lnear models for nsurance data (Vol. 136), Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Dmakos X.K., D Rattalma A.F., 2002, Bayesan premum ratng wth latent structure, Scandnavan Actuaral Journal, 2002(3), Dunn P.K., Smyth G.K., 2008, Evaluaton of weede exponental dsperson model denstes by Fourer nverson, Statstcs and Computng, 18(1), Jorgensen B., 1987, Exponental dsperson models, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal), Jørgensen B., Paes De Souza M.C., 1994, Fttng weede's compound Posson model to nsurance clams data, Scandnavan Actuaral Journal, 1994(1), Lee Y., Nelder J.A., 1996, Herarchcal generalzed lnear models, Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres B (Methodologcal), Lee Y., Nelder J.A., Pawtan Y., 2006, Generalzed lnear models wth random effects: unfed analyss va H-lkelhood, CRC Press. McCullagh P., Wedderburn R.W.M., 1972, Generalzed lnear model, Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres A (General), Vol. 135/3, Nelder J.A., Verrall R.J., 1997, Credblty theory and generalzed lnear models, Astn Bulletn 27.01: Ohlsson E., Johansson B., 2010, Non-lfe Insurance Prcng wth Generalzed Lnear Models, Sprnger. Otto W., 2013, Ubezpeczena majątkowe. Część I. eora ryzyka, Wydawnctwo WN. Ronnegard L., Xa Shen, Moudud A., 2010, hglm: a package for fttng herarchcal generalzed lnear models, he R Journal, 2(2), Wolny-Domnak A., rzęsok M., 2014, nsurancedata: A Collecton of Insurance Datasets Useful n Rsk Classfcaton n Non lfe Insurance, R package verson project.org/package=nsurancedata. Wolny-Domnak A., 2011, Szacowane stóp taryf w ubezpeczenach majątkowych z wykorzystanem modelu HGLM, Zeszyty Naukowe/Unwersytet Ekonomczny w Poznanu, (182), Ża dło., 2014, On longtudnal movng average model for predcton of subpopulaton total, Statstcal Papers, 1-23.

13 42 Alcja Wolny-Domnak SINGLE-MODEL A PRIORI RAEMAKING IN SHOR ERM NON-LIFE INSURANCE Summary: he goal of ths paper s to propose the regresson model usefull n a pror ratemakng n short term non-lfe nsurance. In the model the aggregat clam amount for ndvdual rsk followng s estmated. It s asumed that ths random varable followng the compound Posson dstrbuton beng a specal case of weede. We notce that the ndependent assumton n the portfolo of rsks s volated. hat s why we adopt the mxed model wth fxed and random effects n place of the model wth fxed effects only. In the frst part of the paper the theoretcal model s presented whle n the second part practcal applcaton s analsed. All calculatons n the case study are made n R software. Keywords: sngle-model ratemakng, non-lfe nsurance, pure rsk premum, weede, compound Posson.