Zastosowanie modeli czynnikowych w zarządzaniu portfelowym ryzykiem kredytowym na przykładzie kredytów hipotecznych i gotówkowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie modeli czynnikowych w zarządzaniu portfelowym ryzykiem kredytowym na przykładzie kredytów hipotecznych i gotówkowych"

Transkrypt

1 MBA. CE 5/202 Artuł 3 Maagemet ad Busiess Admiistratio. Cetral Europe 5/202 (8): s. 3 28, ISSN , Copright b Aademia Leoa Koźmińsiego Zastosowaie modeli cziowch w zarządzaiu portfelowm rziem redtowm a przładzie redtów hipoteczch i gotówowch Nadesła Zaaceptowa do druu Piotr Osińsi Ba Gospodari Żwościowej Abstrat Cel: W literaturze przedmiotu i w pratce brauje jedolitego stadardu pomiaru portfelowego rza redtowego w odiesieiu do redtów detaliczch. Dlatego w iiejszm artule autor stawia sobie za cel przbliżeie możliwości użcia tzw. modeli cziowch w zarządzaiu portfelowm rziem redtowm isttucji redtowej. Metoda: Autor przedstawia aalizę teoretczą własości modeli cziowch, a astępie ilustruje ich zastosowaie a przładzie dach o redtach hipoteczch i redtach gotówowch pochodzącch z jedej z dużch isttucji redtowch licecjoowach w Polsce. W artule worzstae są arzędzia aaliz wrażliwości. Wiosi: Zaczące różice w wliczoch redtowch wartościach zagrożoch wsazują a iezwle istotą rolę założeń poszczególch wersji modeli oraz doboru parametrów prz worzstaiu tej grup modeli. Poadto, sugeruje to oieczość użwaia dodatowch arzędzi werfiacji poprawości wliczeń, taich ja p. aaliza waruów srajch cz też wiedza esperca. Orgialość: Wład w literaturę przedmiotu jest dwojai. Przede wszstim w artule został przedstawio sposób worzstaia modeli cziowch dla portfeli detaliczch espozcji redtowch oraz uzsae a podstawie dach empirczch wii alulacji redtowej wartości zagrożoej. Dodatowo zaalizowaa została wrażliwość redtowch wartości zagrożoch a dobór modelu oraz parametrów rza. Słowa luczowe: modele cziowe, modele rza redtowego, redtowa wartość zagrożoa DOI: /mba.ce

2 4 Artuł MBA. CE 5/202 The Use of Factor Models i Portfolio Credit Ris Maagemet of Mortgage Baced Housig Loas ad Cash Loas Portfolios Primar submissio Fial acceptace Abstract Purpose: Withi literature as well as i practice there is o oe commo stadard of measurig portfolio credit ris of credit exposures toward retail cliets. Therefore, the Article s goal is to preset the possibilit of usig for these purposes so called factor models. Approach: The article presets theoretical aalsis of factor models properties ad the is illustratig theirs usage basig o the data o mortgage baced housig loas ad cash loas from oe of the biggest credit istitutios licesed i Polad. I the article techiques of stress testig aalsis are beig used as well. Fidigs: The sigificat differeces i credit value at ris estimates idicate that parameters ad assumptios of factor models have a critical role whe we tr to use this group of models. Additioall, the results suggest that it is ecessar to use verificatio tools lie stress tests or expert owledge. Value: The article exteds the literature fidigs i two aspects. First, it presets how to use factor models for retail loas portfolios ad shows the results of CVaR estimates basig o empirical data. Secod, it verifies the sesitivit of CVaR estimates to model selectio ad ris parameters. Kewords: factor models, credit ris models, credit value at ris JEL: C02, G2, G23, G32 Przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego W XXI w. modele pomiaru portfelowego rza redtowego są powszechie worzstwam arzędziem w procesie zarządzaia rziem redtowm. Istieje wiele przcz, tóre doprowadził do tej stuacji. W celu przejrzstego ich przedstawieia w artule podzieloo je a wiające z: wmogów regulacjch, stuacji rowej oraz rozwoju aui i techologii. W przpadu tch pierwszch z pewością istotm cziiem wpłwającm a wzrost zaiteresowaia modelami pomiaru portfelowego rza redtowego, a tór zwraca uwagę A. Sauders, bł propozcje Bau Rozrachuów Międzarodowch w postaci Nowej DOI: /mba.ce

3 MBA. CE 5/202 Artuł 5 Umow Kapitałowej (NUK, Basel II), dotczące adewatości apitałowej (Husches, Vogl, Waia 2004), tóre po wdrożeiu do rajowego ustawodawstwa stał się w wielu rajach powszechie obowiązującmi wmagaiami. Poprzez wdrożeie propozcji Bau Rozrachuów Międzarodowch isttucje adzorcze dążł do stuacji, w tórej isttucje redtowe dspoują apitałem w wartości iezbędej do porcia strat ieoczeiwach, a tm samm są zabezpieczoe przed iewpłacalością (Schmid 2003). Moża powiedzieć, że opracowaie NUK, a w osewecji więsz acis a budowę i wdrażaie modeli pomiaru rza redtowego, bło odpowiedzią a słabość poprzedich rozwiązań propoowach przez Ba Rozrachuów Międzarodowch w zaresie zasad alulacji regulacjch wmogów apitałowch z ttułu rza redtowego, zach pod azwą Basel I. Nowa Umowa Kapitałowa z jedej stro pozwala a doładiejsze wliczeie regulacjego wmogu apitałowego poprzez zróżicowaie poszczególch otrahetów pod ątem rza, jaie jest z imi związae w przpadu stosowaia metod zaawasowach, cz też poprzez wróżieie więszej liczb las rza dla metod stadardowej. Z drugiej stro poprzez wprowadzeie oieczości wliczaia apitału eoomiczego pozwala a uwzględieie efetu dwersfiacji w zarządzaiu rziem redtowm. Należ pamiętać, że Nowa Umowa Kapitałowa wręcz wmusza a isttucjach redtowch rozwijaie modeli pomiaru rza redtowego (Jarrow, va Deveter 2004), jeśli chcą oe bć obciążoe isim wmogiem apitałowm i tm samm ourecje w stosuu do ich isttucji. Jest to szczególie istote w stuacji rowej, w tórej isttucje redtowe cierpią a bra apitału. W ostatich latach pomiar rza redtowego z worzstaiem odpowiedich modeli stał się jedm z podstawowch wzwań w ogólie pojętm procesie zarządzaia rziem, a co z pewością zacząc wpłw miała stuacja rowa. Związae jest to przede wszstim z fatem, że w relacji do posiadach apitałów wartość portfeli espozcji redtowch isttucji redtowch jest zacząca, a tm samm istote jest rzo redtowe, jaie biorą oe a siebie. Wsoi poziom rza redtowego dla isttucji redtowch ma z olei poważe osewecje dla sposobu zarządzaia im. Oczwiste jest, że zaczące zagrożeie wiające z działalości redtowej wiąże się z oieczością wdrożeia odpowiedich sposobów zarządzaia oraz pomiaru rza. Międz imi dlatego pojawiła się potrzeba opracowaia bardziej wrafiowach techi pomiaru rza dającch podstaw do jego suteczego ograiczaia (Morga 997). W osewecji doprowadziło to do espasji metod ilościowch, zwłaszcza do powstaia oraz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Zacząca wartość portfela espozcji redtowch isttucji redtowch ie jest jedą przczą rową wpłwającą a damicz rozwój modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Na ie, rówie istote przcz rozwoju modeli omawiaego rodzaju zwrócił uwagę A. Sauders (200). Do główch przcz zaliczł o stuację a rach fiasowch, ze szczególm uwzględieiem wzrostu liczb baructw 2, a taże wzrastającą ourecję w zaresie wali o lieta o słabszej odcji fiasowej, tóra sutuje ograiczaiem marż przez isttucje redtowe. Szczególą rolę wzrostu ourecji w se Baructwa w Staach Zjedoczoch w latach DOI: /mba.ce

4 6 Artuł MBA. CE 5/202 torze baowm w oteście rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego podreślił rówież W. Kurłe, powołując się a badaia przeprowadzoe przez T. Wilsoa (998). Rosąca ourecja wmuszała a isttucjach redtowch więszą ourecjość ceową, umożliwiającą zachowaie już obsługiwach lietów, a taże pozsiwaie owch lietów. Z drugiej stro świadomość zagrożeia wmuszała zachowaie odpowiediego poziomu bezpieczeństwa. Wśród przesłae rozwoju modeli pomiaru rza redtowego z pewością istotą rolę odegrał taże taie czii ja: rozwój ru wtórego redtowch istrumetów pochodch wiając taże m.i. z wzrostu ourecjości oraz chęci usprawieia procesu zarządzaia rziem redtowm (Jacowicz 200), a taże coraz więsz poziom ich zaawasowaia (Caouette et al. 2008). Oba te czii wmieiae są w artułach W. Kurła (2003) cz też T. Wilsoa (998) i przedstawiae jao istote dla rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego. Powżej przedstawioe został przesłai rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego związae z wmogami regulacjmi oraz stuacją rową. Nie moża jeda zapomiać o wmierej roli aładów przezaczach przez isttucje redtowe a dalsz rozwój techi pomiaru rza redtowego z powodu potecjalch orzści płącch z zastosowaia modeli pomiaru rza redtowego (Hull 2000). Zmiaom w sposobie modelowaia rza redtowego sprzjał iewątpliwie taże rozwój techologii oraz związaa z tm możliwość gromadzeia iezbędch do modelowaia dach oraz możliwość worzstaia zaawasowach modeli matematczch pozwalającch a przład a modelowaie grubch ogoów rozładu strat. Wśród przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza redtowego związach z auą oraz techologią zaczącą rolę odegrał rówież owe publiacje oraz rozwiązaia propoowae w tm obszarze. Moża powiedzieć, że fudametale dla rozwoju modeli pomiaru rza redtowego bł prace: F. Blaca i M. Scholesa (973) oraz R. Mertoa (973). Z jedej stro stwarzał oe solide fudamet do pomiaru rza redtowego, z drugiej zaś motwował do dalszego rozwoju modeli. Motwacja ta wiała przede wszstim ze świadomości czteliów, że rozwiązaia omawiae w tch publiacjach ie są pozbawioe wad wpłwającch a poprawość pomiaru rza redtowego (Youg, Helwege, JigZhi, 2004). Podsumowując przcz rozwoju modeli pomiaru portfelowego rza, moża przwołać opiie R. Gallatiego (2003) oraz A. Saudersa i L. Alle (2002). Jao główe przcz rozwoju modeli wsazują oi: pojawieie się owch orm w zaresie adewatości apitałowej, pogorszeie jaości redtowej otrahetów, oieczość wprowadzeia bardziej ourecjch marż, pojawieie się owch istrumetów, a taże rozwój techologii. Teoria modeli cziowch pomiaru portfelowego rza redtowego Jedm z główch rodzajów modeli pomiaru portfelowego rza redtowego są modele cziowe. Zajdują oe szeroie zastosowaie w pratce rowej. W szczególości modelem cziowm jest model propoowa w ramach metod zaawasowach Nowej Umow Kapitałowej. DOI: /mba.ce

5 MBA. CE 5/202 Artuł 7 Model jedocziow Najprostszą wersją omawiaego tpu modeli jest model jedocziow. Jest to model załadając, że zmiaa wartości atwów dłużia V,s stego dłużia w tm portfelu, zgodie z wzorem () zależa jest od jedego czia sstematczego Y wspólego dla wszstich redtobiorców z tego portfela oraz od jedego czia specficzego ε charaterstczego dla poszczególch redtobiorców tego portfela redtowego. Zarówo zmiaa wartości atwów, ja i oba czii (sstematcz i swoist) mają stadardowe rozład ormale. Zachowaie wszstich redtobiorców jest ze sobą powiązae, poieważ ażd z dłużiów pozostaje pod wpłwem działaia czia Y. Siłę oddziałwaia czia Y oreśla współczi orelacji. Moża powiedzieć, że czi sstematcz Y odzwierciedla sta gospodari cz też reprezetuje cle gospodarcze (Forest, Beli, Suchower 998) i w dobrch latach przjmuje dużą wartość, zmiejszając prawdopodobieństwo iewpłacalości, atomiast w złch latach ma isą wartość, zwięszając prawdopodobieństwo iewpłacalości. Należ zazaczć, że czi sstematcz oraz czii specficze są iezależe (Husches, Vogl, Waia 2004) oraz przjęte jest założeie, że mają rozład ormal N(0,)., s dla ażdego s < S V, s = Y + ε, s () Zgodie z modelem jedocziowm iewpłacalość astępuje w momecie, gd wartość atwów V, spadie poiżej oreśloego progu. Tm samm, oprócz ustaleia wartości atwów w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości (tj. ieza s leżego od wartości czia sstematczego Y ), oiecze jest oreśleie wartości progu, prz tórm liet staje się iewpłacal. Próg te, ozacza jao K, s, oreśla się zgodie z wzorem (2). ( p ) K. s = Φ sr, gdzie Φ jest fucją odwrotą do dstrbuat rozładu ormalego, a p sr, ozacza długooresowe (średie) prawdopodobieństwa iewpłacalości. W omawiam modelu w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości przjmowae są założeia, że espozcje w portfelu są jedaowej wartości oraz że próg iewpłacalości jest wspól dla wszstich espozcji, tj. K, s = K. Warto zazaczć, że założeie o wspólej wartości progowej jest zaczącm uproszczeiem modelu, tóre jedocześie wdaje się usprawiedliwioe w przpadu jedorodch portfeli redtowch. Prz założeiach opisach powżej średie (długooresowe) prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta z tego portfela wzaczae jest a podstawie wzoru: sr, = P V, s [ K ] p < (2), (3). DOI: /mba.ce

6 8 Artuł MBA. CE 5/202 W momecie gd oreśloe jest średie prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta, możliwe jest przejście do wzaczaia rozładu prawdopodobieństwa iewpłacalości a poziomie portfela redtowego. Prz założeiu o iezależości espozcji, czli w przpadu, gd jest rówe 0, prawdopodobieństwo iewpłacalości w portfelu redtowm szacowae jest zgodie z wzorem (4): f N ( ) ( ) ( ) N p p =, s, s Z uwagi a to, że w rzeczwistości orelacja ie jest jeda zerowa, iezwle istotą rolę odgrwa worzstaie waruowej iezależości iewpłacalości. Imi słow ależ sorzstać z fatu, że dla oreśloej realizacji czia sstematczego Y, iewpłacalości są od siebie iezależe (Perli, Nada 2003). W taiej stuacji, aalogiczie ja powżej, wzacza się prawdopodobieństwo iewpłacalości lieta, prz czm uzależia się je od realizacji zmieej Y zgodie z wzorami (5) i (6):, s ( ) P[ V < K Y ] p = =, s (4). (5), p, s ( ) = P ε, s < K Y Y = K = Φ (6). Następie, orzstając z waruowej iezależości, ustala się wartość waruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości dla daej realizacji Y = z worzstaiem rozładu dwumiaowego zgodie z wzorem: P N ( ) ( N ( ) ) [ X Y = ] = p ( ) p ( ) =, s. s (7). W celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości ależ dooać uśredieia waruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości P[X = Y = ] po realizacjach zmieej Y, orzstając z wzoru (8): P [ X = ] = P[ X = Y = ] φ( ) d d gdzie φ ozacza fucję gęstości stadardowego rozładu ormalego. (8), DOI: /mba.ce

7 MBA. CE 5/202 Artuł 9 Worzstując wzor (6), (7) oraz (8), otrzmuje się wzór a prawdopodobieństwo iewpłacalości (9) oraz wzór a dstrbuatę rozładu (0): (9) (0). Model jedocziow postać uproszczoa dla dużch portfeli W poprzedim podpucie zaprezetowa został model jedocziow, tór pozwala a ustaleie redtowej wartości zagrożoej iezależie od liczb espozcji redtowch zajdującch się w portfelu. Ma o jedą zasadiczą wadę, jaą jest czasochłoość obliczeń wowach prz jego użciu. Jest to szczególie uciążliwe dla portfeli redtowch sładającch się z dużej liczb espozcji. Moża uprościć te model i sprowadzić go do postaci aalitczej, czli postaci ieworzstującej umerczch oszacowań. Korzstaie z uproszczoego modelu w osewecji pozwala a zaczie szbsze doowaie obliczeń prz jedoczesm zachowaiu ależtej preczji. Możliwe jest to w stuacji, gd będziem rozważać jedie duże portfele, czli taie, w tórch N, ozaczające liczbę espozcji, dąż do iesończoości. Co prawda w rzeczwistości ie ma się do czieia z portfelami iesończeie liczmi, jedaże stosowaie powższego uproszczeia ie wpłwa w zacząc sposób a wii w stuacji, gd badaiom podlegają portfele o zaczej liczbie espozcji (Schoebucher 2000). W celu wprowadzeia aalitczej postaci wzoru a prawdopodobieństwo iewpłacalości portfela redtowego, podobie ja w modelu przedstawiom w pucie 2., idwiduale prawdopodobieństwo iewpłacalości uwaruowae realizacją zmieej Y oreśla się wzorem: (). Z uwagi a fat, że waruowe prawdopodobieństwa iewpłacalości są iezależe z prawa wielich liczb, wiadomo, że dla dużch portfeli, tj. sładającch się z dużej liczb espozcji, udział espozcji wobec lietów, tórz aprawdę stają się iewpłacali, jest blisi idwidualemu prawdopodobieństwu iewpłacalości (Schoebucher 2000). Tm samm, [ ] ( ) ( ) Φ Φ = = N d K K N X P φ d [ ] ( ) ( ) = Φ Φ = N m d K K N X P φ 0 d ( ) = Φ s K p, DOI: /mba.ce

8 20 Artuł MBA. CE 5/202 gd X jest udziałem espozcji wobec lietów iewpłacalch w portfelu redtowm, zachodzi: Jao że ie jest zaa wartość Y, w celu oszacowaia bezwaruowego prawdopodobieństwa iewpłacalości dooać ależ uśredieia po oczeiwach realizacjach Y zgodie z wzorem (3): Na podstawie wzorów (3) i (2) otrzmuje się: P [ X p ( ) Y = ] =, s P φ d [ X x] = E P[ X xy ] = [ = ] ( ) P X xy d (2). (3) P P [ xy = ] φ( ) [ X x] = P X = p ( ) [ X x] = p, s ( ), s d d * { x} φ( ) d = φ( ) d = Φ( ) * (4), (5), gdzie * jest ta dobrae, ab spełioe bł astępujące warui: p() = x, p()<x dla ależącch do przedziału (*, ), tj. ab idwiduale prawdopodobieństwo iewpłacalości bło miejsze iż liczba rzeczwiście obserwowach iewpłacalości. Tai sta mam dla * o postaci: ( Φ ( x) K ) * = Ostateczie rezultatem jest dstrbuata prawdopodobieństwa iewpłacalości (7): (6). P ( K ) * [ ] ( ) X x = Φ = Φ Φ ( x) (7), Dla osób zajmującch się modelowaiem rza redtowego istotiejszą od iformacji o tm, z jaim prawdopodobieństwem wstąpi iewpłacalości, jest iformacja o prawdopodobieństwie iewpłacalości odpowiadającm daemu watlowi rozładu zmieej X. W związu z powższm oiecze jest przeształceie wzoru (7) a dstrbuatę. Otrzmuje się w te sposób wzór a watl rzędu α rozładu prawdopodobieństwa iewpłacalości (8): DOI: /mba.ce x = Φ Φ ( α) + Φ (d pd sr, ) sr, (8).

9 MBA. CE 5/202 Artuł 2 Model jedocziow uwzględiając orelację międzportfelową Wszstie z zaprezetowach do tej por wliczeń dla modeli jedocziowch bł doowae dla stuacji, w tórej wstępuje jede homogeicz portfel redtow bądź wiele portfeli, tóre są ze sobą idealie dodatio sorelowae. W taiej stuacji, chcąc ustalić redtową wartość zagrożoą dla wszstich portfeli, wstarcz zsumować redtowe wartości zagrożoe dla poszczególch portfeli. W pratce jeda często wróżia się co ajmiej ila jedorodch portfeli, tóre różią się międz sobą cziami sstematczmi wpłwającmi a iewpłacalość lietów z tch portfeli. W taiej stuacji pojawia się problem orelacji międzportfelowch. W rzeczwistości portfele ie są ze sobą idealie sorelowae i w rezultacie oiecze jest uwzględieie orelacji międzportfelowej. Uwzględieie orelacji międzportfelowch pozwala a urealieie pomiaru rza, a jaie arażoa jest isttucja redtowa, i tm samm a ograiczeie wmogu apitałowego. Korelację międzportfelową moża uwzględić w modelu p. poprzez wzaczaie łączej strat dla portfeli redtowch jao watla z rozładu sum strat waruowch dla zadach wartości cziów sstematczch, gdzie stratę waruową dla wszstich portfeli wzacza się zgodie z wzorem: Strata waruowa = l = Φ Φ ( p ) sr, * DLGD (9), gdzie l ozacza liczbę portfeli. W taiej stuacji, prz wliczaiu łączej strat w portfelu redtowm, możliwe jest worzstaie smulacji Mote Carlo, przjmując, że zmiee Y, Y 2,...,Y dla ażdego z portfeli osobo mają stadardow rozład ormal. Prz ich jedoczesm ujęciu mają oe wielowmiarow rozład ormal o macierz owariacji odpowiadającej ich macierz orelacji R. W pierwszm rou smulacji ależ oreślić wartość współczia orelacji międz cziami specficzmi. Szacuu tego ależ dooać a podstawie ciągu obserwacji cziów sstematczch dla ażdej ze zmiech. Ciąg obserwacji Y,l, Y,2,...,Y,t, gdzie ozacza t portfel, a t czas, wzacza jest a podstawie wzoru: pd pd, i, i Φ = Φ ( p ) sr,, i, i, i (20). Mając ustaloą macierzą orelacji, moża przeształcić iezależe zmiee losowe wlosowae ze stadardowego rozładu ormalego X, X 2,..., X w sorelowae zmiee Y, Y 2,..., Y, dla tórch macierz orelacji ma postać R x. Przjmując, że wetor realizacji zmiech Y, Y 2,..., Y ma postać: =, 2,...,, zaś wetor realizacji iezależch zmiech X, X 2,..., X jest DOI: /mba.ce

10 22 Artuł MBA. CE 5/202 postaci: x = x, x2,..., x, związe międz oboma wetorami przedstawić możem w astępując sposób: T = C x (2), gdzie C jest macierzą Choles ego, czli macierzą spełiającą warue T Rx = C C. Model wielocziow uwzględiając orelację międzportfelową W tm podpucie zaprezetowa zostaie uogólio model cziow pozwalając a ujęcie wielu zmiech wpłwającch a wpłacalość redtobiorc. Idea modeli wielocziowch została opisaa m.i. przez P. Schoebuchera (2000), a taże przez A. Lucasa (2000). W modelu wielocziowm wartość atwów determiowaa jest przez wetor Z zawierając j cziów. Każd z tch cziów wpłwa a wartość atwów stego lieta w tm j portfelu zgodie z przpisaą mu wagą rza β. Wagi te sładają się a wetor wag β. W zaresie idei ostrucjej model wielocziow ie różi się od modelu jedocziowego, atomiast jest o zdecdowaie bardziej sompliowa, jeśli chodzi o sposób wliczaia wartości zagrożoej. W taim ujęciu wartość atwów opiswaa jest wzorem (22), a próg, w zależości od wersji modelu, jest idwidualie ustala dla poszczególch espozcji bądź też jest wspól dla poszczególch portfeli. J j, s = β + α, sε, s j= V z (22), gdzie ε, s jest cziiem specficzm stego dłużia w tm portfelu, a α, s współcziiem dla tego czia. Tradcjie, w momecie gd wartość atwów spadie poiżej wartości progu, astępuje iewpłacalość lieta. Koretm przładem modelu wielocziowego będzie model zależ od czia specficzego ε charaterstczego dla poszczególch espozcji, s oraz dwóch cziów tworzącch ombiacją liiową determiującą wartość czia sstematczego Z. Zmiea Z ształtowaa jest przez czi Ψ, tór wpłwa a wszstie espozcje, oraz czi F, tór oddziałuje tlo a espozcje z daego portfela. Siłę zależości zmieej Z od zmiech Ψ i F oreśla współczi λ. W modelu załada się, że zmiea Ψ i zmiee F mają rozład ormal stadardow i są iezależe. W rezultacie otrzmuje się wzór oreślając czi sstematcz: 2 Z = λ Ψ + λ F (23) Po podstawieiu wzoru (23) do wzoru (22) możliwe jest wzaczeie ostateczej postaci modelu determiującego zdolość redtową otraheta. DOI: /mba.ce

11 MBA. CE 5/202 Artuł 23 Kredtowa wartość zagrożoa w wbrach modelach cziowch W iiejszm artule wliczeia redtowej wartości zagrożoej przeprowadzoe zostaą dla: () modelu jedocziowego z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch; (2) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch; (3) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II, (4) uproszczoego modelu jedocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową, a taże dla (5) modelu wielocziowego z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową. Wselecjoowa zestaw modeli pozwoli a dooaie omplesowej oce modeli cziowch. W obliczeiach worzstae zostaą dae jedej z więszch, licecjoowach w Polsce isttucji redtowch. Dae obejmują ores prawie sześciu lat, od maja 2004 do wietia 200 r., i dotczą staów a oiec poszczególch miesięc. Obejmują oe miesięczch obserwacji. Dae dostępe są a poziomie poszczególch trasacji. Dla potrzeb aaliz empirczej wodrębioe został portfele: redtów mieszaiowch zabezpieczoch hipoteczie dla lietów detaliczch oraz redtów gotówowch dla lietów detaliczch. Wodrębieie wmieioch portfeli astąpiło a podstawie iformacji o tpie lieta oraz rodzaju espozcji redtowej. W wiu przeprowadzoego podziału powstał portfel redtów mieszaiowch zabezpieczoch hipoteczie (dalej azwa srótowo portfelem redtów mieszaiowch), sładając się z 43,4 ts. espozcji redtowch według stau a oiec wietia 200 r. o wartości 5,88 mld zł. Jest to portfel podmiotowo homogeicz o średiej wartości espozcji 35 ts. zł, zawierając espozcje deomiowae zarówo w złotch, ja i w walutach obcch. Wartość tego portfela oraz liczba espozcji sstematczie rosł w aalizowam oresie. Moża powiedzieć, że portfel te charaterzował się damiczm wzrostem. W maju 2004 r. a portfel te sładało się 8,6 ts. espozcji o wartości zaledwie 375,7 ml zł. W aalizowam oresie wartość tego portfela wzrosła o poad 5,5 mld zł, czli o o. 500%. Wartość średia pojedczej espozcji z olei wzrosła trzrotie w porówaiu do wartości z maja 2004 r. Kolejm wodrębiom portfelem jest portfel redtów gotówowch. Kredt gotówowe są to redt udzielae a dowol cel, dla tórch ie są ustaawiae zabezpieczeia. W odróżieiu od portfela redtów mieszaiowch wartość tego portfela w aalizowam oresie ie rosła sstematczie. W przpadu tego portfela możliwe jest wróżieie dwóch etapów jego rozwoju. Od maja 2004 do grudia 2007 r. jego łącz wolume bł dość stabil. Na oiec maja 2004 r. wosił 27,6 ml zł i przez trz i pół rou spadł do 23 ml zł. Warto prz tm zazaczć, że w oresie tm sstematczie rosła średia wartość pojedczej espozcji (z o. 4,5 ts. zł w grudiu 2007 do 3 ts. zł w maju 2004), zaczie spadała atomiast liczba espozcji z 72 ts. do 47 ts. W drugim etapie, tj. od grudia 2007 r. do wietia 200 r., portfel te charaterzował się damiczm wzrostem zarówo wartości portfela, liczb espozcji, ja i średiej wartości espozcji, tóre w wietiu 200 r. wiosł odpowiedio: 705 ml zł, 8,2 ts. zł, 8,7 ts. zł. DOI: /mba.ce

12 24 Artuł MBA. CE 5/202 W celu umożliwieia obliczeń w ramach ażdego z ta wodrębioch portfeli dae źródłowe poddae został przeształceiu. Dostępe dae został podzieloe a dae z poszczególch oresów miesięczch. Dla ażdego zestawu dach miesięczch wodrębioo dae opisowe pozwalające a oreśleie charatersti lieta oraz dae fiasowe worzstwae do wliczeń. Wśród dach fiasowch zalazł się m.i. iformacje o: zadłużeiu początowm będącm apitałem z poprzediego miesiąca, apitale ońcowm jao staie apitału (zadłużeia) a oiec daego miesiąca, początowej lasie przetermiowaia odpowiadającej przetermiowaiu z poprzediego miesiąca, ońcowej lasie przetermiowaia odpowiadającej przetermiowaiu z ońca daego miesiąca. Poadto wzaczoa została spłata doowaa w ciągu daego miesiąca. Z uwagi a fat, że ie bł dostępe bezpośredie iformacje o spłacie, za spłatę uzawaa bła zmiaa stau apitału do spłat, czli różica międz apitałem ońcowm oraz apitałem początowm (zadłużeiem ońcowm i początowm). Jedocześie prz ustalaiu spłat worzstaa została iformacja o sposobie zamięcia rachuów. Pozwalało to a uiięcie tratowaia zmia stau apitału jao spłat w stuacji, gd zmiaa stau wiała z umorzeia, restruturzacji cz też przewalutowaia redtu. Podczas przgotowwaia dach dooae został oret mające a celu usuięcie błędch zapisów. Z ażdego zestawu dach miesięczch usuięte został espozcje, dla tórch przetermiowaie w ciągu miesiąca wzrosło o więcej iż 3 di. Poadto zestaw dach został sorgowae o espozcje, dla tórch w wsoich lasach przetermiowaia zaobserwowae bardzo wsoie spłat. Wśród dach opisowch worzstae został taie dae ja: tp lieta, rodzaj produtu redtowego cz też waluta redtu. W efecie opisach powżej działań opracowa został zestaw dach, tór w dalszej części prac posłuż do wliczeń parametrów rza, taich ja: prawdopodobieństwo iewpłacalości oraz stop odzsu a momet iewpłacalości, a taże worzsta zostaie do testowaia jaości modeli pomiaru portfelowego rza redtowego espozcji wobec lietów detaliczch. Na podstawie dach historczch dotczącch wolumeów, odzsów oraz liczb iewpłacalości, wliczoe został wsaźii iezbęde do ustaleia redtowej wartości zagrożoej w wmieioch modelach cziowch. W tabelach 3 zaprezetowae został prawdopodobieństwa iewpłacalości, strat a momet iewpłacalości w rzsie (ag. dowtur LGD), orelacje wewątrzportfelowe zgode z Basel II i ustaloe a podstawie dostępch dach wewętrzch, a taże macierze orelacji międzportfelowej i macierz Choles ego. Tabela Parametr rza Parametr rza Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe Dowtur LGD 56,92% 76,30% PD,73% 6,82% Korelacje ustaloe a podstawie dostępch dach 2,99% 6,46% Korelacja zgoda z Basel II 5% 4,9% Źródło: opracowaie włase. DOI: /mba.ce

13 MBA. CE 5/202 Artuł 25 Tabela 2 Macierz orelacji Portfel redtow Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe redt mieszaiowe 00,0% 77,3% redt gotówowe 77,3% 00,0% Źródło: opracowaie włase. Tabela 3 Macierz Cholesego Portfel redtow Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe redt mieszaiowe 00,0% 0,0% redt gotówowe 77,3% 63,4% Źródło: opracowaie włase. W przpadu modelu dwucziowego ładui cziowe prezetuje tabela 4. Tabela 4 Ładui cziowe w modelu wpłacalości Kredt mieszaiowe Kredt gotówowe β 0,345 0,90 β 2 0,76 0,078 α 0,922 0,979 Źródło: opracowaie włase. Na podstawie przestawioch w iiejszm rozdziale parametrów wliczoa została redtowa wartość zagrożoa (tabela 5). Tabela 5 Kredtowa wartość zagrożoa dla modeli cziowch LP Nazwa modelu Zaagażowaie Model jedocziow z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch 2 Uproszczo model jedocziow z orelacjami wliczomi a podstawie dach wewętrzch 3 Uproszczo model jedocziow z orelacjami zgodmi z Basel II 4 Uproszczo model jedocziow z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową 5 Modelu dwucziow z orelacjami zgodmi z Basel II oraz uwzględiającego orelację międzportfelową Źródło: opracowaie włase. Kredtowa wartość zagrożoa Kredtowa wartość zagrożoa jao procet zaagażowaia ,76% ,75% ,83% ,5% ,53% DOI: /mba.ce

14 26 Artuł MBA. CE 5/202 Opierając się a uzsach wiach, moża wiosować, że w zależości od wbraego modelu cziowego redtowe wartości zagrożoe mogą zacząco różić się od siebie. Dla wbrach modeli redtowa wartość zagrożoa przjmowała wartości od 33 ml zł do 647 ml zł. Różice te wiają z worzstach parametrów w ramach poszczególch modeli oraz rodzaju modelu. Do elemetów wpłwającch a wii zaliczć ależ: () liczbę cziów w modelu, (2) wartość współczia orelacji węwątrzportfelowej, (3) uwzględieie bądź ieuwzględieie efetu orelacji międzportfelowej oraz (4) wbór wersji uproszczoej lub pełej modelu jedocziowego. Istota poszczególch elemetów oceioa zostaie poprzez aalizę modeli parami. Zaczeie postaci modelu W artule zaprezetowa został peł model, pozwalając a ustaleie redtowej wartości zagrożoej iezależie od wielości portfela redtowego oraz model uproszczo przezaczo dla portfeli redtowch sładającch się w teorii z iesończoej liczb espozcji redtowch. Ja moża zauważć, różica w redtowej wartości zagrożoej jest iezacza. W pratce ozacza to, że orzstiejsze w więszości przpadów ze względu a szbość obliczeń jest stosowaie modelu uproszczoego. Należ jeda pamiętać o ograiczeiach modelu uproszczoego i aalizować, cz możliwe jest jego stosowaie. Model te zwraca błęde rezultat, gd liczba espozcji w portfelu jest isa. Dodatowo w przpadu stosowaia modelu uproszczoego wstępują odchleia od redtowej wartości zagrożoej z pełego modelu, jeśli wartość współczia orelacji wewątrzportfelowej jest isa. Przładowo, gdb wartość współczia orelacji wosiła 0,5%, to różica międz redtowmi wartościami zagrożomi odiesioa do redtowej wartości zagrożoej z modelu uproszczoego osiągęłab poziom,5% w porówaiu do 0,% wstępującej, gd orelacja wewątrzportfelowa wosi 2,99% i 6,46% odpowiedio dla redtów mieszaiowch i gotówowch. Rola współczia orelacji wewątrzportfelowej Wartość współczia orelacji wewątrzportfelowej ie tlo determiuje, cz model uproszczo może bć stosowa, ale taże w zacząc sposób wpłwa a uzsae z modelu redtowe wartości zagrożoe. Wliczając redtową wartość zagrożoą dla modelu r 2, w tórm współczii orelacji wewątrzportfelowej woszą 2,99% i 6,46% odpowiedio dla redtów mieszaiowch i gotówowch oraz modelu r 3 z orelacjami wewątrzportfelowmi a poziomie 5% i 4,9%, uzsuje się redtowe wartości zagrożoe, różiące się o poad 50%. Porówując te dwa modele, warto przeaalizować redtowe wartości zagrożoe oddzielie dla portfela redtów mieszaiowch oraz portfela redtów gotówowch. Moża zauważć wted, że redtowa wartość zagrożoa rośie wraz ze wzrostem orelacji wewątrzportfelowej i maleje wraz z jej spadiem, prz czm zależość ta ie jest wprost proporcjoala. DOI: /mba.ce

15 MBA. CE 5/202 Artuł 27 Rola współczia orelacji międzportfelowej W rzeczwistości gospodarczej portfele espozcji redtowch rzado ie są z sobą w pełi sorelowae. Dlatego też wdaje się racjoale ujęcie efetu dwersfiacji w procesie szacowaia redtowej wartości zagrożoej. Uwzględieie w modelu orelacji międzportfelowej pozwoli a lepsze odzwierciedleie rzeczwistości gospodarczej i będzie sutować iższą redtową wartością zagrożoą. W artule przedstawio został zarówo model uwzględiając orelację międzportfelową (model 3), ja i załadając bra tej orelacji (model 4). Model trzeci załada idealą orelację międz portfelem redtów mieszaiowch a portfelem redtów gotówowch, podczas gd model 4 przjmuje istieie iedosoałej orelacji. W modelu tm współczi orelacji międzportfelowej wosi 77,3%, co ozacza, że portfele są z sobą dość silie sorelowae. Gd aalizuje się wii z tabeli 5, widać, że orelacja międzportfelowa w tm przpadu miała ograiczo wpłw a redtową wartość zagrożoą redtowa wartość zagrożoa zmiejszła się jedie o 3,35%. Wia to przede wszstim z wsoiej jej wartości dla modelu 4. Wpłw liczb cziów w modelu a redtową wartość zagrożoą W przpadu modeli cziowch moża wróżić modele jedo oraz wielocziowe. Liczba cziów w modelu ie wpłwa a redtową wartość zagrożoą, o ile obrazują oe to same zjawiso. Zarówo w przpadu modelu z jedm cziiem, ja i wieloma cziami redtowe wartości zagrożoe osiągają zbliżoe wartości. Dla pierwszego z tch modeli redtowa wartość zagrożoa wiosła 626 ml zł, a dla drugiego 628 ml zł. Podsumowaie W artule omówioo ideę modeli cziowch. Zaprezetowae został przcz ich rozwoju oraz potecjale zastosowaia. Dla wbrach modeli cziowch przedstawioo teorię, a astępie przeprowadzoo wliczeia redtowej wartości zagrożoej, bazując a dach jedej z dużch licecjoowach w Polsce isttucji redtowej. Ustaloo, że redtowe wartości zagrożoe dla poszczególch modeli zacząco różią się od siebie. Wazao, że ajwięsz wpłw a redtową wartość zagrożoą ma wartość orelacji wewątrzportfelowej oraz ujęcie bądź też ie orelacji międzportfelowej. W ziomm stopiu redtowa wartość zagrożoa w modelach cziowch zależ od liczb cziów ujętch w modelu, cz też form modelu (pełej bądź uproszczoej). Powższe wiosi uzsao, badając redtowe wartości zagrożoe zaprezetowae w tabeli 5. Dzięi aalizie modeli parami możliwe bło wizolowaie poszczególch efetów. Porówując model z modelem 2, w artule oceioo wpłw a wi uproszczoej oraz pełej formuł modelu. Aalizując modele 2 i 3, ustaloo z olei rolę wartości współczia orelacji wewątrzportfelowej. W przpadu aaliz modeli 3 i 5 wsazao a zaczeie orelacji międzportfelowej, zaś modeli 4 i 5 a rolę liczb cziów w modelu. Przeprowadzoe rozumowaie uwidaczia rolę założeń przjętch w modelach DOI: /mba.ce

16 28 Artuł MBA. CE 5/202 w szacowaiu redtowej wartości zagrożoej. Prz pomiarze rza z worzstaiem tego arzędzia ależ zadbać o dobór ajlepszego z możliwch modeli. Jedocześie trzeba pamiętać, że uzsae wartości ie staowią jedego i ostateczego rozwiązaia. Koiecze jest ich testowaie z worzstaiem wiedz esperciej cz też ich arzędzi, ja p. aaliza waruów srajch. B i b l i o g r a f i a Blac F., Scholes M. (973) The Pricig of Optios ad Corporate Liabilities. Joural of Political Ecoom, Vol. 8, No. 3, s , / Caouette B., Altma A.I., Naraaa P., Nimmo R.W.J. (2008) Maagig credit ris: The great challege for global fiacial marets. Hoboe, New Jerse: Joh Wile & Sos. Forest L.R., Beli Jr., B., Suchower J. (Q3 998) A Oe Parameter Represetatio of Credit Ris ad Trasitio Matrices. CreditMetrics Moitor, s Gallati R. (2003) Ris Maagemet ad Capital Adequac. New Yor: McGrawHill. Gupto G., Figer C., Bhatia M. (997) Credit Metrics TM techical documet, J.P. Morga worig paper, Hull J. (2003) Optios, Futures & Other Derivatives 5th Editio. New Jerse: Pretice Hall. Husches S., Vogl K., Waia R. (2004) Estimatio of Default Probabilities ad Default Correlatios, / _2. Jacowicz K. (200) Pochode istrumet redtowe (I). Defiicja i rodzaje pochodch istrumetów redtowch. Ba i Kredt, Vol. 33, No. 3, s Jarrow R., va Deveter D. (999) Practical usage of credit ris models i loa portfolio ad couterpart exposure maagemet: a update. W: D. Shimo (red.), Credit Ris: models ad maagemet. Lodo: Ris Publicatios. Kurłe W. (2003) Modelowaie rza portfela redtowego. Ba i Kredt, Vol. 34, No. 5, s Lucas A., Klaasse P., Spreij P., Straetmas S. (200) A aaltic approach to credit ris of large corporate bod ad loa portfolio. Joural of Baig ad Fiace, Vol. 25, No. 9, s Merto R. (974) O the pricig of corporate debt: the ris structure of iterest rates. Joural of Fiace, Vol. 29, No. 2, s Perli R., Nada W. (2003) Ecoomic ad regulator capital allocatio for revolvig retail exposures, FEDs worig paper No , s. 22. Sauders A. (200) Metod pomiaru rza redtowego. Kraów: Ofica Eoomicza. Sauders A., Alle L. (2002) Credit Ris Measuremet: ew approaches to value at ris ad other paradigms. Hoboe:. Wile Fiace. Schmid B. (2003), Credit Ris Pricig Models: Theor ad Practice. Berli: Spriger. Schoebucher P.J. (200) Factor Models for Portfolio Credit Ris. Joural of Ris Fiace, Vol. 3, No., s Wilso T. (998) Portfolio credit ris. FRBNY Ecoomic Polic Review, Vol. 4, No. 3, s Youg H., Helwege J., Huag. J.Z. (2004) Structural models of corporate bod pricig: a empirical aalsis. The Review of Fiacial Studies, Vol.7, No. 2, s DOI: /mba.ce

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM. Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych Bielecki Jakub Kawka Marci Porczk Krzsztof Węgrz Bartosz Zbiorcze baz dach Marzec 2006 Spis treści. Opis działalości bizesowej firm... 3 2. Omówieie struktur orgaizacjej... 4 3. Opis obszaru bizesowego...

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości

Bardziej szczegółowo

A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków

A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków COMPLEXITY CHARACTERISTICS OF CURRENCY NETWORKS A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka Zakład Teorii Sstemów Złożoch, Isttut Fizki Jądrowej PAN, Kraków Układ o wielkiej złożoości moża przedstawiać

Bardziej szczegółowo

kpt. dr inż. Marek BRZOZOWSKI kpt. mgr inż. Zbigniew LEWANDOWSKI Wojskowy Instytut Techniczny Uzbrojenia

kpt. dr inż. Marek BRZOZOWSKI kpt. mgr inż. Zbigniew LEWANDOWSKI Wojskowy Instytut Techniczny Uzbrojenia pt. dr iż. Mare BRZOZOWSKI pt. mgr iż. Zbigiew LEWANDOWSKI Wojsowy Istytut Techiczy Uzbrojeia METODA OKREŚLANIA ROZRÓŻNIALNOŚCI OBIEKTÓW POWIETRZNYCH PRZEZ URZĄDZENIA RADIOLOKACYJNE Z WYKORZYSTANIEM LOTÓW

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Konica Minolta Optimized Print Services (OPS) Oszczędzaj czas. Poprawiaj efektywność. Stabilizuj koszty. OPS firmy Konica Minolta

Konica Minolta Optimized Print Services (OPS) Oszczędzaj czas. Poprawiaj efektywność. Stabilizuj koszty. OPS firmy Konica Minolta Koica Miolta Optimized Prit Services (OPS) Oszczędzaj czas. Poprawiaj efektywość. Stabilizuj koszty. OPS firmy Koica Miolta Optimized Prit Services OPS Najlepszą metodą przewidywaia przyszłości jest jej

Bardziej szczegółowo

Problemy niezawodnościowo-eksploatacyjne. dotyczące układów zasilających. elektronicznego systemu bezpieczeństwa.

Problemy niezawodnościowo-eksploatacyjne. dotyczące układów zasilających. elektronicznego systemu bezpieczeństwa. aua Problemy iezawodościowo-esploatacyje uładów zasilających eletroicze systemy bezpieczeństwa Waldemar Szulc Wyższa Szoła Meedżersa w Warszawie, Wydział Iformatyi Stosowaej i Techi Bezpieczeństwa Streszczeie:

Bardziej szczegółowo

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013

Twoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013 Twoja firma Podręczik użytkowika Aplikacja Grupa V edycja, kwiecień 2013 Spis treści I. INFORMACJE WSTĘPNE I LOGOWANIE...3 I.1. Wstęp i defiicje...3 I.2. Iformacja o możliwości korzystaia z systemu Aplikacja

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 221 2015 Współczese Fiase 1 Tadeusz Czerik Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Fiasów i Ubezpieczeń Katedra

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Metoda podziału zbioru obiektów na wielokryterialne klastry jakościowe

Metoda podziału zbioru obiektów na wielokryterialne klastry jakościowe BIULET ISTTUTU SSTEMÓW IFOMATCZCH (03) Metoda podziału zbioru obietów na wielorterialne lastr jaościowe A. AMELJAŃCZK aameljancz@wat.edu.pl Insttut Sstemów Informatcznch Wdział Cberneti WAT ul. S. Kalisiego,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia

Wpływ religijności na ukształtowanie postawy wobec eutanazji The impact of religiosity on the formation of attitudes toward euthanasia Ewelia Majka, Katarzya Kociuba-Adamczuk, Mariola Bałos Wpływ religijości a ukształtowaie postawy wobec eutaazji The impact of religiosity o the formatio of attitudes toward euthaasia Ewelia Majka 1, Katarzya

Bardziej szczegółowo

DEA podstawowe modele

DEA podstawowe modele Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Metody Podejmowania Decyzji

Metody Podejmowania Decyzji Metody Podejmowaia Decyzji Wzrost liczby absolwetów w Politechice Wrocławsiej a ieruach o luczowym zaczeiu dla gospodari opartej a wiedzy r UDA-POKL.04.0.0-00-065/09-0 Recezet: Prof. dr hab. iż. Ja Iżyowsi

Bardziej szczegółowo

Dlaczego potrzebna jest reforma ochrony danych w UE?

Dlaczego potrzebna jest reforma ochrony danych w UE? Dlaczego potrzeba jest reforma ochroy daych w UE? Uija dyrektywa o ochroie daych z 1995 r. staowiła kamień milowy w historii ochroy daych osobowych. Jej podstawowe zasady, zapewiające fukcjoowaie ryku

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb! Projekt wsp,ł.iasoway ze 4rodk,w Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał pomociczy dla auczycieli kształcących w zawodzieb "#$%&'( ")*+,"+(' -'#.,('#. przygotoway w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny. OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość

Bardziej szczegółowo

Mirosława Gazińska. Magdalena Mojsiewicz

Mirosława Gazińska. Magdalena Mojsiewicz STUDIA DEMOGRAFICZNE 1(145) 2004 Mirosława Gazińska Katedra Ekoometrii i Statystyki Magdalea Mojsiewicz Katedra Ubezpieczeń i Ryków Kapitałowych Uiwersytet Szczeciński MODELOWANIE CZASU TRWANIA ŻYCIA BEZ

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Agieszka Staimir Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Wprowadzeie W badaiach społeczo-ekoomiczych bardzo często występują zmiee

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION STUDIA INFORMATICA 2013 Volume 34 Number 2A (111) Alia MOMOT Politechika Śląska, Istytut Iformatyki Michał MOMOT Istytut Techiki i Aparatury Medyczej ITAM PERSPEKTYWY ZASTOSOWAŃ METOD STATYSTYCZNYCH W

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Instalacje i Urządzenia Elektryczne Automatyki Przemysłowej. Modernizacja systemu chłodzenia Ciągu Technologicznego-II część elektroenergetyczna

Instalacje i Urządzenia Elektryczne Automatyki Przemysłowej. Modernizacja systemu chłodzenia Ciągu Technologicznego-II część elektroenergetyczna stalacje i Urządzeia Eletrycze Automatyi Przemysłowej Moderizacja systemu chłodzeia Ciągu echologiczego- część eletroeergetycza Wyoali: Sebastia Marczyci Maciej Wasiuta Wydział Eletryczy Politechii Szczecińsiej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI

ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI STUDIA EKONOMICZNE 1 ECONOMIC STUDIES NR 3 (LLXXVIII) 2013 Dariusz Siuda* ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI WPROWADZENIE Migracja wartości polega a odpływie wartości z jedego przedsiębiorstwa

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów,

Bardziej szczegółowo

Zmiany w zarządzaniu jakością w polskich szpitalach

Zmiany w zarządzaniu jakością w polskich szpitalach Łopacińska Hygeia Public I, Tokarski Health 2014, Z, Deys 49(2): A. 343-347 Zmiay w zarządzaiu jakością w polskich szpitalach 343 Zmiay w zarządzaiu jakością w polskich szpitalach Quality maagemet chages

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE FINANSAMI

ZARZĄDZANIE FINANSAMI STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ WIELKOPOLSKI W POZNANIU ZARZĄDZANIE FINANSAMI WYBRANE ZAGADNIENIA (1/2) DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - 1 SPIS TREŚCI 1. RYZYKO W ZARZĄDZANIU FINANSAMI... 4 1.1.

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Siemens. The future moving in.

Siemens. The future moving in. Ogrzewaczy wody marki Siemes zae są a rykach całego świata. Ich powstawaiu towarzyszą ambite cele: stale poszukujemy iowacyjych, przyszłościowych rozwiązań techologiczych, służących poprawie jakości życia.

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA 1. ZAMAWIAJĄCY TALEX S.A., ul. Karpia 27 d, 61 619 Pozań, e mail: cetrumit@talex.pl 2. INFORMACJE OGÓLNE 2.1. Talex S.A. zaprasza do udziału w postępowaiu przetargowym,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Siłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych.

Siłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych. Siłowie ORC sposobem a wykorzystaie eergii ze źródeł iskotemperaturowych. Autor: prof. dr hab. Władysław Nowak, Aleksadra Borsukiewicz-Gozdur, Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy w Szczeciie, Katedra

Bardziej szczegółowo

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI Ryszard Budziński, Marta Fukacz, Jarosław Becker, Uiwersytet Szczeciński, Wydział Nauk Ekoomiczych i Zarządzaia, Istytut Iformatyki w

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo