KLASYFIKACJA SPEKTRALNA Z WYKORZYSTANIEM ODLEG O CI GDM 1

Transkrypt

1 Mae Walesia, Andzej Dude Uniwesytet Eonomiczny we Woc awiu KLASYFIKACJA SPEKTRALNA Z WYKORZYSTANIEM ODLEG O CI GDM 1 Steszczenie: W atyule zapoponowano modyfacj metody lasyfacji spetalnej. W tym celu w poceduze tej metody (zob. [Ng, Jodan, Weiss 00]) pzy wyznaczaniu maciezy podobie stwa (affinity mati) w onstucji estymatoa j dowego zastosowano odleg o GDM1 pzy lasyfacji danych metycznych oaz GDM pzy lasyfacji danych poz dowych. Ponadto pzetestowano pzydatno metod lasyfacji spetalnej (w tym metody z odleg o ci GDM) w poównaniu z lasycznymi metodami analizy supie dla wygeneowanych danych o znanej stutuze las, wyozystuj c do oceny zgodno ci wynów lasyfacji soygowany indes Randa (zob. [Hubet, Aabie 1985]). 1. Wst p Od o ca XX wieu w liteatuze powiconej analizie danych ozwija si analiza supie bazujca na deompozycji spetalnej (spectal clusteing). W atyule schaateyzowane zostan óne waianty lasyfacji spetalnej. Zastosowana zostanie odlego GDM w onstucji estymatoa jdowego sucego do obliczenia maciezy podobie stw w lasyfacji spetalnej. Pozwoli to wyozysta t metod pzy lasyfacji danych zaówno metycznych (GDM1), ja i pozdowych (GDM). Pzetestowana zostanie pzydatno metod lasyfacji spetalnej (w tym z wyozystaniem odlegoci GDM) oaz lasycznych metod analizy supie dla wygeneowanych danych o znanej stutuze las. Analiz poównawcz metod lasyfacji dla danych o znanej stutuze las pzepowadzono dla tzech typów danych.. Miaa odlegoci GDM W pacy Walesiaa [00] zapoponowano uogólnion mia odlegoci GDM (The Genealised Distance Measue), w onstucji tóej wyozystano ide uogólnionego wspóczynna oelacji obejmujcego wspóczynn oelacji liniowej Peasona i wspóczynn tau Kendalla: 1 Atyu powsta w amach dzia alno ci statutowej Katedy Eonometii i Infomatyi (Mae Walesia) oaz w amach pojetu badawczego MNiSW pt. Obiety symboliczne w wielowymiaowej analizie statystycznej n NN (Andzej Dude).

2 16 Mae Walesia, Andzej Dude m m n ajbij a iljblj j j l l i, d, d 1 [0;1], (1) m n m n ailj blj j1 l1 j1 l1 gdzie: d miaa odlegoci GDM1 dla danych metycznych i GDM dla danych pozdowych, l,, 1,, n numey obietów, j 1,, m nume zmiennej. Dla zmiennych miezonych na sali iloazowej i(lub) pzedziaowej w fomule (1) stosowane jest podstawienie (odlego GDM1): gdzie: ij ( j, lj ) a b i p j j ij j pj j dla dla i-ta (-ta, l-ta) obsewacja na j-tej zmiennej. p,l, () i, l Zasób infomacji sali pozdowej jest niepoównanie mniejszy. Jedyn dopuszczaln opeacj empiyczn na sali pozdowej jest zliczanie zdaze (tzn. wyznaczanie liczby elacji wszoci, mniejszoci i ównoci). W onstucji miena odlegoci musi by wyozystana infomacja o elacjach, w jaich pozostaj poównywane obiety w stosunu do pozostaych obietów ze zbiou obietów. Dla zmiennych miezonych na sali pozdowej w fomule (1) stosuje si podstawienie (odlegogdm zob. [Walesia 1993, s ]): a i p j b j 1 dla ij " pj j " j! 0 dla ij! pj j! j, 1 dla ij pj j j dla p =, l; = i, l. (3) Wasnoci oaz ezultaty bada symulacyjnych miay (1) zawiea m.in. paca Walesiaa [006]. 3. Pocedua lasyfacji spetalnej W lasyfacji spetalnej piewotne dane z pzestzeni m-wymiaowej pzesztacone zostaj, pzez wyznaczenie wetoów wasnych maciezy Laplace a, w zbió danych o liczbie wymiaów odpowiadajcych liczbie las u.

3 Klasyfacja spetalna z wyozystaniem odleg o ci GDM 163 Pocedua lasyfacji spetalnej zapoponowana pzez autoów, taich ja Ng, Jodan i Weiss [00], obejmuje nast puj ce etapy (zob. [Walesia, Dude 009b]): 1. Konstucja maciezy danych X ] o wymiaach n m ( i 1,, n nume obietu, j 1,, m nume zmiennej). Dla danych metycznych nale y pzepowadzi nomalizacj watoci zmiennych.. Zastosowanie estymatoa j dowego do obliczenia maciezy podobiestw A A (affinity mati) mi dzy obietami. Maciez podobiestw A A ma [ ij nast puj ce waciwoci [Peona, Feeman 1998, s. 3]: A [0;1], 1, A A i. W pezentowanym algoytmie elementy z gównej pze tnej maciezy A A zast piono zeami ( A 0 ). ii / 1/ 3. Konstucja znomalizowanej maciezy Laplace a L D AD (D diagonalna maciez wag, w tóej na gównej pze tnej znajduj si sumy a dego wiesza z maciezy A A, a poza gówn pze tn s zea). W zeczywistoci znomalizowana maciez Laplace a pzyjmuje posta : I L. Wasnoci tej maciezy pzedstawiono m.in. w pacy von Lubug [006, s. 5]. W algoytmie dla uposzczenia analizy pomija si maciez jednostow I. 4. Obliczenie watoci wasnych i odpowiadaj cych im wetoów wasnych (o dugoci ównej jeden) dla maciezy L. Upoz dowanie wetoów wasnych wedug malej cych watoci wasnych. Piewsze u wetoów wasnych (u liczba las) twozy maciez E o wymiaach n u. e ij i, 1 5. Pzepowadza si nomalizacj tej maciezy zgodnie ze wzoem u yij eij eij ( i 1,, n nume obietu, j 1,, u nume zmiennej, j1 u liczba las). Dzi i tej nomalizacji dugo a dego wetoa wieszowego maciezy Y jest ówna jeden. y ij 6. Maciez Y stanowi punt wyjcia zastosowania lasycznych metod analizy supie (poponuje si tutaj wyozystanie metody -ednich). Istniej odmiany analizy spetalnej ó ni ce si : a. Typem estymatoa j dowego w etapie. Zwyle wyozystuje si tutaj estymato gaussowsi bazuj cy na wadacie odlegoci eulidesowej (zob. [Kaatzoglou 006, s. 6]): A ep( ),, 1,, n, (4) d gdzie: d odlego eulidesowa mi dzy obietami i oaz, (szeoo pasma enel width). A ii paamet sali

4 164 Mae Walesia, Andzej Dude Inne estymatoy j dowe stosowane w lasyfacji spetalnej zawate s w pa- [006, s ] oaz Polanda i Zeugmanna [006] i obejmuj m.in.: cach Kaatzoglou j do wielomianowe, j do liniowe, j do w postaci tangensa hipebolicznego, j do Bessela, j do Laplace a, j do ANOVA, j do a cuchowe (dla danych testowych). b. Fomu onstucji maciezy Laplace a w etapie 3 (zob. np. [Vema, Meila 003; von Lubug 006]): nienomalizowana maciez Laplace a: znomalizowana maciez Laplace a: L D A, (5) 1 L D A. (6) Dla tych onstucji maciezy Laplace a pocedua lasyfacji spetalnej jest te inna (zob. [Shoteed 006, s ]). Zasadnicze znaczenie w lasyfacji spetalnej maj dwa paamety: oznaczaj cy szeoo pasma (enel width) oaz u oznaczaj cy liczb supie. Paamet ma fundamentalne znaczenie w lasyfacji spetalnej. W liteatuze zapoponowano wiele heuystycznych sposobów wyznaczania wato ci tego paametu (zob. np. pace: [Zeln-Mano, Peona 004; Fische, Poland 004; Poland, Zeugmann 006]). W metodach heuystycznych wyznacza si wato na podstawie pewnych statysty opisowych maciezy odleg o ci [d ]. Lepszy sposób wyznaczania paametu zapoponowa Kaatzoglou [006]. Poszuuje si taiej wato ci paametu, tóa minimalizuje wewn tzlasow sum wadatów odleg o ci pzy zadanej liczbie las u. Jest to heuystyczna metoda poszuiwania minimum loalnego. Zbli ony oncepcyjnie algoytm znajdowania optymalnego paametu zapoponowano w pacy Walesiaa i Duda [009b]. Z maciezy danych X (ze znomalizowanej maciezy danych dla danych metycznych) wybieana jest póba bootstapowa X s adaj c si z n obietów opisanych wszystimi m zmiennymi. Wato n jest najcz ciej ta dobieana, aby 1 n n 3 n. 4 Pocz towy pzedzia pzeszuiwania optymalnej wato ci paametu usta- lany jest jao S 0 = [0; D] (gdzie D oznacza sum odleg o ci d w maciezy odlego ci). Dalsza pocedua iteacyjna jest nastpuj ca: Ko 1. Pzedzia S (gdzie oznacza nume iteacji; na pocz tu S = S 0 ) dzie- lony jest na R pzedzia ów jednaowej d ugo ci p [ p ; p ], 1,, R (np. R = 10). Ko. Dla a dego pzedzia u wszystich wato ci ustalon liczb las u. p p p obliczamy jego ode: pzepowadzana jest lasyfacja spetalna zbiou X na. Dla

5 Klasyfacja spetalna z wyozystaniem odleg o ci GDM 165 Ko 3. Wybieane jest taie, dla tóego suma odleg o ci wewn tzla- sowych jest minimalna. Ko 4. Je li dla wybanego zachodzi nieówno p (domy lnie 3 pzyjto 10 ), algoytm oczy dzia anie. W pzeciwnym pzypadu pzechodzi si z wybanym pzedzia em do ou 1 i ontynuuje pocedu. Podobnie ja w pzypadu lasycznych metod lasyfacji zachodzi potzeba ustalenia optymalnej liczby las. Algoytm wyznaczenia optymalnej liczby las zapoponowa Giolami [00]. Maciez podobiestw (affinity mati) A poddawana jest deompozycji T A U U, gdzie U jest maciez wetoów w asnych maciezy A s adaj c si z wetoów u1, u,, un, a jest maciez diagonaln zawieaj c wato ci w asne 1,,, n. T Obliczany jest weto K ( 1,,, n ), gdzie T i i 1n ui ( 1 weto n o wymiaach 1 n zawieajcy watoci 1 n ). Weto K jest pozdowany malejco, a liczba jego dominujcych elementów (wyznaczona np. pzez yteium osypisa) wyznacza optymaln liczb supie u, na tó algoytm lasyfacji spetalnej powinien podzieli zbió badanych obietów. 4. Popozycja poceduy lasyfacji spetalnej z mia odleg!o"ci GDM W atyule poponowana jest modyfacja metody lasyfacji spetalnej umooaz pozdowych. liwiajca jej zastosowanie w lasyfacji danych metycznych W tym celu w ou poceduy w onstucji estymatoa jdowego zastosowano odleg#o GDM: A A ep( % $ d ), (7) gdzie: & paamet sali (szeoo pasma enel width), d odleg#o GDM midzy obietami i oaz dla danych metycznych o postaci (1) z podstawieniem () oaz staci (1) z podstawieniem 3. Zastosowanie odleg#oci GDM o postaci (1) z podstawieniem (3) w onstucji estymatoa jdowego umoliwia analiz danych pozdowych w lasyfacji spetalnej ( zob. [Walesia, Dude 009b]). Dane piewotne X ' ] miezone dla danych pozdowych o po- s na sali pozdowej. W wynu zastosowania estymatoa jdowego z odleg#o- ci GDM podobiestwa w maciezy A miezone s na sali pzedzia#o- A [ ij

6 166 Mae Walesia, Andzej Dude wej. Ostatecznie w ou 5 otzymuje si metyczn maciez danych Y o wymiaach n u. Pozwala to na zastosowanie w lasyfacji dowolnych metod analizy supie (w tym metod bazuj cych bezpo ednio na maciezy danych, np. metody - ednich). 5. Analiza poównawcza metod lasyfacji dla danych o znanej stutuze las Analiz poównawcz metod lasyfacji dla danych o znanej stutuze las pzepowadzono dla tzech typów danych. W dwóch piewszych espeymentach wyozystano dane metyczne oaz po- z wyozystaniem funcji cluste.gen paietu clustesim (zob. [Walesia, Dude 009a]). z dowe o znanej stutuze las obietów wygeneowane Chaateysty czteech modeli wyozystanych w analizie symulacyjnej pezentuje tab. 1. Tabela 1. Chaateystya modeli w analizie symulacyjnej Model v n* cl lo odi ci o ci las Maciez owaiancji s (1,5; 6, 3), (3; 1; 6) (4,5; 18; 9) 5, , 0, 5, 5, 0 (5; 5), ( 3; 3), (3; 3), (0; 0), ( 5; 5) 3 6, ( 4; 5), (5; 14), ( 14; 5), ( 5; 4) , 60, 35 (0; 4), (4; 8), (8; 1) 1 ( 1 j 3), 1 jj ,9, 3 0, 9 1, 0, 9 jj jl 1, 0 3 jj jl 1 0,9 1 0,9 1, 1, 5 0, 0 1,5 1 0,5 3 0,5 1 * tylo dla danych poz!dowych; v liczba zmiennych, n liczba ategoii (jedna liczba oznacza sta"! liczb ategoii); cl liczba las; lo liczba obietów w lasach (jedna liczba oznacza lasy ównoliczne) ; s szta"t supie# (1 supienia wyd"u one, supienia wyd"u one i s"abo sepaowalne, 3 supienia nomalne, 4 supienia zó nicowane dla las). $ód"o: opacowanie w"asne. W espeymencie tzecim zbioy danych (zob. ys. 1) utwozono z wyozystaniem funcji paietu mlbench (spials, smiley, cassini) oaz zbioów w%asnych (woms, w3, sad). 4

7 Klasyfacja spetalna z wyozystaniem odleg o ci GDM 167 Dla modeli w a dym espeymencie wygeneowano 0 zbioów danych, pzepowadzono pocedu lasyfacyjn i poównano otzymane ezultaty lasyfacji ze znan stutu las za pomoc soygowanego indesu Randa [Hubet, Aabie 1985]. Dla danych metycznych (espeymenty 1 i 3) uwzgl dniono nast puj ce metody lasyfacji: 1. specc1 lasyfacja spetalna z j dem gaussowsim i z paietu enlab;. specc lasyfacja spetalna z j dem gaussowsim i z atyu u; 3. speccgdm1 lasyfacja spetalna z odleg o ci GDM1 i z atyu u; 4. means metoda - ednich; 5. pam metoda -medoidów; 6. complete metoda ompletnego po czenia; 7. aveage metoda edniej lasowej; 8. wad metoda Wada; 9. centoid metoda oda ci o ci; 10. diana hieachiczna metoda deglomeacyjna. Dla metod o numeach 5-10 zastosowano odleg o GDM1 oaz wadat odleg- o ci eulidesowej. Dla danych poz dowych (espeyment ) uwzgl dniono w analizie metody lasyfacji o numeach 5-10 z odleg o ci GDM oaz lasyfacj spetaln z odleg o ci GDM i z atyu u (speccgdm) Rys. 1. Pzy adowe zbioy danych utwozone z wyozystaniem funcji paietu mlbench (spials, smiley, cassini) oaz zbioów w asnych (woms, w3, sad) ód o: opacowanie w asne z wyozystaniem pogamu R.

8 168 Mae Walesia, Andzej Dude Tabela pezentuje upoz dowanie analizowanych metod lasyfacji wed ug ednich wato ci soygowanego indesu Randa policzonego z 0 symulacji dla danych metycznych wygeneowanych w paiecie clustesim. W pzypadu zbioów danych metycznych bez zmiennych za ócaj cych metody lasyfacji spetalnej, z pewnymi wyj tami, daj gosze ezultaty od lasycznych metod analizy supie. Uwzgl dnienie zmiennych za ócaj cych (wyst puj cych zwyle w zeczywistych poblemach lasyfacyjnych) poazuje wya n pzewag metod lasyfacji spetalnej w odywaniu zeczywistej stutuy las. Poponowana metoda speccgdm1 daje zbli one, cho nieco gosze, ezultaty do metody lasyfacji spetalnej z j dem gaussowsim. Tabela. Upozdowanie analizowanych metod lasyfacji wedug ednich watoci soygowanego indesu Randa dla danych metycznych wygeneowanych w paiecie clustesim Metoda ednia Kszta t supie Liczba zmiennych za ócaj cych (7+8+9)/ specc 0, ,98 6/7 0, , ,94 7/8 0,87 5/6 0, ,487 specc1 0,681 0, , , ,94 6/7 0,795 8/9 0,73 0,54 1 speccgdm1 0, ,906 7/8 0,711 7/6 0, ,866 8/10 0,800 7/8 0, ,467 3 aveage 0, , , , , ,887 0, ,356 4 aveage b 0, , ,83 0, , , , ,350 4 pam a 0, , ,830 0, ,94 5 0, ,47 4 0,3 5 pam b 0, , , , ,94 6 0, ,47 4 0,3 5 wad a 0, , ,88 3 0, ,973 0, , ,30 6 wad b 0, , , , ,97 3 0,889 0, ,319 6 centoid a 0,56 7 0, ,80 4 0, , , ,46 7 0,67 7 centoid b 0, , ,78 4 0, , , ,69 9 0,01 10 diana a 0, , , , , , , ,60 8 diana b 0,51 7 0, , , , ,83 7 0, ,96 7 means 0,45 9/8 0, , , ,978 1/ 0,789 9/10 0,371 9/8 0,195 9/8 complete a 0, , , ,800 0,86 9 0, , , complete b 0, , , ,800 0,95 5 0,85 5 0, ,101 9 Uwzgl dnienie dla lasycznych metod analizy supie odleg o ci GDM1 oaz wadatu odleg o ci eulidesowej daje zbli one ezultaty, je li chodzi o stopie odywania zeczywistej stutuy las. Tabela 3 pezentuje upoz dowanie analizowanych metod lasyfacji wed ug ednich wato ci soygowanego indesu Randa policzonego z 0 symulacji dla danych poz dowych wygeneowanych w paiecie clustesim. W pzypadu zbioów danych poz dowych bez zmiennych za ócaj cych najlepsza jest metoda Wada. Metoda lasyfacji spetalnej speccgdm daje gosze ezultaty od lasycznych metod analizy supie. Nale y jedna pami ta, e zbioy tego typu badzo zado wyst puj w zeczywistych poblemach lasyfi- a z odlegoci GDM1; b z wadatem odlegoci eulidesowej. 6/7 pozyc ja me tody, gdy dla lasycznych metod analiz y supie stosujemy odleg o GDM1/wadat odlego ci eulidesowej. ódo: obliczenia wasne z wyozystaniem pogamu R.

9 Klasyfacja spetalna z wyozystaniem odleg o ci GDM 169 acyjnych. Uwzgl dnienie zmiennych za ócaj cych poazuje wya n pzewag metody lasyfacji spetalnej speccgdm. Tabela 3. Upoz dowanie analizowanych metod lasyfacji wed ug ednich wato ci soygowanego indesu Randa dla danych poz dowych wygeneowanych w paiecie clustesim Metoda ednia (7+8+9)/3 Kszta t supie Liczba zmiennych za ócaj cych speccgdm 0, , , , ,61 6 0, , ,510 1 aveage 0, 599 1, , , ,947 0,980 0, ,339 pam 0, , , , , , ,480 0,318 3 wad 0, , , , , ,98 1 0, ,317 4 centoid 0,56 5 1, ,973 1, , ,980 0, ,74 5 diana 0, , , , , ,8 6 0, ,49 6 complete 0, ,94 6 0, , , , ,96 7 0,155 7 ód o: obliczenia w asne z wyozystaniem pogamu R. Ta bela 4 pezentuje upo z dowanie analizowanych m etod lasyfa cji wed ug ednich watoci soygowanego indesu Rand a policzonego z 0 symulacji d la danych metycznych z paietu mlbench i danych w asnych. Tabela 4. Upoz dowanie analizowanych metod lasyfacji wed ug ednich wato ci soygowanego indesu Randa dla danych metycznych z paietu mlbench i danych w asnych Metoda ednia Zbioy danych spials woms w3 smiley cassini sad specc1 0, , ,795 0, ,837 /3 0,759 6/5 0,715 3 specc 0,79 0,866 0, ,70 0,797 3/5 0,754 7/6 0,767 1 speccgdm1 0, , , , ,870 1/ 0,796 5/3 0,7 wad 0, ,04 6 0, , , ,935 0,348 9 b wad 0, , , , , , 844 0,611 5 pam a 0,44 4 0, , , , , ,374 8 pam b 0,44 5 0, , , , , , aveage a 0, ,06 9 0, , , , ,455 7 aveage b 0, ,09 7 0,43 8 0, , , ,48 8 centoid a 0, , ,43 7 0, , ,87 4 0,466 6 centoid b 0, , , ,00 6 0,85 4 0, ,473 9 diana a 0, , ,45 5 0, , ,5 10 0, diana b 0, , , , ,67 8 0, ,651 4 means 0, ,031 8/6 0,455 4/6 0, ,63 6/9 0,595 9/7 0,519 4/6 complete a 0, , , , , ,70 8 0,475 5 complete b 0, , ,44 9 0,00 5 0, , ,505 7 a z odle g o ci GDM1; b z wadatem odleg o ci eulid esowej. 8/6 pozycja metody, gdy dla lasycznych metod analizy supie stosujemy odle g o GDM1/wadat odleg o ci eulidesowej. ód o: obliczenia w asne z wyozystaniem pogamu R.

10 170 Mae Walesia, Andzej Dude Dla nietypowych zbioów danych metody lasyfacji spetalnej zdecydowanie lepiej od lasycznych metod analizy supie odywaj pawid ow stutu las. Poponowana metoda speccgdm1 daje zbli one ezultaty do metody lasyfacji spetalnej z j dem gaussowsim. Liteatua Fische I., Poland J., New Methods fo Spectal Clusteing, Technical Repot No. IDSIA-1-04, Dalle Molle Institute fo Atificial Intelligence, Manno-Lugano, Switzeland 004. Giolami M., Mece enel-based clusteing in featue space, IEEE Tansactions on Neual Netwos 00 vol. 13, no 3, Hubet L.J., Aabie P., Compaing patitions, Jounal of Classification 1985 no 1, Kaatzoglou A., Kenel Methods. Softwae, Algoithms and Applications, Rozpawa dotosa, Uniwesytet Techniczny w Wiedniu 006. Ng A., Jodan M., Weiss Y., On Spectal Clusteing: Analysis and an Algoithm, [w:] Advances in Neual Infomation Pocessing Systems 14, T. Dietteich, S. Bece, Z. Ghahamani (ed.), MIT Pess, 00, Peona P., Feeman W.T., A Factoization Appoach to Gouping, Lectue Notes In Compute Science, vol. 1406, Poceedings of the 5th Euopean Confeence on Compute Vision, volume I, 1998, Poland J., Zeugmann T., Clusteing the Google Distance with Eigenvectos and Semidefinite Pogamming. Knowledge Media Technologies, Fist Intenational Coe-To-Coe Woshop, Dagstuhl, July 3-7, Gemany 006 (Klaus P., Jante & Gunthe Keuzbege (ed.), Disussionsbeitäge, Institut fü Medien und Kommunationswisschaft, Technische Univesität Ilmenau, no 1, July 006). Shoteed S., Leaning in Spectal Clusteing, Rozpawa dotosa, Univesity of Washington, 006. Vema D., Meila M., A Compaison of Spectal Clusteing Algoithms, Technical epot UW-CSE , Univesity of Washington 003. von Lubug U., A tutoial on Spectal Clusteing, Ma Planc Institute fo Biological Cybenetics, Technical Repot TR-149, 006. Walesia M., Dude A.,clusteSim pacage, URL 009a. Walesia M., Dude A., Odleg o GDM dla danych poz dowych a lasyfacja spetalna, [w:] Pace Nauowe Uniwesytetu Eonomicznego we Woc awiu n 84 (w duu ), Woc aw 009b. Walesia M., Popozycja uogólnionej miay odleg o ci w statystycznej analizie wielowymiaowej, [w:] J. Paadysz (ed.), Statystya egionalna w s ubie samoz du loalnego i biznesu, Intene- towa Oficyna Wydawnicza, Centum Statystyi Regionalnej, Aademia Eonomiczna w Poznaniu, Pozna 00, s Walesia M., Statystyczna analiza wielowymiaowa w badaniach maetingowych, Pace Nauowe Aademii Eonomicznej we Woc awiu n 654, Seia: Monogafie i Opacowania n 101, AE, Woc aw Wal esia M., Uogólniona miaa odleg o ci w statystycznej analizie wielowymiaowej, Wydanie dugie ozszezone, AE, Woc aw 006. Zeln-Mano L., Peona P., Self-Tuning Spectal Clusteing, [w:] Poceedings of the 18th Annual Confeence on Neual Infomation Pocessing Systems (NIPS'04), html, 004.

11 Klasyfacja spetalna z wyozystaniem odleg o ci GDM 171 SPECTRAL CLUSTERING WITH THE USE OF GDM DISTANCE Summay: In the aticle, the poposal of spectal clusteing method, based on pocedue of Ng, Jodan and Weiss [00], is pesented. In constuction of affinity mati we implement enel function with GDM1 distance fo classification of metic data and GDM distance fo classification of odinal data. The aticle evaluates, based on thee types of data simu- lated, ten clusteing methods (thee spectal clusteing methods, seven classical clusteing methods). Each clusteing esult was compaed with nown cluste stuctue fom models applying Hubet and Aabie s [1985] coected Rand inde.