Jeden obraz bywa lepszy niż 1000 słów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jeden obraz bywa lepszy niż 1000 słów"

Ryszard Barański
8 lat temu
Przeglądów:

1 Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Konferencja Na płaszczyźnie i w przestrzeni, Ameliówka X 2013

2 = 1 4

3 = 1 4

4 = = = 5 9

5 (2n 1) = n 2

6 (2n 1) = n 2

7 (2n 1) = n 2

8 (2n 1) = n 2

9 (2n 1) = n (2n 1) = 1 4 (2n)2 = n 2

10 1 3 = = = =...

11 1 3 = = = =...

12 n = n(n + 1) 2

13 n = n + 1 2

14 n = n + 1 2

15 Dla n nieparzystych, liczba n 2 daje przy dzieleniu przez 8 resztę 1.

16 Liczba i jej odwrotność

17 Liczba i jej odwrotność x + 1 x 2 4

18 Liczba i jej odwrotność x + 1 x 2 4 x + 1 x 2 dla x > 0

19 Średnia arytmetyczna i geometryczna

20 Średnia arytmetyczna i geometryczna (a + b) 2 4ab

21 Średnia arytmetyczna i geometryczna (a + b) 2 4ab a + b 2 ab dla a, b > 0

22 Średnia geometryczna i harmoniczna

23 Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab ab 4 a + b 2

24 Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab ab 4 a + b 2ab ab a + b 2

25 Średnia geometryczna i harmoniczna 2 ab 2 ab 4 a + b 2ab ab a + b 2 ab 1 a + 1 dla a, b > 0 b

26 Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

27 Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 2 n+1 = 4F n F n 1 + F 2 n 2 dla n 3

28 Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 2 n+1 = 4F n F n 1 + F 2 n 2 dla n 3

29 Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 F 3 n+1 = F 3 n + F 3 n 1 + 3F n 1 F n F n+1 dla n 2

30 Liczby Fibonacciego F 1 = 1, F 2 = 1, F n+1 = F n + F n 1 dla n 2 F 3 n+1 = F 3 n + F 3 n 1 + 3F n 1 F n F n+1 dla n 2

31 Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków.

32 Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków.

33 Sześciokąt foremny podzielono na romby jednostkowe. Wówczas jest po tyle samo rombów w każdym z kierunków. Łącznie jest 3n 2 rombów.

34 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

35 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

36 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

37 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

38 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

39 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

40 Całka to pole pod wykresem 1 0 ( t a + t 1 a ) dt = 1 dla a > 0

41 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

42 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

43 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

44 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

45 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

46 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

47 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

48 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

49 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

50 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

51 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

52 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90

53 Wzory na sin(α + β) oraz cos(α + β) dla α + β < 90 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos αcosβ sin α sin β

54 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

55 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

56 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

57 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

58 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

59 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

60 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

61 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

62 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

63 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

64 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90

65 Wzór na tg(α + β) dla α + β < 90 tg(α + β) = tg α + tg β 1 tg α tg β

66 Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1.

67 Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1

68 Jeśli α + β + γ = 90, to tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1

69 Tożsamości trygonometryczne: arc tg

70 Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 2 + arc tg 3 = 180

71 Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg 1 2 = arc tg 3

72 Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg arc tg 1 3 = 90

73 Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg 1 + arc tg arc tg 1 3 = 90 arc tg arc tg 1 3 = 45

74 Tożsamości trygonometryczne: arc tg arc tg arc tg 1 = arc tg 2

75 Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d.

76 Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d.

77 Jeśli a, b, c, d > 0 oraz a b < c d, to a b < a + c b + d < c d. a2 + b 2 + c 2 + d 2 (a + c) 2 + (b + d) 2

78 Średnia kwadratowa i arytmetyczna 2 a 2 + b 2 (a + b) 2

79 Średnia kwadratowa i arytmetyczna 2 a 2 + b 2 (a + b) 2 a2 + b 2 2 a + b 2 dla a, b > 0

80 Co jest większe, czy 370?

81 Dla a, b, c > 0 takich, że a + b + c = 4, zachodzi nierówność a b c

82 Dla a, b, c > 0 takich, że a + b + c = 4, zachodzi nierówność a b c

83 Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0

84 Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0

85 Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a a n = n 2,

86 Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a a n = n 2, (2n 1) = n 2

87 Jaka jest najmniejsza wartość n takich, że n a i = n 2? i=1 i=1 a 2 i + (2i 1) 2 dla a 1, a 2,..., a n > 0 a 1 + a a n = n 2, (2n 1) = n 2 Najmniejsza wartość = n 2 2; jest osiągana, gdy a i = 2i 1.

88 Ku przestrodze 64 = 65

89 Literatura i źródła rysunków graphics proofs without words Mathematics Magazine, The Mathematical Association of America; The College Mathematics Journal, The Mathematical Association of America; Roger B. Nelsen, The Mathematical Association of America: Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, 1993; Proofs Without Words II: More Exercises in Visual Thinking, 2001; Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, The Mathematical Association of America: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics, 2006; When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, 2009; Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics, 2010; Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, 2011.

Podobne dokumenty

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92