MINIMALIZACJA BŁĘDU STEROWANIA RUCHEM STATKU PO ZADANEJ TRAJEKTORII JAKO EFEKT ZASTOSOWANIA METODY PROJEKTOWANIA REGULATORÓW OPTYMALNYCH

Transkrypt

1 POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA WYDZIAŁ TECHNIKI MORSKIEJ Mgr inż. Piotr Nikończuk Rozprawa doktorska MINIMALIZACJA BŁĘDU STEROWANIA RUCHEM STATKU PO ZADANEJ TRAJEKTORII JAKO EFEKT ZASTOSOWANIA METODY PROJEKTOWANIA REGULATORÓW OPTYMALNYCH Promotor: dr hab. Adam Łozowicki, prof. A.M. Szczecin Listopad 007

2 SPIS TREŚCI Wykaz ważniejszych symboli... 3 Wprowadzenie... 6 Analiza istniejących rozwiązań oraz własne propozycje... 7 Sformułowanie problemu badawczego... 9 Cel pracy... 9 Teza pracy Sposób rozwiązania postawionego celu Model ruchu statku Układy współrzędnych Siły i momenty oddziałujące na kadłub statku Statek jako obiekt sterowania kursem Klasyczne struktury autopilota Struktura PD Struktura PID Autopilot oparty na regulatorze optymalnym Idea regulatora optymalnego Ewolucyjne metody doboru regulatora optymalnego Sterowanie ruchem statku po zadanej trajektorii Symulacje ruchu statku oraz dobór regulatora Model symulacyjny Identyfikacja dynamiki statku Dobór autopilota o strukturze regulatora PID Dobór autopilota w postaci regulatora optymalnego Symulacje stabilizacji trajektorii statku Podsumowanie Literatura...107

3 Wykaz ważniejszych symboli α R efektywny kąt natarcia steru, β - kąt dryfu, β A kierunek wiatru względem statku, β C kierunek prądu względem statku, β RA względny kierunek wiatru, β RV względny kąt dryfu statku względem masy wody, β w kierunek fali względem statku, δ R kąt wychylenia płetwy sterowej,. δ - prędkość zmiany położenia płetwy sterowej, δ max - maksymalne wychylenie płetwy sterowej, m - współczynnik mutacji, γ A kierunek geograficzny wiatru, γ C - kierunek geograficzny prądu morskiego ε - sygnał błędu, µ - geograficzny kierunek fali, ψ - kurs statku, - stała wartość liczbowa mutacji, ζ - współczynnik tłumienia, λ - wydłużenie steru, ρ w gęstość wody, ρ A gęstość powietrza, σ - współczynnik redukcyjny dla bocznej zanurzonej części kadłuba, ω - częstość fali regularnej, ω e częstotliwość spotkaniowa, ω n częstotliwość własna, A R powierzchnia steru, B szerokość statku, C WX, C WY, C WM współczynniki falowej siły dryfu od fali regularnej uzależnione od kierunku fali względem statku β w i prędkości statku V, 3

4 C x, C y, C M współczynniki sił oraz momentu oporu od wody uzależnione od kąta dryfu β, F(s) obiekt sterowania, F N siła normalna płetwy sterowej, g przyśpieszenie ziemskie, G(s) regulator, G * (s) - regulator optymalny, h wysokość steru, H 1/3 - znacząca wysokość fali, J moment bezwładności masy statku i wody towarzyszącej względem osi Gz, K D współczynnik członu różniczkującego, K I współczynnik członu całkującego, K N współczynnik liniowego modelu Nomoto statku, K P wzmocnienie członu proporcjonalnego, L długość statku, M A moment oddziałujący na kadłub pochodzący od wiatru, M R moment oddziałujący na kadłub spowodowany wychyleniem płetwy sterowej, M W moment oddziałujący na kadłub pochodzący od falowania morskiego M z moment oporu kadłuba, p k prawdopodobieństwo krzyżowania, p m prawdopodobieństwo mutacji, pop b numer bieżącej generacji, pop z zadana całkowita ilość generacji w procesie obliczeniowym, r prędkość zmian kursu statku w układzie współrzędnych Gxy, r 0 promień akceptacji podczas śledzenia trajektorii ruchu statku, R x - opór kadłuba w kierunku osi Gx na wodzie spokojnej, R y opór kadłuba w kierunku osi Gy, S pole przekroju zanurzonej części kadłuba wzdłuż płaszczyzny symetrii statku, S X, S Y rzuty powierzchni nadwodnej kadłuba (od dziobu i boczna) na płaszczyznę symetrii i owręża, S ζζ - funkcja gęstości widmowej energii falowania, T zanurzenie statku, T - okres charakterystyczny fali, 4

5 T N - współczynnik liniowego modelu Nomoto statku, T X siła naporu od pędnika, u prędkość postępowa statku wzdłuż osi Gx, v prędkość postępowa statku wzdłuż osi Gy, V prędkość statku z kątem dryfu u układzie współrzędnych Gxy, V A prędkość wiatru, V Cx, V Cy składowe prędkości prądu powierzchniowego, V R prędkość dopływu wody do steru, V RA względna prędkość wiatru, w k współczynnik krzyżowania, w m współczynnik mutacji, X A - siła w osi Gx pochodząca od wiatru, x R - odcięta osi steru (odległość osi steru od środka masy G), X R opór steru w osi x spowodowana wychyleniem steru, X W - falowa siła dryfu w osi Gx, Y A - siła w osi Gy pochodząca od wiatru, Y R siła na sterze biernym w osi Gx, Y W falowa siła dryfu wzdłuż osi Gy, z sygnał zadany. 5

6 Wprowadzenie Ruch statku po zadanej trajektorii ma miejsce w następujących przypadkach: gdy trasa toru wodnego prowadzi przez cieśninę, przy przejściu przez rejony z płyciznami lub innymi przeszkodami nawigacyjnymi, podczas wchodzenia statku do portu, w trakcie realizacji zadań, które wymagają dokładnego poruszania się statku żądanym torem (jednostki badawcze, wydobywcze, techniczne), podczas manewrów zapobiegających kolizjom jednostek pływających. Sterowanie statkiem wzdłuż zadanej trajektorii, zwane również stabilizacją trajektorii, można realizować za pomocą sterowania automatycznego lub ręcznie. Ręczna stabilizacja trajektorii wymaga od sternika dużego doświadczenia oraz wyczucia w zachowaniu się jednostki w różnych warunkach i zakłóceniach pochodzących od czynników zewnętrznych oraz wewnętrznych. Ze względu na niedoskonałość człowieka oraz ograniczoną zdolność postrzegania i szybkiego reagowania na zdarzenia i zjawiska nie zawsze zauważalne, metoda taka nie daje możliwości dokładnego prowadzenia statku. Szczególnie trudno prowadzić człowiekowi statek po zadanej trajektorii na otwartym morzu, gdzie nie ma żadnych punktów odniesienia. Automatyczna stabilizacja trajektorii ruchu statku realizowana jest zazwyczaj na bazie zainstalowanego autopilota oraz jednostki obliczeniowej wyznaczającej aktualny kurs na określony punkt geograficzny na podstawie bieżącej pozycji pomierzonej przez system GPS (układy śledzące). Na statek podczas rejsu oddziałują różne zakłócenia (wiatr, falowanie i prądy morskie) powodując poruszanie się statku w kierunku innym niż zamierzony (z kątem dryfu) oraz zmianę jego kursu. Statek, również podczas eksploatacji, jako obiekt regulacji zmienia swoją dynamikę. Parametry dynamiki statku uzależnione są od wielu czynników, między innymi: stanu załadowania, rozmieszczenia ładunku, jego prędkości, 6

7 warunków pogodowych, akwenu, na którym się znajduje, stanu obrośnięcia kadłuba. Rola autopilota polega na utrzymywaniu statku na zadanym kursie przy oddziaływaniu powyższych czynników, które można traktować, jako zakłócenia podczas podróży jednostki. Regulatory PID doskonale się spisują u układach sterowania obiektami o stałych parametrach. Statek jednak, jak wspomniano, jest obiektem o zmiennych właściwościach dynamicznych. Właściwości te są uzależnione od wielu czynników, co powoduje znaczny uchyb w sterowaniu z użyciem regulatora PID oraz zwiększenie błędu w śledzeniu trajektorii. W celu poprawy jakości sterowania należy korygować nastawy regulatora wraz ze zmianami dynamiki statku. W tym celu stosuje się układy adaptacyjne, które poszukują optymalnych wartości nastaw regulatora PID oraz aktualizują je w zależności od bieżących warunków pracy statku. Alternatywną postacią autopilota może być autopilot o strukturze regulatora optymalnego w sensie przestrzeni H. Kryterium doboru takich regulatorów jest średnia moc lub energia sygnału błędu. Równanie takiego autopilota ma postać funkcji wymiernej o określonych stopniach wielomianów, zarówno licznika, jak i mianownika. Bardzo często barierą w projektowaniu autopilotów o strukturze regulatora optymalnego są czasochłonne i skomplikowane obliczenia matematyczne wymagające wiedzy z dziedziny analizy funkcjonalnej. Dobór tego rodzaju regulatorów można uprościć stosując algorytmy ewolucyjne, które są czasami niezastąpionym narzędziem w poszukiwaniu optymalnych rozwiązań. Algorytmy ewolucyjne lub genetyczne stosuje się do rozwiązywania problemów optymalizacji, które opisane są skomplikowanymi zazwyczaj nieciągłymi funkcjami wielu zmiennych z wieloma ograniczeniami. Analiza istniejących rozwiązań oraz własne propozycje Idea regulatora optymalnego jest znana od wielu lat [18] [8] [50] [51] [5], jednak stopień skomplikowania doboru regulatora optymalnego w sensie przestrzeni H zniechęca projektantów układów sterowania automatycznego do stosowania tego rodzaju regulatorów. Trudność doboru takiego regulatora polega na tym, że wymaga od projektanta zaawansowanej wiedzy z dziedziny analizy funkcjonalnej. 7

8 Proponowana metoda doboru regulatora optymalnego z zastosowaniem algorytmów ewolucyjnych, opierająca się wyłącznie na zależnościach geometrycznych, znacznie upraszcza proces poszukiwania struktury regulatora optymalnego. W literaturze układy sterowania statkiem za pomocą regulatora optymalnego były już proponowane [17] [5] [53] [86], jednak metoda doboru regulatora optymalnego oparta jest na obliczeniach analizy funkcjonalnej. Można znaleźć zastosowania regulatora optymalnego w systemach dynamicznego pozycjonowania statku również z zastosowaniem algorytmów genetycznych [15] [17], jednak metoda doboru jest odmienna bazuje na rozwiązaniu równania Ricattiego. Można również spotkać zastosowanie regulatora optymalnego w układach sterowania aparatami podwodnymi [14]. W przypadku autopilota stosowane są zazwyczaj techniki regulatorów adaptacyjnych [93] [94] [95] lub technik rozmytych [7] [90] [91]. Pojawiają się też systemy sterowania statkiem z użyciem algorytmów genetycznych [1] [7]. W większości przypadków układy te oparte są jednak na strukturze regulatora PID. Wspomniane publikacje opierają się w większości na badaniach symulacyjnych dla modeli statków opisanych w postaci liniowych lub nieliniowych uproszczonych transmitancji obiektów. Symulacje realizowane za pomocą takich modeli zazwyczaj nie uwzględniają zmian prędkości statku oraz ruchu statku z kątem dryfu. Zarówno wychylenie steru jak i ruch statku z kątem dryfu mają znaczący wpływ na wartości oporów kadłuba oraz występujących momentów obrotowych, co znacznie wpływa na rzeczywistą trajektorię ruchu statku. Wyniki takich symulacji przedstawiają zazwyczaj przebiegi przebytej drogi przez statek, kąt wychylenia steru oraz kąt kursowy statku. W literaturze brak jest symulacji sterowania ruchem statku, których wyniki prezentują oprócz wspomnianych wartości również przebiegi zmian wartości sił i momentów oddziałujących na kadłub statku o charakterze lepkościowym i bezwładnościowym, pochodzących od elementów napędowych statku (pędniki, stery), oraz środowiska (wiatr, falowanie, prądy morskie). 8

9 Sformułowanie problemu badawczego Na podstawie przeglądu literatury oraz istniejących potrzeb projektowania układów stabilizacji trajektorii ruchu statku można sformować następujące problemy badawcze: opracowanie i realizacja modelu symulacyjnego ruchu statku opartego na nieliniowych opisach sił i momentów oddziałujących na kadłub statku, opracowanie metody doboru autopilota w postaci regulatora optymalnego, która nie będzie wymagała od projektanta układu tak dużej wiedzy z dziedziny analizy funkcjonalnej, przeprowadzenie symulacji cyfrowych stabilizacji trajektorii statku na danym akwenie i w różnych warunkach pogodowych przy użyciu autopilota otrzymanego za pomocą opracowanej metody. Cel pracy Celem pracy jest opracowanie uniwersalnej metody doboru autopilota opartego na regulatorze optymalnym, który pozwoli prowadzić statek po zadanej trajektorii z możliwie małym błędem. Aby skutecznie sterować danym procesem, należy go dokładnie poznać. Dlatego założeniem pracy jest przeprowadzenie symulacji zakłóconego i niezakłóconego ruchu statku. Na podstawie wyników symulacji można przeprowadzić identyfikację właściwości dynamiki statku, jako obiektu sterowania dla różnych warunków eksploatacyjnych. Pracę można podzielić na kilka etapów: 1. Analiza istniejących rozwiązań.. Opracowanie modelu symulacyjnego statku opartego na nieliniowych równaniach sił i momentów hydrodynamicznych oddziałujących na kadłub jednostki pływającej z podziałem na siły i momenty pochodzące od kadłuba, steru oraz pędnika. 3. Opracowanie modelu symulacyjnego oddziaływania zakłóceń środowiska morskiego w postaci równań sił i momentów pochodzących od falowania i wiatru. Równania te uwzględniają współczynniki dotyczące konkretnej jednostki oraz dane statystyczne wielkości charakteryzujących te zjawiska fizyczne na danym akwenie. Taki model symulacyjny ma na celu symulację 9

10 oddziaływań w sposób jak najbliższy rzeczywistym warunkom panującym podczas eksploatacji statku. 4. Przeprowadzenie symulacji cyfrowych ruchu statku na opracowanym modelu, weryfikacja otrzymanych wyników. Wyznaczenie na podstawie otrzymanych wyników współczynników Nomoto mówiących o sterowności statku w różnych warunkach eksploatacyjnych (zmiennej prędkości, różnych wychyleniach płetwy sterowej) przy bezwietrznej pogodzie, tzn. bez uwzględnienia zakłóceń od środowiska morskiego. 5. Opracowanie metody doboru autopilota w postaci regulatora optymalnego. Opracowana metoda opiera się na dwóch zależnościach geometrycznych, które są warunkami koniecznymi i wystarczającymi do istnienia regulatora optymalnego w sensie przestrzeni H. Jako narzędzie optymalizacji funkcji opisującej wspomniane warunki geometryczne wykorzystywane są algorytmy ewolucyjne. Do doboru autopilota w postaci funkcji wymiernej stosuje się zlinearyzowaną transmitancję statku w postaci liniowego modelu Nomoto pierwszego rzędu, traktującego statek, jako element inercyjny. 6. Przeprowadzenie szeregu symulacji sterowania nieliniowym modelem statku po zadanej trajektorii, przy użyciu uprzednio dobranego autopilota opartego na regulatorze optymalnym pracującego w układzie śledzącym. Symulacje przeprowadzane są dla warunków pogodowych przy różnych siłach i kierunkach wiatru na zadanym akwenie. 7. Analiza otrzymanych wyników symulacji. Wnioski oraz sformułowanie dalszych problemów badawczych. Zrealizowanie wspomnianych celów pozwoli na stworzenie algorytmu programu komputerowego, którego zadaniem będzie wspomaganie przy projektowaniu układów stabilizacji trajektorii statku bez znajomości analizy funkcjonalnej. Parametrami wejściowymi będą współczynniki liniowego modelu Nomoto statku. Narzędzie takie pozwoli projektować układy sterowania zarówno dla jednostek już istniejących, jak również dla statków projektowanych lub w budowie na podstawie bezwymiarowych współczynników pochodzących z badań modelowych. 10

11 Teza pracy Zastosowanie regulatora optymalnego w sensie przestrzeni H w roli autopilota, dobieranego z zastosowaniem własnej uproszczonej metody z użyciem algorytmów ewolucyjnych minimalizuje błąd sterowania ruchem statku po zadanej trajektorii. Sposób rozwiązania postawionego celu Postawiony cel pracy zostanie zrealizowany w następujący sposób: 1. W rozdziale pierwszym pracy przedstawione zostaną układy współrzędnych, w jakich rozpatruje się ruch statku oraz podstawowe zależności pomiędzy nimi. W dalszej części znajdują się nieliniowe równania sił i momentów hydrodynamicznych oddziałujących na kadłub statku oraz krótkie charakterystyki źródeł tych oddziaływań. W ostatnim podrozdziale pierwszego rozdziału zostanie przedstawiony sposób opisu statku, jako liniowego obiektu sterowania zadanym kursem w funkcji wychylenia płetwy sterowej, z uproszczeniem do liniowego modelu Nomoto pierwszego rzędu. W opisie zawarta będzie zmienność współczynników Nomoto w zależności od wielu czynników (stanu załadowania, bieżącej prędkości, kąta wychylenia steru itp.).. W rozdziale drugim zostaną scharakteryzowane zadania autopilota oraz przedstawione realizacje takich układów sterowania kursem statku. W tej części pracy będą też przedstawione właściwości maszyny sterowej oraz proponowane w literaturze jej modele symulacyjne uwzględniające prędkość zmian położenia płetwy sterowej oraz jej maksymalne wychylenie. W dalszej części rozdział omówione zostaną metody doboru nastaw klasycznych autopilotów zrealizowanych przy użyciu regulatorów PD oraz PID. 3. W rozdziale trzecim przedstawiona będzie propozycja autopilota zrealizowanego na regulatorze optymalnym. W pierwszej części rozdziału opisana będzie ogólna idea doboru regulatora optymalnego w sensie przestrzeni H dla liniowych obiektów sterowania. Jako kryterium doboru regulatora przyjmuje się normę z energii lub średniej mocy sygnału błędu. Podczas opisu metody doboru regulatora optymalnego przedstawiona zostanie również jej interpretacja geometryczna. Kolejny podpunkt przedstawi 11

12 mechanizm opracowanej metody doboru regulatora optymalnego z użyciem algorytmów ewolucyjnych, opartej na dwóch prostych warunkach wynikających z interpretacji geometrycznej regulatora optymalnego. 4. Rozdział czwarty pracy przedstawi przegląd systemów stabilizacji trajektorii ruchu statku, w układach sterowania składających się z jednostek obliczeniowych zadających kurs oraz autopilotów. 5. Rozdział piąty zaprezentuje symulacje cyfrowe. W pierwszej części przedstawiony będzie model symulacyjny statku zrealizowany w pakiecie SIMULINK programu MATLAB na podstawie równań sił i momentów hydrodynamicznych przedstawionych w rozdziale pierwszym pracy. Na podstawie wyników symulacji niezakłóconego ruchu nieliniowego modelu statku określone zostaną współczynniki Nomoto liniowego modelu statku dla różnych kątów wychylenia steru przy stałej prędkości statku. Następnie dysponując liniową postacią transmitancji statku zostanie dobrany autopilot o strukturze regulatora PID zgodnie z zasadami przedstawionymi w rozdziale drugim. W kolejnym podpunkcie przedstawione będą wyniki doboru regulatora optymalnego otrzymanego za pomocą opracowanej metody z użyciem algorytmów ewolucyjnych. Dalsza część rozdziału przedstawi wyniki symulacji sterowania statkiem za pomocą regulatora PID oraz regulatora optymalnego. 6. Rozdział szósty będzie zawierał wyniki przebiegów symulacji stabilizacji trajektorii ruchu statku z użyciem autopilota w postaci regulatora optymalnego. Będą to wyniki symulacji przeprowadzonych dla różnych stanów pogodowych określonych siłą i kierunkiem wiatru. 7. W rozdziale siódmym zawarte zostanie podsumowanie otrzymanych wyników, wnioski a także propozycje wykorzystania opracowanej metody. W rozdziale tym będą również sformułowane propozycje dalszych problemów badawczych związanych z opracowaną metodą. Integralną częścią pracy jest załącznik, w którym przedstawiono przebiegi badań symulacyjnych dla kontenerowca. Załącznik składa się z czterech części: 1. Parametry techniczne statku oraz zestawienie sił i momentów oddziałujących na kadłub statku przy różnych siłach wiatru. Wartości te zostały obliczone na podstawie danych statystycznych falowania oraz współczynników oddziaływania falowania w zależności od kąta oddziaływania. Wartości oporów 1

13 kadłuba oraz współczynników oddziaływań wiatru pochodzą z wyników obliczeń w programie HOLTROP.. Symulacje prób cyrkulacji statku przeprowadzone dla nieliniowego modelu. Identyfikacja statku, mająca na celu wyznaczenie współczynników Nomoto dla różnych wychyleń płetwy sterowej. 3. Symulacje stabilizacji trajektorii dla różnych sił oraz kierunków wiatru. Prezentowane wyniki symulacji przedstawiają przebiegi zmian: sił i momentów hydrodynamicznych, prędkości, zmian kursu oraz kąta dryfu, kata wychylenia płetwy sterowej. 13

14 1 Model ruchu statku 1.1 Układy współrzędnych Opisując ruch statku korzystamy z zasad kinematyki i dynamiki ciała sztywnego. Ruch okrętu przedstawiany jest w sześciu stopniach swobody, w różnych układach współrzędnych związanych odpowiednio z kulą ziemską lub statkiem. Wszystkie te układy są układami współrzędnych prostokątnych prawoskrętnych. Zależności pomiędzy wartościami w poszczególnych układach współrzędnych opisują okrętowe kąty Eulera [1] [6]. Najczęściej ruch statku rozpatruje się w dwóch układach współrzędnych [3] [6]: nieruchomy w przestrzeni układ współrzędnych O 0 x 0 y 0 z 0 sztywno związany z kulą ziemską taki, że osie O 0 x 0 oraz O 0 y o leżą w płaszczyźnie wody spokojnej, natomiast oś O 0 z 0 skierowana jest ku dołowi. Dodatkowo oś O 0 x 0 skierowana jest w kierunku północnym, a oś O 0 y 0 skierowana jest w kierunku wschodnim, ruchomy w przestrzeni układ współrzędnych związany z okrętem, którego początek G leży w środku masy okrętu. Osie Gx oraz Gy leżą w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny przekroju wodnicowego, przy czym oś Gx skierowana jest w kierunku ku dziobowi, oś Gy skierowana jest na prawą burtę, natomiast oś Gz w dół. Omawiane układy przedstawia rysunek

15 Rys Układ współrzędnych nieruchomy związany z kulą ziemską O 0 x 0 y 0 z 0 oraz ruchomy Gxyz związany ze statkiem Często wprowadzany jest pomocniczy układ współrzędnych ruchomy, ale niezwiązany z okrętem O 1 x 1 y 1 z 1. Układ ten Stosowany jest on wtedy, gdy ruch okrętu daje się przedstawić, jako złożenie ruchów o wyraźnie różnym charakterze: płaskiego ustalone lub zmiennego, którego parametry zmieniają się stosunkowo wolno oraz lub oscylacyjnego o znacznie szybciej zmieniających się parametrach. Ruch oscylacyjny może być efektem oddziaływania falowania morskiego lub wiatru. Uważa się, że położenie układu współrzędnych O 1 x 1 y 1 z 1 jest uśrednionym położeniem okrętu. Zależności pomiędzy układami współrzędnych przedstawia rysunek 1.. Układ współrzędnych związany z okrętem jest układem, w którym łatwiej zapisywać równania dynamiki statku. Powodem tego jest fakt, iż początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy statku G a dla takiego układu momenty bezwładności i momenty dewiacyjne są niezmienne. Korzystając z zasady zachowania pędu oraz krętu można wyprowadzić następujące zależności opisujące ruch statku w układzie współrzędnych Gxyz [3]: 15

16 Rys. 1.. Ruchomy i niezwiązany z okrętem układ współrzędnych O 1 x 1 y 1 z 1 mv mv mv I I I XX YY... ZZ X Y Z + m + m + m ω I. Y X ω I Z ( ω V ω V ) ( ω V ω V ) ( ω V ω V ) ZX Z Z ZX Y X ω + ω ω.. X X Z Y = X = Y = Z ( I I ) ( I I ) ( ω ω ) ZZ Z X Y Y X Y Z X ω Z + ω ω.. ω X + ω ω Z XX Y ZZ I = MX = MX ( I I ) ω ω I = MZ YY Z YY XX ω ω I X X ZX Y Y Z ZX ZX (1.1) gdzie: m masa statku V i prędkości postępowe statku wzdłuż odpowiednich osi układu współrzędnych, ω i prędkości kątowe względem odpowiednich osi układu współrzędnych, I ij momenty bezwładności, X, Y, Z sumy sił oddziałujących na statek w danych kierunkach, MX, MY, MZ sumy momentów względem odpowiednich osi układu współrzędnych. 16

17 W pracy rozpatruje się płaski ruch krzywoliniowy statku w płaszczyźnie wody spokojnej. Dla takiego ruchu zaniedbuje się wartości prędkości postępowych i kątowych związanych z osią współrzędnych z. Przyjmując dla ruchu płaskiego następujące założenia: V Z = 0 ω X = ω Y = 0 Opis ruchu w zredukowanym układzie współrzędnych ogranicza się do trzech równań opisujących ruch w trzech stopniach swobody:. m V ω V. m V y + ωzv I ω = MZ ZZ X Z Z Y = X X = Y (1.) Powyższy układ równań opisujących wolnozmienny, płaski ruch krzywoliniowy okrętu może być uzupełniony o następujące równania: - równanie opisujące wolnozmienny przechył statku podczas np. manewru cyrkulacji, - równania ruchu szybkozmiennego kołysań statku na fali. W dalszej części pracy podczas rozważań stosowane będą następujące oznaczenia (rysunek 1.): V V X Y = u = v ω = r gdzie: u prędkość postępowa statku w osi Gx, v prędkość postępowa statku w osi Gy, r prędkość kątowa statku względem osi Gz, 17

18 Siły X, Y i moment MZ oddziałujące na kadłub statku są sumami składowych sił i momentów w danych stopniach swobody. Zależności pomiędzy płaskimi układami współrzędnych (rysunek 1.3.) są następujące: kąt pomiędzy osiami współrzędnych O 0 x 0 oraz Gx równy jest kątowi kursowemu statku ψ, układy związane są następującymi równaniami kinematyki [6] [3]: x y ψ = r = u cosψ vsinψ = u sinψ + vcosψ (1.3) - Rys Zależności geometryczne pomiędzy płaskimi układami współrzędnych Natomiast przejście do położenia geograficznego statku w układzie związanym z kulą ziemską nie sprawia kłopotów korzystając z równań (1.3). 18

19 1. Siły i momenty oddziałujące na kadłub statku Kadłub statku w trakcie podróży na pełnym morzu możemy rozpatrywać, jak już wcześniej wspomniano, jako ciało sztywne o sześciu stopniach swobody. Dla potrzeb modelowania sterowania kursem statku będą nas interesowały tylko trzy stopnie swobody związane z płaszczyzną wody spokojnej: ruch postępowy wzdłuż osi współrzędnych Gx zwany płynięciem, ruch postępowy w kierunku osi Gy zwany dryfowaniem, ruch obrotowy względem osi Gz zwany obracaniem. Ruchy statku w poszczególnych kierunkach mają również składowe oscylacyjne będące wynikiem oddziaływania przede wszystkim falowania morskiego. Składowe te mają swoje nazwy: kołysanie postępowe dla oscylacji wzdłuż osi Gx; kołysania burtowe dla oscylacji wzdłuż osi Gy; myszkowanie dla oscylacji kątowych względem osi Gz. Siły i momenty oddziałujące na kadłub statku są sumami składowych sił i momentów w danych stopniach swobody. X = X Y = Y + R I I MZ = M + R I Y x + T + T + M y Z X + X + Y + T R M R + Y + X A + M R A + Y + X W + M A W + M W (1.4) Składowe siły i momenty można podzielić ze względu na pochodzenie na trzy rodzaje: siły i moment oporów: - oddziaływanie wody o charakterze lepkościowym (opór statku oraz oddziaływanie prądu morskiego): R x, R y, M Z, - siły i moment hydrodynamicznego oddziaływania wody o charakterze bezwładnościowym i tłumiącym: X I, Y I, M I, siły i momenty napędowe pochodzące od: - pędnika (lub pędników) T X, T Y, T M, - płetwowego steru biernego X R, Y R, M R, siły i momenty środowiskowe pochodzące od: 19

20 - falowania morskiego X W, Y W, M W, - wiatru X A, Y A, M A. Równania (1.4) można rozszerzyć o kolejne składowe siły i momenty pochodzące od dodatkowych pędników sterujących (stery strumieniowe, pędniki azymutalne itp.) Wartości i zwroty składowych sił i momentów oporów kadłuba i wody towarzyszącej są uzależnione od wektorów prędkości oraz kąta dryfu statku. Siła naporu pędnika uzależniona jest między innymi od bieżącej prędkości statku, prędkości obrotowej wału napędowego oraz kształtu kadłuba. Wartości oddziaływań steru na jednostkę pływającą uzależnione są nie tylko od kąta wychylenia, ale również prędkości dopływu wody do steru, która jest uzależniona od prędkości statku, prędkości obrotowej śruby (lub śrub) napędowej. Wartości sił środowiskowych uzależnione są od stanu morza oraz kursu i prędkości statku. W wyniku oddziaływania powyższych sił i momentów okręt porusza się prędkością V, którą można rozłożyć na prędkości składowe u oraz v będące rzutami prędkości V odpowiednio na osie Gx oraz Gy. Prędkość wypadkowa V tworzy z osią Gx kąt β zwany kątem dryfu. Kierunki prędkości oraz kąt dryfu przedstawia rysunek 1.3. Opory kadłuba Opór statku jest wynikiem oddziaływania wody na kadłub o charakterze lepkościowym. Wartości momentu i sił oporu kadłuba są uzależnione od kształtu kadłuba jednostki pływającej, kwadratu prędkości statku oraz kąta kursowego. Zwroty wektorów sił oporów kadłuba R X, R Y są przeciwne do składowych wektorów prędkości statku u, v, natomiast moment oporu kadłuba ma zwrot przeciwny do kierunku prędkości kątowej zmiany kąta dryfu β (rysunek 1.3). Opory kadłuba opisują następujące nieliniowe równania: 0

21 1 RX = ρwsv CX ( β ) 1 RY = ρwsv CY ( β ) 1 M Z = ρwslv CM ( β ) (1.5) przy czym V + = u v (1.6) gdzie: R x opór w osi wzdłuż osi Gx, R y opór w osi kierunku osi Gy, M z moment oporu kadłuba względem osi Gz, S pole przekroju zanurzonej części kadłuba wzdłuż płaszczyzny symetrii statku, L długość statku, C x, C y, C M współczynniki sił oraz momentu oporu uzależnione od kąta dryfu β, ρ w gęstość wody, Rys. 1.4 Siły i moment oporu kadłuba. 1

22 Pole przekroju zanurzonej części kadłuba wzdłuż płaszczyzny symetrii statku można obliczyć według jednej z metod następującej zależności: S = LTσ (1.7) gdzie: T zanurzenie statku, σ - współczynnik redukcyjny dla bocznej zanurzonej części kadłuba. Współczynniki C x, C y, C M sił i momentu oporu kadłuba są uzależnione od kąta dryfu. Można je określić na podstawie badań modelowych lub następujących równań: C C C X Y M Cx β 0 ( β ) = 0,075sin 180 arcsin 1 0,075 k x ( β ) = c sin β cosβ + c sin β + c sin = m sin β + m 1 1 sin β + m sin β β + m sin 4 4 β (1.8) gdzie: C x0 ( V ) CR = 1 ρws (1.9) R C R = V ( V ) (1.10) R opór statku na wodzie spokojnej Współczynniki C Xo, k X, C 1, C, C 3, m 1, m, m 3, m 4 są ściśle związane z parametrami kadłuba. Rysunki 1.5, 1.6 oraz 1.7 przedstawiają wartości oporów i momentu w funkcji prędkości V oraz kąta dryfu β dla kontenerowca obliczone według wzorów (1.5).

23 Rys Zależność oporu kadłuba R x w funkcji prędkości oraz kąta dryfu Rys.1.6. Opór kadłuba R y w funkcji prędkości i kąta dryfu statku 3

24 Rys.1.7. Moment M z oporu kadłuba w zależności od prędkości i kąta dryfu statku ODDZIAŁYWANIE MASY WODY TOWARZYSZĄCEJ Podczas ruchu statku wraz z kadłubem porusza się warstwa przyścienna wody, która ma taką samą prędkość jak okręt. Efektem oddziaływania wody towarzyszącej są siły oraz moment o charakterze bezwładnościowym. Siły i moment można obliczyć z następujących zależności: X Y I M I = m I = m. 11 = m. 66 u+ m.. ψ m 6... vψ + m 11 v m uψ m v+ 6 6 ψ.. ψ. 11 ( m m ) uv m 6. vψ (1.11) gdzie: m ij uogólnione dodatkowe masy hydrodynamiczne obliczane dla wolnozmiennych ruchów statku podczas manewrowania. Kierunki i zwroty wektorów sił i momentu są jednakowe jak dla sił i momentu oporów kadłuba. 4

25 Ilości mas wody towarzyszącej w odpowiednich stopniach swobody są zróżnicowane i zależą od geometrii kadłuba. Istnieje wiele metod ich wyznaczania, jedną z nich jest traktowanie kadłuba statku, jako elipsoidy (rysunek 1.8). Wartości masy dodanej wynoszą wtedy odpowiednio [6]: m m m L = πρw 8 B = πρw L = πρw B (1.1) Rys.1.8. Kierunki mas towarzyszących dla elipsoidy ODDZIAŁYWANIE ZESPOŁU NAPĘDOWEGO Aby utrzymać zadaną prędkość śruba okrętowa musi pokonać całkowity opór statku będący sumą wszystkich sił działających na statek w kierunku osi Gx. Do śruby doprowadzana jest moc od silnika głównego poprzez wał i ewentualną przekładnię. Stosunek mocy przekazywanej przez silnik główny P B do mocy naporu pędnika P T nazywa się całkowitą sprawnością układu napędowego. P B η C = (1.13) PT 5

26 Całkowitą sprawność zespołu napędowego można przedstawić, jako sumę sprawności mechanicznej η M oraz sprawności śruby okrętowej η 0 : η = C η Mη 0 (1.14) Sprawność mechaniczna η M jest niezmienna lub zmienia się w bardzo niewielkim stopniu, natomiast sprawność śruby okrętowej η 0 zmienia się w zależności od między innymi prędkości statku, prędkości obrotowej wału napędowego. Podczas pracy śruba okrętowa oddziałuje na kadłub statku z siłami T X, T Y oraz momentem T M. Ponieważ siła T Y oraz moment T M przyjmują niewielkie wartości zostaną pominięte w dalszych rozważaniach. Siła naporu śruby jest uzależniona od jej geometrii, prędkości obrotowej wału napędowego oraz prędkości dopływu wody. Siłę naporu śruby odosobnionej T można obliczyć z następującej zależności [3] [6]: T = K 4 P ( J ) D n T ρ w (1.15) gdzie: K T współczynnik naporu, n prędkość obrotowa wału śruby, D P średnica śruby, J P współczynniki posuwu. Rzeczywisty napór śruby T X jest mniejszy niż dla śruby odosobnionej. Zmniejszenie naporu jest wynikiem interakcji pomiędzy kadłubem a pędnikiem (lub pędnikami). Związek pomiędzy oddziaływaniami pomiędzy śrubą a kadłubem przedstawiamy jest w postaci współczynnika ssania t: T X = T( 1 t) (1.16) 6

27 Współczynnik naporu śruby okrętowej K T jest przedstawiany w funkcji współczynnika posuwu J P, który jest ściśle związany z prędkością dopływu wody do steru, prędkością obrotową wału oraz średnicą śruby. V a J P = (1.17) ndp Prędkość dopływu wody do śruby V a nie jest równa prędkości statku. Duży wpływ na prędkość dopływu wody do śruby ma geometria kadłuba. Zależność ta jest przedstawiana w postaci współczynnika strumienia nadążającego w: V a = V ( 1 w) (1.18) Współczynnik strumienia nadążającego zmienia się również w niewielkim stopniu wraz ze zmianą prędkości statku. Ważnym jest, aby zapewnić odpowiednią moc silnika dla śruby okrętowej a co za tym idzie, odpowiedni moment na wale napędowym. Moment obrotowy na śrubie można obliczyć z następującej zależności: Q = K ρ D n (1.19) Q W 5 P P Współczynnik momentu K Q jest również przedstawiany w funkcji współczynnika posuwu. Rysunek 1.9 Przestawia zależności współczynników naporu K T, momentu K Q oraz sprawność śruby η 0 w funkcji współczynnika posuwu. Przedstawione wartości zostały obliczone dla kontenerowca w programie TRIBON. 7

28 Rys.1.9. Współczynniki mocy K Q i naporu K T oraz sprawność śruby w funkcji współczynnika posuwu J ODDZIAŁYWANIE STERU Ster jest elementem wykonawczym ręcznego lub automatycznego systemu sterowania kursem statku. Celem takiego systemu jest wytworzenie na sterze odpowiednich sił i momentów sterujących, które zmieniają ruch okrętu w płaszczyźnie poziomej [3]. Istnieje wiele rozwiązań urządzeń sterowych. W pracy rozpatrywane jest najczęściej stosowane rozwiązanie z pojedynczym sterem płetwowym biernym znajdującym się za śrubą okrętową. Siły hydrodynamiczne indukowane na płetwie sterowej w zależności od kąta jej wychylenia powodują zmianę kursu statku oraz ruch statku z kątem dryfu. Zwiększenie kąta dryfu powoduje wzrost oporów kadłuba statku, w efekcie tego następuje obniżenie prędkości wzdłużnej statku u w kierunku osi Gx. Wartości sił i momentów pochodzących od steru są uzależnione od wielu czynników: geometrii steru, kąta wychylenia, prędkości statku, 8

29 kąta dryfu. Siły i moment oddziaływania steru na kadłub statku można obliczyć z następujących zależności: X Y R M R = F R = F N = F N N sin δ cosδ R R R cosδ x R (1.0) gdzie: F N siła normalna, x R - odcięta osi steru (odległość osi steru od środka masy G), δ R kąt wychylenia płetwy sterowej. Siła normalna F N dana jest następującym równaniem: F N 1 6,13λ = ρ w ARVR sin α R (1.1) λ +,5 gdzie: λ - wydłużenie steru, A R powierzchnia steru, V R prędkość dopływu wody do steru, α R efektywny kąt natarcia steru, δ R kąt wychylenie steru. VR = VA + CTT (1.) T napór śruby odosobnionej C T 6,4 = (1.3) πρ hd w P 9

30 Wydłużenie steru jest współczynnikiem bezwymiarowym i opisuje zależność pomiędzy wysokością h a polem powierzchni płetwy sterowej A R. Wartość wydłużenia można obliczyć według następującego wzoru: h A R λ = (1.4) gdzie: h wysokość steru. Kąt natarcia obliczyć można z następującego równania (rysunek 1.16): α R = δ β R R gdzie: β R kąt dryfu w rejonie steru. Rys Siły i moment pochodzące od steru. 30

31 Wychylenie steru δ R uważamy za dodatnie, gdy jest on wychylony na lewą burtę (LB). Maksymalna wartość kąta wychylenia płetwy sterowej zazwyczaj nie przekracza Rysunek 1.11 przedstawia wartości siły normalnej F N na sterze w funkcji prędkości dopływu wody V A i kąta natarcia α R dla kontenerowca. Rysunki 1.1 do 1.14 przedstawiają kolejno zmiany sił X R, Y R oraz momentu M R dla tej samej jednostki. Rys Siła normalna na sterze w funkcji prędkości dopływu wody V A oraz kąta natarcia α R 31

32 Rys Siła X R pochodząca od steru w funkcji prędkości dopływu wody V A oraz kąta natarcia α R Rys Siła Y R pochodząca od steru w funkcji prędkości dopływu wody V A oraz kąta natarcia α R 3

33 Rys Moment M R pochodzący od steru w funkcji prędkości dopływu wody V A oraz kąta natarcia α R Wiatr W zależności od kierunku wiatru względem kąta kursowego statku siły oddziaływania wiatru mogą stanowić opór lub dodatkowy napór dla kadłuba statku. Wiatr jest ruchem powietrza atmosferycznego powstającym przede wszystkim wskutek różnicy ciśnień występujących na różnych obszarach kuli ziemskiej. Kierunek i prędkość wiatru są zmienne w bardzo szerokim zakresie. Na podstawie długoletnich obserwacji opracowano dane meteorologiczne określające średnie prędkości i częstość występowania wiatrów z różnych kierunków na poszczególnych obszarach. Do opisu siły wiatru stosuje się dwunastostopniową skalę Beuforta. Pojęcie siły wiatru związane jest bezpośrednio z jego średnią prędkością mierzoną na określonej wysokości ponad poziomem morza [1]. Prędkość wiatru oraz nazwy dla poszczególnych sił wiatru przedstawia tabela 1.1. Wartości prędkości wiatru odnoszą się do pomiarów na wysokości 10 m nad poziomem morza. 33

34 Tabela 1.1. Skala siły wiatru w stopniach Beuforta Siła wiatru Opis wiatru [ 0 B] Średnia prędkość v [m/s] W 0 Cisza < 0,8 1 Powiew 0,8 1,39 Wiatr słaby 1,67 3,06 3 Wiatr łagodny 3,34 5,8 4 Wiatr umiarkowany 5,56 7,78 5 Wiatr żywszy 8,05 10,6 6 Wiatr silny 10,8 13,6 7 Wiatr bardzo silny 13,9 16,9 8 Wiatr gwałtowny 17, 0,6 9 Wicher 0,8 4,4 10 Silny Wiatr 4,7 8,4 11 Gwałtowny wicher 8,6 3,5 1 Huragan 3,8 36,6 Wiatr działając na każdą przeszkodę, a zatem i na statek, wywołuje po stronie nawietrznej nadciśnienie, zaś po stronie zawietrznej podciśnienie. Nadciśnienie powoduje napór powietrza na nadwodną część kadłuba statku, podciśnienie natomiast wywołuje zjawisko ssania. W efekcie na kadłub statku oddziałują siły i momenty wywołane wiatrem. Wartości sił i momentu oddziałujących na kadłub jednostki pływającej będących wynikiem oddziaływanie wiatru są uzależnione przede wszystkim od: kształtu części nadwodnej statku, kierunku i prędkości wiatru względem statku oraz gęstości powietrza. Wartość oddziaływania wiatru można obliczyć z następujących zależności: 1 X A = ρ AS XVRAC AX ( β RA) 1 YA = ρ ASYVRAC AY ( β RA) 1 M A = ρ ASY LVRAC AM ( β RA) (1.5) 34

35 gdzie: ρ A gęstość powietrza, ψ - kurs statku, γ A kierunek geograficzny wiatru 0 0 wiatr z północy, 90 0 wiatr ze wschodu, β A kierunek wiatru względem statku (β A = 0 0 wiatr od rufy, β A = 90 0 wiatr na LB), β RA względny kierunek wiatru, S X, S Y rzuty powierzchni nadwodnej kadłuba (od dziobu i boczna) na płaszczyznę symetrii i owręża, V Ra względna prędkość wiatru. Współczynniki C AX, C AY, C AM są funkcjami względnego kierunku wiatru β RA. Można je otrzymać na podstawie badań modelowych lub przybliżonych wzorów. Względna prędkość V RA oraz względny kierunek wiatru β RA odnoszą się do poruszającego się statku (w układzie współrzędnych Gxy związanym z okrętem). Różnica pomiędzy względnym kierunkiem wiatru a kierunkiem wiatru względem statku β A jest taka, że względny kierunek wiatru uwzględnia kąt dryfu statku β. Zależności te przedstawia rysunek Gęstość wilgotnego powietrza ρ A jest mocno uzależniona od temperatury. W tabeli 1. zestawiono zmiany gęstości powietrza w zależności od temperatury. Tabela 1.. Zależność gęstości wilgotnego powietrza w funkcji temperatury. Temp [ 0 C] ρ A [kg/m 3 ] 1,395 1,314 1,90 1,195 1,097 0,981 0,584 35

36 Rys Prędkość i względny kąt wiatru Względna prędkość wiatru w stosunku do statku poruszającego się z prędkością V opisana jest następującą zależnością: V = V + V (1.6) RA RAX RAY przy czym V V RAX RAY = V = V A A cosβ u sin β 0 β = γ ψ +180 A A A A (1.7) Względny kierunek wiatru można obliczyć z następującej zależności: RAY β RA (1.8) VRAX = arctg V 36

37 Często podczas obliczeń pomija się wpływ kąta dryfu zakładając jego niewielkie wartości, a co za tym idzie niewielki wpływ na wartości oddziaływań wiatru na statek. Prędkość wiatru V A nie jest wartością stałą, lecz oscyluje wokół wartości średniej [77]: V _ A. Pulsacje prędkości wiatru można obliczyć z następującej zależności π ua( t) = 4S A f t 0 ( f ) df cos + ε ( ) (1.9) gdzie: S A (f) funkcja gęstości widmowej energii prędkości wiatru, ε(f) przesunięcie fazowe poszczególnych składowych harmonicznych, t czas. Funkcja gęstości widmowej energii prędkości wiatru można przedstawić za pomocą widma Harrisa: S A ( f ) = 4k A + f f _ V ~ A 5 6 (1.30) gdzie: k A parametr widma, ~ f - częstotliwość bezwymiarowa. Parametr widma jest uzależniony od stanu morza, dla morza spokojnego wynosi k A = 0, 0015 natomiast dla morza sfalowanego przyjmuje wartość k A = 0,00. Częstotliwość bezwymiarową można obliczyć z następującego równania: fl ~ A f = _ (1.31) V A Przy czym parametr widma L A dla morza otwartego wynosi L A = 1800 m. 37

38 Rysunki 1.16 do 1.18 przedstawiają kolejno przykładowe wartości składowych sił X A, Y A oraz momentu M A średniego oddziaływania wiatru w funkcji prędkości względnej V RA oraz względnego kąta wiatru β RA dla kontenerowca. Kierunki i zwroty dodatnich wektorów sił i X A, Y A oraz momentu M A są jednakowe jak dla wektorów jednostkowych układu współrzędnych Gxy przedstawionego na rysunku 1.. Rys Średnie oddziaływanie wiatru X A w funkcji prędkości względnej i względnego kąta wiatru dla kontenerowca 38

39 Rys Średnie oddziaływanie wiatru Y A w funkcji prędkości względnej i względnego kąta wiatru dla kontenerowca Rys Średni moment oddziaływanie wiatru M A w funkcji prędkości względnej i względnego kąta wiatru dla kontenerowca 39

40 Falowanie Fale morskie są to oscylacyjne odkształcenia powierzchni wody w wyniku oddziaływania różnych czynników [19]. Najczęściej czynnikiem powodującym falowanie jest wiejący wiatr. Podczas rozpatrywania oddziaływań hydrodynamicznych falowania na statek interesują nas przede wszystkim fale o porównywalnych wymiarach z wymiarami statku ze względu na ich największe oddziaływanie [1]. Są to przede wszystkim fala sztormowa oraz fala martwa. Fala sztormowa występuje bezpośrednio na akwenie, na którym wieje wiatr. Charakteryzuje się ona wysoką nieregularnością i rozchodzi się w kierunku zgodnym z kierunkiem wiatru. Fala martwa powstaje po ustaniu wiatru, w trakcie zanikania fali sztormowej lub w wyniku rozprzestrzeniania się fali sztormowej. W procesie tym zanikają fale krótkie i pozostają przede wszystkim fale długie o znacznej wysokości. Kształt fali martwej jest bardziej regularny niż fali sztormowej. Gdy fale sztormowe lub martwe docierają do brzegu ich kształt jest deformowany na skutek skończonej głębokości wody. Tak zniekształconą falę nazywa się falą przybojową. Podobnie jak w przypadku wiatru oddziaływanie falowania morskiego w zależności od kierunku w stosunku do kąta kursowego statku może stanowić opór lub dodatkowy napór na kadłub statku w przypadku fali nadążającej (β w = 0 0 ). Kierunki geograficzne dla falowania morskiego określa się tak samo jak dla wiatru. Również kąt oddziaływania falowania morskiego na kadłub statku β w określa się w sposób identyczny jak dla kąta oddziaływania wiatru. Kierunki falowania względem statku oraz ich nazwy przedstawia rysunek

41 FALA PRZECIWNA FALA SKOŚNA FALA BOCZNA 15 0 FALA BAKSZTAGOWA Rys Kierunki fali względem statku FALA NADĄŻAJĄCA Wartości momentu i sił oddziałujących na jednostkę pływającą i pochodzące od falowania morskiego są bardzo zróżnicowane i zmienne w czasie. Średnie oddziaływanie nieregularnej fali morskiej na zanurzoną część kadłuba statku można obliczyć z następujących zależności: _ X _ Y _ M W W W B = ρw g L B = ρw g L = ρ gb W C C C WY WM WX ( ω / β, V ) S ( ω) ( ω / β, V ) S ( ω) W ζζ ( ω / β, V ) S ( ω) W W ζζ ζζ dω dω dω (1.3) gdzie: g przyśpieszenie ziemskie, 41

42 B szerokość statku, C WX, C WY, C WM współczynniki falowej siły dryfu od fali regularnej uzależnione od kierunku fali względem statku β w i prędkości statku V, ω - częstość fali regularnej, β w kierunek fali względem statku, S ζζ - funkcja gęstości widmowej energii falowania. Kierunek fali względem statku jest obliczany w następujący sposób: β w = µ - ψ (1.33) przy czym: µ - geograficzny kierunek fali (µ = 0 0 fala z kierunku północnego, µ = 90 0 fala z kierunku wschodniego). Funkcja gęstości widmowej energii falowania Sζζ jest związana ze stanem morza i przedstawia rozkład energii falowania na poszczególne składowe harmoniczne. Rysunek 1.19 przedstawia rozkład energii falowania na poszczególne harmoniczne w zależności od siły wiatru dla Północnego Atlantyku. Widmo energetyczne dla falowania w pełni rozwiniętego można obliczyć z następującego wzoru, zalecanego przez Międzynarodową Konferencję Basenów Holowniczych (ITTC): 4 ( B ) S = Aω 5 exp ω (1.34) ζζ przy czym: 173H A = T 691 B = 4 T 1/ 3 4 (1.35) 4

43 Rozkład widma energetycznego w funkcji falowania przedstawia rysunek 1.0. Falowanie morskie charakteryzowane jest za pomocą dwóch statystycznych parametrów dla poszczególnych stanów morza: - znaczącej wysokości fali H 1/3, - okresu charakterystycznego T. Wartości znaczącej wysokości i okresu charakterystycznego uzależnione są nie tylko od stanu morza, ale również od rozpatrywanego akwenu. Tabela 1. przedstawia wartości tych parametrów dla poszczególnych stanów morza oraz akwenów [1] [3]. W przypadku, gdy znana jest tylko wartość znacząca wysokość fali H 1/3, to można skorzystać z następującej zależności: T = 3,86 H 1/ 3 (1.36) co dalej możemy zapisać: A = 8,1*10 1/ 3 3 3,11*10 B = H 4 g (1.37) Należy mieć na uwadze, że przyśpieszenie ziemskie g wyrażone jest w [cm/s ]. 43

44 Tabela 1.3. Wartości znaczącej wysokości fali i okresu charakterystycznego dla różnych sił wiatru na poszczególnych akwenach. Siła wiatru [ 0 B] Północny Atlantyk Znacząca wysokość fali H 1/3 [m] Morze Północne Morze Bałtyckie Północny Atlantyk Okres charakterystyczny T [s] Morze Północne Morze Bałtyckie 3 1,70 1,00 0,45 6,3 4,6,9 4 1,95 1,40 0,60 6,5 4,9 3,4 5,40,00 0,85 6,9 5,4 3,8 6 3,10 3,00 1,0 7,4 6,1 4,4 7 4,00 4,00 1,60 8,0 6,8 4,8 8 5, 5,60 1,95 8,5 7,7 5,3 9 6,45 6,60 *,50 9,1 8,4 5,8 10 7,45 7,0 * 3,15 9,6 9,0 6,0 11 8,40 * 7,50 * 3,80 * 10,1 * 9,6 * 6,3 * 1 9,0 * 7,70 * 4,30 * 10,6 * 10,3 * 6,5 * * wartości aproksymowane Gdy znamy jedynie średnią prędkość wiatru wysokość fali zgodnie z tabelą 1.4. v A, to przypisuje się jej znaczącą Tabela 1.4. Związek pomiędzy średnią prędkością wiatru a wysokością fali. v [węzły] A H 1/3 [cm] Istnieje korelacja pomiędzy siłą wiatru a znaczącą wysokością fali H 1/3 i okresem charakterystycznym T falowania morskiego. Wartości tych parametrów dla różnych stanów morza zostały przedstawione w tabeli 1.3. Jak wynika z tabeli parametry te są także zróżnicowane dla akwenów morskich, a co za tym idzie dla różnych akwenów będą różne postacie widma energetycznego S ξξ. 44

45 Rys Funkcja gęstości widmowej falowania S ξξ dla Północnego Atlantyku przy różnych siłach wiatru Falowanie morskie można traktować jak sumę n składowych fali regularnych. Przy takim podejściu chwilowe wartości oddziaływań falowania morskiego można obliczyć traktując statek jako sześcian znajdujący się na wodzie [6] według następujących zależności: X Y W M w W = = = n n i= 1 i= 1 n ρ gblt cos β s ( t) ρ gblt sin β s i= 1 w 1 4 w ρ gbl w w w i i ( t) ( L B ) sin β s ( t) w i (1.38) Gdzie s i jest funkcją gęstości falowania dla i-tej składowej o częstotliwości ω i z kątem przesunięcia fazowego Φ i : s i ( t) A k sin( ω t + φ ) = (1.39) i i ei i 45

46 Amplitudę harmonicznej fali o danej częstości ω i i w określonym przedziale częstotliwości ω można obliczyć z zależności: i = s i ( ω ) ω A (1.40) Liczba falowa wynosi: k i ωi = (1.41) g Należy również uwzględnić prędkość statku i związaną z tym zmianę częstości ω i na częstość spotkaniową ω ei z jaką oddziałuje fala na kadłub statku. Częstość spotkaniową dla statku poruszającego się z prędkością V oraz fali o częstości ω i i kierunku fali względem statku β w opisuje wyrażenie: ω ei ωi V cos β w = ωi (1.4) g Prądy morskie Prądy morskie są to przemieszczające się masy wody wywołane różnymi zjawiskami fizycznymi oddziaływaniem wiatru, różnicą gęstości wód, pływami (wzajemne oddziaływanie Ziemi, Księżyca i Słońca). Ze względu na głębokość występowania prądy morskie możemy podzielić na : powierzchniowe, podpowierzchniowe, głębinowe, przydenne. 46

47 Prądy morskie możemy również rozpatrywać pod kątem okresu trwania, przy czym wyróżnić możemy prądy okresowe i stałe [19]. Stałe prądy morskie są to wielkoskalowe prądy głębinowe i powierzchniowe przemieszczające się w danych rejonach w sposób ciągły. Charakteryzują się one stałymi kierunkami, prędkościami i poziomami głębokości. Ponieważ prądy wielkoskalowe poruszają się w obiegu zamkniętym niosą ze sobą masy wody o różnych temperaturach. Rozpatrując oddziaływanie prądów morskich na jednostkę pływającą bierzemy pod uwagę wielkoskalowe prądy powierzchniowe. Parametrami charakteryzującymi prąd morski w danym rejonie i na danej głębokości są: średnia prędkość V C i kierunek geograficzny γ C. Powierzchniowe prądy morskie powodują zmianę kierunku poruszania się statku. Oddziaływanie takie powoduje zmianę wartości sił i momentu oporu kadłuba. Wartości oporów kadłuba z uwzględnieniem prądów morskich można obliczyć na podstawie zależności (1.5), przy czym należy dokonać następujących podstawień: V = V RV β = β RV (1.43) gdzie: V RV względna prędkość statku względem masy wody, β RV względny kąt dryfu statku względem masy wody. Równanie (1.5) przyjmie wtedy następującą postać: R R M Cx Cy Cy 1 = ρwsvrc CX ( βrc ) 1 = ρwsvrc CY ( βrc ) 1 = ρwslvrc CM ( βrc ) (1.44) Względne wartości prędkości V RV oraz kąta oddziaływania wiatru β RV dane są następującymi zależnościami [78]: 47

48 RV RVx RVy V = V + V (1.45) VRVy β RV = arctan (1.46) V RVx przy czym V V RVx RVy = u V = v V Cx Cy (1.47) gdzie: V Cx, V Cy składowe prędkości prądu powierzchniowego, β C kąt prądu powierzchniowego względem płaszczyzny symetrii statku. Kąt prądu względem statku jest równy różnicy kierunku geograficznego prądu morskiego γ C oraz kąta kursowego statku ψ (rysunek 1.1): β C = γ C ψ (1.48) Zakłada się, że γ C = 0 0 dla masy wód powierzchniowych poruszających się w kierunku północnym oraz γ C = 90 0 dla kierunku na wschód. Składowe prędkości prądu powierzchniowego V Cx i V Cy można obliczyć według następującej zależności: V V Cx Cy = Vc cosβ = Vcsin β C C (1.49) 48

49 Rys Kierunki i prędkości dla statku na wodzie z prądem powierzchniowym 49

50 1.3 Statek jako obiekt sterowania kursem Dla utrzymania statku na zadanym kursie, prowadzenia jednostki po zadanej trajektorii lub wykonania manewru w sytuacji kolizyjnej niezbędna jest znajomość własności dynamicznych statku. Statek jest wielowymiarowym obiektem sterowania o kilku wielkościach wejściowych takich jak: wychylenie steru δ, położenie dźwigni paliwowej h P, skok śruby nastawnej H, napór steru strumieniowego P SS, oraz kilku wyjściowych wielkościach wyjściowych: kurs ψ, prędkość V, kąt dryfu β. Pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi istnieją współzależności, które są opisane skomplikowanymi równaniami różniczkowymi [6] [66]. Wyznaczenie współczynników dla tych zależności jest bardzo pracochłonne i wymaga odpowiednich prób lub badań modelowych [47] [6]. Rysunek 1. przedstawia wpływ poszczególnych parametrów wejściowych na wartości wyjściowe. Bardzo często do opisu tych zależności stosuje się bezwymiarowe współczynniki otrzymywane na podstawie badań modelowych [3] [6] [83]. Kinematyka statku opisana jest równaniami (1.3). δ dynamika ψ kinematyka h H V x,y P SS β Rys. 1.. Statek jako wielowymiarowy obiekt sterowania 50