MATLAB ćwiczenia. Spis treści

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATLAB ćwiczenia. Spis treści"

Transkrypt

1 MATLAB ćwiczenia Spis treści 1. Podstawy Tworzenie katalogu roboczego, przygotowanie do pracy Matlab jako kalkulator Wpisywanie macierzy i wektorów bezpośrednio z konsoli Tworzenie macierzy przy pomocy funkcji Matlaba Najprostsze matematyczne operacje na macierzach Wizualizacja macierzy I/O Wprowadzanie danych liczbowych do programu Matlab Zapis wyników Czytanie i zapisywanie plików graficznych Czytanie plików dźwiękowych Rozwiązywanie równań Równania nieliniowe, fzero Układy równań liniowych Rozwiązywanie równań ODE Prosty przypadek oscylator harmoniczny Po co tyle funkcji ode? Trudniejszy problem - wahadło na gumce Automatyczne kończenie obliczeń strzelanie z wiatrówki Bardzo krótko o chaosie dynamicznym Wykresy w Matlabie Wykresy 2D Wykresy 3D Animacje dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 1/38

2 1. Podstawy 1.1. Tworzenie katalogu roboczego, przygotowanie do pracy Utwórz na pulpicie folder Lab, utwórz w nim folder cw-01. Uruchom program Matlab, ustaw jako katalog roboczy utworzony poprzednio folder cw-01. W programie Matlab wybierz z menu opcję Command Window Only (jak na poniższej ilustracji). Utworzenie odrębnego katalogu ma dwie zalety: unikamy konfliktów nazw; łatwo jest utrzymać porządek. Aby uniknąć problemów używamy tylko tych liter, które są określone w standardzie ASCII. Napisz słowo diary w oknie poleceń i naciśnij enter. Ilustracja 1. Ustawienie programu Matlab z właściwym dla pierwszych zajęć katalogu roboczym i wybór odpowiedniego ustawienia okien do dalszej pracy z programem Matlab jako kalkulator Matlab może służyć do prostych obliczeń. Sprawdź, czy Matlab prawidłowo obliczy ile jest,,,, itd. (Ilustracja 2.) Zadanie 1. Czy wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych będzie zawsze taki sam w języku C i w Matlabie? Zadanie 2. Niewymierna liczba jest zapisywana w Matlabie jako pi. A jak w Matlab jest zapisywana liczba która jest podstawą logarytmów naturalnych? Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Czym różni się funkcja Matlaba cosd od funkcji cos? Jak obliczyć w Matlabie wyrażoną w stopniach wartość funkcji arcus tangens dla wartości zmiennej niezależnej równej jeden? Czy polecenie format służy w programie Matlab do formatowanie dysku? Możemy zapisywać wyniki obliczeń w zmiennych itd. Poleceniem format zmieniamy sposób w jaki Matlab będzie wyświetlał liczby. Do wypisywania wyników nadaje się też funkcja fprintf, nieco podobna do znanej z języka C funkcji printf. (Ilustracja 3.) Wydając polecenie help dostajemy opis możliwości polecenia/funkcji programu Matlab jako tekst w oknie konsoli. Polecenie doc ma podobne działanie, ale wyświetla dokumentację jako hipertekst. (Ilustracja 4.) dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 2/38

3 Ilustracja 2. Matlab jako kalkulator. Ilustracja 3. Różne formaty wyświetlania wyników. Ilustracja 4. Hipertekstowy opis działania polecenia format, jaki widać po wywołaniu doc format. Ten sam tekst można odnaleźć z menu programu Matlab. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 3/38

4 1.3. Wpisywanie macierzy i wektorów bezpośrednio z konsoli Ilustracja 5. Wprowadzanie wektorów i macierzy wprost z klawiatury, liczba po liczbie. Wektory w Matlabie to macierze o jednym wierszu (albo o jednej kolumnie). Macierze wpisuje się z konsoli tak jak widać to na ilustracji powyżej. Średnik oznacza koniec wiersza macierzy, można też po prostu nacisnąć enter, co zrobiono przy wprowadzaniu macierzy B. Oczywiście, dla wielkich macierzy, zawierających miliony elementów, metody te są zupełnie nieprzydatne. Zadanie 6. Wpisz bezpośrednio z klawiatury macierz 1.4. Tworzenie macierzy przy pomocy funkcji Matlaba Matlab rozumie zapis 10:5:25 jako zwięzły sposób zapisu ciągu 10, 15, 20, 25. W ten sposób możemy łatwo tworzyć rozmaite macierze. Zadanie 7. Używając jedynie notacji z dwukropkiem wprowadź do programu Matlab macierz: mającą 99 wierszy i 99 kolumn. Zadanie 8. Jak usunąć z tej macierzy pierwszy i ostatni wiersz, tak aby otrzymana macierz miała 97 wierszy i 99 kolumn? dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 4/38

5 Ilustracja 6. Tworzenie macierzy przy pomocy operatora dwukropka. Poza notacją z dwukropkiem w Matlabie używa się funkcji generujących takie macierze jak macierz zerowa, jednostkowa, z losowymi elementami, magiczna itd. Używając ich razem z transpozycją i innymi przestawieniami elementów oraz wydzielającymi przekątne, macierz górna lub dolną itd., można względnie łatwo uzyskać macierz jaka nam jest potrzebna. Funkcja gallery tworzy często używane (do testów) macierze takie jak np. macierz Householdera czy macierz Toeplitz a itp. Ilustracja 7. Użycie funkcji ones, diag i fliplr do utworzenia macierzy trójprzekątniowej. Zadanie 9. Jaka macierz powstanie w Matlabie po wydaniu polecenia diag(n) gdy n = 5? Zadanie 10. Utwórz poleceniem A = rand(100) macierz losową, następnie rozłóż ją na sumę dwóch macierzy, takich że oraz dla. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 5/38

6 Zadanie 11. Zadanie 12. Utwórz poleceniem M = magic(3) kwadrat magiczny, sprawdź wynik poleceń fliplr(m), flipud(m), triu(m), tril(m), tril(triu(m)), diag(m), diag(diag(m)), rot90(m). Sprawdź czy jest analogiczna funkcja do rot90, ale z obrotem w drugą stronę? Przy pomocy funkcji gallery utwórz macierz trójdiagonalną o 100 wierszach i 100 kolumnach. Jeszcze jedną możliwością jest składanie macierzy z podmacierzy, co wyjaśnia kolejna ilustracja. Gdy w wyniku operacji powiększa się rozmiar macierzy, to dane z już utworzonej wcześniej części mogą być przepisywane w pamięci komputera. Dlatego sklejanie dużych macierzy z bardzo małych pojedynczych elementów jest nieefektywne. Do dobrego stylu programowania należy, jeżeli już musimy np. użyć pętli for, wstępne ustalenie wielkości macierzy wywołaniem funkcji zeros lub ones niepotrzebne inicjalizacja bloku pamięci zerami jest znacznie mniej kosztowna niż wielokrotna realokacja i kopiowanie. Ilustracja 8. Komponowanie macierzy z podmacierzy. Zadanie 13. Utwórz, łącząc ze sobą mniejsze macierze, macierz: Oczywiście zawsze możemy uzyskać macierz w wyniku obliczeń. Możliwe jest także używanie wyrażenia logicznego do utworzenia zakresu indeksów tablicy. W przykładzie powyżej w macierzy, będącej iloczynem Kroneckera, zastępujemy zerami wszystkie elementy większe niż 9. Zadanie 14. Czy istnieje specjalna funkcja Matlaba do tworzenia iloczynu Kroneckera macierzy? dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 6/38

7 Zadanie 15. Zadanie 16. Jeżeli macierz M = magic(7), to czym jest M(1,1), M(1,:), M(:,1), M(:,2:) oraz M(end,2:2:end)? Co stanie się gdy utworzymy macierz R = rand(6), a potem przypiszemy do jej drugiego wiersza macierz pustą R(2,:) = []? Ilustracja 9. Używanie operacji matematycznych i warunków logicznych do tworzenia macierzy Najprostsze matematyczne operacje na macierzach Zadanie 17. Utwórz macierz A = magic(4), macierz B = triu(ones(4)), wektor v = 1:4, oblicz sumę macierzy A+B, różnicę A-B, pomnóż macierze A*B, sprawdź czy można pomnożyć A*v oraz v*a; czym różnią się iloczyny v'*v, v*v', v.*v; co oblicza iloczyn A.*B? 1.5. Wizualizacja macierzy Dla dużych macierzy bardziej celowe może być przyglądanie się macierzom nie jako tablicom liczb, ale jako obrazom w których każdy piksel ma kolor zależny od wartości elementu macierzy, co pokazuje przykład poniżej. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 7/38

8 Ilustracja 10. Zastosowanie funkcji imagesc do poglądowego przedstawienia macierzy. Od razu widać że tylko na przekątnej są niezerowe elementy. Podobnie działa funkcja spy, ale pokazuje ona tylko położenie niezerowych elementów. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 8/38

9 2. I/O 2.1. Wprowadzanie danych liczbowych do programu Matlab Utwórz na pulpicie folder cw-02 w folderze Lab. Skopiuj 1 do niego pliki z P:\Matlab\cw-02 (). Uruchom program Matlab, przejdź do katalogu Lab/cw-02 jako katalogu bieżącego. Wydaj najpierw polecenie diary 'notes.txt', a potem diary on. Zadanie 18. Wydaj polecenie dir, czy nazwy plików będą widoczne wraz z rozszerzeniami? Do czego służą polecenia type dane1.txt, open dane1.txt, edit dane1.txt oraz load dane1.txt? Co stanie się gdy, po wydaniu polecenia load dane1.txt, wydasz polecenia who, whos, size(dane1), length(dane1), plot(dane1), imagesc(dane1)? Ilustracja 11. Czytanie pliku dane1.txt poleceniem load. Zadanie 19. Zadanie 20. Zadanie 21. Obejrzyj zawartość pliku dane2.txt. Przy pomocy funkcji textread przeczytaj pierwsze 3 linie z pliku dane2.txt jako odpowiednio tablicę s napisów i trzy wektory x, y, z wartości liczbowych. Czy można poleceniem textread przeczytać wszystkie dane z tego pliku? Dlaczego texscan bez ograniczenia liczby wierszy powoduje błąd wykonania w Matlabie? (Ilustracja 12.) Spróbuj wczytać te same pierwsze trzy linie z pliku dane2.txt używając polecenia uiimport. Który z tych dwóch sposobów będzie działać w Octave? Przeczytaj wszystkie dane z pliku dane2.txt używając funkcji textscan. 1 Jeżeli używasz komputera na pracowni. Jeżeli nie masz dostępu do tego dysku pobierz odpowiedni plik zip ze strony dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 9/38

10 Zadanie 22. Przeczytaj wszystkie dane z pliku dane3.txt używając funkcji textscan w ten sposób, aby pominąć tekst komentarza (zapisanego w konwencji C). Jedno z możliwych rozwiązań jest na ilustracji. (Ilustracja 15.) Aby pominąć komentarze zastosowana jest opcja CommentStyle; niektóre macierze są tworzone funkcją reshape z wektorów do których zostały wczytane. Ilustracja 12. Czytanie danych z pliku dane2.txt funkcją textread i przez kreatora importu uiimport. Ilustracja 13. Czytanie przy pomocy textscan pliku tekstowego w którym występują różne bloki danych. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 10/38

11 Ilustracja 14. Plik dane3.txt zawiera łańcuchy znaków w cudzysłowach, liczby, dodatkowe puste linie i komentarze. Ilustracja 15. Współpraca funkcji textscan z funkcją reshape i czytanie napisów ujętych w cudzysłowy %q. Zadanie 23. Zadanie 24. Zadanie 25. Użyj funkcji dlmread do wczytania zapisanych w pliku dane4.csv danych jako macierzy. Co się stało z brakującymi wartościami i czy nie prościej byłoby użyć funkcji csvread? Jak rozróżnić zero przeczytane z danych od zera wrzuconego jako wartość zastępcza dla brakujących danych? Czy dobrym pomysłem byłoby użycie przecinków zamiast średników przy czytaniu plików zapisanych z przecinkiem dziesiętnym zamiast kropki dziesiętnej? Użyj funkcji importdata aby wczytać dane zapisane w pliku dane4.csv. Czy brakujące wartości są teraz jednoznacznie określone? Użyj niskopoziomowych funkcji wejścia/wyjścia do przetwarzania pliku dane4.csv. Kiedy można odnieść korzyść z wywołania funkcji takich jak fgetl skoro prościej jest użyć importdata? Jak przeczytać plik, w którym brakujące wartości zostały zamarkowane znakiem gwiazdki *? dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 11/38

12 Ilustracja 16. Plik dane4.csv czytany funkcjami dlmread i import data Zapis wyników Dla każdego sposobu w jaki można wczytać dane do Matlaba istnieje zbliżony w koncepcji sposób zapisu plików. Dla load to save, dla dlmread to dlmwrite itd. Praktyczne znaczenie, dla początkujących, mają funkcje save, disp i fprintf. Zadanie 26. Zadanie 27. Zadanie 28. Zadanie 29. Utwórz macierz o pięciu wierszach i pięciu kolumnach wywołaniem rand(5). Zapisz tę macierz do pliku Matlaba zgodnego z wersją 4. tego programu. Zapisz tę macierz do pliku tekstowego o nazwie los.txt. Jak zmieni się plik los.txt gdy użyjesz opcji double? (Ilustracja 17.) Do czego służy funkcja disp w Matlabie? Spróbuj wywołać disp(pi), disp(magic(3)), disp('napis ćwiczebny'). Czy wynik wywołania disp zależy od średnika na końcu linii? Czy w wyniku działania disp zmienia się wartość zmiennej ans? Użyj funkcji fprintf i pętli for do wypisania tabelki wartości funkcji sinus dla kątów od do co, tak aby w każdej linii był napis sinus %f = %f, gdzie zamiast %f powinny być odpowiednie wartości. (Ilustracja 18.) Użyj funkcji fopen, fprintf i fclose aby do pliku log.txt dopisać dane zwracane przez date i clock. Dane które już były w pliku nie powinny zostać zniszczone. W jaki sposób można dopisać do tego pliku bieżącą godzinę i minutę pozyskane wywołaniem fix(clock)? (Ilustracja 19.) dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 12/38

13 Ilustracja 17. Standardowy zapis (bez double) może być zbyt mało dokładny. Nawet użycie opcji -double nie gwarantuje utraty dokładności wywołanej błędami zaokrągleń przy pisaniu i czytaniu do plików tekstowych. Ilustracja 18. Zastosowanie funkcji fprintf i pętli for. Jeżeli chcemy wpisać całą pętlę w jednej linii, to do rozdzielenia używamy przecinków. Ilustracja 19. Dopisywanie na końcu pliku przez podanie 'a' przy otwarciu pliku. Otwierając plik przez fopen('log.txt', 'w') zniszczylibyśmy już w nim istniejące dane Czytanie i zapisywanie plików graficznych Podstawowe funkcje do czytania i zapisywania plików w formatach JPEG, GIF, PNG i podobnych to imread i imwrite oraz print. Zamiast imread można wywoływać funkcję importdata, która automatycznie wybierze właściwy sposób czytania (czyli wywoła imread). dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 13/38

14 Zadanie 30. Użyj funkcji imread do przeczytania pliku dane5.bmp, wyświetl go funkcją image, oblicz macierz taką że, są współrzędnymi piksela na obrazie, a macierze,, reprezentują składowe czerwoną, zieloną i niebieską. Zastąp zerami wszystkie te elementy macierzy które są mniejsze niż wartości największej. Wyświetl otrzymaną w ten sposób macierz jako obraz funkc image w odwróconej skali szarości. Zapisz tę macierz jako plik JPEG, wyeksportuj wykres Figure 1 jako plik PNG. Ilustracja 20. Przetwarzanie plików grafiki rastrowej Czytanie plików dźwiękowych Zadanie 31. Najpierw użyj funkcji wavread do przeczytania pliku dane6.wav, potem spróbuj odtworzyć funkcją wavplay. Otwórz ten sam plik funkcją importdata. Spróbuj teraz odsłuchać ten sam plik przy odtwarzaniu normalnym, dwukrotnie przyspieszonym i dwukrotnie zwolnionym. Czy dane wczytane przez wavread były odtworzone we właściwym tempie? Jakie jest domyślne tempo odtwarzania dla wavplay? Ilustracja 21. Odtwarzanie dźwięku w Matlabie (wymaga podłączonych głośników lub słuchawek). dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 14/38

15 Zadanie 32. Wyświetl wykres dźwięku jaki został zarejestrowany pomiędzy 2 a 3 sekundą nagrania. Ilustracja 22. Wykres dźwięku zapisanego w pliku dane6.wav. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 15/38

16 3. Rozwiązywanie równań Załóż na pulpicie folder Lab/cw-03. Uruchom program Matlab, przejdź do Lab/cw-03 jako do katalogu roboczego. Uruchom poleceniem diary zapis wydanych poleceń do pliku notes.txt Równania nieliniowe, fzero Zadanie 33. Rozwiąż równanie znajdując wszystkie pierwiastki mniejsze niż 20. Aby rozwiązać powyższe zadanie zastosujesz funkcję fzero, ale najpierw narysuj wykres aby ogólnie zorientować się gdzie mogą być szukane miejsca zerowe. Ilustracja 23. Wykres funkcji przedstawiających lewą (lhs) i prawą stronę (rhs) równania. Tam gdzie przecinają się ciągłe linie, niebieska i zielona, tam równanie jest spełnione. Teraz użyj pętli for, aby znaleźć odpowiednie pierwiastki. Zauważ, że pierwsze przecięcie jest blisko, czyli dla, natomiast kolejne w pobliżu, gdzie,7 (bo założyliśmy ). Wyniki obliczeń dopisuj do wektora x0. Dla ułatwienia zamiast wydawać polecenia wprost z konsoli użyj skryptu (nazwij go zadanie33.m). 1 % definicje funkcji 2 % 3 lhs 4 rhs 5 eq - rhs(x)); 6 7 % zakres wykresu i ilość punktów 8 % 9 a = -1.0; 10 b = 24.0; 11 n = 2500; % wykresy funkcji 14 % 15 x = linspace(a,b,n); 16 plot( x,lhs(x), x,rhs(x) ); 17 grid on; 18 title 'sin(x), exp(-x)'; 19 xlabel 'x'; 20 ylabel 'y'; 21 line( xlim, [0,0], 'Color', 'red','linestyle',':' ); dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 16/38

17 22 23 % znajdowanie pierwiastków 24 % 25 x0 = []; 26 for k = 1:7 27 x0 = [x0; fzero( eq, (k-1)*pi) ]; 28 end % wyniki jako kolumna liczb i na wykresie 31 % 32 format long 33 disp(x0); 34 hold on; plot(x0,lhs(x0),'or'); Ilustracja 24. Graficzne przedstawienie pierwiastków równania Zadanie 34. Napisz skrypt, który znajduje wszystkie dodatnie rozwiązania równanie, wiedząc że sekund, hertzów. Zadanie to można rozwiązać w podobny sposób jak poprzednie. Ponieważ rozwiązań być nie może. Dlatego szukamy takich pierwiastków, to gdy, dla których. Okres sinusoidalnych zmian wynosi, dlatego będziemy badać funkcję dzieląc każdy taki okres na dziesięć podprzedziałów (funkcja sinus ma tylko 3 miejsca zerowe na okres). W każdym podprzedziale, dzięki pętli while, używamy funkcji fzero, której przekazujemy jako pierwszy parametr równanie, a jako drugi parametr zakres. Blok try-catch służy do wyciszenia sygnalizacji błędu, jakim jest szukanie miejsca zerowego gdzie go nie ma. 1 % definicja funkcji 2 % 3 T = 10.0; % sekund 4 f = 50.0; % Hz 5 eq exp(-2.0*t/t).* sin(2.0*pi*f*t) ); 6 7 % zakres wykresu i ilość punktów dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 17/38

18 8 % 9 a = 0; 10 b = -0.5 * T * log(0.5); % obliczone z warunku zadania 11 n = 25000; % wykres funkcji 14 % 15 t = linspace(a,b,n); 16 plot( t,eq(t) ); 17 grid on; 18 title 'exp(-2.0*t/t) * sin(2.0*pi*f*t) - 0.5'; 19 xlabel 't'; 20 line( xlim, [0,0], 'Color', 'red','linestyle',':' ); % znajdowanie pierwiastków 23 % 24 t_roots = []; 25 t_start = a; 26 t_delta = 1/f * 0.1; 27 while (t_start < b) 28 try 29 t_roots = [t_roots; fzero( eq, [t_start, t_start+t_delta] )]; 30 catch 31 end 32 t_start = t_start + t_delta; 33 end % wyniki 36 % 37 format long 38 disp(t_roots); Ilustracja 25. Wykres exp(-2.0*t/t).* sin(2.0*pi*f*t).^2-0.5 ). Zadanie 35. Zmodyfikuj skrypt z poprzedniego zadania tak, aby powstała funkcja fz(t,freq,treshold), która pozwoli obliczyć zera dla dowolnego podanego okresu, częstotliwości oscylacji i progu (który nie musi wynosić 0.5). dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 18/38

19 3.2. Układy równań liniowych Zadanie 36. Oblicz natężenie prądu elektrycznego płynącego przez opornik R3 w obwodzie elektrycznym (Ilustracja 26). Dane są oporności,, i napięcia,. Ilustracja 26. Obwód elektryczny. Korzystając z pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa możemy napisać układ trzech równań liniowych opisujących przepływ prądu przez oporniki: W metodzie prądów oczkowych mamy mniej równań a natężenie prądu płynącego przez opornik R3 obliczymy jako. Równania te możemy zapisać macierzowo jako, gdzie:, Jak łatwo zauważyć, macierz w metodzie prądów oczkowych to na przekątnej suma oporów w danym oczku i z odpowiednim znakiem opory wspólne dla oczek poza przekątną). Odpowiedni skrypt w Matlabie ma postać: 1 R1 = 10.0E3; % om 2 R2 = 20.0E3; % om 3 R3 = 30.0E3; % om 4 V1 = 1.4; % wolt 5 V2 = 1.5; % wolt 6 7 A = [ R1+R3, -R3 ; -R3, R2+R3 ]; 8 b = [ -V1 ; V2 ]; 9 x = A \ b; 10 I3 = x(2) - x(1); fprintf('natezenie pradu plynacego przez R3 wynosi I3 = %f [A]\n', I3) Zadanie 37. Małgosia, Kuba i Jaś idą na wycieczkę. Muszą zabrać 15 kg sprzętu. Małgosia postawiła warunek: będzie niosła połowę tego co Jaś. Ile sprzętu będzie niósł każdy z uczestników wycieczki? dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 19/38

20 To zadanie pozornie jest łatwe, ale przecież mamy tylko dwa równania i trzy niewiadome. Zapisując je macierzowo mamy: Takie równanie ma oczywiście nieskończenie wiele rozwiązań. Ale oczywiście nam nie zależy na nieskończenie wielu lecz na przynajmniej jednym z nich możliwym do praktycznego zastosowania. Ilustracja 27. Minimalne rozwiązanie problemu z wycieczką, tj. takie że suma kwadratów obciążeń jest najmniejsza: dla rozwiązania obliczonego przez dzielenie wynosi 125, dla rozwiązania obliczonego z macierzy pseudoodwrotnej jest mniejsza niż 81. Jeżeli przedstawimy rozwiązania w przestrzeni n-wymiarowej (konkretnie w trójwymiarowej), to rozwiązanie otrzymane z macierzy pseudoodwrotnej jest po prostu rozwiązaniem najbliższym początkowi układu współrzędnych. Zadanie 38. Przy pomocy suwmiarki zmierzono wielokrotnie rozmiary wałka, otrzymując następujące wartości wyrażone w milimetrach,,,,,. Ile wynosi długość? (Ilustracja 28) Ilustracja 28. Wałek. Moglibyśmy zadanie to rozwiązać odejmując mm, moglibyśmy też odjąć mm. Jednak najlepiej ułożyć układ sześciu równań z czterema niewiadomymi: dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 20/38

21 Ten układ nie ma rozwiązania (jest sprzeczny), ale możemy pomnożyć i otrzymać równanie z macierzą kwadratową, które następnie rozwiązujemy przez dzielenie w lewo, lub znajdując macierz odwrotną. Możemy też od razu podzielić A \ b. Możemy użyć macierzy pseudoodwrotnej pinv(a). Końcowy wynik, po zaokrągleniu do dwóch cyfr po przecinku, wynosi mm. Trudniejszym zadaniem mogłoby być wyznaczenie niepewności pomiarowej otrzymanego wyniku (przy założeniu że dane były mierzone z dokładnością mm). Dobrą metodą byłyby obliczenia Monte Carlo: wielokrotnie, np. milion razy, tworzylibyśmy dane wejściowe zaburzone losowo i rozwiązywalibyśmy układ równań, aby następnie dokonać analizy statystycznej. Ilustracja 29. Rozwiązania układu w którym jest więcej równań niż niewiadomych to liczby które gwarantują najmniejsze rozbieżności pomiędzy lewymi a prawymi stronami. Jak widać różne schematy rozwiązywania prowadzą do nieznacznie różnych wyników (dwie ostatnie cyfry znaczące). dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 21/38

22 4. Rozwiązywanie równań ODE Jednym z trudnych zadań, jakie może napotkać inżynier, jest rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych. Równania takie to powiązanie wielkości aktualnie występujących z różnymi przyrostami (wyrażonymi przez pochodne). Do ich rozwiązywania analityczne podejście jest nieskuteczne niemal w każdym praktycznym przypadku i dlatego stosuje się metody przybliżone. Z programem takim jak Matlab nasze zadanie sprowadza się tylko do podania równań i warunków rozwiązywania resztę pracy wykona za nas komputer Prosty przypadek oscylator harmoniczny Klasycznym problemem, i to nie tylko mechaniki, są drgania harmoniczne tłumione pod wpływem zewnętrznej siły wymuszającej. Zadanie 39. Mamy ruch opisany równaniem: Jak użyć programu Matlab dla zbadania co się dzieje, jeżeli,,,, początkowe położenie, a prędkość początkowo wynosi zero? Zaczynamy od rozbicia równania na równania stopnia pierwszego, bo Matlab będzie rozwiązywać układy równań pierwszego stopnia: W pliku oscylator.m zapisujemy 2 funkcję oscylator, która musi mieć dwa parametry: pierwszy reprezentuje zmienną niezależną, drugi jest wektorem ze zmiennymi zależnymi (czyli w konkretnym przypadku są to położenie i prędkość). function dqdt = oscylator(t,q) omega0 = ; omega = ; zeta = 0.1; A = 0.05; dqdt = [ q(2) -2*zeta*omega0*q(2) - omega0^2*q(1)-(omega^2- omega0^2)*a*sin(omega*t) ]; end Aby wykonać obliczenia wydajemy Matlabowi polecenie: 0.10],[0.15 0],odeset('OutputSel',1)); 2 Nazwa funkcji oscylator musi być zgodna z nazwą pliku oscylator.m. Identyfikator dqdt oznaczający zwracany wektor, choć jest bezpośrednio po słowie kluczowym function, nie jest nazwą funkcji. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 22/38

23 Funkcja ode45 zostaje wywołana z czterema parametrami uchwytem do funkcji oscylator, zakresem zmiennej niezależnej dla jakiego należy wykonać obliczenia, wektorem wartości początkowych i opcjami utworzonymi przez odeset (jako 'OutputSel' wybieramy zmienną 1, czyli położenie). Matlab wykona obliczenia rysując wykres 3 obrazujący rozwiązanie Ilustracja 30. Drgania tłumione zanikają zastępowane przez drgania wymuszone 4.2. Po co tyle funkcji ode? Matlab oferuje łatwą zmianę algorytmu rozwiązywania równań wystarczy zamiast np. ode45 użyć funkcji ode113 lub ode23 aktualny wykaz znajdziemy w dokumentacji on-line do programu Matlab, np. pisząc polecenie doc ode45. Po co jednak tyle funkcji ode 4 czy nie wystarczyłaby jedna, ode45? Na kolejnym rysunku poniżej widzimy zły efekt działania ode45 dla bardzo długich czasów: fałszywy okres i zanik amplitudy. Fikcyjny okres powstał dzięki aliasingowi jak to się stało wyjaśnia kolejny rysunek. Zanik amplitudy powstał wskutek kumulacji błędów numerycznych. Wybór innego schematu obliczeń (np. ode23t) pozwala na ocenę w jakim stopniu otrzymane wyniki są poprawne. Szczególnie uważać należy na takie równania, które określa się jako odporne 5 (stiff equations). Gdy próbujemy rozwiązać je numerycznie nieodpowiednimi dla nich metodami, takimi jak właśnie ode45, to 3 Zależność. Jeżeli wybierzemy 2, to zostanie narysowany wykres. Jeżeli pominiemy czwarty parametr lub po prostu damy optset(), to wykreślone zostaną wszystkie zmienne na jednym wykresie. 4 Funkcje ode23 (Shampine-Bogacki) i ode45 (Dormand-Prince) implementują schematy Runge-Kutty rzędu odpowiednio 3 i 4 oraz 4 i 5. Każda z nich w trakcie działania używa pary metod po to, aby móc ocenić dokładność obliczeń i odpowiednio dobrać krok. Funkcja ode113 używa wielokrokowej, z predykatorem i korektorem, automatycznym dopasowaniem rzędu i kroku, metody Adamsa-Bashfortha-Moultona (i jest przeniesiona z fortranowskich DE/STEP/INTERP Shampine a i Gordona). Funkcja ode15s implementuje techniki różniczkowania do tyłu NDF (Klopfenstein-Shampine) i BDF wybierając wzory rzędu od 1 do 5. Funkcja ode23s wywodzi się z metody Rosenbrocka, ale ma pewne udoskonalenia (Shampine-Reichelty). Funkcja ode23t to niejawna metoda trapezów, funkcja ode23tb to ode23t z różniczkowaniem BDF. Jak widać metody te są dość zaawansowane (i można ewentualnie wywoływać je z różnymi ustawieniami, np. dostarczając jakobian). Ponadto Octave ma wbudowaną funkcję lsode (Livermore Solver of ODE), która wymaga nieco innej kolejności parametrów niż funkcje znane z Matlaba. 5 Rozpowszechniło się, niezbyt poprawne, tłumaczenie stiff equations na równania sztywne. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 23/38

24 automatyczny wybór kroku zawodzi. Wydaje się nawet, że w praktycznych problemach najczęściej będziemy mieli do czynienia z równaniami odpornymi, a przezorne traktowanie wszystkich równań jako sztywnych nie jest szkodliwe. Zadanie 40. Rozwiąż poprzednie zadanie dla zerowego tłumienia, dla czasów od do,,,, stosując różne metody (ode45, ode113, ode23t itd.). Napisz skrypt w Matlabie, który rozwiązuje równanie wybraną metodą i rysuje trzy wykresy: zależność i zależność, oraz czyli diagram fazowy. Czy amplituda drgań jest stała, rośnie czy maleje po dłuższym czasie? Jaka metoda daje najbardziej wiarygodne rezultaty? Sprawdź, co na ten temat można znaleźć w dokumentacji programu Matlab. (Ilustracja 31. Rozwiązania tego samego równania (oscylator harmoniczny bez tłumienia i bez wymuszenia,, ), ta sama procedura, tj. ode45, ale różny zakresu czasu symulacji. Po lewej czas w symulacji kończy się na 100 sekundach, po prawej po 100 tysiącach sekund (czyli 1000 razy więcej niż po lewej). (Ilustracja 31.) 1 położenie sin( ) 1 położenie x diagram fazowy x diagram fazowy t prędkość x t x 10 4 prędkość x x x 1 x x t t x 10 4 Ilustracja 31. Rozwiązania tego samego równania (oscylator harmoniczny bez tłumienia i bez wymuszenia,, ), ta sama procedura, tj. ode45, ale różny zakresu czasu symulacji. Po lewej czas w symulacji kończy się na 100 sekundach, po prawej po 100 tysiącach sekund (czyli 1000 razy więcej niż po lewej). Zadanie 41. Aliasing. Stablicuj, jako y1, funkcję sinus w przedziale od do z krokiem. Stablicuj, jako y2, funkcję sinus w tym samym przedziale, ale z krokiem np.. Wykreśl y1 i y2 na jednym wykresie, obie linie mają rozciągać się na ten sam zakres odciętych. (Ilustracja 32.) Ilustracja 32. Zjawisko aliasingu przeskakiwane są całe okresy, powstaje krzywa (czerwona) o fałszywie wydłużonym okresie. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 24/38

25 4.3. Trudniejszy problem - wahadło na gumce Ruch oscylatora harmonicznego jest opisany w tysiącach książek i istnieją jego rozwiązania analityczne. Spróbujmy teraz zastosować Matlab do problemu 6 lepiej wykazującego skuteczność obliczeń numerycznych. Mamy ciężarek o masie 100 gramów przywiązany do jednometrowej nici gumowej, tak że wisząc na niej rozciągnął ją o 10 centymetrów. Masę gumki pomijamy, opór powietrza pomijamy, siłę Coriolisa pomijamy, przyspieszenie normalne ziemskie wynosi. Gumka jest przywiązana drugim końcem do początku układu współrzędnych, tj. w tym miejscu współrzędne,, wynoszą zero. Chcemy zobaczyć, jak będzie poruszać się ciężarek na gumce. Ilustracja 33. Układ osi współrzędnych dla zadania gumka i ciężarek. Najtrudniejsze jest uwzględnienie, że czasami gumka jest napięta a czasami luźna i to wyklucza 7 rozwiązanie analityczne, czyli zapisane matematycznym wzorem. Dodatkowo warto zauważyć, że wahadło na gumce może wychylać się o duże kąty, tj. takie dla których nie można uznać iż. I oczywiście mamy trzy stopnie swobody (trzy współrzędne). Wyprowadzenia są w kolejnym akapicie, ale można je pominąć najważniejsze są równania otrzymane na końcu właśnie to te równania będziemy rozwiązywali numerycznie. Początkową długość gumki oznaczamy. Jeżeli ciężarek jest w punkcie o współrzędnych, to jest w odległości od początku układu współrzędnych. Jeżeli, to gumka jest nienaciągnięta i na ciężarek działa tylko jego ciężar. Jeżeli, to na ciężarek działa także naciąg gumki, równy co do wartości. Stałą wyliczamy ze wzoru, w którym jest długością gumki po rozciągnięciu przez nieruchomo wiszący ciężarek. Problem jest trójwymiarowy. Składowe ciężaru są oczywiste:,. Składowe siły są też nietrudne do określenia:,,, gdzie oczywiście może być (dla nienapiętej gumki) równe zero. Stąd (i z drugiej zasady dynamiki Newtona) równania ruchu:,,, gdzie jest prędkością ciężarka. Warunki początkowe opiszmy jako bycie w miejscu o współrzędnych, gdzie, i poruszanie się z prędkością taką, że jej wektor ma kąt elewacji, a jego rzut na 6 W podręcznikach zwykle nie ma innych sił sprężystych niż liniowo i symetrycznie zależne od odkształcenia. Nie jest to realistyczne, ale znakomicie ułatwia wyprowadzanie wzorów matematycznych. Fizyka aż do XX wieku starannie omijała problemy nieliniowe, zwłaszcza prowadzące do chaosu dynamicznego. 7 Jeżeli jakiś geniusz dałby sobie radę z tym problemem to wystarczy nieco zmodyfikować np. użyty model sprężystości albo uwzględnić masę gumki albo dodać opór powietrza Każda taka modyfikacja jest dość łatwa w modelu numerycznym, lecz dla ścisłego rozwiązania wprost zabójcza. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 25/38

26 płaszczyznę jest odchylony o kąt od kierunku osi (patrz rysunek). Pionowa składowa prędkości początkowej jest równa, natomiast poziome składowe to,. Jak widać układ współrzędnych wybraliśmy tak, aby oś była skierowana pionowo w górę, a oś przechodziła przez punkt w którym jest ciężarek w czasie. (Nie zmniejsza to ogólności rozwiązań.) Jeżeli ktoś w tym miejscu trochę się pogubił to nie powinien się martwić do tej pory omawialiśmy szczegóły wymagające koncentracji, ale dość nudne i drugoplanowe. Mamy więc układ sześciu równań: gdzie jest równe jeżeli to wyrażenie jest dodatnie, a zero w pozostałych przypadkach. Chcąc numerycznie rozwiązać ten problem tworzymy w katalogu roboczym 8 plik o nazwie gumka.m. W pliku tym są, jak widać, dwie funkcje jedna o nazwie gumka (czyli zgodnej z nazwą pliku i ta będzie uruchamiała obliczenia) druga o nazwie fcn (czyli subfunkcja dostępna tylko z poziomu funkcji gumka). Nasza funkcja gumka będzie wywoływała biblioteczną funkcję ode45, a ta w czasie rozwiązywania problemu, aby obliczyć prawe strony układu równań, będzie używać funkcji fcn. Warto zauważyć, w jaki sposób przekazywane są dodatkowe parametry do funkcji fcn dopisujemy je jako piąty i kolejne argumenty do wywołania ode45, a w funkcji fcn pojawiają się jako trzeci itd. Alternatywną możliwością jest używanie zmiennych globalnych, albo definiowanie ich jako lokalnych w samej funkcji fcn. Każde z tych rozwiązań ma wady i zalety. 9 function gumka % % GUMKA - rozwiązywanie równań ODE (2012, Sławomir Marczyński) % Parametry i dane wejściowe 8 W Microsoft Windows Vista domyślnym katalogiem roboczym dla programu Matlab jest Moje dokumenty/matlab zwykle na dysku systemowym C:, jednak w czasie zajęć w pracowni komputerowej ZUT należy używać dysku D:, bo dysk C: może być niedostępny dla niektórych operacji. 9 Przekazywanie za każdym razem parametrów może nieco spowolnić obliczenia, globalne zmienne mogą więc dawać większą prędkość działania. Zmienne globalne są globalne, to znaczy są globalne nie tylko w obrębie danego pliku, ale są wspólne dla wszystkich funkcji jakie są w Matlabie użyte. I to może prowadzić do trudnych do wykrycia błędów, konfliktów nazw. Natomiast zdefiniowanie zmiennych wyłącznie lokalnie nie pozwala na sensowne modyfikowanie ich wartości z zewnątrz. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 26/38

27 m = l0 = l = g = k = 0.1 ; % masa ciężarka w kilogramach 1.0 ; % długość nitki gumowej (nierozciągniętej), metry 1.1 ; % długość nitki gumowej (po zawieszeniu ciężarka), metry 9.81 ; % przyspieszenie ziemskie normalne, metry na sekundę^2 m * g / (l - l0); % Warunki początkowe x0 = 0.5; % w metrach y0 = 0.0; % w metrach z0 = -0.5; % w metrach v0 = 0.1; % prędkość początkowa, w metrach na sekundę alfa = 90.0; % kąt w stopniach beta = 0.0; % kąt w stopniach v0x v0y v0z = v0 * cosd(beta) * cosd(alfa); = v0 * cosd(beta) * sind(alfa); = v0 * sind(beta); init = [ x0, y0, z0, v0x, v0y, v0z]; % Parametry sterujące symulacją n = 500; % w ilu punktach ma być podane rozwiązanie t_start = 0; % czas startu symulacji, sekundy t_end = 20; % czas stopu symulacji, sekundy t = linspace(t_start, t_end, n); % generowanie wektora czasu opt = odeset('initialstep',0.0001/v0,'maxstep',0.0001/v0); % W tym miejscu wywołujemy ode45 aby rozwiązać równanie [czas, wyniki] = t, init, opt, m, l0, k, g); % Równanie jest już rozwiązane numerycznie, % pozostaje pokazać wyniki plot3(wyniki(:,1), wyniki(:,2), wyniki(:,3)); axis square; grid on; xlabel 'x'; ylabel 'y'; zlabel 'z'; title 'trajektoria ci??arka' end function dqdt = fcn(t, q, m, l0, k, g) % % Funkcja fcn oblicza prawe strony układu równań różniczkowych: % % dq(1)/dt = f1(t,q(1),q(2),...,q(n)) % dq(2)/dt = f2(t,q(1),q(2),...,q(n)) %... =... % dq(n)/dt = fn(t,q(1),q(2),...,q(n)) dqdt = zeros(size(q)); x = q(1); y = q(2); dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 27/38

28 z end z = q(3); vx = q(4); vy = q(5); vz = q(6); r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2); delta = r - l0; dqdt(1) = vx; dqdt(2) = vy; dqdt(3) = vz; if delta > 0. dqdt(4) = - (x/r) * k * delta / m; dqdt(5) = - (y/r) * k * delta / m; dqdt(6) = - (z/r) * k * delta / m - g; else dqdt(4) = 0.; dqdt(5) = 0.; dqdt(6) = - g; end trajektoria ciężarka x y Ilustracja 34. Trajektoria obliczona programem gumka, widać złożenie drgań w pionie, wahań w poziomie i obrotu. Podany wyżej skrypt w języku Matlab jest przykładem i dlatego jest napisany z myślą o czytelności, nawet kosztem prędkości działania i zwięzłości zapisu. Doświadczeni użytkownicy Matlaba zapisaliby być może funkcję fcn używając długości wektora obliczanej przez norm, warunek zapisaliby jako wartość logicznego wyrażenia (wynosi ono 1 dla prawdy, 0 dla nieprawdy), być może nie użyliby dodatkowych zmiennych, a parametry,, i ustalali globalnie i otrzymali np. coś takiego: dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 28/38

29 function dqdt = fcn(t, q) global m l0 k g dqdt(1:3) = q(4:6); dqdt(4:6) = - q(1:3) * k * (norm(q(1:3)? l0) / m * (norm(q(1:3)) > l0); dqdt( 6) = dqdt(6) - g; end Taki styl nie jest wzorem do naśladowania najważniejsza jest poprawność obliczeń, a trudno ją sprawdzić, jeżeli program został napisany nieczytelnie i z nadmiernym użyciem rozmaitych, błyskotliwych, sztuczek. Zadanie 42. Zadanie 43. Utwórz plik gumka.m i skopiuj do niego funkcje gumka i dqdt, jakie są na listingu powyżej (copy-paste). Narysuj tor ruchu ciężarka, jeżeli początkowe wartości metr,, metrów na sekundę,,. Jak zmieni się tor ruchu gdy prędkość metrów na sekundę? Narysuj wykres, na którym będzie widoczna prędkość ciężarka (z poprzedniego zadania) jako funkcja czasu Automatyczne kończenie obliczeń strzelanie z wiatrówki Poprzednio obliczenia były kończone po założonym czasie (w symulacji), w tym przykładzie warunek stopu będzie inny. Chcemy oszacować, jaki jest maksymalny realistyczny zasięg pocisku z wiatrówki strzelającej kulkami Ballistic Ball (BB). Dane są 10 kaliber, prędkość wylotowa, masa pocisku rama. Przypominamy sobie wzór na zasięg rzutu ukośnego, wartość przyspieszenia ziemskiego i podstawiamy dane: Wynik, jaki otrzymujemy w ten sposób, realistyczny nie jest. Dlaczego? Zignorowaliśmy opór powietrza, a dla ruchu pocisków ma on bardzo duże znaczenie. 11 Jak go uwzględnić? Można założyć, że opór powierza wynika z tarcia lepkiego gazu o kulisty pocisk (wzór Stokesa) do obliczeń siły potrzebna byłaby lepkość powietrza (około, zależnie od temperatury, wilgotności itd.). Można też założyć, tak jak tu zrobimy, opór aerodynamiczny wynikający z konieczności rozpędzenia powierza przed pociskiem do prędkości pocisku (model Newtona), otrzymując wzór: 10 Jak łatwo obliczyć średnia gęstość materiału z którego wykonano pocisk wynosi, kinetyczna energia początkowa dżula (czyli poniżej określonej w przepisach granicy 17 dżuli). 11 Chyba, że strzelamy np. na Księżycu wtedy zasięg pocisku wzrośnie jeszcze 6 razy, do ponad. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 29/38

30 gdzie jest polem powierzchni przekroju poprzeczego pocisku, jego prędkością w danej chwili, jest gęstością powietrza, jest współczynnikiem zależnym od kształtu, który dla kuli wynosi. Oczywiście. Mamy więc równania: Dokładamy do nich warunki początkowe: Kodujemy to w skrypcie Matlaba tworząc w pliku o nazwie zasięg.m funkcję zasięg oraz dwie subfunkcje fcn i events. 12 Funkcja fcn ma znaną już budowę dostaje wartości zmiennej niezależnej i zmiennych zależnych jako dane zwraca wartości pochodnych. Funkcja events jest funkcją wywoływaną z wnętrza ode45 i kontrolującą czy już zwróćmy uwagę, iż musi ona mieć dokładnie takie same parametry jak funkcja fcn. Czyli jeżeli stosujemy dodatkowe parametry (powyżej czwartego) w wywołaniu funkcji ode, to te parametry muszą być jako trzeci i kolejne w funkcjach fcn i events. 13 Uruchamiając ten skrypt widzimy, że tor lotu pocisku nie jest parabolą, a zasięg jest znacznie mniejszy niż obliczony z pominięciem oporów ruchu. function zasieg % % Zasięg strzału pociskiem BB z typowej wiatrówki (2012, Sławomir Marczyński) % Warunki początkowe x0 = 1.5; % metry y0 = 0.0; % metry v0 = 120.0; % prędkość początkowa, w metrach na sekundę alfa = 45.0; % kąt w stopniach init = [ x0, y0, v0 * cosd(alfa), v0 * sind(alfa)]; % Parametry sterujące symulacją 12 Ponieważ nazwy subfunkcji nie muszą (a nawet nie mogą) być takie jak nazwa pliku, to przy refaktoryzacji wystarczyłoby zmienić tylko nazwę głównej funkcji (jedna zmiana identyfikatora w jednym miejscu). Wszystkie wywołania subfunkcji pozostałyby bez zmian. Użycie subfunkcji jest wygodniejsze niż pisanie oddzielnych plików fcn.m i events.m. 13 Matlab nie sprawdza poprawności listy parametrów zanim dana funkcja nie zostanie wywołana. Dlatego, przy braku kompilacji innej niż JIT, niewłaściwe (nawet jeżeli nieużywane) parametry funkcji fcn i events będą powodowały błędy run-time, a nie compile-time. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 30/38

31 n = 500; % w ilu punktach ma być podane rozwiązanie t_start = 0; % czas startu symulacji, sekundy t_end = 20; % czas stopu symulacji, sekundy t = linspace(t_start, t_end, n); % generowanie wektora czasu opt = % dodawana jest funkcja kontrolująca % W tym miejscu wywołujemy ode45 aby rozwiązać równania, % pierwszy, niepotrzebny, wektor zwracany przez ode45 odrzucamy tyldą [~, wyniki] = t, init, opt, 0.33E-3, 4.5E-3, 1.2, 9.81); % Równanie jest już rozwiązane numerycznie, prezentujemy wyniki plot(wyniki(:,1),wyniki(:,2)); grid on; xlabel 'x'; ylabel 'y'; title 'trajektoria' end function dqdt = fcn(t, q, m, D, ro, g) end cx = 0.45; % współczynnik oporu areodynamicznego dqdt = zeros(size(q)); x = q(1); y = q(2); vx = q(3); vy = q(4); v = sqrt(vx^2 + vy^2); F = (cx/8) * (ro * D * v)^2 * pi; dqdt(1) = vx; dqdt(2) = vy; dqdt(3) = - (vx/v) * (F/m); dqdt(4) = - (vy/v) * (F/m) - g; function [value,halt,direction] = events(t,q, m, D, ro, g) % Obliczenia będą przerywane (halt = 1) gdy q(2) przejdzie przez zero (value = 0) % od wartości dodatnich do ujemnych (direction = -1). value = q(2); halt = 1 ; direction = -1 ; end dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 31/38

32 y 70 trajektoria x Ilustracja 35. Trajektoria pocisku BB wystrzelonego z wiatrówki. Zadanie 44. Sprawdź jak zmieni się zasięg gdy: masa ciężarka będzie dziesięciokrotnie większa; prędkość pocisku będzie dziesięciokrotnie większa; gęstość powietrza będzie o 10% mniejsza. Dla sprawdzenia jak na zasięg wpływa kąt elewacji, zmodyfikujemy plik zasieg.m zapisując go pod nazwą zasiegi.m: zamiast jednego kąta elewacji i jednej krzywej przebadamy cały zakres możliwych kątów elewacji, bo być może największy zasięg jest uzyskiwany dla kąta innego niż. Dodajemy funkcję zasiegi, zmieniamy bezparametrową funkcję zasieg na subfunkcję zasieg1(alfa), usuwamy ustawienie wartości alfa w tej subfunkcji. Reszta pozostaje bez zmian, a pętla for i polecenie hold on wymuszą nałożenie kolejnych wykresów na siebie. function zasiegi end figure; hold on; for alfa = 3:3:90 zasieg1(alfa) end hold off; function zasieg1(alfa) % % Zasięgi strzałów pociskiem BB z typowej wiatrówki (2012, Sławomir Marczyński) % Warunki początkowe x0 = 1.5; % metry y0 = 0.0; % metry v0 = 120.0; % prędkość początkowa, w metrach na sekundę % alfa % kąt w stopniach, jako parametr funkcji zasieg1 dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 32/38

33 y 120 trajektoria x Ilustracja 36. Trajektorie pocisków z wiatrówki przy różnych kątach elewacji, opór powietrza proporcjonalny do kwadratu prędkości. Jak widać tak obliczony zasięg strzału nie przekracza 140 metrów, czyli jest ponad dziesięciokrotnie mniejszy niż bez oporu powietrza. Naturalnie, wyniki te należałoby sprawdzić doświadczalnie. (Na laptopie z procesorem Intel Core 2 Duo obliczenie i narysowanie wszystkich krzywych trwało około pół sekundy.) Zadanie 45. Narysuj wykres wielu torów ruchu pocisku, ale zmień warunek zakończenia obliczeń: strzelec stoi przed murem o wysokości 10 metrów odległym o 20 metrów, obliczenia przerywane są gdy pocisk trafi w ścianę lub opadnie poniżej poziomu gruntu Bardzo krótko o chaosie dynamicznym Istnieje możliwość, iż natrafimy na równania ODE, których rozwiązania będą po prostu chaotyczne: za każdym razem zupełnie inne, nawet jeżeli tylko nieznacznie (np. o jedną miliardową) zmieniliśmy dane. Na przykład gdy kąt początkowy zmieni się z na.spodziewalibyśmy się, że rozwiązania równań są bardzo zbliżone do siebie. Jednak gdy równania są chaotyczne, to dowolnie mała zmiana warunków początkowych na wejściu prowadzi do wykładniczego wzrostu rozbieżności między rozwiązaniami na wyjściu (dokładniej mierzy to wykładnik Łapunowa) i nie istnieje jakakolwiek metoda pozwalająca wiarygodnie obliczyć rozwiązania. 14. Na przykład, taka jednomiliardowa zmiana kąta może spowodować inny wynik losowania stron boiska przez rzut monetą (orzeł-reszka). Dlatego trzeba być świadomym ograniczeń metod numerycznych, w tym funkcji ode z programu Matlab. Typowym układem chaotycznych równań jest układ Lorenza: 14 Podobnie jak nie można napisać wszystkich cyfr liczby. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 33/38

34 Skrypty, pozwalające rozwiązywać ten układ równań, dla programów Matlab i Octave, są opisane i dostępne np. w Wikipedii 15. Ale ponieważ układ jest chaotyczny, to wyniki ich działania nie są prawdziwymi rozwiązaniami wystarczy bowiem dowolnie mała zmiana warunków początkowych (albo dokładności obliczeń) otrzymamy zupełnie inne wyniki. 16 Zadanie 46. Zaprogramuj w Matlabie rozwiązywanie układu Lorentza. (Ilustracja 37.) Ilustracja 37. Rysunek 1. Próby rozwiązywania układu równań Lorentza dla,,, fragment dla. Wykresy po lewej i prawej stronie zostały zrobione dla warunków początkowych odpowiednio równych oraz. Zmiana o jedną miliardową początkowego spowodowała widoczną zmianę rozwiązań. Podsumowując: środowiska obliczeniowe Matlab i Octave 17 są potężnymi narzędziami pozwalającymi na rozwiązywanie równań ODE w bardzo łatwy sposób. Nie jest do tego wymagany jakiś szczególny talent matematyczny, a jedynie umiejętność zapisania tych równań w postaci zrozumiałej dla komputera. 15 Patrz (23 maja 2012) np. Skrypt dla Octave używa lsode. 16 W sensie wrażenia estetycznego będą one podobne. 17 Przykłady powinny działać w Octave po zainstalowaniu dodatkowych pakietów z funkcjami ode. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 34/38

35 5. Wykresy w Matlabie 5.1. Wykresy 2D Zadanie 47. Krzywą Gaussa nazywamy krzywą przedstawiającą funkcję Narysuj, używając fplot, na jednym wykresie dziesięć krzywych Gaussa dla,, gdzie, natomiast. Zmień poleceniem set oś rzędnych na logarytmiczną. Ilustracja 38. Wykresy funkcji Gaussa o różnych parametrach. Zadanie 48. W pliku data1.txt zapisane są w czterech kolumnach liczby: w pierwszej wartości, w drugiej, w trzeciej niepewności pomiarowe, w czwartej niepewności pomiarowe. Wczytaj te dane do programu Matlab/Octave i wykreśl je na wykresie zaznaczają niepewności pomiarowe. Przy każdym punkcie na wykresie napisz, stosując funkcje num2str i text, wartość, czyli numer kolejny punktu. dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 35/38

36 Ilustracja 39 Zadanie 49. Parabola przecina hiperbolę w dwóch miejscach. Zapisz te dwa równania jako funkcje anonimowe o uchwytach f1 i f2, narysuj poleceniem fplot wykres dla pokazujący te dwie krzywe, znajdź ich punkty przecięcia za pomocą fzero, zamaluj obszar jaki powstał pomiędzy nimi na żółto poleceniem fill. Ilustracja 40 Zadanie 50. Napisz skrypt w Matlabie/Octave, która rysuje i zapisuje jako jeden plik JPEG wykresy funkcji dla przy pomocy funkcji plot, loglog, semilogx, semilogy. Użyj subplot do rozmieszczenia wykresów, grid dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 36/38

37 minor dla umieszczenia gęstej podziałki na osiach, poleceń title, xlabel i ylabel by umieścić napisy, print aby utworzyć plik JPEG. Zadanie 51. Charakterystyka kierunkowa sensora jest taka, że jego czułość spada o przy odchylenia od kierunku w którym jest ustawiony. Zakładając równanie na czułość czujnika ma postać, gdzie narysuj biegunowy wykres przedstawiający. Narysuj na tym samym wykresie drugą krzywą, innym kolorem, linią przerywaną, pokazującą jak zmieniłaby się charakterystyka czujnika, gdyby jego czułość spadała tylko o przy dziesięciostopniowym odchyleniu. Ilustracja 41. Jak widać, różnice pomiędzy charakterystykami sensorów są niewielkie. (Ponadto dla kątów bliskich 180 model wykładniczego zaniku czułości może być zbytnim uproszczeniem.) 5.2. Wykresy 3D Zadanie 52. Narysuj poleceniem ezplot3 linię określoną równaniami,,, dla. Narysuj tę linię używając plot3 z utworzonymi wektorami x, y, z zawierającymi odpowiednie dane. Co stanie się, gdy niektóre z wartości zastąpi się symbolem NaN? Zadanie 53. Narysuj wykres funkcji dla, poleceniem ezsurf. Wydaj polecenie hold on. Dorysuj, poleceniem ezsurf, wykres funkcji dla,,,. Sprawdź jakie wyniki otrzymasz, używając zamiast ezsurf funkcji ezmesh i ezcontour. Zadanie 54. Przy pomocy polecenia meshgrid utwórz dane potrzebne do wykreślenia powierzchni dla dodatnich. Wykreśl izolinie dla tej powierzchni poleceniem contour3. Dorysuj wykres tej powierzchni poleceniem dr Sławomir Marczyński Matlab - ćwiczenia 37/38

Metody Numeryczne. Laboratorium 1. Wstęp do programu Matlab

Metody Numeryczne. Laboratorium 1. Wstęp do programu Matlab Metody Numeryczne Laboratorium 1 Wstęp do programu Matlab 1. Wiadomości wstępne liczby, format Program Matlab używa konwencjonalną notację dziesiętną, z kropka dziesiętną. W przypadku notacji naukowej

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 2

Metody numeryczne Laboratorium 2 Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Diary przydatne polecenie. Korzystanie z funkcji wbudowanych i systemu pomocy on-line. Najczęstsze typy plików. diary nazwa_pliku

Diary przydatne polecenie. Korzystanie z funkcji wbudowanych i systemu pomocy on-line. Najczęstsze typy plików. diary nazwa_pliku Diary przydatne polecenie diary nazwa_pliku Polecenie to powoduje, że od tego momentu sesja MATLAB-a, tj. polecenia i teksty wysyłane na ekran (nie dotyczy grafiki) będą zapisywane w pliku o podanej nazwie.

Bardziej szczegółowo

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Wstawienie skryptu do dokumentu HTML JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.skrypty Java- Script mogą być zagnieżdżane

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Algorytmy Obliczeniowe. Lab. 9 Prezentacja wyników w Matlabie

Laboratorium Algorytmy Obliczeniowe. Lab. 9 Prezentacja wyników w Matlabie Laboratorium Algorytmy Obliczeniowe Lab. 9 Prezentacja wyników w Matlabie 1. Wyświetlanie wyników na ekranie: W Matlabie możliwe są następujące sposoby wyświetlania wartości zmiennych: a. wpisując w programie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

WIMIM/MIBM/N1/-/B04 WIMIM/ME/S1/-/C46 WIMIM/IM/S1/-/B19

WIMIM/MIBM/N1/-/B04 WIMIM/ME/S1/-/C46 WIMIM/IM/S1/-/B19 WIMIM/MIBM/N1/-/B04 WIMIM/ME/S1/-/C46 WIMIM/IM/S1/-/B19 Co mam zrobić, jeżeli obliczenia potrzebne są na wczoraj, trzeba jeszcze zrobić wykres, a do tego mam użyć Bardzo Skomplikowanego Czegoś wiedząc

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia Skopiować do swojego folderu plik cwiczenia-kl.ii.xls, a następnie zmienić jego nazwę na imię i nazwisko ucznia

Ćwiczenia Skopiować do swojego folderu plik cwiczenia-kl.ii.xls, a następnie zmienić jego nazwę na imię i nazwisko ucznia Temat 23 : Poznajemy podstawy pracy w programie Excel. 1. Arkusz kalkulacyjny to: program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników, utworzony (w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje graficzne.

Podstawowe operacje graficzne. Podstawowe operacje graficzne. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z możliwościami graficznymi środowiska GNU octave, w tym celu: narzędziami graficznymi, sposobami konstruowania wykresów

Bardziej szczegółowo

Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9

Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9 Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9 Uruchamianie edytora OpenOffice.ux.pl Writer 9 Dostosowywanie środowiska pracy 11 Menu Widok 14 Ustawienia dokumentu 16 Rozdział 2. OpenOffice

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

Wahadło. Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadą dokonywania wideopomiarów w systemie Coach 6 oraz obserwacja modelu wahadła matematycznego.

Wahadło. Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadą dokonywania wideopomiarów w systemie Coach 6 oraz obserwacja modelu wahadła matematycznego. 6COACH38 Wahadło Program: Coach 6 Projekt: komputer H : C:\Program Files (x86)\cma\coach6\full.en\cma Coach Projects\PTSN Coach 6\Wideopomiary\wahadło.cma Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Rekurencja (rekursja)

Rekurencja (rekursja) Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII

Bardziej szczegółowo

EDYCJA TEKSTU MS WORDPAD

EDYCJA TEKSTU MS WORDPAD EDYCJA TEKSTU MS WORDPAD EDYCJA TEKSTU - MS WORDPAD WordPad (ryc. 1 ang. miejsce na słowa) to bardzo przydatny program do edycji i pisania tekstów, który dodatkowo dostępny jest w każdym systemie z rodziny

Bardziej szczegółowo

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46.

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46. 1. Wprowadzenie Priorytetem projektu jest zbadanie zależności pomiędzy wartościami średnich szybkości przemieszczeń terenu, a głębokością eksploatacji węgla kamiennego. Podstawowe dane potrzebne do wykonania

Bardziej szczegółowo

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy

Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Arkusz kalkulacyjny to program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników.

Bardziej szczegółowo

Wykresy. Lekcja 10. Strona 1 z 11

Wykresy. Lekcja 10. Strona 1 z 11 Lekcja Strona z Wykresy Wykresy tworzymy:. Z menu Insert Graph i następnie wybieramy rodzaj wykresu jaki chcemy utworzyć;. Z menu paska narzędziowego "Graph Toolbar" wybierając przycisk z odpowiednim wykresem;

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy.

TEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy. Elżbieta Kołodziej e-mail: efreet@pf.pl matematyka, informatyka Gimnazjum Nr 5 37-450 Stalowa Wola ul. Poniatowskiego 55 SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT : Przykłady innych funkcji

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Podstawy obsługi pakietu GNU octave.

Podstawy obsługi pakietu GNU octave. Podstawy obsługi pakietu GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą pakietu GNU octave. W ćwiczeniu wprowadzono opis podstawowych komend

Bardziej szczegółowo

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3 Matlab, zajęcia 3. Pętle c.d. Przypomnijmy sobie jak działa pętla for Możemy podać normalnie w Matlabie t=cputime; for i=1:20 v(i)=i; e=cputime-t UWAGA: Taka operacja jest bardzo czasochłonna i nieoptymalna

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania.

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania. Elementy programu Paint Aby otworzyć program Paint, należy kliknąć przycisk Start i Paint., Wszystkie programy, Akcesoria Po uruchomieniu programu Paint jest wyświetlane okno, które jest w większej części

Bardziej szczegółowo

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić.

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Analiza i czytanie wykresów Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Aby dobrze odczytać wykres zaczynamy od opisu

Bardziej szczegółowo

Program na zaliczenie: Odejmowanie widm

Program na zaliczenie: Odejmowanie widm Piotr Chojnacki: MATLAB Program na zaliczenie: Odejmowanie widm {Poniższy program ma za zadanie odjęcie dwóch widm od siebie. Do poprawnego działania programu potrzebne są trzy funkcje: odejmowaniewidm.m

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Materiały do kursu Skrypt CAD AutoCAD 2D strony: 37-46. Wprowadzenie Projektowanie wymaga budowania modelu geometrycznego zgodnie z określonymi wymiarami, a to narzuca

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo

Bardziej szczegółowo

SKRYPTY. Zadanie: Wyznaczyć wartość wyrażenia arytmetycznego

SKRYPTY. Zadanie: Wyznaczyć wartość wyrażenia arytmetycznego 1 SKRYPTY Zadanie: Wyznaczyć wartość wyrażenia arytmetycznego z = 1 y + 1+ ( x + 2) 3 x 2 + x sin y y + 1 2 dla danych wartości x = 12.5 i y = 9.87. Zadanie to można rozwiązać: wpisując dane i wzór wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Scilab: funkcje i wykresy

Wprowadzenie do Scilab: funkcje i wykresy Wprowadzenie do Scilab: funkcje i wykresy Magdalena Deckert, Izabela Szczęch, Barbara Wołyńska, Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska, Instytut Informatyki Narzędzia Informatyki Narzędzia Informatyki

Bardziej szczegółowo

Zadanie 18. Współczynnik sprężystości (4 pkt) Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem.

Zadanie 18. Współczynnik sprężystości (4 pkt) Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem. Przykładowy zestaw zadań z fizyki i astronomii Poziom podstawowy 11 Zadanie 18. Współczynnik sprężystości (4 pkt) Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem. 18.1

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Cykl lekcji informatyki w klasie IV szkoły podstawowej. Wstęp

Cykl lekcji informatyki w klasie IV szkoły podstawowej. Wstęp Cykl lekcji informatyki w klasie IV szkoły podstawowej Wstęp Poniżej przedstawiam cykl początkowych lekcji informatyki poświęconym programowi Paint. Nie są to scenariusze lekcji, lecz coś w rodzaju kart

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do środowiska MATLAB z zastosowaniami w modelowaniu i analizie danych

Wprowadzenie do środowiska MATLAB z zastosowaniami w modelowaniu i analizie danych Wprowadzenie do środowiska MATLAB z zastosowaniami w modelowaniu i analizie danych Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022

Bardziej szczegółowo

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc.

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. Małgorzata Jakubowska Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. MATLAB pakiet oprogramowania matematycznego firmy MathWorks Inc. (www.mathworks.com) rozwijany od roku 1984 język programowania i środowisko

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice.

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Język PHP Język interpretowalny, a nie kompilowany Powstał w celu programowania

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy c++ w pigułce.

1 Podstawy c++ w pigułce. 1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze

Bardziej szczegółowo

Użycie przestrzeni papieru i odnośników - ćwiczenie

Użycie przestrzeni papieru i odnośników - ćwiczenie Użycie przestrzeni papieru i odnośników - ćwiczenie Informacje ogólne Korzystanie z ćwiczeń Podczas rysowania w AutoCADzie, praca ta zwykle odbywa się w przestrzeni modelu. Przed wydrukowaniem rysunku,

Bardziej szczegółowo

KONKURS FIZYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 26 lutego 2010 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań

KONKURS FIZYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 26 lutego 2010 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Maksymalna liczba punktów 60 KONKURS FIZYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 6 lutego 00 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Uwaga!. Za poprawne rozwiązanie zadania

Bardziej szczegółowo

Instrukcja użytkownika ARSoft-WZ3

Instrukcja użytkownika ARSoft-WZ3 02-699 Warszawa, ul. Kłobucka 8 pawilon 119 tel. 0-22 853-48-56, 853-49-30, 607-98-95 fax 0-22 607-99-50 email: info@apar.pl www.apar.pl Instrukcja użytkownika ARSoft-WZ3 wersja 1.5 1. Opis Aplikacja ARSOFT-WZ3

Bardziej szczegółowo

Ile wynosi całkowite natężenie prądu i całkowita oporność przy połączeniu równoległym?

Ile wynosi całkowite natężenie prądu i całkowita oporność przy połączeniu równoległym? Domowe urządzenia elektryczne są często łączone równolegle, dzięki temu każde tworzy osobny obwód z tym samym źródłem napięcia. Na podstawie poszczególnych rezystancji, można przewidzieć całkowite natężenie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu PowRek

Instrukcja obsługi programu PowRek Instrukcja obsługi programu PowRek środa, 21 grudnia 2011 Spis treści Przeznaczenie programu... 4 Prezentacja programu... 5 Okno główne programu... 5 Opis poszczególnych elementów ekranu... 5 Nowy projekt...

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl 3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar

Bardziej szczegółowo

najlepszych trików Excelu

najlepszych trików Excelu 70 najlepszych trików W Excelu 70 najlepszych trików w Excelu Spis treści Formatowanie czytelne i przejrzyste zestawienia...3 Wyświetlanie tylko wartości dodatnich...3 Szybkie dopasowanie szerokości kolumny...3

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka 1. Kompilacja aplikacji konsolowych w środowisku programistycznym Microsoft Visual Basic. Odszukaj w menu startowym systemu

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 FIZYKA I ASTRONOMIA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1.1 Narysowanie toru ruchu ciała w rzucie ukośnym. Narysowanie wektora siły działającej na ciało w

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zasady budowania algorytmów z klocków Początek pracy Klocki Podstawowe

Zasady budowania algorytmów z klocków Początek pracy Klocki Podstawowe Zasady budowania algorytmów z klocków Początek pracy Otwieramy nowy projekt Plik/Nowy projekt, a następnie planszę Plik/Plansza/Nowa, na której będziemy budowali algorytmy. Po lewej stronie widzimy paletę

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie.

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie. Mając do dyspozycji 20 kartek papieru o gramaturze 80 g/m 2 i wymiarach 297mm na 210mm (format A4), 2 spinacze biurowe o masie 0,36 g każdy, nitkę, probówkę, taśmę klejącą, nożyczki, zbadaj, czy maksymalna

Bardziej szczegółowo

1. Opis okna podstawowego programu TPrezenter.

1. Opis okna podstawowego programu TPrezenter. OPIS PROGRAMU TPREZENTER. Program TPrezenter przeznaczony jest do pełnej graficznej prezentacji danych bieżących lub archiwalnych dla systemów serii AL154. Umożliwia wygodną i dokładną analizę na monitorze

Bardziej szczegółowo

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA

FORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA Wskazówki do wykonania Ćwiczenia 1, ocena sprawdzianu (Excel 2007) Autor: dr Mariusz Giero 1. Pobierz plik do pracy. W pracy należy wykonać obliczenia we wszystkich żółtych polach oraz utworzyć wykresy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Naukę zaczynamy od poznania interpretera. Interpreter uruchamiamy z konsoli poleceniem

Naukę zaczynamy od poznania interpretera. Interpreter uruchamiamy z konsoli poleceniem Moduł 1 1. Wprowadzenie do języka Python Python jest dynamicznym językiem interpretowanym. Interpretowany tzn. że kod, który napiszemy możemy natychmiast wykonać bez potrzeby tłumaczenia kodu programistycznego

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Przykłady zastosowań funkcji tekstowych w arkuszu kalkulacyjnym

Przykłady zastosowań funkcji tekstowych w arkuszu kalkulacyjnym S t r o n a 1 Bożena Ignatowska Przykłady zastosowań funkcji tekstowych w arkuszu kalkulacyjnym Wprowadzenie W artykule zostaną omówione zagadnienia związane z wykorzystaniem funkcji tekstowych w arkuszu

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Co to jest arkusz kalkulacyjny?

Co to jest arkusz kalkulacyjny? Co to jest arkusz kalkulacyjny? Arkusz kalkulacyjny jest programem służącym do wykonywania obliczeń matematycznych. Za jego pomocą możemy również w czytelny sposób, wykonane obliczenia przedstawić w postaci

Bardziej szczegółowo

Programowanie 3 - Funkcje, pliki i klasy

Programowanie 3 - Funkcje, pliki i klasy Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Laborki funkcja; parametry funkcji; typ zwracany; typ void; funkcje bez parametrów; napis.length() - jako przykład funkcji. Zadania funkcja dodająca dwie liczby;

Bardziej szczegółowo

Excel zadania sprawdzające 263

Excel zadania sprawdzające 263 Excel zadania sprawdzające 263 Przykładowe zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wpisać dane i wykonać odpowiednie obliczenia. Wykorzystać wbudowane funkcje Excela: SUMA oraz ŚREDNIA. Sformatować

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Slajd 1 Excel Slajd 2 Adresy względne i bezwzględne Jedną z najważniejszych spraw jest tzw. adresacja. Mówiliśmy

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

3.1. Na dobry początek

3.1. Na dobry początek Klasa I 3.1. Na dobry początek Regulamin pracowni i przepisy BHP podczas pracy przy komputerze Wykorzystanie komputera we współczesnym świecie Zna regulamin pracowni i przestrzega go. Potrafi poprawnie

Bardziej szczegółowo

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby Część XI C++ W folderze nazwisko36 program za każdym razem sprawdza oba warunki co niepotrzebnie obciąża procesor. Ten problem można rozwiązać stosując instrukcje if...else Instrukcja if wykonuje polecenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do formuł i funkcji

Wprowadzenie do formuł i funkcji Wprowadzenie do formuł i funkcji Wykonywanie obliczeń, niezależnie od tego, czy są one proste czy złożone, może być nużące i czasochłonne. Przy użyciu funkcji i formuł programu Excel można z łatwością

Bardziej szczegółowo

Laboratorium 3 Grafika 2D i 3D w Matlabie. Wprowadzenie do programowania

Laboratorium 3 Grafika 2D i 3D w Matlabie. Wprowadzenie do programowania Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

Scilab - podstawy. Wersje instalacyjne programu Scilab mogą zostać pobrane ze strony

Scilab - podstawy. Wersje instalacyjne programu Scilab mogą zostać pobrane ze strony Scilab - podstawy Scilab jest środowiskiem numerycznym, programistycznym i numerycznym dostępnym za darmo z INRIA (Institut Nationale de Recherche en Informatique et Automatique). Jest programem podobnym

Bardziej szczegółowo

Dodatki. Dodatek A Octave. Język maszyn

Dodatki. Dodatek A Octave. Język maszyn Dodatki Dodatek A Octave Przykłady programów zostały opracowane w środowisku programistycznym Octave 3.6.2 z interfejsem graficznym GNU Octave 1.5.4. Octave jest darmowym środowiskiem programistycznym

Bardziej szczegółowo

Stawiamy pierwsze kroki

Stawiamy pierwsze kroki Stawiamy pierwsze kroki 3.1. Stawiamy pierwsze kroki Edytory tekstu to najbardziej popularna odmiana programów służących do wprowadzania i zmieniania (czyli edytowania) tekstów. Zalicza się je do programów

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Stałe, znaki, łańcuchy znaków, wejście i wyjście sformatowane

Stałe, znaki, łańcuchy znaków, wejście i wyjście sformatowane Stałe, znaki, łańcuchy znaków, wejście i wyjście sformatowane Stałe Oprócz zmiennych w programie mamy też stałe, które jak sama nazwa mówi, zachowują swoją wartość przez cały czas działania programu. Można

Bardziej szczegółowo

Trik 1 Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach

Trik 1 Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach :: Trik 1. Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach :: Trik 2. Czytelne formatowanie walutowe :: Trik 3. Optymalny układ wykresu punktowego :: Trik 4. Szybkie oznaczenie wszystkich komórek z formułami

Bardziej szczegółowo

Tematy lekcji zajęć komputerowych klasa 5b grupa 1 i grupa 2

Tematy lekcji zajęć komputerowych klasa 5b grupa 1 i grupa 2 Tematy lekcji zajęć komputerowych klasa 5b grupa 1 i grupa 2 1 Program nauczania. Przedmiotowy system oceniania. Regulamin pracowni komputerowej. - 7 punktów regulaminu potrafi powiedzieć, czego się będzie

Bardziej szczegółowo

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. IŚ ćw.8 JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript są zagnieżdżane w dokumentach HTML. Skrypt JavaScript

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY European Computer Competence Certificate PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY Europejskiego Certyfikatu Kompetencji Informatycznych ECCC Moduł: IT M3 Arkusze kalkulacyjne Poziom: B Średniozaawansowany FUNDACJA

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej.

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Dział Zagadnienia Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Arkusz kalkulacyjny (Microsoft Excel i OpenOffice) Uruchomienie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

Główne elementy zestawu komputerowego

Główne elementy zestawu komputerowego Główne elementy zestawu komputerowego Monitor umożliwia oglądanie efektów pracy w programach komputerowych Mysz komputerowa umożliwia wykonywanie różnych operacji w programach komputerowych Klawiatura

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Grażyna Koba. Grafika komputerowa. materiały dodatkowe do podręcznika. Informatyka dla gimnazjum

Grażyna Koba. Grafika komputerowa. materiały dodatkowe do podręcznika. Informatyka dla gimnazjum Grażyna Koba Grafika komputerowa materiały dodatkowe do podręcznika Informatyka dla gimnazjum Rysunki i animacje w Edytorze postaci 1. Rysunek w Edytorze postaci Edytor postaci (rys. 1.) jest częścią programu

Bardziej szczegółowo