czasowa, zmienne zero - jedynkowe, lub inne niestochastyczne regresory; A - macierz parametrów przy zmiennych wektora D t, nie zawierająca zerowych

Transkrypt

1 Wprowadzenie Lata pięćdziesiąte i sześćdziesiąte to okres ekspansji i wzrostu optymizmu co do możliwości i przyszłości metod ekonometrycznych. To lata w których wyznaczone zostały wysokie standardy profesjonalne i nastąpiły główne odkrycia teoretyczne, jak np. fakt nieadekwatności klasycznej metody najmniejszych kwadratów w szacowaniu parametrów modeli o równaniach współzależnych. Spostrzeżenie to dało asumpt do rozwoju alternatywnych metod estymacji parametrów modeli, któremu towarzyszył rozwój komputeryzacji. Tworzenie coraz doskonalszych i szybszych maszyn cyfrowych sprzyjało również wzrostowi liczby i wielkości szacowanych modeli. W latach sześćdziesiątych zaobserwować można tendencje (i możliwości) budowania coraz większych modeli składających się często z kilkuset równań 1. Równolegle z ekspansją i wzrostem optymizmu co do możliwości i przyszłości metod ekonometrycznych ujawniały się jednakże pewne niedostatki stosowanych podejść. Dotyczyły one między innymi owych rozmiarów modeli, które wzbudzały wątpliwość czy ktoś konstruujący model liczący czasem kilkaset równań jest w stanie intelektualnie ogarnąć strukturę całości. Zauważono ponadto, że możliwości predykcyjne niektórych modeli makroekonomicznych były dalekie od zadowalających. Proste metody szeregów czasowych mogły w pewnych przypadkach współzawodniczyć lub dawać nawet lepsze prognozy niż duże i kosztowne modele strukturalne, co wykazał np. R. Cooper [1972]. Lata siedemdziesiąte zdominowane zatem zostały poszukiwaniami alternatywnych metod modelowania ekonometrycznego. Zaowocowało to rozwojem i popularnością szeroko pojętych modeli szeregów czasowych, do czego przyczyniła się znacznie praca Boxa i Jenkinsa [1970]. Modele te stały jednakże w opozycji do ekonometrii tradycyjnej, bowiem z założenia nie bazowały na wiedzy o strukturze powiązań pomiędzy zmiennymi oraz, w konsekwencji, miały zupełnie inne wykorzystanie. Aż do końca lat siedemdziesiątych trwała luka pomiędzy tradycyjną ekonometrią reprezentowaną przez modele strukturalne i ekonometrią wówczas nowoczesną reprezentowaną przez modele typu ARIMA. W roku 1980 Christopher Sims zaproponował nową metodologię modelowania ekonometrycznego: modele wektorowo autoregresyjne - VAR (ang. Vector AutoRegressive) 2. Modele te mogą stanowić pomost pomiędzy tradycyjną ekonometrią a modelami szeregów czasowych. Można je bowiem z jednej strony potraktować jako 1 Rozważania na temat powiększania wielkości modeli wraz z rozwojem ekonometrii można znaleźć np. w pracy: J. B. Gajda [1992], s Por. C. Sims [1980].

2 rozwinięcie (na przypadek wielorównaniowy) metodologii szeregów czasowych, bowiem wykorzystują w pełni wiedzę o procesach generujących zmienne i autoregresyjną strukturę. Z drugiej strony zaś, można w nich więcej niż w przypadku modeli szeregów czasowych przemycić wiedzy o powiązaniach pomiędzy zmiennymi. Cechą charakterystyczną modeli VAR jest różnorodność ich zastosowań. Różnorodność ta wynika zarówno z coraz większej gamy wykorzystywanych narzędzi związanych z metodologią VAR, jak i obszaru jej zastosowań dotyczącego wyboru zmiennych. Początkowe aplikacje modeli VAR do tworzenia dynamicznych prognoz uzupełnione zostały o narzędzia pozwalające badać zależności pomiędzy zmiennymi, testować ogólnie sformułowane teorie ekonomiczne, przeprowadzać analizy mnożnikowe i w końcu badać kointegrację. Obecnie trudno wskazać też dziedzinę gospodarki w której zastosowania modeli VAR byłyby niemożliwe lub ograniczone. Oznacza to, że modele VAR można również zastosować do oceny rozwoju regionalnego. Co więcej, pewne narzędzia związane z tą metodologią, wydają się specjalnie przystosowane do prowadzenia takich badań Modele VAR. Prezentacja metodologii Ogólny model VAR zapisujemy jako: (1.1) xt A0 Dt A1 xt 1 A2 xt 2... Ak xt k et gdzie: x t - wektor obserwacji na bieżących wartościach wszystkich n zmiennych modelu: x x x... x t ' ; 1t 2t nt D t - wektor deterministycznych składników równań, takich jak wyraz wolny, zmienna czasowa, zmienne zero - jedynkowe, lub inne niestochastyczne regresory; A 0 elementów; A i - macierz parametrów przy zmiennych wektora D t, nie zawierająca zerowych - macierze parametrów przy opóźnionych zmiennych wektora x t, nie zawierające zerowych elementów; e - wektory stacjonarnych zakłóceń losowych: e e e... e t t 1t 2t nt ' mających niezależny rozkład normalny z zerową średnią i wariancją e. Z założenia e t nie są zautokorelowane lecz mogą wykazywać korelacje jednoczese pomiędzy równaniami.

3 Przed zastosowaniem modelu VAR do partykularnych celów (np. analiz regionalnych) należy zadbać o prawidłową jego konstrukcję. Specyfikacja modelu powinna zapewniać jego stabilność, właściwy dobór zmiennych i rząd ich opóźnień oraz odpowiednie właściwości reszt. Wybór grupy zmiennych konstytuujących model VAR powinien być uwarunkowany dobrą znajomością modelowanego układu ekonomicznego. Wymóg ten jest podyktowany zarówno kwestiami technicznymi (dołączenie każdej dodatkowej zmiennej powoduje, z racji jej opóźnień, szybkie zmniejszanie liczby stopni swobody) oraz merytorycznymi, szczególnie wtedy, gdy używamy modelu VAR jako narzędzia do badań nad wpływem jednych zmiennych na drugie (a to jest przedmiotem zainteresowania analiz regionalnych). Rząd opóźnień zmiennych modelu VAR powinien odzwierciedlać naturalne interakcje pomiędzy zmiennymi (np. dla danych kwartalnych k=4), jak i zagwarantować brak autokorelacji składników losowych. Rząd opóźnienia nie powinien być zbyt długi ze względu na szybko zmniejszającą się liczbę stopni swobody, ale również nie nazbyt krótki, ze względu na zagrożenie autokorelacją. W doborze odpowiedniej liczby opóźnień pomocne są testy statystyczne, których opis można znaleźć np. w Kusideł [2000], str. 24 (wraz z praktycznymi uwagami o ich stosowaniu na str. 79 i 157). Stabilność modelu można zapewnić min. poprzez zastosowanie stacjonarnych zmiennych. Stacjonarność zmiennych jest również istotna dla utrzymania mocy stosowanych testów. W wielu pracach teoretycznych (np. P. Phillips [1986]) pokazano, że statystyczne własności statystyk otrzymanych dla niestacjonarnych szeregów czasowych są na ogół wątpliwe. Bez wnikania w teorię należy podkreślić tylko, że jeśli szereg jest niestacjonarny, to prawdopodobnie otrzymamy model z obiecującymi wynikami testów diagnostycznych nawet wtedy, kiedy regresja nie ma sensu (regresje pozorne). Również w modelowaniu VAR większość sprawdzianów testów nie ma pożądanych rozkładów, jeśli użyte do badania zmienne są niestacjonarne. Badanie stacjonarności szeregów, a najlepiej badanie przyczyn ich niestacjonarności ma zatem duże znaczenie dla prowadzonych analiz Zastosowanie modeli VAR w badaniach regionalnych Ze wzoru (1.1) wynika, że w każda z użytych w modelu VAR zmiennych występuje w roli zmiennej objaśnianej, a prawe strony równań nie odzwierciedlają (początkowo) żadnej struktury ekonomicznej, bowiem składają się z opóźnionych wartości zmiennych objaśnianych. Taka idea modelu powoduje, że jest on znakomitym narzędziem opisu dla szeregów przestrzenno czasowych, a taką postać przyjmują często dane regionalne.

4 Poszczególne obiekty przestrzenne będą wtedy opisywane przez pojedyncze równanie, zaś informacje o stanach obiektów w kolejnych okresach odzwierciedlą się w opóźnieniach czasowych zmiennych. Stwarza to znaczne możliwości dla porównań regionalnych, gdzie szeregi przestrzenno czasowe są informacjami o wybranej charakterystyce regionów (krajów, województw, stanów, osiedli i.t.d.) zebranymi w wybranym okresie czasu (lat, kwartałów, miesięcy). Należy podkreślić, że w przeciwieństwie do tradycyjnej ekonometrii w modelach VAR wszystkie obiekty (zmienne) są traktowane równorzędnie tzn. brak jest podziału na zmienne objaśniane i objaśniające. Jest to cecha pożądana w badaniach międzyregionalnych, w których rozpatrywanie jednych regionów jako egzogenicznych w stosunku do drugich nie zawsze jest pożądane, lub relacje takie są nieznane. Jednocześnie należy zwrócić uwagę, że samo zbudowanie i oszacowanie modelu VAR nie stwarza prawie żadnych możliwości wnioskowania (pomijając wyznaczenie prognoz). Ta cecha różni modele VAR od tradycyjnych, w których oszacowanie modelu jest celem badania ekonometrycznego i podstawą do wyciągania wniosków. Oszacowany model VAR stwarza dopiero możliwość zastosowania różnorakich narzędzi, których wybór zależy od celu prowadzonych analiz. Poniżej skoncentrowano się na narzędziach szczególnie przydatnych do badań regionalnych, a mianowicie testach przyczynowości, funkcji odpowiedzi na impuls, dekompozycji wariancji błędów prognoz oraz analizie kointegracyjnej Testy przyczynowości. Prezentacja metody Zastosowanie testów przyczynowości pozwala na stwierdzenie jaki jest kierunek wpływu poszczególnych zmiennych na siebie. Na podstawie tradycyjnych modeli przyczynowo skutkowych, możemy potwierdzić siłę zależności pomiędzy zmiennymi, lecz nie możemy stwierdzić porządku przyczynowo- skutkowego w tych modelach. Wiadomo bowiem, że jeśli istnieje korelacja pomiędzy x i y to uzyskamy istotne oszacowania w regresji ze zmienną zależną y jak i w regresji ze zmienną zależną x. Rozstrzygnięcia, którą ze zmiennych uznać za egzogeniczną, a którą za endogeniczną należy dokonać apriori, przed oszacowaniem równania (podobne idee przyświecają strukturalnym modelom wielorównaniowym). Tymczasem w praktyce rozstrzygnięcia te nastręczają czasem pewnych kłopotów. W szczególności w badaniach międzyregionalnych nie zawsze dysponujemy wiedzą aprori o egzogeniczności lub endogeniczności wybranego regionu, a najczęściej takie relacje chcemy właśnie odkryć. Pomocne w tym są testy przyczynowości.

5 Używane przez nas testy przyczynowości wykorzystują definicję Wienera - Grangera lub definicję przyczynowości Grangera 3, która brzmi: "x jest przyczyną (w sensie Grangera) y, co zapisujemy jako x y, jeśli bieżące wartości y można wyprognozować z większą dokładnością przez przeszłe wartości x, niż w inny sposób, przy zasadzie caeteris paribus." świetle powyższej definicji, problem weryfikacji, czy x y, sprowadza się do pytania, czy x może być wyeliminowany z tej części modelu VAR, która opisuje y. W literaturze przedmiotu proponuje się wiele testów przyczynowości 4. My proponujemy test blokowej nie - przyczynowości Grangera. Polega on na sprawdzeniu, czy opóźnione wartości jednej zmiennej mają istotne znaczenie w prognozowaniu innej zmiennej. Sprawdzianem testu jest statystyka LR mająca asymptotycznie rozkład 2 z liczbą stopni swobody równą n*k, gdzie n oznacza liczbę równań a k liczbę opóźnień Zastosowanie testów przyczynowości w badaniach regionalnych Zastosowanie testów przyczynowości pokażemy na przykładzie badania międzynarodowej transmisji (ang. transmission) PKB. Chodzi tutaj o pewien rodzaj przekazywania lub wpływu zmian w jednych gospodarkach na drugie, które testuje się za pomocą testów przyczynowości. Identyczne badanie można przeprowadzić dla gospodarki jednego państwa, wtedy zmienne mogą reprezentować regiony wydzielone w sposób administracyjny (województwa), geograficzny (Małopolska, Pojezierze, itd.) lub w jakikolwiek inny sposób dla którego zdobędziemy dane statystyczne. Wnioski z podobnych badań są niezwykle użyteczne, bowiem pozwalają badać jaki zasięg mają wahania gospodarek jednych regionów na inne, co jest jedną z istotniejszych kwestii ekonomicznych badań międzyregionalnych. Efekty zastosowania testów przyczynowości w przypadku badań międzyregionalnych pokazał Canova (1995 rozdział 8). Dane dotyczyły kwartalnych notowań produktu krajowego brutto PKB Stanów Zjednoczonych, Japonii oraz Niemiec. Obiektami (regionami) były zatem trzy kraje. Celem analizy było zbadanie istnienia powiązań pomiędzy PKB wymienionych krajów i ewentualnie zbadanie siły i kierunku tych powiązań w oparciu o model: (1.2) xt A Ak xt k et 6 0, i 1 3 Por. W Charemza, D. Deadman, [1992], s Np. test Simsa- GMD, którego opis można znaleźć w W. Charemza [1992], s.193, lub test blokowej egzogeniczności (ang. block exogeneity test) opisywany w W. Enders [1995], s Porównanie różnych testów przyczynowości przeprowadzili J. Geweke, R. Meese, W. Dent [1983] oraz D. K. Guilkey, M. K. Salemi [1982].

6 gdzie x t =[dlyusa t dlyjap t dlyger t ], dlyusa, dlyjap, dlyger- przyrost PKB odpowiednio Stanów Zjednoczonych, Japonii i Niemiec. A 0 - wektor wyrazów wolnych 6. Na podstawie powyższego modelu testować można dwojakiego rodzaju hipotezy. Po pierwsze można badać, czy: 1a) dlyusa, dlyjap dlyger 1b) dlyusa, dlyger dlyjap 1c) dlyjap, dlyger dlyusa oraz 2a) dlyusa dlyjap, dlyger 2b) dlyjap dlyusa, dlyger 2c) dlyger dlyjap, dlyusa Hipotezy te należy rozumieć w następujący sposób (na przykładzie 1a): przyrosty PKB stanów Zjednoczonych i Japonii nie są przyczyną (w sensie Grangera) przyrostów PKB w Niemczech. W praktyce, przeprowadza się testowanie istotności parametrów (tzn. czy są one istotnie różne od zera) przy odpowiednich opóźnionych zmiennych. Odrzucenie hipotezy zerowej pozwala na stwierdzenie, że zmienne dla których badaliśmy istotność współczynników są przyczyną pozostałych. W przypadku pierwszej grupy hipotez otrzymujemy następujące wartości statystyki LR: LR 1a =11,975 (0,003), LR 1b =4,927 (0,085), LR 1c =0,50437 (0,777), gdzie w nawiasach podano poziom istotności powyżej którego można odrzucić hipotezę zerową. Przyjmując 95% poziom ufności można odrzucić jedynie hipotezę 1a, co oznacza, że jeśli istnieje jakakolwiek transmisja pomiędzy wielkością PKB badanych państw, to polega ona raczej na przepływie od Stanów Zjednoczonych i/lub Japonii do Niemiec. W pracy z której zaczerpnięto powyższy przykład nie zbadano drugiej grupy hipotez w celu potwierdzenia powyższego wyniku, a ich analiza wnosi nowe spostrzeżenia. Dla hipotez 2a-2c otrzymujemy bowiem: LR 2a =3,863 (0,145), LR 2b =6,459 (0,040), LR 2c =4,483 (0,106), co z dużym prawdopodobieństwem pozwala stwierdzić wpływ PKB Japonii na pozostałe kraje, nie pozwala natomiast stwierdzić wpływu Stanów Zjednoczonych. Sumując powyższe wyniki należy stwierdzić, że powyższy test sugeruje istotny wpływ gospodarki japońskiej na niemiecką. Biorąc pod uwagę politykę gospodarczą badanych państw jest to wniosek wysoce prawdopodobny. 5 Por. M. Pesaran, B. Pesaran, [1997], s. 131 i 423, lub Kusideł [2000], s Taka forma modelu (1.2) została zaproponowana w pracy M. Peseran, B. Peseran [1997], gdzie model Cannovy był reestymowany na powiększonej próbie.

7 Istnienie transmisji pomiędzy produkcją różnych krajów można również testować w kontekście skorelowania zakłóceń w poszczególnych równaniach modelu VAR. Z założenia składniki losowe z poszczególnych równań modelu VAR nie powinny wykazywać autokorelacji. Istnieje natomiast możliwość powiązań składników losowych pomiędzy poszczególnymi równaniami modelu, co oznacza, że kowariancje jednoczesne mogą być różne od zera: cov(e it, e jt ) 0. W ten sposób zasięg wpływu jakie mają jedne państwa (regiony) na drugie można zbadać poprzez badanie macierzy wariancji- kowariancji reszt modelu (1.1) 7, bowiem tylko tu uwidaczniają się jednoczesne powiązania pomiędzy poszczególnymi równaniami (zmiennymi) Dekompozycja wariancji błędu prognozy zmiennych. Prezentacja metody Dekompozycja wariancji błędów prognoz (ang. forecast error variance decomposition) oraz funkcja odpowiedzi na impuls (ang. Impulse Response Function IRF) wiążą się ze strukturalnymi modelami VAR (por. B. S. Bernake [1986], O. Blanchard, M. W. Watson [1986] oraz W. Enders [1995], s. 294 lub W. Charemza, D. Deadman [1992], s. 187, Pesaran [1997], s. 129, 427, Kusideł [2000], rozdział 2). Dzięki temu, że postać strukturalna pozwala na częściowe odzwierciedlenie systemu powiązań pomiędzy zmiennymi, modele te pozwalają na testowanie nawet bardzo wyrafinowanych hipotez ekonomicznych (pokazuje to poniższy przykład). Powoduje to jednocześnie, że krytyka modeli VAR zarzucająca im ich ateoretyczność staje się bezzasadna. Z technicznego punktu widzenia podstawą do sformułowania postaci strukturalnej jest fakt istnienia powiązań pomiędzy składnikami losowymi poszczególnych równań modelu VAR oraz spostrzeżenie, że model (1.1) ma postać zredukowanej formy modelu strukturalnego (po prawych stronach występują jedynie zmiennie z góry ustalone). Dekompozycja wariancji błędu mówi nam jaki udział w objaśnianiu wariancji błędu prognozy badanej zmiennej mają inne zmienne włączone do badania. Jeśli pewna zmienna kształtuje się niezależnie od innych to jej wariancja będzie w prawie 100% wyjaśniana przez swoje własne wartości. Im bardziej zależna jest od innych czynników uwzględnionych w badaniu tym większe udziały będą miały te czynniki w objaśnianiu wariancji błędu prognozy badanego zjawiska. Jeśli zatem uzyskamy, że wariancja regionu1 jest w 99% objaśniana przez swoje własne wartości a w 1% przez wartości regionu2 to oznaczać to będzie, że wybrane charakterystyki regionu1 kształtują się niezależnie (lub prawie niezależnie) od charakterystyk regionu2. 7 Badanie takie przeprowadzono w pracy Pesaran [1997], s. 277.

8 Badanie komponentów wariancji błędu prognozy zmiennych w badaniach regionalnych Do zilustrowania efektów zastosowania dekompozycji w analizach regionalnych posłużymy się przykładem zaczerpniętym z pracy Kusideł [2000]. W rozdziale 5 i 6 zastosowano tam różnorakie narzędzia związane z modelowaniem VAR do opisu zależności pomiędzy wybranymi zjawiskami charakteryzującymi region łódzki. Przykład ten pokazuje, że oprócz badań międzyregionalnych modele VAR można również zastosować do badania jednego tylko regionu. Wtedy poszczególne zmienne (równania) będą reprezentowały wybrane charakterystyki tego regionu, a analiza będzie służyć badaniu ich interakcji. We wspomnianej pracy zbudowano dwanaście modeli regionu łódzkiego, my jednak chcemy zwrócić uwagę na dwa z nich w których zastosowano następujące zmienne: - wynagrodzenia z podziałem na sektor prywatny: wpr t i publiczny: wpu t ; - zatrudnienie z podziałem na sektor prywatny: zpr t i publiczny: zpu t ; - przychody ze sprzedaży z podziałem na sektor prywatny: spr t i publiczny: spu t. Za pomocą tych trzech zmiennych postanowiono zweryfikować hipotezę, czy na łódzkim rynku pracy przeważają mechanizmy neoklasyczne czy keynesowskie i czy występują jakieś różnice pomiędzy sektorem prywatnym i publicznym. Punktem wyjścia było stwierdzenie, że (w znacznym uproszczeniu) w teorii neoklasycznej bezrobocie jest dobrowolne, a równowagę na rynku pracy zapewnia płaca realna. Teoria keynesowska zaprzecza funkcji płacy jako mechanizmu oczyszczania rynku, bowiem obniżenie wynagrodzeń nie ograniczy, ani nie wyeliminuje bezrobocia. Według Keynesa głównym powodem występowania nierówności na rynku pracy jest niedostateczny popyt na produkty przedsiębiorstw. Do weryfikacji powyższych hipotez ekonomicznych posłużyły dwa modele VAR, dla sektora prywatnego i publicznego: (1.3.1) xt A Dt A1 xt 1 A2 xt 2 A3 xt 3 et 0 ; gdzie x t =[ spr t wpr t zpr t ], D t =[1 u u 0196 u 1096 u 1097 ] 8. (1.3.2) xt A0 Dt A1 xt 1 A2 xt 2 A3 xt 3 et gdzie x t =[ spu t wpu t zpu t ], D t =[1 u u 0196 u 1096 u 1097 ], 8 Zaprezentowane postacie modeli są efektem wieloetapowej analizy: stacjonarności zmiennych, długości opóźnień, właściwości reszt modelu por. Kusideł [2000], s Zmienne zero - jedynkowe przyjmują wartość jeden w miesiącu i roku oznaczonym odpowiednio pierwszymi dwoma i ostatnimi dwoma cyframi symbolu. Np. u 0195 oznacza zmienną przyjmującą wartość jeden w styczniu 1995r. i zero w pozostałych miesiącach (próba: styczeń czerwiec 1998). Zmienna u przyjmuje wartość 1 w styczniu i lutym 1995r i zero w pozostałych okresach. Wszystkie zmienne zero jedynkowe (oprócz u 1096 ) dołączone zostały do modelu ze względu na nietypowe obserwacje w wyróżnionych okresach dla zatrudnienia.

9 Oczekiwano, że przypadku przewagi dostosowań neoklasycznych, wynagrodzenia realne będą silnie wpływać na poziom zatrudnienia. Jeśli na łódzkim rynku pracy przeważają dostosowania keynesowskie, oczekiwano, że popyt na wyroby przedsiębiorstw jest przeważającym czynnikiem kształtowania wielkości zatrudnienia 9. Powyższe hipotezy weryfikowano w oparciu o testy przyczynowości i dekompozycję wariancji błędów prognoz zmiennych. Nie przytaczamy tu dokładnych wyników testów przyczynowości, bowiem sposób ich zastosowania pokazano w poprzednim paragrafie. Analiza grangerowskiej przyczynowości wskazała na istotny wpływ zmian w wynagrodzeniach i przychodach ze sprzedaży produkcji na zmiany zatrudnienia. Zatrudnienie zaś nie wpływa na pozostałe zmienne. Nie można potwierdzić wpływu zatrudnienia i wynagrodzeń na przychody ze sprzedaży. Wnioski te dotyczą zarówno sektora prywatnego jak i publicznego i sugerują, że przychody ze sprzedaży kształtują się niezależnie od pozostałych zmiennych. Dodatkowo, można stwierdzić istotny łączny wpływ popytu i zatrudnienia na wynagrodzenia tylko w sektorze prywatnym. W przypadku hipotezy o wpływie wynagrodzeń na pozostałe zmienne modelu oraz wpływie zmian w przychodach i zatrudnieniu na wynagrodzenia w sektorze publicznym otrzymujemy wartość statystyki bardzo nieznacznie przekraczającą wartość krytyczną. Wynik ten sugeruje, że wynagrodzenia są równie niezależną, co przychody ze sprzedaży, zmienną w modelu sektora publicznego. Dopiero przeanalizowanie komponentów wariancji błędów prognoz zmiennych pozwoliło uściślić powyższe wyniki. Zanim przedstawimy dokładne wyniki, należy zwrócić uwagę, że dekompozycja wariancji jest czuła na porządkowanie zmiennych. Kolejność zmiennych w modelu nadaje im swoisty priorytet. Powinna być ona wobec tego wynikiem nie przypadkowego wyboru, lecz odzwierciedleniem wiedzy badacza o modelowym systemie, lub przynajmniej polegać na wynikach testów statystycznych. Na przykład analiza przyczynowości może być testem pomagającym w ustaleniu ważności zmiennych (w naszym wypadku przychody ze sprzedaży byłyby najbardziej niezależną, zatrudnienie najbardziej zależną od pozostałych zmienną). W cytowanej pracy postanowiono jednak przeanalizować komponenty dla wszystkich możliwych uporządkowań zmiennych (jest ich 3!=6). Zbiorcze wyniki pokazują tablice i Nieobserwowalny popyt na produkty przedsiębiorstw reprezentowały przychody ze sprzedaży tych produktów.

10 Tablica Minimalne, maksymalne i średnie wartości dekompozycji błędu prognoz zmiennych modelu sektora prywatnego Udział spr Udział wpr Udział zpr min Max Średnio min max średnio min max Średnio spr t 68% 89% 78% 8% 31% 19% 1% 6% 3% wpr t 28% 37% 32% 60% 71% 65% 1% 6% 3% zpr t 21% 25% 23% 5% 11% 9% 65% 72% 68% Źródło: Kusideł [2000], s.129 Z tablicy odczytujemy, że produkcja sprzedana jest najbardziej niezależną zmienną modelu sektora prywatnego, bowiem w największym stopniu (średnio w 76%) zależy od swoich własnych wartości, w niewielkim zaś od wynagrodzeń (średnio 19%). Wynagrodzenia zależą w dużym stopniu od przychodów ze sprzedaży (32%). Zatrudnienie zaś zależy przede wszystkim od przychodów ze sprzedaży (23%), w mniejszym zaś stopniu od wynagrodzeń (9%) 10. Tablica Minimalne, maksymalne i średnie wartości dekompozycji błędu prognoz zmiennych modelu sektora publicznego spu wpu zpu min Max Średnio min max średnio min max średnio spu t 85% 86% 85,5% 13% 13% 13% 1% 2% 1,5% wpu t 12% 13% 13% 86% 86% 86% 1% 2% 1% zpu t 18% 20% 19% 6% 6% 6% 74% 76% 75% Źródło: Kusideł, [2000], s.132 Analizując wartości komponentów błędów w tablicy można stwierdzić, że to wynagrodzenia są najbardziej niezależną zmienną modelu, bowiem w największym stopniu (w 86%) wyjaśniają swoje własne wartości. W badaniu dla sektora prywatnego zmienną taką były przychody ze sprzedaży. Choć przychody ze sprzedaży w sektorze publicznym tylko w nieznacznie mniejszym stopniu objaśniają swoje wartości (w 85,5%), to jednak uzyskanie podobnej wartości dla wynagrodzeń znacznie różni ten wynik od poprzednich. Dodatkowo należy zaobserwować różną zmienność wyników (wartości min i max) w zależności od sektora własności. Dla sektora publicznego mało znaczący jest wpływ porządkowania równań w badanym modelu. Wiadomo, że porządkowanie to ma tym większe znaczenie im silniej powiązane są (skorelowane) ze sobą poszczególne zmienne w modelu VAR (a dokładnie składniki losowe równań reprezentujących zmienne) 11. Można się zatem domyślać, że powiązania pomiędzy zmiennymi charakteryzującymi sektor publiczny są bardzo słabe, lub inaczej mówiąc statystycznie nieistotne. I tak w istocie jest, jak sprawdzono za pomocą odpowiedniego testu w pracy Kusideł [2000], s Wynika z tego, że sektor 10 Piszemy tutaj, że np. zmiany w zatrudnieniu zależą w 23% od przychodów ze sprzedaży. W istocie należałoby napisać, że zaburzenia w równaniu przyrostów przychodów za sprzedaży mają 23% udział w wyjaśnianiu wariancji błędu prognozy równania przyrostów zatrudnienia. Pierwsze sformułowanie jest zatem uproszczeniem. Wydają się one jednak wskazane dla zachowania czytelności tekstu. 11 Por. Enders [1995], s. 307.

11 publiczny w niewielkim stopniu reaguje zmianami w zatrudnieniu, wynagrodzeniach i produkcji na zakłócenia któregoś z tych czynników. Analiza komponentów wariancji błędu prognoz zmiennych, wraz z analizą powiązań składników losowych modelu i testami przyczynowości pozwoliła autorce na następujący wniosek (pełne jego uzasadnienie i rozwinięcie znajduje się w cytowanej pracy na str , ): w przypadku sektora publicznego niedostatek popytu na pracę jest przynajmniej w części wywołany niedostosowaniami płacowymi (teoria neoklasyczna) i barierą opłacalności, na którą wpływają wysokie koszty pracy (fakt istnienia tu silniejszych niż w sektorze prywatnym związków zawodowych może być tylko potwierdzeniem tego przypuszczenia). W przypadku sektora prywatnego, nie ma wątpliwości, że to głównie niedostateczny popyt, a więc mechanizm keynesowski, ma wpływ na wielkość zatrudnienia Zastosowanie funkcji odpowiedzi na impuls w badaniach regionalnych Interesującą kwestią w badaniach regionalnych jest czułość poszczególnych zmiennych (np. regionów) na różnorakie zaburzenia systemu. Badania takie można przeprowadzać również jako uzupełnienie analiz o zasięgu wpływu jakie mają jedne zmienne na drugie (por. badania przyczynowości w p. 1.2). W kontekście modeli VAR prześledzenie ścieżki czasowej zmiennych w odpowiedzi na różnego rodzaju bodźce (impulsów, innowacji) umożliwia zbadanie przebiegu funkcji odpowiedzi na impuls IRF (ang. Impulse Response Function). Kolejne wartości IRF pokazują zachowania poszczególnych zmiennych w odpowiedzi na rozmaite impulsy. 12. Funkcja odpowiedzi na impuls jest, podobnie jak dekompozycja wariancji, związana ze strukturalną postacią modeli VAR. Jej zastosowanie w badaniach regionalnych można znaleźć np. w Kusideł [2000], s.71, 141, 147, 163, tutaj dodamy jedynie, że analiza funkcji odpowiedzi na impuls jest dodatkowo, obok analizy wpływu zaburzeń na system, dogodnym narzędziem badania stabilności systemu. Jeśli bowiem wartości IRF są zbieżne, tzn. impuls nie jest w nieskończoność podtrzymywany przez zmienne, lecz tłumiony po kilku okresach, to modelowany system jest stabilny, a zmienne go tworzące są łącznie stacjonarne Mówiąc tutaj o impulsach, zaburzeniach, czasem szokach, mamy na myśli to, co w literaturze angielskojęzycznej opisuje się najczęściej za pomocą słowa shocks. Chodzi tu o różnego rodzaju zdarzenia lub informacje, które powodują, że wartości zmiennych odchylają się od swojego typowego poziomu. Technicznie biorąc analizowane przez nas impulsy, czy zaburzenia mają wartość odchylenia standardowego zmiennej, lecz można rozważać zupełnie również inne wartości. 13 Badanie stabilności systemu jest mało atrakcyjne ze względu na brak specjalnych walorów interpretacyjnych, lecz jest niezbędne przynajmniej z jednego powodu. Otóż większość stosowanych tu testów i procedur nie może mieć miejsca w przypadku niestacjonarnych zmiennych i niestabilnego modelu.

12 1.5. Badanie kointegracji Od początku lat dziewięćdziesiątych, a dokładnie od opublikowania artykułu S. Johansena [1988], modele VAR są używane w badaniach nad istnieniem długookresowej równowagi (kointegracji) pomiędzy różnymi wielkościami ekonomicznymi. We wcześniejszych badaniach, wśród których wyróżniają się prace C. W. J. Grangera [1981], J. Stocka [1987] i przede wszystkim R. F. Engle'a i C. W. J. Grangera [1987], stosowano metodę badania kointegracji na podstawie modeli jednorównaniowych. S. Johansen [1988], oraz S. Johansen i K. Juselius [1988, 1990] wykazali, że bardziej efektywną metodą badania istnienia związków długookresowej równowagi (szczególnie gdy analizie podlegają więcej niż dwie zmienne) jest metoda wykorzystująca modele VAR 14. Ewolucja, a właściwie rewolucja, które się w tym temacie rozegrała na przestrzeni kilku lat uwidacznia się na przykładzie wydanego w roku 1992 (w Polsce w 1997 r.) podręczniku W. Charemzy i D. Deadmana traktującego o nowoczesnych metodach ekonometrycznych. Znajduje się w nim obszerny rozdział dotyczący kointegracji, w którym opisano jednak tylko podejście Engle'a - Grangera. Jedyna wzmianka o procedurze Johansena znajduje się w rozdziale o modelowaniu VAR i opatrzona jest komentarzem, że jest to metoda nowa, dla której publikowane zastosowania są wciąż nieliczne. W cytowanej pracy marginalnie wspomniano, że: "testowanie i analiza kointegracji w modelu VAR często uważana jest za lepszą niż metoda Engle'a Grangera..." 15 Przez kilka lat, które upłynęły od wydania wspomnianego podręcznika podejście do testowania kointegracji uległo całkowitej zmianie. Współcześnie do badania kointegracji zmiennych wykorzystuje się procedurę Johansena, jako metodę efektywniejszą od Engle a i Grangera 16. Polega ona na przekształceniu modeli VAR do modeli wektorowej korekty błędem VECM (ang. Vector Error Correction Model ) - postaci: k 1 (1.5) x t 0 Dt xt 1 i xt i t ; i 1 gdzie: k i 1 A i I ; k i A j j i Porównanie metody Johansena do popularnej procedury Engla i Grangera można znaleźć w Kusideł[1997],s 4 15 Por. W. Charemza, D. Deadman [1992], s. 201, Mamy tu na myśli fakt, że statystyczne własności procedury Johansena są lepsze i moc testu większa niż Engle'a Grangera. Procedura Johansena stwarza również możliwości znalezienia więcej niż jednego wektora kointegracyjnego.

13 Johansen dowiódł, że w przypadku wielowymiarowym, do badania kointegracji można użyć rzędu macierzy, który jest równy liczbie niezależnych wektorów kointegracyjnych 17, a w szczególności: 1) Jeśli rząd wynosi 0, to wszystkie elementy tej macierzy muszą być zerowe i model (1.5) jest typowym modelem VAR dla przyrostów zmiennych, dla którego nie istnieje reprezentacja VECM; 2) Jeśli macierz jest pełnego rzędu, wtedy szeregi wektora x t są stacjonarne i model (1.5) jest typowym modelem VAR dla poziomów zmiennych; 3) Jeśli rząd macierzy spełnia warunek: 1 < rząd < n, to zmienne są skointegrowane, liczba wektorów kointegracyjnych jest równa rzędowi kointegracji, a wyrażenie x t 1 w (1.5) jest czynnikiem korekty błędem 18. Jest on miarą błędu równowagi, popełnionego w poprzednim okresie i o który korygowana jest zmienna objaśniana w okresie bieżącym. Pomijamy tutaj techniczne aspekty znajdowania liczby wektorów kointegracyjnych, które można znaleźć w wielu podręcznikach (np. Enders [1995], Johansen [1995], Kusideł [1997,2000], Welfe [2000] i in.) pokreślmy jedynie, że badanie rzędu kointegracji jest narzędziem wspomagającym wnioskowanie o stacjonarności zmiennych, co wynika z punktu 1) i 2). Fakt stacjonarności zmiennych odgrywa kluczową rolę w modelowaniu ekonometrycznym, a w szczególności w modelowaniu VAR. Na przykład zaprezentowane wcześniej ich zastosowania są właściwe, jeśli zmienne użyte do badania są stacjonarne (wtedy opisane testy mają wymagane rozkłady). Przede wszystkim jednak zachodzi niebezpieczeństwo regresji pozornych i otrzymania niezgodnych estymatorów. Aby uniknąć tych negatywnych skutków zastosowania niestacjonarnych zmiennych najczęstszą praktyką jest ich różnicowanie (tzn. obliczanie przyrostów) w celu osiągnięcia stacjonarności W literaturze przedmiotu można spotkać się zarówno z określeniem wektor (macierz, relacja itp.) kointegracyjny jak i kointegrujący. Wydaje się, że oba określenia dobrze oddają istotę rzeczy. 18 Początków modeli ECM (ang. Error Correction Model) upatrywać należy w tradycji London School of Economics (J. D. Sargan [1964]), przy czym należy zaznaczyć, że ich pojawienie się nie miało początkowo związku z analizą stacjonarności, czy ściślej z analizą kointegracyjną. Dopiero wraz z ogłoszeniem twierdzeniem Engle'a Grangera modele ECM zyskały nowe zalety interpretacyjne, zaś metody estymacji ich parametrów uległy odpowiedniej modyfikacji. 19 Generalnie występują dwa podstawowe rodzaje niestacjonarności, czyli trendów: deterministyczny i stochastyczny. Liniowy trend deterministyczny jest widoczny gołym okiem, jako rosnąca lub malejąca linia i charakteryzuje się zmienną w czasie średnią procesu. Trudniejszy do zaobserwowania trend stochastyczny (do jego rozpoznania używa się testów statystycznych jak np. test Dickeya Fullera, Perrona, test autokorelacji i in.) charakteryzuje się zmienną w czasie wariancją procesu. Oba rodzaje niestacjonarności można usunąć stosując filtr różnicowy. Istnieją jednakże badania (por. Piłatowska [1997]), które dowodzą, że zastosowanie takiego filtru w przypadku trendu w średniej nie jest właściwe.

14 Oszacowanie modelu dla przyrostów zmiennych nie pozwala jednak na wyodrębnienie tendencji długookresowych. Uzyskujemy jedynie informacje o krótkookresowych wpływach poszczególnych zmiennych na zmienną objaśnianą. Próba oszacowania mnożnika długookresowego w tradycyjnym równaniu dla niestacjonarnych zmiennych ponownie sprowadza nas do problemu regresji pozornych. W celu wyodrębnienia parametrów tendencji długookresowych w przypadku zmiennych niestacjonarnych, równania dla przyrostów zmiennych można (w pewnych przypadkach) uzupełnić o tzw. składnik korekty błędem. Wyraża on długookresową relację (równowagę) pomiędzy niestacjonarnymi zmiennymi. Modelem uzupełnionym o taki składnik jest model (1.5) zwany modelem wektorowej korekty błędem lub z korektą błędem, w którym macierz można zdekomponować na dwie macierze i, tzn.: (1.5a) '. Macierz - jest macierzą dostosowań (macierzą sprzężeń, wag). Elementy tej macierzy mierzą szybkość dostosowania zmiennej reprezentującej równanie do relacji długookresowej po wytrąceniu układu z równowagi. Macierz jest macierzą wektorów kointegracyjnych. Wektor kointegracyjny ma taką własność, że x t jest stacjonarne nawet jeśli x t jest niestacjonarne. Wyrażenie x t utożsamia się z długookresową relacją (równowagą) pomiędzy zmiennymi wektora x t. Podstawową kwestią dla sformułowania odpowiedniego modelu dla zmiennych niestacjonarnych jest zatem stwierdzenie, czy istnieje dla nich relacja długookresowa. Jeśli tak, to mówimy, że zmienne są skointegrowane. Aby to stwierdzić należy zbadać rząd macierzy w modelu 1.5, o czym pisaliśmy na początku paragrafu. Od tego zależy czy będzie można zbudować model VEC na podstawie którego odczytamy parametry krótko i długookresowej równowagi. Po wyznaczeniu tych parametrów można następnie badać różnego rodzaju restrykcje nakładane na elementy wektorów lub. Dla wektora można na przykład testować różnorakie hipotezy wypływające z wiedzy ekonomicznej o relacji długookresowej pomiędzy zmiennymi. Np. dla związku y t = 1 x 1t + 2 x 2t można testować hipotezy, że 1 =1, 2 >0, lub ograniczenia łączne jak np. 1 = 2 =0, itp.

15 Zastosowanie analizy kointegracyjnej w badaniach regionalnych Dane ekonomiczne, również te które charakteryzują badania regionalne często wykazują niestacjonarność 20. Wtedy zastosowanie modelu VEC w celu oszacowania parametrów długookresowej równowagi jest nader wskazane. W badaniach które wspomagają politykę regionalną (czy to w skali jednego województwa, państwa, czy świata) najczęściej interesują nas właśnie długookresowe tendencje charakteryzujące dany region lub regiony. Wyodrębnienie i interpretacja parametrów macierzy - por. wzór (1.5a) - prowadzi do dodatkowych i ciekawych wniosków, chociażby odnośnie samego istnienia (bądź nie) równowagi międzyregionalnej lub równowagi dotyczącej różnych czynników gospodarczych jednego regionu. Równie ciekawą interpretację mają współczynniki macierzy we wzorze (1.5a), które w przypadku badań międzyregionalnych będą mierzyć szybkość dostosowania danego regionu do relacji długookresowej z innymi regionami (jeśli taka istnieje) po wytrąceniu układu z równowagi. Można na przykład uszeregować równania reprezentujące poszczególne regiony zgodnie z wartościami parametrów i dokonać międzyregionalnej analizy wrażliwości. Badania takie pokażą, które z regionów potrzebują najwięcej, a które najmniej czasu do powrotu do długookresowej równowagi. Innym walorem stosowania VECM jest spójna procedura testowania różnorakich ograniczeń nakładanych na elementy wektorów lub. W szczególności możemy testować, że dany region powinien być wykluczony z relacji długookresowej z innymi za pomocą ograniczenia zerowego narzuconego na odpowiedni współczynnik. Można również testować przeróżne ograniczenia wynikające z teorii ekonomii. Częstym przykładem ilustrującym techniki kointegracyjne 21 jest testowanie hipotezy parytetu siły nabywczej. Na przykład w pracy S. Johansena [1995] znajdujemy analizę kointegracyjną parytetu siły nabywczej pomiędzy Australią i Stanami Zjednoczonymi dwoma makroregionami. Przy odpowiednich danych można takie badania prowadzić w odniesieniu do poszczególnych regionów w mniejszej skali. Jednocześnie powyższe przykłady są tylko ilustracją możliwości zastosowań, bowiem testowanie innych hipotez zależy tylko od wyobraźni i wiedzy badacza. 20 Mamy tu na myśli niestacjonarność, która może być wyeliminowana za pomocą pierwszych przyrostów zmiennych, tzn. integrowanych rzędu pierwszego. Uwaga ta dotyczy również poniższych rozważań. Szersze omówienie modeli dla zmiennych integrowanych w wyższym stopniu niż jeden można znaleźć w pracy Johansena [1995]. 21 Np. M. P. Taylor [1988], S. Johansen [1992, 1995], S. Johansen i K. Juselius [1992], M. Pearsan i Y. Shin [1996], M. Pesaran i B. Pesaran [1997], W. Enders [1995].

16 Zakończenie W niniejszym opracowaniu staraliśmy się wykazać przydatność modeli VAR w badaniach regionalnych. Pokazaliśmy, że konstrukcja modelu szczególnie predysponuje go do badań dla danych przestrzenno czasowych, które charakteryzują najczęściej analizy regionalne. Wskazaliśmy na kilka narzędzi związanych z metodologią VAR: testy przyczynowości, funkcja odpowiedzi na impuls, dekompozycja wariancji i kointegracja 22. Naszym zdaniem zastosowania te stwarzają ciekawe możliwości wnioskowania w przypadku badań regionalnych. Testy przyczynowości pozwalają ustalić porządek przyczynowo skutkowy pomiędzy badanymi zmiennymi. Dekompozycja wariancji może być ich uzupełnieniem w przypadku, gdy chcemy wiedzieć jaki dokładnie (procentowo) jest zasięg wpływu jednych regionów na drugie, lub (jak w powyższym badaniu) jaki jest udział wpływu wybranych charakterystyk jednego regionu 23. Funkcja odpowiedzi na impuls pozwala nam stwierdzić, czy badany układ gospodarczy (reprezentujący poszczególne regiony lub różne zmienne jednego regionu) jest stabilny oraz ile czasu (jeśli w ogóle) zajmuje kolejnym zmiennym powrót do równowagi po jej zaburzeniu. Badanie kointegracji pozwala doszukiwać się długookresowej równowagi pomiędzy badanymi zmiennymi (np. reprezentującymi regiony) i testować następnie różnorakie hipotezy wynikające z teorii ekonomicznej lub wiedzy o badanym zjawisku 24. Nie wspomnieliśmy tutaj o prognozowaniu nie dlatego, że sprawia ono jakieś trudności, ale dlatego, że jest ono najbardziej znanym (czasem jedynym znanym) zastosowaniem modeli VAR, jak i wszystkich innych modeli szeregów czasowych typu AR, MA, ARMA itp. W odróżnieniu jednak od tych wszystkich innych modeli zastosowanie VAR -ów do wyznaczania krótkookresowych prognoz jest tylko jedną z wielu możliwości ich aplikacji co bardzo staraliśmy się wykazać. 22 Część z tych narzędzi nie jest immanentnie zwiazana z ta metodologią. Na przykład analiza przyczynowości rozwinęła się wcześniej niż modelowanie VAR. Punktem wyjścia do rozwoju tych badań była praca C. W. J. Grangera [1969] opublikowana dużo wcześniej niż artykuł A. Simsa [1980]. W szczególności zaś badania dotyczące kointegracji zmiennych przez wiele lat nie związane były z modelami VAR. Modele te nie stworzyły zatem możliwości badania przyczynowości lub kointegracji, lecz stały się innym narzędziem do tego rodzaju badań, często stwarzającym nowe możliwości interpretacji i wnioskowania. 23 Piszemy, że dekompozycja jest dobrym uzupełnieniem innych testów, lecz można ją też stosować niezależnie. Zależy to od celu badania. 24 Użyliśmy pojęcia równowaga zarówno w przypadku IRF jak i kointegracji. W pierwszym wypadku chodzi głównie o stan systemu (równowagę) który ustaliłby się gdyby impuls zaburzający nie wystąpił. W przypadku kointegracji równowagę (w sensie Grangera) należy rozumieć jako fakt występowania długookresowych zależności przyczynowo skutkowych.

17 Modele VAR są bardzo wygodnym narzędziem prognozowania. Nie posiadając innych zmiennych egzogenicznych poza deterministycznymi elementami wektora D t (wyraz wolny, zmienna czasowa, lub zmienne zero - jedynkowe) nie wymaga się stawiania założeń co do ich wartości w okresie prognozowanym. Z inną sytuacją mamy do czynienia w przypadku tradycyjnych modeli, w których aby wyznaczyć prognozy, należy najpierw poczynić pewne predykcje odnośnie zmiennych egzogenicznych zawartych w modelu. Stanowi to jedno ze źródeł błędów prognoz. Jeśli bowiem takiej predykcji dokonano nieprawidłowo, to dysponując modelem nawet bardzo dobrze opisującym badane zjawisko, można otrzymać błędne prognozy finalne. Problem ten wydaje się być poważną przeszkodą w praktycznym wykorzystywaniu modeli strukturalnych jako narzędzia do prognozowania zjawisk gospodarczych, również o charakterze regionalnym. Na zakończenie należy dodać kilka uwag o modelowaniu VAR, które są szczególnie istotne dla badacza nie posiadającego doświadczenia w modelowaniu VAR. Pewne ograniczenie w modelowaniu VAR stwarza liczba dostępnych danych statystycznych. Nie ma sensu budowanie modelu jeśli nie posiadamy ich co najmniej kilkudziesięciu. Jest to wymóg, którego należy przestrzegać zarówno ze względów technicznych (każda dodatkowa zmienna konsumuje k stopni swobody, a liczba opóźnień k powinna być na tyle duża, aby wyeliminować autokorelację składnika losowego), jak i ze względu na stosowane testy, których część ma asymtotyczne rozkłady. W przypadku stosowania modeli VEC należy, przed przystąpieniem do badania kointegracji, poprawne określić strukturę deterministycznych regresorów. Ma to istotne znaczenie, ze względu na możliwość otrzymania różnych wyników w zależności od użycia modelu VECM w postaci nieograniczonej, lub ograniczonej (tzn. z deterministycznymi regresorami włączonymi w wektor kointegracyjny) 25. Decyzja o pozycji deterministycznych czynników w modelu VECM powinna być podjęta na podstawie wiedzy o konsekwencjach jakie wywołuje konkretne postępowanie. 25 Na przykład wartości krytyczne statystyk badających liczbę wektorów kointegracyjnych są mniejsze w przypadku nieograniczonego wyrazu wolnego i większe gdy estymujemy model z wyrazem wolnym włączonym w wektor kointegracyjny. Wiadomo również (por. W Enders [1995], s.393), że prawdopodobieństwo znalezienia stacjonarnej liniowej kombinacji wśród n zmiennych jest większe w przypadku drugim. Procedury testowania właściwej, pod względem struktury deterministycznych regresorów, postaci VECM znajdują się w pracy Johansen [1995], Kusideł [2000], rozdział 3.

18 Literatura Bernanke B. S., [1986], Alternative Explanations for the Money-Income Correlation. W : K. Brunner i A. Meltzer (red.), Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, vol. 25, North-Holland, Amsterdam Blanchard O., M. W. Watson, [1986], Are Business Cycles All Alike? W: R. J. Gordon (red.), The American Business Cycle: Continuity and Change, University of Chicago Press, Chicago Box G. E. P., G. M. Jenkins, [1970], Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden- Day, San Francisco Canova, [1995], Vector Autoregressive Models: Specification, estimation, inference and Forecasting, Handbook of Applied Econometrics, red. M.H. Pesaran i M. Wickens, Basil Blackwell, Oxford Charemza W. W., D. A. Deadman, [1992], New Directions in Econometric Practise, Edward Elgar, Hants Cooper R. L. [1972], The Predictive Performance of Quarterly Econometric Models of the United States. W: B. G. Hickman (red.), Econometric Models of Cyclical Behaviour, Columbia University Press, New York Enders W., [1995], Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., New York Engle R. F., C. W. J. Granger, [1987], Co-integration and error correction: representation, estimation and testing, Econometrica, vol. 55, s Gajda J. B., [1992], Wielorównaniowe modele ekonometryczne w praktyce, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź Geweke J., [1984], Inference and Causality in Economic Time Series Models. W: Z. Griliches i M. D. Intriligator (red.), Handbook of Econometrics, vol. 2, North-holland, Amsterdam Granger C. W. J., [1969], Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross Spectral Methods, Econometrica, 37, s Granger C. W. J., [1981], Some properties of time series data and their use in econometric model specification, Journal of Econometrics, 16, s Guilkey D. K., M. K. Salemi, [1982], Small Sample Properties of Tree Tests for Granger- Causal Ordering in a Bivariate Stochastic System, Review of Economics and Statistics, 64, s Kusideł E., [1997], Badanie kointegracji na podstawie wektorowo-autoregresyjnych modeli ekonometrycznych. Podejście Johansena, Prace Instytutu Ekonometrii i Statystyki, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1997 Kusideł E.,[1998],Funkcje popytu, Studia Kupieckie 1/98, Zgierz Kusideł E., [1999], Strukturalne modele VAR i funkcja odpowiedzi na impuls, Dynamiczne Modele Ekonometryczne, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń Kusideł E., [2000], Some problems in testing of cointegration. Employment and production example, Rynek - Innowacje - Rozwój Ekonomiczny Absolwent, Łódź

19 Ewa Kusideł, B. Suchecki, [2000], Testing of Cointegration in the System of Equation, Rynek - Innowacje - Rozwój Ekonomiczny, Absolwent, Łódź Ewa Kusideł, [2000], Aplication of structural VAR model and impuls response function, Dynamiczne Modele Ekonometryczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń Ewa Kusideł, [2000], Modelowanie wektorowo - autoregresyjne VAR. Metodologia i zastosowanie w badaniach ekonomicznych, Absolwent, Łódź Johansen S., [1988], Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, vol. 12, s Johansen S., [1992], A Representation of Vector Autoregressive Processes Integrated of Order 2, Econometric Theory, 8, s Johansen S., [1995], Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models, Oxford University Press, New York Johansen S., K. Juselius, [1988], Hypothesis Testing for Cointegration Vectors- with an Application to the Demand for Money in Denmark and Finland, Pre-print University of Copenhagen Johansen S., K. Juselius, [1992], Maximum likelihood estimation and inference on cointegration- with an application to the demand for money, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52(2), s Pesaran M. H, B. Pesaran, [1997], Working with Microfit 4.0, Oxford University Press, Oxford, New York Pesaran M. H., Y. Shin, [1996], Cointegration and the Speed of Convergence to Equilibrium, Journal of Econometrics, 71 s Phillips P. C. B., [1986], Understanding Spurious Regressions in Econometrics, Journal of Econometrics, 33, s Piłatowska M., [1997], Alternatywne metody eliminacji trendu a interpretacja modelu ekonomicznego, Materiały na IV Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, Katedra Ekonometrii i Statystyki UMK, Toruń Sims C. A. [1980], Macroeconomics and Reality, Econometrica, 48, s Sims C. A., [1982], Policy Analysis with Econometric Models, Brookings papers on Economic Activity, 1, s Stock J., [1987], Asymptotic Properties of Least Squares Estimators of Cointegrating Vectors. Econometrica, 55, s Welfe A. (red) [2000], Gospodarka Polski w okresie transformacji, PWE, Warszawa