Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego

Transkrypt

1 2019/02/13 14:12 1/10 Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego 0.1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie ogniskowej soczewki cienkiej: A. Metodą pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki, B. Metodą Bessela Zagadnienia teoretyczne Optyka geometryczna. Prawo odbicia i załamania światła. Własności cienkich soczewek skupiających i rozpraszających. Zdolność skupiająca. Konstrukcja obrazów tworzonych przez soczewki. Wady soczewek. Własności układu soczewek Układ pomiarowy i zapis wyników W ćwiczeniu wykorzystujemy podstawowy wzór optyki geometrycznej dotyczący soczewek sferycznych - wzór soczewkowy: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}\tag{41.1}$$ gdzie : $x$ odległość przedmiotu od soczewki, $y$ odległość obrazu od soczewki, $f$ wielkość ogniskowej soczewki. Układ pomiarowy składa się z przedmiotu (jest to strzałka wycięta w osłonie lampy), soczewki z uchwytem i ekranu, na którym wyświetlany jest obraz przedmiotu. Całość zamontowana jest na ławie optycznej z linijką centymetrową pozwalającą na odczyt położeń przedmiotu, soczewki i obrazu i obliczenie wielkości $x$ i $y$, potrzebnych w metodzie A oraz $a$ i $d$ w metodzie B (Bessela). Laboratorium Fizyki -

2 Last update: labfizyki:cw._nr_41._wyznaczanie_ogniskowych_soczewek_za_pomoca_wzoru_soczewkowego /06/02 17:12 Rys Konstrukcja dwu obrazów tworzonych przez soczewkę skupiającą dla ustalonej odległości przedmiot-obraz.na osi $s$ zaznaczono położenie przedmiotu, soczewek i obrazu oraz przedstawiono wielkości $x, y, a, d$ 0.4. Metoda pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki Przekształcając wzór 41.1 dostajemy wyrażenie na ogniskową soczewki: $$\boxed{\displaystyle{f=\frac{xy}{x+y}}} \tag{41.2}$$ W ćwiczeniu nie mierzymy wielkości $x$ i $y$ lecz położenia przedmiotu $s_p$, soczewki $s_{s1}$ i obrazu $s_o$ jak to zaznaczono na rysunku $x$ i $y$ wyznaczamy z zależności: $\begin{align*} x&=s_{s1}-s_p\\ y&=s_o-s_{s1} \end{align*}\tag{41.3}$ Pomiary 1. Na ławie optycznej ustawić ekran, soczewkę i przedmiot tak, aby otrzymać ostry obraz przedmiotu. Odczytać wartości położenia ekranu $s_o$, przedmiotu $s_p$ i soczewki $s_{s1}$. 2. Pomiar powtórzyć dla kilku różnych odległości przedmiot-ekran (4-5), a dane zapisać w tabeli Przy określaniu wartości błędów pomiarowych x$ i y$ wziąć pod uwagę niedokładność położenia przedmiotu, ekranu i soczewki względem liniału ławy optycznej oraz różnicę położeń soczewki ( przy stałej odległości przedmiotu od obrazu) dla której obraz jest jeszcze ostry. 4. Pomiary powtórzyć dla innej soczewki. Printed on 2019/02/13 14:12

3 2019/02/13 14:12 3/10 Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego Tabela Wyniki pomiarów Pomiary Obliczenia Lp. $s_o$ $s_p$ $s_{s1}$ $x$ $y$ $f$ $\left \bar f - f_i \right $ [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] s_o=$ $\phantom{m}$ s_p=$ 0.5. Opracowanie wyników s_{s1}=$ x=$ y=$ $\bar f=$ $\sum \left \bar f- f_i \right =$ $p$ 1. Wyznaczyć ogniskowe soczewek dla poszczególnych pomiarów. 2. Wyznaczyć wartości średnie ogniskowych. 3. Obliczyć błędy przeciętne ogniskowych. 4. Metodą różniczki zupełnej wyznaczyć błąd maksymalny ogniskowej dla przynajmniej jednego pomiaru dla każdej z soczewek. 5. Przeprowadzić dyskusję błędów Metoda wykresu zależności powiększenia obrazu od odległości obrazu W zależności od położenia przedmiotu względem soczewki obraz może być powiększony lub pomniejszony. Powiększenie, jako wielkość fizyczna, zdefiniowana jest następująco: $$p = \frac{h_o}{h_p}\tag{41.4}$$ gdzie: $h_p$ - wysokość przedmiotu, $h_o$ - wysokość obrazu. Z zależności geometrycznych wynika, że ten stosunek równy jest stosunkowi odległości obrazu i przedmiotu od soczewki: $$\boxed{\displaystyle{p = \frac{y}{x}}} \tag{41.5}$$ Wyznaczając z powyższego $y$, po podstawieniu do równania 41.1 i przekształceniach otrzymujemy: $$\boxed{\displaystyle{p = \frac{1}{f}y - 1}}\tag{41.6}$$ Jest to równanie prostej $p=f(y)$ przecinającej oś $y$ w punkcie $f$. Wykres przedstawia poniższy rysunek: Laboratorium Fizyki -

4 Last update: labfizyki:cw._nr_41._wyznaczanie_ogniskowych_soczewek_za_pomoca_wzoru_soczewkowego /06/02 17:12 Rys Wykres zależności powiększenia p od odległości obrazu od soczewki y Z równania 41.6 wynika, że dla $p=0 \quad y=f$, a dla $p=1 \quad y=2f$, co zostało zaznaczone na wykresie. Zatem by wyznaczyć ogniskową z wykresu należy odczytać wartość współrzędnej $y$ punktu przecięcia się prostej z osią $y$ Pomiary Wykorzystać wyniki pomiarów poprzednią metodą Opracowanie wyników Obliczyć powiększenia dla danych z tabeli 41.1 i wpisać do tabeli wartości powiększenia $p$. Na papierze milimetrowym sporządzić wykres $p(y)$ i wyznaczyć ogniskową soczewki. Przyjąć dokładność tak wyznaczonej ogniskowej równą dokładności pomiaru położenia soczewki dającej wyraźny obraz Metoda Bessela Dla ustalonej (i odpowiedniej) odległości przedmiotu i ekranu istnieją dwa położenia soczewki, w których na ekranie pojawiają się wyraźne obrazy (jeden pomniejszony, drugi powiększony). Mamy zatem dwa równania $\begin{align*} \frac{1}{x_1} + \frac{1}{y_1} &= \frac{1}{f}\\ \frac{1}{x_2} + \frac{1}{y_2} &= \frac{1}{f} \end{align*}\tag{41.7}$ z warunkami $\begin{align*} x_1+y_1&=x_2+y_2=d\\ x_2-x_1&=a\end{align*} \tag{41.8}$ gdzie $d$ - odległość pomiędzy obrazem a przedmiotem, $a$ - odległość między położeniami soczewki. Na rys widzimy, że Printed on 2019/02/13 14:12

5 2019/02/13 14:12 5/10 Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego $\begin{align*} d&=s_o-s_p\\ a&=s_{s2}-s_{s1} \end{align*}\tag{41.9}$ Uwzględniając zależności 41.8 możemy przedstawić równania 41.7 w postaci $\begin{align*} \frac{1}{f}&=\frac{1}{x_1} + \frac{1}{d-x_1}\\ \frac{1}{f}&=\frac{1}{x_1+a} + \frac{1}{d-(x_1+a)} \end{align*}\tag{41.10}$ Rozwiązując je otrzymujemy wzór na ogniskową soczewki: $$\boxed{\displaystyle{f = \frac{d^2 - a^2}{4 d}}}\tag{41.11}$$ W metodzie Bessela eliminujemy problemy i błędy związane z niedokładnością wyznaczania położenia soczewki Pomiary 1. Na ławie optycznej ustawić ekran, soczewkę i przedmiot tak, aby otrzymać ostry obraz przedmiotu. 2. Odczytać położenie ekranu $s_o$ i przedmiotu $s_p$. 3. Odczytać położenie soczewki $s_{s1}$. 4. Przestawić soczewkę by otrzymać obraz w odwrotnej skali. 5. Odczytać nowe położenie soczewki $s_{s2}$. 6. Dane zapisać do tabeli Pomiary powtórzyć dla kilku (4-5) różnych odległości przedmiot-obraz. 8. Przy określaniu wartości błędów pomiarowych d$ i a$ wziąć pod uwagę niedokładność pomiaru położenia przedmiotu, ekranu i soczewki względem liniału ławy optycznej oraz różnicę położeń soczewki ( przy stałej odległości przedmiotu od obrazu ) dla której obraz jest jeszcze ostry. Tabela Wyniki pomiarów. Pomiary Obliczenia Lp. $s_o$ $s_p$ $s_{s1}$ $s_{s2}$ $d$ $a$ $f$ $\left \bar f - f_i \right $ [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] s_o=$ $\phantom{m}$ s_p=$ Opracowanie wyników s_{s1}=$ s_{s2}=$ d=$ a=$ $\bar f=$ ${\sum \left \bar f-f_i \right }=$ 1. Na podstawie wzoru obliczyć ogniskową dla każdego pomiaru. 2. Obliczyć wartość średnią ogniskowej i jej błąd przeciętny. 3. Metodą różniczki zupełnej lub logarytmicznej wyznaczyć błąd maksymalny dla wybranego pomiaru. Laboratorium Fizyki -

6 Last update: labfizyki:cw._nr_41._wyznaczanie_ogniskowych_soczewek_za_pomoca_wzoru_soczewkowego /06/02 17: Uwagi do sprawozdania Pełen materiał n/t sprawozdań znajduje się w Sprawozdanie z ćwiczenia, Zasady opracowywania wyników pomiarów i Rachunek niepewności pomiarowych. Poniżej przedstawione są wybrane zagadnienia dotyczące tego konkretnego ćwiczenia. Przypomnienie: sprawozdanie z ćwiczenia jest indywidualne i składa się z następujących części: Strona tytułowa zawiera wzorcową tabelkę z danymi i nic więcej (daje to miejsce na pisemne uwagi prowadzącego zajęcia), tabela może być wydrukowana. Metoda pomiaru zawiera odręcznie sporządzoną (na podstawie instrukcji do ćwiczenia) notatkę zawierającą: 1. wyjaśnienie jaki jest cel ćwiczenia, co w nim jest wyznaczane, jaka jest tego definicja, jednostki itp. 2. opis metody pomiarowej, schemat układu pomiarowego, niezbędne wzory, definicje itd. 3. ogólne omówienie procedury pomiarowej. Wyniki pomiarów i obliczenia może zawierać wydruki z arkusza kalkulacyjnego (np. Excela), szczegóły p. dalej, Zestawienie wyników odręcznie, jw. Wnioski odręcznie, jw. Poniżej przedstawione zalecenia dotyczące ostatnich 3 części sprawozdania Wyniki pomiarów i obliczenia 1. Wielkość fizyczna będąca wynikiem pomiaru bezpośredniego są to 3 wielkości: odczyt przyrządu pomiarowego (liczba), niepewność pomiarowa (używamy też określenia błąd, też liczba) pomiaru i jednostka wielkości (np.: m, kg, mm, V, mv itp.) wielkości mierzonej. 2. Wielkość fizyczna będąca wynikiem pomiaru pośredniego lub wynikiem pośrednim bardziej złożonych obliczeń jest to wielkość obliczona ze wzoru, do którego podstawiamy odpowiednie wyniki pomiarów bezpośrednich, są to też te same 3 wielkości, czyli liczba, niepewność (błąd) wynikająca z tego, że do obliczeń wzięliśmy niedokładne dane (trzeba ją wyznaczyć oddzielnie), i jednostka tej wielkości fizycznej. Pojawia się jednak możliwość poważnego błędu wykonawcy, by go uniknąć należy stosować zasadę: do wzorów podstawiamy wyniki pomiarów sprowadzone do podstawowych jednostek układu SI. 3. Dokładność obliczeń określamy ilością cyfr znaczących (co to jest? patrz Zasady opracowywania wyników pomiarów). 1. Wyniki pomiarów pośrednich: tu ilość cyfr znaczących wynika z dokładności danych, które podstawiamy do wzoru. Co prawda kalkulator, czy arkusz kalkulacyjnym mogą przedstawić nam dużo cyfr znaczących, rzecz jest w tym ile z nich ma sens, skoro użyliśmy niedokładnych danych. Jest szereg reguły postępowania (tj. szacowania niepewności pomiarowej), na Laboratorium Fizyki przyjmujemy arbitralnie następującą regułą praktyczną: wielkości obliczane (czyli wyniki pomiarów pośrednich) obliczamy z taką dokładnością byśmy mogli je odpowiednio zaokrąglić. Wynika to z dokładności pomiarów w Laboratorium Fizyki. Jest ona taka, że wystarczą nam 4-5 cyfr znaczących, resztę Printed on 2019/02/13 14:12

7 2019/02/13 14:12 7/10 Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego odrzucamy. 2. Niepewności pomiarowe: obliczamy je dla wielkości mierzonych pośrednio (jest to dość złożone), przyjmujemy zasadę, że obliczamy je z dokładnością do 2 cyfr znaczących (dotąd przyjmowaliśmy, że do 3 i zaokrąglaliśmy w górę do 2 lub 1, zmieniamy to), następnie zaokrąglamy w górę do 1 cyfry, jeśli wzrost niepewności będzie mniejszy od 10%. 4. W tabeli pomiarowo-obliczeniowej przedstawia się wyniki pomiarów, dane dotyczące niepewności pomiarowych oraz wyniki obliczeń zgodnie z wierszem nagłówkowym tabeli. Może to być wydruk z arkusza kalkulacyjnego, z tym że musi zbliżony do tabeli w instrukcji (arkusz kalkulacyjny jest ograniczony jeśli chodzi o typografię, musimy radzić sobie bez niej, np. zamiast $\eta$ możemy wpisać eta, itp., można też wpisać odpowiednie symbole odręcznie) lub też zrobiona odręcznie z wpisanymi wynikami obliczeń zrobionych przy pomocy kalkulatora (tzw. naukowego lub inżynierskiego, inny np. czterodziałaniowy się nie nadaje). 5. Pod tabelą lub na odrębnej kartce zapisujemy (poniżej tekst wyróżniony na żółto na ekranie, w ramce na wydruku lub w formacie pdf jest objaśnieniem o co chodzi): 1. dla wybranego pomiaru przedstawiamy szczegółowy przykład obliczeń każdej obliczanej wielkości z tabeli w postaci komentarz np. Dla pomiaru Nr symbol wielkości = wzór = podstawienie wartości liczbowych z jednostkami = wynik wraz z jednostką i jeśli dokonujemy zaokrąglenia wartość po zaokrągleniu z jednostką, 2. analogicznie przedstawiamy obliczenia pozostałych wielkości (niepewności pomiarowe, wartości średnie itd.) 3. przykład przedstawia obliczenie średniej wartości ogniskowej $\displaystyle\bar f$, jej niepewności przeciętnej _p \bar f$ i ich zaokrąglenia: $\displaystyle\bar f=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f_i=\frac{1}{5}\cdot 0,\!587=0,\!1174 \mbox{m}$, $\displaystyle\delta_p\bar f=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bar f - f_i =\frac{1}{5}\cdot 0,\!094=0,\!0188\approx 0,\!019\approx 0,\!02 \mbox{m}$ (zapisane z dokładnością do 3 cyfr znaczących, następnie zaokrąglone do 2, następnie do 1 cyfry znaczącej, gdyż wzrost błędu jest mniejszy niż 10%), następnie zaokrąglamy średnią wartość ogniskowej: $\displaystyle\bar f =0,\!0188\approx 0,\!02 \mbox{m}$ (zaokrąglone do 2 miejsca po przecinku, gdyż ostatnia cyfra zaokrąglonej niepewności przeciętnej jest na tym właśnie miejscu) Zestawienie wyników W tej części przedstawiamy otrzymane wyniki (po zaokrągleniach i wraz z niepewnościami pomiarowymi) bez zbędnych szczegółów (te są w części Wyniki pomiarów i obliczenia ), lecz w sposób czytelny, więc z niezbędnymi komentarzami. Np.: Obliczona wartość średnia ogniskowej metodą pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki wraz z niepewnością przeciętna wynosi $\bar f=0,\!12\pm0,\!02 \mbox{m}$, a wartość ogniskowej wraz z niepewnością maksymalną dla pomiaru nr $\mathrm{\ldots}$ $f_{\ldots}=\mathrm{\ldots.}\pm\mathrm{\ldots}\ $ jednostka. Należy podać: 1. wartość ogniskowej wyznaczoną z wykresu (bez niepewności pomiarowej), 2. dla każdej z metod podać wartość średnią ogniskowej z niepewnością przeciętną oraz ogniskową dla wybranego pomiaru wraz z niepewnością maksymalną jak w powyższym Laboratorium Fizyki -

8 Last update: labfizyki:cw._nr_41._wyznaczanie_ogniskowych_soczewek_za_pomoca_wzoru_soczewkowego /06/02 17:12 przykładzie Wnioski Ocenić otrzymane wyniki: Porównać otrzymane wartości ogniskowej soczewki (z wykresu i obu metod) i ocenić wielkość rozbieżności (b. duża, duża, mała?). Dla każdej metody porównać niepewność przeciętną z niepewnością maksymalną. Porównać niepewności przeciętne i maksymalne wyników otrzymanych obiema metodami Dodatek: obliczenia niepewności pomiarowych Dokładność obliczeń i zaokrąglenia Błędy obliczamy z dokładnością do 3 cyfr znaczących, i z taką dokładnością muszą być podane w sprawozdaniu w dziale Obliczenia. Następnie zaokrąglamy w górę do 2 cyfr znaczących i sprawdzamy, czy zaokrąglenie (też w górę) do 1 cyfry znaczącej spowoduje wzrost błędu mniejszy niż 10%. Jeśli tak, to zachowujemy błąd z dokładnością do 1 cyfry, jeśli nie to do 2 cyfr. Ważna jest pozycja dziesiętna ostatniej cyfr w zaokrąglonym błędzie - do tej pozycji należy zaokrąglić wartość liczbową wielkości fizycznej, do której odnosi się błąd (stosujemy normalne zasady zaokrągleń). Oznacza to, że należy je obliczać z dokładnością o jedną pozycję dziesiętną większą niż błąd po zaokrągleniu. W sprawozdaniu w Zestawieniu wyników wyznaczone w ćwiczeniu wielkości muszą być podane wraz błędami i zaokrąglone według powyższych zasad Błąd przeciętny Błąd przeciętny jest jedną z miar niepewności średniej arytmetycznej, jest średnią arytmetyczną wartości bezwzględnych odchyleń od średniej arytmetycznej. Obliczamy go ze wzoru: $_p(\bar f)=\frac{1}{n}\sum_{i=1} ^n \bar f-f_i \tag{41.12}$$ Błąd maksymalny $\require{cancel}$ Wzór 41.1 Wyprowadzenie $\displaystyle{f=\frac{xy}{x+y}}$ $\displaystyle{\ln f=\ln x+\ln y-\ln(x+y) }$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}-\frac{d(x+y)}{x+y}}$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}-\frac{dx+dy}{x+y}}$ Komentarz najpierw logarytmujemy następnie różniczkujemy kontynuujemy zróżniczkowaliśmy licznik w trzecim składniku Printed on 2019/02/13 14:12

9 2019/02/13 14:12 9/10 Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}-\frac{dx}{x+y}-\frac{dy}{x+y}}$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}\right)dx+\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}\right)dy}$ trzeci składnik zamieniliśmy na sumę ułamków wyciągamy za nawias $dx$ i $dy$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{\cancel{x}+y-\cancel{x}}{x(x+y)}dx+\frac{x+\cancel{y}-\cancel{y}}{y(x+y)}dy dokonujemy }$ uproszczeń $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{y}{x(x+y)}dx+\frac{x}{y(x+y)}dy }$ $\displaystyle{\frac{\delta f}{f}=\frac{y}{x(x+y)}\delta x+\frac{x}{y(x+y)}\delta y}$ $\displaystyle{\delta f=f\left(\frac{y}{x(x+y)}\delta x+\frac{x}{y(x+y)}\delta y\right )}$ po uproszczeniach zamieniamy różniczki na $, wartości bezwzględnych nie zaznaczamy bo czynniki przy $ są dodatnie mnożymy przez $f$ i gotowe Laboratorium Fizyki -

10 Last update: labfizyki:cw._nr_41._wyznaczanie_ogniskowych_soczewek_za_pomoca_wzoru_soczewkowego /06/02 17:12 Wzór 41.3 Wyprowadzenie $\displaystyle{\begin{cases}x=s_{s1}-s_p\\y=s_o-s_{s1} \end{cases}}$ $\displaystyle{\begin{cases}dx=ds_{s1} -ds_p \\dy=ds_ods_{s1}\end{cases}}$ $\displaystyle{\begin{cases}\delta x=\delta s_{s1}+\delta s_p\\\delta y=\delta s_o+\delta s_{s1} \end{cases}}$ Komentarz różniczkujemy zamieniamy różniczki na $ i bierzemy sumę wartości bezwzględnych gotowe Wzór Wyprowadzenie $\displaystyle{f=\frac{d^2-a^2}{4d} }$ $\displaystyle{\ln f=\ln(d^2-a^2)-\ln4-\ln d }$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{d(d^2-a^2)}{d^2-a^2}-\frac{dd}{d}=\frac{2(d\,dd-a\,da)}{d^2-a^2}-\frac{dd}{d} }$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{2d}{d^2-a^2}dd -\frac{2a}{d^2-a^2}da-\frac{1}{d}dd}$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\left(\frac{2d}{d^2-a^2}-\frac{1}{d}\right)dd-\frac{2a}{d^2-a^2}da }$ $\displaystyle{\frac{df}{f}=\frac{2d^2-d^2+a^2}{d(d^2-a^2)}dd-\frac{2a}{d^2-a^2}da }$ $\displaystyle{\delta f=f\left(\left \frac{d^2+a^2}{d(d^2-a^2)}\right \Delta d+\left \frac{2a}{d^2-a^2}\right \Delta a\right)}$ Wzór 41.9 Komentarz najpierw logarytmujemy następnie różniczkujemy pierwszy składnik zamieniamy na różnicę ułamków wyciągamy różniczki $dd$ i $da$ za nawias, przekształcamy dalej zamieniamy różniczki na $, bierzemy sumę wartości bezwzględnych i mnożymy przez $f$ Wyprowadzenie $\displaystyle{\begin{cases}d=s_o-s_p\\a=s_{s2}-s_{s1} \end{cases}}$ $\displaystyle{\begin{cases}dd=ds_o-ds_p\\da=ds_{s2}-ds_{s1} \end{cases}}$ $\displaystyle{\begin{cases}\delta d=\delta s_o+\delta s_p \\ \Delta a=\delta s_{s2}+\delta s_{s1}=2\delta s_s \end{cases}}$ Komentarz różniczkujemy zamieniamy różniczki na $ i bierzemy sumę wartości bezwzględnych gotowe From: - Laboratorium Fizyki Permanent link: Last update: 2015/06/02 17:12 Printed on 2019/02/13 14:12