Andrzej Raczyński. Fizyka kwantowa I

Transkrypt

1 Andrzej Raczyński Fizyka kwantowa I Abstract Opracowanie niniejsze obejmuje materia l wyk ladu w trzecim semestrze studiów w roku 004/005 i nie wykracza w zasadzie poza ten materia l. D luższe obliczenia zosta ly przedstawione w skrócie. Opracowanie ma charakter roboczy i może s lużyć jako uzupe lnienie notatek, nie może natomiast zast apić lektury podrȩczników daj acej rozszerzenie informacji przedstawionych na wyk ladzie. Prezentacja nie jest zupe lnie ścis la z matematycznego punktu widzenia. W szczególności nie zwraca siȩ uwagi na fakt, że pojawiaj ace siȩ operatory nieograniczone określone s a nie na ca lej przestrzeni lecz na jej gȩstym podzbiorze. W sposób nieformalny rozszerzono przestrzeń funkcji ca lkowalnych z kwadratem przez do l aczenie funkcji normowalnych w sensie Diraca. Trzema gwiazdkami oznaczono formu ly szczególnie ważne. Zalecane podrȩczniki: 1. R.Eisberg, R.Resnick, Fizyka kwantowa, PWN, Warszawa 1983;. H.Haken, H.C.Wolf, Atomy i kwanty, PWN, Warszawa 1997; 3. L.Schiff, Mechanika kwantowa, PWN,Warszawa 1977; 4. R.L.Liboff, Wstȩp do mechaniki kwantowej, PWN, Warszawa 1987; 5. G.K.Woodgate, Struktura atomu, PWN, Warszawa, 1974; 6. I.Bia lynicki-birula, M.Cieplak, J.Kamiński, Teoria kwantów, PWN, Warszawa 1971; 7. L.D.Landau, E.M.Lifszyc, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa, 1979; 8. J.Ginter, Wstȩp do fizyki atomu, cz asteczki i cia lasta lego, PWN, Warszawa, Wstȩp i elementy historii Fizyka kwantowa jako wyk ladany przedmiot ma specjalne znaczenie. Przede wszystkim dostarcza jȩzyka, a wiȩc aparatury pojȩciowej i formalizmu, które 1

2 bȩd a używane w trakcie innych wyk ladów. Ma także znaczenie ogólnoksza lc ace, formacyjne, ponieważ zmusza do porzucenia światopogl adu naiwnie realistycznego, a wnioski teorii kwantowej musz a być brane pod uwagȩ przy tworzeniu wizji świata nawet na prywatny użytek. Historiȩ mechaniki kwantowej uważa siȩ też za typowy przyk lad powstawania nowej teorii naukowej. Mechanika kwantowa zmusza do nowego rozumienia pojȩć takich jak cz astka, jej ruch, jej struktura, uk lady rozseparowane, zwi azek przyczynowy czy niezależność przedmiotu poznania od obserwatora. W pewnych warunkach nie można stosować logicznej zasady wy l aczonego środka (zachodzi a lub nie a ). Jakościowo nowe elementy to: 1. Opis probabilistyczny, tzn. typowa odpowiedź na pytanie, czy wielkość fizyczna dla danego uk ladu przyjmuje wartość z przedzia lu (a, b), brzmi: tak z prawdopodobieństwem p i nie z prawdopodobieństwem 1 p. Prawdopodobieństwa dodaj a siȩ z możliwości a interferencji;. Komplementarność, tzn. określaj ac pewne wielkości charakteryzuj ace uk lad musimy zrezygnować z określenia pewnych innych wielkości; 3. Kwantyzacja wielkości fizycznych jako regu la, tzn. jeśli wielkość fizyczna może przyjmować wartości a i b, to może nie być możliwe, by przyjmowa la dowoln a wartość rzeczywist a z przedzia lu (a, b); 4. Istnienie wielkości fizycznych nie maj acych klasycznego odpowiednika, np. spinu - momentu pȩdu nie zwi azanego z ruchem; 5. Nierozróżnialność cz astek identycznych. Teoria kwantowa stanowi potȩżne narzȩdzie pozwalaj ace skutecznie przewidzieć wyniki pomiarów. W warstwie jȩzykowej nie jest natomiast teori a skończon a - brak jest zarówno pogl adowego, intuicyjnego rozumienia jej pojȩć i praw, jak i pe lnej zgody specjalistów co do ich interpretacji. Skala typowych wielkości w fizyce atomowej to: 1. rozmiary atomów rzȩdu m, rozmiary j adra atomowego rzȩdu m;. masa elektronu kg, masa protonu kg; 3. czasy charakterystyczne w fizyce atomowej rzȩdu s, w fizyce j adrowej o kilka rzȩdów krótsze; 4. momenty pȩdu - wielokrotności sta lej Plancka h = Js; 5. prȩdkość elektronu na pierwszej orbicie (pojȩcia nie używane w nowoczesnej teorii) - rzȩdu 10 6 m/s; 6. energia elektronu w stanie podstawowym atomu wodoru

3 J=13.6 ev, energia spoczynkowa elektronu MeV, energia oscylacyjna drobiny - kilkadziesi at mev, energia rotacji drobiny - dwa rzȩdy mniej. Pierwszy etap powstawania teorii kwantowej (pierwsze ćwierćwiecze wieku) polega l na próbach ratowania fizyki klasycznej przez do l aczanie sztucznych postulatów kwantowych (postulaty ad hoc ) w celu zinterpretowania poszczególnych doświadczeń. Najważniejsze problemy i wydarzenia z tego okresu to: 1. Promieniowanie cia la doskonale czarnego. Rozważmy promieniowanie zamkniȩte w pudle o doskonale odbijaj acych ściankach. Uk lad jest w równowadze i jego temperatura wynosi T. Niech ρ(ν) bȩdzie energi a przypadaj ac a na jednostkȩ objȩtości i na jednostkȩ czȩstości ν. Wykres ρ(ν) tworzy charakterystyczny niesymetryczny kapelusz. Teoria klasyczna odtwarza kszta lt krzywej tylko dla ma lych czȩstości. Niech sześcienne pud lo rozci aga siȩ w każdym kierunku od 0 do a. Rozważmy najpierw falȩ rozchodz ac a siȩ w jednym wymiarze. Natȩżenie pola elektrycznego wynosi E = A cos(kx ωt), gdzie liczba falowa k = π = πν. Po odbiciu od ścianki λ c (ze skokiem fazy o π) powstaje fala odbita E = A cos( kx ωt), a w wyniku ich interferencji - fala stoj aca E = A sin kx cos ωt. Na brzegach musi być wȩze l, czyli sin ka = 0, czyli k = nxπ, gdzie n a x = 1,, Fali rozchodz acej siȩ w dowolnym kierunku można przypisać wektor falowy k = (k x, k y, k z ) i dla każdego z trzech kierunków można przeprowadzić podobne rozumowanie. W pudle mog a siȩ wiȩc rozchodzić fale takie, że k x = nxπ, k a y = nyπ, k a z = nzπ, a n x,y,z = 1,, Na jedn a dozwolon a falȩ przypada jedna komórka w przestrzeni wektorów falowych, o objȩtości ( π a )3. Ilość dozwolonych fal o końcu wektora k leż acym w warstwie o promieniu k i grubości dk wynosi 1 4πk dk = 8 ( π a3 4πν dν = n(ν)dν; (czynnik 1 wystȩpuje, ponieważ bierzemy taki a )3 c 3 8 u lamek powierzchni kuli, dla którego wszystkie wspó lrzȩdne s a dodatnie). Wynik należy jeszcze pomnożyć przez ze wzglȩdu na możliwe polaryzacje. Obliczona klasycznie średnia energia przypadaj aca na jedn a falȩ wynosi E = 0 E exp( βe)de 0 exp( βe)de = 1 β, gdzie β = 1 k B T ; k B jest sta l a Boltzmanna. Poszukiwana gȩstość energii wynosi ρ(ν) = 1 a 3 n(ν)e = 8πν k B T c 3. 3

4 Wielkość ta rośnie nieograniczenie dla dużych czȩstości (katastrofa ultrafioletowa). Planck w 1900 roku zauważy l, że wynik zasadniczo siȩ zmienia, jeśli sztucznie za lożyć skwantowanie energii, tzn. E = nhν, gdzie h jest sta l a. Jej wartość wyznaczono potem jako h = Js=π h. Wtedy średni a energiȩ należy liczyć inaczej E = n=0 nhν exp( βnhν) n=0. exp( βnhν) Wielkość ta jest równa d dβ n=0 exp( βnhν) n=0 exp( βnhν) = d dβ ln n=0 W konsekwencji exp( βnhν) = d dβ ln 1 1 exp( βhν) = hν exp(βhν) 1. ρ(ν) = 8πhν 3 ( ). c 3 [exp(βhν) 1] Rozk lad energii w zależności od d lugości fali otrzymamy jako ρ(λ) = ρ( c λ ) dν dλ = ρ( c λ ) c λ. Gdy βhν << 1, exp(βhν) 1 + βhν i otrzymamy wynik klasyczny. Ca lkowit a energiȩ na jednostkȩ objȩtości otrzymamy ca lkuj ac 0 ρ(ν)dν = 8π5 T 4. 15h 3 c 3 kb 4 Jest to prawo Stefana-Boltzmanna. Skorzystano z faktu, że 0 x 3 dx exp(x) 1 = π4 15. Maksimum funkcji lub ρ(λ) można obliczyć k lad ac lub ρ (λ) = 0). Otrzymuje siȩ warunek βhcλ max = x 0 = 4.965, 4

5 gdzie x 0 jest piewiastkiem równania 1 exp( x) = x. W konsekwencji zachodzi relacja λ max T = 0.9 cm K. Relacja ta znana jest jako prawo prze- 5 suniȩć Wiena. Zdolność emisyjna, czyli moc emitowana przez jednostkȩ powierzchni w dowolnym kierunku przypadaj aca na jednostkȩ czȩstości, wynosi R(ν) = c ρ(ν). 4. Zjawisko fotoelektryczne. Zjawisko fotoelektryczne zewnȩtrzne polega na wybijaniu elektronów z metalu pod wp lywem promieniowania elektromagnetycznego. Energia wybitych elektronów nie zależy od natȩżenia świat la, zależy natomiast, i to progowo, od czȩstości fali. Ilość fotoeletronów jest proporcjonalna do natȩżenia promieniowania. Einstein w roku 1904 wyjaśni l to zjawisko postuluj ac, że energia fali elektromagnetycznej jest skwantowana: E = nhν. Jeden kwant powoduje wybicie jednego elektronu. Energia kwantu promieniowania jest zamieniona na pokonanie pracy wyjścia W i nadanie elektronowi energii kinetycznej hν = W + 1 mv ( ). 3. Ciep lo w laściwe cia l sta lych (Einstein 1907, Debye 1914). Wed lug teorii klasycznej ciep lo w laściwe cia l sta lych powinno być niezależne od temperatury. Zgodnie z zasad a ekwipartycji energii na jeden stopień swobody cz astki swobodnej wypada energia 1 k BT, dla atomu w sieci krystalicznej - 3 k BT, gdzie czynnik pochodzi st ad, że dla oscylatora harmonicznego średnia energia potencjalna jest równa średniej energii kinetycznej. Tymczasem w niskich temperaturach ciep lo w laściwe zmierza do zera. Daje siȩ to wyjaśnić dziȩki dodatkowemu za lożeniu, że energia drgań atomów w krysztale jest skwantowana. 4. Widma atomowe (Ritz-Rydberg 1908) Zaobserwowano, że atomy emituj a lub absorbuj a promieniowanie o ściśle określonych d lugościach (linie widmowe). Czȩstości fal dla wodoru spe lniaj a relacjȩ ν nm = Rc( 1 n 1 )( ), m gdzie m i n s a liczbami naturalnymi, a R = cm 1 nazywa siȩ sta l a Rydberga. Dowodzi to skwantowania energii atomu. Wartość dozwolonych energii atomu wodoru wynosi Rhc. n Linie widmowe uk ladaj a siȩ w serie dla emisji ci agi linii odpowiadaj acych 5

6 przejściom z różnych poziomów m na ustalony poziom n (n = 1 - seria Lymana, n = - seria Balmera, n = 3 - seria Paschena,...). Po lożenia linii w serii w funkcji czȩstości zagȩszczaj a siȩ ze wzrostem czȩstości. Dla bardziej z lożonych atomów relacje te dadz a siȩ uogólnić ν nln l = Rc [n (n, l)] Rc [n (n, l )], gdzie liczby (tzw.defekty kwantowe) s a pewnymi u lamkami zależnymi przede wszystkim od dodatkowej liczby kwantowej l. 5. Model Bohra (1911) Bohr zaproponowa l orbitalny model atomu. Elektron porusza siȩ po orbicie ko lowej, tak że si la kulombowska gra rolȩ si ly dośrodkowej. Dozwolone s a tylko takie orbity, dla których orbitalny moment pȩdu jest wielokrotności a sta lej h = h π = Js, mv r = e ( ), 4πɛ 0 r mvr = n h( ). Prowadzi to do wniosku, że dozwolone s a tylko orbity o promieniu n a, gdzie a = 4πɛ 0 h, natomiast dozwolone poziomy energii E me n = e4 m ( ), 3π ɛ 0 h n gdzie n = 1,, Elektron na orbicie nie promieniuje (niezgodnie z zasadami fizyki klasycznej), promieniuje tylko przeskakuj ac z orbity na orbitȩ. Model ten dobrze t lumaczy obserwacje Rydberga-Ritza. Model Bohra nic nie mówi o energiach dodatnich, nie nadaje siȩ do prostego uogólnienia dla atomów wieloelektronowych. Model ko lowych orbit uogólni l Sommerfeld w latach dopuszczj ac orbity eliptyczne. 6. Doświadczenie Francka-Hertza (1913). W doświadczeniu tym mierzono natȩżenie pr adu elektrycznego przep lywaj acego przez bańkȩ z parami rtȩci w zależności od napiȩcia przyśpieszaj acego. Dla pewnego napiȩcia U (i jego wielokrotności) natȩżenie pr adu spada lo. Oznacza to, że elektrony w zderzeniach z atomami trac a energiȩ (a wiȩc i prȩdkość) dopiero, gdy przekracza ona próg eu. Energia w atomie musi być skwantowana: atom nie może zaabsorbować energii mniejszej niż eu. Elektron może w trakcie swojej drogi od katody do anody kilkakrotnie być 6

7 przyśpieszonym do energii wiȩkszej niż eu i kilkakrotnie j a tracić w zderzeniu z atomami. Później stwierdzono, że energia eu potrzebna jest do przejścia atomu rtȩci do drugiego stanu wzbudzonego, a przejście do pierwszego stanu wzbudzonego jest ma lo prawdopodobne z innych wzglȩdów. 7. Efekt Comptona (193). Efekt ten polega na rozproszeniu promieniowania elektromagnetycznego na elektronie. Fala rozproszona pod k atem θ ma d lugość zwiȩkszon a o λ = h (1 cos θ)( ) ( h = mc mc m). Efekt ten można przewidzieć teoretycznie zak ladaj ac, że promieniowanie elektromagnetyczne sk lada siȩ z fotonów o energii hν i pȩdzie hν. Za lóżmy, że foton pada wzd luż osi x c na nieruchomy elektron. Po zderzeniu foton jest rozproszony pod k atem θ wzglȩdem osi x i ma czȩstość ν. Elektron, maj acy pocz atkowo energiȩ spoczynkow a mc i zerowy pȩd, przejmuje pȩd p, ma energiȩ E i biegnie pod k atem φ wzglȩdem osi x. Z powodu zachowania momentu pȩdu ruch jest p laski (w p laszczyźnie xy). Zasady zachowania energii oraz obu sk ladowych pȩdu daj a mc + hν = E + hν, hν c = hν cos θ + p cos φ, c 0 = hν c sin θ p sin φ, E = p c + m c 4. Rozwi azuj ac powyższy uk lad równań i wprowadzaj ac d lugość fali λ = c ν otrzymujemy cytowany wyżej wzór na przyrost d lugości fali. Efekt jest ważny dla fal krótkich, dla których przyrost d lugości nie jest o wiele rzȩdów mniejszy niż d lugość. Skuteczność takiego opisu jest kolejnym dowodem korpuskularnej natury promieniowania elektromagnetycznego oraz kwantyzacji jego energii i pȩdu. 8. Doświadczenie Sterna-Gerlacha (19). W doświadczeniu tym przepuszczano wi azkȩ atomów srebra przez niejednorodne pole magnetyczne. Wi azka rozszczepi la siȩ na dwie wi azki sk ladowe. Liczba tych wi azek może być wyjaśniona tylko tak, że elektrony posiadaj a spin, czyli wewnȩtrzny (nie zwi azany z ruchem) moment pȩdu. Jest to przyk lad wielkości fizycznej nie maj acej analogii klasycznej. Problem ten bȩdzie omówiony szerzej. 7

8 9. Hipoteza de Broglie a (193). De Broglie postulowa l, aby z każd a cz astk a o pȩdzie p zwi azać falȩ o d lugości λ = h. By l to ważny krok koncepcyjny w kierunku nowoczesnej teorii kwantowej opieraj acej siȩ na pojȩciu fal p materii. 10. Doświadczenie Davisona-Germera (197). W doświadczeniu tym wi azka elektronów ulega la ugiȩciu na sieci krystalicznej, analogicznie do promieni Röntgena. Różnica dróg elektronów (lub promieni) odbitych od dwóch warstw atomów odleg lych o d, i padaj acych pod k atem θ (mierzonym wyj atkowo od p laszczyzny kryszta lu, a nie od prostopad lej) wynosi d sin θ. W zależności od k ata, a wiȩc od różnicy dróg, obserwuje siȩ pr ażki dyfrakcyjne. Jest to wyraźny dowód falowej natury cz astek, także tych o niezerowej masie spoczynkowej. Oko lo roku 196 dziȩki pracom Heisenberga, Schrödingera, Diraca, Pauliego, Borna, Bohra, Wignera i wielu innych stworzono now a, kompletn a, spójn a teoriȩ. Postulaty mechaniki kwantowej Zasady mechaniki kwantowej można uj ać w czterech postulatach. W końcowej partii wyk ladu zostan a one nieco uogólnione i uzupe lnione pi atym, dodatkowym. Postulatów tych nie można wyprowadzić z jakichś naturalnych za lożeń; należy je przyj ać jako zgadniȩte i potwierdzone przez zgodność z doświadczeniem i wewnȩtrzn a spójność. Postulat I: Stan cz astki jest w pe lni opisany funkcj a falow a. Funkcja ta oznaczana ψ = ψ(r, t) jest zespolon a funkcj a rzeczywistych zmiennych: trzech wspó lrzȩdnych po lożenia r=(x,y,z) (zamiast strza lki pogrubiona litera) i czasu t. Symbol r oznacza d lugość wektora r, tzn. r = r. Interpretacja probabilistyczna funkcji (Borna) mówi, że ψ(r, t) jest gȩstości a prawdopodobieństwa znalezienia cz astki w punkcie r w chwili t, czyli ψ(r, t) d 3 r( ) V 0 jest prawdopodobieństwem znalezienia cz astki w chwili t w objȩtości V 0 ; d 3 r = dxdydz. W zwi azku z tym funkcja powinna być unormowana, tzn. V =R 3 ψ(r, t) d 3 r = 1( ) 8

9 (jest to prawdopodobieństwo znalezienia cz astki gdziekolwiek, czyli pewność). Dalej V bȩdzie oznaczać R 3. Jeśli funkcja ψ nie jest unormowana, lecz jest normowalna, tzn. ψ(r, t) d 3 r = M <, V to można j a unormować, czyli przejść do funkcji φ = M 1 ψ, która jest już unormowana. Dla modeli jednowymiarowych zmienn a r zastȩpuje po prostu x, a ca lka normalizacyjna jest jednowymiarowa (od do ). Funkcja falowa określona jest z dok ladności a do czynnika fazowego, tzn. funkcje ψ i exp[iα]ψ, gdzie α jest dowoln a sta l a rzeczywist a, opisuj a ten sam stan. Prawdopodobieństwa otrzymania poszczególnych wyników pomiarów wielkości fizycznych innych niż po lożenie określi postulat III. Funkcje można mnożyć przez liczby zespolone i dodawać. Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorow a ze wzglȩdu na te operacje. Obowi azuje zasada superpozycji, która mówi, że jeśli stan może być opisany funkcjami ψ i φ, to może być też opisany funkcj a ψ = c 1 ψ + c φ, gdzie c 1, s a liczbami zespolonymi. Funkcje można mnożyć skalarnie. Iloczyn skalarny dwóch funkcji ψ oraz φ jest liczb a (ψ, φ) = d 3 rψ (r)φ(r)( ), V gdzie oznacza sprzȩżenie zespolone. Normalizacja oznacza wiȩc, że (ψ, ψ) = 1. D lugość wektora ψ jest to (ψ, ψ). Funkcje, których iloczyn skalarny wynosi 0, nazywamy ortogonalnymi. Funkcje można rozwijać w bazach. Najwygodniej, gdy baza {ψ n } jest ortonormalna, tzn.(ψ n, ψ s ) = δ ns, gdzie δ ns = 1 dla n = s i δ ns = 0 dla n s (δ Kroneckera). Jeśli wektory bazowe ψ n, n=1,,... nie s a ortogonalne, to można je zortogonalizować metod a Schmidta. Polega ona na zbudowaniu nowej, ortogonalnej bazy {φ s } φ 1 = ψ 1, φ n = ψ n 9 n 1 j=1 a nj φ j,

10 gdzie a nj = (φ j, ψ n )/(φ j, φ j ). Konstrukcja polega na tym, że każdy nastȩpny wektor jest ortogonalny do skonstruowanych poprzednio. Rozwiniȩcie oznacza, że ψ = n c n ψ n ( ). Dla bazy ortogonalnej oznacza to, że c n s a rzutami wektora ψ na kierunki ψ n, czyli c n = (ψ n, ψ)( ). Przyk ladami baz ortogonalnych (w jednym wymiarze) s a funkcje ψ n (x) = (l) 1 nπx exp[i ], n = 0, ±1, ±... l (baza Fourierowska na odcinku ( l, l) ), P l (x) = 1 d l l l! dx l (x 1) l (wielomiany Legendre a na odcinku ( 1, 1) ). Pojȩcie ortonormalnych baz można uogólnić dla przypadku uk ladów funkcji nieprzeliczalnych (numerowanych liczbami rzeczywistymi). Sumy należy wtedy zast apić ca lkami, a deltȩ-kroneckera - delt a Diraca. Ta ostatnia jest uogólnion a funkcj a, tak a że (***) Oznacza to, że δ(x) = 0, dla x 0 ale δ(0) =, δ(x)dx = 1. f(x)δ(x)dx = f(0)( ). Powyższa w lasność przys luguje ca lce po dowolnym przedziale zawieraj acym zero, tzn. b f(x)δ(x)dx = f(0), a gdy a < 0 < b. Badaj ac zachowanie siȩ delty Diraca pod ca lk a z dowoln a regularn a funkcj a f można pokazać, że f(x)δ(x a)dx = f(a), 10

11 , δ(f (x)) = j δ(αx) = 1 α δ(x) 1 F (x j δ(x x j), gdzie F (x j ) = 0. Jeśli funkcje ψ k stanowi a bazȩ nieprzeliczaln a unormowan a do delty Diraca, to rozwiniȩcie w bazie ma postać gdzie ψ(r) = c k = V dkc k ψ k (r), d 3 rψ k(r)ψ(r). Przyk ladem bazy nieprzeliczalnej (w jednym wymiarze) jest zbiór funkcji φ k (x) = (π) 1 exp(ikx), tzn. (φ k, φ k ) = 1 exp[i(k k )x]dx = δ(k k ). π Rozwiniȩcie w tej bazie nazywa siȩ transformat a Fouriera gdzie ψ(x) = (π) 1 g(k) = (π) 1 dkg(k) exp(ikx)( ), dx exp( ikx)ψ(x)( ). Postulat II: Wielkości fizyczne s a w mechanice kwantowej reprezentowane przez pewne operatory (hermitowskie, posiadaj ace bazowe uk lady funkcji w lasnych). Operator A jest to przepis pozwalaj acy każdej funkcji przyporz adkować pewn a funkcjȩ,tzn. dla każdej funkcji ψ istnieje dok ladnie jedna funkcja φ = A(ψ) Aψ; (w pewnych sytuacjach wystarczy, że określone jest dzia lanie operatora nie na wszystkie funkcje, lecz na funkcje z pewnego zbioru gȩstego). Wspó lrzȩdnym (x, y, z) po lożenia odpowiadaj a operatory (ˆx, ŷ, ẑ) mnożenia przez odpowiedni a wspó lrzȩdn a, tzn. ˆxψ = xψ, itd.( ) 11

12 Sk ladowym pȩdu (p x, p y, p z ) odpowiadaj a operatory różniczkowe ( ˆp x, ˆp y, ˆp z ) ˆp x ψ = i h ψ, itd.( ) x Zachowane s a klasyczne zwi azki miȩdzy wielkościami, np. - operator momentu pȩdu ˆL = ˆr ˆp, czyli ˆLx = ŷ ˆp z ẑ ˆp y ( ), (można przestawić cyklicznie indeksy); - operator kwadratu momentu pȩdu ˆL = ˆL x + ˆLy + ˆLz (***); - operator energii kinetycznej ˆT = 1 ( ˆp m x + ˆp y + ˆp z ) = h m (***); - operator energii potencjalnej ˆV = V (ˆr), czyli mnożenie przez funkcjȩ V (***); -operator energii ca lkowitej (operator Hamiltona, hamiltonian) Ĥ = ˆT + ˆV = h m + V ( ). (dalej daszek bȩdzie czasem opuszczany). Wszystkie te operatory s a liniowe, tzn. dla dowolnych funkcji ψ i φ oraz dla dowolnych liczb zespolonych λ i µ A(λψ + µφ) = λaψ + µaφ. Operatory można dodawać, mnożyć przez liczbȩ oraz mnożyć przez siebie (sk ladać), z czego zrobiono już użytek konstruuj ac powyższe przyk lady. Ogólnie można napisać dla dowolnych ψ i dowolnych liczb zespolonych λ C = A + B, tzn. Cψ = Aψ + Bψ C = λa, tzn. Cψ = λ(aψ) C = AB, tzn. Cψ = A(Bψ) Na ogó l wynik dzia lania iloczynu zależy od kolejności, tzn. AB BA. Wprowadza siȩ obiekt zwany komutatorem [A, B] AB BA. Mówi siȩ, że operatory komutuj a, jeśli ich komutator jest równy zeru. Przez bezpośrednie obliczenia można pokazać, że [ˆx, ŷ] = 0 i analogicznie dla innych wspó lrzȩdnych, [ ˆp x, ˆp y ] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych pȩdu, [ˆx, ˆp x ] = i h(***), [ˆx, ˆp y ] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych, [ ˆL x, ˆL y ] = i h ˆL z (można przestawić cyklicznie indeksy), 1

13 [ ˆL z, ˆL ] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych, [ ˆp x, ˆT ] = 0, [ ˆL x, ˆT ] = 0, [ˆL, ˆT ] = 0, [ˆx, ˆV ] = 0 i analogicznie dla innych sk ladowych, [ ˆL x, ˆV ] = [ ˆL, ˆV ] = 0 dla V=V(r) (potencja ly sferycznie symetryczne). Wprowadza siȩ operacjȩ hermitowskiego sprzȩżenia operatorów: A jest operatorem hermitowsko sprzȩżonym do A, jeśli dla dowolnych ψ i φ (ψ, Aφ) = (A ψ, φ), tzn. d 3 rψ Aφ = d 3 r(a ψ) φ. V Można pokazać korzystaj ac z definicji, że (A + B) = A + B, (λa) = λ A, (AB) = B A. Jeśli A = A, to operator nazywamy hermitowskim lub samosprzȩżonym. Wymienione wyżej operatory wielkości fizycznych s a samosprzȩżone. Samosprzȩżoność dla pȩdu pokazuje siȩ wykonuj ac ca lkowanie przez czȩści i korzystaj ac ze faktu, że normowalna funkcja musi zmierzać do zera, gdy któraś ze wspó lrzȩdnych zmierza do ±. Równanie w lasne operatora jest to równanie Aψ n = α n ψ n ( ). Liczbȩ α n nazywamy wartości a w lasn a operatora A, funkcjȩ ψ n - należ ac a do niej funkcj a w lasn a. Jeśli istniej a różne funkcje w lasne (tzn. różni ace siȩ wiȩcej niż o sta ly czynnik) to tak a wartość w lasn a nazywamy zdegenerowan a, a ilość niezależnych funkcji w lasnych do tej samej wartości w lasnej - krotności a degeneracji. Op laca siȩ wtedy zmienić notacjȩ Aψ ns = α n ψ ns ( ), gdzie pierwszy wskaźnik numeruje wartości w lasne, a drugi funkcje w lasne należ ace do tej samej wartości w lasnej. Jeśli wartości w lasne tworz a zbiór nieprzeliczalny, to funkcje w lasne s a normowalne do delty Diraca i trzeba je indeksować liczbami rzeczywistymi α V Aψ α = αψ α. Można dowieść, że wartości w lasne operatora hermitowskiego s a rzeczywiste, a funkcje w lasne należ ace do różnych wartości w lasnych s a ortogonalne. Weźmy (ψ n, Aψ s ) = α s (ψ n, ψ s ) 13

14 równocześnie powyższe wyrażenie jest równe (Aψ n, ψ s ) = (α n ψ n, ψ s ) = α n(ψ n, ψ s ). A wiȩc (α n α s )(ψ n, ψ s ) = 0. Wstawiaj ac kolejno n = s i n s otrzymujemy dowód obu czȩści twierdzenia. Dla funkcji w lasnych należ acych do tej samej wartości w lasnej ortogonalność nie musi zachodzić; można je tak wybrać (stosuj ac metodȩ Schmidta), aby tworzy ly bazȩ ortonormaln a. Postulat III: Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej A mog a być tylko wartości w lasne reprezentuj acego j a operatora. Niech uk lad fizyczny (cz astka) opisany jest aktualnie pewn a funkcj a ψ. Funkcjȩ tȩ można roz lożyć w bazie funkcji w lasnych operatora A, tzn. ψ = n c n ψ n, gdzie Aψ n = α n ψ n. Liczby c n s a prawdopodobieństwami otrzymania w wyniku pomiaru poszczególnych wartości α n ( ). Jest to kluczowy postulat wi aż acy formalizm z doświadczeniem. Jego treści a jest powszechne prawo kwantyzacji i powszechna probabilistyczna interpetacja teorii kwantowej. Jeśli wartościami w lasnymi s a wszystkie liczby rzeczywiste z ca lej prostej rzeczywistej (lub jej czȩści), to wielkość fizyczna nie jest skwantowana. Wtedy postulat należy nieco zmodyfikować. Rozk lad w bazie ma postać ψ(r) = dαc α ψ α (r)( ), a c α jest gȩstości a prawdopodobieństwa dla wyników pomiaru, tzn. α α 1 dα c α jest prawdopodobieństwem, że wynik pomiaru znajdzie siȩ w przedziale (α 1, α )( ). W wyniku pomiaru, gdy realizuje siȩ jedna z wielu potencjalnych możliwości i otrzymujemy w wyniku liczbȩ np. α 1, uk lad przechodzi natychmiast do odpowiedniego stanu w lasnego ψ 1. Wynik nastȩpnego pomiaru wykonanego natychmiast po poprzednim jest już przes adzony i wynosi α 1. Znajomość rozk ladu prawdopodobieństwa jest idea lem, ale czȩsto charakteryzuje siȩ go czȩściowo podaj ac wartość średni a i wariancjȩ. Wartości 14

15 średnie dla przypadków dyskretnego i ci ag lego wynosz a A = n α n c n ( ) lub A = dα c α α( ). W obu przypadkach można napisać A = d 3 rψ Aψ( ). V Równoważność obu powyższych wzorów można wykazać podstawiaj ac do drugiego rozwiniȩcia funkcji ψ w bazie i korzystaj ac z równania w lasnego i ortonormalności funkcji w lasnych. Wariancja rozk ladu jest to z definicji W (A) = (A A) ( ). Średnie odchylenie kwadratowe jest pierwiastkiem z wariancji A = W (A). Zerowa wariancja oznacza brak rozrzutu, czyli pewność otrzymania określonego wyniku pomiaru W (A) = (ψ, [A A] ψ) = ([A A]ψ, [A A]ψ). Jest to kwadrat d lugości wektora [A A]ψ. Jest ona równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest zerowy, tzn. Aψ = Aψ. Innymi s lowami oznacza to, że w rozwiniȩciu na funkcje w lasne tylko jeden wyraz jest niezerowy (c m = 1), a inne c n siȩ zeruj a (dla n m). Ważnym przyk ladem jest paczka (funkcja) gaussowska Wartość średnia po lożenia wynosi ψ(x) = (π) 1 4 σ 1 exp[ (x a) 4σ + ikx]. x = (π) 1 σ 1 exp[ 15 (x a) σ ]xdx = a,

16 a wariancja W (x) = (π) 1 σ 1 exp[ (x a) σ ](x a) dx = σ. Można także obliczyć analitycznie rozk lad pȩdów. Funkcje w lasne pȩdu ψ p (x) spe lniaj a równanie i h d dx ψ p(x) = pψ p (x). Równanie to daje siȩ rozwi azać przez rozdzielenie zmiennych i funkcja po unormowaniu do delty Diraca ma postać ψ p (x) = (π h) 1 ipx exp( )( ). h Amplituda rozk ladu pȩdów ma postać g(p) = dx(π h) 1 ipx exp( h )ψ(x). Jest to z dok ladności a do wyboru jednostek transformata Fouriera Dla paczki gaussowskiej po obliczeniu ca lki (na podstawie tablic) otrzymuje siȩ g(p) = (π) 1 h (p hk) ( σ ) 1 exp[ ( h ], σ ) czyli otrzymujemy rozk lad Gaussa z centrum w hk i o szerokości h. W sposób σ konieczny precyzyjnej znajomości po lożenia (ma la wartość σ) odpowiada nieprecyzyjna znajomość pȩdu (duża wartość h ) i odwrotnie. σ Na możliwość równoczesnego pomiaru dwu wielkości fizycznych A i B istnieje ograniczenie: zasada nieoznaczoności (nieokreśloności, niepewności) Heisenberga. Mówi ona, że W (A)W (B) 1 4 (ψ, [A, B]ψ) ( ). Dowód opiera siȩ na nierówności Schwarza (φ, φ)(χ, χ) (φ, χ). 16

17 Nierówność tȩ otrzymuje siȩ korzystajcac z tego, że (φ + λχ, φ + λχ) 0 dla dowolnych funkcji φ i χ oraz liczby λ = (χ, φ)/(χ, χ). W nierówności tej należy podstawić φ = (A A)ψ oraz χ = (B B)ψ. W (A)W (B) = (ψ, [A A] ψ)(ψ, [B B] ψ) = ([A A]ψ, [A A]ψ) ([B B]ψ, [B B]ψ) ([A A]ψ, [B B]ψ) = (ψ, [A A][B B]ψ) = 1 4 (ψ, {[A A][B B]+[B B][A A]}ψ)+(ψ, {[A A][B B] [B B][A A]}ψ) 1 4 (ψ, [A, B]ψ), gdzie skorzystano z faktu, że pierwszy z iloczynów skalarnych wewn atrz wartości bezwzglȩdnej jest liczb a rzeczywist a, drugi - urojon a, że wartość bezwzglȩdna z liczby zesplonej jest nie mniejsza od wartości bezwzglȩdnej jej czȩści urojonej oraz że operator w drugim iloczynie skalarnym jest po prostu komutatorem. Dla po lożenia i pȩdu otrzymujemy w szczególności [x, p x ] = i h i dalej W (x)w (p) h, albo, po wziȩciu pierwiastka, x p 4 x h. Widać, że dla funkcji Gaussowskiej realizuje siȩ równość. Jeśli [A, B] = 0, to nie ma ograniczeń na dok ladność jednoczesnego pomiaru, tzn. można tak przygotować uk lad, że wynik pomiaru obu wielkości bȩdzie przes adzony. Inaczej można powiedzieć, że komutuj ace operatory maj a wspólny bazowy uk lad funkcji w lasnych. Istnieje także zasada nieoznaczoności dla czasu i energii E t h. Nie może ona jednak być uważana za szczególny przyk lad relacji przytoczonej wyżej, gdyż czas nie jest tu wielkości a fizyczn a: nie ma operatora czasu. Sens tej zasady jest taki, że przy dwu kolejnych pomiarach energii wykonanych w bardzo krótkim odstȩpie czasu t można dostać wyniki różni ace siȩ o E. Przy energii spoczynkowej elektronu mc = MeV oznacza to możliwość pojawiania siȩ par elektron-pozytron żyj acych krócej niż 10 1 s. 17

18 Postulat IV: Ewolucja uk ladu kwantowego (cz astki), gdy nie dokonuje siȩ pomiaru, jest opisana równaniem Schrödingera zależnym od czasu: i h ψ t = Hψ( ), gdzie H jest operatorem energii. Jest to fundamentalne równanie mechaniki kwantowej. Dla cz astki o masie m w polu o potencjale V (r) ma wiȩc postać i h h ψ(r, t) = t m ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t)( ). Można pokazać, że przy sensownych za lożeniach dotycz acych potencja lu V, równanie posiada jednoznaczne rozwi azanie dla określonych warunków pocz atkowych ψ(r, t = 0) = f(r). Ważn a klasȩ rozwi azań tworz a rozwi azania stacjonarne, istniej ace, gdy potencja l V = V (r), tzn. nie zależy od czasu. Wtedy rozwi azania można szukać w postaci iloczynu funkcji zależnej tylko od zmiennych przestrzennych i funkcji zależnej tylko od czasu ψ(r, t) = φ(r)χ(t). Po podstawieniu do równania Schrödingera otrzymuje siȩ czyli i hφ(r) dχ(t) dt i h 1 dχ(t) χ(t) dt = χ(t)hφ(r), = 1 φ(r) Hφ(r). Lewa strona powyższego równania zależy tylko od czasu, prawa tylko od zmiennych przestrzennych (tu korzysta siȩ z za lożenia o niezależności hamiltonianu od czasu). Oznacza to, że obie strony musz a być równa sta lej E n. Rozwi azanie równania dla χ daje χ(t) = χ n (t) = exp( ie nt ), h natomiast φ = φ n musi spe lniać równanie w lasne dla H, zwane równaniem Schrödingera niezależnym od czasu Hφ n = E n φ n, 18

19 gdzie wprowadzono indeks n numeruj acy rozwi azania w lasne. Dla ci ag lego widma wartości w lasnych energii należy ten indeks zast apić ci ag lym indeksem E. Rozwi azania stacjonarne opisuj a uk lady nie zmieniaj ace siȩ w czasie, tzn. takie że wyniki wszystkich możliwych pomiarów nie zależ a od czasu. Rzeczywiście, sta ly czynnik fazowy χ(t), przy czym χ(t) = 1, nie zmieni wartości bezwzglȩdnych wspó lczynników rozwiniȩnia w żadnej bazie. Uk lad w lożony w stan stacjonarny żyje w nim dowolnie d lugo i zawsze wygl ada tak samo. Rozwi azania niestacjonarne ψ(r, t) mog a zawsze być przedstawione jako superpozycje (paczki) rozwi azań stacjonarnych, tzn. ψ(r, t) = n c n φ n (r) exp( ie nt ), h lub, dla widma ci ag lego ψ(r, t) = dec E φ E (r) exp( iet h ), gdzie zachodzi Hφ n = E n φ n lub Hφ E = Eφ E. Z równania Schrödingera można otrzymać tzw. równanie ci ag lości. Jeśli wprowadzić gȩstość prawdopodobieństwa ρ(r, t) = ψ (r, t)ψ(r, t), obliczyć pochodn a tego iloczynu wzglȩdem czasu i skorzystać z równania Schrödingera dla funkcji ψ oraz z równania sprzȩżonego do niego dla funkcji ψ otrzymuje siȩ ρ(r, t) + j(r, t) = 0, t gdzie j jest wektorem gȩstości pr adu j(r, t) = i h m [ψ ψ ( ψ )ψ]. Jeśli równanie to sca lkować po dowolnej objȩtości V 0 i zamienić ca lkȩ objȩtościow a z j na ca lkȩ powierzchniow a z j po powierzchni zamkniȩtej Σ 0 otaczaj acej obszar V 0, otrzymuje siȩ d ρd 3 r = jdσ. dt v 0 Σ 0 19

20 Sens tej równości jest taki, że zmiana prawdopodobieństwa znalezienia cz astki w objȩtości V 0 może nast apić tylko w wyniku przep lywu cz astki przez powierzchniȩ. Wektor gȩstości pr adu wyznacza wiȩc prawdopodobieństwo przep lywu cz astki przez jednostkȩ powierzchni na jednostkȩ czasu, prostopadle do powierzchni. Ważne jest także wyznaczenie, jak zmienia siȩ w czasie wartość średnia dowolnej wielkości fizycznej A, tzn. obliczenie d dt A = d (ψ, Aψ) = (dψ, Aψ) + (ψ, Adψ dt dt dt ) = ( 1 1 Hψ, Aψ) + (ψ, A i h i h Hψ) = 1 (ψ, [A, H]ψ). i h To czy wielkość fizyczna jest zachowana, zależy wiȩc od tego, czy jej operator komutuje z hamiltonianem. W szczególności dla A = ˆx i A = ˆp x mamy relacje komutacji [ˆx, H] = i h ˆp m x oraz [ ˆp x, V ] = i h V i w konsekwencji x d dt x = 1 m p x d dt p x = V x. Relacje powyższe stanowi a treść twierdzenia Ehrenfesta, które mówi, że równania kwantowe dla średnich s a analogonami równań klasycznych. Rzeczywiście, pierwsze z nich przypomina zwi azek miȩdzy pȩdem i prȩdkości a, a drugie - d równanie Newtona ruchu: p dt x = F x = V. x Równanie ci ag lości i twierdzenie Ehrenfesta uprawomocniaj a interpretacjȩ cz astki jako rozmytej struktury, w pewnym sensie chmury, gȩstej tam, gdzie jest duże prawdopodobieństwo znalezienia cz astki, a rozrzedzonej tam, gdzie to prawdopodobieństwo jest ma le. Środek chmury porusza siȩ ruchem analogicznym do ruchu cz astki klasycznej. Analogia nie jest pe lna, gdyż w V (x) V (x ogólności ; tak jest np. dla cz astki swobodnej i dla oscylatora x) x harmonicznego. Analogia psuje siȩ też dla cz astki s labo zlokalizowanej, gdy na przyk lad chmura sk lada siȩ z dwu czȩści: wtedy środek chmury (średnie po lożenie) może wypadać zupe lnie gdzie indziej niż jej najgȩstsze miejsce (najbardziej prawdopodobne miejsce znalezienia cz astki). Sama chmura zmienia w czasie kszta lt, zachowuj ac siȩ podobnie do klasycznego p lynu. Pomiar powoduje natychmiastow a zmianȩ kszta ltu chmury. 0

21 3 Cz astka swobodna Dla cz astki swobodnej w jednym wymiarze hamiltonian ma prost a postać H = h m d dx. Hamiltonian ten komutuje z operatorem pȩdu i h d. Funkcje w lasne pȩdu dx do wartości w lasnej p maj a postać ψ p (x) = (π h) 1 exp( ipx h ) i s a także funkcjami w lasnymi energii do wartości w lasnej E p = p m. Stany stacjonarne opisane s a wiȩc funkcjami falowymi (π h) 1 exp( ipx h ) exp( ie pt h ). Funkcje te, normowalne do delty Diraca, opisuj a sytuacjȩ idealn a, gdy znamy dok ladnie pȩd cz astki p (i jej energiȩ E p ) i nie posiadamy żadnej informacji o jej po lożeniu. W praktyce mamy zawsze do czynienia z paczkami falowymi ψ(x, t) = g(p)ψ p (x) exp( ie pt h )dp. Jeśli g(p) znika poza przedzia lem (p 0 p, p 0 + p) i jest na tym odcinku funkcj a sta l a oraz dodatkowo zrobi siȩ przybliżenie E p = p m E p 0 + de p dp p=p 0 (p p 0 ) = 1 m [p 0 + p 0 (p p 0 )], można ca lkȩ wykonać analitycznie. Kwadrat wartości bezwzglȩdnej funkcji jest z dok ladności a do sta lego czynnika równy sin (x vgt) h (x v gt) h, gdzie v g dep dp p=p 0 = p 0. Maksimum paczki porusza siȩ wiȩc ruchem jednostajnym z prȩdkości a v g zwan a prȩdkości a grupow a, sama paczka nie zmienia m kszta ltu. 1

22 Ścis ly rachunek, możliwy na przyk lad dla paczki gaussowskiej, pokazuje, że również kszta lt paczki siȩ zmienia. Niech funkcja w chwili t=0 ma postać ψ(x) = (π) 1 4 σ 1 (x a) 0 exp[ + ikx]. 4σ0 Można j a roz lożyć na funkcje w lasne pȩdu ψ(x) = g(p)ψ p (x) (por.przyk lad w dyskusji Postulatu III). Wtedy w dowolnej chwili czasu ψ(x, t) = dpg(p)ψ p (x) exp( ie pt h ). Po wykonaniu obliczeń (za pomoc a tablic) otrzymujemy gȩstość prawdopodobieństwa znalezienia cz astki w postaci również funkcji gaussowskiej ψ(x, t) = (π) 1 σ(t) 1 exp[ (x a hkt m ) σ(t) ], gdzie σ(t) = σ0 + h t. Maksimum przesuwa siȩ wiȩc ruchem jednostajnym 4m σ0 z prȩdkości a hk, a szerokość paczki σ(t) wzrasta. m W przypadku trójwymiarowym uogólnienie jest nastȩpuj ace. Operator energii kinetycznej (i ca lkowitej) ma postać H = h m. Operator ten komutuje z wszystkimi trzema sk ladowymi pȩdu. funkcje w lasne tych czterech operatorów maj a postać Wspólne ψ p (r) = ψ px (x)ψ py (y)ψ pz (z) = (π h) 3 i exp[ h (p xx + p y y + p z z)] = (π h) 3 i exp( h pr). Rozwi azania stacjonarne maj a postać ψ p (r) exp( ī h E pt),

23 gdzie E p = p = 1 m m (p x + p y + p z). Paczka falowa ma postać ψ(r, t) = d 3 p g(p)ψ p (r) exp( ī h E pt). 4 Prostok atne studnie i bariery potencja lu Rozważmy jednowymiarowy problem, w którym energia potencjalna jest funkcj a odcinkami sta l a V (x) = V 1, dla x < 0, V (x) = V, dla 0 x a, V (x) = V 3, dla x > a. Oznacza to, że klasyczna si la F = dv jest równa zeru we wszystkich dx punktach z wyj atkiem x = 0 i x = a. W tych dwóch punktach si la jest nieskończona, ale ponieważ dzia la tylko w punkcie (albo inaczej przez nieskończenie krótki czas), może spowodować skończony przekaz pȩdu. Cz astka w tych punktach doznaje nieskończenie silnego i nieskończenie krótkiego pchniȩcia. Jeśli pchniȩcie jest w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu, to z klasycznego punktu widzenia albo jest ono dość silne, aby cz astkȩ zawrócić (i wtedy mamy z pewności a odbicie) albo nie jest dość silne (i wtedy cz astka z pewności a kontynuuje ruch ze zmniejszon a prȩdkości a). W podejściu kwantowym naleẏ rozwi azać równanie Schrödingera h m d ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). dx Niech indeksy 1,, 3 odnosz a siȩ odpowiednio do obszrów 1 (x < 0), (0 x a) i 3 (x > a). W każdym obszarze funkcja falowa spe lnia równanie h m d dx ψ j(x) + V j ψ j (x) = Eψ j (x), gdzie j = 1,, 3. Ogólne rozwi azanie ma postać ψ j = A j exp(ik j x) + B j exp( ik j x), 3

24 gdzie k j = [ m(e V j) ] 1 h. Sta le A j i B j należy określić dopasowuj ac rozwi azania do warunków brzegowych. Funkcja i jej pierwsza pochodna powinny być ci ag le (dla nieskończonego skoku potencja lu można wymusić tylko ci ag lość funkcji). Dla punktów zszycia funkcji, tzn. x = 0 i x = a otrzymuje siȩ A 1 + B 1 = A + B, ik 1 (A 1 B 1 ) = ik (A B ), A exp(ik a) + B exp( ik a) = A 3 exp(ik 3 a) + B 3 exp( ik 3 a), ik A exp(ik a) ik B exp( ik a) = ik 3 A 3 exp(ik 3 a) ik 3 B 3 exp( ik 3 a). Studni a nazywa siȩ uk lad taki, że V < V 1, V < V 3. Cz astka jest wewn atrz studni, gdy E < V 1, E < V 3, E > V. Wtedy k 1 = iq 1 oraz k 3 = iq 3 s a liczbami urojonymi. W funkcji ψ 1 pojawia siȩ wyraz A 1 exp( q 1 x), którego wartość bezwzglȩdna zmierza do dla x. Podobnie dla ψ 3 wartość bezwzglȩdna wyrazu B 3 exp(q 3 x) zmierza do dla x. Funkcja może opisywać cz astkȩ, tzn. być normowalna w sensie Kroneckera lub Diraca, tylko gdy te dwa wyrazy usuniemy bior ac A 1 = B 3 = 0. Zostaje nam uk lad czterech równań liniowych, jednorodnych. Ma on rozwi azania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje siȩ wyznacznik uk ladu. B 1 = A + B, ik 1 B 1 = ik (A B ), A exp(ik a) + B exp( ik a) = A 3 exp(ik 3 a), ik A exp(ik a) ik B exp( ik a) = ik 3 A 3 exp(ik 3 a). Jest to w laściwie skomplikowane równanie na energiȩ E, od której zależ a k 1,,3. Rozwi azania równania Schrödingera istniej a wiȩc tylko dla pewnych energii: jest kwantyzacja energii. W skończonych studniach istnieje skończona ilość rozwi azań, a wiȩc i dozwolonych poziomów energii. Może siȩ zdarzyć, że dozwolonych poziomów w ogóle brak. Dla studni symetrycznej (tzn. gdy V 1 = V 3 ) zawsze istnieje przynajmniej jeden poziom. Funkcja falowa jest różna od zera w obszarach 1 i 3 - maleje tam wyk ladniczo przy oddalaniu siȩ od studni. Istnieje skończone prawdodobieństwo znalezienia cz astki w tych obszarach, niedostȩpnych klasycznie (energia ca lkowita by laby wiȩksza 4

25 od potencjalnej). Barier a potencja lu jest zasadniczo uk lad, w którym V 1 < V, V 3 < V. Energia cz astki E > V 1, E > V 3. Rozważa siȩ zarówno przypadek E < V (bariera klasycznie nieprzepuszczalna) jak i E > V (klasycznie przepuszczalna). Ten ostatni przypadek obejmuje również sytuacjȩ, gdy wystȩpuje uk lad potencja lów typowy dla studni, lecz cz astka jest nad ni a. Funkcje w obszarach 1 i 3 s a teraz oscyluj ace, nie ma powodu odrzucać jakichkolwiek wyrazów ze wzglȩdu na normalizacjȩ funkcji. Należy natomiast zinterpretować poszczególne wyrazy. Latwo obliczyć, że z fal a postaci C exp(ikx) wi aże siȩ gȩstość pr adu hk m C. Jeśli źród lo cz astek znajduje siȩ z lewej strony bariery czyli w obszarze 1, to fali A 1 exp(ik 1 x) odpowiada gȩstość pr adu j A1 = hk 1 A m 1 ; jest to wartość dodatnia (cz astki poruszaj a siȩ w dodatnim kierunku osi x) i falȩ można nazwać padaj ac a. Fali B 1 exp( ik 1 x) odpowiada ujemna gȩstość pr adu j B1 = hk 1 B m 1 - jest to fala odbita. Fala A 3 exp(ik 3 x) o dodatniej gȩstości pr adu j A3 = hk 3 A m 3 jest fal a przepuszczon a. Fala B 3 exp( ik 3 x) jest fal a biegn ac a ku barierze z lewej strony; tam nie ma źród la, a fala nie mia la siȩ od czego odbić: nie powinno jej być, czyli B 3 = 0. Do rozwi azania pozostaj a wiȩc cztery równania liniowe jednorodne z piȩcioma niewiadomymi. Maj a one zawsze rozwi azania niezerowe, nie ma wiȩ kwantyzacji. Istnieje jednoparametrowa rodzina rozwi azań, za parametr można przyj ać jedn a z niewiadomych, np.a 1, któr a można wyznaczyć normalizuj ac ca l a funkcjȩ do delty Diraca. Liczba R = j B 1 j A1 jest prawdopodobieństwem odbicia, natomiast T = j A 3 j A1 jest prawdopodobieństwem przepuszczenia. Teoria gwarantuje zachowanie prawdopodobieństwa, tzn. R + T = 1. Na ogó l 0 < R, T < 1, a wiȩc mamy niezerowe prawdopodobieństwo przejścia 5

26 w sytuacji, gdy klasycznie jest to niemożliwe (efekt tunelowy), oraz niezerowe prawdopodobieństwo odbicia, gdy klasycznie z pewności a nast api loby przejście. 5 Oscylator harmoniczny Jednowymiarowy oscylator harmoniczny jest to cz astka w polu o energii potencjalnej V (x) = 1 kx, gdzie k jest sta l a sprȩżystości. Klasycznie jest opisany przez równanie Newtona m d x dx = dv dx = kx, którego rozwi azaniem ogólnym jest funkcja x(t) = A cos(ωt + φ), gdzie ω = k, natomiast A oraz φ s a sta lymi wyznaczanymi z warunków pocz atkowych. m W świecie kwantowym oscylatorem ze wzglȩdu na ruch j ader jest na przyk lad drobina dwuatomowa. Bardziej skomplikowane drobiny lub drgaj ac a sieć kryszta lu można uważać za zespo ly oscylatorów harmonicznych (przybliżenie ma lych drgań). Kwantowy oscylator harmoniczny jest opisany równaniem Schrödingera d h m dx ψ(x) + 1 kx ψ(x) = Eψ(x)( ). Po przejściu do jednostek bezwymiarowych x = αy, gdzie α = h(km) 1 otrzymuje siȩ d 1 dy φ(y) + 1 y φ(y) = ɛφ(y), gdzie ɛ = Ē, φ(y) = ψ(αx). Równanie to można rozwi azać metod a wielomianów. Można sprawdzić, że dla dużych y prawie dobrym rozwi azaniem hω jest funkcja exp( 1 y ). Szukamy ścis lego rozwi azania w postaci f(y) exp( 1 y ), a funkcjȩ f(y) przedstawiamy w postaci szeregu f(y) = j=0 a j y j+s, przy czym s jest takie, że a 0 0. Po podstawieniu do równania otrzymujemy równość tożsamościow a szeregów, co może zachodzić tylko wtedy, gdy zachodzi równość wspó lczynników przy wszystkich potȩgach zmiennej y. Otrzymuje siȩ wtedy s(s 1)a 0 = 0, 6

27 a wiȩc s = 0 lub s = 1, (s + 1)sa 1 = 0, (j + s + )(j + s + 1)a j+ = [(j + s) ɛ + 1]a j. Z ostatniego wzoru wynika, że dla dużych j stosunek a j+ a j. To jest j zachowanie jak dla funkcji exp(y ) i takie rozwi azania należy odrzucić. Jedyn a możliwości a jest urwanie szeregu, tzn. dla pewnego j musi zachodzić (j + s) ɛ + 1 = 0. W ten sposób przerwiemy podszereg o parzystch j. Podszereg o nieparzystych j musimy zlikwidować przyjmuj ac a 1 = 0; znikaj a wtedy wszystkie jego wyrazy. Wprowadzaj ac liczbȩ kwantow a n = j + s możemy zauważyć, że n = 0, 1,, 3, 4..., a energia jest skwantowana, tzn. ɛ = n + 1, a E = E n = hω(n + 1 )( ). Odstȩpy miȩdzy s asiednimi poziomami energii s a wiȩc równe i wynosz a hω. 1 Energia poziomu podstawowego wynosi hω, nie jest wiȩc równa zeru. Funkcja falowa f(y) jest wiȩc wielomianem. Pokazuje siȩ, że po unormowaniu funkcje falowe maj a postać φ(y) = φ n (y) = π 1 4 ( n n!) 1 Hn (y) exp( 1 y ), gdzie H n (y) s a wielomianami Hermite a H n (y) = ( 1) n exp(y ) dn dy n exp( y ). Unormowana funkcja ψ n (x) = α 1 φ n ( x ). α Wielomian o indeksie n jest stopnia n. Wielomiany stopnia parzystego s a funkcjami parzystymi, a stopnia nieparzystego - nieparzystymi. Maj a one rzeczywiste pierwiastki. Wielomiany te maj a szereg specyficznych w lasności zebranych w tablicach funkcji specjalnych. Można zaobserwować, że dla ma lych n otrzymamy najwiȩksze prawdopodobieństwo znalezienia cz astki w pobliżu minimum potencja lu (x = 0), a dla dużych n - w pobliżu klasycznych punktów zwrotu (tzn. takich w których ca la energia kinetyczna zosta la zamieniona na potencjaln a). Wed lug klasycznych praw ruchu cz astka przebywa najd lużej w okolicy punktów zwrotu, bo tam ma najmniejsz a prȩdkość. Mamy tu przyk lad zasady korespondencji, która 7

28 stwierdza, że dla dużych wartości liczb kwantowych zachowania uk ladów kwantowych przypominaj a zachowania ich klasycznych analogonów. Oscylator harmoniczny można inaczej opisać używaj ac operatorów anihilacji a i kreacji a, gdzie a = 1 (y + d dy ), a = 1 (y d dy ). Komutator tych operatorów wynosi [a, a ] = 1. Hamiltonian daje siȩ zapisać jako H = hω(a a + 1 ). Niech φ ν bȩd a funkcjami w lasnymi operatora a a. a aφ ν = νφ ν. Rozpatruj ac wyrażenia a aaφ ν oraz a aa φ ν i korzystaj ac z relacji komutacji dochodzi siȩ do wniosku, że aφ ν jest funkcj a w lasn a operatora a a do wartości w lasnej ν 1, a a φ ν - do wartości w lasnej ν + 1. Z normalizacji funkcji φ ν otrzymuje siȩ aφ ν = νφ ν 1, a φ ν = ν + 1φ ν+1. Stosuj ac wielokrotnie operator a można by skonstruować stan o dowolnie ma lej energii - nie istnia lby wiȩc stan podstawowy, co jest sprzeczne z doświadczeniem. To rekurencyjne postȩpowanie może być przerwane, jeśli za lożyć, że dla stanu podstawowego aφ 0 = 0 (wtedy nie da siȩ utworzyć φ 1. Wartości w lasne operatora a a s a wiȩc równe ν = n = 0, 1,, 3,... Równanie daje rozwi azanie unormowane aφ 0 = 1 (y + d dy )φ 0 = 0 φ 0 (y) = π 1 4 exp( 1 y ). 8

29 Funkcje wyższych stanów można otrzymać przez wielokrotne zastosowanie operatora a 1 1 φ n+1 = (y + d (n + 1) 1 1 dy )φ n. To prowadzi do funkcji opisanych wyżej. 6 Teoria momentu pȩdu Moment pȩdu L jest trójk a operatorów (L x, L y, L z ) spe lniaj acych regu ly komutacji [L x, L y ] = i hl z (i relacje otrzymane przez cykliczne przestawienie indeksów). Również [L x,y,z, L ] = 0. Można wiȩc tak przygotować uk lad (cz astkȩ), aby wynik pomiaru L z i L by l przewidywalny z pewności a, tzn. istniej a wspólne funkcje w lasne tych operatorów L ψ λµ = h λ ψ λµ, L z ψ λµ = hµψ λµ. Rolȩ pojedynczego indeksu n w ogólnych wzorach gra para λ, µ. Wprowadza siȩ operatory L ± = L x ±il y ; zachodzi L ± = L. Latwo pokazać, że spe lniaj a one relacje komutacji [L ±, L ] = 0 oraz [L ±, L z ] = hl ±. Badanie elementów macierzowych oraz prowadzi do relacji oraz (ψ λ µ, [L ±, L ]ψ λµ ) (ψ λ µ, [L ±, L z ]ψ λµ ) (ψ λ µ, L ±ψ λµ )(λ λ ) = 0 (ψ λ µ, L ±ψ λµ )(µ µ 1) = 0. Oznacza to, że element macierzowy (ψ λ µ, L ±ψ λµ ) zeruje siȩ, jeśli λ λ lub µ µ ± 1. Funkcjȩ L ± ψ λµ można rozwin ać w bazie L ± ψ λµ = λ µ ψ λ µ (ψ λ µ, L ±ψ λµ ), 9

30 ale z powodu zerowania siȩ elementów macierzowych każda z tych sum redukuje siȩ do pojedynczego wyrazu. L ± ψ λµ = C ± λµ ψ λµ±1, gdzie Sta le C ± λµ C ± λµ = (ψ λµ±1, L ± ψ λµ ). można wyznaczyć badaj ac element macierzowy (ψ λµ, L ± L ψ λµ ). Z jednej strony jest on równy C λµ, a z drugiej, ponieważ jest on równy Ostatecznie L ± L = L x + L y ± hl z = L L z hl z, h (λ µ ± µ). L ± ψ λµ = h λ µ(µ ± 1)ψ λµ±1. Wydaje siȩ, że stosuj ac wielokrotnie operatory L ± można zbudować stany odpowiadaj ace momentowi pȩdu o określonej d lugości i dowolnie dużym lub dowolnie ma lym rzucie. Tej absurdalnej możliwości można unikn ać tylko wtedy, gdy rekurencja zostanie przerwana, tzn. istniej a µ 1 = µ min, oraz µ = µ max, takie że λ µ 1 (µ 1 1) = 0, λ µ (µ + 1) = 0; dodatkowo od wartości minimalnej do wartości maksymalnej można przejść k skokami o 1, tzn. µ = µ 1 + k, k=0,1,,3,.... St ad λ = µ 1 (µ 1 1) = (µ 1 + k)(µ 1 + k + 1), a st ad µ 1 = k oraz µ = k. Oznaczamy l = k, oraz zmieniamy indeksacjȩ (λµ) na lm. Ostatecznie można napisać L ψ lm = h l(l + 1)ψ lm ( ), 30

31 L z ψ lm = hmψ lm ( ), l = 0, 1, 1, 3,...( ), m = l, l + 1, l +,..., l 1, l( ). Dla określonej wartości liczby l mamy wiȩc l + 1 dozwolonych wartości liczby m. S a to relacje s luszne dla każdego momentu pȩdu (orbitalny moment pȩdu jednej cz astki, wypadkowy orbitalny moment pȩdu wielu cz astek, wewnȩtrzne momenty pȩdu (spiny), ca lkowity moment pȩdu). Korzystano jedynie z regu l komutacji i samosprzȩżoności operatorów. Dalej okaże siȩ, że dla momentów pȩdu posiadaj acych odpowiednik klasyczny (ruch czegoś wokó l czegoś) realizuj a siȩ tylko ca lkowite wartości liczby l; wartości po lówkowe odpowiadaj a nieklasycznym momentom pȩdu: spinom. Pogl adowy obraz kwantowego momentu pȩdu musi z natury rzeczy być u lomny. Pewne cechy oddaje w laściwie model wektora wykonuj acego ruch precesyjny dooko la osi z. D lugość wektora wynosi h l(l + 1), a jego rzut hm. Tworz aca jest nachylona do osi z pod skwantowanym k atem α, takim że cos α = l(l+1) m. Sk ladowe L x i L y nie s a określone w modelu klasycznym, bo siȩ zmieniaj a w czasie, a w modelu kwantowym z powodów zasadniczych. Te ogólne relacje można zastosować w szczególności dla orbitalnego momentu pȩdu jednej cz astki r p. W tym celu operatory momentu pȩdu należy przedstawić we wspó lrzȩdnych sferycznch Relacje odwrotne maj a postać x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. r = (x + y + z ) 1, z θ = arccos, (x + y + z ) 1 φ = arctg y x. 31

32 Wyrażaj ac pochodne kartezjańskie przez pochodne wzglȩdem wspó lrzȩdnych sferycznych wg. zasady x = r x r + θ x θ + φ x φ itd., a nastȩpnie podstawiaj ac do definicji momentu pȩdu otrzymuje siȩ L x = i h( sin φ θ ctgθ cos φ φ ), L y = i h(cos φ θ L z = i h φ, ctgθ sin φ φ ), L + = i h exp(iφ)(i θ ctgθ φ ), L = i h exp( iφ)( i θ ctgθ φ ). Przy okazji otrzymać można ważne relacje L = h Λ = h 1 [ sin θ θ sin θ θ + 1 sin θ φ ], = 1 r r r r + Λ r. Funkcje w lasne operatorów L i L z s a funkcjami k atów θ, φ. Można spróbować każd a z nich przedstawić jako iloczyn czȩści zależnej od θ i czȩści zależnej od φ ψ lm (θ, φ) = Θ lm (θ)φ m (φ); (taka zależność od indeksów zostanie potwiedzona dalej). Podstawienie takiej funkcji do równania w lasnego dla L z prowadzi do równania na funkcjȩ Φ i h d Φ(φ) = hmφ, dφ 3

33 gdzie skorzystano, że L z nie dzia la na funkcjȩ Θ lm (θ) i przez tȩ ostatni a podzielono obie strony. Rozwi azaniem tego równania jest funkcja Φ(φ) = exp(imφ). Ponieważ po obrocie o π funkcja przestrzenna nie powinna zmienić wartości, tzn. exp[im(φ + π)] = exp(imφ), m musi być liczb a ca lkowit a: m = 0, ±1, ±... Tak samo liczba l musi być ca lkowita (m zmienia siȩ od l do l. Ca lkowitość liczb kwantowych l i m musi zachodzić dla każdego orbitalnego (tzn. zwi azanego z ruchem) momentu pȩdu; po lówkowe liczby l i m przys luguj a pewnym momentom pȩdu nie maj acym klasycznego odpowiednika (spinom). Naj latwiej wyznaczyć funkcje Θ(θ) dla minimalnej wartości m = l. Wtedy L Θ l l exp( ilφ) = 0, czyli i dalej (i θ + ctgθ φ )Θ l l exp( ilφ) = 0 dθ l l = lctgθθ l l. dθ Latwo zgadn ać rozwi azanie ostatniego równania Θ(θ) = C sin l θ, gdzie C jest sta l a normalizacyjn a (πc π 0 sinl+1 θdθ = 4πC (l)!! (l+1)!! = 1). Funkcje dla wiȩkszych m można otrzymać dzia laj ac wielokrotnie operatorem L + ψ lm+1 = 1 h l(l + 1) m(m + 1) L +ψ lm = i l(l + 1) m(m + 1) exp(iφ)(i θ ctgθ φ )ψ lm, m = l, l + 1, l +,..., l 1. Wszystkie te funkcje maj a postać wielomianu od zmiennej cos θ pomnożonego przez sin θ w jakiejś potȩdze i przez czynnik exp(imφ). Funkcje ψ lm (θ, φ) po 33