Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj Zestaw I.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 2015. Zestaw I."

Transkrypt

1 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw I Zad.. Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci całkowitych? n n n również należy do zbioru liczb Zad.. Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których liczba k jest liczbą naturalną. k y Zad.. Wyznacz wszystkie pary, y liczb całkowitych spełniające równanie 5. y Zad. 4. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n n n a) jest całkowita, 6 4 n n n n b) jest całkowita Zad. 5. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci 5 n n jest podzielna przez Zad. 6. Wykaż, że liczba postaci a jest podzielna przez 00. Zad. 7. Wykaż, że jeżeli m 6 4 C, to m m m jest podzielne przez Zad. 8. Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 9. Zad. 9. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p to liczba p jest podzielna przez 4. Zad. 0. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n 4 99 jest kwadratem liczby naturalnej. Zad.. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: a) y y b) y 4y 45 c) y d y y 5 0 Zad.. Wyznacz wszystkie pary, y liczb całkowitych, które spełniają równanie 00 y y Zad.. Iloczyn dwóch liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik wynosi 8, jest równy 00. Znajdź te liczby. Zad. 4. Uzasadnij, że dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio lub, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 0 wynosi 6.

2 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 5. Znajdź wszystkie liczby naturalne większe od 800 i mniejsze od 000, z których każda ma następujące własności: jeśli odejmiemy od niej 56, to otrzymamy liczbę podzielną przez 8, jeśli odejmiemy od niej 6, to otrzymamy liczbę podzielną przez, a jeśli dodamy 4, to otrzymana liczba będzie podzielna przez. Zad. 6. Wyznacz liczbę naturalną mniejszą od 000, która przy dzieleniu przez 0 daje resztę 9, przy dzieleniu przez 5 resztę 4, a przy dzieleniu przez resztę 0. Zad. 7 Wyznacz resztę, jaką daje przy dzieleniu przez 9 różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez. Zad. 8. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 68, a największy ich wspólny dzielnik równa się 4. Znajdź te liczby. Zad. 9. Udowodnij, że jeśli dwie liczby przy dzieleniu przez trzecią liczbę dają tę samą resztę, to ich różnica jest podzielna przez tę liczbę. Zad. 0. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej. Zad.. Zapis liczby n w systemie dziesiętnym składa się z 995 dziewiątek. Ile dziewiątek występuje w zapisie dziesiętnym liczby n? Zad. W rebusie: KAR + KRA = RAK rozszyfruj, jaką liczbą jest RAK. Zad. Do ponumerowania stron książki zużyto 687 cyfr. Ile stron liczy ta książka?

3 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Wykaż, że wartość wyrażenia: a) b) Zestaw II jest mniejsza od 005 c) oblicz:... 0 n jest mniejsza od 0.. n Zad.. Porównaj liczby: a 5 6 oraz b Zad.. Oblicz:. Zad. 4. Uzasadnij, że Zad. 5. Wykaż, że liczba jest liczbą wymierną. Zad. 6. Wykaż, bez użycia tablic i kalkulatora, że jest liczbą całkowitą. Zad. 7. Udowodnij, że Zad. 8. Która z liczb jest większa: czy 50 75? Odpowiedź uzasadnij Zad.9. Która z liczb: A , B 009 jest większa? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 0. Wiedząc, że oblicz: a), b). Zad.. Oblicz wartość wyrażenia, mając dane = 4. Zad..Wyznacztakie liczby rzeczywiste, y, dla których wyrażenie 4y 4y 6 05 przyjmuje najmniejszą wartość.

4 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw III Zad.. Wykaż, że jeśli a, b, cr i a b c ab bc ac, to a b c. Zad.. Wykaż, że jeśli y i y, to y. Zad.. Udowodnić, że jeżeli liczby całkowite to liczba a b c d jest liczbą parzystą. a, b, c, d spełniają warunek a b c d, Zad.4. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają następujące nierówności: a b c, b c a, oraz c a b. Udowodnić, że a b c 0. a b Zad. 5. Wykaż, że jeśli a, b są liczbami nieujemnymi, to ab. Zad. 6. Wykaż, że jeśli y z 0, to y yz z 0. Zad. 7. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a) a b c ab bc ca b) a b c ( a b c) a, b, c, d zachodzi nierówność: Zad. 8. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a) a b ab a b b) a b a b a, b zachodzi nierówność: Zad.9. Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c, d są dodatnie to: a 8. b c b c a Zad. 0. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a i b spełniają równość a b, to 4 4 a b. 8 Zad.. Udowodnij, że jeżeli a, b, c są takimi liczbami rzeczywistymi, że a b c, b b c c a a. to Zad.. Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b, c zachodzi nierówność b b c c a abc a 6 Zad.. Dane są takie różne od zera liczby rzeczywiste a, b, c, d że b d 0 oraz spełniona jest równość a c a c Wykaż, że ac 0. b d b d 4

5 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw IV 8 Zad.. Określ dziedzinę funkcji: f ( ). Zad.. Sporządź wykres funkcji: f ( ). a) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie? b) Jakie wartości funkcja f przyjmuje dwa razy, a jakie tylko raz? Zad.. Dla jakich wartości parametru b jedna z figur ograniczonych osią OX, wykresem funkcji f ( ) b oraz prostą o równaniu, jest czworokątem o polu 7? Zad. 4. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji f ( ) z osią 0X. Zad. 5. Narysuj wykres funkcji: a) f ( ) b) f ( ). Zad. 6. Narysuj wykres i wyznacz zbiór wartości funkcji f określonej wzorem: a) f ( ) b) sgn f. Zad.7. Wykaż, że funkcja określona wzorem 4 a) f ( ), gdzie R, przyjmuje najmniejszą wartość równą, zaś największą 4 równą 4, 4, b) f ( ) gdzie R, przyjmuje najmniejszą wartość równą, zaś największą 6 równą 0. Zad. 8. Wyznacz f f 04 f jeśli f ( ). Zad.9. Znajdź funkcję liniową f, która dla każdej liczby rzeczywistej spełnia warunek f ( ). 5

6 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 0. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( ) 4 4. Jak należy dobrać parametr m, aby funkcja określona wzorem g ) f m ( nie posiadała miejsc zerowych? Zad.. Dla jakich wartości parametru m, funkcja określona wzorem f m 7 posiada więcej miejsc zerowych dodatnich niż ujemnych? Zad.. Dla jakich wartości parametru a miejsca zerowe funkcji należą do przedziału 0 ;? y a oraz y a Zad.. Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej od 00 przyporządkowuje resztę z jej dzielenia przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? 6

7 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw V Uwaga: oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od Zad.. Rozwiąż równanie:. Zad.. Rozwiąż układ równań : [ ] y [ z] y [ z] [ ] 4[ y] z Zad.. Rozwiąż równanie Zad.4. Dla jakiej wartości parametru równanie a ma dokładnie pierwiastki? Zad.5. Dla jakich wartości parametru k równanie k 4 ma dokładnie 5 rozwiązań? Zad.6. Rozwiąż równanie y 6 y 0 0. Zad.7. Znajdź wszystkie liczby pierwsze, spełniające równanie yz y z y, z 5. yz 6 Zad. 8. Liczby, y, z są rozwiązaniami układu równań: z. Oblicz wartość sumy : y z. y 9 4y Zad. 9. Rozwiąż układ równań y 6z z 4 Zad.0. Cena biletu na mecz wynosiła 45 zł. Gdy cenę obniżono, okazało się, że na mecz przychodzi 50% widzów więcej, a dochód ze sprzedaży biletów wzrósł o 5%. O ile obniżono cenę biletu? Zad.. Przyjmijmy cenę komputera 000 zł, cenę drukarki 500 zł, cenę oprogramowania 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o 0%, drukarka o 5% to o ile procent należy obniżyć cenę oprogramowania, aby cena zestawu nie zmieniła się? Zad.. Średnia wieku drużyny piłkarskiej ( osób) jest równa lata. Jeden z piłkarzy po otrzymaniu czerwonej kartki opuścił boisko i wówczas średnia wieku pozostałych zawodników wyniosła lat. Ile lat miał piłkarz, który zszedł z boiska? 7

8 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Bartek i Tomek chodzą do klasy, w której chłopcy stanowią nie mniej niż 9% i nie więcej niż 94% liczby wszystkich uczniów klasy. Ile osób liczy klasa, jeżeli wiadomo, że chłopców jest mniej niż 8, a różnica między liczbą chłopców i dziewcząt jest liczbą pierwszą. Zad. 4. Spośród 00 uczniów klas drugich i trzecich liceum 00 wzięło udział w olimpiadzie matematycznej, 80 w fizycznej, 60 w informatycznej; w tym w matematycznej i fizycznej, 6 w matematycznej i informatycznej, 4 w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzięło udział: a) tylko w olimpiadzie matematycznej, b) tylko w jednej olimpiadzie, c) w co najmniej jednej olimpiadzie? Zad. 5. Na pewnej wyspie mieszka 00 dzikusów, z których każdy jest matematykiem lub filozofem lub ludożercą. Połowa ludożerców zajmuje się filozofią, połowa filozofów matematyką, a połowa matematyków to ludożercy. Wiedząc, że żaden z ludożerców nie zajmuje się filozofią i matematyką, odpowiedz na pytanie, z ilu osób składają się te grupy. Zad. 6. Bartek ma o 0% więcej pieniędzy niż Adam, ale o 0% mniej niż Czesiek. O ile procent więcej pieniędzy od Adama ma Czesiek? Ile pieniędzy ma każdy z chłopców, jeśli razem mają mniej niż 00 pln i każdy ma całkowitą liczbę złotych? Zad. 7. Pan Kowalski kupił nowy samochód. Z prospektu wynika, że zużywa on 7 l / 00 km paliwa poza miastem i 0 l / 00 km w mieście. Po przebyciu 500 km okazało się, że spalił litry benzyny. Ile kilometrów pan Kowalski przejechał w mieście? Zad. 8. Uczniowie zobowiązali się do uporządkowania ogródka szkolnego w ciągu 80 dni i zobowiązanie wypełnili w ciągu 60 dni. Ilu uczniów pracowało w ogródku, jeżeli nawet przy ilości o mniejszej zobowiązanie byłoby wypełnione w terminie? Zad. 9. Po okręgu o długości 80 cm poruszają się punkty A i B. Jeżeli kierunki ruchu punktów są zgodne, to A wyprzedza B co 5 sekund; jeżeli natomiast są przeciwne, to punkty się mijają co sekundy. Oblicz prędkości tych punktów. 8

9 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw VI Zad.. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b, c. Rozstrzygnij, czy z odcinków długości a, b, c można zbudować trójkąt. Odpowiedź uzasadnij. Zad.. W trójkącie punkt jest środkiem boku oraz ACB 0. Udowodnij, że CM AB. 6 Zad.. Dany jest taki trójkąt ABC, że CM Wykaż, że. AB ACB 45. Punkt M jest środkiem boku AB tego trójkąta. Zad.4. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta. Zad.5. Wykaż, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej trzeciego boku. Zad.6. Niech a, b, c będą długościami boków w dowolnym trójkącie. Uzasadnij, że prawdziwa jest nierówność a b c ab bc ca. Zad. 7. Wykaż, że suma długości środkowych trójkąta jest większa od połowy obwodu i mniejsza od obwodu tego trójkąta. Zad. 8. Uzasadnij, że Jeśli a i b są długościami boków dowolnego trójkąta, to prawdziwa jest nierówność: a b 4 P Zad. 9. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na przedłużeniu boku AC poza punkt C wybrano punkt D. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C wybrano taki punkt E, że BD DE. Wykazać, że AD CE. Zad. 0. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i BE. Kąty CAD i CBE mają miary. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny. 9

10 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, AC BC. Punkt O leży na boku AB. Wykaż, że suma odległości punku O od ramion AC i BC jest równa odległości wierzchołka A od boku BC. Zad.. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu M trójkąta równobocznego od trzech boków tego trójkąta jest stała ( tzn. nie zależy od położenia punktu M). 0

11 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw VII Zad.. W trójkącie równoramiennym ABC, AC= BC, środek okręgu wpisanego oznaczono przez W, a środek okręgu opisanego przez O. Załóżmy, że ACB= 48. Oblicz WAO. Zad.. Na przedłużeniach boków trójkąta ABC odkładamy odcinki odpowiednio równe tym bokom. Oblicz pole powstałego w ten sposób sześciokąta, jeżeli pole trójkąta ABC wynosi. Zad.. W kwadracie ABCD o boku długości punkt E leży na boku BC, punkt F leży na boku CD. Miary kątów EAB i EAF wynoszą odpowiednio 0 i 45. Oblicz wysokość trójkąta AEF poprowadzoną z wierzchołka A. Zad. 4. W pewnym prostokącie z przeciwległych wierzchołków poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej prostokąta. Prostopadłe te podzieliły przekątną na trzy części o równych długościach. Długość jednego z boków prostokąta wynosi. Oblicz długość drugiego boku. Zad.5. Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt K. Przez punkt K poprowadzono proste równoległe do pozostałych boków. Mając dane pola P i P dwóch powstałych trójkątów, oblicz pole trójkąta ABC. Zad.6. W trójkącie prostokątnym na dłuższej przyprostokątnej jako na średnicy opisano półokrąg. Wyznacz długość półokręgu, jeśli krótsza przyprostokątna ma długość 0 cm, cięciwa łącząca wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia przeciwprostokątnej z półokręgiem ma długość 4 cm. Zad. 7. Pole trójkąta wynosi. Ile wynosi pole trójkąta zbudowanego z jego środkowych. Zad. 8 Stosunek długości przekątnych pewnego rombu wynosi :4. Jeżeli długość każdej przekątnej zwiększymy o cm, to pole rombu powiększy się o 9,5 cm. Oblicz wysokość tego rombu. Zad. 9. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB takie, że Miara kąta ABC jest równa 0 o. Udowodnij, że trójkąt ABC jest prostokątny. AD DB. Zad. 0. Punkt S leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnić, że suma pól trójkątów ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF. Zad.. Na bokach n-kąta foremnego zbudowano na zewnątrz kwadraty. Wiadomo, że n-kąt, którego wierzchołkami są wierzchołki tych kwadratów nie będące wierzchołkami danego n- kąta jest foremny. Udowodnij, że n = 6. Zad.. W rombie ABCD poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie O. Wykazać, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AOD, BOC, COD i AOB są wierzchołkami kwadratu. Zad.. Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw. Zad. 4. Pewien kwadrat i półkole mają równe obwody. Która z tych figur ma większe pole?

12 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 5. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym wysokość h poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości c,c, dla których h c c. Zad.6. Wykaż, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości a, b, a b c c, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, wyraża się wzorem:. Zad.7. Wykaż, że jeśli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny. Zad. 8. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwległy bok w stosunku :. Oblicz R r, gdzie r oznacza długość promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt, a R długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad. 9. We wnętrzu kąta o mierze leży punkt S. Odległość punktu S od ramion kąta wynosi odpowiednio 4 6 i 6. Oblicz odległość punktu S od wierzchołka O tego kąta. Zad. 0. Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że długość wysokości CD jest równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty: ABC, ACD, BCD. Zad.. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt H jest punktem przecięcia wysokości. Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C tego trójkąta, jeżeli AB CH.

13 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 ZADANIA RÓŻNE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM METODY SZUFLADKOWEJ Zad.. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 zawsze można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez 5. Zad.. Spośród liczb:,,,..., 99, 00 wybrano 0 liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są dwie kolejne liczby. Zad.. Na odcinku [0,] leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż ⅛ Zad.4. Wykazać, że wśród pięciu dowolnie wybranych osób istnieją co najmniej dwie, które posiadają tą samą liczbę znajomych wśród wybranych osób. Zad.5. W bloku mieszkają osoby. Suma ich wieku wynosi 8 lat. Czy można wybrać 00 osób spośród mieszkańców owego bloku, którzy razem mają nie mniej niż 00 lat? Zad. 6. Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku długości wybierzemy 5 punktów, to wśród nich są takie, które należą do pewnego koła o promieniu 7 Literatura. M. Kurczab, E. Kurczab, E. Świda, Matematyka zbiór zadań dla liceów i techników kl.i. A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich. H. Pawłowski, Matematyka zbiór zadań kl. I, 4. M. Bury, A. Kałuża, Trening przed zawodami matematycznymi 5. Zadania do mateu 6. K. Dworacka, Z. Kochanowski, Konkursy matematyczne 9. T. Szymczyk, Przed konkursem matematycznym 0. J. Kwolik, T. Szwed, Matematyka dla odważnych. B. Mokrski, J. Siwy, T. Szymczyk Matematyczny sezam

14 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Rozwiązania zadań maj 05 Zestaw I Zad.. n, 0,, Zad.. k, 0,, 4 Zad.. nn n nn n n Zad.4. a), b) 6 4 Zad. 0. lub Zad. a), y 0,0,,, b), y 7,8, 5,0, 7,, 5,0, 9, 4, 7, 6,, 4,, 6, c), y,0,,0 d), y,,, 4, 5,0,, Zad... Zad i 8, 6 i 00 Zad , 94 Zad lub 49 lub 69 lub 89. Zad.7. reszta wynosi 7 Zad. 8.Szukane pary to: 4 i 44, 48 i 0, 7 i 96. Zad..994 dziewiątek Zad..RAK = 954 Zad stron Zestaw II Zad.. a) 0 b) 005 c) n Zad.. Wartość wyrażenia wynosi. Zad. 6. Wartość tego wyrażenia wynosi 4 Zad.9.. Zad.0. a) b) 0 Zad.. 5 Zad.. ;. Zestaw IV Zad.. a) b) funkcja f przyjmuje dwa razy każdą wartość dodatnią; funkcja f przyjmuje tylko raz każdą wartość z przedziału. Zad.. Zad Zad f. Zad.. Zestaw V Zad.. Zad.. (, y, z) = (,,) Zad. 4. a= Zad.5. k = Zad. 6. Zad. 7. Zad.9. Układ nie ma rozwiązania Zad.. lata 4

15 dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. uczniów Zad. 4. a) 66 uczniów, b) 49 uczniów, c) 9 uczniów Zad. 8. Adam ma 90 pln, Bartek ma 99 pln, Czesiek ma 0 pln. Zad uczniów. Zad. 9. Prędkość punktu A jest równa ; prędkość punktu B jest równa. Zestaw VII Zad.8. Zad.9. Zad.. 5

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wielkopolskie Mecze Matematyczne Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdajcego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków? PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

WYPEŁNIA KOMISJA KONKURSOWA

WYPEŁNIA KOMISJA KONKURSOWA WOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY DLA UCZNIÓW GIMNAZJÓW WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2016/2017 MATEMATYKA Informacje dla ucznia 1. Na stronie tytułowej arkusza w wyznaczonym miejscu wpisz swój kod

Bardziej szczegółowo

ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE LAMBDA Zespół Szkół w Chełmży ul. Hallera 23, 87 140 Chełmża tel./fax. 675 24 19 Konkurs matematyczny dla uczniów klas III gimnazjum www.lamdba.neth.pl ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5 Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017 STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2016 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1 31). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. ( 0-5. ) Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F jeśli jest fałszywe.

Zadanie 1. ( 0-5. ) Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F jeśli jest fałszywe. Zadanie 1. ( -5. ) Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F jeśli jest fałszywe. a) Liczby: 1,15 i 3 1: są równe. P F b) Liczba 5 5 5 jest większa od liczby 6 6. 6 P F c) Średnia

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 010 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 15 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM. Etap Rejonowy

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM. Etap Rejonowy Kod ucznia - - pieczątka WKK Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy Drogi Uczniu, witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum) Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. WPISUJE UCZEŃ KOD PESEL PRZEDMATURALNA DIAGNOZA KSZTAŁTUJĄCA Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 018 (dla klas trzecich liceum

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2 (Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)

Bardziej szczegółowo

Klasówka gr. A str. 1/3

Klasówka gr. A str. 1/3 Klasówka gr. A str. 1/3 1. Boki trójkąta ABC mają długości 9 cm, 7cm, 8 cm. Boki trójkąta podobnego A B C w skali 1 2 mają długości: A. 18 cm, 14 cm, 16 cm B. 4 1 2 cm, 3 1 2 cm, 4 cm C. 4 1 2 cm, 7 cm,

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY Kod ucznia Liczba punktów WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJÓW W ROKU SZKOLNYM 2016/2017 11.01.2017 1. Test konkursowy zawiera 21 zadań. Są to zadania zamknięte i otwarte. Na ich rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2016 poziom podstawowy. M A T E M A T Y K A klasa 2-(pp) MAJ 2016

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2016 poziom podstawowy. M A T E M A T Y K A klasa 2-(pp) MAJ 2016 KOD UCZNIA M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 9 CZERWCA 2015 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3..005 Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 149196 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Losujemy jeden

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1 Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla gimnazjalistów Rok szkolny 2010 / 2011 ETAP SZKOLNY - 7 października 2010 roku

MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla gimnazjalistów Rok szkolny 2010 / 2011 ETAP SZKOLNY - 7 października 2010 roku Kod ucznia... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla gimnazjalistów Rok szkolny 200 / 20 ETAP SZKOLNY - 7 października 200 roku. Przed Tobą zestaw 20 zadań konkursowych. 2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut.

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY 5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b MATEMATYKA materiał ćwiczeniowy CZERWIEC 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo