Temat XXI. Pole Elektryczne w Materii

Transkrypt

1 Temat XXI Pole Elektryczne w Materii

2 Dipol elektryczny

3 Proste podejście do dipola E E k r 2 Q 2 l 4 E cos E E cos + - cos 2 2 r l 2 l 4

4 r l Ql E k k r p r 3 3 p = Ql moment dipolowy

5 Moment dipolowy jako wektor pokazuje kierunek od ładunku ujemnego do dodatniego Moment sił działający na dipol W polu elektrycznym o natężeniu E. M p E

6 Mniej proste podejście do dipola Gdy obszar, który zajmuje ładunek jest mały w stosunku do odległości do punktu P, to często możemy go traktować jako ładunek punktowy φ P = 1 4πε 0 V dq ρ x, y, z (dv = dx dy dz ) R

7 Korzystają z twierdzenia cosinusów możemy zapisać 1 R = 1 r 2 + r 2 2rr cos (θ) = 1 r r 2 r 2 2 r r cos (θ) t

8 1 R = 1 r 2 + r 2 2rr cos (θ) = 1 r r 2 r 2 2 r r cos (θ) t t t t2 1 R 1 r 1 r 2 2r 2 + r cos θ r + 3r 4 8r 4 + 3r 2 2r 2 cos2 θ 3r 3 cos θ 2r3

9 1 R 1 r 1 r 2 2r 2 + r cos θ r + 3r 4 8r 4 + 3r 2 2r 2 cos2 θ 3r 3 cos θ 2r3 Konsekwentnie odrzucamy wyrażenia w których r występuje w potędze wyższej niż dwa 1 R 1 r 1 + r cos θ r + r 2 3cos 2 θ 1 r 2 2

10 φ P = 1 4πε 0 V dq ρ x, y, z (dv = dx dy dz ) R Wracamy do wzoru na potencjał φ P 1 r V ρdv K r 2 r ρcos(θ)dv V K cos2 θ 1 r 3 r 2 dv 2 V K 2

11 φ P 1 r V ρdv K r 2 r ρcos(θ)dv V K cos2 θ 1 r 3 r 2 dv 2 V K 2 Skrócony zapis φ P K 0 r + K 1 r 2 + K 2 r 3

12 φ P K 0 r + K 1 r 2 + K 2 r 3 Wprowadzone tu wielkości nazywamy momentami rozkładu ładunków mamy zatem w kolejności K 0 to moment monopolowy, K 1 to moment dipolowy, K 2 to moment kwadrupolowy.

13 φ P 1 r V ρdv K r 2 r ρcos(θ)dv V K cos2 θ 1 r 3 r 2 dv 2 V K 2 moment monopolowy zależy od całkowitego ładunkowi zebranemu w objętości V. Jeżeli ilość ładunku dodatniego jest w tejże objętości taka sama jak ujemnego to K 0 =0. w momencie dipolowym gęstość ładunku jest mnożona przez r i cos( ), moment dipolowy jest zatem wrażliwy na rozkład ładunku oraz na kąt pod którym obliczamy potencjał.

14 Może się zdarzyć, że rozkład ładunku ma taką geometrię, że jednocześnie K 0 =K 1 =0, ale K 2 0; wtedy pierwszy niezerowy moment to moment kwadrupolowy. W takiej sytuacji główny wkład do potencjału w punkcie P wnosi moment kwadrupolowy.

15 φ P K 0 r + K 1 r 2 + K 2 r 3 Moment monopolowy daje do potencjału wkład, który jest odwrotnie proporcjonalny do odległości r, tak jak to jest w ogólnym wzorze na potencjał od ładunku punktowego. Możemy więc stwierdzić, że moment monopolowy gra główną rolę wszędzie tam gdzie w danej objętości jest niezerowy ładunek całkowity, a rozmiary tejże objętości możemy uznać za małe w porównaniu z odległością do punktu P

16 Zakładając, że K 0 =0 i K 1 0 i odrzucając K 2 φ P 1 r ρdv + 1 r 2 r ρcos(θ)dv V V K 0 K cos2 θ 1 r 3 r 2 dv 2 V K 2 φ P = 1 4πε 0 1 r 2 V r r ρdv = r r 2 V r ρdv

17 φ P = 1 4πε 0 1 r 2 V r r ρdv = r r 2 V r ρdv p = r ρdv moment dipolowy V φ P = r p r 2 p co s( θ) = r 2

18 E = φ

19 cos θ = z x 2 + z φ P = p co s( θ) r 2 = pz x 2 + z 2 3 2

20 E x = x φ = 3pxz x 2 + y 2 + z E y = y φ = 3pyz x 2 + y 2 + z E z = z φ = p 3z 2 x 2 + y 2 + z = 3cos2 θ 1 r 3 1 x 2 + y 2 + z 2

21 Pole dipola

22 Kondensatory z dielektrykiem

23 Dielektryk, izolator elektryczny materiał, w którym bardzo słabo przewodzony jest prąd elektryczny. Może to być rezultatem niskiej koncentracji ładunków swobodnych, niskiej ich ruchliwości, lub obu tych czynników równocześnie.

24 (a) W pełni naładowany kondensator próżniowy ma napięcie U 0 i ładunek Q 0 (ładunki znajdują się na wewnętrznych powierzchniach okładek; na schemacie wskazaliśmy znak ładunku na każdej z nich). (b) Na początku (krok 1) odłączono kondensator. Następnie (krok 2) obojętny elektrycznie dielektryk o stałej dielektrycznej εr wsunięto między okładki naładowanego kondensatora. Pomiar woltomierzem wskazuje, że napięcie na kondensatorze spadło do wartości U = U 0 ε r. Schemat

25 Dielektryk złożony z cząsteczek polarnych: (a) w sytuacji braku zewnętrznego pola elektrycznego; (b) w obecności zewnętrznego pola elektrycznego E 0. Prostokąty o przerywanych bokach wskazują obszary bezpośrednio przylegające do okładek kondensatora. (c) Indukowane pole elektryczne E i wewnątrz dielektryka wytworzone przez indukowane ładunki powierzchniowe Q i.

26 Pole elektryczne: (a) E 0 w kondensatorze prożniowym; (b) E w kondensatorze z dielektrykiem.

27 Separacja ładunku w dielektryku znajdującym się między okładkami kondensatora

28 Jak duże może być rozseparowanie ładunku w atomach? Odwołamy się ponownie do wyobrażenia atomu jako małej kuli ładunku dodatniego (jądro atomowe) otoczonej wielką chmurą ładunku ujemnego. Bez zewnętrznego pola elektrycznego obie kule są współśrodkowe. Pod wpływem pola elektrycznego, w najprostszym ujęciu, środki obu kul oddalają się od siebie na odległość powiedzmy b.

29 Odległości między centrum kuli ładunku dodatniego i ujemnego oznaczę przez b, promień sfery ładunku ujemnego to r

30 Szacujemy zniekształcenie atomu

31 Zakładamy, że gęstość ładunku jest stała Korzystając z prawa Gaussa stwierdzamy, że pole elektryczne wytworzone przez ładunek ujemny i działające na ładunek jądra jest zależne od ładunku zgromadzonego wewnątrz kuli o promieniu b, wyznaczającym wielkość rozseparowania ładunku dodatniego i ujemnego.

32 Ładunek wewnątrz tej kuli to Q b = b r 3 Q Pole elektryczne działające na dodatnio naładowane jądro atomowe wynosi E = 1 4πε 0 1 b 2 b r 3 Q = 1 4πε 0 b r 3 Q Stąd obliczamy b b = 4πε 0 E Q r3

33 Musimy teraz sięgnąć po dane z fizyki atomowej. Skupimy się na najprostszym atomie, atomie wodoru. Rozmiar atomu wodoru, wyznaczony przez rozmiar chmury elektronowej jest rzędu r=10-10 m, natężenie pola elektrycznego jest rzędu 3000kV/m, to nawiasem mówiąc bardzo dużo. Ładunek Q to ładunek elektronu e. Wstawiając dane do otrzymanego wzoru mamy b= m. To sto tysięcy razy mniej niż wynosi promień atomu. Rozsunięcie jest zatem niewielkie nawet jak na atomową skalę, ale siły elektryczne są tak duże, że nawet tak mała asymetryzacja rozkładu ładunku daje dobrze widzialne efekty.

34 Wytworzony w ten sposób moment dipolowy jest równy 3 3 p bq 4 0r E kr E Skorzystałem ze wzoru 1 1 b 1 b E Q Q 4 b r 4 r

35 Wektor momentu dipolowego skierowany jest zgodnie z polem zewnętrznym E. p = αe Stała nazywana jest stałą polaryzowalnością atomową, jej wymiarem, w układzie SI, jest m 3.

36 Z przeprowadzonego szacunku wynika, że α = r 3 = m 3 Dokładne wartości stałej różnią się od tej którą oszacowaliśmy powyżej. Pierwiastek Symbol [10-24 cm 3 ] Wodór H 0,66 Hel He 0,21 Lit Li 12 Węgiel C 1,5 Sód Na 27 Potas K 34 Wartości polaryzowalności atomowej wybranych pierwiastków

37 Cząstki polarne to cząstki które są spolaryzowane przy nieobecności pola zewnętrznego. Przykładem jest cząsteczka wody Cząsteczka dwutlenku wody nie jest polarna.

38 w polu przyłożonym wzdłuż osi cząsteczki CO 2 polaryzowalności wynosi =4, cm 3. W polu skierowanym prostopadle mamy =2, cm 3 Ta anizotropia kierunkowa wskazuje, że polaryzowalność ma bardziej złożony charakter jest tensorem α = α xx α xy α xz α yx α yy α yz α zx α zy α zz tensor polaryzowalności atomowej p x p y p z = α xx α xy α xz α yx α yy α yz α zx α zy α zz E x E y E z Wektor momentu dipolowego nie musi być równoległy do Wektora pola elektrycznego

39 Powiedzmy, że mamy sześcienny blok dielektryka włożony do wnętrza naładowanego kondensatora płaskiego. W efekcie cząsteczki dielektryka są spolaryzowane, a ich momenty dipolowe p skierowane są w tą samą stronę. Niech N oznacza liczbę dipoli na m 3 to jest gęstość dipoli. Wkład całego układu do całkowitego momentu dipolowego na jednostkę objętości jest równy P = pn Wielkość wektorowa P nazywa się gęstością polaryzacji, w układzie SI ma wymiar C/m 2.

40 Moment dipolowy od elementu kolumny o wysokości dz wynosi dp = Pdsdz

41 Zgodnie ze wzorem na potencjał od dipola potencjał od takiego elementu wynosi dφ P = 1 Pdsdz 4πε 0 r 2 cos θ Potencjał od całej kolumny wynosi φ P = 1 4πε 0 z g Pdsdz r 2 cos θ = z d 1 4πε 0 Pds z g z d dz co s( θ) r 2

42 Skorzystamy z zależności dz cos θ = dr 1 4πε 0 Pds = 1 4πε 0 Pds z g z d dr r 2 z g z d dz co s( θ) r 2 po obliczeniu całki mamy φ P = Pds 1 r g 1 r d

43 Taki sam wzór φ P = Pds 1 r g 1 r d otrzymalibyśmy uznając, że cały ładunek odpowiednio dodatni i ujemny zgromadzony jest na końcach kolumny.

44 Kostkę dielektryka spolaryzowanego w polu elektrycznym możemy przestawić jako dwie najbardziej zewnętrzne warstwy ładunku. Działanie tych warstw jest takie samo jak całej kostki.

45 Kondensator z wkładką Możemy teraz wrócić do analizy kondensatora z dielektryczną wkładką. Taki kondensator możemy traktować jako dwa układy ładunków. Jeden układ jest związany z okładkami kondensatora, a drugi z ładunkami w dwóch przypowierzchniowych warstwach ładunku w dielektryku. Oba układu ładunków wytarzają pole elektryczne o przeciwnych zwrotach. Tu zakładamy, że dielektryk jest izotropowy to znaczy, że jego polaryzowalność można wyrazić liczbą (przypominam w ogólnym przypadku nie da się sprowadzić do liczby, α jest wielkością tensorową).

46 Musimy teraz obliczyć jaka jest gęstość powierzchniowa pol ładunku na płytce dielektryka. Wielkość pol będziemy nazywać gęstością powierzchniową ładunku polaryzacyjnego. Nie powtarzając tu toku rozumowania związanego z tego typu obliczeniami od razu napiszę wynik σ pol = P = Neb

47 Korzystamy z twierdzenia Gaussa E = σ swob σ pol ε 0 = σ swob P ε 0

48 Zapis w ogólnie przyjętych oznaczeniach pole elektryczne wiąże się z polaryzowalnością dielektryka wzorem p = αe Z drugiej strony mamy zależność P = pn Łącząc oba wzory mamy P = αne

49 P = αne Wprowadzamy wielkość nazywaną podatnością elektryczną dielektryka i zdefiniowaną wzorem χ = αn ε 0 Wektor polaryzowalność zapisujemy za pomocą podatności elektrycznej P = χε 0 E E = σ swob χε 0 E ε 0 E = σ swob ε χ

50 P = χε 0 E E = σ swob σ pol ε 0 = σ swob P ε 0 Łącząc powyższe wzory mamy E = σ swob χε 0 E ε 0 E = σ swob ε χ

51 U = Ed = σ swob ε 0 d 1 + χ C = ε 0S 1 + χ d

52 Wprowadzimy kolejne dwie wielkości używane w elektrotechnice i elektronice. Pierwsza z nich to względna przenikalność elektryczna środowiska κ = 1 + χ Druga to przenikalność elektryczna środowiska ε = κε 0 = 1 + χ ε 0 C = εs d = κε 0S d

53 Z ich pomocą pojemność kondensatora płaskiego z wkładką wyrazi się wzorem C = εs d = κε 0S d

54 materiał względna przenikalność próżnia 1 powietrze 1,00054 papier 3,5 guma 7 grafit woda (temp C) dwutlenek tytanu TiO tytanian strontu (SrTiO 3 ) specjalne polimery do materiały strukturalne powyżej Wartości względne przenikalności elektrycznej wybranych substancji. Względna przenikalność elektryczna zależy nie tylko od rodzaju substancji ale również od temperatury i jej konsystencji (np. porowatość).

55

56 Superkondensatory firmy Maxwell Technologies o pojemności 3000F

57 Prawo Gaussa dla ośrodka materialnego

58

59 d Q Q 0 E s E Q Q S 0

60 E Q Q S 0 E E 0 r r Q S 0

61 Q Q Q r E d s Q r 0 Wprowadzamy wektor indukcji elektrycznej D D 0 r E

62 r 1 D 0 r E D E P 0

63 Jednostką indukcji elektrycznej jest w układzie SI C m 2

64 Prawo Gaussa dla ośrodków materialnych D d s Q D D E P 0 E P ds Q 0 0 P E 0 0

65 Użyteczność D Na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych D 2n D 1n Na granicy dielektryk przewodnik D D 2n 1n s

66 Efekt piezoelektryczny

67 Kryształ wykazuje zjawisko piezoelektryczne, gdy na jego powierzchni pojawiają się ładunki elektryczne pod wpływem naprężeń mechanicznych. Odwrotne zjawisko piezoelektryczne, polega na zmianie wymiarów kryształu pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego. Niekiedy piezoelektryk jest również piroelektrykiem lub ferroelektrykiem.

68 Zjawisko piezoelektryczne zostało odkryte w roku 1880 przez braci Pierre'a i Jacques'a Curie podczas badań wpływu naprężeń mechanicznych na własności piroelektryków. Na powierzchni niektórych kryształów (turmalinu, kwarcu, soli Seignette'a i innych) zaobserwowali oni ładunki elektryczne, których wartość była proporcjonalna do przyłożonego naprężenia.

69 W 1881 Gabriel Lippmann na podstawie rozważań termodynamicznych wysnuł wniosek, że możliwe jest również występowanie zjawiska odwrotnego, polegającego na deformowaniu się kryształów pod wpływem pola elektrycznego. Możliwość ta została wkrótce potwierdzona doświadczalnie przez braci Curie. Pierwsze zastosowania praktyczne piezoelektryków datują się na lata pierwszej wojny światowej, gdy Paul Langevin zaproponował zastosowanie ich w nadajnikach i odbiornikach fal ultradźwiękowych urządzeń hydrolokacyjnych do wykrywania okrętów podwodnych.

70

71

72 Kryształ kwarcu oraz wycięta z niego płytka piezoelektryczna

73

74

75

76 Optyka elementy piezoelektryczne

77 Zwierciadła na piezo

78 Stoliki piezo

79 Wymagania Dielektryk w polu elektrycznym; polaryzacja Kondensator z dielektrykiem Wektor indukcji elektrycznej D Prawo Gaussa dla pola elektrycznego z ośrodkiem materialnym Efekt piezoelektryczny

80 Przykładowe zadanie Wskaż poprawne zdanie dotyczące dielektryków a) dielektryki są materiałami słabo przewodzącymi prąd; b) dielektryki nie reagują na zewnętrzne pole elektryczne; c) dielektryk może być zastosowany do zwiększenia pojemności kondensatora; d) Niezależnie od tego jak duże przyłożymy napięcie do kondensatora przez dielektryk znajdujący się między jego okładkami nie popłynie prąd