Prognozowanie z zastosowaniem wybranych metod ekonometrycznych.

Transkrypt

1 POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI kierunek: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Przykładowy projekt Projekt z przedmiotu: Prognozowanie i symulacja w przedsiębiorstwie Prognozowanie z zastosowaniem wybranych metod ekonometrycznych. Prowadzący: mgr inż. Anna Landwójtowicz OPOLE 2013

2 Spis treści Spis treści... 1 WSTĘP. CEL I ZAKRES PRACY Charakterystyka metod ilościowych Metody oparte na modelach szeregu czasowego Metody oparte na modelach ekonometrycznych Inne metody ilościowe Opis wybranych metod modelowania ekonometrycznego Proces budowy prognozy i modelu ekonometrycznego Sformułowanie zadania prognostycznego Określenie przesłanek prognostycznych Zebranie, statystyczna obróbka i analiza danych statystycznych Wybór metody prognozowania Metoda Hellwiga Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) Współczynnik determinacji i współczynnik zbieżności Odchylenie standardowe składnika resztowego modelu Współczynnik zmienności losowej Konstrukcja prognozy i jej zastosowanie Błąd prognozy Ocena trafności prognozy Wnioski końcowe Bibliografia

3 WSTĘP. CEL I ZAKRES PRACY. Zarządzanie firmą jest nieustannym procesem podejmowania decyzji, który może być zdefiniowany jako akt wyboru działania ze zbioru możliwych postępowań. Błędna decyzja jest lepsza niż jej brak. Nie ma bowiem nic gorszego od pozostawienia problemów samym sobie. W przedsiębiorstwie, którego otoczenie szybko się zmienia, trzeba działać błyskawicznie, zwłaszcza wówczas, gdy pojawiają się pierwsze objawy kryzysu. Jednak z każdą decyzją podejmowaną w firmie wiąże się ryzyko niepowodzenia. Działanie w warunkach ryzyka, niepewności lub niepełnej informacji stanowi istotę działalności gospodarczej. Warunki te są zjawiskiem obiektywnym i muszą być przyjmowane jako nieuniknione. Potencjalne poniesienie straty przez przedsiębiorstwo wiąże się najczęściej z tym, że podejmowane decyzje dotyczą bliższej lub dalszej przyszłości, która na ogół nie jest w pełni znana. Niestety możliwości podjęcia błędnej decyzji nie można uniknąć, bo nawet awersja do ryzyka może w dynamicznie zmieniającym się otoczeniu przynieść fatalne skutki. Dlatego też warto wykorzystać narzędzia, które pomogą ograniczyć ryzyko niepowodzenia. Podejmowane w przedsiębiorstwie decyzje mogą mieć charakter intuicyjny (zwłaszcza w małych firmach) i opierać się na wyczuciu i doświadczeniu menedżera. Mogą być także oparte na informacjach dotyczących obecnego i przyszłego stanu otoczenia marketingowego przedsiębiorstwa. Uważa się, że ma to wpływ na jakość procesu decyzyjnego i podniesienie stopnia trafności podejmowanych decyzji. Dlatego też firmy dążą do zdobycia jak największej liczby informacji o nabywcach swoich produktów lub usług, konkurentach, dealerach i innych elementach swojego otoczenia. Rozbieżność między zgłaszanym przy podejmowaniu decyzji zapotrzebowaniu na informacje a dostępnym ich zasobem to tzw. luka informacyjna. Może ona oznaczać zapotrzebowanie na informacje bardziej aktualne lub bardziej szczegółowe od tych, które posiada przedsiębiorstwo, albo też informacje dotychczas niegromadzone. Luka informacyjna może wiązać się z potrzebą zbudowania prognozy. Szczególną rolę wśród prognoz odgrywa prognoza sprzedaży, która przewiduje poziom sprzedaży przedsiębiorstwa na wybranych rynkach docelowych i w określonym przedziale czasu. Prognozowane wielkości sprzedaży wchodzą jako dane wejściowe do procesu planowania strategicznego bądź operacyjnego. Stąd konieczne jest rozróżnienie prognozowania sprzedaży w krótkim i długim okresie. 2

4 Prognozowanie długookresowe sprzedaży wykorzystuje się do zaprogramowania zmian organizacyjnych w przedsiębiorstwie, takich na przykład, jak opracowanie nowych form sprzedaży, sposobów wejścia na nowe rynki zbytu, budowy nowych kanałów dystrybucji czy wreszcie organizacji nowych form aktywizacji i reklamy. Jest ono także pomocne przy opracowywaniu polityki wprowadzania nowych produktów na rynek i wycofywania starych. Bez niego nie można prawidłowo zaplanować zakupu nowych maszyn i urządzeń oraz sporządzić budżetu przedsiębiorstwa. Prognozowanie krótkookresowe sprzedaży wykorzystuje się w planowaniu operacyjnym. Jest ono stosowane prawie w każdym dziale przedsiębiorstwa do planowania bieżących działań. Służy do sporządzania szacunków rozlokowania produkcji na poszczególne rynki w podziale geograficznym i czasowym całego roku. Stosuje się je do szacowania zmian cen i ich skutków na wielkość wpływów ze sprzedaży, wydatków na reklamę, a także do testowania skutków wprowadzania zmian w warunkach sprzedaży i określania zadań dla personelu sprzedającego. Celem niniejszego projektu jest przedstawienie przykładowego zastosowania modelu ekonometrycznego w praktyce gospodarczej. Postawiony problem decyzyjny dotyczy ukazania mechanizmu zmian sprzedaży nowych samochodów kupowanych przez firmy z województwa opolskiego. Informacja ta przede wszystkim jest istotna dla inwestorów, którzy rozważają zlokalizowanie swojego salonu samochodowego właśnie na Opolszczyźnie. Wynik prognozy może również posłużyć do uzyskania przewagi konkurencyjnej przez dany salon dealerski, ponieważ znajomość czynników wpływających na sprzedaż aut klientom instytucjonalnym ma znaczenie strategiczne dla tego typu przedsiębiorstw handlowousługowych. Projekt składa się z części teoretycznej, w której znajduje się ogólna charakterystyka metod ilościowych. W części literaturowej można zapoznać się także z ogólnym schematem procesu prognostycznego oraz budową modelu ekonometrycznego. Problem decyzyjny rozwiązywany jest zgodnie z 8-etapowym schematem sekwencyjnym budowy i zastosowania prognozy w przedsiębiorstwie. W części praktycznej określono następujące elementy prognozy: rodzaj badanego zjawiska, cel budowy prognozy, rodzaj prognozy, okres prognozy, interwał, horyzont, wymagania dotyczące stopnia niepewności, zmienna prognozowana, zmienne objaśniające, sposób wyboru zmiennych objaśniających do modelu, postać analityczna modelu, estymacja i weryfikacja modelu oraz badanie istotności parametrów strukturalnych modelu. Zawarto tu również opis stosowanych w projekcie metod 3

5 ekonometrycznych. W wyniku przedstawionego procesu postępowania sformułowano prognozę dla wybranego zjawiska. Rozważania podsumowano wnioskami końcowymi. 1. Charakterystyka metod ilościowych Metody prognozowania można podzielić na ilościowe i jakościowe. Metody ilościowe są oparte na formalnym modelu prognostycznym, zbudowanym na podstawie danych dotyczących kształtowania się wartości zmiennej prognozowanej (objaśnianej, zależnej) i zmiennych objaśniających w przeszłości. Wśród metod ilościowych można wyróżnić [1]: - prognozowanie na podstawie szeregu czasowego; - prognozowanie z wykorzystaniem modeli ekonometrycznych; - prognozowanie z wykorzystaniem innych modeli (np. analogowych, opartych na analizie kohortowej). Metody ilościowe dają dobry efekt, gdy nie zmienia się strategia przedsiębiorstwa i jego otoczenia, albo gdy zmiany te są niewielkie. Umożliwiają nie tylko budowę prognozy, ale także statystyczną analizę działalności firmy oraz ocenę wpływu czynników strategii na działalność przedsiębiorstwa [2] Metody oparte na modelach szeregu czasowego Główną cechą metod prognozowania z wykorzystaniem szeregów czasowych jest budowanie prognoz na podstawie prawidłowości zaobserwowanych w dotychczasowym kształtowaniu się zmiennej prognozowanej, bez wnikania w przyczyny ich występowania. Stosuje się je, gdy zjawisko charakteryzuje się dużą inercją. Przy konstrukcji prognozy korzysta się z zasady status quo, tj. przyjmuje się, że w okresie, którego dotyczy budowana prognoza, na sprzedaż będą oddziaływały te same elementy otoczenia marketingowego przedsiębiorstwa i w taki sam sposób jak dotychczas oraz że stosowana strategia marketingowa nie zmieni się. Dlatego też metody oparte na modelach szeregu czasowego są przydatne głównie do sporządzania prognoz krótkookresowych [2]. Składowe szeregu czasowego to: stały poziom, trend, wahania cykliczne, wahania sezonowe oraz wahania przypadkowe (rys. 1.1). Zarówno wahania cykliczne, jak i sezonowe, charakteryzują się okresowością różnica polega na tym, że sezonowość jest powiązana z konkretnymi okresami kalendarzowymi. Wśród modeli szeregów czasowych ze stałym poziomem zmiennej 4

6 prognozowanej, można wyróżnić modele naiwne, modele średniej ruchomej, modele wygładzania wykładniczego. Najprostszymi modelami uwzględniającymi zmienność w czasie są modele szeregów czasowych z trendem. Wyróżnia się trend liniowy, wykładniczy, logarytmiczny, wielomianowy, opisany funkcją logistyczną i inne. Parametry wymienionych funkcji przedstawiających dany trend można szacować różnymi metodami. Najczęściej stosowana analityczna metoda estymacji tych wartości klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, umożliwia oszacowanie parametrów wszystkich pozostałych funkcji, z wyjątkiem funkcji logistycznej. Większość znanych metod oszacowania parametrów funkcji logistycznej (m.in. Hotellinga, Marquardta, Hellwiga) opiera się na pewnych uproszczeniach i ma charakter przybliżony. Rys Składowe szeregu czasowego. Źródło: [2] W prognozowaniu sprzedaży daje się niekiedy zauważyć sytuacje, wskazujące na to, że jej wielkość kształtuje się w zależności od jej poziomu w okresach poprzednich. Popyt na wiele dóbr charakteryzuje się cyklami opóźnień, związanych z okresem użytkowania tych dóbr. W tego rodzaju sytuacjach stosuje się modele autoregresyjne [1]. Konstruowany model szeregów czasowych może przyjąć formę addytywną lub multiplikatywną. W modelu addytywnym zakłada się, że obserwowane wartości zmiennej prognozowanej stanowią sumę wszystkich lub niektórych składowych szeregu czasowego, czyli, że pomiędzy szczególnymi składowymi szeregu nie występują interakcje (składowe niezależne). Natomiast w modelu multiplikatywnym przyjmuje się, że obserwowane wartości zmiennej prognozowanej stanowią iloczyn składowych szeregu czasowego [2]. 5

7 1.2. Metody oparte na modelach ekonometrycznych Istotą modelowania ekonometrycznego jest konstrukcja modelu mająca na celu wyjaśnienie mechanizmu zmian zachodzących między zmienną objaśnianą charakteryzującą dane zjawisko pod wpływem zmiennych objaśniających [2]. Model ekonometryczny (model regresji) to konstrukcja przedstawiana za pomocą jednego równania lub układu równań zależności między zmienną objaśnianą charakteryzującą dane zjawisko, a zmiennymi objaśniającymi opisującymi inne zjawiska. Jeśli model ekonometryczny jest wykorzystywany do prognozowania, to zmienna objaśniana pełni równocześnie rolę zmiennej prognozowanej. Używa się go zwykle, gdy do uzyskania prognozy jest potrzebna znajomość mechanizmu zmian prognozowanego zjawiska (w projekcie zmian sprzedaży), co bywa niekiedy istotną kwestią, gdyż zmienne objaśniające modelu, które charakteryzują strategię przedsiębiorstwa są zmiennymi sterowanymi [2]. Ze względu na liczbę zmiennych prognozowanych wyróżnić można modele: jednorównaniowe (z jedną zmienną prognozowaną), wielorównaniowe, (z wieloma zmiennymi prognozowanymi), a ze względu na liczbę zmiennych objaśnianych: modele z jedną zmienną objaśniającą (regresja prosta), modele z wieloma zmiennymi objaśniającymi (regresja wieloraka). Ze względu na postać analityczną rozróżnia się modele liniowe i nieliniowe. Do tych ostatnich należą: modele liniowe względem parametrów, modele linearyzowalne, modele nieliniowe w ścisłym sensie. Dodatkowo modele dzieli się na statyczne (nie uwzględniają czynnika czasu) oraz dynamiczne (uwzględniają czynnik czasu). Spośród modeli dynamicznych można wyróżnić: modele tendencji rozwojowej (jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa), modele autoregresyjne (jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna objaśniana o opóźnionych w czasie wartościach), modele z opóźnionymi zmiennymi objaśniającymi. 6

8 Jeśli zmienną objaśnianą modelu ekonometrycznego jest zmienna jakościowa, to ze względu na sposób transformacji zmiennej wyróżnia się modele logitowe i probitowe. Gdy pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennym objaśniającymi zachodzi związek przyczynowo-skutkowy, to wówczas mówi się o modelach przyczynowo-skutkowych. W innym wypadku, czyli kiedy wspomniany związek cechuje współwystępowanie w czasie i przestrzeni, ma się do czynienia z modelami symptomatycznymi [2]. Ogólna postać jednorównaniowego modelu ekonometrycznego wygląda następująco [2]:, gdzie: Y zmienna prognozowana (np. sprzedaż), - zmienne objaśniające, składnik losowy. Zmienne objaśniające modelu mogą być [2]: zmiennymi bez opóźnień czasowych, zmiennymi z opóźnionymi w czasie wartościami, np., zmiennymi będącymi funkcjami innych zmiennych, np. X 2, lnx, zmienną prognozowaną o opóźnionych w czasie wartościach, np. Y t-1, Y t-2, zmienną czasową t lub jej funkcjami, np. t 2, lnt, zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi zmienne jakościowe Inne metody ilościowe Do pozostałych metod ilościowych niewymienionych powyżej należą metody wykorzystujące modele: analogowe, ze zmiennymi wiodącymi, analizy kohortowej a także testy rynkowe. Prognozowanie analogowe jest wnioskowaniem o przyszłości zjawiska, które występuje w pewny obiekcie, na podstawie wiedzy o tym samym zjawisku zachodzącym w innych obiektach lub o przyszłości zjawiska, które występuje w danym obiekcie, na podstawie wiedzy o innych zjawiskach zachodzących w tym obiekcie. Modele analogowe mogą być wykorzystywane do sporządzania średnio- i długookresowych prognoz sprzedaży określonego produktu w przedsiębiorstwie na podstawie danych o sprzedaży tego produktu w innych rejonach lub innych produktów w tym samym rejonie, gdy nie ma podstaw o ich przyczynowym powiązaniu ze zmienną prognozowaną. Stosując modele analogowe odchodzi 7

9 się od ekstrapolacji dotychczas zaobserwowanych prawidłowości w kształtowaniu się sprzedaży danego produktu, a przyjmuje założenie o podobieństwie krzywych życia tego samego produktu dla różnych rejonów (analogie przestrzenno-czasowe) [2]. Zmienne wiodące pozwalają na przewidywanie zmian w koniunkturze. Charakteryzują się określonymi zmianami swoich wartości zachodzących wcześniej niż zmiany wartości innej grupy zmiennych, które określa się jako zmienne naśladujące. Zmienne naśladujące powielają zmiany zachodzące w wartościach zmiennych wiodących z pewnym opóźnieniem. Znalezienie zmiennej wiodącej (zmiennych wiodących) pozwala konstruować prognozy dotyczące zmiennej naśladującej. Podstawowym warunkiem, który umożliwia budowę prognoz, jest duże prawdopodobieństwo kształtowania się wartości obu zmiennych w czasie do jednego pomiaru oraz do określenia wielkości opóźnienia (p) można użyć współczynnika korelacji liniowej. Modele ze zmiennymi wiodącymi mają duże znaczenie w konstruowaniu prognoz, pozwalają bowiem przewidzieć zmiany w przyszłym kształtowaniu się zmiennej prognozowanej, które nie tylko wynikają z trendu i wahań sezonowych, ale także są związane w wahaniami cyklicznymi mniej regularnymi niż pozostałe postaci składowej systematycznej szeregu, a tym samym trudniejsze do prognozowania [2]. Ogólny popyt na dany produkt może się zmieniać pod wpływem dwojakiego rodzaju zmian zachodzących w czasie zmian w strukturze wiekowej ludności oraz zmian w poziomie konsumpcji danej grupy wiekowej. Do uchwycenia tych zmian oraz ich uwzględnienia przy konstruowaniu prognozy sprzedaży przedsiębiorstwa mogą wykorzystywać modele analizy kohortowej. Przez kohortę rozumie się tutaj populację osób urodzonych w tym samym okresie. Analiza kohortowa jest badaniem tej populacji charakteryzowanej jednakową zmienną, której pomiaru dokonano w dwóch lub większej liczbie okresów. Przeprowadza się ją najczęściej na podstawie tablicy kohortowej, zbudowanej w taki sposób, że okres dzielący dwa kolejne pomiary zmiennej jest równy długości przedziałów wiekowych ludności, co umożliwia analizę zmian zachodzących w badanej populacji osób. Każda kolumna tablicy zawiera dane o wielkości lub natężeniu konsumpcji określonego produktu w różnych grupach wiekowych ludności w danym okresie, a każdy wiersz dane o wielkości konsumpcji ludności z daje grupy wiekowej w kolejnych okresach [2]. Wyniki testów rynkowych są stosowane, gdy prognoza sprzedaży dotyczy nowego produktu lub sprzedaży w odmiennych niż do tej pory warunkach, np. za pośrednictwem nowych kanałów dystrybucji. W tej sytuacji nie istnieją żadne dane lub nie istnieją danej wystarczające, aby oprzeć prognozę na dotychczasowym kształtowaniu się sprzedaży. Testy 8

10 rynkowe polegają więc na wprowadzeniu produktów na ściśle geograficznie ograniczony rynek i pomiarze wielkości sprzedaży. Na podstawie rzeczywistej wielkości sprzedaży produktu na tym rynku przy założeniu, że zarówno strategia przedsiębiorstwa jak i oddziaływanie czynników jego otoczenia będą takie same na rynku docelowym jak na rynku testowania produktu buduje się prognozę w odniesieniu do całego regionu (rynku), na którym produkt będzie sprzedawany. Najprostszy sposób prognozowania metodą testów rynkowych opiera się na zworze [2]: - prognoza sprzedaży w całym regionie (rynku). - wielkość sprzedaży na rynku testowania produktu, N liczba potencjalnych klientów w całym regionie, n liczba potencjalnych klientów na rynku testowania produktu. 2. Opis wybranych metod modelowania ekonometrycznego Cele projektu zostaną zrealizowane przy użyciu następujących metod ekonometrycznych: współczynnik korelacji liniowej Pearsona, współczynnik determinacji, metoda Hellwiga, metoda najmniejszych kwadratów, odchylenie standardowe składnika resztowego modelu, współczynnik zmienności losowej oraz współczynnik zbieżności. W dalszej części pracy znajdzie się krótkie omówienie tychże metod. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona służy do wykrywania związku między zmiennymi, oszacowaniu siły tego związku a także ocenie istotności statystycznej. Współczynnik ten określa jednak tylko siłę związku liniowego i przyjmuje wartości z przedziału <-1;1>. W analizie statystycznej przyjmuje się następującą skalę oceny powiązania zmiennych [3]: r xy = 0 zmienne nie są skorelowane, 0 < r xy <0,1 korelacja nikła, 0,1 r xy < 0,3 korelacja słaba, 0,3 r xy <0,5 korelacja przeciętna, 0,5 r xy < 0,7 korelacja wysoka, 0,7 r xy < 0,9 korelacja bardzo wysoka, 0,9 r xy < 1 korelacja prawie pełna. 9

11 Wadą współczynnika korelacji liniowej Pearsona jest to, że wykrywa on jedynie zależność liniową między zmiennymi. W przypadku jej braku może istnieć inny rodzaj zależności, który nie zostanie przez to narzędzie analizy statystycznej zidentyfikowany. Omawiany współczynnik wyrażany jest wzorem [3]: gdzie:, średnie arytmetyczne zmiennych odpowiednio: X i Y, s x, s y odchylenia standardowe zmiennych odpowiednio: X i Y. Współczynnik determinacji R 2 informuje o tym, jaki procent zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniany za pomocą zmiennej objaśniającej. Współczynnik ten jest zwany także współczynnikiem określoności, a oblicza się go według wzoru [3]: Współczynnik determinacji daje informację, na ile dane badanie (założony czynnik) wyjaśnia mierzone zjawisko. Służy on określeniu, na ile poszczególne modele statystyczne lub zmienne "dobrze" wyjaśniają dane zjawisko lub która ze zmiennych (jeżeli bada się w badaniu kilka) lepiej wyjaśnia zmienną zależną. Pozwala również oszacować, który z analizowanych modeli jest lepszy. Współczynnik determinacji częściej stosowany jest w modelowaniu ekonometrycznym, niż w zwykłej analizie korelacji [3]. Metoda Hellwiga, czyli metoda optymalnego wyboru predykant jest formalną metodą doboru zmiennych objaśniających do modelu statystycznego. Zmienne, które wybiera się do modelu powinny być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, a słabo skorelowane między sobą. Nie jest to jednak ścisłe kryterium doboru zmiennych, oprócz tego występuje kryterium liczbowe, tzw. pojemność integralna kombinacji nośników informacji. W tym przypadku nośnikami informacji są wszystkie zmienne objaśniające. Metoda Hellwiga oparta jest na wzorach [3]: L = 2 m 1, gdzie: L ogólna liczba kombinacji możliwych do utworzenia na zbiorze zmiennych, m liczba potencjalnych zmiennych objaśniających,. h lj 1 r 2 j n i 1, i j r ij, 10

12 gdzie: gdzie: k - numer kombinacji (k=1,2,...,2m-1), m k - liczba zmiennych w k-tej kombinacji, j - numer zmiennej w rozpatrywanej kombinacji, r j - współczynnik korelacji potencjalnej zmiennej objaśniającej o numerze j ze zmienną objaśnianą (element wektora R0), r lj - współczynnik korelacji między l-tą i j-tą potencjalną zmienną objaśniającą (element macierzy R). Wskaźniki te oblicza się dla każdej zmiennej w obrębie każdej kombinacji zmiennych objaśniających [3]. Integralne wskaźniki pojemności informacyjnej kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających oblicza się jako sumę indywidualnych pojemności zmiennych występujących w danej kombinacji według wzoru [3]: H m1 l h lj j 1 gdzie: H - integralny wskaźnik pojemności informacyjnej zmiennych objaśniających w l- tej kombinacji l hlj - indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej j-tej zmiennej w l-tej kombinacji. Metoda najmniejszych kwadratów, czyli regresja liniowa to sposób estymowania wartości oczekiwanej zmiennej y przy znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x. Szukana zmienna y jest tradycyjnie nazywana zmienną objaśnianą lub zależną. Inne zmienne nazywa się zmiennymi objaśniającymi lub niezależnymi. Zarówno zmienne objaśniane i objaśniające mogą być wielkościami skalarnymi lub wektorami. Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi, a niezależnymi, jest funkcja liniowa. Parametry prostej określa się przy użyciu wzorów:, gdzie: x i, y i wartości doświadczalne, n liczba wykonanych pomiarów. 11

13 Metoda ta pozwala na oszacowanie modelu liniowego lub sprowadzalnego do liniowego przedstawionego poniższym wzorem: y=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 Wzór na estymator metody najmniejszych kwadratów wygląda następująco: α = [(X T X) -1 ]X T Y. Odchylenie standardowe składnika resztowego modelu to najprostszy miernik dopasowania modelu do danych empirycznych. Wyjaśnia on w jaki sposób model wyjaśnia kształtowanie się dotychczasowych wartości zmiennej prognozowanej. Określa się go wzorem: S n 2 ( y ˆ t yt ) t 1 e, n m 1 gdzie: n liczba obserwacji, m liczba zmiennych objaśniających modelu bez zmiennej stojącej przy wyrazie wolnym modelu. Odchylenie standardowe składnika resztowego informuje o przeciętnych odchyleniach zaobserwowanych wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od odpowiadających im wartości teoretycznych wyznaczonych w modelu. Niemianowaną miarą opartą na odchyleniu standardowym składnika resztowego modelu jest współczynnik zmienności losowej w: gdzie: s - odchylenie standardowe składnika resztowego modelu, średnia arytmetyczna wartości zmiennej prognozowanej. Informuje on o tym, jaki procent wartości zmiennej prognozowanej modelu stanowi odchylenie standardowe składnika resztowego. Podobnie jak w przypadku odchylenia standardowego składnika resztowego modelu im mniejsze wartości tego miernika, tym lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych. 3. Proces budowy prognozy i modelu ekonometrycznego Proces prognostyczny jest procesem sekwencyjnym, przebiegającym zgodnie z określonym schematem postępowania. W projekcie został przyjęty 8-etapowy schemat 12

14 budowy i zastosowania prognozy w przedsiębiorstwie przedstawiony przez P. Dittmanna. Ma on następującą budowę [2]: I. sformułowanie zadania prognostycznego, polegające na określeniu zjawiska prognozowanego, celu budowy prognozy, zmiennej prognozowanej, okresu prognozy, horyzontu prognozy, interwału prognozy oraz wymagań dotyczących dopuszczalności (stopnia niepewności) prognozy, II. określenie przesłanek prognostycznych, polegające na wskazaniu czynników bliższego i dalszego otoczenia przedsiębiorstwa oraz elementów strategii przedsiębiorstwa, które wywierają wpływ na prognozowane zjawisko, a także na przyjęciu hipotez dotyczących oddziaływania tych czynników na kształtowanie się prognozowanego zjawiska w okresach objętych budową prognozy, III. zebranie danych prognostycznych, statystyczna obróbka danych prognostycznych, polegająca na transformacji (przekształceniu), agregacji bądź uzupełnieniu brakujących danych i statystyczna analiza danych prognostycznych, której celem jest z jednej strony identyfikacja prawidłowości będących podstawą budowy prognozy, z drugiej różniących się od nich obserwacji, które komplikują proces budowy prognoz, IV. wybór metody prognozowania, którego podstawę powinny stanowić przyjęte przesłanki prognostyczne, dostępne dane prognostyczne, zidentyfikowane w trakcie statystycznej analizy danych prawidłowości, wymagania dotyczące dokładności budowanych prognoz, własności metod prognozowania i dostępne oprogramowanie komputerowe, V. konstrukcja prognozy w oparciu o zbudowany model prognostyczny oraz wybraną regułę prognozowania, VI. ocena dopuszczalności prognozy za pomocą błędu ex ante, błędów ex post prognoz wcześniejszych lub wygasłych, wiarygodności prognozy, opisu słownego, VII. zastosowanie prognozy dla realizacji celu określonego w etapie pierwszym, VIII. ocena trafności prognozy na podstawie błędów ex post. Proces budowy modelu ekonometrycznego składa się z pięciu etapów, które jednak nie muszą być realizowane zgodnie z poniżej przedstawioną kolejnością [2]: wybór zmiennych objaśniających modelu, wybór postaci analitycznej modelu, estymacja parametrów modelu, weryfikacja modelu, 13

15 zastosowanie modelu (np. do skonstruowania prognozy). 4. Sformułowanie zadania prognostycznego Tworzona prognoza będzie dotyczyć wielkości sprzedaży samochodów dla firm na terenie województwa opolskiego. Problemem decyzyjnym jest kwestia opłacalności nowej inwestycji na Opolszczyźnie w postaci zlokalizowania na tym terenie oddziału salonu samochodowego X obsługującego klientów instytucjonalnych. Do tej pory firma X obsługiwała zarówno klientów indywidualnych jak i biznesowych. Jej udział w rynku opolskim pod względem obsługi klientów instytucjonalnych to 50%. Inwestora interesuje mechanizm zależności pomiędzy wysokością sprzedaży a jej determinantami, dlatego też w prognozowaniu będą stosowane metody ekonometryczne. Sporządzana prognoza dotyczy kształtowania się sprzedaży w 2013 r. Zmienną prognozowaną jest wielkość sprzedaży wyrażana ilościowo (szt.). Według badań działów sprzedaży, marketingu i działu finansowego aby zapewnić oczekiwany zwrot z inwestycji przy niezmienionym udziele w rynku, w ciągu roku prognozowany wzrost sprzedaży aut musi wynieść co najmniej 3076 szt. Dopuszczalny błąd prognozy to 5%. Prognoza ma charakter punktowy, co oznacza, że formułuje się ją w postaci określonej wartości jaką przyjmie zmienna prognozowana w przyszłości. Prognozowanie zaczyna się od 1 stycznia 2013 roku, a kończy 31 grudnia Okres prognozy to rok, interwał prognozy wynosi 0 (prognoza jednorazowa), natomiast horyzont to ostatni dzień prognozy czyli 31 grudnia Prognoza ma charakter krótkookresowy, tzn., że w trakcie jej trwania pojawią się tylko zmiany ilościowe. Ogólnie przyjmuje się, że prognozy krótkookresowe trwają od 1-3 miesięcy, a dla całej gospodarki do roku. Jednak należy pamiętać, że im większy obiekt, którego dotyczy prognoza tym większą wykazuje się on inercją. Przedmiotem badania jest pewna część gospodarki województwa opolskiego, co argumentuje wybór charakteru prognozy. W takim wypadku nawet w stosunkowo długim przedziale czasu prognozy można określać jako krótkookresowe. 14

16 5. Określenie przesłanek prognostycznych Aby określić przesłanki prognostyczne (hipotezy na temat zależności pomiędzy zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi) należy określić jakie czynniki wpływają na zmienną prognozowaną. Według sporządzonych wcześniej badań rynkowych wynika, że głównymi determinantami sprzedaży są: liczba firm na terenie Opolszczyzny, cena benzyny, cena oleju napędowego oraz wydatki salonów samochodowych na sprzedaż bezpośrednią. Czynniki te kandydują na zmienne objaśniające modelu. W tabeli 5.1 scharakteryzowano zmienne objaśniające i wysunięto hipotezy na temat ich powiązania ze zmienną prognozowaną. Tab Charakterystyka zmiennych objaśniających przesłanki prognostyczne. L.p Zmienne objaśniające liczba firm na terenie Opolszczyzny [szt.] cena benzyny [zł/l] cena oleju napędowego [zł/l] Charakterystyka Według badań i intuicji istnieje silny związek pomiędzy liczbą firm w woj. opolskim a sprzedażą samochodów dla klientów instytucjonalnych. Zakłada się, że im większa ilość firm tym większa sprzedaż aut. Firmy zakupują zarówno samochody osobowe jak i dostawcze. Wejście na rynek nowej firmy powinno wiązać się z koniecznością zakupu auta. Bankructwo wywołuje natomiast konieczność sprzedaży posiadanej floty i zwiększenie podaży na rynku samochodów używanych co może zaszkodzić wynikom sprzedaży samochodów nowych. Cena benzyny ma istotny wpływ na wysokość sprzedaży ponieważ duża część kupowanych samochodów dla firm, posiada silnik benzynowy (głównie auta osobowe). Małe wahania cen benzyny nie powinny jednak znacznie oddziaływać na popyt na samochody. Wartości tej zmiennej są wyrażane w cenach bieżących. Cena oleju napędowego to kolejny ważny czynnik wpływu na zmienną prognozowaną. Oddziaływanie to jest spowodowane faktem, iż znaczna część samochodów kupowanych przez firmy posiada silnik wysokoprężny (głównie samochody dostawcze). Małe wahania cen oleju napędowego nie powinny jednak wywołać znaczącego wzrostu czy spadku sprzedaży aut dla firm. Wartości tej zmiennej są wyrażane w cenach bieżących. 15

17 Tab Charakterystyka zmiennych objaśniających przesłanki prognostyczne, c.d. L.p. Zmienne objaśniające Charakterystyka Wydatki salonów na sprzedaż bezpośrednią potencjalnie mają spore znaczenie w kształtowaniu się wyników sprzedaży. Jest to szczególnie istotne w przypadku sprzedaży kierowanej do biznesowego segmentu rynku (B2B). Stale wzrastające oczekiwania klientów wymuszają zmianę filozofii sprzedaży w wydatki salonów kierunku budowania trwałych stabilnych relacji pomiędzy 4 samochodowych na dostawcą i klientem. Powszechną stała się świadomość, że proces sprzedaż bezpośrednią sprzedaży zaczyna się dopiero po zawarciu umowy z klientem. [zł] Przez sprzedaż bezpośrednią rozumie się przede wszystkim analiza potrzeb klienta, dobór dedykowanego rozwiązania, opieka posprzedażna itd. Wszystkie te elementy sprzedaży generują koszty dla salonów dealerskich, ale jednocześnie są źródłem zysku i wzrostu sprzedaży (założenie). Wartości tej zmiennej są wyrażane w cenach bieżących. 5 Pod uwagę wzięto również wielkość sprzedaży samochodów wielkość sprzedaży używanych, które stanowią substytut nowych aut. Jednak można samochodów używanych przypuszczać, że ten czynnik nie będzie miał dużego wpływu na firmom na terenie sprzedaż aut nowych, ponieważ firmy wolą kupować samochody Opolszczyzny [szt.] nowe, objęte gwarancją i w dobrym stanie technicznym. Przyjęta postawa pasywna zakłada, że związki pomiędzy zmienną prognozowaną a oddziałującymi na nią czynnikami są stałe. 6. Zebranie, statystyczna obróbka i analiza danych statystycznych Na tym etapie budowania prognozy zostaną przedstawione dane retrospektywne (z dziesięciu ostatnich lat poprzedzających okres prognozy), którymi dysponuje prognosta. Ich zestawienie zawiera tabela 6.1. Źródło pochodzenia danych jest dwojakie. Materiał badawczy został zaczerpnięty z publikacji Urzędu Statystycznego w Opolu, Centralnego Ośrodka Informacji Gospodarczej. Część danych pozyskano z zestawień zawartych w Internecie (wielkość sprzedaży nowych samochodów dla firm na terenie Opolszczyzny, ceny oleju napędowego i benzyny). Wysokość wydatków salonów samochodowych na sprzedaż 16

18 bezpośrednią oraz wielkość sprzedaży samochodów używanych firmom województwa opolskiego mają charakter szacunkowy. Nie są zatem w pełni wiarygodne. Oczywiście w rzeczywistej sytuacji nie można sobie pozwolić na tego typu przybliżenia, ponieważ zwiększałoby to błąd prognozy, obniżając jej jakość. Jednak wobec braku istotnych danych do zrealizowania celów projektu niniejsze postępowanie uznaje się za konieczne i prawidłowe. Zmienna objaśniana i zmienne objaśniające zostały oznaczone symbolami w celu ułatwienia dalszych zapisów: wielkość sprzedaży nowych samochodów dla firm [szt.] Y, liczba firm na terenie Opolszczyzny [szt.] - X 1, cena oleju napędowego [zł/l] - X 2, cena benzyny Pb95 [zł/l] - X 3, wydatki salonów samochodowych na sprzedaż bezpośrednią [mln zł] - X 4. Tab Wartości zmiennej prognozowanej (Y) i zmiennych objaśniających (X 1, X 2, X 3, X 4 ) w latach Okres Rok Y X 1 X 2 X 3 X ,60 2,31 7, ,73 2,46 7, ,92 2,87 8, ,85 4,01 9, ,81 4,49 10, ,68 4,70 10, ,62 4,27 10, ,18 4,48 12, ,98 5,10 13, ,49 5,56 14,57 Źródło: Opracowanie własne na podstawie [5] [6] [7] Kolejnym krokiem na tym etapie budowania prognozy jest obróbka i analiza dostępnych danych statystycznych. Zmienne objaśniające powinny być silnie powiązane przyczynowoskutkowo lub symptomatycznie ze zmienną prognozowaną oraz niepowiązane (albo jedynie słabo powiązane) między sobą. W celu ujawnienia współzależności pomiędzy zmienną objaśnianą a poszczególnymi zmiennymi objaśniającymi przedstawiono na pięciu wykresach 17

19 Wielkość sprzedaży [szt.] powiązania między nimi (rys ). Na osi rzędnych można odczytać wartość Y, natomiast na osi odciętych wartość danej zmiennej X n. Dla każdej kombinacji Y-X n obliczono współczynnik korelacji liniowej Pearsona r oraz współczynnik determinacji R 2 zakładając, że jego wartość krytyczna (R * ) powinna przekroczyć 0,7. Weryfikacja modeli zachodzi na podstawie sprawdzenia relacji: Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm (Y) a liczbą firm na terenie Opolszczyzny (X 1 ) y = 0,128x R² = 0, liczba firm na terenie Opolszczyzny [szt.] Rys Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm a liczbą firm na terenie Opolszczyzny w latach Obliczony współczynni korelacji liniowej Pearsona dla relacji Y-X 1 (rys. 6.1) wynosi 0,77, co świadczy o bardzo wysokiej korelacji tych zmiennych. Oznacza to również, że zmienna X 1 wstępnie mogłaby znaleźć się w modelu, ponieważ jest bardzo silnie powiązana ze zmienną prognozowaną. Warto dodać, że korelacja jest dodatnia. Zatem w przypadku wzrostu liczby firm, wzrośnie również sprzedaż nowych samochodów dla firm. Na wykresie zamieszczono również wzór funkcji liniowej opisujący zależność pomiędzy Y-X 1, a także współczynnik determinacji, który w omawianym przypadku przyjął wartość 0,60. Oznacza to, że zmienna X 1 dobrze wyjaśnia zmienność Y (w 60%). Jednak sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest niedopuszczalny ponieważ nie spełnia zadanego warunku. 18

20 wielkość sprzedaży [szt.] Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm (Y) a ceną oleju napędowego (X2) y = 681,25x - 775,85 R² = 0, ,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25 4,5 4,75 5 5,25 5,5 5,75 cena oleju napędowego [zł/l] Rys Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm a ceną oleju napędowego w latach Obliczony współczynni korelacji liniowej Pearsona dla relacji Y-X 2 (rys. 6.2) wynosi 0,85, co świadczy o bardzo wysokiej korelacji tych zmiennych. Oznacza również, że zmienna X 2 wstępnie mogłaby znaleźć się w modelu, ponieważ podobnie jak zmienna X 1, jest bardzo silnie powiązana ze zmienną prognozowaną. Korelacja ma charakter dodatni, a więc w przypadku wzrostu cen oleju napędowego wzrasta również sprzedaż nowych samochodów. Na wykresie zamieszczono również wzór funkcji liniowej opisujący zależność pomiędzy Y-X 2, a także współczynnik determinacji, który w omawianym przypadku przyjął wartość 0,72. Oznacza to, że zmienna X 2 bardzo dobrze wyjaśnia zmienność Y (w 72%). Sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest dopuszczalny ponieważ spełnia podany warunek. 19

21 wielkość sprzedaży [szt.] Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm (Y) a ceną benzyny (X3) y = 612,56x - 594,06 R² = 0, ,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25 4,5 4,75 5 5,25 5,5 5,75 6 cena benzyny [zł/l] Rys Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm a ceną benzyny w latach Obliczony współczynni korelacji liniowej Pearsona dla relacji Y-X 3 (rys. 6.3) wynosi 0,87, co świadczy o bardzo wysokiej korelacji tych zmiennych. Oznacza to również, że zmienna X 3 wstępnie mogłaby znaleźć się w modelu, ponieważ jest bardzo silnie powiązana ze zmienną prognozowaną. Dodatni charakter korelacji wskazuje na fakt wprost proporcjonalnej zależności pomiędzy Y a X 3, tzn. jeśli wzrasta cena benzyny, wzrasta również sprzedaż samochodów. Na wykresie zamieszczono również wzór funkcji liniowej opisujący zależność pomiędzy Y-X 3, a także współczynnik determinacji, który w omawianym przypadku przyjął wartość 0,76. Oznacza to, że zmienna X 3 bardzo dobrze wyjaśnia zmienność Y (w 76%). Sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest dopuszczalny ponieważ spełnia podany warunek. 20

22 wielkość sprzedaży [szt.] Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm (Y) a wydatkami salonów samochodowych na sprzedaż bezpośrednią (X 4 ) y = 313,7x ,6 R² = 0, wydatki opolskich salonów samochodowych na sprzedaż [mln zł] Rys Zależność pomiędzy wielkością sprzedaży nowych samochodów dla firm a wydatkami opolskich salomów samochodowych na sprzedaż bezpośrednią w latach Obliczony współczynni korelacji liniowej Pearsona dla relacji Y-X 4 (rys. 6.4) wynosi 0,95, co świadczy o niemal pełnej korelacji tych zmiennych. Oznacza to również, że zmienna X 4 powinna znaleźć się w modelu, ponieważ jest najsilniej powiązana ze zmienną prognozowaną. Na wykresie zamieszczono również wzór funkcji liniowej opisujący zależność pomiędzy Y-X 4, a także współczynnik determinacji, który w omawianym przypadku przyjął wartość 0,90. Oznacza to, że zmienna X 4 niemal idealnie wyjaśnia zmienność Y (w 90%). Sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest dopuszczalny ponieważ spełnia podany warunek. 21

23 7. Wybór metody prognozowania Na tym etapie tworzenia prognozy określona zostaje metoda prognozowania, która obejmuje budowę modelu prognostycznego i reguły prognozowania. Pierwszym krokiem będzie zatem wybranie zmiennych do modelu. Estymacja parametrów modelu zostanie przeprowadzona w oparciu o: metodę Hellwiga, czyli metodę optymalnego wyboru predykant, klasycznę metodę najmniejszych kwadratów (KMNK) Metoda Hellwiga Punktem wyjścia w metodzie Hellwiga jest wektora R 0 i macierzy R współczynników korelacji (tab. 7.1, 7.2). Wszystkie dalsze obliczenia wykonywane będą za pomocą programu MS Excel. Współczynniki korelacji zmiennych objaśniających X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 ze zmienną objaśnianą Y tworzą wektor współczynników korelacji R 0. Natomiast współczynniki korelacji zmiennych objaśniających X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 między sobą tworzą macierz współczynników korelacji R. Tab Wektor współczynników korelacji R 0 Y 0, X 1 R 0 0, X 2 0, X 3 0, X 4 Tab Macierz współczynników korelacji R X1 X2 X3 X4 X1 1 0, , , X2 0, , , X3 0, , , X4 0, , , Wobec istnienia pięciu zmiennych objaśniających wysokość sprzedaży nowych aut, liczba możliwych kombinacji w zbiorze zmiennych objaśniających wynosi: 22

24 . W tab. 7.3 zamieszczono obliczone w Excelu integralne wskaźniki pojemności nośników informacji H dla poszczególnych kombinacji zmiennych objaśniających. Kombinacją o największej pojemności okazał się podzbiór {X 4 }, dla którego H=0,90. Oznacza to, że zmienna X4 jest zmienną objaśniającą o najlepszej pojemności informacji i jako jedyna powinna znaleźć się w modelu ekonometrycznym. Wówczas miałby on postać: Tab Obliczenie integralnych wskaźników pojemności nośników informacji H dla poszczególnych kombinacji zmiennych objaśniających. Nr kombinacji C Zmienne występujące w danej kombinacji Indywidualne wskaźniki pojemności nośników informacji h Integralne wskaźniki pojemności nośników informacji H 1 {X 1 } 0, , {X 2 } 0, , {X 3 } 0, , {X 4 } 0, , {X 1, X 2 } 0, , , {X 1, X 3 } 0, , , {X 1, X 4 } 0,3345 0, , {X 2, X 3 } 0, , , {X 2, X 4 } 0, , , {X 3, X 4 } 0, , , {X 1, X 2, X 3 } 0, , , , {X 1, X 2, X 4 } 0, , , , {X 2, X 3, X 4 } 0, , , ,

25 Tab Obliczenie integralnych wskaźników pojemności nośników informacji H dla poszczególnych kombinacji zmiennych objaśniających, c.d. Nr kombinacji C Zmienne występujące w danej kombinacji 14 {X 1, X 3, X 4 } 15 {X 1, X 2, X 3, X 4 } Indywidualne wskaźniki pojemności nośników informacji h 0, , , , , , , Integralne wskaźniki pojemności nośników informacji H 0, , Wynik uzyskany za pomocą metody Hellwiga pokrywa się z tym, który został otrzymany w wyniku analizy korelacji zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej. Znając zmienną dostarczającą najwięcej informacji o zmiennej prognozowanej, można przejść do określenia wzoru funkcji stanowiącej model formalny prognozy. W poprzednim rozdziale określono współczynniki korelacji liniowej Pearsona dla kombinacji poszczególnych zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą. Zależności przedstawiono na wykresie i skorzystano z polecenia MS Excela Wyświetl równanie na wykresie. Stąd wiadomo, że wykres funkcji stanowiącej model ma postać: Natomiast współczynnik determinacji R 2 wynosi 0,90, co oznacza, że zmienna X 4 niemal idealnie wyjaśnia zmienność Y (w 90%). Sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest dopuszczalny ponieważ przekracza wartość krytyczną współczynnika determinacji Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) Druga metoda, jaka zostanie zastosowana, to regresja liniowa. Pozwoli ona określić, które zmienne mogą wejść do modelu. Po zakończeniu analizy, wyniki z metody najmniejszych kwadratów zostaną porównane z rezultatami użycia metody Hellwiga. 24

26 Obliczenia wykonywane będą w programie MS Excel za pomocą dodatku Analysis Toolpak, a także samodzielnie zgodnie z algorytmem szacowania parametrów strukturalnych modelu. Proces obliczeniowy rozpoczyna się od przedstawienia wartości zmiennej prognozowanej (wektor Y) i zmiennych objaśniających w macierzach. Wyrazowi wolnemu odpowiada zmienne jedynkowa, dla której wszystkie obserwacje przyjmują wartość 1:, Kolejnym krokiem jest transpozycja macierzy X T oraz obliczenie macierzy momentów X T X (tab. 7.4 i 7.5). Tab Transpozycja macierzy X T. X T X X2 2,6 2,73 2,92 3,85 3,81 4,68 3,62 4,18 4,98 5,49 X3 2,31 2,46 2,87 4,01 4,49 4,7 4,27 4,48 5,1 5,56 X4 7,25 7,9 8,63 9,65 10,32 10,6 10,83 12,95 13,01 14,57 Tab Macierz momentów X T X. X T X ,86 40,25 105,71 X X2 38, ,14 159, , ,811 X3 40, ,65 165, , ,4232 X4 105, ,29 429, , ,971 25

27 Na dalszym etapie postępowania należy odwrócić macierz momentów X T X. Aby przekonać się czy jest to możliwe, trzeba obliczyć wyznacznik macierzy, który musi być różny od zera. Wyznacznik macierzy det X T X = , zatem istnieje macierz odwrotna do X T X (tab. 7.6). Tab Macierz odwrotna do X T X. (X T X) -1 97, , , , , X1-0, ,50644E-08-6,31E-05 5,32E-05-2,3E-05 X2 4, ,3095E-05 1, , ,05405 X3-3, ,32072E-05-1, , ,24672 X4 1, ,2702E-05-0, , , W następnej części metody wylicza się iloczyn macierzy X T Y (tab. 7.8) oraz wektor b (tab. 7.8). Na podstawie wektora b, czyli parametrów strukturalnych określa się model ekonometryczny. Tab Iloczyn macierzy X T Y. X T Y X X ,72 X ,53 X ,34 Tab Wektor b. b -3347,07 X1 0, X2-362,1631 X3 233,8338 X4 310,3019 Wyniki wygenerowane przez dodatek Analysis Toolpak przedstawiono w tab Pokrywają się one z tymi, które wykonano samodzielnie na podstawie algorytmu szacowania 26

28 parametrów strukturalnych modelu. Mogą one posłużyć do budowy modelu liniowego dla omawianego zjawiska. Zgodnie z otrzymanymi współczynnikami postać modelu formalnego będzie wyglądała następująco:. Tab Wyniki otrzymane w wyniku zastosowania dodatku Analysis Toolpak. Współczynniki Błąd standardowy Przecięcie -3347, , Zmienna X 1 0, , Zmienna X 2-362, , Zmienna X 3 233, , Zmienna X 4 310, , Co ciekawe przy analizie regresji Analysis Toolpak wygenerował dodatkową tabelę zawierającą statystykę wprowadzanych do modelu zmiennych (tab.7.10). Jedną z podanych wartości jest obliczony współczynnik determinacji R 2, który informuje o stopniu dopasowania modelu do danych empirycznych. Jak widać ma on wysoką wartość (0,92). Sprawdzając relację dochodzi się do wniosku, że model jest dopuszczalny ponieważ przekracza wartość krytyczną współczynnika determinacji. Tab Statystyki regresji wygenerowane za pomocą dodatku Analysis Toolpak. Statystyki regresji Wielokrotność R 0, R kwadrat 0, Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 296, Obserwacje 10 W podsumowaniu dotychczasowego postępowania należy wyłonić model, który najlepiej będzie odzwierciedlał całkowitą zmienność zmiennej prognozowanej. Dokonując porównania współczynników determinacji modelu, uzyskanych w wyniku zastosowania metody Hellwiga (R 2 = 0,90) oraz KMNM (R 2 = 0,92), dochodzi się do wniosku, że lepszym modelem będzie ten określony na podstawie klasycznej metody najmniejszych kwadratów. Jednak współczynnik determinacji modelu: 27

29 jest niewiele wyższy od współczynnika determinacji modelu, który ma znacznie prostszą budowę. Wymaga on też znajomości wartości tylko jednej zmiennej objaśniającej, co stanowi duże ułatwienie w przypadku, gdy zdecydowano by się budować prognozę w kolejnych okresach. Jednak w danej sytuacji, kiedy prognoza będzie tworzona tylko raz na potrzeby rozwiązania konkretnego problemu decyzyjnego postać analityczna będzie bardziej właściwa. Zatem do dalszego etapu zostaje zakwalifikowany model sporządzony w oparciu o klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Na tym etapie zostanie ocenione w jakim stopniu szacowany model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej prognozowanej oraz sprawdzenie doboru postaci analitycznej. Narzędziami służącymi do tego celu są: współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji, odchylenie standardowe składnika resztowego modelu oraz współczynnik zmienności losowej Współczynnik determinacji i współczynnik zbieżności W związku z tym, że w poprzednim rozdziale został obliczony współczynnik determinacji a także wykazano dopuszczalność modelu w oparciu o poniższą relację:, obliczony zostanie tylko współczynnik zbieżności. Jest to miara, która określa jaka część zmiennej objaśniającej nie została wyjaśniona przez model. Można również powiedzieć, że współczynnik zbieżności opisuje tę część zmienności zmiennej objaśnianej, która wynika z jej zależności od innych czynników niż uwzględnione w modelu. Oblicza się go na dwa sposoby. Pierwszy w oparciu o wzór [4]: gdzie: y t rzeczywista wartość zmiennej y w momencie t,, Można również skorzystać z zależności: Z racji tego, że współczynnik determinacji został już wcześniej obliczony, można skorzystać z powyższej relacji, zatem: 28

30 Podany wynik (0,08) wskazuje na to, że tylko w 8% zmienna prognozowana jest objaśniana przez inne zmienne. Model można więc uznać za dopuszczalny Odchylenie standardowe składnika resztowego modelu Odchylenie standardowe składnika resztowego modelu charakteryzuje wzór [2]: S n 2 ( y ˆ t yt ) t 1 e, n m 1 gdzie: n liczba obserwacji, m liczba zmiennych objaśniających modelu bez zmiennej stojącej przy wyrazie wolnym modelu. - wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu), y wartość empiryczna zmiennej objaśnianej. Wektor wartości teoretycznych oblicza się mnożąc macierz obserwacji zmiennych objaśniających X oraz wektor b (wektor kolumnowy ocen parametrów strukturalnych). W wyniku tej operacji otrzymuje się wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej (tab. 7.11). Tab Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej (wektor ). Y , , , , , , , , , ,147 =1871,5 29

31 Wartość progowa s * została określona przez inwestora na 280 szt. to stanowi 15% średniej arytmetycznej wartości zmiennej prognozowanej. Mając podstawowe dane oblicza się odchylenie standardowe składnika resztowego modelu: Wartość odchylenia standardowego składnika resztowego modelu informuje, że przeciętne odchylenie zaobserwowanych wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od odpowiadających im wartości teoretycznych z modelu, wynosi ok. 271 szt. aut. W związku z tym, że wynik jest mniejszy od ustalonej wcześniej wartości progowej można uznać, że model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych Współczynnik zmienności losowej Współczynnik zmienności losowej jest oparty na odchyleniu standardowym składnika resztowego modelu. Definiuje się go wzorem [2]: gdzie: s - odchylenie standardowe składnika resztowego modelu, średnia arytmetyczna wartości zmiennej prognozowanej. Średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej (y t ) wynosi 1871,5 (tab. 7.1). Wartość progowa w * została ustalona przez inwestora i wynosi ona 15%. W przypadku wybranego modelu współczynnik zmienności losowej kształtuje się następująco: Wartość odchylenia standardowego składnika resztowego stanowi 14,5% modelu, co jest wartością akceptowalną. Odnosząc wynik do wartości progowej ustalonej przez inwestora, stwierdza się, że model jest dostatecznie dopasowany do przebiegu zmienności zmiennej prognozowanej. 30