Weryfikacja hipotez: Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji. o prawdziwości którego
|
|
- Marta Wójtowicz
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Weryfikacja hipotez: Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji. o prawdziwości którego decyduje się na podstawie losowej próbki. Hipotezy, które dotyczą wyłącznie wartości parametru (parametrów) nieznanego rozkładu nazywamy parametrycznymi, wszystkie pozostałe, nieparametrycznymi. Jeżeli hipoteza parametryczna precyzuje dokładne wartości nieznanych parametrów, to nazywamy ją prostą, a w przeciwnym przypadku, złożoną. Test statystyczny jest to reguła postępowania, która każdej próbie losowej przyporządkowuje, z ustalonym prawdopodobieostwem, decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej hipotezy. Hipotezą zerową nazywamy hipotezę bezpośrednio sprawdzaną, a hipotezą alternatywną, hipotezę do niej konkurencyjną (tzn. taką, którą jesteśmy skłonni przyjąd, jeżeli hipotezę zerową należy odrzucid). Istota budowy testu statystycznego polega na uniknięciu błędu pierwszego rodzaju tzn. odrzuceniu hipotezy prawdziwej, jak i drugiego rodzaju, tzn. przyjęciu hipotezy fałszywej. Niech (X 1, X,, X n ) będzie próbą prostą z populacji generalnej. Mówimy, że statystyka Z(X 1, X,, X n ) jest statystyką testową dla hipotezy H 0, jeżeli jej rozkład jest znany przy założeniu prawdziwości H 0 i uwzględnia wszystkie wiadomości a priori dotyczące rozkładu badanej cechy. Przy pobieraniu różnych próbek statystyka testowa może przyjąd różne wartości, jedne sugerujące prawdziwośd testowanej hipotezy, a inne jej przeczące. Zbiór wszystkich obserwacji dzielimy więc na dwa rozłączne podzbiory Q i Q takie, że jeżeli Z(x 1, x,, x n ) Q hipotezę odrzucamy (Q nazywamy zbiorem krytycznym lub odrzuceo) jeżeli Z(x 1, x,, x n ) Q hipotezę przyjmujemy (Q nazywamy zbiorem przyjęd hipotezy)
2 Z przyjęciem lub odrzuceniem hipotezy wiąże się zawsze pewne ryzyko popełnienia błędu ponieważ na podstawie próbki nie mamy pełnej informacji o całej populacji. Oznaczmy przez P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = prawdopodobieostwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = prawdopodobieostwo popełnienia błędu drugiego rodzaju Oczekujemy, aby obydwa prawdopodobieostwa błędów były jak najmniejsze, ale nie można przy ustalonej liczności próbki zmniejszad obydwu prawdopodobieostw jednocześnie. Ustalamy, więc z góry małą wartośd prawdopodobieostwa ( przyjmuje się = 0.01 lub = 0.05) i przy ustalonym, nazywanym poziomem istotności testu, dobieramy zbiór Q tak, aby zminimalizowad. Zauważmy, że = P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 1 ) = = 1 - P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 1 ), gdzie H 1 jest hipotezą alternatywną do H 0 Test, który przy ustalonym poziomie istotności minimalizuje prawdopodobieostwo błędu drugiego rodzaju nazywamy testem najmocniejszym hipotezy H 0 względem hipotezy H 1. Aby skonstruowad test pozwalający zweryfikowad hipotezę H o należy: 1. wybrad statystykę testową stosowną dla hipotezy. ustalid poziom istotności testu 3. określid hipotezę alternatywną 4. wyznaczyd zbiór krytyczny tak, aby zminimalizowad prawdopodobieostwo błędu drugiego rodzaju Niech hipoteza parametryczna H 0 : θ = θ 0 dotyczy pewnego parametru w rozkładzie cechy X Zbiorem krytycznym dla H 0 będzie Q taki, że P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ 0 ) =
3 Oznaczmy przez M(,Q) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ). Funkcja ta traktowana jako funkcja parametru nazywana jest mocą testu, przy czym M(θ 0, Q) =. Jeżeli hipotezą alternatywną jest hipoteza prosta H 1 : θ = θ 1, to M(θ 1, Q) = 1 -, czyli moc w punkcie θ 1 powinna byd jak największa. Jeżeli hipotezą alternatywną jest hipoteza prosta H 1 : θ A, to zbiór Q powinien byd tak dobrany, aby moc w zbiorze A była jak największa. Zamiast mocy testu można rozważad charakterystykę testu tzn. funkcję określoną wzorem L(,Q) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ). Oczywiście zachodzi związek L(,Q) = 1 - M(,Q) oraz L(θ 0,Q) = 1 - i L(θ 1,Q) = Np. Populacja ma rozkład normalny N(m, ) o znanej wariancji σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 na podstawie 5 elementowej próby, przy wykorzystaniu statystyki testowej U= X;m 0 n = 5(X;m 0) o rozkładzie normalnym N(0,1). Wyznacz moc testu na poziomie σ σ = 0.05 w przypadku, gdy Q = [c, ) dla P(U c m 0 ) =, a następnie gdy Q 1 = ( -, - c 1 ] [c 1, ) dla P( U c 1 m 0 ) =. z tablic kwantyli rozkładu normalnego N(0,1) odczytujemy c = 1.64 ( 1 - (c) = 0.05) oraz c 1 = 1.96 ( 1 - (c 1 ) + (- c 1 ) = 0.05) czyli Q = [1.64, ), a Q 1 = ( -, ] [ 1.96, ) M(m,Q) = P(U 1.64 m) = P( 5(X;m o) σ gdzie = 5(m;m 0) σ M(m,Q 1 ) = P( U 1.96 m) = P( 5 X;m o σ 1.64 m) = P( 5(X;m) σ 1.96 m) = P( 5(X;m) σ (m;m 0) ) = 1- ( ), σ (m;m 0) ) = σ
4 = 1- ( ) + ( ). dla < 0 test ze zbiorem krytycznym Q ma moc większą, a dla > 0 mniejszą jeżeli hipotezą alternatywną jest H 1 m > m 0 ( < 0), to lepszy jest test ze zbiorem Q jeżeli jednak H 1 m m 0, to lepszy będzie test z Q 1 gdyż daje nieznacznie gorszy wynik dla m < m 0, a dużo lepszy dla m > m 0 M(m,Q) M(m,Q 1 ) Testem istotności nazywamy test, dla którego nie analizujemy prawdopodobieostwa błędu drugiego rodzaju, a prawdopodobieostwo błędu pierwszego rodzaju jest małe i równe ustalonemu z góry poziomowi istotności. Czyli, jeżeli wartośd statystyki testowej wpadnie do zbioru krytycznego, to można twierdzid, że zaszło zdarzenie o bardzo małym prawdopodobieostwie i weryfikowaną hipotezę możemy odrzucid, jeżeli jednak wartośd statystyki nie leży w zbiorze krytycznym, to możemy jedynie twierdzid, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. W testach istotności stawiamy taką hipotezę, co do której podejrzewamy, że jest fałszywa.
5 Testy istotności dla wartości oczekiwanej: Model I. populacja ma rozkład normalny N(m, ) ze znanym. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0. wybieramy statystykę testową U = X;m 0 σ n, która przy założeniu m = m 0 ma rozkład normalny N(0,1) 1. najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H 1 jest tzw. test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u α ], gdzie u α jest kwantylem rzędu rozkładu N(0,1). najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H jest tzw. test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [u 1;α, ), gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1) 3. najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H 3 jest tzw. test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1; 1 α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy (co nie oznacza, że hipoteza jest prawdziwa). Np. z populacji, która ma rozkład normalny N(m,4) wylosowano 9 elementową próbkę i obliczono jej wartośd średnią x = 1.4. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : m = przy hipotezie alternatywnej H 1 : m <
6 Wartośd statystyki testowej U x 1,, x 9 = 1.4; 4 9 = 0.45 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q =, u 0.05 ponieważ u α = u 1;α, z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.64 Q =, 1.64 ponieważ U x 1,, x 9 Q, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 Model II. populacja ma rozkład normalny N(m, ), gdzie jest nieznane. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0. wybieramy statystykę testową t = X;m 0 t- Studenta o n-1 stopniach swobody S n 1, która przy założeniu m = m 0 ma rozkład 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1;α ], gdzie t 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu t-studenta o n-1 stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [t 1;α, ) 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1 1; α] [t 1; 1 α, ), gdzie t 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu t-studenta o n-1 stopniach swobody Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej t należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
7 Np. Zakładając, że czas użytkowania ubrao ochronnych ma rozkład normalny, na poziomie istotności 0.01 zweryfikuj hipotezę H 0 : m = 150 przy H 1 : m < 150 na podstawie próbki o liczności 65 z wyliczoną wartością średnią x = 139 i odchyleniem standardowym s = 9.8 obliczając wartośd statystyki testowej t x 1,, x 65 = 139; = 8.98 wybieramy test jednostronny ze zbiorem krytycznym Q =, t 0.99 z tablic kwantyli dla rozkładu t-studenta o 64 stopniach swobody odczytujemy t 0.99 =.389 ponieważ t x 1,, x 65 Q, to hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej H 1 Model III. populacja ma rozkład dowolny o nieznanym odchyleniu standardowym <. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0, przy liczności próby n 100. weryfikację hipotezy w tym modelu przeprowadzamy tak jak w modelu I, przyjmując nieznane s, gdzie s jest wartością wyznaczoną z próbki. Np. Zmierzono długości 198 włókien bawełny, otrzymując szereg rozdzielczy. Na poziomie istotności 0.01 zweryfikuj hipotezę H 0 : m =4 przy H 1 : m 4 Nr klasy x i n i x = 4.8, s = 8.5, U x 1,, x 198 = 4.8;4 198 = wybieramy test obustronny ze zbiorem krytycznym Q =, u [u 0.995, )
8 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u =.58 Q =,.58 [.58, ) ponieważ U x 1,, x 198 Q, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wariancji: Model I. populacja ma rozkład normalny N(m, ) z nieznanymi m i a licznośd próby n < 50 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wybieramy statystykę testową χ = ns σ, która przy założeniu σ = σ 0 ma rozkład chi-kwadrat 0 o n-1 stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (0, α ], gdzie α jest kwantylem rzędu rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [ 1;α, ), gdzie 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (0, 1 α] [ 1; 1 α, ), gdzie 1 α, 1; 1 α są kwantylami rzędu 1 α i 1-1 rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej χ należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.
9 Np. Zakładając, że dokładnośd pomiarów pewnym urządzeniem ma rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 0.06 wobec hipotezy H 1 : σ 0.06 na podstawie próby ośmiu pomiarów: 18.17, 18.1, 18.05, 18.14, 18.19, 18., 18.06, obliczamy s = i stąd wartośd statystyki χ x 1,, x 8 = = z tablic kwantyli rozkładu chi-kwadrat o 7 stopniach swobody odczytujemy 0.05 = 1.69, = czyli Q = (0,1.69] [16.013, ) ponieważ χ x 1,, x 8 Q nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy Model II. populacja ma rozkład normalny N(m, ) z nieznanymi m i a licznośd próby n 50 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wykorzystujemy fakt, że statystyka ns σ 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N( n 3, 1) wybieramy statystykę testową U = ns σ n 3, która przy założeniu σ = σ 0 ma rozkład 0 asymptotycznie normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α,
10 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 ) α, Np. Zakładając, że rozkład odległości trafieo do tarczy od jej środka jest normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 100 wobec H 1 : σ > 100 na podstawie próby 50 strzałów do tarczy z obliczoną wariancją s = obliczamy U x 1,, x 50 = = z tablic kwantyli rozkładu normalnego odczytujemy u 0.95 = 1.64, czyli Q = [1.64, ) ponieważ U x 1,, x 50 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Model II. populacja ma rozkład dowolny o wariancji σ <, a licznośd próby n 100 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wybieramy statystykę testową U = S ;σ 0 Zbiory krytyczne określamy jak w modelu II. σ 0 n, która ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1). Np. Z populacji o nieznanym rozkładzie pobrano 450 elementową próbkę i obliczono s = Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 16 wobec H 1 : σ < 16 obliczamy U x 1,, x 450 = 14.9; = 1.03
11 u 0.95 = 1.64 Q = ( -, ] ponieważ U x 1,, x 450 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla współczynnika struktury: Model: populacja ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę H 0 : θ = θ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : θ < θ 0, H : θ > θ 0, H 3 : θ θ 0. test opieramy na statystyce θ = k, gdzie k jest liczbą elementów wyróżnionych w próbie n o liczności n Przypadek 1. licznośd próby n 100 wybieramy statystykę testową U = k;nθ 0 nθ 0 (1;θ 0 ), która przy założeniu słuszności hipotezy H 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1) (przybliżenie jest wystarczająco dokładne dla nθ 0 50) Przypadek. licznośd próby n < 100 korzystamy z faktu, że dla k 0 i k n statystyka φ = arcsin k n przy założeniu prawdziwości H 0 ma rozkład bliski rozkładowi normalnemu N(arcsin θ 0, 1 n ) wybieramy statystkę U = (arcsin k n arcsin θ 0) n, która ma rozkład bliski N(0,1) w obydwu przypadkach zbiory krytyczne dobieramy tak samo
12 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 ) α, Np. 1. W pewnej miejscowości sprawdzono 300 mieszkao i w 54 z nich był telefon stacjonarny. Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę dla frakcji mieszkao z telefonami H 0 : θ = 0.4 wobec H 1 : θ 0.4 ponieważ = stosujemy przypadek U x 1,, x 300 = = 7.78 z tablic odczytujemy u = 1.96 Q = ( -, -1.96] [1.96, ) ponieważ U x 1,, x 300 Q hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy H 1. Przy badaniu symetryczności monety (moneta jest symetryczna prawdopodobieostwa wyrzucenia orła i reszki są równe) wykonano 0 rzutów tą monetą i 1 razy wypadł orzeł. Na poziomie istotności = 0.01 dla parametru symetrii zweryfikuj hipotezę H 0 : θ = 0.5 wobec H 1 : θ 0.5 ponieważ n jest małe, stosujemy przypadek. U x 1,, x 0 = ( arcsin 0.6 arcsin 0.5) 0 = 0.901
13 z tablic odczytujemy u =.58 Q = ( -, -.58] [.58, ) ponieważ U x 1,, x 0 Q, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 Test istotności dla wariancji w dwóch populacjach: Model. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi m 1, m, σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ 1 = σ wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ 1 > σ, H : σ 1 < σ, H 3 : σ 1 σ. z obydwu populacji wybieramy dwie niezależne próbki o licznościach n 1 i n wybieramy statystykę testową F = S 1 S = n1 n1;1 S 1 n n;1 S = 1 n1;1 1 n;1 n1 i<1 n i<1 (X 1i ;X 1 ) (X i ;X ), która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład Snedecora o (n 1 1, n 1) stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = f 1;α,, gdzie f 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Snedecora o o (n 1 1, n 1) stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H skorzystamy ze statystyki pomocniczej F = 1, która ma rozkład F Snedecora o (n 1, n 1 1) stopniach swobody wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = f 1;α,, gdzie f 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Snedecora o o (n 1, n 1 1) stopniach swobody Uwaga: f 1;α = 1 f α 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 skorzystamy ze statystyki pomocniczej F = max (S 1,S ) min (S 1,S ), która ma rozkład Snedecora o (n l 1, n m 1) stopniach swobody, gdzie n l jest licznością próbki, której
14 wariancja występuje w liczniku, a n m licznością próbki z wariancją z mianownika wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [f 1 1;, ), gdzie f α 1 1; jest α kwantylem rzędu 1-1 rozkładu Snedecora o o (n l 1, n m 1) stopniach swobody Np. Wykonano dwiema metodami pomiary średnicy włókien otrzymując 1 metodą: n 1 = 0, s 1 = 3.8 i metodą: n = 8, s = 4.1. Zakładając normalnośd rozkładów, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że obydwie metody są jednakowo dokładne ( H 0 : σ 1 = σ ) wobec hipotezy H 1 : σ 1 < σ wybieramy statystykę testową F = S S i zbiór krytyczny Q = *f 0.95, ) 1 z tablic kwantyli rozkładu Snedecora o (7,19) stopniach swobody odczytujemy f 0.95 =.63 czyli Q = [.63, ), a F y 1,, y 8, x 1,, x 0 = 4.1 = 1.08 Q i nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wariancji w wielu populacjach: Model. populacje mają rozkłady normalne N(m i, σ i ), i=1,,k. Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ 1 = = σ k wobec hipotezy alternatywnej H 1 : nie wszystkie wariancje są równe z wszystkich populacji wybieramy k niezależnych próbek o licznościach n 1,, n k 3.8
15 1. Test Barltletta oznaczamy przez x ij j-tą obserwację w i-tej próbie x i = 1 n i obliczamy n = n i x ij, s i = 1 x j<1 n i ;1 ij x i j<1 n i<1 n i, c = k ( 1 1 3(k;1) i<1 n i ;1 n;k wybieramy statystykę testową χ =.303 [ n k log c n i k i<1, i = 1,..., k n i ;1 S i n;k k i<1 n i 1 logs i ], która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład asymptotyczny chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody zbiorem krytycznym dla tego testu jest Q = [ 1;α, ), gdzie 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu chi-kwadrat o k-1 stopniach swobody Uwaga: dla prób o jednakowych licznościach c = 1 + k:1 3(n;k) > 1 jeżeli wartośd statystyki nie należy do zbioru krytycznego dla c = 1, to tym bardziej nie należy do Q dla c > 1 (nie ma wtedy potrzeby obliczania c).. Test Hartleya jeżeli liczności wszystkich próbek są równe n 1 = = n k = n 5 wybieramy statystykę testową H = max (S i ) = max (S min (S i ), dla której zbiorem krytycznym jest *H i ) min (S i ) 1;α k, n, ), gdzie H 1;α k, n jest kwantylem rzędu 1 - statystyki Hartleya przy danych k i n wartości tych kwantyli sa stablicowane.
16 3. Test Cochrana jeżeli liczności wszystkich próbek są równe n 1 = = n k = n 5 wybieramy statystykę testową G = max (S i ) = max (S i ), dla której zbiorem krytycznym jest *G 1;α k, n, ), gdzie G 1;α k, n jest k S i<1 i k S i<1 i kwantylem rzędu 1 - statystyki Cochrana przy danych k i n wartości tych kwantyli są stablicowane Np. Zakładając, że rozkłady ocen z egzaminu są normalne, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę o równości wariancji ocen wszystkich studentów trzech wybranych wydziałów, jeżeli wybrano do testu po 30 studentów każdego wydziału i obliczono wariancje ocen na wydziałach: s 1 = 1.4, s = 0.9, s 3 = 1.1 Do testu Bartletta obliczamy s 1 = = 1.448, s 30;1 = = 0.931, s 30;1 3 = = 1.138, 3 s 30;1 i<1 i = logs 1 = , logs = , logs 3 = , 3 i<1 logs i = χ (x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 ) = log = 1.46 c 87 c z tablic kwantyli rozkładu chi-kwadrat o stopniach swobody odczytujemy 0.95 = Q = [5.991, ), a ponieważ χ (x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 ) Q dla c = 1, to tym bardziej dla c > 1 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Do testu Hartleya obliczamy H x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 = = 1.556, z tablic kwantyli rozkładu Hartleya dla k=3, n=30 odczytujemy H ,30 =.4 Q = [.4, ) i H x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 Q
17 Do testu Cochrana obliczamy G x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 = :0.9:1.1 = 0.41, z tablic kwantyli rozkładu Cochrana odczytujemy G ,30 = Q = [0.497, ) i G x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 Q w obydwu testach nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wartości oczekiwanych w dwóch populacjach: Model I. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) ze znanymi σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. z obydwu populacji wybieramy dwie niezależne próbki o licznościach n 1 i n wybieramy statystykę testową U = X 1;X, która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma σ 1 n1 :σ n rozkład normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do
18 odrzucenia hipotezy. Np. Na dwóch różnych wagach zważono po 10 odcinków przędzy i uzyskano rezultaty na 1 wadze: 5.5, 5.98, 5.98, 5.58, 5.35, 5.59, 5.41, 5.81, 5.95, 5.7 i na wadze: 5.31, 5.13, 5.64, 5.89, 5.17, 5.18, 5.7, 5.73, 5.08, 5.4. Wiadomo, że wariancja mas na 1 wadze wynosi σ 1 = 0.06, a na drugiej σ = Zakładając, że rozkład mas jest normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : m 1 = m wobec H 1 : m 1 m. obliczamy x 1 = 5.65, x = 5.36 oraz U x 1,, x 10, y 1,, y 10 = 5.65; : =.54 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.96 Q = ( -, ] [1.96, ) ponieważ U x 1,, x 10, y 1,, y 10 Q, to hipotezę odrzucamy Model II. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi, ale równymi σ 1 = σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. Jeżeli nie wiemy, czy wariancje są równe, to najpierw, na zadanym poziomie istotności, weryfikujemy hipotezę pomocniczą o równości wariancji σ 1 = σ i jeżeli nie będzie odrzucona, przechodzimy do weryfikacji hipotezy o równości wartości średnich. wybieramy statystykę testową t = X 1 ;X n1s 1 :n S n1:n; n 1:n n1 n ma rozkład t-studenta o n 1 + n stopniach swobody, która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0
19 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1;α ], gdzie t 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu t-studenta o n 1 + n stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = t 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1 1; α] [t 1; 1 α, ), gdzie t 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu t-studenta o n 1 + n stopniach swobody Np. Zakładamy, że stopieo sprania tkaniny ma rozkład normalny. Zweryfikuj hipotezę, że stopieo sprania tkaniny płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia sprania tej tkaniny proszkiem na poziomie istotności = 0.05, jeżeli wykonano pomiary stopnia sprania 10 wycinków pranych płatkami: 74.8, 75.1, 73.0, 7.8, 76., 74.6, 76.0, 73.4, 7.9, 71.6 oraz 7 wycinków pranych proszkiem: 56.9, 57.8, 54.6, 59.0, 57.1, 58., 57.6 zweryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec H 1 : m 1 > m obliczamy x 1 = 74.0, s 1 =.08, n 1 = 10, x = 57.3, s = 1.65, n = 7 sprawdzamy hipotezę o równości wariancji K 0 : σ 1 = σ wobec K 1 : σ 1 σ stosujemy statystykę F x 1,, x 10, y 1,, y 7 = max S 1,S min S 1,S = 7 = z tablicy kwantyli rozkładu Snedecora o (9,6) stopniach swobody odczytujemy f = 5.5 Q σ = [5.5, ) F x 1,, x 10, y 1,, y 7 Q σ, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji obliczamy wartośd statystyki t x 1,, x 10, y 1,, y 7 = 10 74; : :7; 70 = 3.07
20 z tablic kwantyli rozkładu t-studenta o 15 stopniach swobody odczytujemy t 0.95 = 1.75 Q m = [1.75, ) t x 1,, x 10, y 1,, y 7 Q m, więc hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy, że stopieo sprania tkaniny płatkami jest wyższy niż proszkiem Model III. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. wykorzystujemy statystykę testową Cochrana i Coxa C = X 1;X S 1 n1;1 : S n;1, której rozkład jest zależny od liczności próbek n 1 i n oraz nieznanego stosunku σ 1 σ jednakże dla danych n 1 i n można wyliczyd przybliżoną wartośd kwantyli rzędu statystyki Cochrana-Coxa za pomocą wzoru c α s 1 n1;1 t α(n 1 ;1): s s 1 n1;1 : s n;1 n;1 t α(n ;1), gdzie t α (n) jest kwantylem rzędu rozkładu t-studenta o n stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, c 1;α ], gdzie c 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Cochrana-Coxa dla n 1 i n. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = c 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, c 1; 1 α] [c 1; 1 α, ), gdzie c 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu Cochrana-Coxa dla n 1 i n
21 Np. Zakładając, że zużycie materiału przy produkcji wyrobu ma rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że wartości średnie zużycia surowca w dwóch metodach produkcji są równe (H 0 : m 1 = m ), wobec hipotezy H 1 : m 1 m, na podstawie wyników prób da metody 1: 3.9, 3.7,.7,.9, 3.8 i dla metody : 3.9, 1.8, 5., 1.7 obliczamy x 1 = 3.4, s 1 = 0.48, n 1 = 5, x = 3.15, s =.17, n = 4 zbadajmy, czy nie da się zastosowad statystyki t-studenta stawiamy hipotezę o równości wariancji K 0 : σ 1 = σ wobec K 1 : σ 1 < σ stosujemy statystykę F x 1,, x 5, y 1,, y 4 = S S = 5 = z tablicy kwantyli rozkładu Snedecora o (3,4) stopniach swobody odczytujemy f 0.95 = 6.59 Q σ = [6.59, ) F x 1,, x 5, y 1,, y 4 Q σ, więc hipotezę o równości wariancji odrzucamy stosujemy statystykę Cochrana-Coxa C x 1,, x 5, y 1,, y 4 = 3.4;3.15 = :.17 3 z tablic kwantyli rozkładu t-studenta odczytujemy t =.776, t = 3.18 obliczamy c : :.17 3 = 3.15 Q = ( -, ] [3.15, ) ponieważ C x 1,, x 5, y 1,, y 4 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Model IV. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi σ 1, σ, ale o dużych licznościach n 1, n 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m.
22 test budujemy analogicznie jak w modelu I podstawiając za nieznane wartości wariancji σ 1, σ wartości s 1, s obliczone z próbek Np. Zakładając, że prędkości tramwajów w pewnym mieście mają rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że średnia prędkośd tramwajów w środę i niedzielę się nie różnią (H 0 : m 1 = m ) wobec hipotezy H 1 : m 1 < m, jeżeli na podstawie zmierzonych prędkości 00 tramwajów uzyskano wyniki w środę: x 1 = 15.1, s 1 = 6.8 i 10 tramwajów w niedzielę: x = 16.4, s = 4.3 obliczamy wartośd U x 1,, x 00, y 1,, y 00 = 15.1; : = 4.9 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.64 Q = ( -, ] ponieważ U x 1,, x 00, y 1,, y 00 Q hipotezę odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej Model V. metoda zmiennych połączonych stosujemy ten model w przypadku, gdy obserwujemy wartości cechy X o rozkładzie normalnym przed wykonaniem pewnej operacji na elementach próby otrzymując (x 1,, x n ), a następnie po wykonaniu tej operacji (w tej samej kolejności elementów) otrzymując (y 1,, y n ). Oznaczmy cechę przed operacją przez X ze średnią m 1, a po operacji przez Y ze średnią m, oraz ich różnicę przez Z ze średnią m Z = m 1 m. Hipoteza H 0 : m 1 = m zastępujemy hipoteza równoważną H 0 : m Z = 0 (jest to hipoteza dla jednej wartości oczekiwanej) stosujemy statystykę testową t = Z S Z t-studenta o n-1 stopniach swobody n 1, która przy założeniu prawdziwości H 0 ma rozkład
23 Np. Zmierzono ciśnienie pewnej grupy chorych przed i po podaniu pewnego leku, otrzymując Pacjent Przed podaniem leku Po podaniu leku Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje spadku ciśnienia, wobec hipotezy alternatywnej, że wartośd średnia ciśnienia przed podaniem leku jest wyższa niż po podaniu. niech z i będzie różnicą ciśnienia u i-tego pacjenta przed i po podaniu leku: 30, 0, 40, 10, -10, 0, 0 obliczamy z = 15.7, s Z = 15.9 oraz t z 1,, z 7 = =.4 z tablic rozkładu t-studenta o 6 stopniach swobody obliczamy t 0.95 = 1.94 Q = [1.94, ) ponieważ t z 1,, z 7 Q, to hipotezę odrzucamy na korzyśd hipotezy, że lek powoduje spadek ciśnienia 15.9 Test istotności dla wskaźników struktury dwóch populacji: Model: populacje mają rozkład dwupunktowy z parametrami θ 1 i θ Weryfikujemy hipotezę H 0 : θ 1 = θ wobec hipotezy alternatywnej H 1 : θ 1 < θ, H : θ 1 > θ, H 3 : θ 1 θ. Przypadek 1. liczności prób n 1, n 100
24 niech k 1, k będą liczbami elementów wyróżnionych w obydwu próbach oraz stosujemy statystykę U = θ 1;θ θ 1 = k 1 n 1, θ = k n, θ = k 1 + k n 1 + n, n = n 1n n 1 + n θ(1;θ) n, która ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, rozkład asymptotycznie normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1; 1 α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Przypadek. liczności prób n 1, n < 100 wykorzystujemy statystykę U = (arcsin k 1 arcsin k ) n 1 n prawdziwości H 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1). zbiory krytyczne dobieramy tak jak w przypadku 1 n 1 n n 1 :n, która przy założeniu Np. 1. Na poziomie istotności = 0.01 zweryfikuj hipotezę, że procent wycofania opon z eksploatacji
25 z powodu zużycia bieżnika jest jednakowy dla dwóch producentów wobec hipotezy, że nie jest on jednakowy, jeżeli zbadano 158 opony pierwszego producenta i wycofanych było 150, a z 589 opon drugiego producenta wycofanych było 41. stosujemy przypadek 1 i obliczamy θ 1 = 150 = 0.79, θ 158 = n = = 49. U x 158:589 1,, x 158, y 1,, y 589 = 0.79; :41 = 0.715, θ = = 0.77, 158:589 = 3.69 z tablic kwantyli rozkładu normalnego odczytujemy u =.58 Q = ( -, -.58] [.58, ) ponieważ U x 1,, x 158, y 1,, y 589 Q, to hipotezę o jednakowym zużyciu bieżnika odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej. Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że procenty napraw gwarancyjnych telewizorów dwóch typów są jednakowe wobec hipotezy, że dla pierwszego typu procent ten jest wyższy, jeżeli spośród 50 telewizorów pierwszego typu naprawy wymagało 8, a z 35 telewizorów drugiego typu 5. stosujemy przypadek i obliczamy arcsin 8 50 = 0.83, arcsin 5 35 = oraz U x 1,, x 50, y 1,, y 35 = = :35 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u Q = [1.64, ) ponieważ U x 1,, x 50, y 1,, y 35 Q, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości procentów telewizorów wadliwych obydwu typów
Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoWykład 11 Testowanie jednorodności
Wykład 11 Testowanie jednorodności Wrocław, 17 maja 2018 Test χ 2 jednorodności Niech X i, i = 1, 2,..., k będą niezależnymi zmiennymi losowymi typu dyskretnego przyjmującymi wartości z 1, z 2,..., z l,
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Odp. Zadanie 2 Odp. Zadanie 3 Odp. Zadanie 4 Odp. Zadanie 5 Odp.
Zadanie 1 budżet na najbliższe święta. Podać 96% przedział ufności dla średniej przewidywanego budżetu świątecznego jeśli otrzymano średnią z próby równą 600 zł, odchylenie standardowe z próby równe 30
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska
Porównanie modeli statystycznych Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Jaka jest miara podobieństwa? Aby porównywać rozkłady prawdopodobieństwa dwóch modeli statystycznych możemy użyć: metryki dywergencji
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności
Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
LABORATORIUM 3 Przygotowanie pliku (nazwy zmiennych, export plików.xlsx, selekcja przypadków); Graficzna prezentacja danych: Histogramy (skategoryzowane) i 3-wymiarowe; Wykresy ramka wąsy; Wykresy powierzchniowe;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3
STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech
TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowo1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej
1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoTeoria Estymacji. Do Powyżej
Teoria Estymacji Zad.1. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników w 1996 roku był następujący: 37; 34; 0*; 5; 17; 17; 0*; 2; 24; 33;
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.
Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1.
Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii Zadanie 1. W potocznej opinii pokutuje przekonanie, że lepsi z matematyki są chłopcy niż dziewczęta. Chcąc zweryfikować tę opinię, przeprowadzono badanie w
Bardziej szczegółowoρ siła związku korelacyjnego brak słaba średnia silna bardzo silna
Ćwiczenie 4 ANALIZA KORELACJI, BADANIE NIEZALEŻNOŚCI Analiza korelacji jest działem statystyki zajmującym się badaniem zależności pomiędzy rozkładami dwu lub więcej badanych cech w populacji generalnej.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Bardziej szczegółowoWeryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej,
Szacownie nieznanych wartości parametrów (średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego, itd.) w populacji generalnej na postawie wartości tych miar otrzymanych w próbie (punktowa, przedziałowa) Weryfikacja
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowo