na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A,"

Transkrypt

1 1 Wykład 2 2 Warunkowa wartość oczekiwana 2.1 Definicja Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna, X- zmienna losowa określona na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A, to mówimy, że zmienna losowa X jest A- mierzalna. Załóżmy, że E X <. Uwaga 1 Je sli A = σ(y) dla pewnego wektora losowego Y, to zmienna losowa X jest A-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja borelowska g taka że, X = g(y) p.n. Definicja 2 Warunkowa warto scia oczekiwana zmiennej losowej X względem σ-ciała A nazywamy taka zmienna losowa A-mierzalna (oznaczana E(X A)), która spełnia warunek: E(Y E(X A)) = E(Y X) (1) dla każdej A-mierzalnej zmiennej losowej Y takiej, że E XY <. 2.2 Przykłady Przykład 3 Niech A = {, Ω}. Wówczas każda zmienna losowa mierzalna względem A jest prawie na pewno równa stałej. E(X A) jest zatem też równa stałej. Jakiej? Z warunku (1) wynika natychmiast stała ta (nazwijmy ja e ) musi spełniać warunek : y R : Eye = EyX. Stad już natychmiast dedukujemy, że E(X A) = EX p.n. Przykład 4 Niech A = {, Ω, B,B c }. Zmiennymi losowymi mierzalnymi względem tego σ ciała sa jak nietrudno wydedukować (pamiętajac definicję σ(x) ) wszystkie funkcje postaci: { y1 dla ω B Y (ω) = y 2 dla ω B c. Lub zapisujac to inaczej: Y = y 1 I(B) + y 2 I(B c ). Warunkowa warto sć oczekiwana E(X A) jest też tej postaci. Aby znale zć jej warto sć (oznaczmy ja e 1 ) na zbiorze B rozważmy równo sć (1) ze zmienna losowa Y przyjmujac a warto sć 0 (y 2 = 0) na zbiorze B c. Dostaniemy wówczas: y 1 R : Ey 1 XI(B) = Ey 1 e 1 I(B). Stad e 1 = EXI(B) P (B). Wprowad zmy oznaczenie: { E(XI(B)) E(X B) = P (B) o ile P (B) 0 dowolna liczba o ile P (B) = 0. (2) 1

2 Pokazalísmy więc (warto sć E(X A) na zbiorze B c znajdujemy analogicznie), że { E(X B) dla ω B E(X A)(ω) = E(X B c ) dla ω B c. Uwaga 5 Je sli σ- ciało A =σ(y ), dla pewnego wektora losowego Y, to piszemy E(X Y) zamiast E(X σ(y)). Z uwagi?? wynika, że istnieje wówczas funkcja borelowska h taka, że E(X Y) = h(y) p.n.. Warto sci tej funkcji maja następujace tradycyjne oznaczenie: h(y) =E (X Y = y). Zauważmy, że gdyby przez E (X Y = y) rozumieć warunkowa warto sć oczekiwana pod warunkiem zdarzenia {Y = y}, tak jak to okre slilísmy we wzorze (2), to w przypadku, gdy P ({y = y}) = 0, warto sć tej funkcji byłaby nieokre slona. Przykład 6 (najważniejszy) Rozkład ł aczny typu ciagłego. Niech (X, Y ) maja gęsto sć ł aczna f(x, y). Wyznaczymy E(X Y ) i V (X Y ). Mamy tu A = σ(y ) więc każda zmienna losowa A mierzalna jest postaci g(y ) dla pewnej funkcji borelowskiej g. E(X Y ) jest także tej postaci np. dla funkcji h. Trzeba znale zć tę funkcję. Z równo sci definiujacej warunkowa warto sć oczekiwana, dla każdej funkcji borelowskiej g takiej, że xg(y) f(x, y)dxdy < mamy: R 2 xg(y)f(x, y)dxdy = R 2 R g(y)h(y)f Y (y)dy. Ale xg(y)f(x, y)dxdy = R 2 R g(y) xf(x, y)dxdy. St R ad f(x, y) h(y) = x f Y (y) dx. R Interpretacja warunkowej warto sci oczekiwanej. We zmy pod uwagę powyższy wzór w którym zgodnie z konwencja zastapilísmy funkcję h(y) funkcja E (X\Y = y): f(x, y) E(X Y = y) = x f Y (y) dx, i przekształćmy jego prawa stronę w następujacy sposób (korzystajac z postaci gęsto sci brzegowej): f(x, y) x f Y (y) dx = xf(x, y)dxdy R. (3) f(x, y)dxdy R Następnie na płaszczy znie (x, y) rozważmy pasek poziomy o szeroko sci dy zawierajacy prosta y = y0: R R 2

3 y y 0 +dy y 0 'masa' prostokąta = f(x,y 0 )dxdy x x+dx x Licznik wyrażenia (3) jest równy sumie momentów mas f(x, y0)dxdy względem osi Oy (mnożymy przez x) czyli momentowi paska względem osi Oy. Mianownik za s jest równy masie paska (suma mas f(x, y)dxdy wzdłuż osi Ox). Warto sć więc warunkowej warto sci oczekiwanej w punkcie y0 czyli E(X Y = y0) jest równa w przybliżeniu srodkowi ciężko sci paska o szeroko sci dy zawierajacego prosta y = y0. Warunkowa warto sć oczekiwana jako funkcja warunku jest krzywa ł aczac a srodki ciężko sci równoległych poziomych pasków, a wariancja warunkowa krzywa ł aczac a momenty bezwładno sci takich pasków! 2.3 Własności warunkowych wartości oczekiwanych 1. Jeśli E X < to dla dowolnego σ-ciała A, E(X A) istnieje i jest określona jednoznacznie w następujacym sensie: jeśli Z 1 i Z 2 sa dwoma A- mierzalnymi zmiennymi losowymi spełniajacymi warunek (1), to P (Z 1 = Z 2 ) = 1 lub inaczej Z 1 = Z 2 p.n.. 2. Dla każdych α, β R i zmiennych losowych X, Y takich, że E X <, E Y < jest spełniona równość : E(αX + βy A) = αe(x A) + βe(y A) p.n. Proof. Dla dowolnej A mierzalnej zmiennej losowej T mamy: ET (αx + βy ) = ET E(αX + βy A)). Oznaczmy Z 1 = E(αX + βy A). Z drugiej strony z liniowości wartości oczekiwanej mamy: ET (αx + βy ) = αext + βey T. 3

4 Stosujac do ostatniej równości (1) dostaniemy: αext + βey T = αet E(X A) + βet E(Y A) = = ET (αe(x A) + βe(y A)). Zmienna losowa Z 2 = αe(x A) + βe(y A) jest oczywiście A-mierzalna (tak jak suma zmiennych losowych jest zmienna losowa). Zatem mamy i ET (αx + βy ) = ET Z 1 ET (αx + βy ) = ET Z 2 dla dowolnej zmiennej losowej A mierzalnej T. Zatem z własności 1 wynika, że Z 1 = Z 2 p.n. 3. Jeśli X 0 p.n. i E X <, to E(X A) 0 p.n. dla każdego σ-ciała A F. Proof. Jeśli bowiem na jakimś zbiorze D A, P (D) > 0 mielibyśmy E(X A)(ω) < 0 dla ω D, to EI(D)E(X A) < 0 gdyż I(D)E(X A) < 0 dla ω D. Ale z drugiej strony I(D)X 0 więc EI(D)X 0 z własności wartości oczekiwanej zmiennych losowych. Zatem sprzeczność. 4. E(E(X A)) = EX p.n. Proof. W równości definiujacej (1) wstawiamy Y = Jeżeli E X < i A i B sa dwoma σ ciałami takimi, że A B F, to E(E(X B) A) = E(X A). W szczególności, jeśli Y 1 i Y 2 sa pewnymi wektorami losowymi, to E(E(X (Y 1, Y 2 )) Y 1 ) = E(X Y 1 ) p.n. Proof. polega na spostrzeżeniu, że zmienne losowe A mierzalne sa też B-mierzalne i na powołaniu się na równość definiujac a i własność Jeżeli E X < i X jest A mierzalna zmienna losowa, to E(X A) = X p.n. Proof. Mamy z jednej strony E(XY ) = EY E(X A) dla każdej A- mierzalnej zmiennej losowej Y taka, że E XY <. Z drugiej zaś mamy po prostu EXY = EY X gdyż X jest A-mierzalna zmienna losowa. Zatem z własności 1 mamy E(X A) = X p.n. 7. Jeżeli E X < i Y jest A mierzalna zmienna losowa, to E(Y X A) = Y E(X A) p.n. 4

5 Proof. Jest prawie taki sam jak własności poprzedniej. Różnica polega na wykorzystaniu dodatkowo spostrzeżenia, że jeśli Z jest A mierzalna zmienna losowa taka, że E ZY X <, to także Y Z jest zmienna losowa A mierzalna, do której można zastosować równość definiujac a Jeżeli E X < i X jest zmienna losowa niezależna od A [tzn. zdarzenia {ω : X(w) < x} i A sa niezależne dla każdego x R i A A] oraz E X <, to E(X A) = EX p.n. Proof. Niech Y - będzie A mierzalna zmienna losowa taka, że E XY <. Mamy E(Y E(X A)) = E(Y X) = EY EX = E(Y EX). Jednoznaczność warunkowej wartości oczekiwanej daje natychmiast tezę. 9. Jeżeli E X <, to min Y E(X Y )2 = E(X E(X A)) 2, (4) gdzie minimum bierze się względem wszystkich zmiennych losowych A -mierzalnych. Proof. E(X Y ) 2 = E(X E(X A) + E(X A)) 2 = E(X-E(X A)) 2 + 2E(E(X A)(X E(X A)) + E(E(X A)) 2. Ale E(E(X A)(X E(X A)) = E (E (X A) E (X E(X A) A)) = 0 na podstawie własności 4. Stad teza. Uwaga 7 To jest najważniejsza (z punktu zastosowań) własno sć warunkowej warto sci oczekiwanej. Lepiej będzie jej waga widoczna, gdy rozważymy przypadek szczególny, mianowicie gdy założymy, że A =σ(z) dla jakiego s wektora losowego. Wówczas, jak pamiętamy, wszystkie A mierzalne zmienne losowe sa postaci g(z). Własno sć 4 przybierze w tym przypadku postać: min E(X g borelowska g(z))2 = E(X E(X Z)) 2. (5) Innymi słowy warunkowa warto sć oczekiwana jest najlepsza (w sensie sredniokwadratowym) aproksymacja zmiennej losowej X przy pomocy funkcji borelowskiej wektora Z. Aby doceníc wagę tego wyniku radzimy przypomnieć sobie rozwiaza- nia zagadnień minimalizacji przestawionych na wykładach 7 i Jeżeli E X <, to dla każdej zmiennej losowej Y A mierzalnej i takiej, że E XY <, zmienne losowe Y i X E(X A) sa nieskorelowane. Proof. Mamy EY (X E(X A)) = E (Y E (X E(X A) A)) = 0 na podstawie własności 4. 5

6 2.4 Generatory Liczb Losowych Wstęp Zaczniemy od cytatu z Johna von Neumanna: "Any one who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. For, as has been pointed out several times, there is no such thing as a random number - there are only methods to produce random numbers, and a strict arithmetic procedure of course is not such a method." Wykonajmy serię niezależnych rzutów moneta i zanotujmy obserwowane wyniki, piszac 0 - gdy wynikiem rzutu jest reszka, lub 1 - gdy wynikiem rzutu jest orzeł. Ponieważ prawdopodobieństwo zaobserwowania orła jest takie samo jak prawdopodobieństwo zaobserwowania reszki i równe 1/2, więc zmienna losowa wynik rzutu ma rozkład dwupunktowy i przyjmuje wartości 0 lub 1 z jednakowym prawdopodobieństwem. Mówimy, że ta zmienna losowa ma rozkład równomierny na zbiorze {0, 1}. W wyniku opisanego postępowania otrzymamy więc np. następujacy ciag liczb: 1, 0, 0, 1, 1,... Taki ciag przyjęto nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0, 1}. Monetę, za pomoca której otrzymujemy tego typu ciagi, nazywamy generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0, 1}. Przygotujmy jednakowych kartek i ponumerujmy je kolejnymi liczbami czterocyfrowymi: 0000,0001,0002,..., Wrzućmy wszystkie kartki do urny. Losujmy z urny po jednej kartce, tak żeby w każdym losowaniu każda z nich miała jednakowa szansę na wyjęcie z urny. Zmienna losowa wylosowany numer ma rozkład równomierny na zbiorze {0000, 0001, 0002,..., 9999}. Jeżeli opisane losowanie powtórzymy wielokrotnie (po każdym z nich zwracajac wylosowana kartkę z powrotem do urny), to otrzymamy np. następujacy ciag liczb: 1722, 4355, 0234,.... Taki ciag będziemy nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0000, 0001, 0002,..., 9999}, a urnę z ponumerowanymi kartkami generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na tym zbiorze. Weźmy pod uwagę ruletkę o obwodzie równym 1 i niech A będzie wyróżnionym punktem na obwodzie tarczy tej ruletki. Tarczę wprawia się w ruch obrotowy i wrzuca na nia kulkę K, która, dzięki konstrukcji ruletki zatrzymuje się zawsze na brzegu tarczy. Niech U będzie długościa łuku AK. Załóżmy, że zmienna losowa U ma rozkład równomierny na przedziale (0, 1) rozkład ten będziemy oznaczali U (0, 1). W wyniku kilku eksperymentów z ruletka otrzymamy np. następujacy ciag liczb: 0, 2217, 0, 5543, 0, 3402,.... taki ciag przyjęto nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na przedziale (0, 1) a ruletkę generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym U(0, 1). Zadania, w których do rozwiazywania używa się ciagów liczb losowych, można podzielić na trzy grupy. Grupę pierwsza (również pierwsza historycznie) tworza zadania zwiazane z badaniami reprezentacyjnymi. Problem opisu różnych zbiorów (populacji) za pomoca próbek losowanych z tych zbiorów jest typowym problemem statystycznym. Przykładami sa tu badania różnych zjawisk społecznych przez szczegółowy opis jednostek wybranych losowo z populacji interesujacych badacza obiektów 6

7 (ludzi, zakładów pracy, środowisk, szkół, itp.) łub zadania ze statystycznej kontroli jakości, w których partie różnych towarów opisuje się na podstawie badania losowo wybranych próbek tych towarów. W praktyce stosuje się tu nie tylko takie schematy losowania, jak podany wyżej przykład losowania prostego z urny; obszerny przeglad różnych metod generowania prób losowych w takich sytuacjach można znaleźć np. w ksiażce Zasępy (1962) i w ksiażce Brachy (1996). Grupę druga stanowia zadania numeryczne rozwiazywane metodami Monte Carlo. Zadanie numeryczne (typowym przykładem jest zadanie obliczania wartości danej całki) zastępuje się wówczas zadaniem rachunku prawdopodobieństwa, które z kolei rozwiazuje się na drodze eksperymentu statystycznego. Podstawowa częścia tego eksperymentu jest losowanie próbki z odpowiedniej populacji, a więc generowanie odpowiedniego ciagu liczb losowych. Obszerny wykład różnych sposobów postępowania w takich sytuacjach można znaleźć w ksiażkach: Hammersleya i Handscomba (1961) Zielińskiego (1970), Jermakowa (1976), Niederreitera i Shiue (1995). Najnowsze metody tego typu dotycza stochastycznych algorytmów szukania minimum globalnego danej funkcji, czemu poświęcona jest minimonografia Zielińskiego i Neumanna (1986) oraz liczne prace dotyczace symulowanego wyżarzania (ang. simulated annealing) z ostatniego dziesięciolecia; aktualne wyniki na ten temat można znaleźć w pracy Wieczorkowskiego (1995). Grupę trzecia stanowia zadania zwiazane z badaniem różnych zjawisk i procesów (technicznych, ekonomicznych, przyrodniczych) za pomoca ich komputerowej symulacji (modelowania). O przebiegu takich procesów decyduja najczęściej czynniki losowe, a modelowanie wpływu tych czynników sprowadza się do losowania próbek z odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa, czyli do generowania odpowiednich ciagów liczb losowych. W sytuacjach realnych korzystanie z opisanych wyżej generatorów liczb losowych (moneta, urna lub ruletka) jest, oczywiście, najczęściej niemożliwe i w praktyce takie prawdziwe"generatory sa zastępowane pewnymi ich namiastkami. Jeszcze do niedawna powszechnie posługiwano się tablicami liczb losowych, obecnie stosuje się odpowiednie programy komputerowe. Dalej mówiac o generatorach liczb losowych mamy właśnie na myśli takie programy. Podstawowa rolę odgrywaja generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernymi U(0, 1). Liczby otrzymywane w wyniku obliczeń wykonywanych za pomoca programów komputerowych nie sa oczywiście tak losowe"jak liczby uzyskiwane przez rzuty moneta, losowanie z urny lub obracanie koła ruletki. W celu podkreślenia tego faktu używa się często nazw liczby pseudolosowe lub liczby guasi-losowe, ale nie będziemy tutaj rygorystycznie trzymali się tych nazw dalej mówimy po prostu o programowych generatorach liczb losowych. Jak już wspomniano, w zastosowaniach potrzebne sa liczby losowe o różnych rozkładach prawdopodobieństwa, np. liczby o rozkładzie normalnym lub liczby opisujace realizacje procesu Poissona. Wszystkie takie liczby losowe można otrzymać przez odpowiednie manipulacje liczbami z generatora liczb losowych o rozkładzie równomiernym U (0, 1). W zwiazku ze stosowaniem różnych generatorów liczb losowych powstaje problem testowania tych generatorów. Ogólnie mówiac, sprowadza się on do 7

8 testowania odpowiednich hipotez statystycznych o generatorze. Komputerowe generatory liczb losowych sa w dzisiejszych czasach jednym z najczęściej używanych narzędzi każdego badacza: matematyka, lekarza, inżyniera, ekonomisty, socjologa, chemika i fizyka - do symulacji procesów losowych. Użytkownik tego komputerowego narzędzia zwykle bardzo szybko zaczyna doceniać jego potężne możliwości, a zarazem, posługujac się nim, odczuwa przyjemność i satysfakcję. 2.5 Generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernym Historycznie najstarszym generatorem jest tzw. generator von Neumanna: Główna idea to generowanie kolejnych N cyfrowych (N parzyste) liczb nieujemnych całkowitych zgodnie z algorytmem X n+1 = f (X n ), gdzie wartość f oblicz się w następujacy sposób. Obliczmy kwadrat X n. ma on co najwyżej 2N cyfr (gdy nie ma uzupełniamy cyfry na poczatku o zera) Za X n+1 bierzemy liczbę utworzona ze środkowych N cyfr. Nie byłto zbyt dobry generator. Wymyślono inne. Każdy generator liczb pseudolosowych generuje ciagi okresowe! Tzn. że istnieja takie liczby całkowite a i P, że i a : X i = X i+jp Ogólny schemat ciagu generowanego przez generatory pseudo losowe jest następujacy X 0, X 1,..., X a 1, X a,..., X a+p 1, X a+p,... Fragment ciagu X 0, X 1,..., X a 1 nazywa się okresem aperiodyczno sci Generatory liniowe To generatory postaci: X n+1 = c + k a j X n+1 k mod m, j=1 gdzie liczby c, a 1,..., a k i m sa ustalonymi liczbami charakteryzujacymi algorytm. a mod b oznacza resztę z dzielenia a przez b. Liczby X 0,..., X k przyjmuje się za dane. W praktyce przyjmuje się k = 1. Gdy c = 0 mówimy o estymatorach multyplikowanych zaś gdy c 0 to taki generator nazywamy mieszanym. Można sformułować pewne prawidłowości dotyczace tego typu generatorów: 1. Okres generatora liniowego nie może przekraczać m. 8

9 (a) Gdy m = 2 L to okres generatora multyplikowanego nie przekracza 2 L 2, (b) Gdy m jest liczba pierwsza, to okres generatora multyplikowanego nie przekracza m Generatory multiplikatywne osiagaj a maksymalny okres gdy: (a) m = 2 L L 4 liczba X 0 jest nieparzysta i a = 3 5 mod 8 np. stary używany w komputerach IBM360/370 generator RANDU a = i m = 2 31 (b) m jest liczba pierwsza gdy a (m 1)/p 1 mod m, gdzie p jest pierwsza liczba dzielac a m 1. Można wziać np. a = 7 5, m = (jest to tzw. liczba Mersenne a czyli liczb postaci 2 p 1 gdzie p jest pierwsza) 3. Generator mieszany osiaga pełny okres m w.i.t.w. spełnione następujace warunki: gdy jednocześnie sa (a) liczby c i m nie maja wspólnych dzielników, (b) a = 1 mod p dla każdego dzielnika pierwszego liczby m (c) a = 1 mod 4 jeśli 4 jest dzielnikiem m Przykładem takiego wyboru sa liczby a = 69069, c = 1 i m = 2 32 Zauważono, że generatory liniowe moga mieć regularna strukturę przestrzenna. Szczegóły np. w ksiażce Wieczorkowski Zieliński. Rozważa się także ogólne generatory liniowe postaci X n+1 = AX n mod m, gdzie X 1, X 2,... sa wektorami R k k > 1 a A jest macierza. Operacja mod wykonywana jest po współrzędnych Generatory oparte na rejestrach przesuwanych Niech k będzie ustalona liczba naturalna i rozważmy ciag zdefiniowany przez: b i = (a 1 b i a k b i k ) mod 2, i k+1 zaś współczynniki a 1, a 2,..., a k {0, 1}. Zakładamy, ze liczby b 1,..., b k sa dane. Nietrudno zauważyć, że okres takiego generatora nie może przekraczać 2 k gdyż istnieje co najwyżej 2 k różnych układów k elementowych (b 1,..., b k ) 9

10 2.5.3 Generatory Fibonacciego Przypominamy, że ciag {f i } generowany przez nierówność f n = f n 1 + f n 2, gdzie f 0 = f 1 = 1 nazywa się ciagiem Fibonacciego. W teorii generatorów liczb losowych generatorami Fibonacciego nazywamy generatory postaci: X n = X n r + X n s mod m, dla pewnych r > s 1. Najprostszy z tych generatorów tzn. z r = 2 i s = 1 nie spełniałniektórych testów np. testu serii (patrz niżej). Uogólniono także te generatory zastępujac dodawanie innym działaniem np. odejmowaniem, czy mnożeniem. Ogólnie. Takie generatory oznacza się symbolem F (r, s, ). Zbadano dla jakich r, s i takie generatory maja maksymalny okres. Okazuje się że np. jeśli m = 2 L to maksymalny okres generatora F (r, s, +) oraz F (r, s, )wynosi (2 r 1) 2 L 1. Stosuje się też kombinacje generatorów rożnych typów Generatory nieliniowe Określimy najpierw co rozumiemy przez c 1 mod m dla liczb całkowitych. Mianowicie { c 1 0 gdy c = 0 = c m 2 mod m gdy c > 0. Zauważmy, ze cc 1 = c m 1 = 1 mod m. Wówczas rozważa się np. następujace 2 generatory nieliniowe zaproponowane przez Eichenauera i współpracowników: X n+1 = ( ax 1 n + b ) mod m, X n = (a(n + n 0 ) + b) 1 mod m. Maja one dobre własności statystyczne. Generatorem posiadajacym najdłuższy znany okres i taki który przeszedł pozytywnie szereg testów statystycznych jest opisany na stronie: Ma on następujace zalety okres = It has a very high order of dimensional equidistribution (see linear congruential generator). It passes numerous tests for statistical randomness, including the Diehard tests. It passes most, but not all, of the even more stringent TestU01 Crush randomness tests 10

11 2.6 Testy statystyczne Testy zgodności z rozkładem U (0, 1) Test chi-kwadrat Przypomnijmy, że test chi-kwadrat zgodności rozkładu z próby z zadanym rozkładem o dystrybuancie F polega na tym, że dzieli się nośnik rozkładu przy pomocy liczb a = a 0 < a 1 <..., a k = b, gdzie liczby a i b sa takie, że F (a) = 1 F (b) = 0. Oznaczmy p i = P (a i 1 < X a i ), i = 1, 2,..., k. Oznaczmy przez n i liczbę takich elementów próby X = (X 1,..., X n ) które spełniaja warunek a i 1 < X a i Test zgodności jest oparty na statystyce χ 2 k 1 = k i=1 (n i np i ) 2 np i, która dla dużych n i np i > 0 ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat o k 1 st. swobody. Dla rozkładu jednostajnego U (0, 1) i równomiernego rozbicia p i = 1 k statystyka powyższa się upraszcza i mamy χ 2 k 1 = k n k n 2 i n. i=1 Test równomierności z rozkładem wielowymiarowym. Dzielimy kostkę (0, 1) m na k m kostek w ten sposób, ze przedział(0, 1) rozbijamy na k równych podprzedziałów postaci ((j 1)/k, j/k), j = 1,..., k. Niech n i oznacza ilość elementów z próby (X 1,..., X n ) które wpadły do i tej kostki. Wówczas używamy statystyki χ k m 1 = km n k m i=1 n 2 i n Istnieje modyfikacja tego testu polegajaca na tym, że rozważamy następujacy podziałpróby (X 1,..., X m ),(X 2,..., X m+1 ),(X 3,..., X m+2 ),.... Niech N będzie długościa próby. Ilość tak zbudowanych m tek jest równa N m + 1. Niech n i będzie ilościa elementów próby które wpadły do i tej kostki. Oznaczmy ψ 2 0 = 0, ψ 2 m = i (n i (N m + 1) /k m ) 2 (N m + 1) /k m, m = 1, 2, 3,... Gdy N jest dostatecznie duże zmienna losowa ψ 2 m ψ 2 m 1 ma w przybliżeniu rozkład χ 2 o k m k m 1 st. swobody. 11

12 Test OPSO OPSO=(overlaping pairs sparse occupancy) Z próby X 1, X 2,..., X n tworzymy ciag liczb całkowitych (I i ) n i=1 bior ac po b bitów z rozwinięcia 2 kowego każdej z liczb X i. Zauważmy, że I i B = { 0,..., 2 b 1 }. Tworzymy ciag par (I 1, I 2 ), (I 2, I 3 ),..., (I n 1, I n ). Niech Y będzie ilościa par ze zbioru B B które nie pojawiły się w ciagu (I 1, I 2 ), (I 2, I 3 ),..., (I n 1, I n ). Okazuje się że Y ma (dla dużych n) rozkład normalny N ( µ, σ 2). Np. gdy b = 10, n = 2 21 to µ = a σ = 290, 26 itd. Test ten zaproponowany przez Marsaglię w (1984) wyeliminowałkilka generatorów. Test Kołmogorowa Niech X == (X 1,..., X n ) będzie ciagiem i.i.d z rozkładu F. Niech F n będzie dystrybuanta empiryczna z próby X tzn. Tworzymy statystykę F n (x) = 1 n # {i : X i x}. D n = sup F n (x) F (x), x R Okazuje się ze jej rozkład nie zależy od F i jest stablicowany lim n > P ( nd n t ) = ( 1) j exp ( 2j 2 t 2) j= 1 2 ( 1) j 1 exp ( 2j 2 t 2). j=1 Rozkład ten nazywa się rozkładem λ Kołmogorowa i jest stablicowany Testy zgodności z rozkładem wybranych funkcji m zmiennych Dzielimy próbę na odcinki o długości m i wybieramy funkcje h : R m > R i obliczamy Y j = h ( X (j 1)m+1,..., X jm ), j = 1,.... Niech G będzie dystrybuanta Y 1. Następnie testujemy zgodność rozkładu Y 1, Y 2,... z G. I tak standardowo testuje się zgodność z rozkładem statystyk pozycyjnych: tzn. bierze się h (x 1,..., x n ) = max (x 1,..., x n ) lub h = min (x 1,..., x n ) lub np. h (x 1,..., x n ) = max (x 1,..., x n ) min (x 1,..., x n ). Wiadomo, że P (max (X 1,..., X n ) y) = y n, P (min (X 1,..., X n ) y) = 1 (1 y) n. P (max (X 1,..., X n ) min (X 1,..., X n ) y) = ny n 1 (n 1) y n itd. lub wybiera się h (x 1,..., x n ) = n i=1 x i Rozkład G ma gęstość g n (y) = 1 (n 1) n ( ) ( 1) k 1 n (y k + 1) n 1. k 1 k=1 12

13 Można też wymienić tzw. d 2. Polega on na podzieleniu próby na odcinki 4 elementowe o obliczeniu dla każdej czwórki wielkości d 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (x 3 x 4 ) 2 czyli kwadratu odległości miedzy para (x 1, x 2 ) i para (x 3, x 4 ). Więcej można na ten temat przeczytać w monografii Wieczorkowskiego i Zielińskiego 13

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach. Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo

1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego 6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.

Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

Podstawy symulacji komputerowej

Podstawy symulacji komputerowej Podstawy symulacji komputerowej Wykład 3 Generatory liczb losowych Wojciech Kordecki wojciech.kordecki@pwsz-legnica.eu Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Wydział Nauk Technicznych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz. Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.

Bardziej szczegółowo

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej

Bardziej szczegółowo

Wynik pomiaru jako zmienna losowa

Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo