na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A,
|
|
- Eugeniusz Kujawa
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Wykład 2 2 Warunkowa wartość oczekiwana 2.1 Definicja Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna, X- zmienna losowa określona na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A, to mówimy, że zmienna losowa X jest A- mierzalna. Załóżmy, że E X <. Uwaga 1 Je sli A = σ(y) dla pewnego wektora losowego Y, to zmienna losowa X jest A-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja borelowska g taka że, X = g(y) p.n. Definicja 2 Warunkowa warto scia oczekiwana zmiennej losowej X względem σ-ciała A nazywamy taka zmienna losowa A-mierzalna (oznaczana E(X A)), która spełnia warunek: E(Y E(X A)) = E(Y X) (1) dla każdej A-mierzalnej zmiennej losowej Y takiej, że E XY <. 2.2 Przykłady Przykład 3 Niech A = {, Ω}. Wówczas każda zmienna losowa mierzalna względem A jest prawie na pewno równa stałej. E(X A) jest zatem też równa stałej. Jakiej? Z warunku (1) wynika natychmiast stała ta (nazwijmy ja e ) musi spełniać warunek : y R : Eye = EyX. Stad już natychmiast dedukujemy, że E(X A) = EX p.n. Przykład 4 Niech A = {, Ω, B,B c }. Zmiennymi losowymi mierzalnymi względem tego σ ciała sa jak nietrudno wydedukować (pamiętajac definicję σ(x) ) wszystkie funkcje postaci: { y1 dla ω B Y (ω) = y 2 dla ω B c. Lub zapisujac to inaczej: Y = y 1 I(B) + y 2 I(B c ). Warunkowa warto sć oczekiwana E(X A) jest też tej postaci. Aby znale zć jej warto sć (oznaczmy ja e 1 ) na zbiorze B rozważmy równo sć (1) ze zmienna losowa Y przyjmujac a warto sć 0 (y 2 = 0) na zbiorze B c. Dostaniemy wówczas: y 1 R : Ey 1 XI(B) = Ey 1 e 1 I(B). Stad e 1 = EXI(B) P (B). Wprowad zmy oznaczenie: { E(XI(B)) E(X B) = P (B) o ile P (B) 0 dowolna liczba o ile P (B) = 0. (2) 1
2 Pokazalísmy więc (warto sć E(X A) na zbiorze B c znajdujemy analogicznie), że { E(X B) dla ω B E(X A)(ω) = E(X B c ) dla ω B c. Uwaga 5 Je sli σ- ciało A =σ(y ), dla pewnego wektora losowego Y, to piszemy E(X Y) zamiast E(X σ(y)). Z uwagi?? wynika, że istnieje wówczas funkcja borelowska h taka, że E(X Y) = h(y) p.n.. Warto sci tej funkcji maja następujace tradycyjne oznaczenie: h(y) =E (X Y = y). Zauważmy, że gdyby przez E (X Y = y) rozumieć warunkowa warto sć oczekiwana pod warunkiem zdarzenia {Y = y}, tak jak to okre slilísmy we wzorze (2), to w przypadku, gdy P ({y = y}) = 0, warto sć tej funkcji byłaby nieokre slona. Przykład 6 (najważniejszy) Rozkład ł aczny typu ciagłego. Niech (X, Y ) maja gęsto sć ł aczna f(x, y). Wyznaczymy E(X Y ) i V (X Y ). Mamy tu A = σ(y ) więc każda zmienna losowa A mierzalna jest postaci g(y ) dla pewnej funkcji borelowskiej g. E(X Y ) jest także tej postaci np. dla funkcji h. Trzeba znale zć tę funkcję. Z równo sci definiujacej warunkowa warto sć oczekiwana, dla każdej funkcji borelowskiej g takiej, że xg(y) f(x, y)dxdy < mamy: R 2 xg(y)f(x, y)dxdy = R 2 R g(y)h(y)f Y (y)dy. Ale xg(y)f(x, y)dxdy = R 2 R g(y) xf(x, y)dxdy. St R ad f(x, y) h(y) = x f Y (y) dx. R Interpretacja warunkowej warto sci oczekiwanej. We zmy pod uwagę powyższy wzór w którym zgodnie z konwencja zastapilísmy funkcję h(y) funkcja E (X\Y = y): f(x, y) E(X Y = y) = x f Y (y) dx, i przekształćmy jego prawa stronę w następujacy sposób (korzystajac z postaci gęsto sci brzegowej): f(x, y) x f Y (y) dx = xf(x, y)dxdy R. (3) f(x, y)dxdy R Następnie na płaszczy znie (x, y) rozważmy pasek poziomy o szeroko sci dy zawierajacy prosta y = y0: R R 2
3 y y 0 +dy y 0 'masa' prostokąta = f(x,y 0 )dxdy x x+dx x Licznik wyrażenia (3) jest równy sumie momentów mas f(x, y0)dxdy względem osi Oy (mnożymy przez x) czyli momentowi paska względem osi Oy. Mianownik za s jest równy masie paska (suma mas f(x, y)dxdy wzdłuż osi Ox). Warto sć więc warunkowej warto sci oczekiwanej w punkcie y0 czyli E(X Y = y0) jest równa w przybliżeniu srodkowi ciężko sci paska o szeroko sci dy zawierajacego prosta y = y0. Warunkowa warto sć oczekiwana jako funkcja warunku jest krzywa ł aczac a srodki ciężko sci równoległych poziomych pasków, a wariancja warunkowa krzywa ł aczac a momenty bezwładno sci takich pasków! 2.3 Własności warunkowych wartości oczekiwanych 1. Jeśli E X < to dla dowolnego σ-ciała A, E(X A) istnieje i jest określona jednoznacznie w następujacym sensie: jeśli Z 1 i Z 2 sa dwoma A- mierzalnymi zmiennymi losowymi spełniajacymi warunek (1), to P (Z 1 = Z 2 ) = 1 lub inaczej Z 1 = Z 2 p.n.. 2. Dla każdych α, β R i zmiennych losowych X, Y takich, że E X <, E Y < jest spełniona równość : E(αX + βy A) = αe(x A) + βe(y A) p.n. Proof. Dla dowolnej A mierzalnej zmiennej losowej T mamy: ET (αx + βy ) = ET E(αX + βy A)). Oznaczmy Z 1 = E(αX + βy A). Z drugiej strony z liniowości wartości oczekiwanej mamy: ET (αx + βy ) = αext + βey T. 3
4 Stosujac do ostatniej równości (1) dostaniemy: αext + βey T = αet E(X A) + βet E(Y A) = = ET (αe(x A) + βe(y A)). Zmienna losowa Z 2 = αe(x A) + βe(y A) jest oczywiście A-mierzalna (tak jak suma zmiennych losowych jest zmienna losowa). Zatem mamy i ET (αx + βy ) = ET Z 1 ET (αx + βy ) = ET Z 2 dla dowolnej zmiennej losowej A mierzalnej T. Zatem z własności 1 wynika, że Z 1 = Z 2 p.n. 3. Jeśli X 0 p.n. i E X <, to E(X A) 0 p.n. dla każdego σ-ciała A F. Proof. Jeśli bowiem na jakimś zbiorze D A, P (D) > 0 mielibyśmy E(X A)(ω) < 0 dla ω D, to EI(D)E(X A) < 0 gdyż I(D)E(X A) < 0 dla ω D. Ale z drugiej strony I(D)X 0 więc EI(D)X 0 z własności wartości oczekiwanej zmiennych losowych. Zatem sprzeczność. 4. E(E(X A)) = EX p.n. Proof. W równości definiujacej (1) wstawiamy Y = Jeżeli E X < i A i B sa dwoma σ ciałami takimi, że A B F, to E(E(X B) A) = E(X A). W szczególności, jeśli Y 1 i Y 2 sa pewnymi wektorami losowymi, to E(E(X (Y 1, Y 2 )) Y 1 ) = E(X Y 1 ) p.n. Proof. polega na spostrzeżeniu, że zmienne losowe A mierzalne sa też B-mierzalne i na powołaniu się na równość definiujac a i własność Jeżeli E X < i X jest A mierzalna zmienna losowa, to E(X A) = X p.n. Proof. Mamy z jednej strony E(XY ) = EY E(X A) dla każdej A- mierzalnej zmiennej losowej Y taka, że E XY <. Z drugiej zaś mamy po prostu EXY = EY X gdyż X jest A-mierzalna zmienna losowa. Zatem z własności 1 mamy E(X A) = X p.n. 7. Jeżeli E X < i Y jest A mierzalna zmienna losowa, to E(Y X A) = Y E(X A) p.n. 4
5 Proof. Jest prawie taki sam jak własności poprzedniej. Różnica polega na wykorzystaniu dodatkowo spostrzeżenia, że jeśli Z jest A mierzalna zmienna losowa taka, że E ZY X <, to także Y Z jest zmienna losowa A mierzalna, do której można zastosować równość definiujac a Jeżeli E X < i X jest zmienna losowa niezależna od A [tzn. zdarzenia {ω : X(w) < x} i A sa niezależne dla każdego x R i A A] oraz E X <, to E(X A) = EX p.n. Proof. Niech Y - będzie A mierzalna zmienna losowa taka, że E XY <. Mamy E(Y E(X A)) = E(Y X) = EY EX = E(Y EX). Jednoznaczność warunkowej wartości oczekiwanej daje natychmiast tezę. 9. Jeżeli E X <, to min Y E(X Y )2 = E(X E(X A)) 2, (4) gdzie minimum bierze się względem wszystkich zmiennych losowych A -mierzalnych. Proof. E(X Y ) 2 = E(X E(X A) + E(X A)) 2 = E(X-E(X A)) 2 + 2E(E(X A)(X E(X A)) + E(E(X A)) 2. Ale E(E(X A)(X E(X A)) = E (E (X A) E (X E(X A) A)) = 0 na podstawie własności 4. Stad teza. Uwaga 7 To jest najważniejsza (z punktu zastosowań) własno sć warunkowej warto sci oczekiwanej. Lepiej będzie jej waga widoczna, gdy rozważymy przypadek szczególny, mianowicie gdy założymy, że A =σ(z) dla jakiego s wektora losowego. Wówczas, jak pamiętamy, wszystkie A mierzalne zmienne losowe sa postaci g(z). Własno sć 4 przybierze w tym przypadku postać: min E(X g borelowska g(z))2 = E(X E(X Z)) 2. (5) Innymi słowy warunkowa warto sć oczekiwana jest najlepsza (w sensie sredniokwadratowym) aproksymacja zmiennej losowej X przy pomocy funkcji borelowskiej wektora Z. Aby doceníc wagę tego wyniku radzimy przypomnieć sobie rozwiaza- nia zagadnień minimalizacji przestawionych na wykładach 7 i Jeżeli E X <, to dla każdej zmiennej losowej Y A mierzalnej i takiej, że E XY <, zmienne losowe Y i X E(X A) sa nieskorelowane. Proof. Mamy EY (X E(X A)) = E (Y E (X E(X A) A)) = 0 na podstawie własności 4. 5
6 2.4 Generatory Liczb Losowych Wstęp Zaczniemy od cytatu z Johna von Neumanna: "Any one who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. For, as has been pointed out several times, there is no such thing as a random number - there are only methods to produce random numbers, and a strict arithmetic procedure of course is not such a method." Wykonajmy serię niezależnych rzutów moneta i zanotujmy obserwowane wyniki, piszac 0 - gdy wynikiem rzutu jest reszka, lub 1 - gdy wynikiem rzutu jest orzeł. Ponieważ prawdopodobieństwo zaobserwowania orła jest takie samo jak prawdopodobieństwo zaobserwowania reszki i równe 1/2, więc zmienna losowa wynik rzutu ma rozkład dwupunktowy i przyjmuje wartości 0 lub 1 z jednakowym prawdopodobieństwem. Mówimy, że ta zmienna losowa ma rozkład równomierny na zbiorze {0, 1}. W wyniku opisanego postępowania otrzymamy więc np. następujacy ciag liczb: 1, 0, 0, 1, 1,... Taki ciag przyjęto nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0, 1}. Monetę, za pomoca której otrzymujemy tego typu ciagi, nazywamy generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0, 1}. Przygotujmy jednakowych kartek i ponumerujmy je kolejnymi liczbami czterocyfrowymi: 0000,0001,0002,..., Wrzućmy wszystkie kartki do urny. Losujmy z urny po jednej kartce, tak żeby w każdym losowaniu każda z nich miała jednakowa szansę na wyjęcie z urny. Zmienna losowa wylosowany numer ma rozkład równomierny na zbiorze {0000, 0001, 0002,..., 9999}. Jeżeli opisane losowanie powtórzymy wielokrotnie (po każdym z nich zwracajac wylosowana kartkę z powrotem do urny), to otrzymamy np. następujacy ciag liczb: 1722, 4355, 0234,.... Taki ciag będziemy nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na zbiorze {0000, 0001, 0002,..., 9999}, a urnę z ponumerowanymi kartkami generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na tym zbiorze. Weźmy pod uwagę ruletkę o obwodzie równym 1 i niech A będzie wyróżnionym punktem na obwodzie tarczy tej ruletki. Tarczę wprawia się w ruch obrotowy i wrzuca na nia kulkę K, która, dzięki konstrukcji ruletki zatrzymuje się zawsze na brzegu tarczy. Niech U będzie długościa łuku AK. Załóżmy, że zmienna losowa U ma rozkład równomierny na przedziale (0, 1) rozkład ten będziemy oznaczali U (0, 1). W wyniku kilku eksperymentów z ruletka otrzymamy np. następujacy ciag liczb: 0, 2217, 0, 5543, 0, 3402,.... taki ciag przyjęto nazywać ciagiem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na przedziale (0, 1) a ruletkę generatorem liczb losowych o rozkładzie równomiernym U(0, 1). Zadania, w których do rozwiazywania używa się ciagów liczb losowych, można podzielić na trzy grupy. Grupę pierwsza (również pierwsza historycznie) tworza zadania zwiazane z badaniami reprezentacyjnymi. Problem opisu różnych zbiorów (populacji) za pomoca próbek losowanych z tych zbiorów jest typowym problemem statystycznym. Przykładami sa tu badania różnych zjawisk społecznych przez szczegółowy opis jednostek wybranych losowo z populacji interesujacych badacza obiektów 6
7 (ludzi, zakładów pracy, środowisk, szkół, itp.) łub zadania ze statystycznej kontroli jakości, w których partie różnych towarów opisuje się na podstawie badania losowo wybranych próbek tych towarów. W praktyce stosuje się tu nie tylko takie schematy losowania, jak podany wyżej przykład losowania prostego z urny; obszerny przeglad różnych metod generowania prób losowych w takich sytuacjach można znaleźć np. w ksiażce Zasępy (1962) i w ksiażce Brachy (1996). Grupę druga stanowia zadania numeryczne rozwiazywane metodami Monte Carlo. Zadanie numeryczne (typowym przykładem jest zadanie obliczania wartości danej całki) zastępuje się wówczas zadaniem rachunku prawdopodobieństwa, które z kolei rozwiazuje się na drodze eksperymentu statystycznego. Podstawowa częścia tego eksperymentu jest losowanie próbki z odpowiedniej populacji, a więc generowanie odpowiedniego ciagu liczb losowych. Obszerny wykład różnych sposobów postępowania w takich sytuacjach można znaleźć w ksiażkach: Hammersleya i Handscomba (1961) Zielińskiego (1970), Jermakowa (1976), Niederreitera i Shiue (1995). Najnowsze metody tego typu dotycza stochastycznych algorytmów szukania minimum globalnego danej funkcji, czemu poświęcona jest minimonografia Zielińskiego i Neumanna (1986) oraz liczne prace dotyczace symulowanego wyżarzania (ang. simulated annealing) z ostatniego dziesięciolecia; aktualne wyniki na ten temat można znaleźć w pracy Wieczorkowskiego (1995). Grupę trzecia stanowia zadania zwiazane z badaniem różnych zjawisk i procesów (technicznych, ekonomicznych, przyrodniczych) za pomoca ich komputerowej symulacji (modelowania). O przebiegu takich procesów decyduja najczęściej czynniki losowe, a modelowanie wpływu tych czynników sprowadza się do losowania próbek z odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa, czyli do generowania odpowiednich ciagów liczb losowych. W sytuacjach realnych korzystanie z opisanych wyżej generatorów liczb losowych (moneta, urna lub ruletka) jest, oczywiście, najczęściej niemożliwe i w praktyce takie prawdziwe"generatory sa zastępowane pewnymi ich namiastkami. Jeszcze do niedawna powszechnie posługiwano się tablicami liczb losowych, obecnie stosuje się odpowiednie programy komputerowe. Dalej mówiac o generatorach liczb losowych mamy właśnie na myśli takie programy. Podstawowa rolę odgrywaja generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernymi U(0, 1). Liczby otrzymywane w wyniku obliczeń wykonywanych za pomoca programów komputerowych nie sa oczywiście tak losowe"jak liczby uzyskiwane przez rzuty moneta, losowanie z urny lub obracanie koła ruletki. W celu podkreślenia tego faktu używa się często nazw liczby pseudolosowe lub liczby guasi-losowe, ale nie będziemy tutaj rygorystycznie trzymali się tych nazw dalej mówimy po prostu o programowych generatorach liczb losowych. Jak już wspomniano, w zastosowaniach potrzebne sa liczby losowe o różnych rozkładach prawdopodobieństwa, np. liczby o rozkładzie normalnym lub liczby opisujace realizacje procesu Poissona. Wszystkie takie liczby losowe można otrzymać przez odpowiednie manipulacje liczbami z generatora liczb losowych o rozkładzie równomiernym U (0, 1). W zwiazku ze stosowaniem różnych generatorów liczb losowych powstaje problem testowania tych generatorów. Ogólnie mówiac, sprowadza się on do 7
8 testowania odpowiednich hipotez statystycznych o generatorze. Komputerowe generatory liczb losowych sa w dzisiejszych czasach jednym z najczęściej używanych narzędzi każdego badacza: matematyka, lekarza, inżyniera, ekonomisty, socjologa, chemika i fizyka - do symulacji procesów losowych. Użytkownik tego komputerowego narzędzia zwykle bardzo szybko zaczyna doceniać jego potężne możliwości, a zarazem, posługujac się nim, odczuwa przyjemność i satysfakcję. 2.5 Generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernym Historycznie najstarszym generatorem jest tzw. generator von Neumanna: Główna idea to generowanie kolejnych N cyfrowych (N parzyste) liczb nieujemnych całkowitych zgodnie z algorytmem X n+1 = f (X n ), gdzie wartość f oblicz się w następujacy sposób. Obliczmy kwadrat X n. ma on co najwyżej 2N cyfr (gdy nie ma uzupełniamy cyfry na poczatku o zera) Za X n+1 bierzemy liczbę utworzona ze środkowych N cyfr. Nie byłto zbyt dobry generator. Wymyślono inne. Każdy generator liczb pseudolosowych generuje ciagi okresowe! Tzn. że istnieja takie liczby całkowite a i P, że i a : X i = X i+jp Ogólny schemat ciagu generowanego przez generatory pseudo losowe jest następujacy X 0, X 1,..., X a 1, X a,..., X a+p 1, X a+p,... Fragment ciagu X 0, X 1,..., X a 1 nazywa się okresem aperiodyczno sci Generatory liniowe To generatory postaci: X n+1 = c + k a j X n+1 k mod m, j=1 gdzie liczby c, a 1,..., a k i m sa ustalonymi liczbami charakteryzujacymi algorytm. a mod b oznacza resztę z dzielenia a przez b. Liczby X 0,..., X k przyjmuje się za dane. W praktyce przyjmuje się k = 1. Gdy c = 0 mówimy o estymatorach multyplikowanych zaś gdy c 0 to taki generator nazywamy mieszanym. Można sformułować pewne prawidłowości dotyczace tego typu generatorów: 1. Okres generatora liniowego nie może przekraczać m. 8
9 (a) Gdy m = 2 L to okres generatora multyplikowanego nie przekracza 2 L 2, (b) Gdy m jest liczba pierwsza, to okres generatora multyplikowanego nie przekracza m Generatory multiplikatywne osiagaj a maksymalny okres gdy: (a) m = 2 L L 4 liczba X 0 jest nieparzysta i a = 3 5 mod 8 np. stary używany w komputerach IBM360/370 generator RANDU a = i m = 2 31 (b) m jest liczba pierwsza gdy a (m 1)/p 1 mod m, gdzie p jest pierwsza liczba dzielac a m 1. Można wziać np. a = 7 5, m = (jest to tzw. liczba Mersenne a czyli liczb postaci 2 p 1 gdzie p jest pierwsza) 3. Generator mieszany osiaga pełny okres m w.i.t.w. spełnione następujace warunki: gdy jednocześnie sa (a) liczby c i m nie maja wspólnych dzielników, (b) a = 1 mod p dla każdego dzielnika pierwszego liczby m (c) a = 1 mod 4 jeśli 4 jest dzielnikiem m Przykładem takiego wyboru sa liczby a = 69069, c = 1 i m = 2 32 Zauważono, że generatory liniowe moga mieć regularna strukturę przestrzenna. Szczegóły np. w ksiażce Wieczorkowski Zieliński. Rozważa się także ogólne generatory liniowe postaci X n+1 = AX n mod m, gdzie X 1, X 2,... sa wektorami R k k > 1 a A jest macierza. Operacja mod wykonywana jest po współrzędnych Generatory oparte na rejestrach przesuwanych Niech k będzie ustalona liczba naturalna i rozważmy ciag zdefiniowany przez: b i = (a 1 b i a k b i k ) mod 2, i k+1 zaś współczynniki a 1, a 2,..., a k {0, 1}. Zakładamy, ze liczby b 1,..., b k sa dane. Nietrudno zauważyć, że okres takiego generatora nie może przekraczać 2 k gdyż istnieje co najwyżej 2 k różnych układów k elementowych (b 1,..., b k ) 9
10 2.5.3 Generatory Fibonacciego Przypominamy, że ciag {f i } generowany przez nierówność f n = f n 1 + f n 2, gdzie f 0 = f 1 = 1 nazywa się ciagiem Fibonacciego. W teorii generatorów liczb losowych generatorami Fibonacciego nazywamy generatory postaci: X n = X n r + X n s mod m, dla pewnych r > s 1. Najprostszy z tych generatorów tzn. z r = 2 i s = 1 nie spełniałniektórych testów np. testu serii (patrz niżej). Uogólniono także te generatory zastępujac dodawanie innym działaniem np. odejmowaniem, czy mnożeniem. Ogólnie. Takie generatory oznacza się symbolem F (r, s, ). Zbadano dla jakich r, s i takie generatory maja maksymalny okres. Okazuje się że np. jeśli m = 2 L to maksymalny okres generatora F (r, s, +) oraz F (r, s, )wynosi (2 r 1) 2 L 1. Stosuje się też kombinacje generatorów rożnych typów Generatory nieliniowe Określimy najpierw co rozumiemy przez c 1 mod m dla liczb całkowitych. Mianowicie { c 1 0 gdy c = 0 = c m 2 mod m gdy c > 0. Zauważmy, ze cc 1 = c m 1 = 1 mod m. Wówczas rozważa się np. następujace 2 generatory nieliniowe zaproponowane przez Eichenauera i współpracowników: X n+1 = ( ax 1 n + b ) mod m, X n = (a(n + n 0 ) + b) 1 mod m. Maja one dobre własności statystyczne. Generatorem posiadajacym najdłuższy znany okres i taki który przeszedł pozytywnie szereg testów statystycznych jest opisany na stronie: Ma on następujace zalety okres = It has a very high order of dimensional equidistribution (see linear congruential generator). It passes numerous tests for statistical randomness, including the Diehard tests. It passes most, but not all, of the even more stringent TestU01 Crush randomness tests 10
11 2.6 Testy statystyczne Testy zgodności z rozkładem U (0, 1) Test chi-kwadrat Przypomnijmy, że test chi-kwadrat zgodności rozkładu z próby z zadanym rozkładem o dystrybuancie F polega na tym, że dzieli się nośnik rozkładu przy pomocy liczb a = a 0 < a 1 <..., a k = b, gdzie liczby a i b sa takie, że F (a) = 1 F (b) = 0. Oznaczmy p i = P (a i 1 < X a i ), i = 1, 2,..., k. Oznaczmy przez n i liczbę takich elementów próby X = (X 1,..., X n ) które spełniaja warunek a i 1 < X a i Test zgodności jest oparty na statystyce χ 2 k 1 = k i=1 (n i np i ) 2 np i, która dla dużych n i np i > 0 ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat o k 1 st. swobody. Dla rozkładu jednostajnego U (0, 1) i równomiernego rozbicia p i = 1 k statystyka powyższa się upraszcza i mamy χ 2 k 1 = k n k n 2 i n. i=1 Test równomierności z rozkładem wielowymiarowym. Dzielimy kostkę (0, 1) m na k m kostek w ten sposób, ze przedział(0, 1) rozbijamy na k równych podprzedziałów postaci ((j 1)/k, j/k), j = 1,..., k. Niech n i oznacza ilość elementów z próby (X 1,..., X n ) które wpadły do i tej kostki. Wówczas używamy statystyki χ k m 1 = km n k m i=1 n 2 i n Istnieje modyfikacja tego testu polegajaca na tym, że rozważamy następujacy podziałpróby (X 1,..., X m ),(X 2,..., X m+1 ),(X 3,..., X m+2 ),.... Niech N będzie długościa próby. Ilość tak zbudowanych m tek jest równa N m + 1. Niech n i będzie ilościa elementów próby które wpadły do i tej kostki. Oznaczmy ψ 2 0 = 0, ψ 2 m = i (n i (N m + 1) /k m ) 2 (N m + 1) /k m, m = 1, 2, 3,... Gdy N jest dostatecznie duże zmienna losowa ψ 2 m ψ 2 m 1 ma w przybliżeniu rozkład χ 2 o k m k m 1 st. swobody. 11
12 Test OPSO OPSO=(overlaping pairs sparse occupancy) Z próby X 1, X 2,..., X n tworzymy ciag liczb całkowitych (I i ) n i=1 bior ac po b bitów z rozwinięcia 2 kowego każdej z liczb X i. Zauważmy, że I i B = { 0,..., 2 b 1 }. Tworzymy ciag par (I 1, I 2 ), (I 2, I 3 ),..., (I n 1, I n ). Niech Y będzie ilościa par ze zbioru B B które nie pojawiły się w ciagu (I 1, I 2 ), (I 2, I 3 ),..., (I n 1, I n ). Okazuje się że Y ma (dla dużych n) rozkład normalny N ( µ, σ 2). Np. gdy b = 10, n = 2 21 to µ = a σ = 290, 26 itd. Test ten zaproponowany przez Marsaglię w (1984) wyeliminowałkilka generatorów. Test Kołmogorowa Niech X == (X 1,..., X n ) będzie ciagiem i.i.d z rozkładu F. Niech F n będzie dystrybuanta empiryczna z próby X tzn. Tworzymy statystykę F n (x) = 1 n # {i : X i x}. D n = sup F n (x) F (x), x R Okazuje się ze jej rozkład nie zależy od F i jest stablicowany lim n > P ( nd n t ) = ( 1) j exp ( 2j 2 t 2) j= 1 2 ( 1) j 1 exp ( 2j 2 t 2). j=1 Rozkład ten nazywa się rozkładem λ Kołmogorowa i jest stablicowany Testy zgodności z rozkładem wybranych funkcji m zmiennych Dzielimy próbę na odcinki o długości m i wybieramy funkcje h : R m > R i obliczamy Y j = h ( X (j 1)m+1,..., X jm ), j = 1,.... Niech G będzie dystrybuanta Y 1. Następnie testujemy zgodność rozkładu Y 1, Y 2,... z G. I tak standardowo testuje się zgodność z rozkładem statystyk pozycyjnych: tzn. bierze się h (x 1,..., x n ) = max (x 1,..., x n ) lub h = min (x 1,..., x n ) lub np. h (x 1,..., x n ) = max (x 1,..., x n ) min (x 1,..., x n ). Wiadomo, że P (max (X 1,..., X n ) y) = y n, P (min (X 1,..., X n ) y) = 1 (1 y) n. P (max (X 1,..., X n ) min (X 1,..., X n ) y) = ny n 1 (n 1) y n itd. lub wybiera się h (x 1,..., x n ) = n i=1 x i Rozkład G ma gęstość g n (y) = 1 (n 1) n ( ) ( 1) k 1 n (y k + 1) n 1. k 1 k=1 12
13 Można też wymienić tzw. d 2. Polega on na podzieleniu próby na odcinki 4 elementowe o obliczeniu dla każdej czwórki wielkości d 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (x 3 x 4 ) 2 czyli kwadratu odległości miedzy para (x 1, x 2 ) i para (x 3, x 4 ). Więcej można na ten temat przeczytać w monografii Wieczorkowskiego i Zielińskiego 13
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo i jej zastosowania
i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowo1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoSieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoModelowanie komputerowe
Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoZ Wikipedii, wolnej encyklopedii.
Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoGdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).
PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoWykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.
Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoPodstawy symulacji komputerowej
Podstawy symulacji komputerowej Wykład 3 Generatory liczb losowych Wojciech Kordecki wojciech.kordecki@pwsz-legnica.eu Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Wydział Nauk Technicznych
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowo1 Warunkowe wartości oczekiwane
Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoGenerowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowo