Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 9. klasyczny rachunek nazw relacje

Transkrypt

1 WYKŁAD 9 klasyczny rachunek nazw relacje 1

2 Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok.13 tel dyŝur: poniedziałki, godz [w razie potrzeby dyŝur będzie dłuŝszy] 2

3 Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154 (cienka ksiąŝka) 3

4 Rachunek nazw (Arystoteles) Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w którym występują dwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) połączone funktorem zdaniotwórczym jest. WyróŜniamy cztery typy zdań kategorycznych: 1. zdanie ogólno-twierdzące KaŜde S jest P (SaP) 2. zdanie ogólno-przeczące śadne S nie jest P (SeP) 3. zdanie szczegółowo-twierdzące Niektóre S są P (SiP) 4. zdanie szczegółowo-przeczące Niektóre S nie są P (SoP) S - subiectum (podmiot) P - praedicatum (orzecznik) SaP, SiP - affirmo (twierdzę) SeP, SoP - nego (przeczę) Przykład KaŜdy adwokat jest prawnikiem. (SaP) śaden sędzia nie jest prokuratorem. (SeP) Niektórzy prawnicy są prokuratorami. (SiP) Niektórzy prawnicy nie są prokuratorami. (SoP) Ex(S) SiS (zdanie Ex(S) stwierdza istnienie obiektu będącego S, czyli stwierdza niepustość S) 4

5 Zdania SaP i SiP mają tę samą JAKOŚĆ (w tym przypadku twierdzącą), zaś zdania SaP i SeP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku ogólną). Podobnie, zdania SeP i SoP mają te samą JAKOŚĆ (w tym przypadku przeczącą), zaś zdania SiP i SoP mają tę samą ILOŚĆ (w tym przypadku szczegółową). Zmiana jakości zdania bez zmiany jego ilości oznacza zamianę, albo SaP na SeP, albo SeP na SaP, albo SiP na SoP, albo zamianę SoP na SiP. Zmiana ilości zdania bez zmiany jego jakości oznacza zamianę, albo SaP na SiP, albo SiP na SaP, albo SeP na SoP, albo zamianę SoP na SeP. Jednoczesna zmiana ilości i jakości zdania oznacza zamianę, albo SaP na SoP, albo SoP na SaP, albo SeP na SiP, albo zamianę SiP na SeP. 5

6 diagramy Venna zdanie prawdziwe zdanie fałszywe SaP SeP SiP SoP 6

7 Prawa z kwadratu logicznego SaP x (x S x P) x (x S x P) SoP SeP x (x S x P) x (x S x P) SiP SiP x (x S x P) x (x S x P) SeP SoP x (x S x P) x (x S x P) SaP SaP przeciwne SeP podporządkowane sprzeczne sprzeczne podporządkowane SiP podprzeciwne SoP (SaP Ex(S)) SeP ( SiP Ex(S)) SoP (SaP Ex(S)) SiP (SeP Ex(S)) SaP ( SoP Ex(S)) SiP (SeP Ex(S)) SoP 7

8 S II I III P S - zakres nazwy S P - zakres nazwy P I - obiekty S, które są P II - obiekty S, które nie są P III - obiekty P, które nie są S 8

9 Zadanie WykaŜ, Ŝe: (SaP Ex(S)) SeP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy krasnal ma czapkę i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe Ŝaden krasnal nie ma czapki. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] (SeP Ex(S)) SaP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma pistoletu i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to nieprawdą jest, Ŝe kaŝdy krasnal ma pistolet. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 9

10 ( SiP Ex(S)) SoP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal ma chorobę weneryczną i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma choroby wenerycznej. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] ( SoP Ex(S)) SiP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli nieprawdą jest, Ŝe pewien krasnal nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma narzeczoną. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 10

11 (SaP Ex(S)) SiP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli kaŝdy krasnal ma czapkę i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal ma czapkę. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] (SeP Ex(S)) SoP Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli Ŝaden krasnal nie ma narzeczonej i jakiś krasnal istnieje (krasnale istnieją), to pewien krasnal nie ma narzeczonej. [nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?] 11

12 Prawa konwersji (konwersja to przestawienie podmiotu i orzecznika) prostej z ograniczeniem 2 1 SeP PeS SiP PiS (SaP Ex(S)) PiS (SeP Ex(P)) PoS

13 Prawa obwersji (obwersja to zanegowanie orzecznika i zmiana jakości zdania) (1) SaP Se-P (2) SeP Sa-P (3) SiP So-P (4) SoP Si-P (1) (2) (3) (4) 13

14 Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji) prostej z ograniczeniem 2 1 SeP Pa-S SiP Po-S (SaP Ex(S)) Po-S (SeP Ex(P)) Pi-S

15 Prawa kontrapozycji częściowej (kontrapozycja częściowa = konwersja + zmiana jakości + negacja orzecznika) 1 SaP -PeS 2 SoP -PiS 3 (SeP Ex(S)) -PiS 4 (SaP Ex(-P)) -SoP

16 zupełnej (kontrapozycja zupełna = konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu) 1 SaP -Pa-S 2 SoP -Po-S 3 (SeP Ex(S)) -Po-S 4 (SaP Ex(-P)) -Si-P

17 Prawa inwersji częściowej (inwersja częściowa = negacja podmiotu + zmiana jakości + zmiana ilości) zupełnej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana ilości) 1 (SeP Ex(P)) -SiP 2 (SeP Ex(P)) -So-P

18 Tryby sylogistyczne Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze stałych a, e, i, o i ze zmiennych nazwowych. Trybem sylogistycznym nazywamy schemat wnioskowania spełniający dwa warunki: 1. Wstępują w nim dwie przesłanki będące formami zdania kategorycznego i ewentualnie przesłanka o niepustości jakiegoś terminu. Wiosek jest teŝ formą zdania kategorycznego. 2. Wstępują w nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku występuje w jednej przesłance, a orzecznik wniosku występuje w drugiej przesłance. Termin występujący w obu przesłankach nie występuje we wniosku - jest on nazywany terminem średnim. Mamy więc cztery moŝliwe figury trybów sylogistycznych: I II III IV M P P M M P P M S M S M M S M S S P S P S P S P 18

19 Poprawne tryby sylogistyczne figura I MaP MeP MaP SaM MeP SaM MaP MeP SaM Ex(S) SaM Ex(S) SiM SiM SaP SiP SeP SoP SiP SoP figura II figura III figura IV PeM PaM PeM SaM PaM SeM PeM PaM SaM Ex(S) SeM Ex(S) SiM SoM SeP SoP SeP SoP SoP SoP MaP MeP MaS MiP MaP MaS MoP MeP Ex(M) MaS MiS Ex(M) MaS MiS SiP SiP SiP SoP SoP SoP PaM PaM PeM MaS PaM MeS PiM MaS PeM Ex(P) MeS Ex(S) MaS Ex(M) MiS SiP SeP SoP SiP SoP SoP 19

20 Zadanie. Sprawdź niezawodność następujących trybów sylogistycznych: MeP SaM SeP PeM SiM SoP niezawodny niezawodny 20

21 PeM SaM Ex(S) SoP PeM MeS SeP niezawodny zawodny 21

22 Dotyczy wszelkich rozumowań, nie tylko trybów sylogistycznych: Rozumowanie jest poprawne, gdy nie jest w nim popełniony, ani błąd formalny (jest poprawne logicznie), ani materialny (jest poprawne treściowo). Błędem materialnym jest wykorzystanie w rozumowaniu przesłanki fałszywej, czyli wzięcie jakiejś przesłanki fałszywej za prawdziwą. Błędem formalnym jest zastosowanie zawodnego (niededukcyjnego) schematu wnioskowania. Wówczas, wniosek nie wynika logicznie z przesłanek, ani na mocy klasycznego rachunku zdań, ani na mocy klasycznego rachunku kwantyfikatorów, ani na mocy klasycznego rachunku nazw. 22

23 PaM MaS SiP PaM MaS Ex(P) SiP zawodny Brak załoŝenia niepustości P - np. jeśli kaŝdy pegaz (P) ma skrzydła umoŝliwiające latanie (M), i kaŝda istota mająca skrzydła umoŝliwiające latanie (M) moŝe latać (S), to i tak nie wynika z tego, Ŝe pewna istota latająca jest pegazem. Rozumowanie niepoprawne choć zastosowane do prawdziwych przesłanek, bo niededukcyjne (z powodu popełnienia błędu formalnego). niezawodny Istnienie załoŝenia niepustości P gwarantuje niezawodność trybu - nawet rozumowanie dotyczące pegazów jest wnioskowaniem logicznym: jeśli kaŝdy pegaz (P) ma skrzydła umoŝliwiające latanie (M), i kaŝda istota mająca skrzydła umoŝliwiające latanie (M) moŝe latać (S) i pegaz istnieje, to pewna istota latająca jest pegazem. Rozumowanie dedukcyjne choć niepoprawne, z powodu popełnienia błędu materialnego, czyli wykorzystania przesłanki fałszywej. 23

24 Relacje Definicja pary uporządkowanej <a,b> = {{a},{a,b}}. Wprost z definicji pary uporządkowanej wynika, Ŝe <a,b> <b,a > (bo przecieŝ {{a},{a,b}} {{b},{a,b}}). <a,b> = <c,d > wtw a = c i b = d. Definicja trójki uporządkowanej Definicja n-tki uporządkowanej <a,b,c> = <<a,b>,c>. <a 1,...,a n > = <<a 1,...,a n-1 >,a n >. Z definicji n-tki uporządkowanej wynika, Ŝe <a,b,c> = <<a,b>,c> = <{{a},{a,b}},c> = {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}. <a 1,...,a n > = <b 1,...,b n > wtw a 1 = b 1,..., a n = b n. 24

25 Zdanie stwierdzające zachodzenie relacji R między obiektami a i b ma postać (róŝne notacje): arb (a pozostaje z b w relacji R) (a jest w relacji R z b) R(a,b) <a,b> R (para uporządkowana <a,b> naleŝy do (jest w) relacji R) Notacja druga i trzecia umoŝliwiają wyraŝenie relacji więcej niŝ dwuczłonowej: R(a,b,c), R(a 1,...,a n ) <a,b,c> R, <a 1,...,a n > R 25

26 Definicja nieformalna relacji Relacją nazywamy związek zachodzący pomiędzy przedmiotami określonego typu. [dość kiepska definicja, bo jak na jej podstawie mówić np. o sumie relacji?] Definicja relacji Relacją nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Relacja jest n-argumentowa jeśli jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego n zbiorów. [dobra definicja] Zatem Relacja dwuczłonowa, to zbiór par uporządkowanych, relacja trójczłonowa, to zbiór trójek uporządkowanych, relacja czteroczłonowa, to zbiór czwórek uporządkowanych, itd. relacja n-członowa, to zbiór n-tek uporządkowanych. 26

27 Przykład 1: Jeśli L jest zbiorem [wszystkich] ludzi, to iloczyn kartezjański LxL jest zbiorem [wszystkich moŝliwych] par uporządkowanych ludzi. Wśród tych par są np. takie, Ŝe na pierwszym miejscu znajduje się człowiek posiadający dziecko, a na drugim to właśnie dziecko. Wszystkie te i tylko te pary tworzą relację bycia rodzicem : ar 1 b wtw a jest rodzicem b. gdzie relacja bycia rodzicem = {<a,b> LxL: <a,b> R 1 } R 1 LxL. Dlatego poprawna definicja relacji mówi tylko o tym, Ŝe relacja jest [jakimś] podzbiorem iloczynu kartezjańskiego pewnych zbiorów. To zaś jaką jest relacją zaleŝy od tego jakim jest podzbiorem. Ma tu miejsce definicyjne utoŝsamienie bycia konkretnym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego z treściowo rozumianym byciem jakąś konkretną relacją. 27

28 Przykład 2: Relacją dwuczłonową R 1 jest x jest rodzicem y-ka. Zatem, jeśli a jest rodzicem b, to ar 1 b. Relacją trójczłonową R 2 jest x jest rodzicem y-ka w chwili z. Zatem, jeśli a jest rodzicem b w przedziale czasu do którego naleŝy chwila t, to R 2 (a,b,t). Przykładową relację pięcioczłonową R 3 tworzą wszystkie takie piątki uporządkowane <a,b,c,d,e>, w których a jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŝy chwila e rodzicem płci Ŝeńskiej, b jest dla c i d w przedziale czasu, do którego naleŝy chwila e rodzicem płci męskiej (czyli, c i d są dziećmi a i b w przedziale czasu, do którego naleŝy chwila e). 28

29 Dla relacji dwuczłonowych jest sens mówić o dziedzinie i przeciwdziedzinie relacji. Dziedzina relacji R: czyli D R = {x: <x,y> R} x D R wtw y xry. Przeciwdziedzina relacji R: czyli D R = {y: <x,y> R}. y D R wtw x xry. Pole relacji R: P R = D R D R. 29

30 Przykład 3: Dziedziną relacji R 1 jest zbiór wszystkich ludzi, którzy są rodzicem dla przynajmniej jednego dziecka. Przeciwdziedziną relacji R 1 jest zbiór wszystkich ludzi, dla których ktoś jest rodzicem. Pytania do przykładu 3: W jakiej chwili ktoś jest, a w jakiej ktoś nie jest rodzicem? W jakiej chwili ktoś ma rodzica? Czy przeciwdziedzina relacji R 1 jest równa zbiorowi wszystkich ludzi? Których ludzi? Czy tylko tych, Ŝyjących? Czy pole relacji R 1 jest równe przeciwdziedzinie tej relacji? W jakim sensie ktoś jest rodzicem? W sensie biologicznym, czy w świetle prawa? Odpowiedzi na te pytania zaleŝą, od tego jak zdefiniowana jest relacja R 1, czyli od tego, które konkretnie pary uporządkowane ją tworzą, a więc i od tego jak określony jest L - zbiór wszystkich ludzi. Niestety, zazwyczaj poprzestajemy na niedookreśleniach. 30

31 Rodzaje relacji: Niech R ZxZ. Relacją pustą jest: Relacją pełną w Z jest: R = (Ŝadna para uporządkowana nie jest w relacji R) R = ZxZ (kaŝda para uporządkowana jest w relacji R) Konwersem relacji R (relacją odwrotną do R) jest: R -1 = {<x,y>: <y,x> R} Ograniczeniem relacji R w dziedzinie do zbioru A jest: R D A = {<x,y>: x A <x,y> R} Ograniczeniem relacji R w przeciwdziedzinie do zbioru A jest: R D- A = {<x,y>: y A <x,y> R} Ograniczeniem relacji R w polu do zbioru A jest: R P A = {<x,y>: x A y A <x,y> R} Iloczynem relacji R i S jest: R S = {<x,y>: <x,y> R <x,y> S} Sumą relacji R i S jest: R S = {<x,y>: <x,y> R <x,y> S} Iloczynem względnym relacji R i S jest: R S = {<x,z>: y (<x,y> R <y,z> S)} R jest relacją lewostronnie jednoznaczną (R L! ) jeśli: x,y,z ((<x,z> R <y,z> R) x = y) R jest relacją prawostronnie jednoznaczną (R P! ) jeśli: x,y,z ((<x,y> R <x,z> R) y = z) R jest relacją jednoznaczną (R! ) jeśli R jest lewostronnie jednoznaczną i R jest prawostronnie jednoznaczną. 31

32 Przykład 4: Pustą relacją jest x jest ojcem x. Pełną relacją jest x jest przodkiem y lub x nie jest przodkiem y. Konwersem relacji x jest męŝem y jest relacja y jest Ŝoną x (takŝe x jest Ŝoną y ). Ograniczeniem relacji x jest rodzicem y w dziedzinie do zbioru kobiet jest x jest matką y. Ograniczeniem relacji x jest rodzicem y w przeciwdziedzinie do zbioru osób płci Ŝeńskiej jest relacja x jest rodzicem y, gdzie y jest córką x-a (nie x jest córką y, bo to byłby konwers tej relacji). Relację x jest rodzicem y moŝna ograniczyć w polu do zbioru osób zameldowanych w mieście Łodzi. Iloczynem relacji x jest ojcem y i x jest młodszy od y jest relacja pusta. Sumą relacji x jest ojcem y i x jest matką y jest relacja x jest rodzicem y. Iloczynem względnym relacji x jest matką y i y jest Ŝoną z jest relacja... x jest kochaną mamusią z. Relacja x jest matką y jest lewostronnie jednoznaczna. Relacja x jest wicewojewodą y jest prawostronnie jednoznaczna. Relacja x jest wojewodą y jest jednoznaczna. 32

33 Rodzaje relacji (c.d.): Niech R ZxZ. R jest zwrotna w Z wtw x Z xrx R jest przeciwzwrotna w Z wtw x Z (xrx) R jest symetryczna w Z wtw x,y Z (xry yrx) R jest przeciwsymetryczna w Z wtw x,y Z (xry (yrx)) R jest na wpół (słabo) przeciwsymetryczna w Z wtw x,y Z ((xry yrx) x = y) * R jest przechodnia (tranzytywna) w Z wtw x,y,z Z ((xry yrz) xrz) R jest przeciwprzechodnia (przeciwtranzytywna) w Z wtw x,y,z Z ((xry yrz) (xrz)) R jest spójna w Z wtw x,y Z (xry yrx x = y) * tradycyjną nazwą tej relacji jest słabo antysymetryczna R jest relacją równowaŝności na Z wtw R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia R jest relacją porządkującą zbiór Z wtw R jest przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w Z. R jest relacją częściowo porządkującą zbiór Z wtw R jest zwrotna, słabo przeciwsymetryczna i przechodnia w Z. R jest relacją liniowo porządkującą zbiór Z wtw R jest częściowo porządkująca zbiór Z oraz jest spójna w Z. 33

34 Przykład 5: Relacją zwrotną na zbiorze ludzi jest x jest tego samego wzrostu co y. Relacją symetryczną na zbiorze ludzi jest x jest małŝonkiem y. Relacją przeciwsymetryczną na zbiorze ludzi jest x jest Ŝoną y. Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze mizantropów-egoistów jest x kocha y. Relacją słabo przeciwsymetryczną na zbiorze liczb jest x y. Relacją przechodnią na zbiorze ludzi jest x jest przodkiem y. Relacją przeciwprzechodnią na zbiorze ludzi jest x jest synem y. Relacją spójną na zbiorze liczb naturalnych jest rok urodzenia x jest wcześniejszy niŝ rok urodzenia y. 34

35 Uwaga oczywista 1: Relacja, która nie jest symetryczna nie musi być przeciwsymetryczna, np. x szanuje y. Relacja, która nie jest, ani symetryczna, ani przeciwsymetryczna nie musi być słabo przeciwsymetryczna. Bywają relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani słabo przeciwsymetryczne. Przykładem takiej relacji jest x kocha y określona na zbiorze ludzi. Uwaga oczywista 2: Relacja, która nie jest przechodnia nie musi być przeciwprzechodnia. Bywają relacje, które nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie. Przykładem takiej relacji jest x jest krewnym y określona na zbiorze ludzi. Gorąca prośba: Nie twórzmy relacji nonsymetrycznych, jako takich, które miałyby nie być, ani symetrycznymi, ani przeciwsymetrycznymi, czy teŝ relacji nontranzytywnych, które miałyby nie być, ani tranzytywnymi, ani przeciwtranzytywnymi. Tak jak nie tworzymy równoległoboków samych (choć takie pomysły istnieją tu i ówdzie), które miałyby być tymi, które nie są, ani rombami, ani prostokątami. Skoro o człowieku nie powie się, ani Ŝe jest parzysty, ani Ŝe jest nieparzysty, to nie znaczy, Ŝe trzeba mówić, Ŝe jest nonparzysty - po prostu tych określeń nie uŝywa się mówiąc o ludziach. 35

36 Przykład 6: Relacją równowaŝności na zbiorze uczniów szkół podstawowych jest x jest uczniem tej samej klasy szkoły podstawowej co y. Relacja równowaŝności na zbiorze Z jest podstawą podziału logicznego zbioru Z, na którym jest określona. Człony tego podziału nazywają się klasami abstrakcji. Klasę abstrakcji danej relacji równowaŝności R tworzą wszystkie te obiekty, które są ze sobą w relacji R: [a] R = {b Z: arb}. a jest reprezentantem swojej klasy abstrakcji. Dowolny element z danej klasy abstrakcji moŝe być jej reprezentantem. Wracając do przykładu: relacja równowaŝności przynaleŝności do tej samej klasy szkoły podstawowej określona na zbiorze uczniów wszystkich szkół podstawowych jest relacją, która dzieli zbiór uczniów wszystkich szkół podstawowych na klasy abstrakcji będące klasami tych szkół. KaŜdy uczeń danej klasy jest reprezentantem klasy abstrakcji toŝsamej z tą klasą. Naturalnie, wspomniana relacja moŝe być określona na zbiorze wszystkich uczniów jednej konkretnej szkoły podstawowej. Wówczas, dzieli ona na klasy abstrakcji uczniów jedynie tej szkoły. Inną relacją równowaŝności jest: - relacja x pozostaje na tym samym gospodarstwie domowym co y określona na zbiorze obywateli RP. - relacja x jest rówieśnikiem y określona na zbiorze ludzi. - relacja x jest sztućcem z tego samego kompletu co y określona na zbiorze sztućców. 36

37 Relacją porządkującą (porządkującą liniowo) zbiór jest x jest długiem hipotecznym wpisanym do księgi wieczystej [nie] wcześniej niŝ dług y. Istotnie, jest to relacja przeciwsymetryczna, przechodnia i spójna w zbiorze długów hipotecznych danej księgi wieczystej. porządek liniowy Drzewo genealogiczne reprezentuje relację porządkującą nieliniowo: Relacja x y jest zwrotna, słabo przeciwsymetryczna i przechodnia w zbiorze punktów diagramu. Porządkuje więc ten zbiór zgodnie z symboliką kresek: punkt x połączony kreską z punktem y, jest w relacji x y, jeśli x leŝy niŝej niŝ y. porządek częściowy (nie jest porządkiem liniowym) 37