Modelowanie układów dynamicznych szlifowania wałów o małej sztywności Modelling dynamic systems of low-rigid shaft grinding

Transkrypt

1 Antoni ŚWIĆ Wikto TARANENKO Jakub SZABELSKI Modelowanie układów dynamicznych szlifowania wałów o małej sztywności Modelling dynamic systems of low-igid shaft ginding Pzedstawiono opacowany model uogólniony i cząstkowy szlifowania Utwozono uogólniony hemat stuktualny układu dynamicznego w pzypadku walcowego szlifowania oylacyjnego wałków o małej sztywności Zapezentowano ównież model matematyczny układu technologicznego pzy szlifowaniu wgłębnym wałków spężyście odkształcalnych o małej sztywności Modele matematyczne układu dynamicznego szlifowania wałków o małej sztywności w stanie spężyście- odkształcalnym pzedstawiono w postaci siedmiopoziomowej stuktuy hieachicznej Słowa kluczowe: modelowanie, model matematyczny, wał, obóbka ubytkowa, podejście systemowe The genealized and patial mathematical model of ginding is intoduced The stuctual patten of dynamic system of low-igid shafts oillatoy ginding as well as mathematical model of technological system of low-igid shafts plunge ginding ae pesented Mathematical models of dynamic system of low-igid shafts ginding ae pesented as 7-laye stuctued diagam Keywods: Identification, mathematical model, shaft, machining, system analysis Wpowadzenie Zwiększenie niezawodności szlifowania, pzy oddziaływaniu na układ technologiczny (UT) wielu zakłóceń, można uzyskać w wyniku zastosowania steowania adaptacyjnego (AC) Specyfika obiektów i pocesów złożonych na pzykład pzy szlifowaniu, nie jest uwaunkowana tylko właściwościami elementów składowych, lecz chaakteem powiązań, między nimi, któe w sposób decydujący oddziałują na stuktuę układu steowania automatycznego (UAS) lub AC Opacowano model uogólniony i cząstkowy szlifowania jako układu dynamicznego (UD) Układ dynamiczny pocesu szlifowania jest układem technologicznym OUPN tzn obabiaką waz z ealizowanym na niej pocesem technologicznym (PT) obóbki [] Zapezentowano hemat stuktualny układu dynamicznego w pzypadku walcowego szlifowania oylacyjnego wałków o małej sztywności W obiekcie steowania istnieją obwody zamknięte, uwaunkowane specyfiką skawania po śladzie i wpływem odkształceń spężystych układu dynamicznego Pzedstawiony układ ównań umożliwia okeślenie tansmitancji układu dynamicznego obiektu steowania, zaówno według oddziaływania steującego, jak i zakłócającego W opaciu o uogólniony hemat stuktualny otzymano modele cząstkowe UD, w pzypadku spężystych oddziaływań egulacyjnych Na bazie modelu matematycznego układu technologicznego, pzy szlifowaniu wgłębnym wałów spężyście odkształcalnych o małej sztywności, pzedstawionego w postaci układu ównań opeatoowych, utwozono hemat stuktualny układu technologicznego Modele matematyczne układu dynamicznego szlifowania wałków o małej sztywności w stanie spężyście odkształcalnym, pzedstawiono w postaci stuktuy o VII poziomach hieachicznych Model uogólniony układu dynamicznego znajduje się na I najwyższym poziomie hieachicznym, natomiast Intoduction Inceasing the eliability of ginding unde the influence of multiple intefeence on the technological system can be obtained using adaptive contol (AC) The specification of complex objects and pocesses while fo example ginding is not conditioned by popeties of its components only but also by the type of elations between them, which in decisive way influence the stuctue of automatic (ACS) o adaptive contol (AC) system The genealized and patial mathematical model of ginding as dynamic system (DS) wee woked out The dynamic system of the ginding pocess is a technological system MHWT (Machine tool, Holde, Wokpiece, Tool), ie a machine tool togethe with the ealized technological pocess (TP) of machining [] The stuctual patten of dynamic system of low-igid shafts oillatoy ginding is pesented Thee ae closed cicuits inside contol object, detemined by specification of machining afte the tace and influence of elastic defomation of dynamic system Pesented system of equations allows detemining the tansfe function of dynamic system contol object (CO), accoding to contol influence and noise Basing on genealized stuctual patten, patial models of dynamic system wee obtained fo elastic contol influence Using the mathematical model of dynamic system (fo plunge ginding of elastic defomable, low-igid shafts) pesented as opeational equations, the stuctual patten of technological system was woked out Mathematical models (MM) of dynamic system of lowigid shafts plunge ginding ae pesented as 7 layes stuctued diagam, whee the genealized dynamic system is on st top laye and detailed, patial models on the bottom 7th laye Reaching the stability of automated contol system fo ginding low-igid shafts is not a simple task, because paam- Maintenance and Reliability n /

2 NAUKA I TECHNIKA na VII najniższym poziomie ozmieszczone są cząstkowe modele układu dynamicznego obóbki Uzyskanie stabilności układu steowania automatycznego, pzy szlifowaniu wałków o małej sztywności, nie jest zadaniem łatwym, ponieważ paamety mogą ulegać znacznej zmianie nawet w takcie cyklu obóbki jednej części, należy więc staanie okeślać uządzenia koygujące Identyfikacja UD szlifowania wzdłużnego wałów o małej sztywności Schemat pocesu powstawania wióa pzy szlifowaniu wzdłużnym chaakteyzuje się więzami spężystymi w kieunkach pomieniowym i osiowym, właściwymi w pzypadku pocesów skawania (pocesów kształtowania pzekoju wastwy skawanej), oaz oddziaływaniami zakłócającymi [9] Jako wejściowe oddziaływania ozpatywanego UD pzyjęto: siłę ozciągającą F x - pzy ozciąganiu osiowym; siłę ozciągającą F x i mimośód e - pzy ozciąganiu nieosiowym i ściskaniu; momenty zginające M i M pzyłożone do czół części Zmiennymi wyjściowymi UD są poszczególne składowe foces F p, F f, F c siły skawania i odpowiadające im odkształcenia spężyste UD: g y, g x, g z Model uogólniony i cząstkowy UD szlifowania zbudowano pzy następujących założeniach początkowych: --poces technologiczny jest ciągły w takcie obóbki jednej części, obóbka jest ealizowana pzy stałej pędkości skawania v c = const; --ścienica pacuje w zasadzie w tybie samoostzenia, pzy zachowaniu paktycznie stałego poziomu możliwości skawanych, a jej zużycie liniowe w ciągu cyklu obóbki jednej części jest nieznaczne i może być pzyjęte jako ówne zeo; --waunki początkowe są okeślane w momencie styku ścienicy z powiezchnią obabianą i powstaniem napięcia w układzie technologicznym; --uwzględniane są współczynniki wzmocnienia układu spężystego K y, i liniowe odkształcenia spężyste UТ według współzędnej Y i X w czasie oaz wzdłuż części obabianych; --właściwy poces skawania jest nieinecyjny, uwzględniany jest wpływ śladów obóbki Siła skawania i jej poszczególne składowe F p, F f, F c,, pzy założonej twadości mateiału części obabianej, są okeślane pzez bieżące paamety spowadzonego pzekoju wastwy skawanej a(t) i b(t) Gubość wastwy a(t) to spowadzona gubość wióa skawanego, okeślana pzez paamety niezliczonego zbiou mikowióów, zdejmowanych elementanymi zianami ścienicy w bieżącym momencie [, ] Pzekój wastwy skawanej jest chaakteyzowany bieżącymi watościami spowadzonej gubości wastwy a(t) i uśednionymi watościami głębokości skawania b(t) na odcinku o długości a(t), z uwzględnieniem odkształceń układu dynamicznego według współzędnej Y, okeślanych na podstawie odpowiednich zależności [, 4] W pocesie szlifowania, podobnie jak i toczenia, jest chaakteystyczny wpływ śladów obóbki - tak zwane zjawisko skawania po śladzie Polega ono na tym, że paamety wastwy skawanej są okeślane pzez położenie kawędzi skawającej ścienicy w bieżącym momencie t oaz momencie t - τ popzednim obocie półfabykatu (w pzypadetes can consideably vay even within a single cycle of machining, theefoe the monitoing system needs to be set caefully Identification of DS of staight ginding of lowigid shafts The heme of the pocess of fomation of shaving in staight tuning is chaacteized by elastic bonds in the adial and axial diections, chaacteistic of machining pocesses (pocesses of foming the coss-section of machined laye), and by intefeence effects [9] As the input effects of the consideed DS the following wee adopted: tensile foce F x in axial tension; tensile foce F x and eccentic e in non-axial tension and compession; bending moments M and M applied to the faces of the pats The output vaiables of the DS ae the paticula component foces F p, F f, F c of the machining foce and the coesponding elastic defomations of the DS: g y, g x, g z The genealized and fagmentay model of the DS of ginding wee built with the following initial assumptions: --the technological pocess is consideed to be continuous duing the machining of a single pat; machining is ealized at constant ate v c = const; --the ginding wheel woks basically in the self-shapening mode maintaining pactically constant level of machining capabilities, and its linea wea duing the machining cycle of a single pat is negligible and can be assumed to be equal to zeo; --the initial conditions ae detemined at the moment of ginding wheel contact with the machined suface and appeaance of stain in the technological system; --the coefficients of gain of the elastic system K y, and linea elastic defomations of TS along coodinates Y and X in time and on the length of machined pat ae taken into consideation; --the pocess of machining itself is non-inetial, and the effect of feed idges is taken into account The machining foce and its paticula components F p, F f, F c, at assumed hadness of mateial of the machined pat, ae detemined by the cuent paametes of educed coss-section of machined laye a(t) and b(t) The machined laye thickness a(t) is taken to mean the educed thickness of machined shaving of metal which in fact is detemined by the paametes of the uncountable set of mico-shavings emoved by the elementay gains of the ginding wheel at the cuent moment [, ] The coss-section of the machined laye is chaacteized by the cuent values of the educed thickness of machined laye a(t) and cetain aveaged values of machining depth b(t) on a section of length a(t), taking into account the defomations of the dynamic system along coodinate Y, detemined in accodance with suitable elations [, 4] Chaacteistic fo the pocess of ginding, as fo the pocess of tuning, is the effect of feed idges, socalled machining following the feed idge It consists in that the paametes of the machined laye ae detemined by the positioning of the ginding wheel cutting edge at the cuent moment t as well as at moment t - τ of the peceding evolution 4 Eksploatacja i Niezawodność n /

3 Science and Technology of the semi-finished poduct (in the case of constant pm of the spindle the lag time τ = /n w ) In accodance with the system of equations [8] a genealized stuctual hematic of DS was built fo cylindical oillation ginding of low-igidity shafts (fig) Analysis of the hematic shows that the educed thickness of machines laye is detemined by two components a (s), detemined by the tavel ate of the saddle, and a x (s), esulting fom elastic defomations of the system along coodinate X Unde stabilised conditions the component a x (s) does not occu, as the coefficient of gain of the component with tansmittance is equal to zeo (-e -sτ ) This is in complete ageement with the physical pictue of phenomena in oillation ginding of low-igidity shafts, as unde stabilised conditions the machined laye thickness is equal to the adopted value of feed pe one evolution τ v f Rys Uogólniony hemat stuktualny układu technologicznego pzy szlifowaniu oylacyjnym wałów spężyście - odkształcalnych o małej sztywności Fig Genealized stuctual hematic of technological system in oillation ginding of elastic-defomable shafts with low igid ku niezmienności częstości obotowej wzeciona, czas opóźnienia τ = /n w ) Zgodnie z układem ównań [8] zbudowano uogólniony hemat stuktualny UD w pzypadku walcowego szlifowania oylacyjnego wałów o małej sztywności (ys) Z analizy hematu wynika, że spowadzona gubość wastwy skawanej jest okeślana pzez dwie składowe: a (s) uwaunkowaną pędkością supotu posuwu wzdłużnego i a x (s) spowodowaną odkształceniami spężystymi układu według współzędnej X Pzy waunkach ustalonych składowa a x (s) nie występuje, ponieważ współczynnik wzmocnienia członu z tansmitancją jest ówny zeo (-e -sτ ) Jest to w pełni zgodne z istotą fizyczną zjawisk pzy szlifowaniu oylacyjnym wału o małej sztywności, gdyż pzy ustalonych waunkach gubość wastwy jest ówna pzyjętej watości posuwu na jeden obót τ v f Ze hematu stuktualnego UD (ys ) wynika, że w obiekcie steowania istnieją obwody zamknięte, uwaunkowane specyfiką szlifowania części po śladzie i wpływem odkształceń spężystych UD według osi X iy Układ ównań [5] umożliwia okeślenie tansmitancji UD - OS dowolnej ze zmiennych wyjściowych, zaówno według oddziaływania steującego, jak i zakłócającego Na pzykład, w pzypadku zmiennej wyjściowej w postaci odkształcenia spężystego układu w kieunku pomieniowym g y (s) i oddziaływania wejściowego siły ozciągającej F x (s), hemat stuktualny ulega pzekształceniu do postaci pzedstawionej na ys, a tansmitancja okeślana jest następującym wyażeniem: gdzie: G sτ gy () s + A ( e ) () s = = K sτ F () s + B ( e ) K x = KF x + K n + K n xy x yy y () () As follows fom the stuctual hematic of DS (fig ), in the contol object thee ae closed cicuits detemined by the specifics of ginding of pats following the feed idge and by the effect of elastic defomation of the DS along axes X and Y The system of equations [5] pemits detemination of tansmittance DS - CO fo any of the input vaiables, both with espect to the contol effects and to the intefeence effects On the example of one input vaiable in the fom of elastic defomation of the system in the adial diection g y (s) and of an input effect tensile foce F x (s), the stuctual hematic is tansfomed to the fom shown in fig, and the tansmittance is defined by the following expession: sτ gy () s + A ( e ) G () s = = K () sτ F () s + B ( e ) whee: K x = KF x + K n + K n xy x yy y () Maintenance and Reliability n / 5

4 NAUKA I TECHNIKA A = mx Kx () mx Kx B = (4) + K n + K n xy x yy y A = mx Kx () mx Kx B = (4) + K n + K n xy x yy y Rys Pzekształcony hemat stuktualny obiektu według oddziaływania steującego Fig Tansfomed stuctual hematic of the object with espect to contol effect F x F x Poównanie otzymanych zależności z tansmitancjami UD toczenia wałów o małej sztywności w stanie spężyście - odkształcalnym pzy uwzględnieniu, że pzy szlifowaniu współczynniki: Kκ = i K bz =, pokazuje, że pzedstawiony ММ może być ozpatywany jako szczególny pzypadek modelu matematycznego UD toczenia (ścienica jest ozpatywana jako o nóż o κ = 9 ) Pzy znanych watościach liczbowych współczynnika wzmocnienia m x, m y, y, K yy, n x, n y i czasie opóźnienia τ, okeślanego analitycznie, w opaciu o infomacje apioyczne, lub ekspeymentalnie, zależności w pzypadku paametów tansmitancji mogą ulec istotnemu uposzczeniu, kiedy nie jest uwzględniane spzężenie zwotne w obiekcie pokazanym linią pzeywaną na ys (m x <<), to A =, B = /( + y n x + K yy n y ) Rozkład w szeeg Pade funkcji wykładniczej e -sτ umożliwia ekwiwalentne pzedstawienie ММ () tansmitancjami typowych członów dynamicznych Pzy zastosowaniu dwóch piewszych członów szeegu Pade można zapisać [7, 8]: gdzie: g ( s) T s + T s+ G ( s) = = K F( s) ( Ts+ ) ( Ts+ ) y x (5) T, = 5, τ 5, + B ± (, 5+ B) / (6) T =, 89 τ, T = (, 5 + A ) τ (7) Compaing the obtained elations with tansmittances of DS of tuning of low-igidity shafts in the elastic-defomable condition and taking into account that fo the pocess of ginding the coefficients Kκ = and K bz =, one can obseve that the pesented ММ can be consideed as a special case of the mathematical model of DS of tuning (with the ginding wheel o consideed as a cutting edge with κ = 9 ) Fo known numeical values of coefficient of gain m x, m y, y, K yy, n x, n y and of lag time τ, calculated analytically based on pio infomation o detemined expeimentally, the elations fo tansmittance paametes can be significantly educed if it is pemitted to leave out the feedback in the object maked with boken line in fig (m x <<), then A =, B = /( + y n x + K yy n y ) Splitting the exponential function e -sτ into a Padé seies pemits equivalent pesentation of the ММ (8) by means of tansmittances of typical dynamic components Using the fist two elements of the Padé seies we can wite [7, 8]: whee: g ( s) T s + T s+ G ( s) = = K F( s) ( Ts+ ) ( Ts+ ) y x (5) T, = 5, τ 5, + B ± (, 5+ B) / (6) T =, 89 τ, T = (, 5 + A ) τ (7) 6 Eksploatacja i Niezawodność n /

5 Science and Technology Dalsze pzekształcenie licznika tansmitancji, zgodnie z wyażeniem (5), jest wykonywane analogicznie jak w pzypadkach UD obóbki tokaskiej W szczególności pzy A = licznik tansmitancji ulega pzekształceniu do postaci: T s + εt s+ gdzie: T =,89τ, ε =,866 W zależności od watości współczynnika A <,77, tansmitancja może być zapisana w następującej typowej postaci: G g s s K T s y () T s + ε + () = = F () s ( Ts+ ) ( Ts+ ) x gdzie: ε = (,5 + A)/,577 - współczynnik tłumienia W pzypadku, kiedy A,78, zależność apoksymująca analizowaną tansmitancję pzyjmuje postać: (8) g y ( s) ( T4 s + ) ( T5 s + ) GF ( s) = = K F ( s) ( T s + ) ( T s + (9) x ) x gdzie: T45, = 5, τ 5, + A± (, 5+ A) / () Analogicznie, na bazie uogólnionego hematu stuktualnego, otzymano modele cząstkowe UD w pzypadku spężystych oddziaływań egulacyjnych Zależności apoksymujące tansmitancji UD szlifowania oylacyjnego, w tym pzypadku pzy óżnych oddziaływań steowniczych, óżnią się od pzytoczonych wyażeń tylko watością współczynnika wzmocnienia K OS (zależności do obliczeń znajdują się w pacy []) Tansmitancje opeatoowe, współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe w pzypadku uogólnionego i uposzczonych MM układu dynamicznego szlifowania wzdłużnego wałów w stanie spężyście odkształcalnym, z uwzględnieniem jednego lub dwóch członów ozkładu funkcje e -sτ w szeeg Pade, pzedstawiono w tab Identyfikacja UD szlifowania wgłębnego wałów o małej sztywności Jako oddziaływanie wejściowe na obiekt pzyjmowane jest jedno z wcześniej pzytoczonych oddziaływań, wywołujących stan spężyście odkształcalny - K F x, K e, e, K Mi i pędkość supotu posuwu popzecznego v pop, a wyjściowe odkształcenia spężyste układu technologicznego według współzędnejy Wzajemne powiązania między siłami szlifowania i gubością wastwy skawanej z powiezchnią części obabianej, podobnie jak w analizowanych wyżej modelach, są uważane jako nieinecyjne [8] Pzyjęte założenia wyjściowe i waunki należy uzupełnić o następujące: --szlifowanie wykonywane jest pzy stałej pędkości skawania, pzy niezmiennych właściwościach skawanych ścienicy i mateiału części obabianej, --szeokość szlifowania b = const i jest ówna pzy szlifowaniu wgłębnym szeokości części obabianej lub ścienicy Uwzględniane są tylko liniowe odkształcenia spężyste układu i zmienność sztywności K y i K z według osi Y i Z Pzy pzyjętych założeniach siła skawania jest okeślana tylko pzez gubość wastwy skawanej a(t): Futhe tansfomation of the numeato of tansmittance in accodance with expession (5) is pefomed in a manne analogous to cases of DS of tuning as above In paticula, fo A = the tansmittance numeato gets tansfomed to the fom: T s + εt s+ whee: T =,89τ, ε =,866 Depending on the value of coefficient A <,77, tansmittance can be witten in the following typical fom: G g s s K T s y () T s + ε + () = = F () s ( Ts+ ) ( Ts+ ) x whee: ε = (,5 + A)/,577 - coefficient of attenuation In the case when A,77, the appoximating elation fo the analysed tansmittance assumes the fom: (8) g y ( s) ( T4 s + ) ( T5 s + ) GF ( s) = = K F ( s) ( T s + ) ( T s + (9) x ) x whee: T45, = 5, τ 5, + A± (, 5+ A) / () By analogy, based on the genealized stuctual hematic fagmentay model of the DS wee obtained fo elastic egulatoy effects The appocimating elations of tansmittance of the DS of oillation ginding, in this case fo vaious contol effects diffe fom the quoted expessions only in the value of the coefficient of gain K of CO (elations fo calculations to be found in efeence []) Opeato tansmittances, coefficients of gain and time constants fo the genealized and educed MM of the dynamic system of staight ginding of shafts in the elastic-defomable state, taking into account the use of one o two segments of splitting of function e -sτ into a Padé seies, ae given in table Identfication of DS of plunge ginding of shafts with low igidity As the input effects on the object one of the effects mentioned ealie is adopted, that geneate the elastic-defomable state - K F x, K e, e, K Mi and the ate of tavel of the coss slide v pop, and as the output effects elastic defomations of the technological system with elation to coodinatey The mutual connections between the ginding foces and the thickness of the machined laye with the suface of the machined pat, as in the models analysed above, ae consideed to be non-inetial [8] To the initial assumptions and conditions adopted ealie we should add: --the ginding is pefomed at constant machining speed, at invaiable ginding paametes of the ginding wheel and popeties of the mateial of the machined pat; --the ginding width b = const and it is equal, in plunge ginding, to the width of the machined pat o of the ginding wheel Apat fom this, consideed ae only linea defomations of the system and vaiability of igidity K y and K z with elation to axes Y and Z With the adopted assumptions, the foce of machining is detemined only by the thickness of the machined laye a(t): Maintenance and Reliability n / 7

6 NAUKA I TECHNIKA gdzie:ξ {Y,Z} F = m at () () ζ ζ ММ układu technologicznego pzy szlifowaniu wgłębnym wałów spężyście odkształcalnych o małej sztywności w postaci opeatoowej może być pzedstawiony jako układ ównań: gzo gzo gdzie Kbz = sin R, zależność między pzyostem R głębokości skawania b i siłą F c jest pzedstawiona w pacy [9] W układzie ównań uwzględniono, że odkształcenia spężyste według osi Z powadzą do zmiany gubości wastwy skawanej i mogą być ozpatywane jako dodatkowe składowe pzyostu g y Zgodnie z układem ównań () utwozono uogólniony hemat stuktualny układu technologicznego w pzypadku walcowego szlifowania wgłębnego wałów spężyście odkształcalnych (ys а) Schemat stuktualny pzekształcenia do paametu wyjściowego g y (s), pzedstawiono na ys b Tansmitancja UD jako obiektu steowania w tym pzypadku zapisywana jest w postaci: G gy () s () s = K s F () = x s + B ( e τ ) 9 () gdzie: K = KF, B x 9 = B = Kyy my + Kbz Kz mz, jeżeli nie jest uwzględniany wpływ pzyostu składowej F c siły skawania na odkształcenia spężyste według współzędnej Y (m z K bz K z << ), to B = K yy m y Po pzekształceniach otzymano: G s K T s T s + ε + () = ( T s+ ) T s+ ) gdzie: T =,89τ, ε =,866 T, = 5, τ 5, + B ± (, 5+ B) / (4) Pzy oddziaływaniach wejściowych M i i e, tansmitancje OS ównież są okeślane zgodnie z (4), natomiast współczynnik wzmocnienia K jest obliczany z zależności zapezentowanej w pacy [7] W wielu pzypadkach, wystaczający stopień dokładności obliczeń inżynieskich zależności apoksymującej tansmitancję (), można uzyskać pzy uwzględnieniu tylko piewszego członu ozkładu funkcji e -sτ w szeeg Pade [7] - tansmitancja () po pzekształceniach jest spowadzana do postaci typowych członów dynamicznych podobnie jak pzy toczeniu Tansmitancje opeatoowe, współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe, w pzypadku uogólnionego i uposzczonych MM układu dynamicznego szlifowania wgłębnego wałów w stanie spężyście odkształcalnym z uwzględnieniem wykozystania jednego i dwóch członów ozkładu funkcji e -sτ w szeeg Pade, pzedstawiono w tab whee: ξ {Y,Z} F = m at () () ζ ММ of the technological system of plunge ginding of elastic-defomable shafts of low igidity can be pesented as the system of equations: Fζ () s = mζ a(), s gy() s = Kyy Fp() s + KF Fx () s + Ke e() s + KMi Mi( s x ) + K g ( s), bz z gz() s = Kz Fc (), s as () = ( sτ s e ) vpop () s ( e τ ) ( ) gy s s The expession fo coefficient K bz, detemining the bonds between incement of machining depth b and foce F c, wee gzo gzo obtained ealie - Kbz = sin R [9] R In this system of equations it was taken into account that elastic defomation along axis Z lead to changes in the thickness of machined laye and may be consideed as additional components of incement g y In accodance with the system of equations () a genealized stuctual hematic was built fo cylindical plunge ginding of elastic-defomable shafts (fig а) The stuctual hematic of tansfomation to the input paamete g y (s) is pesented in fig b In this case, the tansmittance of DS as a contol object is witten as: whee: G ζ gy () s () s = K s F () = x s + B ( e τ ) Fx 9 yy y bz z z 9 () K = K, B = B = K m + K K m, if we do not include the effect of incement of component F c of machining foce on elastic defomations along coodinate Y (m z K bz K z << ), then B = K yy m y Afte the tansfomations we obtain: G s K T s T s + ε + () = ( T s+ ) T s+ ) whee: T =,89τ, ε =,866 T, = 5, τ 5, + B ± (, 5+ B) / () (4) Fo input effects M i and e of tansmittance, CO ae also detemined in accodance with (4), but the coefficient of gain K is detemined on the basis of elation [7] In a numbe of cases, with an accuacy that is sufficient fo engineeing calculations, it is advisable to etain in the appoximating elations fo the tansmittance () the fist segment of splitting of the function e -sτ into a Padé seies [7], and then the tansmittance (), afte the tansfomations, is educed to the fom of typical dynamic elements, as in the case of tuning The opeato tansmittances, coefficients of gain and time constants fo the genealized and simplified MM of the dynamic system of plunge ginding of elastic-defomable shafts, taking into account the use of one and two segments of splitting the functions e -sτ into a Padé seies ae pesented in table 8 Eksploatacja i Niezawodność n /

7 Science and Technology a) b) Rys Schematy stuktualne UD pzy szlifowaniu wgłębnym wałów spężyście - odkształcalnych o małej sztywności: a) uogólniony, b) stuktualny Fig Stuctual hematics of DS in plunge ginding of elastic-defomable shafts with low igidity: a) genealized, b) stuctual 4 Poziomy hieachiczne oaz typowe stuktuy UD kształtowania wałów o małej sztywności w stanie spężyście - odkształcalnym Obiekty i pocesy składające się z oddzielnych części, elementów i obiektów, chaakteyzujących się możliwością funkcjonowania całościowego (pełnego) są zaliczane do kategoii systemowych Dowolny układ technologiczny wyóżnia się pewnym zestawem chaakteystyk: --więzami układu z otoczeniem (w ozpatywanym pzypadku to więzy z zakłóceniami i początkowym błędem półfabykatu); --funkcjami ealizowanymi pzez układ - osiągnięcie okeślonych w pocesie technologicznym paametów dokładności obóbki; --stuktuą układu; --właściwościami funkcjonalnymi układu, okeślanymi chaakteem tansmitancji Wymieniony zestaw chaakteystyk w pełni odpowiada układom technologicznym obóbki wałów spężyście odkształcalnych o małej sztywności i ich ММ, uwzględniającym właściwości układu steowania w waunkach ustalonych oaz dynamicznych Pzy ozpatywaniu ММ układów dynamicznych obóbki części spężyście odkształcalnych jako obiektów systemowych, uwzględniających zasadniczo ważne i jednocześnie óżne cechy specyficzne funkcjonowania obiektu steowania, właściwe jest podejście infomacyjne Pokazuje ono, że uogólniony model matematyczny UD toczenia wzdłużnego jest najbadziej pełny, posiada dużą infomacyjność, w hieachii stuktu i ММ układu dynamicznego, jest umiejowiony na І najwyższym poziomie hieachicznym (ys 4) Uogólniony model matematyczny G T (s), znajdujący się na І poziomie hieachicznym, odpowiada układowi ównań i hematowi stuktualnemu [8] 4 Hieachical levels and typical stuctues of DS of pofiling low-igidity shafts in elastic-defomable state The systemic categoies include objects and pocesses composed of individual pats, elements and objects chaacteized by the ability of complete (full) functioning, with any technological system being distinguished by a cetain set of chaacteistics: --connections of the system with the suoundings (in the consideed case those ae connections with intefeence and with the initial eo of semi-finished poduct); --functions ealized by the system, ie assuance of machining pecision paametes defined in the technological pocess; --stuctue of the system; --all of the functional popeties and the system, defined as the chaacte of the tansmittance The listed set of chaacteistics is fully elevant to technological systems of elastic-defomable shafts with low igidity and thei ММ taking into account the popeties of contol system unde stabilised and dynamic conditions When consideing ММ of dynamic systems of machining of elastic-defomable pats as systemic objects taking into account the pincipally impotant and at the same time diffeent specific featues of contol object functioning, the infomation-oiented appoach is advisable Such an appoach shows that the genealized mathematic model of DS of staight tuning is the most complete, has a high level of infomation content in the stuctue hieachy and MM of dynamic systems, and is situated at the st highest hieachy level (fig 4) The genealized mathematical model G T (s), situated on the st level of hieachy, coesponds to the system of equations and the stuctual hematic [8] Maintenance and Reliability n / 9

8 NAUKA I TECHNIKA Rys 4 Poziomy hieachiczne MM układu dynamicznego obóbki wałów o małej sztywności w stanie spężyście odkształcalnym Fig 4 Hieachical levels of MM of dynamic system of machining of elastic-defomable shafts of low igidity Eksploatacja i Niezawodność n /

9 Science and Technology Na ІІ poziomie hieachicznym uogólniony ММ, według stopnia dokładności apoksymacji funkcji e -sτ pzy jej ozkładzie w szeeg Pade można podzielić na dwa, piewszy z nich odpowiada zależności: sτ e = s + s s s + + τ τ / τ τ i uwzględnia dwa piewsze człony ozkładu funkcji e -sτ Na ІІІ poziomie hieachicznym ММ układu dynamicznego toczenia wzdłużnego wałów spężyście - odkształcalnych o małej sztywności, można wyodębnić dwa modele, w pzypadku piewszego współczynniki są ówne: Kκ, κ 9, a dugiego: Kκ =, κ = 9, natomiast tansmitancje G T (s), G T (s) i współczynniki A, A oaz B, B, do któych wchodzi Kκ = są pzedstawione w tab Na tym poziomie ównież znajdują się ММ układu dynamicznego pocesów szlifowania oylacyjnego G (s) oaz zewnętznego wgłębnego G (s), któe można ozpatywać jako szczególne pzypadki ММ UD obóbki tokaskiej W pzypadku szlifowania oylacyjnego współczynniki są ówne: Kκ =, K bz =, Kκ =, m x =, y =, natomiast pzy zewnętznym szlifowaniu wgłębnym, zgodnie z tab - IV poziom hieachiczny pzestawia ММ układu dynamicznego obóbki tokaskiej GT( s), G T( s), GT( s), G T( s), GT( s), óżniące się watościami współczynników A, A, A i A, pzy UD szlifowania oylacyjnego G (s) oaz zewnętznego wgłębnego G (s) (tab ) Na V poziomie hieachicznym umiejowione są ММ układu dynamicznego, otzymane bez uwzględnienia oddziaływania na dynamikę więzu pokazanego na ys linią keskowaną, jest to wpływ zamkniętego obwodu spzężenia zwotnego, pzez współczynnik m x << i tansmitancję ( - e -sτ ), na pzyost gubości wastwy skawanej VI poziomi hieachiczny - to cząstkowe ММ układu dynamicznego bez uwzględniania jednego obwodu wewnętznego spzężenia zwotnego m x << i wpływu odkształceń spężystych według współzędnej Z na zmianę głębokości skawania K bz K z n z << (tab ) Na VII najniższym poziomie hieachicznym są ozmieszczone cząstkowe ММ układu dynamicznego obóbki skawaniem, uwzględniające wpływ tylko odkształceń spężystych według współzędnej Y na pzyost gubości wastwy skawanej (y << ) pzy toczeniu, pzy szlifowaniu zewnętznym wgłębnym i dwa óżnoodne modele cząstkowe pzy szlifowaniu oylacyjnym (tab ) Typowe stuktuy UD kształtowania wałów spężyście - odkształcalnych o małej sztywności, pzy óżnych siłowych oddziaływaniach egulacyjnych, pzedstawiono na ys 5, a typowe tansmitancje OS w tab ; współczynniki wzmocnienia według oddziaływań są okeślane zgodnie z zależnościami pzytoczonymi w pacy [7] W pzypadku UD toczenia wzdłużnego z uwzględnieniem odpowiednich oddziaływań egulacyjnych mogą być wykozystane wszystkie pzedstawione stuktuy: szlifowania oylacyjnego ys 5 a, b, h, i; zewnętznego szlifowania wgłębnego ys 5 h, i On the nd level of hieachy the genealized ММ, with elation to the degee of accuacy of appoximation of function e -sτ in its splitting into a Padé seies, can be divided into two models, the fist of which coesponds to: sτ e = s + s s s + + τ τ / τ τ and includes the fist two segments of splitting of the function st e On the d level of hieachy the ММ of dynamic system of staight tuning of elastic-defomable shaft with low igidity is divided into two models, fo the fist of which coefficient Kκ, κ 9, and the second Kκ =, κ = 9, and tansmittances ae G T (s), G T (s) and coefficients A, A and B, B, espectively, into which Kκ is = intoduced (table ) At this level thee ae also the ММ if dynamic system of pocesses of oillation ginding G (s) and extenal plunge ginding G (s) that can be consideed as special cases of ММ of UD of tuning, taking into account that fo oillation ginding Kκ =, K bz =, and Kκ =, m x =, y = espectively fo extenal plunge ginding (table ) On the 4 th level of hieachy thee ae ММ of dynamic system of tuning GT( s), G T( s), GT( s), G T( s), GT( s), diffeing in the values of coefficients A, A, A and A, fo DS of oillation ginding G (s) and extenal plunge ginding G (s) (table ) On the 5 th level of hieachy thee ae ММ of dynamic system obtained without taking into account the effect of the link - shown in the fig with dashed line - on the dynamics; this is the effect of closed contou feedback by coefficient m x << and tansmittance ( - e -sτ ) on the incement of machined laye thickness On level 6 of hieachy thee ae fagmentay ММ of dynamic system without inclusion of one contou of intenal feedback of m x << and without taking into account the effect of elastic defomation along axis Z on the depth of machining Kbz- K z n z << (table ) On the 7 th lowest level of hieachy thee ae fagmentay ММ of dynamic system of machining, taking into account only the effect of elastic defomations along axis Y on the incement of machined laye thickness (y << ) in tuning, in extenal plunge ginding, and two diffeent fagmentay models fo oillation ginding (tab ) Fig 5 pesents typical stuctues of DS of pofiling elasticdefomable shafts of low igidity fo a vaiety of contol foce effects, fo which typical tansmittances of CO ae given in tables, and coefficients of gain elative to the effects ae detemined in accodance with elations given in [7] Fo DS of staight tuning with the inclusion of suitable egulatoy effects all of the pesented stuctues can be applied, fo oillation ginding stuctues as in fig 5a, b, h and i, and fo extenal plunge ginding stuctues as pe fig 5 h, i Maintenance and Reliability n /

10 NAUKA I TECHNIKA Tab Tab Tansmitancje opeatoowe, współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe MM UD pzy szlifowaniu wałów w stanie spężyście odkształcalnym Opeato tansmittances, coefficients of gain and time constants of DS MM in ginding of shafts in elastic-defomable state Eksploatacja i Niezawodność n /

11 Science and Technology Rys5 Stuktuy typowe MM układu dynamicznego obóbki wałów o małej sztywności w stanie spężyście odkształcalnym Fig5 Typical stuctues of MM of dynamic system of machining of elastic-defomable shafts with low igidity 5 Podsumowanie Układ dynamiczny szlifowania jest układem technologicznym OUPN, to znaczy obabiaką waz z ealizowanym na niej pocesem technologicznym Pzy baku wystaczająco pełnej infomacji o obiekcie steowania, chaakteystyki obliczeniowe mogą się istotnie óżnic od zeczywistych W układzie technologicznym, zawieającym wałek o małej sztywności, paamety mogą ulegać zmianie w takcie cyklu obóbki jednej części [7], co wskazuje na złożoność uzyskania stabilności układu steowania automatycznego oaz konieczność staannego podejścia do okeślania jego stuktuy i odpowiednich uządzeń koygujących Poównanie modeli matematycznych obiektu, w pzypadku óżnoodnych oddziaływań steujących, pokazuje, że pzy zastosowaniu dodatkowych oddziaływań siłowych obiekt ma znacznie mniejszą inecyjność w poównaniu z pzypadkiem steowania według kanału posuwu Dzięki temu można osiągnąć wyższe wskaźniki jakości steowania dynamicznego i efektywnie pzeciwdziałać zakłóceniom, powstającym w wyniku zmiany naddatku i twadości obabianych wałków - zmieniając ich sztywność wzdłużną Opacowane modele matematyczne uogólnione i cząstkowe szlifowania wzdłużnego oaz wgłębnego wałów o małej sztywności umożliwią usystematyzowanie pojektowania i pzygotowania technologicznego pocesów technologicznych, opacowanie systemów zautomatyzowanego pojektowania a także układów: steowania automatycznego i adaptacyjnego 5 Conclusion The dynamic system (DS) of the ginding pocess is a technological system MHWT, that is a machine tool togethe with the ealized technological pocess (TP) of machining With a lack of sufficiently complete and detailed infomation on the object of contol, calculated chaacteistics may significantly diffe fom the eal ones In technological systems compising a semi-finished poduct of low igidity the paametes may change notably within the machining cycle of a single pat [7] and that deteminations indicate the complexity of the poblem of ensuing stability of the ACS and the necessity of taking special cae in the appoach to the poblem of defining its stuctue and synthesis of the coective devices Compaison of ММ of the object fo vaious contol effects pemits the statement that with the application of additional foce effects the object has a notably lowe inetness compaed to the case of contol focused on the feed channel Thanks to this in the ACS and AC of the elastic-defomable state of pats highe indexes of contol quality can be achieved in the dynamics and thee is a possibility of effective counteaction of intefeence caused by changes in mateial allowance fo machining and in the hadness of machined semi-finished poducts by vaying thei igidity on the length of machining Pesented genealized and patial mathematical model of plunge and tavese ginding low-igid shafts allow systematizing technical pepaation and designing technological po- Maintenance and Reliability n /

12 NAUKA I TECHNIKA Zapezentowane wyniki posłużyły do zapojektowania steownika PID do steowania siłą skawającą w pocesie obóbki oaz kontolea PI do obsługi pocesu toczenia i szlifowania wałów o małej sztywności Opacowano ównież konstukcję oaz wykonano pototyp konika, umożliwiającego steowanie stanem spężyście odkształcalnym wałka o małej sztywności podczas szlifowania cesses, systems of automated designing as well as systems of automated and adaptive contol Pesented esults wee used to design PID contolle fo contolling the machining foce duing the machining pocess and PI contolle fo tuning and ginding pocess of low-igid shafts The constuction and pototype of tailstock which can be used to contol elastic defomable state of low-igid shaft duing ginding pocess was build 6 Refeences Agapiou J S Estimating The Static Stiffness Fo A Spindle-Toolholde-Tooling System, Machining Science and Technology: An Intenational Jounal, 5-48, Volume, Issue, 8: Halas W, Taanenko V, Swic A, Taanenko G Investigation of influence of ginding egimes on suface tension state Lectue Notes In Atificial Intelligence, Vol 57; 8: Kujan K Badania i analiza powtazalności ozkładu odchyłek geometycznych w pocesie obóbki skawaniem Eksploatacja i Niezawodno Maintenance and Reliability 8; (9): Kuśmiez L, Ponieważ G Analiza wpływu modyfikacji geometii kawędzi elementu opoowego płytki wahliwej na właściwości stefy kontaktu Eksploatacja i Niezawodno Maintenance and Reliability 7;(): Semotiuk L Analiza cech eksploatacyjnych innowacyjnych konstukcji nazędzi wykozystywanych w pocesach fezowania zgubnego z wykozystaniem technologii HSM Eksploatacja i Niezawodno Maintenance and Reliability 9; (4): Stoic A, Pusavec F, Kopac J Cutting Distubances Influenced By Vaiations In Contact Suface Geomety, Machining Science and Technology: An Intenational Jounal, 5-48, Volume, Issue 4, 9: Taanenko W, Świć A Technologia kształtowania części maszyn o małej sztywności Lublin Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, 5 8 Taanenko W, Świć A Uządzenia steujące dokładnością obóbki części maszyn o małej sztywności Lublin: Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, 6 9 Taanenko W, Szabelski J, Taanenko G Podstawy identyfikacji układu dynamicznego toczenia wałów o małej sztywności Pomiay Automatyka Robotyka 8; : 4 Taanenko G, Taanenko W, Świć A, Szabelski J Modelowanie układów dynamicznych obóbki skawaniem wałów o małej sztywności Eksploatacja i Niezawodno Maintenance and Reliability ; 4 (48): 4-5 D hab inż Antoni ŚWIĆ, pof nadzw Pof d hab inż Wikto TARANENKO Mg inż Jakub SZABELSKI Instytut Technologicznych Systemów Infomacyjnych Politechnika Lubelska ul Nadbystzycka 6, -68 Lublin wtaan_ak@mailu, aswic@pollubpl, jszabelski@pollubpl 4 Eksploatacja i Niezawodność n /