MODELE I W ASNOŒCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH

Transkrypt

1 DECYZJE nr 6 grudzień 2006 MODELE I W ASNOŒCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH Agnieszka Lewczuk* Pañstwowa Wy sza Szko³a Zawodowa Streszczenie: Teoria aukcji jest jednym z ważniejszych obszarów zastosowań teorii gier w ekonomii. Dzięki możliwości przedstawienia aukcji jako gry możliwa jest także jej strategiczna analiza oraz porównywanie różnych reguł aukcyjnych pod względem oczekiwanych wypłat jej uczestników. Praca ta stanowi przegląd podstawowej wiedzy dotyczącej aukcji symetrycznych, dla których przyjmuje się założenie, że wszyscy uczestnicy posiadają jednakową ilość informacji dotyczących sprzedawanych obiektów oraz, że wyceny tych obiektów przyjmowane przez poszczególnych graczy są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Pierwszą część pracy poświęcimy aukcjom jednoobiektowym. Przedstawimy strategiczną analizę rodziny takich aukcji w ramach modelu zaproponowanego przez Rileya i Samuelsona (1981). W drugiej części opiszemy różne rodzaje aukcji wieloobiektowych: jednoczesną licytację i aukcję anglo-holenderską, które zostały stworzone do sprzedaży licencji telekomunikacyjnych, aukcję kombinatoryczną, w której kupcy mają możliwość składania ofert na wybrane przez siebie zestawy obiektów oraz aukcję dwustronną, w której uczestniczy wielu kupców i wielu sprzedawców. Słowa kluczowe: aukcja jednoobiektowa, aukcja wieloobiektowa, rozkład wycen, oczekiwany dochód sprzedawcy. MODELS AND FEATURES OF SYMMETRIC AUCTIONS Abstract: Auction theory belongs to one of the most important applications of game theory in economics. The possibility of presenting an auction as a game facilitates its strategic analysis and the comparison of different auction rules in relation to the player`s expected payoffs. The aim of this paper is to review basic knowledge concerning symmetric auctions for which we assume that all bidders possess the same amount of * Zakład Zarządzania Przedsiębiorstwem Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Papieża Jana Pawła II w Białej Podlaskiej ul. Sidorska 95/97, Biała Podlaska, lewczukaga@wp.pl 81

2 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH information concerning sold objects and all bidders` valuations are independent as well as identically distributed random variables. The first part of this paper is devoted to unit object auctions. We will present strategic analysis of the family of such auctions within the model proposed by Riley and Samuelson (1981). The second part of the thesis will be devoted to the description of different types of multiple object auctions: the simultaneous ascending auction and the Anglo-Dutch auction which have been created to sell telecommunication licenses, the combinatorial auction, during which buyers receive the possibility to place their offers on sets of items, and finally the double auction in which many buyers and sellers participate. Keywords: unit object auction, multiple object auctions, distribution of valuation, seller`s expected revenue. 1. Wstęp Aukcje w ciągu ostatnich lat stały się zarówno w Polsce jak i na świecie bardzo często stosowaną formą sprzedaży. Popularność tego sposobu wymiany handlowej jest spowodowana tym, że aukcje łączą w sobie najlepsze cechy instytucji cen stałych i cen negocjowanych. Zastosowanie reguł aukcyjnych pozwala sprzedawcy zaoszczędzić czas i pieniądze, a zarazem umożliwia mu zachowanie pozycji monopolisty. Może on porównywać oferty poszczególnych kupujących i wybrać najlepszą z nich. Wysokość optymalnej oferty składanej przez kupujących zależy od wielu czynników. Najważniejszym z nich jest wycena (valuation) wystawianego na sprzedaż obiektu. Wycena to maksymalna cena, jaką za obiekt jest skłonny zapłacić kupujący. Aukcja jest mechanizmem służącym do ustalania ceny transakcji, której odpowiada stan równowagi konkurencyjnej między popytem a podażą, dlatego też problemy związane z teorią aukcji są coraz częściej przedmiotem rozważań na łamach czasopism naukowych. Rozważania te koncentrują się wokół dwóch głównych problemów. Pierwszy z nich to problem określenia optymalnej oferty, która biorącym udział w walce konkurencyjnej uczestnikom aukcji zapewni maksymalny zysk. Drugi problem dotyczy sprzedawcy. Polega on na sformułowaniu odpowiedzi na pytanie, jaką regułę aukcyjną powinien on zastosować, aby zapewnić sobie maksymalne korzyści. Odpowiedź na to pytanie jest bardzo ważna. Wybór odpowiedniej reguły aukcyjnej może bowiem znacznie wpłynąć na wysokość zysków z danej aukcji. Celem tej pracy jest przegląd podstawowych mechanizmów aukcyjnych służących do alokacji jednego bądź wielu obiektów, a także prezentacja ich formalnych modeli oraz głównych własności. Wszystkie rozważania przeprowadzone w tej pracy doty- 82

3 Agnieszka Lewczuk czyć będą aukcji symetrycznych, dla których zakłada się, że wszyscy uczestnicy aukcji mają jednakowy dostęp do informacji oraz że wyceny wszystkich kupujących są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie. W rozdziale 2 przedstawimy klasyczne rodzaje aukcji jednoobiektowych oraz ich własności wynikające z możliwości przedstawienia aukcji w języku teorii gier. W rozdziale 3 zajmiemy się strategiczną analizą aukcji jednoobiektowych, w których graczami są tylko kupujący. W szczególności przedstawimy jedno z głównych twierdzeń teorii aukcji twierdzenie o równoważności dochodów mówiące o tym, że przy pewnych założeniach, zwanych symetrycznym modelem wartości indywidualnych, wszystkie aukcje, których zwycięzcą jest gracz posiadający najwyższą wycenę dają sprzedawcy taki sam oczekiwany zysk. Rozdział 4 poświęcimy aukcjom wieloobiektowym. Zaprezentujemy dwie reguły aukcyjne stworzone z myślą o europejskim rynku telekomunikacyjnym: aukcję anglo-holenderską i jednoczesną licytację. Omówimy także aukcje kombinatoryczne, w których istnieje możliwość składania ofert na kombinacje obiektów oraz aukcje dwustronne, w których zarówno kupujący jak i sprzedawcy mogą składać oferty dotyczące obiektów, których kupnem bądź sprzedażą są zainteresowani. 2. Klasyczne rodzaje aukcji jednoobiektowych w kontekście teorii gier Wspólną cechą wszystkich aukcji jest możliwość ich naturalnego przedstawienia w języku teorii gier. W związku z tym uczestników aukcji często nazywa się graczami. Konkurują oni ze sobą o nabycie wystawianego na sprzedaż przedmiotu. Konkurencja ta, podobnie jak reguły gry, oparta jest na ściśle określonych, zrozumiałych dla każdego uczestnika zasadach określających sposób wyłaniania zwycięzcy oraz cenę, jaką ma on zapłacić za sprzedawany obiekt. Pomimo tego, że zbiory strategii mogą być duże, a opisy poszczególnych strategii skomplikowane, to zawsze istnieje jednoznaczna, znana wszystkim uczestnikom procedura, która przypisuje wybranym przez nich strategiom wynik aukcji to, komu zostanie sprzedany przedmiot aukcji i za jaką cenę (Malawski i in., 2006). Aukcje stanowią cenny przykład gry z niepełną informacją, ponieważ ilość prywatnych informacji posiadanych przez każdego gracza jest głównym czynnikiem wpływającym na wybór jego strategii działania. Dokonanie takiego wyboru stanowi rzeczywisty przykład strategicznego zachowania. Jak w każdej grze zakładać będziemy, że gracze podejmują jedynie korzystne dla siebie decyzje. Każdy z nich dąży do takiego zakończenia gry, które daje mu możliwie najwyższą wypłatę. W klasycznych przypadkach w aukcji uczestniczy n kupujących i jeden sprzedawca. Są to aukcje, w których graczami są wyłącznie kupujący. To oni konkurując ze sobą wyznaczają cenę wystawianego na sprzedaż przedmiotu. W tym przypadku opty- 83

4 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH malna strategia i-tego kupującego polega na złożeniu oferty, która zmaksymalizuje jego wypłatę. Wysokość optymalnej oferty zależy od wielu czynników. Najważniejszym z nich jest wycena licytowanego obiektu. W klasycznych przypadkach wyceną i-tego kupującego jest maksymalna cena, jaką jest on skłonny zapłacić za obiekt. Wycenę tę będziemy oznaczali symbolem v i. Innymi czynnikami wpływającymi na wysokość oferty są: zastosowana reguła aukcyjna, a także wysokość ofert konkurentów. Jeżeli najwyższa z ofert n 1 graczy: b *, przewyższa ofertę i-tego kupującego, która wynosi b i, to jego wypłata wynosi 0. Jeśli b * < b i, to i-ty kupujący wygrywa aukcję, przy czym otrzymuje on wypłatę wynoszącą v i b i. Wypłatę i-tego gracza można zatem przedstawić przy pomocy następującej funkcji: vi bi gi = 0 gdy i-ty gracz nabywa obiekt gdy i-ty gracz nie nabywa obiektu (1) gdzie: g i oznacza wypłatę i-tego kupującego, v i oznacza wycenę i-tego kupującego, b i jest ofertą i-tego kupującego. Podczas aukcji, w której graczami są wyłącznie kupujący sprzedawca jest raczej pasywny. Jego zbiór strategii jest ograniczony. Do niego należy wybór reguły aukcyjnej. Może on również wybrać sposób rozpowszechniania informacji o wystawianym na sprzedaż obiekcie. W przypadku, gdy sprzedawca ma do zlicytowania kilka obiektów na następujących po sobie aukcjach, to do niego należy wybór kolejności ich sprzedaży. Dokonując odpowiedniego wyboru może on w znacznym stopniu wpłynąć na przebieg aukcji i wysokość swojego zysku (Schotter, 1974). Problem rozwiązania gry aukcyjnej sprowadza się do znalezienia (o ile istnieje) strategii dominującej każdego z graczy. Strategie takie stanowią najlepszą odpowiedź na dowolny ruch, który wykona przeciwnik. Odstąpienie od ich stosowania jest zatem dla gracza niekorzystne. Zastosowanie przez wszystkich uczestników aukcji takich strategii prowadzi do stanu równowagi. Istnieje wiele rodzajów aukcji i można je dzielić ze względu na różne kryteria. Standardowym podziałem jest podział na aukcje statyczne i dynamiczne. Na aukcji statycznej kupujący składają swoje oferty jednocześnie, niezależnie od siebie. Taka reguła powoduje, że żaden z nich nie zna wysokości ofert swoich konkurentów. Co więcej, czasami nawet nie wie ilu z nich bierze udział w aukcji. Oferty zawierają cenę, jaką są oni skłonni zapłacić za sprzedawany obiekt. Raz złożona oferta nie może zostać 84

5 Agnieszka Lewczuk zmieniona. Typowym przykładem aukcji statycznej jest aukcja pierwszej ceny (first price sealed bid auction). Jest to dość mocno rozpowszechniony w Polsce rodzaj aukcji przyjmujący formę klasycznego przetargu. Podczas tego typu aukcji, kupujący składają swoje oferty jednocześnie, na przykład w zapieczętowanych kopertach, nie ujawniając przy tym konkurentom ich wysokości. Aukcję wygrywa ten kupujący, który złożył najwyższą ofertę i płaci wynikającą z niej kwotę. Szczególną odmianą aukcji pierwszej ceny są przetargi, podczas których konkurenci ubiegają się na przykład o zdobycie kontraktu na wykonanie określonego zlecenia, a celem zleceniodawcy jest jego realizacja po jak najniższych cenach. Przykładem może być ogłoszony przez sieć hipermarketów przetarg na dostawę określonych typów produktów żywnościowych lub organizowany przez dużą firmę produkcyjną przetarg na budowę nowych magazynów. Przetarg tego typu najczęściej wygrywają ci, którzy zobowiązują się dostarczyć określone towary lub wykonać prace po najniższych cenach. Często jednak cena nie jest jedynym kryterium decydującym o wyborze zwycięzcy. Mogą o niej decydować też inne czynniki, takie jak terminowość dostaw czy też jakość wykonywanych usług. Do aukcji statycznych zaliczany jest także inny rodzaj przetargu, zwany aukcją drugiej ceny (second price sealed bid auction). Jest to dosyć nowy rodzaj aukcji i w Polsce mniej rozpowszechniony niż klasyczny przetarg. Na świecie, szczególnie w USA, coraz częściej używa się go do sprzedaży papierów wartościowych. W tym przypadku, podobnie jak w przypadku aukcji pierwszej ceny, wygrywa oferta najlepsza, ale cena jaką płaci zwycięzca jest równa najwyższej z cen oferowanych przez pozostałych graczy. Mimo tego, że zwycięzca płaci mniej niż zaoferował, to oczekiwany zysk sprzedawcy w porównaniu z aukcją pierwszej ceny nie ulega zmniejszeniu. Powoduje to fakt, że w równowadze wysokość ofert dla tej aukcji jest wyższa niż w przypadku aukcji pierwszej ceny. Strategią równowagi dla każdego kupującego jest bowiem złożenie oferty równej wysokości swojej wyceny. Aukcja drugiej ceny często nazywana jest od nazwiska jej twórcy aukcją Vickreya. Ten rodzaj aukcji został pierwszy raz opisany przez niego w 1961 roku w pracy Counterspeculations, auctions and competitive sealed tenders. Praca ta stała się bodźcem do dalszej, bardziej wnikliwej analizy tej reguły aukcyjnej. Pomimo, że od tamtej pory minęło pół wieku, literatura na temat tej aukcji jest nadal fragmentaryczna, zwłaszcza jeśli chodzi o relacje między teorią a rzeczywistym przebiegiem aukcji. Podczas aukcji dynamicznej wielkość oferty zmienia się w czasie. Kupujący obserwują zachowania swoich konkurentów i mogą na nie zareagować składając swoje kontroferty. Przykładem aukcji dynamicznej jest aukcja angielska (English auction) jedna z najczęściej stosowanych w Polsce reguł aukcyjnych. Istnieje jej kilka odmian, z czego najbardziej znaną jest licytacja. Jest ona najczęściej prowadzona przez licyta- 85

6 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH tora. Jego zadaniem jest stworzenie takiej atmosfery, która skłoni uczestników aukcji do składania wysokich ofert, a tym samym spowoduje, że licytowany przedmiot osiągnie zadowalającą sprzedawcę cenę. Podczas tego typu aukcji kupujący przy pomocy umownych gestów akceptują podwyższaną przez licytatora cenę lub składają swoje oferty ustnie, przy czym każda następna oferta jest wyższa od poprzedniej. Aukcja angielska należy do aukcji otwartych (open auctions). Proces licytacji jest jednofazowy: jednocześnie następuje wyznaczanie wygrywającego aukcję oraz ceny, jaką ma on zapłacić za licytowany obiekt. Podczas japońskiego wariantu aukcji angielskiej rosnąca cena jest wyświetlana na ekranie. Każdy kupujący, który ją akceptuje potwierdza ten fakt naciskając odpowiedni przycisk. Raz zwolniony przycisk, oznacza rezygnację z dalszej licytacji, przy czym ponowny udział w grze nie jest możliwy. Przy założeniu, że każdy z kupujących zna swoją wycenę licytowanego przedmiotu, która nie zależy od wycen konkurentów, każdy racjonalnie zachowujący się uczestnik aukcji angielskiej powinien zgłaszać swoje oferty do momentu, gdy aktualna cena osiągnie poziom przyjętej przez niego wyceny. W tym momencie powinien zrezygnować z dalszej licytacji, gdyż w przypadku wygranej poniósłby stratę. Podobnie nie powinien on wycofywać się z gry wcześniej, gdyż w ten sposób rezygnowałby z osiągnięcia zysku, jeśli okazałoby się, że tylko niewielka podwyżka ceny pozwala wygrać licytację. Aukcja kończy się w chwili, gdy zostanie tylko jeden kupujący, który chciałby dać więcej, a cena osiągnie poziom przyjęty przez przedostatniego jej uczestnika. Wygrywa ją kupujący, który złożył najwyższą ofertę, a cena jaką płaci za licytowany obiekt jest w przybliżeniu równa drugiej w kolejności od najwyższej wycenie. W związku z tym można przyjąć, że aukcja angielska jest równoważna aukcji drugiej ceny (Milgrom i Weber, 1982). Nie jest to jednak strategiczna równoważność. Zbiory strategii w tym przypadku są różne, gdyż podczas aukcji drugiej ceny konkurenci nie mogą nawzajem obserwować swoich zachowań. Identyczne są jednak dominujące strategie, dlatego w równowadze obie te aukcje zapewniają jej uczestnikom takie same oczekiwane zyski. Ilość informacji udostępnianych podczas aukcji angielskiej jest znacznie większa w porównaniu z aukcjami statycznymi. Nie jest to jednak gra z kompletną informacją, gdyż gracze nie znają wycen swoich konkurentów. Przebieg aukcji angielskiej można przedstawić w postaci ekstensywnej. W ogólnej sytuacji forma ta jest bardzo rozbudowana, jednak w przypadku, gdy w aukcji uczestniczy dwóch kupujących a przedmiotem sprzedaży jest jeden niepodzielny obiekt, to grę taką można przedstawić za pomocą prostego drzewa. 86

7 Agnieszka Lewczuk Kolejnym rodzajem aukcji dynamicznej jest aukcja holenderska (Dutch auction) stosowana w Polsce między innymi przez komisy. Aukcja zaczyna się od ustalenia stosunkowo wysokiej ceny wyjściowej, która jest sukcesywnie obniżana do momentu, gdy znajdzie się kupujący, któremu będzie ona odpowiadała. Nabywcą licytowanego obiektu zostaje pierwsza osoba, która złożyła ofertę i płaci za niego wynikającą z niej kwotę. Taka forma alokacji jest szczególnie popularna przy sprzedaży kwiatów w Holandii, stąd też bierze się nazwa tej aukcji. Aukcje kwiatowe w Holandii odbywają się przy pomocy mechanicznego urządzenia, zwanego Dutch clock. Ruchoma wskazówka zegara pokazuje obniżającą się cenę. Kupujący, któremu odpowiada aktualna cena zgłasza swoją ofertę poprzez naciśnięcie odpowiedniego przycisku. W tym momencie wskazówka zegara się zatrzymuje i aukcja zostaje zakończona. Okazuje się, że aukcja holenderska i aukcja pierwszej ceny są strategicznie równoważne mają identyczne zbiory strategii (Milgrom i Weber, 1982). Wynika to z faktu, że każdy kupujący zamiast ustalać poziom, do jakiego ma spaść cena równie dobrze mógłby wcześniej przygotować swoją ofertę na piśmie, jak to ma miejsce podczas aukcji pierwszej ceny. Zwycięzcą aukcji w obu przypadkach jest kupujący, którego oferta jest najwyższa (w przypadku aukcji holenderskiej to on pierwszy zatrzyma zegar). Strategia równowagi dla obu aukcji jest taka sama i polega na składaniu ofert poniżej własnej wyceny. Takie same są więc wielkości oczekiwanych wypłat zarówno dla kupujących jak i dla sprzedawcy. Reguły aukcyjne są ciągle udoskonalane, gdyż zapotrzebowanie rynku na tę formę alokacji wciąż rośnie. W ciągu ostatnich lat można zauważyć ogromny wzrost zainteresowania tworzeniem nowych reguł aukcyjnych. Szczególnym zainteresowaniem cieszą aukcje, podczas których sprzedaje się nie jeden, lecz kilka obiektów. Analizą takich aukcji zajmiemy się w rozdziale Strategiczna analiza aukcji jednoobiektowych, w których graczami są wyłącznie kupujący Odkąd zyski ze sprzedaży aukcyjnej na świecie zaczęły sięgać setek miliardów dolarów, to teoria aukcji jako dziedzina wiedzy zaczęła zyskiwać na znaczeniu. Rozważania przeprowadzone w tej części pracy będą opierały się na symetrycznym modelu aukcji opracowanym przez Rileya i Samuelsona (1981). Większość prac zawierających analizy różnych reguł aukcyjnych dotyczy aukcji symetrycznych, w których zakłada się, że kupujący są symetryczni zarówno pod względem dostępu do informacji jak i rozkładów swoich wycen. 87

8 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH Zanim przejdziemy do dalszej analizy wprowadźmy następujące założenia: Z1. Na aukcji sprzedawany jest jeden niepodzielny obiekt (unit auction) Z2. W aukcji uczestniczy n kupujących i jeden sprzedawca. Wycenę i-tego kupującego oznaczamy przez v i, i = 1,2,...,n, wycenę sprzedawcy przez v 0. Z3. Kupujący nie znają nawzajem swoich wycen (private values) Z4. Wyceny wszystkich kupujących są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają ten sam rozkład, którego dystrybuanta spełnia następujące założenia F() v = 0, F() v = 1 oraz F(v) jest ściśle rosnąca i różniczkowalna na przedziale [ v; v], gdzie v, v oznaczają odpowiednio najniższą i najwyższą wycenę (symmetry/independence) Z5. Kupujący mają neutralny stosunek do ryzyka (risk neutral) Założenia Z1-Z5 pierwszy raz wprowadził Vickrey i nazwał symetrycznym modelem wartości indywidualnych (symmetric independence private value model). Model ten zakłada, że każdy kupujący zna własną wycenę wystawianego na sprzedaż przedmiotu, nie zna natomiast wycen swoich konkurentów. Wszystkie wyceny są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, który jest znany wszystkim kupującym. Załóżmy, że spełnione są założenia Z1-Z5. Oznaczmy przez Ψ rodzinę aukcji spełniających następujące warunki: 1. Zaangażowani w aukcję kupujący składają oferty powyżej wyceny sprzedawcy 2. Sprzedawany przedmiot trafia do gracza, który złożył najwyższą ofertę 3. Zasady aukcyjne zapewniają kupującym anonimowość, każdy z nich jest traktowany jednakowo 4. Istnieje wspólna strategia prowadząca do równowagi, która dla i-tego gracza jest rosnącą funkcją jego wyceny (Riley i Samuelson, 1981) b i = b(v i ), i = 1,...n. (2) Z ostatniej własności oraz z przyjętego w ramach modelu wartości indywidualnych założenia symetryczności (założenie Z4) wynika, że wszystkie aukcje z rodziny Ψ mają jeszcze jedną, bardzo ważną cechę: 5. Zwycięzcą aukcji jest zawsze gracz posiadający najwyższą wycenę (Wolfstetter, 1996). Własność (5) mówi nam, że aukcje należące do rodziny Ψ są grami, których wyniki są optymalne w sensie Pareto. Innymi słowy gra nie ma innego wyniku, dającego zwiększenie korzyści którejkolwiek ze stron bez pogorszenia sytuacji innej strony. 88

9 Agnieszka Lewczuk Zauważmy, że wszystkie aukcje spełniające warunki 1-5 są aukcjami, w których graczami są wyłącznie kupujący. W dalszej części zajmiemy się analizą scharakteryzowanej powyżej rodziny aukcji. W szczególności zajmiemy się porównaniem czterech opisanych w poprzednim rozdziale klasycznych reguł aukcyjnych. Wszystkie te aukcje spełniają własności 1-5, zatem należą do rodziny Ψ. Zastanowimy się, która z klasycznych reguł aukcyjnych jest najbardziej efektywna, czyli zapewnia sprzedawcy największy oczekiwany dochód. W ramach modelu wartości indywidualnych, zadanie to jest mocno ułatwione. Z uwagi na zauważone przez nas wcześniej równoważności wystarczy porównać dwie aukcje, na przykład aukcje pierwszej i drugiej ceny. Twierdzenie 1. (Twierdzenie o równoważności dochodów) Załóżmy, że: a) spełnione są założenia symetrycznego modelu wartości indywidualnych b) sprzedawca ogłasza cenę wywoławczą v * (reserve price) c) dla każdego gracza, którego wycena spełnia warunek v = v * oczekiwany zysk jest równy zero. Wtedy w równowadze wszystkie aukcje należące do rodziny Ψ zapewniają sprzedawcy jednakowy oczekiwany zysk, który jest postaci v n 1 E F dv. [] R = n ( vf () v + F() v 1 ) v (3) Dowód twierdzenia 1, podobnie jak dowody większości twierdzeń prezentowanych w tym rozdziale, można znaleźć w pracy Rileya i Samuelsona (1981). Twierdzenie o równoważności dochodów (revenue equivalence theorem) jest jednym z podstawowych twierdzeń z zakresu teorii aukcji. Przy założeniach symetrycznego modelu wartości indywidualnych twierdzenie to jest prawdziwe nie tylko dla czterech wymienionych przez nas klasycznych reguł aukcyjnych, ale dla wszystkich aukcji, w których graczami są wyłącznie kupujący, a zwycięzcą jest kupujący posiadający najwyższą wycenę. Uboższą wersję tego twierdzenia podał Vickrey, we wspomnianej pracy z 1961 roku. Pokazał w niej, że jeśli spełnione są założenia Z1-Z5, a gracze biorący udział w aukcji mają jednakowy dostęp do informacji, to oczekiwany dochód sprzedawcy jest identyczny dla aukcji pierwszej ceny, holenderskiej, angielskiej oraz aukcji drugiej ceny. Twierdzenie o równoważności dochodów można uogólnić na aukcje, podczas których n kupujących konkuruje o nabycie jednego spośród k > 1 niepodzielnych 89

10 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH obiektów. Okazuje się, że jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 1, to wszystkie aukcje, w których wystawione na sprzedaż obiekty nabywają gracze posiadający k najwyższych wycen, w równowadze zapewniają sprzedawcy taki sam oczekiwany zysk (Klemperer, 1999). Mimo słuszności twierdzenia 1, obserwując aukcje możemy zauważyć, że pewne grupy towarów sprzedawane są zazwyczaj za pomocą jednej reguły aukcyjnej. Na przykład dzieła sztuki lub konie rasowe sprzedawane są najczęściej na zasadach aukcji angielskiej, podczas gdy kontrakty na dostawy są przyznawane na zasadach aukcji pierwszej ceny. Powstaje zatem pytanie dlaczego tak się dzieje, skoro zgodnie z twierdzeniem 1 oczekiwany dochód sprzedawcy nie zależy od reguł aukcyjnych? Jednym z powodów takiej sytuacji może być fakt, że organizowanie aukcji otwartych niesie ze sobą pewne trudności logistyczne. Często kupujący mieszkają w różnych zakątkach świata i trudno jest ich zebrać w jedno miejsce. W dobie aukcji internetowych taki powód wydaje się jednak być zbyt błahy. Realnym wytłumaczeniem tych rozbieżności jest fakt, że osłabienie przynajmniej jednego z założeń tego twierdzenia może spowodować, że jego teza nie będzie prawdziwa. Dzieje się tak, jeśli w ramach symetrycznego modelu wartości indywidualnych wprowadzimy założenie, że rozkłady wycen poszczególnych graczy są dodatnio skorelowane. Przy takich założeniach aukcja angielska zapewni sprzedawcy większy oczekiwany dochód niż aukcja pierwszej ceny (Milgrom i Weber, 1982). Sytuacja taka może mieć miejsce na przykład podczas aukcji dzieł sztuki czy koni rasowych. Kupujący, który wysoko ceni dane dzieło sztuki może przypuszczać, że dla jego konkurentów ma ono też dużą wartość. Inaczej będzie, jeśli założymy możliwość kooperacji między graczami. Takie aukcje analizowali McMillan i McAffe (1992) oraz Graham i Marshall (1987). Pokazali oni, że proces formowania koalicji jest ułatwiony w przypadku aukcji otwartych. Podczas takich aukcji kupujący mogą obserwować nawzajem swoje zachowania i wykorzystywać te obserwacje do budowania koalicji przeciwko swoim konkurentom. Dlatego w takiej sytuacji sprzedawca osiągnie większy zysk, jeśli jego towar zostanie sprzedany na zasadach aukcji pierwszej ceny. Ważnym problemem z punktu widzenia teorii gier jest wyprowadzenie dla poszczególnych reguł aukcyjnych dokładnych wzorów określających strategie prowadzące do równowagi. W większości przypadków, podanie takich wzorów wymaga zastosowania skomplikowanych obliczeń. W ramach modelu wartości indywidualnych większość rachunków ulega uproszczeniu, dlatego wzory na strategie równowagi przyjmują dość prostą formę. 90

11 Agnieszka Lewczuk Twierdzenie 2 Załóżmy, że a) spełnione są założenia Z1-Z5 b) sprzedawca ogłasza cenę wywoławczą v *. W przypadku aukcji, w której wygrywa oferta najwyższa, a cena jaką płaci nabywca jest równa cenie przedstawionej w ofercie, dla każdego gracza, którego wycena spełnia warunek v v * istnieje wspólna strategia prowadząca do równowagi i określona jest wzorem b () v 1 = v F n 1 () v x dx. (4) W przypadku aukcji angielskiej (aukcji drugiej ceny) strategię zapewniającą równowagę określa wzór b(v) = v. (5) Powyższe twierdzenie jest jednym z ważniejszych i często analizowanych twierdzeń w teorii aukcji. Wzór (4) określa optymalną ofertę, którą powinien przedstawić kupujący biorący udział w aukcji pierwszej ceny lub aukcji holenderskiej. Wzór (5) wynika z faktu, że jedyną nie zdominowaną strategią każdego uczestnika aukcji angielskiej (aukcji drugiej ceny) jest ujawnienie w ofercie swojej własnej wyceny, gdyż żadna inna strategia nie zapewni mu większej wypłaty. Należy jednak podkreślić, że nie jest to strategia silnie dominująca. W przypadku gdy zalicytuje mniejszą kwotę i wygra aukcję jego wypłata będzie taka sama jak ta zagwarantowana złożeniem oferty określonej wzorem (5). Stosowanie takiej strategii niesie jednak ze sobą większe ryzyko. Zgodnie z twierdzeniem 1 wszystkie aukcje z rodziny Ψ, dla których cena wywoławcza v * zostanie ustalona na jednakowym poziomie zapewniają sprzedawcy taki sam zysk. Powstaje zatem pytanie, na jakim poziomie sprzedawca powinien ustalić jej wysokość aby jego zysk został zmaksymalizowany? Odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie. v v F n 1 () Twierdzenie 3 Załóżmy, że: a) spełnione są założenia symetrycznego modelu wartości indywidualnych b) sprzedawca ogłasza cenę wywoławczą v * (reserve price) 91

12 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH c) dla każdego gracza, którego wycena spełnia warunek v = v * oczekiwany zysk jest równy zero. Przy tak określonych założeniach, spośród wszystkich aukcji należących do rodziny Ψ maksymalny oczekiwany zysk sprzedawcy zapewniają te aukcje, dla których cena wywoławcza, niezależnie od ilości kupujących, spełnia następującą zależność v = v 0 1 F + F ( v ) ( v ), (6) gdzie: v 0 oznacza wycenę sprzedawcy. Widzimy więc, że w przypadku, gdy gracze mają neutralny stosunek do ryzyka cena wywoławcza powinna być nieco wyższa od wyceny sprzedawcy. W dalszym ciągu zwrócimy uwagą na fakt, że regulaminy niektórych aukcji wymagają aby każdy kupujący, który chce wziąć udział w aukcji uiścił pewną opłatę wejściową (entry fee). Opłata ta stanowi dla kupującego dodatkowy koszt, gdyż nie jest wliczana w cenę zakupionego towaru ani zwracana w sytuacji, gdy nie wygra on aukcji. Załóżmy, że opłata za udział w aukcji wynosi c i zastanówmy się nad jej wysokością. Dla kupujących, których wycena jest niższa od pewnej granicznej wartości v c, najlepszym rozwiązaniem jest wycofanie się z aukcji. Załóżmy, że wycena jednego z kupujących wynosi v c. Kupujący ten wygrałby aukcję, gdyby nie było nikogo, kto oferowałby wyższą kwotę. Zdarzenie takie ma miejsce z prawdopodobieństwem F n-1 (v c ). Oczekiwana wypłata w tym przypadku wynosi v F. (7) Ponieważ v c jest graniczną wyceną, zysk w tym przypadku musi być równy zero. Stąd sprzedawca powinien ustalić wysokość opłaty wejściowej na poziomie c c = n 1 ( v ) c v F c n ( v ) 1. (8) Pozostaje jeszcze jedno pytanie, czy podanie do publicznej wiadomości ceny wywoławczej ma wpływ na zysk sprzedawcy? Z uwagi na to, że dominującą strategią każdego gracza w przypadku aukcji angielskiej (aukcji drugiej ceny) jest licytowanie przedmiotu wystawianego na sprzedaż, aż do poziomu przyjętej przez niego wyceny, sprzedawca nie może wpłynąć na wysokość jego oferty ogłaszając cenę wywoławczą. Dlatego też ogłaszanie jej w tym przypadku nie zmieni oczekiwanego zysku sprzedaw- 92

13 Agnieszka Lewczuk cy. W przypadku aukcji pierwszej ceny zdecydowanie trudniej jest wyprowadzić podobną zależność. Można jednak pokazać, że ukrywanie ceny wywoławczej nie przynosi korzyści sprzedawcy (Riley i Samuelson, 1981). Ilustrację wyprowadzonych przez nas twierdzeń stanowi następujący przykład. Przykład 1 Załóżmy, że spełnione są założenia symetrycznego modelu wartości indywidualnych, oraz w aukcji uczestniczy dwóch kupujących, których wyceny są niezależne i mają rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. Dystrybuanta tego rozkładu określona jest wzorem F(v) = v, v [0,1]. Przy założeniu, że wycena sprzedawcy wynosi 0 (v 0 = 0), optymalna cena wywoławcza, którą powinien on ogłosić, zgodnie z twierdzeniem 3 określona jest za pomocą wzoru v =. Podstawiając F(v * 1 F( v ) 1 ) = v * otrzymujemy, że v =. Oznacza to, F ( v ) 2 1 że sprzedawca otrzyma maksymalny zysk, jeśli ustali cenę wywoławczą na poziomie. 2 Jeśli kupujący będą licytowali zgodnie ze strategią prowadzącą do równowagi, to oczekiwany dochód sprzedawcy w tym przypadku wyniesie Optymalną strategię każdego gracza biorącego udział w aukcji pierwszej ceny (holenderskiej) wyznaczamy ze wzoru (6). W naszym przykładzie jest ona postaci b E [] R ( 2v 1) () v = v xdx v. v = + 2 8v W przypadku, gdy sprzedawca nie ogłosi ceny wywoławczej, optymalna oferta bę- 1 dzie nieco niższa i wyniesie b() v = v. Niższy będzie także oczekiwany dochód sprzedawcy. Jeśli v * 2 1 = 0, to E[] R =. Widzimy więc, że zastosowanie optymalnej ceny wy- 3 woławczej zwiększyło o 25% oczekiwany zysk sprzedawcy. 1 2 = vdv = 1 2 v

14 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH Dotychczas przyjmowaliśmy założenie, że kupujący mają neutralny stosunek do ryzyka a ich celem jest osiągnięcie maksymalnego zysku. Teraz zastanowimy się, jak zmienią się równowagi i osiągane wyniki uczestników aukcji, jeśli założymy, że mają oni awersję do ryzyka (risk aversion). Podobnie jak w przypadku ogłoszenia ceny wywoławczej, pojawienie się u kupujących awersji do ryzyka nie wpłynie na strategie w równowadze uczestników aukcji angielskiej (aukcji drugiej ceny). Nadal będą oni licytowali (jeśli to będzie konieczne) do wysokości własnej wyceny. Inaczej wygląda sytuacja dla aukcji pierwszej ceny (aukcji holenderskiej). Tutaj wysokość oferty wzrasta wraz z nasileniem się jego awersji do ryzyka. Twierdzenie 4 Załóżmy, że: a) spełnione są założenia Z1-Z4 b) wszyscy kupujący mają awersję do ryzyka. Przy tak określonych założeniach aukcja pierwszej ceny zapewnia sprzedawcy większy oczekiwany zysk, niż aukcja drugiej ceny. Następujące twierdzenie pokazuje, jaki wpływ na wysokość optymalnej, maksymalizującej zysk sprzedawcy, ceny wywoławczej ma występująca u graczy awersja do ryzyka. Twierdzenie 5 Załóżmy, że: a) spełnione są założenia Z1-Z4 b) wszyscy kupujący mają jednakową funkcję użyteczności von Neumanna-Morgensterna odzwierciedlającą ich awersję do ryzyka. Wtedy w przypadku aukcji pierwszej ceny optymalna cena wywoławcza ogłaszana przez sprzedawcę jest malejącą funkcją stopnia awersji do ryzyka. Z twierdzenia tego wynika, że im większą awersję do ryzyka mają uczestnicy aukcji, tym cena wywoławcza ogłaszana przez sprzedawcę jest niższa. Przy ekstremalnie wysokim stopniu awersji do ryzyka kupujących sprzedawca powinien ogłosić cenę wywoławczą równą wysokości własnej wyceny. Wyższa cena i tak nie zwiększy jego zysku, gdyż wysokości ofert są w tej sytuacji maksymalne a takim posunięciem niepotrzebnie ryzykowałby stratę zysku jeśli okazałoby się, że jedna z ofert przewyższa jego wycenę. 94

15 Agnieszka Lewczuk Dotychczas mieliśmy do czynienia z tak zwanym symetrycznym modelem wartości indywidualnych, w którym konkurenci przyjmowali odmienne, niezależne od siebie wyceny sprzedawanego przedmiotu. Z innym modelem aukcji mamy do czynienia na przykład w przypadku sprzedaży koncesji na eksploatację pól naftowych. Wartość takiej koncesji zależy od wielu czynników, dlatego trudno jest ją określić. Pomijając różnice kosztów, zyski z wydobycia powinny być dla każdej firmy jednakowe. Można więc przyjąć, że koncesja dla każdej ubiegającej się o nią firmy ma jednakową wartość. Wartość ta nie jest jednak znana, dlatego każdy uczestnik przetargu dokonuje własnej wyceny, a następnie w oparciu o ten szacunek składa ofertę. Ponieważ na wysokość tej wyceny oprócz powszechnie dostępnych informacji mają wpływ również te prywatne, przedsiębiorstwa mogą przyjąć znacznie różniące się wartości. Opisany powyżej model nazywamy modelem wartości wspólnej (common value model). W modelu tym, w przeciwieństwie do modelu wartości indywidualnych, wielkość wyceny kupującego może zależeć od informacji posiadanych przez innych uczestników aukcji. W ramach modelu wartości wspólnej każdy uczestnik aukcji pierwszej ceny (lub równoważnie aukcji holenderskiej) mając na uwadze maksymalizację własnego zysku będzie składał ofertę, której wartość jest niższa od przyjętej przez niego oceny rzeczywistej wartości towaru. Mimo tego, z uwagi na występującą dużą niepewność co do wartości sprzedawanego towaru, po zakończonej aukcji może się okazać, że jej zwycięzca znacznie przecenił wartość towaru. Mówi się wtedy, że padł on ofiarą przekleństwa zwycięzcy (winner curse). Częstotliwość występowania tego zjawiska rośnie wraz ze wzrostem liczby konkurentów oraz skali niepewności co do rzeczywistej wartości przedmiotu. Aby nie paść jego ofiarą należy zatem założyć, że jest ona znacznie niższa od jego pierwotnej oceny i przed złożeniem oferty dokonać jej korekty w dół. Strategia uczestnika aukcji angielskiej jest bardziej złożona. Ponieważ istnieje prawdopodobieństwo wystąpienia przekleństwa zwycięzcy, nie powinien on licytować aż do poziomu przyjętej przez siebie wyceny. Przy ustaleniu górnej granicy oferty powinien on uwzględnić zdobyte informacje dotyczące zmieniającej się liczby uczestników i cen, przy których wycofują się oni z licytacji (Marks i Samuelson, 1998). Należy zwrócić uwagę na fakt, że w sytuacji, gdy kupujący nie mają pewności co do rzeczywistej wartości przedmiotu aukcja angielska nie jest równoważna aukcji Vickrey`a. Gracze biorący udział w aukcji angielskiej mają możliwość obserwowania zachowań swoich konkurentów i na tej podstawie mogą lepiej niż uczestnicy aukcji drugiej ceny oszacować rzeczywistą wartość przedmiotu. Podczas aukcji angielskiej zmniejsza się zatem ryzyko wystąpienia zjawiska przekleństwa zwycięzcy. Dzięki temu kupujący licytują bardziej agresywnie, co prowadzi do zwiększenia oczekiwanego dochodu sprzedawcy w porównaniu z aukcją drugiej ceny. Przy założeniach modelu wartości wspólnej prawdziwe jest następujące twierdzenie. 95

16 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH Twierdzenie 6 Jeżeli przyjmiemy założenie, że obowiązuje model wartości wspólnej, oraz że neutralnie nastawieni do ryzyka kupujący licytują zgodnie ze strategią prowadzącą do równowagi, to aukcja angielska zapewnia sprzedawcy większy oczekiwany zysk niż aukcja pierwszej ceny. Pierwszy formalny dowód tego twierdzenia pochodzi od Milgroma i Webera (1982). Wymaga on zastosowania dość skomplikowanych obliczeń, ale można go również przeprowadzić intuicyjnie. Jak już wcześniej zauważyliśmy, wysokość oferty jest tym większa, im mniejsza jest niepewność co do wystawianego na sprzedaż obiektu (wtedy jest mniejsze prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska przekleństwa zwycięzcy). Podczas aukcji angielskiej kupujący mogą obserwować zachowania swoich konkurentów i pozyskać dodatkowe informacje o wycenach swoich konkurentów. W ten sposób zdobyte informacje zmniejszają niepewność co do rzeczywistej wartości licytowanego przedmiotu, co skutkuje wzrostem wysokości ofert. Podkreślić należy, że zależności zawartej w twierdzeniu 6 nie można uogólnić na aukcję drugiej ceny, gdyż jak już wcześniej zauważyliśmy, przy założeniach modelu wartości wspólnej nie jest ona równoważna aukcji angielskiej. 4. Aukcje wieloobiektowe Do tej pory zajmowaliśmy się aukcjami, podczas których sprzedawany był jeden niepodzielny obiekt. W aukcjach tych uczestniczył jeden sprzedawca i kilku kupujących, którzy konkurując ze sobą wyznaczali cenę licytowanego przedmiotu. Pozycja sprzedawcy była raczej bierna i ograniczała się do umiejętnego sposobu rozpowszechniania informacji o sprzedawanym obiekcie i możliwości wyboru reguły aukcyjnej. Oczywiście racjonalnie zachowujący się sprzedawca wybierał taką regułę, która jego zdaniem zapewniała mu maksymalny zysk. Były to aukcje, w których graczami są wyłącznie kupujący. W rzeczywistości jednak często organizowane są aukcje, podczas których sprzedawanych jest wiele obiektów. Czasami są to obiekty identyczne tak jak akcje, ryby czy warzywa na giełdzie towarowej a czasami różne tak jak meble czy dzieła sztuki. Aukcje takie nazywamy aukcjami wieloobiektowymi (multiple object auctions). Jeśli przedmiotem sprzedaży jest kilka identycznych obiektów, kupujący w swojej ofercie oprócz ceny powinien umieścić ilość towaru, jaką jest skłonny nabyć. Zanim jednak złoży on swoją ofertę powinien dokonać wyceny obiektów, których nabyciem jest zainteresowany. W przypadku, gdy wystawiane na sprzedaż obiekty są różne, oraz istnieje możliwość złożenia oferty zakupu kilku obiektów jednocześnie, dokonanie ta- 96

17 Agnieszka Lewczuk kich wycen może się okazać dość skomplikowane, gdyż kupujący oprócz wycen pojedynczych obiektów powinien znać też wyceny ich zestawów. Aukcje wieloobiektowe możemy podzielić ze względu na sposób ustalania ceny transakcji. Do jednej grupy należą te aukcje, dla których cena jest ustalana w sposób nierozróżnialny (nondiscriminating pricing). Podczas takich aukcji jednakowe obiekty sprzedawane są licytującym po tej samej cenie. Drugą grupę stanowią aukcje, w których dla każdego obiektu (lub grupy obiektów) akceptowane są różne proponowane przez kupujących ceny (discriminating pricing). Inny sposób zaproponowali Griesmer i Shubik (1963b). Za kryterium podziału przyjęli ilość udostępnianych podczas trwania aukcji informacji i w oparciu o nie podzielili aukcje na trzy grupy: Noisy, Silent i Super Silent. Do pierwszej grupy należą te aukcje, dla których po każdym sprzedanym obiekcie ogłaszane jest nazwisko kupującego, który go nabył oraz cena transakcji. Drugą grupę stanowią aukcje, w których ogłaszane jest tylko nazwisko nabywcy. Aukcje należące go grupy Super Silent to takie, podczas których nie udostępnia się żadnej z wymienionych wyżej informacji. Procedury aukcyjne służące do alokacji wielu dóbr są na ogół bardziej złożone niż aukcje jednoobiektowe. Bardziej złożona jest także ich analiza. Najprostszym przykładem są aukcje, w których zakłada się, że każdy z licytujących może nabyć tylko jeden obiekt. Do takich aukcji należy procedura polegająca na wielokrotnym powtarzaniu aukcji jednoobiektowych. Taki sposób alokacji może się jednak okazać nieefektywny. Nie zawsze wygrywa ją kupujący posiadający najwyższą wycenę (Kuszewski, 2001). Fakt ten wpływa zatem na obniżenie dochodu sprzedawcy. Pomimo tego domy aukcyjne decydują się na tego typu sprzedaż. Większość dzieł sztuki jest bowiem w posiadaniu prywatnych kolekcjonerów, a w tej sytuacji jednoczesna sprzedaż stwarzałaby problem z podziałem zysków między poszczególnych sprzedawców. Zastosowanie powtarzających się aukcji angielskich do sprzedaży obiektów identycznych prowadzi do rozpoznania przez sprzedawcę wycen poszczególnych graczy, dzięki czemu dodając swoją odpowiednio wysoką ofertę może on podbić cenę sprzedawanego przedmiotu. W przypadku, gdy na takich zasadach sprzedawane są różne obiekty, wielkość dochodu sprzedawcy zależy od kolejności, w jakiej dochodzi do ich licytacji. Nie znając wycen, trudno jest jednak wybrać kolejność dającą efektywną alokację. Inną procedurą służącą do sprzedaży wielu obiektów jest jednoczesna licytacja (simultaneous ascending auction). Ten rodzaj aukcji został pierwszy raz wykorzystany w Stanach Zjednoczonych w lipcu 1994 roku do sprzedaży częstotliwości radiowych i przyniósł zaskakująco duże zyski. Podczas tej aukcji sprzedano 10 licencji za łączną kwotę 617 mln dolarów amerykańskich. Następna tego typu aukcja, zorganizowana w grudniu, przyniosła jeszcze większe zyski. Sprzedano na niej 99 licencji za 97

18 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH 7,7 mld USD (Milgrom, 2000). Sukces ten przyczynił się do rozpowszechnienia tego typu aukcji na całym świecie, do tej pory bowiem pasma radiowe przyznawane były przez odpowiednie komisje rządowe za niewielką opłatą. Teoretyczny model jednoczesnej licytacji pochodzi od Milgroma (2000). Proces aukcyjny składa się z kilku etapów. W skład każdego etapu wchodzi kilka rund. Podczas każdej z rund kupujący jednocześnie składają oferty kupna dotyczące każdego obiektu, którego nabyciem są zainteresowani. Po zgłoszeniu ofert ogłaszane są wyniki. Dla każdego obiektu ogłoszona zostaje wysokość aktualnej najwyższej oferty (standing high bid) wraz z nazwiskiem kupującego, który ją złożył oraz minimalna wysokość oferty obowiązująca podczas następnej rundy. Ta ostatnia może zostać ustalona przez dodanie do aktualnie najwyższej oferty pewnej stałej kwoty lub też przez powiększenie jej o pewną ustaloną część, na przykład o 5%. W niektórych sytuacjach reguły pozwalają kupującemu wycofać swoją ofertę, jednak w przypadku, gdy cena sprzedaży będzie niższa niż wysokość oferty którą kupujący chce odwołać, musi on zapłacić wynikającą z tej nierówności różnicę. W większości jednak przypadków wycofanie oferty jest niezgodne z regułami gry. Możliwość składania nowych ofert reguluje tak zwana zasada aktywności (activity rule) oparta na pewnych współczynnikach ilościowych. Współczynniki te nazywane są miarami zaangażowania i odzwierciedlają wartość danego obiektu. W przypadku sprzedaży licencji na usługi telefoniczne określa je liczba mieszkańców na obszarach, których one dotyczą, a w przypadku częstotliwości, część zakresu. Zaangażowaniem dla danego kupującego jest suma tych miar dla obiektów, na które złożył aktualne najwyższe oferty. Na początku aukcji każdy z licytujących ustala zakres finansowy swojej licytacji przez wpłacenie depozytu pokrywającego wartość licencji, których kupnem będzie zainteresowany. W ten sposób określa on swoje maksymalne zapotrzebowanie na poszczególne obiekty. Kupujący jest aktywny podczas danej rundy, jeśli jego oferta na jeden z obiektów podczas poprzedniej rundy była najwyższa lub jeśli złoży nową, wyższą ofertę. Podczas każdej z rund składający swoją ofertę gracz musi pamiętać o tym, że może on aktywnie licytować tylko te licencje, których wartość nie przekracza wysokości zgłoszonego na początku maksymalnego zaangażowania. Jeśli tak się stanie, jego oferta zostanie odrzucona. Po zakończonym etapie kupujący poznają wysokość aktualnej najwyższej oferty. Wtedy też sprzedawca ustala i ogłasza, jaką część swojego maksymalnego zaangażowania kupujący powinien wykorzystać w następnym etapie. Zasada aktywności pełni dwie funkcje. Po pierwsze ma na celu zmuszenie kupujących do aktywności, dzięki czemu wzrasta tempo aukcji. Po drugie zwiększa ona ilość 98

19 Agnieszka Lewczuk dostępnych informacji, co skutkuje zmniejszeniem ryzyka i tym samym powoduje wzrost wysokości ofert. Bez tej zasady kupujący zwlekaliby z pewnością z ujawnianiem swoich ofert i staraliby się wykorzystać informacje ujawnione przez konkurentów. Moment zakończenia aukcji może być ustalany na różne sposoby. Jeden z nich został zaproponowany przez McAffee. Zakłada on, że aukcja kończy się w momencie, gdy dla żadnego obiektu przez kilka rund nie padają nowe oferty. Druga propozycja pochodzi od Wilsona. Według niej aukcja powinna zostać zakończona w momencie, gdy w którejś z rund nie pojawia się nowa oferta na jeden z obiektów. W momencie gdy aukcja zostanie zakończona, licytowane obiekty stają się własnością kupujących, którzy złożyli na nie najwyższe aktualne oferty. Płacą za nie wynikające z nich kwoty. Milgrom (2000) wykazał, że jednoczesna licytacja, mimo że nie jest efektywna (nie maksymalizuje dochodu sprzedawcy) prowadzi do alokacji dóbr po cenach zbliżonych do maksymalnych cen, jakie mógłby uzyskać sprzedawca. Podział aukcji na etapy mobilizuje kupujących i powoduje przyspieszenie jej tempa, co zwiększa oczekiwany dochód sprzedawcy. Klemperer (2002) do sprzedaży wielu dóbr zaproponował regułę aukcyjną, która łączy w sobie najlepsze cechy aukcji angielskiej i holenderskiej. Jest to aukcja anglo- -holenderska. Załóżmy, że w aukcji uczestniczy n kupujących, z których każdy chce nabyć jeden z m obiektów, przy czym zakłada się, że n > m. Aukcja składa się z dwóch etapów. Podczas każdego z nich obiekty sprzedawane są jednocześnie. Pierwszy etap odbywa się na zasadzie zmodyfikowanej aukcji angielskiej. Cena ogłaszana przez licytatora stopniowo wzrasta aż do momentu, gdy zostanie tylko m + 1 kupujących deklarujących chęć zakupu jednego z m obiektów po aktualnej cenie. Po zakończonej publicznej licytacji zaczyna się etap zamknięty, w którym każdy z m + 1 kupujących zgłasza swoją ofertę na zasadach aukcji pierwszej ceny (np. w zapieczętowanej kopercie), przy czym wysokość tej oferty musi być wyższa od ceny, na której zakończył się pierwszy etap aukcji. Zwycięzcami aukcji są ci kupujący, którzy złożyli m najwyższych ofert. Nabywają oni po jednym obiekcie za tyle, ile oferowali się zapłacić. Podział aukcji na dwa etapy pozwala wykorzystać najlepsze cechy obu aukcji. Dzięki otwartej licytacji kupujący mogą obserwować zmieniającą się liczbę aktywnych uczestników aukcji oraz poziom cen, przy których rezygnują oni z dalszej gry. W ten sposób zdobyte informacje pozwalają kupującym lepiej oszacować wyceny konkurentów, co zmniejsza ryzyko złożenia zbyt wysokiej oferty i ułatwia licytowanie. Efektywna alokacja obiektów jest zagwarantowana tym, że w drugim etapie biorą udział tylko ci kupujący, którzy posiadają najwyższe wyceny. 99

20 MODELE I WŁASNOŚCI AUKCJI SYMETRYCZNYCH Aukcja anglo-holenderska, podobnie jak poprzednia procedura, została stworzona na potrzeby europejskiego rynku usług telekomunikacyjnych. Została wykorzystana w Wielkiej Brytanii i w Holandii. W krajach europejskich obok dużych, działających od lat firm powstałych z państwowych monopoli, istnieją też nowopowstałe, małe firmy, których pozycja na rynku jest o wiele słabsza od tych poprzednich. Zastosowanie aukcji angielskiej uniemożliwiłoby słabszym graczom zdobycie licencji, gdyż ich oferty zawsze zostałyby przebite przez silniejszych konkurentów. Zastosowanie samej aukcji holenderskiej pozwoliłoby dużym firmom nabyć licencje po zaniżonych cenach. Aukcja anglo-holenderska uniemożliwia zaś dużym firmom skuteczne zablokowanie swych słabszych konkurentów i w przypadku, gdy liczba sprzedawanych obiektów jest większa niż liczba konkurentów z mocniejszą pozycją pozwala tym słabszym nabyć licencje. Dotychczas omawiane przez nas aukcje były procedurami, podczas których sprzedawane obiekty były bądź identyczne, bądź były substytutami, a składane oferty dotyczyły każdego obiektu z osobna. Ważną grupę wśród aukcji wieloobiektowych zajmują aukcje kombinatoryczne (combinatorial auctions), w których zakłada się możliwość składania przez kupujących ofert na kombinacje obiektów, zwanych też wiązkami (package). Aukcje kombinatoryczne są szczególnie przydatne przy sprzedaży obiektów komplementarnych, czyli takich, dla których użyteczność dowolnego ich zestawu jest większa niż suma użyteczności poszczególnych jego elementów. Jeśli chcemy sprzedać składający się z czterech krzeseł i stołu komplet mebli, to najbezpieczniej jest umożliwić potencjalnym kupującym składanie ofert na poszczególne jego części. Może się bowiem zdarzyć, że żaden z kupujących nie będzie zainteresowany nabyciem całego zestawu, ale będą wśród nich tacy, którzy zechcą nabyć jedynie stół lub krzesła. W takiej sytuacji będziemy mogli sprzedać cały zestaw po zadowalającej nas cenie. Aukcje kombinatoryczne zostały zastosowane już w 1976 roku przy sprzedaży częstotliwości radiowych (Jackson, 1976). Tego typu reguła aukcyjna została również zaproponowana przez Rassentiego (1982) do sprzedaży liniom lotniczym tak zwanych slotów, czyli pozwoleń na korzystanie z terminala i rękawa powietrznego w określonym czasie. Do obsługi danego połączenia potrzebne są trzy sloty: jeden na lotnisku początkowym, drugi na docelowym i trzeci na powrót na lotnisko początkowe. Sprzedaż pojedynczych slotów na oddzielnych aukcjach powodowałaby zaniżanie cen przez linie lotnicze w celu zwiększenia szans wygrania kolejnych aukcji (Kuszewski, 2001). W Londynie od 1995 roku pozwolenia na obsługę tras autobusowych sprzedawane są na zasadach aukcji kombinatorycznych. Firmy przewozowe mogą składać oferty nie tylko na obsługę jednej trasy, ale na kombinacje tras, którymi są zainteresowani. Z przewoźnikiem, który wygrał przetarg zawierany jest 5-letni kontrakt. W ten spo- 100