Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel. Podstawy fizyki

Transkrypt

1 Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel Podstawy fizyki Warszawa 010

2 Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna" 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel , ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, sto@simr.pw.edu.pl Opiniodawca: prof. dr hab. Władysław Bogusz Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Michał MARZANTOWICZ, Wojciech WRÓBEL Publikacja bezpłatna, przeznaczona jest dla studentów kierunku "Edukacja techniczno informatyczna" Copyright 010 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawna, Włocławek, ul. Brzeska 4

3 Spis treści Wstęp Czym jest fizyka? Wielkości fizyczne, jednostki i wzorce Czym jest fizyka? Jednostki podstawowe Miano jednostek wielkości pochodnych Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15. Opis ruchu Układ odniesienia i układ współrzędnych..... Przemieszczenie i droga Prędkość Przyspieszenie Dynamika Zasady dynamiki Newtona Zasada zachowania pędu Praca i energia Praca Pole sił zachowawczych i niezachowawczych Pole sił grawitacyjnych Ruch po okręgu Energia potencjalna sił sprężystości Energia kinetyczna Zasada zachowania energii mechanicznej Zderzenia Dynamika bryły sztywnej Bryła sztywna...68

4 5.. Równanie ruchu bryły sztywnej Zasada zachowania momentu pędu Energia ruchu obrotowego Ruch drgający Drgania harmoniczne Drgania tłumione Drgania wymuszone z tłumieniem Stany skupienia materii Ciało stałe Płyny Inne stany materii Przejścia między stanami przemiany fazowe Hydrostatyka i hydrodynamika Hydrostatyka Hydrodynamika Termodynamika Temperatura, zerowa zasada termodynamiki Równanie stanu gazu doskonałego Ciepło i praca termodynamiczna Przemiany termodynamiczne Teoria kinetyczno-molekularna gazów Równanie stanu gazu rzeczywistego Cykle gazowe Entropia Właściwości termiczne materii Elektrostatyka Ładunek elektryczny Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia i potencjał w polu elektrycznym Prawo Gaussa Strona 4

5 10.6. Pojemność elektryczna przewodnika Dielektryki Prąd elektryczny Natężenie prądu elektrycznego Prawo Ohma Praca i moc prądu elektrycznego Obwody elektryczne Strona 5

6 Strona 6

7 Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla studentów pierwszego roku studiów inżynierskich kierunku nauczania Edukacja techniczno-informatyczna prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej. Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. Podstawy fizyki. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu. Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałów dydaktycznych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładów z ww. przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zostały na 11 rozdziałów. Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych, ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach. Rozdział został poświęcony opisowi ruchu ciał w różnych układach współrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemieszczenie, prędkość czy przyspieszenie. W rozdziale 3 omówione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu. W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii. Rozważane są różne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada zachowania energii. Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak równanie ruchu bryły sztywnej, zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego. Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań, w szczególności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia. W rozdziale 7 omówione zostały różne stany skupienia materii ciała stałe, płyny oraz inne stany materii.

8 W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrostatyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala, Arhimedesa oraz równanie Bernouliego. Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice. Omówiony został gaz doskonały, jego równanie stanu oraz różne przemiany jakim może podlegać. Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej, a także opis cykli i silników termodynamicznych. Omówiono również podstawowe właściwości termiczne materii. W rozdziale 10 omówione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego, natężenie, potencjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna przewodnika. Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego. Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektryków. Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektrycznego. Podane zostało prawo Ohma, wyznaczona praca i moc prądu elektrycznego a także omówione podstawowe właściwości obwodów elektrycznych, w tym prawa Kirchhoffa. Strona 8

9 1 Czym jest fizyka? Wielkości fizyczne, jednostki i wzorce W tym rozdziale: o Czym jest fizyka? o Jednostki podstawowe o Miano jednostek wielkości podstawowych o Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych o Działania na wektorach

10 ROZDZIAŁ Czym jest fizyka? Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii. Ślad tego faktu, że fizyka była działem filozofii filozofią przyrody znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona, stanowiącego fundament nowożytnej fizyki: Principia mathematica philosophiae naturalis (1686 r.), co może być przetłumaczone jako Zasady matematyczne filozofii przyrody. Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną, czyli opartą na doświadczeniu ponieważ: Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych. W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje dotyczące jej pomiaru. Wielkością fizyczną jest każda wielkość, która daje się mierzyć czyli porównywać ze wzorcem jednostki tej wielkości Stosuje opis matematyczny zjawisk ( matematyka jest językiem fizyki ) Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko przeprowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłócających zjawisko badane. Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych. Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewników, aksjomatów, które w fizyce nazywamy zasadami. Czasami mówi się o nich, ze są to prawa pierwsze. Oznacza to, że nie odkryto praw bardziej podstawowych, które umożliwiłyby wyprowadzenie tych zasad. Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogólnieniem dużej liczby eksperymentów. Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona. Natomiast inne szczegółowe prawa fizyczne (np. prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk. Strona 10 10

11 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE, JEDNOSTKI I WZORCE Istnienie zasad i praw szczegółowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych. Stąd z kolei wynika, że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych, a pozostałe wielkości są wielkościami zależnymi, pochodnymi. W tej sytuacji wystarczy, iż wzorce jednostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych. Ustalono, że są cztery podstawowe wielkości fizyczne: długość, masa, czas i natężenie prądu. Stworzono zatem wzorce metra, kilograma, sekundy i ampera. Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorców. Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo, iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe. Są to: temperatura (w kelwinach), liczność materii (w molach), jasność źródeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach). W ten sposób powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorców jednostek wielkości fizycznych wymienionych wyżej, nazywany układem SI (od fr. Systeme International). Wymagania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokładności i powszechności, uniwersalności. Ta druga własność ma polegać na tym, by wzorzec mógł być z równą dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie. Ma to zapewnić możliwość porównywania wyników doświadczeń różnych laboratoriów a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiarów, co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych. Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o definicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki. Jako przykład ustalmy jednostkę i sposób pomiaru prędkości chwilowej. Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej, która będzie uzasadniona w dalszej części skryptu: x v = lim (1.1) t 0 t Ta matematyczna definicja wskazuje, że aby wyznaczyć prędkość chwilową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia x tego obiektu odpowiadające jak najkrótszym odcinkom czasu t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie. Jest więc w definicji wskazówka pomiarowa i wiemy już, że jednostką prędkości będzie m/s. Strona 11 11

12 ROZDZIAŁ Jednostki podstawowe Strona 1 1 Jednostką długości jest metr [m]. Metr jest to odległość, jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/ s. Jednostką czasu jest sekunda [s]. Sekunda jest definiowana za pomocą tzw. zegara atomowego jako okresów drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K. Jednostką masy jest kilogram [kg]. Wzorzec kilograma, wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem. Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutów miar i wag poszczególnych państw. Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji, opartej na masie atomowej. Jednostką temperatury jest Kelwin [K]. Jeden kelwin odpowiada 1 / temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody punktu, w którym współistnieją fazy ciekła (woda), stała (lód) i gazowa (para wodna). Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odniesieniu do tzw. zera absolutnego 0 K, która oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć, ale jest nieosiągalna. Na powszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potrójnego wody (73.16 K) odpowiada 0.01ºC. W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki, a nie przecinka. Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol]. Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek równą liczbie atomów w masie 1 gramów izotopu węgla 1 C. W jednym molu znajduje się ok (10) 10 3 cząsteczek. Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra). Ponieważ różne cząsteczki mają różną masę równocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki, atomy, jony itp.) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji. W opisie materii używa się również masy atomowej, która określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 / 1 masy izotopu węgla 1 C. Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 / 683 W/sr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt przestrzenny steradian. W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świa-

13 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE, JEDNOSTKI I WZORCE tło monochromatyczne o długości 540 nm, dla której to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością. Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A]. Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników ładunku elektrycznego. Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elektrycznego, który przepływa przez przewodnik w jednostce czasu. Z definicji tej wynika jednostka natężenia prądu amper 1A=1C/s (kulomb/sekunda). Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w następujący sposób. Jeżeli w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w próżni w odległości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A), to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodów z siłą równą 10-7 N na każdy metr długości przewodu. Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych współrzędnymi kątowymi używa się: radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad]. Kąt pełny wynosi π radianów. Wartość kąta może być również określana w stopniach, ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany. steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr]. Kąt pełny wynosi 4π sr. Strona 13 13

14 ROZDZIAŁ Miano jednostek wielkości pochodnych Tabela 1.1. Jednostki wielkości pochodnych układu SI. Według rozporządzenia Rady Ministrów z dnia 30 listopada 006r w sprawie legalnych jednostek miar Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych. Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych. Przykładowo, opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg m/s, ale prościej i wygodniej jest oznaczyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton). W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw. mian wielkości pochodnych Strona 14 14

15 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE, JEDNOSTKI I WZORCE 1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych Wielkości skalarne i wektorowe Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory. Wielkości skalarne mają jedynie wartość. Przykładem takich wielkości są energia, masa, czas czy ładunek elektryczny. Wielkości wektorowe oprócz wartości (modułu) posiadają również kierunek i zwrot. Przykładem mogą być tutaj siła, prędkość czy pęd. W układzie współrzędnych wektor opisujemy podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu r r r r współrzędnych. Przykładowo v = ( 3,,4) = 3 i + j+ 4k oznacza wektor prędkości o składowych: v x = 3 w kierunku x czyli wzdłuż wersora i r (wektora jednostkowego); v y = w kierunku y, wzdłuż wersora j r ; v z = 4 w kierunku z, wzdłuż wersora k r. Działania na wektorach Podstawowe działania na wektorach, jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie, odejmowanie i mnożenie Mnożenie W wyniku mnożenia wektora b r przez skalar, r r a = c b, otrzymujemy wektor a r, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora b r, zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej c ; a = cb. W przypadku, gdy c < 0 to zwrot wektora ar jest przeciwny niż b r. To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora. r Przykładowo jeśli wektor b = ( 1,3,5) wymnożymy skalarnie przez 3, otrzymujemy r r r r r a = 3b = i 3 1+ j3 3+ k3 5 = ( 3,9,15) Strona 15 15

16 ROZDZIAŁ 1 Rysunek 1.1. Dodawanie wektorów na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektorów b) Dodawanie i odejmowanie wektorów Dodawanie wektorów można przeprowadzić graficznie (rysunek 1.1) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie współrzędnych. Suma dwóch wektorów jest również wektorem. Podobnie jak poprzednio, działanie dodawania można wykonać również na składowych wektorów. Przykładowo, dodając do siebie wektory r r r a = ( 0,, 1), b = ( 1,3,5) i c = (,3,0) otrzymujemy wektor r r r r d = i j k = 1,8,4 [ ] [ ] [ ] ( ) Odejmowanie wektorów przeprowadzamy podobnie jeśli wykonujemy r operację a b r r r, to do wektora a dodajemy wektor b, czyli wektor o identycznej długości i kierunku co b r, ale o przeciwnym zwrocie. r Odejmowanie nie jest przemienne tzn. działanie b a r daje wektor r o przeciwnym zwrocie niż działanie a b r. Przykładowo, odejmując od r r wektora a = ( 0,, 1) wektor b = ( 1,3,5) otrzymujemy wektor r r c = ( 1, 1, 6), a wykonując działanie b a r otrzymujemy wektor r c = 1,1,6 ( ) Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny c a r r r = b jest iloczynem długości wektora a oraz rzutu wektora b r na wektor a r. Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako Strona 16 16

17 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE, JEDNOSTKI I WZORCE r r c = a b = a b cosα (1.) gdzie α jest kątem między wektorami a r i b r. Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia. Iloczyn skalarny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie równoległe, natomiast dla wektorów prostopadłych wartość iloczynu skalarnego równa jest zeru. Iloczyn wektorowy wektorów r r r Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów ( c = a b ) jest wektor. Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru c = absinα (1.3), gdzie α jest kątem między wektorami ar i b r. Kierunek tego wektora jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory ar oraz b r. Zwrot wektora cr określa reguła śruby prawoskrętnej jeśli będziemy kręcić śrubą od wektora ar do wektora b r po najmniejszym kącie, to kierunek ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem r r r wektorowym c = a b. Przykładem iloczynu wektorowego jest moment r r r siły M = F mnożąc wektorowo wektor r, określający położenie punktu zaczepienia siły względem osi obrotu, oraz wektor siły F r, otrzymujemy wektor momentu siły M r prostopadły do płaszczyzny, w której oba wektory się znajdują. Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory a r i b r są do siebie prostopadłe (α = π/). Gdy wektory są równoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Mnożenie wektorowe nie jest przemienne w wyniku mnożenia wektorowego b a r dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co r r a b r, ale o przeciwnym zwrocie. Algebraicznie iloczyn dwóch wektorów możemy przedstawić w postaci macierzy: Strona 17 17

18 ROZDZIAŁ 1 r r r i j k r r a b = a a a (1.4) b x x b y y b z z Po przekształceniach otrzymujemy: r a b r = a b a b, a [ b + a b,a b a b ] y z z y x z z x x y y x (1.5) Rzuty wektorów Rozkładanie wektorów na składowe, czyli rzutowanie wektora na wybrane osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektorów pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach. Jeżeli rozpatrzymy wektor a r na płaszczyźnie dwuwymiarowej, tworzący kąt α z wyróżnioną prostą, składowa równoległa do tej prostej wynosi a II = a cosα (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi a II = a, a dla α = π/ wynosi a II = 0 ) zaś składowa prostopadła a = a sinα Przykład Rozłóż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni równi o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i równoległą do powierzchni równi. Siła ciężkości ( F c = mg ) skierowana pionowo w dół może być składową równoległą i prostopadłą do równi (Rysunek. 1..). Ze względu na podobieństwo trójkątów kąt α tworzący równię będzie również występował między siłą ciężkości i jej składowymi. Składowa siły ciężkości równoległa do powierzchni równi (siła ściągająca ciało) wynosi więc F II = mg sinα, a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na równię F = mg cosα Strona 18 18

19 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE, JEDNOSTKI I WZORCE Rysunek 1.. Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało na powierzchni równi na składowe Strona 19 19

20 ROZDZIAŁ 1 Strona 0 0

21 Opis ruchu W tym rozdziale: o Układ odniesienia i układ współrzędnych o Przemieszczenie i droga o Prędkość o Przyspieszenie

22 ROZDZIAŁ.1. Układ odniesienia i układ współrzędnych Strona Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia, czyli powiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu. Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia. Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest również zdefiniowanie układu współrzędnych. W zależności od tego, w którą stronę będziemy zwróceni stojąc na skrzyżowaniu, nasz samochód może być przed lub za nami, z prawej lub lewej strony. Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu współrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu współrzędnych. Rozpatrzmy samochód zaparkowany na ulicy, stojący w odległości 0m od skrzyżowania. Samochód jest obiektem przestrzennym, ale w przypadku, gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (równolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie równej masie całego samochodu. Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek.1 a.), wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ). Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania, wówczas położenie samochodu można opisać: r = 0. Załóżmy teraz, że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środka masy samochodu) będzie nas interesować nie tylko odległość mierzona wzdłuż ulicy, ale również położenie względem środka ulicy (czy samochód zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni). W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ współrzędnych. Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni równą 4m oraz ponownie za początek układu współrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania, to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek.1a). Współrzędne zaparkowanego samochodu wynoszą więc x = 0 i y = 3 a jego położenie możemy opisać wektorem r r = (0, 3). Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia współrzędna z i trójwymiarowy układ współrzędnych. Przyjmując po-

23 OPIS RUCHU nownie za początek układu współrzędnych środek skrzyżowania, zakładając, że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się pół metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka masy samochodu: = (0, 3,0.5) r. Rysunek.1. Opis położenia samochodu: a) z lewej w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym, b) z prawej w układzie biegunowym dwuwymiarowym Warto zauważyć, że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ współrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopadłe). Taki układ nazywany jest również układem kartezjańskim. W pewnych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw. układ biegunowy. W układzie tym położenie obiektu wyznacza współrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyróżnionego kierunku. Gdyby samochód został zaparkowany w dzielnicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej zabudowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głównego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek.1 b.)... Przemieszczenie i droga Przemieszczenie obiektu r definiujemy jako zmianę jego położenia, r czyli różnicę wektora opisującego położenie końcowe k oraz początkowe p r obiektu: r r r r = k p (.1) Strona 3 3

24 ROZDZIAŁ Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała, a nie od toru wzdłuż którego ciało się porusza. Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się przemieszcza z położenia początkowego do końcowego. Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało, oznaczaną symbolem s, która jest równa długości toru, po którym ciało się porusza. W odróżnieniu od wektora przemieszczenia, droga jest wielkością skalarną..3. Prędkość Strona 4 4 Kolejnym parametrem, określającym stan ruchu ciała, jest jego prędkość vr. Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby. Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu, które nastąpiło na jednostkę czasu: r r r v = (.) t Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu. Warto jednak zauważyć, że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej, wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie odbiegać od rzeczywistej prędkości obiektu. Prędkość średnią można również definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie: s v = (.3) t Wyliczona w ten sposób średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zarówno w przypadku ruchu prostoliniowego, jak i krzywoliniowego. Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu. Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie. Załóżmy, że winda potrzebowała n sekund, żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m]. Dla wygody początek układu współrzędnych umieścimy na wysokości równej

25 OPIS RUCHU wysokości środka masy windy, a zwrot osi oznaczonej jako x skierujemy do góry. W takim przypadku długość wektora przemieszczenia jest równa przebytej przez ciało drodze, i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości: x v = (.4) t Rysunek.. Wyznaczanie średniej prędkości ciała Na rysunku. przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu. Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy. Tangens tego kąta nachylenia równy będzie co do wartości stosunkowi długości odcinków x oraz t i definiuje średnią prędkość ciała. Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej informacji o prędkości windy początkowo winda znajduje się w spoczynku, następnie jej prędkość się zwiększa, na odcinku między piętrami pozostaje stała, a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy. Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszczególnych stadiach ruchu możemy otrzymać, dzieląc wykres na mniejsze odcinki. W ten sposób wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ruszania z miejsca, średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania. Podobnie jak poprzednio, wartość średniej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest równa tangensowi kąta nachylenia krzywej, wyliczonemu dla danego odcinka. Warto zwró- Strona 5 5

26 ROZDZIAŁ cić uwagę, że dla odcinka między piętrami, gdzie prędkość jest stała, obliczona średnia prędkość jest równa rzeczywistej prędkości windy. Zgodnie z równaniem.3 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatrujemy drogę s jaką ciało to pokona w czasie t. Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie krótkie, czyli t 0 co oznaczamy symbolem dt, wówczas wyznaczona w ten sposób prędkość będzie prędkością chwilową ciała. Dla takich infinitezymalnych przedziałów czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie równe a prędkość chwilową możemy zdefiniować: r r r d v = lim = (.5) t 0 t d t Ze wzoru.5 wynika, że prędkość chwilowa jest równa pochodnej wektora położenia po czasie liczonej dla danej chwili. Geometryczna interpretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie. Tak więc, żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie. Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała, tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej..4. Przyspieszenie Strona 6 6 Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie. Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w m/s. dv( t) d(ds d t) d s a = = = (.6) dt d t dt Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej, przyspieszenie chwilowe jest równe tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależność prędkości od czasu, obliczonemu dla danej chwili ruchu. Przeanalizujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależność prędkości windy od czasu. Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie, a więc otrzymujemy stałą, dodatnią wartość przyspieszenia. Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie

27 OPIS RUCHU zmienia się, a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero wartość przyspieszenia jest również zerowa. Kiedy winda hamuje, wykres prędkości od czasu jest liniowy, a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną zatem i przyspieszenie jest ujemne (opóźnienie). Wykresy przyśpieszenia, prędkości oraz położenia od czasu dla omawianej windy przedstawione są na rysunku.3. Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt, gdzie k wyraża pewien stały współczynnik. Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza, że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu. Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę również będzie opisana funkcją kwadratową, jednak w tym przypadku długość odcinków pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu. W tym etapie ruchu prędkość również będzie się zmieniała liniowo, ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie. Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu zatem również prędkość jest stała. Strona 7 7

28 ROZDZIAŁ Rysunek.3. Wykres zależności czasowej położenia, prędkości i przyśpieszenia poruszającej się w górę windy Warto porównać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony. W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą prędkość wyraża się wzorem: gdzie v 0 prędkość początkowa obiektu. v = v 0 + at (.7) Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem: at s = s0 + v0t + (.8) Strona 8 8

29 OPIS RUCHU gdzie s 0 oznacza drogę początkową. Jak łatwo zauważyć, wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami różniczkowymi obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość, a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie, które jest stałe. Strona 9 9

30 ROZDZIAŁ Strona 30 30

31 3 Dynamika W tym rozdziale: o Zasady dynamiki Newtona o Zasada superpozycji o Zasada zachowania pędu

32 ROZDZIAŁ Zasady dynamiki Newtona Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu. Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd. Pęd ciała jest proporcjonalny zarówno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę, tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem, czyli tym większy jest jego pęd. Jednostką pędu jest kg m/s. Pęd jest wektorem, skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała p r = m v r (3.1) Dynamikę ruchu ciała, czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona. Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi, których nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw. Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektów. Druga zasada dynamiki Newtona Strona 3 3 Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona. Wyobraźmy sobie, że chcemy rozpędzić ciężki wózek. Z codziennych doświadczeń wynika, że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku krótkotrwałego, ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popychania wózka z niewielką siłą. Można również powiedzieć, że im większa jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa, czyli im większy jest popęd tej siły, tym większą zmianę pędu ona wywoła. Zależność tę możemy zapisać w postaci: r v dp = F d t (3.) Powyższy wzór można przekształcić i zapisać w postaci różniczkowej (dla infinitezymalnie krótkiego przedziału czasowego dt ): r d p r F = (3.3) dt

33 DYNAMIKA Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie. Powyższe sformułowanie oraz równanie 3.3 jest współczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona. Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza, że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu, to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie proporcjonalne do wartości siły działającej na ciało. Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona, wyliczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając, że pęd jest wielkością złożoną, tzn. zależy zarówno od masy jak i prędkości ciała: ( v m) d dv dm F = = m + v (3.4) dt dt dt Powyższe równanie jest tzw. różniczkowym równaniem ruchu ciała. Pierwszy człon tego równania jest równy iloczynowi masy i przyśpieszenia (pochodna prędkości po czasie). Widzimy zatem, że im większa jest masa ciała, tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie masa jest miarą bezwładności ciała. Drugi człon równania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała. Przykładem takiego układu, w którym zmienia się masa może być rakieta. Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin, który wywołuje jej ruch ale również zmniejsza masę całego obiektu. Dla układów których masa nie zmienia się drugi człon równania 3.4 wynosi zero i różniczkowe równanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła: r r F = m a (3.5) Pierwsza zasada dynamiki Newtona Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy pęd ciała jest stały, czyli jego prędkość nie zmienia się w czasie. Wówczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą, czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero. Oznacza to, że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu również wynosi zero. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona Strona 33 33

34 ROZDZIAŁ 3 jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało również musi wynosić zero. Ten przypadek zachowania się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada dynamiki Newtona: Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, albo siły działające równoważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie: jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie, to będzie nadal trwało w tym ruchu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku. Zasada ta nazywana jest również zasadą bezwładności ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła. Trzecia zasada dynamiki Newtona Względem każdego działania (akcji) istnieje równe mu przeciwdziałanie (reakcja) skierowane przeciwnie, tj. wzajemne oddziaływania dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane przeciwnie. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą, to również ciało B działa na ciało A siłą równą co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy: r r F A = F (3.6) na B B na A Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej. W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą, która wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona również piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie. Gdy odbijamy piłkę lekko, czyli działamy na nią niewielką siłą również siła reakcji ma niewielką wartość, ale przy mocnym uderzeniu, czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje równie duża siła reakcji, którą odczuwamy jako ucisk czy nawet ból dłoni. Zasada superpozycji Strona Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać, że zarówno siła jak i pęd są wektorami. Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe. Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła. W przypadku gdy różniczkowe

35 DYNAMIKA równania ruchu dla każdego z kierunków, w których działają siły składowe, są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji. Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchów wywołanych każdą z sił z osobna. Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v 0 pod pewnym kątem α względem powierzchni Ziemi (rzut ukośny). Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ). A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obserwowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała. W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny. Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku poziomym i może być opisany krzywą paraboliczną. 3.. Zasada zachowania pędu Rozpatrzmy układ odosobniony, w którym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości, lecz mają przeciwne zwroty. Wypadkowa siła działająca na cały układ jest wówczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie. Oznacza to, że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o p, to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi również ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (- p). W ten sposób dochodzimy do zasady zachowania pędu, która może być zapisana w następujący sposób: W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędów wszystkich ciał) jest wielkością stałą. r p = i r p = 0 r p i = const. (3.7) Strona 35 35

36 ROZDZIAŁ 3 Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywanych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest spełniona niezależnie dla każdego z kierunków. W trójwymiarowym układzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać: p p p x y z = 0 = 0 = 0 (3.8) Przykład 1 Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowymiarowego. Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m, który w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 1/3m oraz /3m. Większa część porusza się w prawo z prędkością v 0. Z jaką prędkością i w którą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku? Ponieważ układ jest odosobniony, to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie. Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy), to również pęd końcowy, będący sumą pędów obu części pocisku, będzie równy zeru. Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać: 1 0 = v + m v (3.9) 3 m 0 3 v = v 0 (3.10) Znak minus w powyższym wyniku oznacza, że wektor prędkości mniejszej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku. Strona 36 36

37 DYNAMIKA Rysunek 3.1. Zderzenie dwóch kul Przykład Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego. Rozważmy zderzenie dwóch identycznych kul bilardowych o masie m każda. W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością v 0. W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B, jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0.5 v 0 wzdłuż osi y, jak na rysunku 3.1. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym, a więc całkowity pęd układu dwóch kul przed i po zderzeniu jest taki sam. W szczególności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia również nie zmieniają się. Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był równy pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma), natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x, a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest równy składowej pędu kuli B. Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać: p m poczatkowy x A v = m 0 = p B v koncowy x BX (3.11) Strona 37 37

38 ROZDZIAŁ 3 W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y), zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w górę w kierunku osi y oraz kulą B, której prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w dół). Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać: p poczatkowy y 0 = m A v Ay = p m koncowy y B v By (3.1) Uwzględniając v Bx = v B cosα, v By = v B sinα, v Ay = 0.5 v0 oraz przyjmując ma = mb = m układ równań 3.11 oraz 3.1 możemy przekształcić do postaci: m v0 = m vbcosα m 0.5v0 = m vbsinα (3.13) a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B: vb = v tgα = 0 1, α = π 4 Kula B poruszać się więc będzie z prędkością i w dół, pod kątem π/4 względem osi x. (3.14) v B = v 0 w prawo Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić działanie między innymi silników odrzutowych samolotów czy strumieniowych łodzi. W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika, w której ulega kompresji. W skompresowanym powietrzu następuje spalanie benzyny, a gorące spaliny opuszczają dyszę silnika z dużą prędkością. Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypadku zmianę pędu silnika, a przez to całego samolotu. Konstrukcje innego typu, wykorzystujące strumień rozpędzonych jonów (naładowanych cząstek), używane są do pozycjonowania satelitów i sond kosmicznych. Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są również w napędzie skuterów wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych. W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową. Należy pamiętać, że Strona 38 38

39 DYNAMIKA również w przypadku śrub, śmigieł i wirników napędowych wykorzystujemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu. Strona 39 39

40 ROZDZIAŁ 3 Strona 40 40

41 4 Praca i energia W tym rozdziale: o Praca o Pole sił zachowawczych i niezachowawczych o Pole sił grawitacyjnych, praca i energia w polu sił grawitacyjnych o Ruch po okręgu, ruch planet wokół Słońca, prawa Keplera o Energia potencjalna sprężystości o Energia kinetyczna o Zasada zachowania energii mechanicznej o Zderzenia

42 ROZDZIAŁ Praca W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń. Mówimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminów) ale najczęściej z pojęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład przesuwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesuniemy dany mebel. Wiemy również, że bardziej męczące jest przesuwanie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz, że dużo łatwiej jest przesuwać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie. Tak więc moglibyśmy powiedzieć, że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie). W ten sposób dochodzimy do fizycznej definicji pracy. Praca jest równa iloczynowi przemieszczenia oraz siły, która te przemieszczenie wywołuje. Praca jest wielkością skalarną wyrażaną w dżulach (ang. Joul) [J] i w ogólności może być zdefiniowana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia: r r W = F s = F s cosα gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia. (4.1) Strona 4 4 Rysunek 4.1. Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia Taka definicja pracy uwzględnia fakt, że pracę wykonuje tyko składowa siły równoległa do wektora przesunięcia. Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m, ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 0N skierowaną pod kątem α = 45º do poziomu, to zgodnie z powyższym wzorem wykonamy pracę W = 4.3J. Zależnie od wartości sił tarcia, wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tarcia na tej drodze, bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia.

43 PRACA I ENERGIA Definicja pracy przedstawiona w równaniu (4.1) słuszna jest, jeśli zarówno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość. Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kierunkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu, musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej. Ponieważ praca jest wielkością addytywną, czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest równa sumie prac wykonanych na poszczególnych jej odcinkach, to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki, dla których wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe. W = F + 1x 1 cosα1 + F x cosα +... F n x n cos α n (4.) Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie. Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można również przedstawić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem zależności siły od przesunięcia. Jeżeli na pewnym odcinku drogi x n siła ma stałą wartość F n to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi F i jest równoznaczne wykonanej pracy. n x n Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu, niezbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczków (infinitezymalnie małych), dla których można przyjąć stałą wartość działającej siły. Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinków. Procedura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci: lub w zapisie wektorowym: x = b x = a ( x ) cos( x )) W = F α ( dx (4.3) W = x = b x = a r F ( x ) r dx (4.4) W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej, który oznacza, że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b. Strona 43 43

44 ROZDZIAŁ 4 Aby wyjaśnić sposób obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną: ( x ) f ( x ) g = d x (4.5) gdzie jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpowiada sumowaniu), dx zmienną całkowania, f(x) funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną. Operacja całkowania jest operacją odwrotną do różniczkowania i oznacza, że szukamy takiej funkcji g(x), której pochodna po zmiennej x będzie równa funkcji podcałkowej f(x): d g ( x ) = f ( x ) (4.6) d x Należy podkreślić, że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x). Zatem wzór 4.5 należy przepisać w postaci: Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną: g ( x ) = f ( x ) + C dx (4.7) x = b Z = f x = a ( x )dx = g ( x = b) g ( x = a) (4.8) gdzie x = a jest dolną granicą całkowania, zaś x = b jest górną granicą całkowania. W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nieoznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)). W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdujemy funkcję g(x), będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x), a następnie od wartości tej funkcji w górnej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a)). Przykłady Przykład 1: Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H? Opory ruchu zaniedbujemy. Strona 44 44

45 PRACA I ENERGIA Rysunek 4.. Ruch ciała po równi pochyłej Załóżmy, że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni równi. Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w dół rozkładamy na dwie dwie składowe: równoległą do równi siłę ściągającą ciało w stronę podstawy równi, F s, oraz prostopadłą do równi siłę nacisku, F N. Aby wciągać ciało, siła F musi równoważyć siłę zsuwającą F s : Droga, na której wykonujemy pracę, jest równa: Zatem całkowita praca wynosi: F S = mg sin α (4.9) S = H sin α (4.10) W = F S S = mgh (4.11) Wynik ten jest identyczny, jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w górę. Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu, praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi, po której przesuwamy ciało, a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego. Przykład : Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię równi wynosi µ? W tym przypadku wciągając przedmiot po równi podobnie jak w poprzednim zadaniu również musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie równi, F s, wykonując pracę równą W 1 = mgh. Ponieważ na równi występuje dodatkowo siła tarcia T, do wciągnięcia ciała niezbędna będzie również dodatkowa praca. Siła tarcia jest proporcjonalna do siły Strona 45 45

46 ROZDZIAŁ 4 nacisku ciała na powierzchnię F N (wypadkowa wszystkich sił działających w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia tarcie przeciwdziała ruchowi ciała. T = F N S (4.1) Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi: gdzie W = T S = F N S (4.13) µ F N = mg cosα (4.14) Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest równa: W H = W 1 + W = mg ( sinα + µ cosα ) (4.15) sinα Przykład 3: Jaką pracę należy wykonać, by opróżnić przydomowy kolektor ściekowy o głębokości D = m i objętości V = 6m 3 do cysterny? Zarówno zbiornik kolektora, jak i zbiornik cysterny mają identyczne wymiary. Przyjmij, że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości, jak górna powierzchnia zbiornika kolektora. Rysunek 4.3. Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego do cysterny Problem z pozoru wydaje się prosty należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość. Zauważamy, że praca do wpompowania pierw- Strona 46 46