METODA WYBORU EFEKTYWNYCH PORTFELI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr Bogdan RĘBIASZ* METODA YBORU EFEKTYNYCH PORTFELI PRZEDSIĘZIĘĆ INESTYCYJNYCH arykule przedsawiono nową meodę wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Problem wyboru porfeli sformułowano w posaci zadania opymalizacji wielokryerialnej. Opracowany algorym umożliwia poszukiwanie niezdominowanych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Kryeriami wyboru są: maksymalizacja warości oczekiwanej NPV i minimalizacja semiodchylenia sandardowego NPV porfela. Meoda umożliwia wybór porfeli przy uwzględnieniu zależności saysycznych i ekonomicznych pomiędzy przedsięwzięciami inwesycyjnymi. Jes ona dososowana do przedsiębiorsw o wieloeapowym cyklu produkcji, na przykład przedsiębiorswa przemysłu mealurgicznego czy chemicznego. Słowa kluczowe: programowanie maemayczne, wybór efekywnych porfeli inwesycji, ryzyko, symulacje 1. prowadzenie Efekywny porfel przedsięwzięć inwesycyjnych o aki porfel, kóry zapewnia [34]: nayższą sopę zwrou przy zadanym, akcepowanym poziomie ryzyka, najniższe ryzyko przy zadanym, akcepowanym poziomie sopy zwrou. Do wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych sosowane są częso meody programowania maemaycznego. Prekursorami wykorzysania meod programowania maemaycznego w budżeowaniu kapiałowym byli Lorie i Savage [19]. Kolejne prace w ym zakresie pochodzą z la 60. i 70. ubiegłego sulecia [4], [5], [7], [12], [20], [25], [28], [32], [33]. zagadnieniach budżeowania kapiałowego sosowano począkowo modele programo- * ydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hunicza, ul. Gramayka 10, Kraków, brebiasz@zarz.agh.edu.pl

2 96 B. RĘBIASZ wania liniowego [7], modele liniowe ze zmiennymi binarnymi [33] czy eż modele programowania wielokryerialnego [5], [12]. Koncepcje modeli z la 60. i 70. zosały rozwinięe i wzbogacone w kolejnych laach przez wielu auorów: [1] [3], [8], [9], [16] [18], [21], [24], [26], [29], [30], [34]. Näslund [25] jako pierwszy przedsawił propozycję uwzględnienia ryzyka w modelu maemaycznym, opracowanym dla wyboru porfela przedsięwzięć inwesycyjnych. Markowiz opracował meodę budowy efekywnego porfela inwesycji finansowych. Seiz [30] przyjął idee Markowiza do konsrukcji efekywnego porfela przedsięwzięć inwesycyjnych. Model Seiza uwzględnia niepewność przepływów pieniężnych generowanych przez przedsięwzięcie inwesycyjne i saysyczną zależność przedsięwzięć inwesycyjnych. Nie uwzględnia naomias zależności ekonomicznej przedsięwzięć. Z koncepcji Seiza korzysała w swej pracy ilimowska [34]. Tuaj akże przedsięwzięcia rakowane są jako niezależne ekonomicznie. O zależności saysycznej przedsięwzięć inwesycyjnych mówimy wówczas, gdy isnieje korelacja w czasie pomiędzy korzyściami generowanymi przez e przedsięwzięcia [6], [36]. Zależności ekonomiczne wskazują, w jaki sposób dane przedsięwzięcie inwesycyjne wpływa na korzyści generowane przez inne przedsięwzięcie lub na korzyści uzyskiwane z doychczasowej działalności firmy. Przedsięwzięcia mogą więc być ekonomicznie niezależne (gdy wpływ aki nie isnieje) albo ekonomicznie zależne (gdy wpływ aki isnieje) [6], [36]. przypadku zależności ekonomicznej dodaniej korzyści generowane przez jedno przedsięwzięcie inwesycyjne prowadzą do wzrosu korzyści generowanych przez inne przedsięwzięcie. Mówimy wówczas o przedsięwzięciach komplemenarnych [6]. Nayższy sopień zależności ekonomicznej dodaniej wysępuje wówczas, gdy korzyści z jednego przedsięwzięcia zależą od uzyskania korzyści z innego przedsięwzięcia. Mówimy wówczas o przedsięwzięciach uwarunkowanych [6]. Zależność ekonomiczna ujemna wysępuje wówczas, gdy korzyści generowane przez jedno przedsięwzięcie inwesycyjne maleją na skuek realizacji innego przedsięwzięcia. Mówimy wówczas o przedsięwzięciach subsyucyjnych [6]. Zależność ekonomiczna ujemna osiąga nayższy sopień, gdy realizacja jednego przedsięwzięcia oznacza konieczność rezygnacji z realizacji innego przedsięwzięcia. Mówimy wówczas o przedsięwzięciach inwesycyjnych wzajemnie się wykluczających [6]. Cyowane powyżej prace uwzględniają co nayżej jeden rodzaj zależności ekonomicznej o jes wzajemne wykluczanie się przedsięwzięć. lieraurze prezenowane są również modele uwzględniające pozosałe rodzaje zależności. Dickinson i inni [10] przedsawiają meodę opymalnego harmonogramowania przedsięwzięć inwesycyjnych, kóra uwzględnia, że poszczególne przedsięwzięcia mogą być względem siebie subsyucyjne lub komplemenarne. Do wyboru przedsięwzięć auorzy sosują meody programowania nieliniowego. Sanhanam i Kyparisis [27] przedsawiają model maemayczny, wykorzysywany do wyboru porfela spośród zbioru za-

3 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 97 leżnych ekonomicznie przedsięwzięć inwesycyjnych związanych z rozwojem sysemów informaycznych. Do wyboru przedsięwzięć używa się meod programowania binarnego. Zuluaga i inni [36] przedsawiają model, kóry umożliwia wybór i harmonogramowanie zależnych ekonomicznie przedsięwzięć inwesycyjnych. Modele Dickinsona, Sanhanama i Kyparisisa oraz Zuluagi nie uwzględniają niepewności przepływów pieniężnych generowanych przez przedsięwzięcia inwesycyjne oraz zależności saysycznych pomiędzy przedsięwzięciami. Medaglia i inni [23] proponują wykorzysanie algorymów ewolucyjnych do selekcji zależnych ekonomicznie i saysycznie przedsięwzięć inwesycyjnych. Przedmioem rozważań w niniejszym arykule jes wybór efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Problem wyboru porfeli rozważa się w warunkach racjonowania kapiału (usalany jes limi nakładów kapiałowych w określonym okresie), przy uwzględnieniu zależności saysycznych i ekonomicznych przedsięwzięć inwesycyjnych. Problem wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych sformułowano jako zadanie opymalizacji wielokryerialnej. 2. Sformułowanie problemu Przez przedsięwzięcie inwesycyjne rozumie się uaj warian modernizacji lub budowy wydziału produkcyjnego wraz z ewenualną budową lub modernizacją obieków w wydziałach pomocniczych. Przedsięwzięciami mogą być również wariany modernizacji lub budowy obieków w wydziałach pomocniczych. arunkują one pracę wydziałów produkcyjnych, wpływając na przykład na koszy produkcji wyrobów wywarzanych przez e wydziały, zdolności produkcyjne ych wydziałów ip. Dla uproszczenia zapisu modelu przyjmuje się, iż pozosawienie sanu akualnego wydziału produkcyjnego jes jednym z jego przedsięwzięć inwesycyjnych. ariany modernizacji lub budowy wydziału produkcyjnego worzą zbiór przedsięwzięć związanych z ym wydziałem. Do ych przedsięwzięć zalicza się również wariany modernizacji lub budowy agregaów w wydziałach produkcji pomocniczej, kóre wpływają na wskaźniki echniczno-ekonomiczne analizowanego wydziału produkcyjnego. prezenowanym poniżej algorymie wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych zakłada się, że przedsięwzięcie zdefiniowane jako pozosawienie sanu akualnego wydziału jes włączane do realizacji wówczas, gdy żadne alernaywne przedsięwzięcie związane z ym wydziałem nie zosało przyjęe do realizacji. Horyzon opymalizacji o liczba la, dla kórych prognozowane są przepływy pieniężne neo przedsiębiorswa. Jes on równy sumie okresu budżeowania kapiałowego i najdłuższego ekonomicznego cyklu życia dla analizowanych przedsięwzięć inwesycyjnych. Okres budżeowania kapiałowego o przedział czasu, dla kórego opracowywany jes budże kapiałowy.

4 98 B. RĘBIASZ Model maemayczny wykorzysywany do wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych składa się z dwóch grup równań. Pierwsza grupa równań modelu obejmuje równania określające zdolności produkcyjne przedsiębiorswa w zależności od porfela przedsięwzięć zakwalifikowanych do realizacji. skład ej grupy wchodzą również równania bilansu maeriałowego w przedsiębiorswie oraz równania określające warunki wyboru porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Druga grupa równań o równania finansowe. Umożliwiają one opracowanie prognozy finansowej przedsiębiorswa dla zadanej prognozy sprzedaży. Równania finansowe określają poszczególne pozycje bilansu, rachunku zysków i sra oraz sprawozdania z przepływu środków pieniężnych przedsiębiorswa. Zapewniają ponado zachowanie właściwych relacji pomiędzy wybranymi, prognozowanymi pozycjami sprawozdań finansowych przedsiębiorswa. Relacje e są wyznaczane przez założone warości dla wybranych wskaźników finansowych, sosowanych w analizie finansowej przedsiębiorsw. Dla formalnego zapisu modelu przyjmuje się nasępujące oznaczenia: X i zmienna określająca ilość produkcji wyrobu i, wyworzonego w wydziale j, w roku horyzonu opymalizacji, w przypadku podjęcia realizacji przedsięwzięcia w w roku, Δ zmienna binarna, oznaczająca przyjęcie do realizacji lub odrzucenie w roku okresu budżeowania, przedsięwzięcia w, opracowanego dla wydziału produkcyjnego j, a G i zmienna określająca ilość sprzedaży wyrobu i w roku na rynku a, D if zmienna określająca ilość dosaw wyrobu i od dosawcy f w roku, KC zmienna określająca kosz własny sprzedaży w roku, KRK zmienna określająca san kredyu krókoerminowego w roku, KRD zmienna określająca san kredyu długoerminowego w roku, ZKD zmienna określająca wielkość zaciągnięego kredyu długoerminowego w roku, ZO zmienna określająca zysk operacyjny w roku, ZB zmienna określająca zysk bruo w roku, ZN zmienna określająca zysk neo w roku, ZKO zmienna określająca zmianę kapiału obroowego w roku, SP zmienna określająca san środków pieniężnych w roku, NCF Prz zmienna określająca przepływy pieniężne neo przedsiębiorswa w roku, I zbiór indeksów wyrobów, I j zbiór indeksów wyrobów wywarzanych w wydziale produkcyjnym j, J zbiór indeksów wydziałów produkcyjnych, F zbiór indeksów dosawców półwyrobów, A zbiór indeksów rynków przedsiębiorswa,

5 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 99 B zbiór indeksów surowców, zbiór indeksów przedsięwzięć inwesycyjnych, j zbiór indeksów przedsięwzięć inwesycyjnych związanych z wydziałem produkcyjnym j, zbiór indeksów przedsięwzięć inwesycyjnych zakwalifikowanych do realizacji, v zdolność produkcyjna wydziału w roku ekonomicznego cyklu życia przedsięwzięcia w opracowanego dla wydziału produkcyjnego j, =, a g i prognozowana sprzedaż wyrobu i w roku na rynku a, kz i skorygowany kosz zmienny wyrobu i w roku ekonomicznego cyklu życia przedsięwzięcia inwesycyjnego w opracowanego dla wydziału produkcyjnego j, =, d if graniczna wielkość dosaw wyrobu i od dosawcy f, w roku, m iz wskaźnik jednoskowego zużycia wyrobu i na wyworzenie wyrobu z, w roku ekonomicznego cyklu życia przedsięwzięcia w opracowanego dla wydziału produkcyjnego j, =, m bi wskaźnik jednoskowego zużycia surowca b na wyworzenie wyrobu i w roku ekonomicznego cyklu życia przedsięwzięcia w opracowanego dla wydziału produkcyjnego j, =, ekonomiczny cykl życia przedsięwzięcia inwesycyjnego w opracowanego dla wydziału j, horyzon opymalizacji, okres budżeowania kapiałowego, a c i cena sprzedaży wyrobu i na rynku a w roku, η ) limi nakładów inwesycyjnych w roku, η nakład inwesycyjny w roku ekonomicznego cyklu życia przedsięwzięcia na przedsięwzięcie w opracowane dla wydziału produkcyjnego j, =, c if cena zakupu wyrobu i od dosawcy f w roku, c b cena surowca b w roku, oprocenowanie kredyów krókoerminowych, r k r d s oprocenowanie kredyów długoerminowych, wskaźnik określający wielkość spłay w roku kredyu zaciągnięego w roku, pd sopa podaku dochodowego w roku,

6 100 B. RĘBIASZ bp wskaźnik bieżącej płynności * w roku, ok wskaźnik pokrycia obsługi kredyu w roku *, cz wskaźnik cyklu zapasów w roku *, cna wskaźnik cyklu inkasa należności w roku *, czb wskaźnik cyklu spłay zobowiązań w roku *, κ : 2 {0,1} funkcja określająca dopuszczalne porfele przedsięwzięć inwesycyjnych; warość 1 oznacza porfel dopuszczalny, 0 porfel niedopuszczalny, ξ : 2 R funkcja przyporządkowująca dowolnemu porfelowi przedsięwzięć koszy sałe przedsiębiorswa, bez amoryzacji w roku horyzonu opymalizacji, χ : 2 R funkcja przyporządkowująca dowolnemu porfelowi przedsięwzięć warość amoryzacji w przedsiębiorswie w roku horyzonu opymalizacji. * edług Tyrana [31]: akywa bieżące bp = ok = pasywa bieżące średni san należności cna = warość sprzedaży 360 zysk neo + amoryzacja raa kredyu + odseki średni san zobowiązań czb = kosz produkcji sprzedanej amoryzacja 360 średni san zapasów cz = kosz produkcji sprzedanej 360 Równania pierwszej grupy przedsawiono poniżej: równania bilansu zdolności produkcyjnych wydziałów produkcji podsawowej i I j X i v Δ dla = 0,1, 2,...,, j J, w, =, + 1, + 2,..., + (1) Δ 1 = 0 dla w dla w j κ ( ) = 1 (2) j J w = 0 j η Δ ηˆ dla = 0,1,..., (3)

7 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 101 równania bilansu maeriałowego w przedsiębiorswie j J w j a i X, i + a i f F D if j J w z Ι j m iz X, z = a A dla i I; = 0,1, 2,...,, (4) G g dla i I, a A, = 0,1, 2,...,, (5) if if D d dla i I, f F, = 0,1, 2,...,. (6) Równanie (1) określa ilość i srukurę produkcji każdego wydziału w poszczególnych laach horyzonu opymalizacji, w zależności od porfela przedsięwzięć zakwalifikowanych do realizacji. arość zmiennej binarnej Δ decyduje o ym, czy przed- sięwzięcie jes zakwalifikowane do realizacji, czy eż nie. Zmienna a określa ponado rok okresu budżeowania, w kórym przedsięwzięcie jes zakwalifikowane do realizacji. Po usaleniu warości zmiennych binarnych Δ określone są zdolności produkcyjne w poszczególnych wydziałach przedsiębiorswa. Równanie (2) określa dopuszczalne porfele przedsięwzięć inwesycyjnych. Funkcja κ definiuje akie porfele. Eliminuje więc możliwość zakwalifikowania do realizacji przedsięwzięć wzajemnie wykluczających się. skazuje jednocześnie, że każde przedsięwzięcie inwesycyjne może być zakwalifikowane do realizacji ylko w jednym roku okresu budżeowania. Równanie (3) wyraża warunek, że nakłady inwesycyjne na przedsięwzięcia zakwalifikowane do realizacji w kolejnych laach nie mogą być większe od zadanej wielkości η ˆ. Równanie (4) jes równaniem bilansu maeriałowego przedsiębiorswa. Określa ono rozdysponowanie produkcji poszczególnych wyrobów na sprzedaż oraz na wewnęrzne zużycie na cele produkcyjne. Równanie o wyznacza ponado wielkość dosaw zewnęrznych wyrobów do dalszego przewarzania w przypadku niedoborów własnej produkcji. Równania (5) i (6) są odpowiednio ograniczeniami na wielkość sprzedaży poszczególnych asorymenów wyrobów oraz wielkość dosaw zewnęrznych wyrobów do dalszego przewarzania. Poniżej przedsawia się przykładowe równania finansowe. Są o równania określające: kosz własny sprzedaży, zysk operacyjny, zysk bruo, zysk neo i przepływy pieniężne neo przedsiębiorswa. Formułę obliczania przepływów pieniężnych neo przedsiębiorswa zapisano zgodnie ze schemaem FCFE (Free Cash Flow o Equiy). Jes o formuła obliczania przepływów pieniężnych wykorzysywana w dochodowych meodach wyceny warości przedsiębiorsw [22]. Formułę ę zapisano zakładając, że warość rezydualna równa się warości odzyskiwanego kapiału obroowego. Przedsawiono akże równania, kóre zapewniają, że założona warość wskaźnika bieżącej płynności oraz wskaźnika pokrycia obsługi kredyu nie zosanie przekroczona. Jak widać, równania e wyrażają powszechnie znane w naukach o finansach przedsię- G a i

8 102 B. RĘBIASZ biorsw zależności. Dlaego pominięo szczegółowe przedsawienie i omawianie wszyskich równań drugiej grupy. KC = w j J i I ZO j k,,, ix i + cif Di + cbmbix i i I f F w j J i I + χ ( ) + ξ ( ) dla = 1,..., (7) = i Ι a A a i a i c G KC dla = 0,1,..., (8) j ZB = ZO r KRK r KRD dla = 0,1,..., (9) k d ZB dla ZB 0 ZN = dla = 0,1,..., (10) (1 pd ) ZB dla ZB 0 cz 360 cna a KC + ci 360 i I a A ZN G a i + SP bp czb ( ( )) KC χ + KRK dla = 0,1,..., (11) + χ ( ) ok s ZKD + rd KRD dla = 0,1,..., (12) < NCF Prz ZN + χ ( ) ± ZKO η Δ + ( KRD KRD j J w j = ( KRK KRK ) dla = 1,..., 1 = ZN + χ ( ) ± ZKO η Δ + ( KRD KRD j J w j = 0 1 cz cna a a + ( KRK KRK ) + KC + ci Gi i I a A czb + SP ( KC χ ( )) dla = ) ) (13)

9 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 103 i X > 0 dla = 0,1, 2,...,, j J, w j, =, + 1, + 2,..., + ; a i G 0 dla i I, a A, = 1,..., ; if D dla i I, f F, = 1,..., ; KC 0, KRK 0, KRD 0, ZKD 0, SP 0, Prz NCF dla = 1,...,. iększość paramerów wysępujących w powyższych równaniach: v, g, d, η, η ˆ, o, m, m,, ij bi iz, if a i b i c, c, c, kz, r, r jes zazwyczaj obciążona niepewnością. Zmiany zdolności produkcyjnych przedsiębiorswa związane z realizacją wybranych przedsięwzięć inwesycyjnych mogą powodować skokowe zmiany koszów sałych. Funkcja ξ pozwala uwzględnić en fak. Zdefiniowanie ej funkcji sprowadza się w prakyce do wskazania, kóre przedsięwzięcia inwesycyjne czy porfele przedsięwzięć zwiększą lub zmniejszą koszy sałe i o ile. Funkcja χ określa warość amoryzacji w przedsiębiorswie w kolejnych laach horyzonu opymalizacji. Zdefiniowanie ej funkcji sprowadza się w prakyce do wskazania, kóre przedsięwzięcia inwesycyjne lub porfele przedsięwzięć zwiększą lub zmniejszą amoryzację w przedsiębiorswie i o ile. Przedsawiony model maemayczny jes wykorzysywany do wyboru Pareoopymalnych porfeli inwesycyjnych. ybór porfeli dokonywany jes przy uwzględnieniu dwóch kryeriów: maksymalizacji warości oczekiwanej NPV ( NPV ) porfela przedsięwzięć i minimalizacji semiodchylenia sandardowego NPV sσ ) porfela przedsięwzięć inwesycyjnych: NPV sσ k max, min. d a i if ( Osaecznie wielokryerialne zadanie wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych można więc sformułować nasępująco: znajdź Pareo-opymalne porfele inwesycyjne, przyjmując jako kryeria równania (14) oraz warunki ograniczające opisane równaniami (1) (13). (14) 3. Algorym wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych Proponowany algorym jes algorymem dwupoziomowym. Na pierwszym poziomie określony jes zbiór (określane są warości zmiennych Δ ). Uwzględniono uaj warunki ograniczające (2) i (3). Kryeriami wyboru są kryeria opisane równa-

10 104 B. RĘBIASZ niami (14). Na drugim poziomie algorymu określany jes rozkład prawdopodobieńswa NPV wybranego porfela przedsięwzięć. Na podsawie ego rozkładu wylicza się warości kryeriów, służące do wyboru zbioru. Do generowania zbiorów zasosowano algorym geneyczny. proponowanym algorymie wykorzysano koncepcje algorymów opymalizacji wielokryerialnej [13] [15], [17], [35]. Przyjęo u zasadę worzenia i urzymywania bieżącego zbioru rozwiązań dopuszczalnych, proponowaną w pracach [14], [15], [35]. Z ego zbioru w każdej ieracji algorymu selekcjonowana jes ymczasowa populacja. Do ymczasowej populacji wprowadzane są rozwiązania, kóre maksymalizują akualną warość funkcji użyeczności. każdej ieracji algorymu wagi przypisane poszczególnym kryeriom przy budowie funkcji użyeczności dobierane są losowo. związku z ym w każdej ieracji zbiór rozwiązań worzących ymczasową populację jes różny. Rozwiązania do krzyżowania są wybierane losowo z ymczasowej populacji, przy założeniu jednosajnego rozkładu prawdopodobieńswa [13], [14], [35]. Oryginalną koncepcją auora jes wykorzysanie ocen dualnych warunków ograniczających (1) do generowania rozwiązań dla uworzenia począkowego bieżącego zbioru rozwiązań dopuszczalnych oraz do naprawy rozwiązań po operacjach krzyżowania i muacji. Specyfika sformułowanego zadania opymalizacji umożliwia wykorzysanie ocen dualnych w ym celu. Po wyborze porfela przedsięwzięć (wygenerowaniu zbioru ) usalane są warości prawych sron warunków ograniczających (1) oraz warości funkcji ξ i χ. Na- sępnie realizowana jes symulacja sochasyczna w celu określenia rozkładu prawdopodobieńswa NPV wybranego porfela przedsięwzięć. Losowane są więc warości niepewnych paramerów rachunku efekywności. Nasępnie rozwiązuje się zadanie, kórego warunki ograniczające są określone równaniami i nierównościami (1), (4) (12). Opymalizacja realizowana jes dla dwóch warianów: przy założeniu przyjęcia do realizacji porfela przedsięwzięć oraz przy założeniu, że żadne przedsięwzięcie nie zosało zakwalifikowane do realizacji. pierwszym przypadku jako kryerium 1 opymalizacji przyjmuje się NCF max (gdzie r Prz( ) dys oznacza sopę = 0 (1 + rdys) dyskonową a NCF prognozowane przepływy pieniężne neo przedsiębiorswa Prz() przy założeniu realizacji wybranego porfela przedsięwzięć inwesycyjnych), 1 a w drugim przypadku NCF Prz( ) max (gdzie NCF Prz( ) oznacza = 0 (1 + rdys) prognozowane przepływy pieniężne neo przedsiębiorswa w przypadku zaniechania realizacji przedsięwzięć inwesycyjnych). Przepływy pieniężne neo związane z analizowanym porfelem (zbiorem ) NCF wylicza się według wzoru:

11 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 105 (1-pd ) ZO ( ) + χ ( ) ± ZKO( ) η Δ j J w j = 0 ((1 pd ) ZO( ) + χ(( )) ± ZKO( ) ) dla = 0,..., 1 (1 pd )ZO + χ ( ) ± ZKO η ( ) ( ) Δ j J w j = 0 cz cna a a czb NCF = + KC + ci G + SP ( ) ( ) ( ) i I a A 360 KC ( ) (1 ) + ± ( ) χ pd ZO ( ) χ ( ) ZKO( ) cz cna a a czb + KC( ) + ci G( ) + SP( ) i I a A 360 ( KC ( ) χ ( )) = dla (15) Poszczególne wielkości we wzorze (15) z indeksem górnym (*) oznaczają opymalne warości odpowiednich zmiennych, uzyskane w wyniku rozwiązania omówionych powyżej zadań opymalizacji. Indeksy dolne ( ) i ( ) oznaczają odpowiednie warości zmiennych przy założeniu realizacji porfela przedsięwzięć inwesycyjnych i w przypadku zaniechania jego realizacji. NPV porfela przedsięwzięć inwesycyjnych NPV ) jes obliczane według wzoru: ( NPV = = rdys ) ( 1 NCF. (16) Procedurę losowego generowania warości niepewnych paramerów rachunku efekywności i rozwiązywania omówionych zadań opymalizacji powarza się wielokronie. Dzięki emu wyznaczany jes rozkład prawdopodobieńswa NPV. Omówiona procedura pozwala obliczyć NPV z uwzględnieniem zależności ekonomicznych i saysycznych przedsięwzięć. Załóżmy bowiem, że jedno z przedsięwzięć inwesycyjnych powoduje obniżenie koszów w salowni. ówczas przekazywanie wlewków o niższych koszach do kolejnych faz procesu echnologicznego wpływa na prognozy wyników finansowych przedsiębiorswa. Uwzględnione więc będą korzyści z ego powodu zarówno w isniejących wydziałach, jak i w innych przedsięwzięciach

12 106 B. RĘBIASZ wchodzących w skład porfela. Obliczone NPV będzie uwzględniać efeky komplemenarności przedsięwzięć inwesycyjnych. Zależności saysyczne przedsięwzięć inwesycyjnych są wynikiem skorelowania paramerów rachunku efekywności, w ym głównie cen wyrobów i surowców huniczych oraz wielkości sprzedaży poszczególnych asorymenów wyrobów huniczych. każdej replikacji eksperymenu symulacji sochasycznej NPV wyliczane jes dla losowo generowanych paramerów rachunku efekywności. procedurze losowania uwzględniane jes skorelowanie ych paramerów. Oszacowane zgodnie z aką procedurą rozkłady prawdopodobieńswa NPV uwzględniają więc skorelowanie korzyści, generowanych przez poszczególne przedsięwzięcia. Skorelowanie o jes bowiem efekem skorelowania paramerów rachunku efekywności. Poniżej przedsawiono szczegółowo proponowany algorym. START Paramery: C maksymalna liczba rozwiązań w bieżącym zbiorze CS, K liczba rozwiązań w zbiorze ymczasowym TP, S liczba rozwiązań począkowych, Ls liczba replikacji w symulacji sochasycznej, P liczba powórzeń algorymu bez znalezienia rozwiązania dominującego nad isniejącymi już rozwiązaniami, po kórej przerywa się proces obliczeń. Przyjmij =. Dla l = 1 do Ls Generuj warości niepewnych paramerów rachunku efekywności. Rozwiąż zadanie programowania liniowego, kórego warunki ograniczające określone są równaniami 1 i nierównościami (1), (4) (13), a funkcja celu ma posać NCF Prz( ) ( ) max. = 0 (1 + rdys) l Określ oceny dualne warunków ograniczających (1) ε (l) dla = 0, 1, 2,...,, j J, w j, =, + 1, + 2,..., +. Nasępne l Przyjmij zbiór poencjalnie efekywnych rozwiązań PE =. Bieżący zbiór rozwiązań CS =. Dla s =1 do S Uwórz losowo rozwiązanie dopuszczalne. (Procedura: Generowanie począkowego rozwiązania dopuszczalnego). Określ przysosowanie osobnika. (Procedura: Określenie przysosowania osobnika ). Dodaj do zbioru rozwiązań CS. Dodaj do PE, jeśli w PE nie ma rozwiązań, kóre dominowałyby nad ym rozwiązaniem. Usuń z PE wszyskie rozwiązania zdominowane przez. Nasępne s p = 1 Powarzaj Jeśli liczba rozwiązań w CS jes większa od C, o usuń osobniki z końca lisy. ybierz z populacji CS osobniki do muacji. Dokonaj muacji osobników. Określ przysosowanie zmuowanych osobników. (Procedura: Określenie przysosowania osobnika ).

13 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 107 Dodaj zmuowane osobniki do zbioru CS w losowo wybranych miejscach, jeśli są one różne od osobników znajdujących się już w ym zbiorze. Dla rozwiązań z CS oblicz warość funkcji użyeczności U. Ze zbioru CS wybierz K różnych rozwiązań, najlepszych ze względu na U. Uwórz z nich ymczasową populację TP. Zakładając równomierny rozkład prawdopodobieńswa, wybierz losowo z populacji TP dwa rozwiązania (1) i (2). ykonaj operację krzyżowania (1) i (2) dla uzyskania (3) i (4). Jeśli rozwiązanie (3) lub (4) jes niedopuszczalne, o dokonaj naprawy rozwiązania (Procedura: Naprawiaj). Określ przysosowanie osobników (3) i (4). (Procedura: Określenie przysosowania osobnika ). Oblicz U dla (3) i (4). Jeżeli (3) lub (4) lub obydwa są lepsze ze względu na U niż najgorsze rozwiązanie w TP i różne od rozwiązań w TP, o dodaj (3) lub (4) lub obydwa do zbioru CS. Jeżeli w PE nie ma rozwiązań, kóre dominowałyby nad (3) lub (4) lub oboma o dodaj do PE (3) lub (4) lub obydwa usuń z PE wszyskie rozwiązania zdominowane przez dodane rozwiązania p = 0 w przeciwnym razie p = p + 1. Koniec Jeżeli Dopóki p = P Przedsaw zbiór niezdominowanych rozwiązań. STOP Generowanie dopuszczalnych rozwiązań dla określenia począkowych zbiorów CS oraz PE odbywa się z wykorzysaniem ocen dualnych nierówności (1). Oceny dualne wskazują, o ile zmieni się warość funkcji celu, gdy prawa srona odpowiedniego warunku ograniczającego wzrośnie o jednoskę [11]. związku z ym należy oczekiwać, że im wyższa warość oceny dualnej odpowiedniego ograniczenia (1), ym wyższe będzie NPV odpowiedniego przedsięwzięcia. Do generowania rozwiązań począkowych dla uworzenia zbiorów CS oraz PE wykorzysywane są współczynniki wyliczane na podsawie ocen dualnych ograniczeń (1). Oceny dualne określane są dla każdej replikacji eksperymenu symulacji sochasycznej. Są one wynikiem rozwiązywania zadań opymalizacji liniowej. Procedura jes ak skonsruowana, aby przedsięwzięcia cechujące się naiększymi warościami ocen dualnych i małą zmiennością ych ocen miały naiększe szanse zakwalifikowania do realizacji. Należy bowiem oczekiwać, że akie przedsięwzięcia będą się charakeryzowały wysokimi warościami oczekiwanymi NPV i niewielkimi warościami semiodchylenia sandardowego NPV. Średnia warość oceny dualnej dla roku, wydziału j, przedsięwzięcia w, kórego realizacja rozpoczyna się w roku wyraża się wzorem:

14 108 B. RĘBIASZ Ls ε ( l) l = 1 ε = dla = 0,1, 2,...,, j J, w j, =, + 1, + 2,..., +. (17) Ls Zdyskonowana suma iloczynów warości średnich ocen dualnych i zdolności produkcyjnych dla wydziału j, przedsięwzięcia w, kórego realizacja rozpoczyna się w roku, skorygowana o średnią warość nakładu inwesycyjnego na o przedsięwzięcia ( η ), określona jes wzorem: ε max 0; dla ε ν η + + = (1 rdys) = (1 rdys) = 0,1, 2,...,, j J, w. (18) = Suma a wyraża oczekiwane zwiększenie NPV w efekcie zakwalifikowania do realizacji przedsięwzięcia w dla wydziału j w roku okresu budżeowania. Semiodchylenie sandardowe iloczynu oceny dualnej i zdolności produkcyjnej dla ego przedsięwzięcia wyraża się wzorem: + 2 L sσ = ( d ) ; L* l = 1 = (1 + rdys) dla ( ε ( l) ε ) ν gdy ε ( l) < ε d = 0 gdy ε ( l) ε = 0,1, 2,...,, j J, w, =, + 1, + 2,..., +. (19) Tak określona wielkość jes miarą ujemnego odchylenia iloczynów ocen dualnych i zdolności produkcyjnych od ich warości średnich. Generowanie przedsięwzięć należących do realizowane jes ak, aby naiększe szanse na zakwalifikowanie do ego zbioru miały przedsięwzięcia charakeryzujące się dużymi warościami i małymi sσ j j ε. Dlaego do generowania rozwiązań dopuszczalnych dla uworzenia począkowych zbiorów CS i PE wykorzysuje się współczynniki poniżej. Dla przedsięwzięć, dla kórych sσ > 0, ε > 0 fc zdefiniowane fc λ sσ = (1 λ) ε, (20) gdzie: λ liczba losowa o jednosajnym rozkładzie prawdopodobieńswa na przedziale [0, 1], λ = Rnd().

15 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 109 fc przypi- Dla przedsięwzięć, dla kórych sσ = 0, ε > 0 współczynnikowi suje się minimalną warość spośród warości określonych wzorem (20). Dla przedsięwzięć, dla kórych sσ > 0, ε = 0 współczynnikowi suje się maksymalną warość spośród warości określonych wzorem (20). Procedura: Generowanie począkowego rozwiązania dopuszczalnego fc przypi- START Oblicz fc dla w, j J, = 1, 2L. ~ 1 Oblicz fc = dla w, j J, = 1, 2L. fc Określ rozkład prawdopodobieńswa dla generowania przedsięwzięć (prawdopodobieńswo wylosowania każdego przedsięwzięcia jes równe sosunkowi współczynnika f c do sumy warości wszyskich współczynników) Przyjmij Δ = 0 dla w, j J, = 1, 2L. Powarzaj Generuj przedsięwzięcie (generowanie z wykorzysaniem koła ruleki). Jeżeli zakwalifikowanie przedsięwzięcia nie naruszy warunku (2), o za Dopóki nie jes spełniony warunek (3). Dla osanio wylosowanego przedsięwzięcia przyjmij Δ = 0. STOP Δ = 1 śród paramerów obciążonych niepewnością mogą się znaleźć nakłady inwesycyjne na poszczególne przedsięwzięcia. ej syuacji warunek (3) uznaje się za spełniony, gdy prawdopodobieńswo jego spełnienia jes większe od zadanego poziomu isoności β. Powinien więc być spełniony poniższy warunek: p j J w j η Δ ηˆ β dla = 0,1,...,. (21) Do sprawdzenia spełnienia warunku (3) wykorzysywana jes symulacja sochasyczna. Funkcja użyeczności U obliczana jes według wzoru: gdzie: ϕ NPV U = λ NPV max NPV NPV min min + ϕ σ + (1 λ) + ϕ σ max max σ σ min + ϕ, (22) + ϕ mała liczba z przedziału (0,1), kóra powoduje, że mianownik kóregokolwiek z powyższych ilorazów nigdy nie jes równy zeru,

16 110 B. RĘBIASZ NPV max, NPV min odpowiednio maksymalna i minimalna warość NPV w zbiorze CS, σ max, σ min odpowiednio maksymalna i minimalna warość σ w zbiorze CS. Operaory krzyżowania i muacji konsruuje się ak, aby worzone rozwiązania nie naruszały jednego rodzaju ograniczeń spośród warunków (2). Mianowicie generowane rozwiązania gwaranują, iż każde przedsięwzięcie może być zakwalifikowane do realizacji ylko w jednym roku okresu budżeowania kapiałów. algorymie sosowane jes krzyżowanie jednopunkowe. Srukurę chromosomu i dopuszczalne miejsca cięć przedsawiono na rysunku 1. yróżnione srzałkami ciągi zer i jedynek odpowiadają kolejnym przedsięwzięciom. Liczba zer i jedynek w każdym ciągu odpowiada liczbie la okresu budżeowania. ysępująca w bloku jedynka oznacza, że przedsięwzięcie zosało zakwalifikowane do realizacji. Pozycja jedynki w bloku wskazuje rok, w kórym przedsięwzięcie zosało zakwalifikowane do realizacji. każdym bloku może więc wysąpić co nayżej jedna jedynka. Gdy cięcie dokonywane jes we wskazanych srzałkami miejscach, krzyżowanie chromosomów gwaranuje spełnienie wspomnianego powyżej warunku Przedsięwzięcie Przedsięwzięcie inwesycyjne inwesycyjne 1 Przedsięwzięcie Przedsięwzięcie inwesycyjne inwesycyjne 2 Przedsięwzięcie Przedsięwzięcie inwesycyjne inwesycyjne ρ ρ Osanie przedsięwzięcie inwesycyjne Rys. 1. Srukura chromosomu i dopuszczalne miejsca cięć przypadku muacji losowany jes jeden z bloków zmiennych pomiędzy dopuszczalnymi miejscami cięć. Odpowiada o wylosowaniu określonego przedsięwzięcia. Gdy wybrane przedsięwzięcie nie było zakwalifikowane do realizacji w żadnym roku okresu budżeowania (w danym bloku nie ma jedynki), wedy losowany jes rok, w kórym wprowadza się go do realizacji. Jeśli w bloku wysępuje jedynka, o zamieniana jes ona na zero. Nasępnie losowany jes blok, w kórym wysępują same zera i losowo wybierany jes rok wprowadzenia przedsięwzięcia do realizacji. Rozwiązania uzyskane w efekcie omówionych operacji krzyżowania i muacji nie zawsze będą spełniać pozosałe rodzaje warunków (2). Mogą nie być spełnione warunki wykluczania się pewnych przedsięwzięć. Rozwiązania e mogą również nie spełniać warunku ograniczonej dosępności nakładów kapiałowych w poszczególnych laach o jes warunku (3). Dlaego po ych operacjach realizowany jes proces naprawy rozwiązania.

17 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 111 procesie naprawy rozwiązań sprawdzane jes spełnienie kolejnych ograniczeń (2) i (3). Jeśli kóreś z ych ograniczeń nie jes spełnione, o wyszukiwane są zmienne Δ, kóre w rozwiązaniu mają warość 1 i wysępują w ym ograniczeniu. Jes o równoznaczne ze wskazaniem przedsięwzięć inwesycyjnych, kórych zakwalifikowanie do realizacji spowodowało niespełnienie analizowanego warunku. Naprawa rozwiązania polega na usunięciu z jednego lub kilku akich przedsięwzięć. Na podsawie współczynników fc, odpowiadających przedsięwzięciom, kórych zakwalifikowanie do realizacji spowodowało niespełnienie analizowanego warunku, worzony jes rozkład prawdopodobieńswa dla generowania przedsięwzięć, kóre będą usunięe z (dla kórych warość zmiennej Δ zosanie zmieniona z 1 na 0). Nasępnie generuje się przedsięwzięcie do usunięcia. Proces generowania jes konynuowany ak długo, aż odpowiednie ograniczenie zosanie spełnione. Nasępnie wybierane jes kolejne ograniczenie, kóre nie jes spełnione, i proces powarza się. Procedura a jes realizowana ak długo, aż wszyskie ograniczenia będą spełnione. procesie naprawy naiększe prawdopodobieńswo usunięcia przypisuje się przedsięwzięciom, kóre charakeryzują się relaywnie małymi warościami ε i dużymi warościami sσ. Takie przedsięwzięcia w niewielkim sopniu wpływają na poprawę kryeriów oceny porfela przedsięwzięć inwesycyjnych. Algorym ej procedury wygląda nasępująco: Procedura: Naprawiaj START Powarzaj ybierz ograniczenie, kóre nie jes spełnione przez rozwiązanie. Określ zmienne binarne Δ, kóre uwzględnione są w ym ograniczeniu i w analizowanym rozwiązaniu mają warość 1. Określ rozkład prawdopodobieńswa dla generowania przedsięwzięć do usunięcia. Powarzaj Generuj przedsięwzięcie, kóre będzie usunięe ze zbioru (selekcja z wykorzysaniem koła ruleki) Dopóki ograniczenie jes spełnione Dopóki wszyskie ograniczenia są spełnione. STOP Algorymy procedury określenia przysosowania osobnika przedsawiono poniżej.

18 112 B. RĘBIASZ Procedura: Określenie przysosowania osobnika START Dla l =1 do Ls Generuj warości niepewnych paramerów rachunku efekywności. Określ prawe srony nierówności (1) zgodnie ze zbiorem. Rozwiąż zadanie programowania liniowego, kórego warunki ograniczające określone są równaniami i nierównościami (1), (4) (13), 1 a funkcja celu ma posać NCF ( l) max. Prz( ) = 0 (1 + rdys ) Określ prawe srony nierówności (1) przy założeniu, że żadne przedsięwzięcie inwesycyjne nie zosało zakwalifikowane do realizacji. Rozwiąż zadanie programowania liniowego, kórego warunki ograniczające określone są równaniami i nierównościami (1), (4) (12), a funkcja celu ma posać 1 NCF Prz( )( l) max. (1 + r ) = 0 dys Oblicz NPV (l) = 1 = 0 (1 + rdys ) Nasępne l Określ rozkład prawdopodobieńswa NCF ( l), NCF (l), obliczane według wzoru (15). NPV. Oblicz warość średnią NPV ( NPV ), semiodchylenie sandardowe sσ ). STOP ( 4. Efekywne porfele przedsięwzięć inwesycyjnych weryfikacja meody rozdziale ym przedsawiono przykład wykorzysania meody wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Diagram przepływu maeriałów w przedsiębiorswie, dla kórego zrealizowano obliczenia przedsawiono na rysunku 2. Analizowane przedsięwzięcia inwesycyjne wymieniono w abeli 1. Obliczenia zrealizowano dla rzyleniego okres budżeowania kapiałów. modelu maemaycznym było 44 zmiennych binarnych, 843 zmiennych ciągłych i 864 równań ograniczających. obliczeniach uwzględniono niepewność nasępujących paramerów rachunku efekywności: ilości sprzedaży i cen poszczególnych asorymenów wyrobów, cen surowców huniczych (złomu, rudy żelaza, grudek i koksu), wskaźników maeriałochłonności, nakładów inwesycyjnych na realizację przedsięwzięć inwesycyjnych, okresów realizacji przedsięwzięć inwesycyjnych, oprocenowania kredyów, sopy dyskonowej, kursów walu.

19 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 113 Rudy żelaza Koks Grudki Złom Spiekalnie ielkie piece Salownie alcownia duża alcownia średnia alcownie blach walcowanych na zimno Ocynkownie blach ydział powlekania blach worzywami i i alcownie walcówki ydział rur zgrzewanych alcownia blach walcowanych na gorąco przepływy surowców przepływy wyrobów do dalszego przewarzania sprzedaż wyrobów Rys. 2. Diagram przepływu maeriału w przedsiębiorswie, dla kórego zrealizowano obliczenia Lp. Tabela 1. Analizowane przedsięwzięcia inwesycyjne Przedsięwzięcie inwesycyjne 1 Insalacje urządzeń do wdmuchiwania pyłu węglowego na dwóch wielkich piecach 2 Modernizacja wielkiego pieca Budowa walcowni blach walcowanych na zimno o zdolności produkcyjnej ys. / rok Budowa walcowni blach walcowanych na zimno o zdolności produkcyjnej ys. /rok Budowa ocynkowni ogniowej blach o zdolności produkcyjnej ys. /rok Budowa ocynkowni ogniowej blach o zdolności produkcyjnej ys. /rok Budowa ocynkowni ogniowej blach o zdolności produkcyjnej ys. /rok Budowa linii powlekania blach worzywami organicznymi o zdolności produkcyjnej ys. /rok Budowa linii powlekania blach worzywami organicznymi o zdolności produkcyjnej ys. /rok 10 Budowa linii ocynkowania blach o zdolności produkcyjnej 200 ys. /rok Do realizacji obliczeń opracowano program w języku C#, a do rozwiązania zadań programowania liniowego użyo programu Lp-solve 5.1. Program en wykorzysuje zrewidowaną meodę sympleksów. Dla każdego zbioru przedsięwzięć zakwalifikowanych do realizacji zadanie programowania liniowego było rozwiązywane Ls = razy dla losowo generowanych paramerów rachunku efekywności. Realizacja algorymu wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych rwała około 6,5 godziny. Obliczenia realizowano dla nasępujących warości paramerów: C = 300, K = 10, S = 300 i P = 150. Czas obliczeń wynikał głównie z czasu niezbędnego dla zrealizowania symulacji sochasycznej.

20 114 B. RĘBIASZ yniki obliczeń przedsawiono na rysunkach 3 oraz 4. Na rysunku 3 pokazano średnią warość NPV i semiodchylenie sandardowe, a na rysunku 4 średnią warość NPV i współczynnik semizmienności (sosunek semiodchylenia sandardowego do warości średniej) dla niezdominowanych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Przedsawione rozwiązania powsały w nasępujący sposób. Algorym wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych realizowano 10 razy. Połączono zbiory rozwiązań ze wszyskich 10 prób. Nasępnie spośród ych rozwiązań wybrano różne, niezdominowane rozwiązania Semiodchylenie NPV, ys. zł Śerdnia warość NPV, ys.zł Rys. 3. Średnia warość NPV i semiodchylenie sandardowe dla niezdominowanych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 0,42 0,40 spółczynnik semizmienności 0,38 0,36 0,34 0,32 0, Średnia warość NPV, ys.zł Rys. 4. Średnia warość NPV i współczynnik semizmienności dla niezdominowanych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych

21 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych Podsumowanie pracy sformułowano wielokryerialne zadanie wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Problem wyboru porfeli rozważa się w warunkach racjonowania kapiału (usalany jes limi nakładów kapiałowych w określonym okresie), przy uwzględnieniu zależności saysycznych i ekonomicznych przedsięwzięć inwesycyjnych. Zaprezenowana koncepcja modelu maemaycznego i opracowany algorym wyboru przedsięwzięć inwesycyjnych umożliwiają generowanie zbioru niezdominowanych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych. Do wyboru porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych sosowany jes algorym, kóry łączy procedurę symulacji sochasycznej z procedurami opymalizacji. Procedurami ymi są: algorym geneyczny, służący do wyboru porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych i procedura programowania liniowego, służąca do opymalizacji wyników finansowych przedsiębiorswa. algorymie geneycznym wykorzysano oceny dualne warunków ograniczających ilość i srukurę produkcji poszczególnych wydziałów przedsiębiorswa do generowania dopuszczalnych rozwiązań począkowych, a nasępnie do naprawy rozwiązań po operacji krzyżowania i muacji. Dzięki emu przedsawiony algorym geneyczny efekywnie generuje zbiory rozwiązań niezdominowanych. Na począku uzyskuje się bowiem dobrze zdywersyfikowany, ze względu na rozważane kryeria, zbiór dopuszczalnych rozwiązań począkowych. Nasępnie, w procesie naprawy rozwiązań, po operacji krzyżowania lub muacji, ze zbioru przedsięwzięć zakwalifikowanych do realizacji usuwane są e przedsięwzięcia, kóre w najmniejszym sopniu przyczyniają się do poprawy warości kryeriów wyboru przedsięwzięć inwesycyjnych. Pomimo silnego skorelowania cen surowców i wyrobów huniczych można zaobserwować efeky dywersyfikacji porfela. spółczynniki semizmienności porfeli znajdujących się w rozwiązaniu przykładowego problemu zmieniają się od 0,32 do 0,41. Różnice współczynników semizmienności porfeli wynoszą więc około 28%. Jes o efek zróżnicowanej siły skorelowania cen surowców i różnych asorymenów wyrobów huniczych oraz wielkości ich sprzedaży. Ponado wpływa na o wysępowanie niezależnych paramerów. Można u na przykład wymienić wskaźniki maeriałochłonności poszczególnych agregaów i wielkość nakładów inwesycyjnych. Isony jes również efek ilości przedsięwzięć w porfelu: im więcej jes w porfelu przedsięwzięć inwesycyjnych, ym mniejsze ryzyko porfela [34]. Bibliografia [1] De ACHARAYA P.K.D., SAHU K.C., A Chance-Consrained Goal Programming Model for Capial Budgeing, Journal for he Operaional Research Sociey, 1982, 33(7),

22 116 B. RĘBIASZ [2] APRIL J., GLOVER F., KELLY J.P., OPTFOLIO A Simulaion Opimizaion Sysem For Projec Porfolio Planning, Proceedings of he 2003 iner Simulaion Conference, , ( [3] BADRI M.A., DAVIS D., DAVIS D., A comprehensive 0 1 goal programming model for projec selecion, Inernaional Journal of Projec Managemen, 2001, 19(2), [4] BERNHARD R.H., Mahemaical programming models for capial budgeing-survey, generalizaion and criique, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 1969, 4(1), [5] BRADLEY S.P., FREY C., Equivalen Mahemaical Programming Models of Pure Capial Raioning, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 1978, 6(1), [6] Budżeowanie kapiałów, pod redakcją. Pluy, PE, arszawa [7] CARLETON.T., Linear programming and Capial Budgeing Models: A New Inerpreaion, Journal of Finance, 1974, 23(43), [8] CHAN F.T.S., CHAN M.H., TANG N.K. H., Evaluaion mehodologies for echnology selecion, Journal of Maerials Processing Technology, 2000, 107(4), [9] CORNER J.L., DECKRO R.F., SPAHR R.., Muliple-Objecive Linear Programming in Capial Budgeing, [in:] Advances in Mahemaical Programming and Financial Planning, K.D. Lawrence, J.B. Guerard, G.R. Reeves (eds.), JAI Press, Greenwich, Connecicu, 1993, 3, [10] DICKINSON M.., THOMTON A.C., GRAVES S., Technology porfolio managemen. Opimizing inerdependen projecs over muliple ime period, IEE Transacion on Engineering Managemen, 2001, 48(4), [11] GASS S.I., Linear Programming. Mehods and Applicaions, fifh ediion, An Inernaional Thompson Publishing Company, New York, USA [12] IGNIZIO J.P., An approach o he Capial Budgeing Problem wih Muliple Objecives, The Engineering Economis, 1976, 21(4), [13] ISHIBUCHI H., MURATA T., Muli-objecive geneic local search algorihm and is applicaion o flowshop scheduling, IEEE Transacion on Sysems Manufacuring and Cyberneics, 1998, 28(3), [14] JASZKIEICZ A., Geneic local search for muli-objecive combinaorial opimizaion, European Journal of Operaional Research, 2002, 137(1), [15] JASZKIEICZ A., On he compuaional efficiency of muliple objecive meaheurisics. The knapsack problem case sudy, European Journal of Operaional Research, 2004, 158(6), [16] KAKUZO I., BOADING L., Dependen-Chance Ineger Programming Applied o Capial Budgeing, Journal of he Operaion Research Sociey of Japan, 1999, 42(1), [17] KEON A.J., TAYLOR B.., A Chance-Consrained Ineger Goal Programming. Model for Capial Budgeing in he Producion Area, Journal of Operaional Research Sociey, 1980, 31(7), [18] LIN T.., Muliple-Crieria Capial Budgeing under Risk, [in:] Advances in Mahemaical Programming and Financial Planning, K.D. Lawrence, J.D. Guerard, G.R. Reeves (eds.), JAI Press, Greenwich, Connecicu, 1993, (3), [19] LORIE J.H., SAVAGE L.J., Three problems in capial raioning, Journal of Business, 1955, 28(2), [20] LUSZTIG P., SCHAB B., A Noe of he Applicaion of linear Programming o Capial Budgeing, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 1968, 3(5), [21] MAHOMED S., Mc KON A.K., Modelling projec invesmen decisions under uncerainy using possibiliy heory, Inernaional Journal of Projec Managemen, 2001, 19(4), [22] MALINOSKA U., ycena przedsiębiorswa w warunkach polskich, Difin, arszawa [23] MEDAGLIA A.L., GRAVES S.B., RINGUEST J.L., A muliobjecive evoluionary approach for linearly consrained projec selecion under uncerainy, European Journal of Operaional Research, 2007, 179(3),

23 Meoda wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć inwesycyjnych 117 [24] MUKHERJEE K., BERA A., Applicaion of goal programming in projec selecion decision A case sudy from he Indian Coal mining indusry, European Journal of Operaional Research, 1995, 82(1), [25] NÄSLUND B., A model of capial budgeing under risk, The Journal of Business, 1966, 39(2), [26] PADBERG M., ILCZAK M.J., Opimal projec selecion when borrowing and lending raes differ, Mahemaical and Compuer Modelling, 1999, 29(1), [27] SANTHANAM R., KYPARISIS G.J., A decision model for inerdependen informaion sysem projec selecion, European Journal of Operaional Research, 1996, 89(2), [28] SAPPÄLA Y., Choosing Among Invesmen Possibiliies wih Sochasic Pay-Off Minus Expendiure, Operaions Research, 1967, 15(5), [29] SCHARZ H.G., Modelling invesmen and implemenaion of echnological progress in meal indusry. Theory and applicaion o he German primary aluminium indusry, Resources Policy, 2003, 29(3 4), [30] SEITZ N.E., Capial Budgeing and Long-Term Financing Decisions, USA, Souh-esern College Pub [31] TYRAN M.R., skaźniki finansowe, olers Kluwer Polska Oficyna, Kraków [32] EINGARTNER H.M., Capial budgeing and inerrelaed projecs: survey and synhesis, Managemen Science, 1968, 2(3), [33] EINGARTNER H.M., Mahemaical Programming and he Analysis of Capial Budgeing Problems, Prenice Hall Inc. Englewood Cliffs, [34] ILIMOSKA Z., Meodyka budowy efekywnego porfela przedsięwzięć inwesycyjnych, Oficyna ydawnicza Poliechniki rocławskiej, rocław [35] ZITZLER E., LAUMANNS M., THIELE L., SPEA2: Improving he Srengh Pareo Evoluionary Algorihm, TIK Technical Repor 103, Swiss Federal Insiue of Technology (ETH), Zurich [36] ZULUAGA, A., SEFAIR J., MEDAGLIA A., Model for he Selecion and Scheduling of Inerdependen Projecs, Proceedings of he 2007 Sysems and Informaion Engineering Design Symposium, Universiy of Virginia., (hp://wwwprof.uniandes.edu.co/~amedagli/fp/pmafernoonsession1t5-04.pdf) A mehod for selecing an effecive invesmen projec porfolio A new algorihm for selecing an effecive invesmen projec porfolio from a collecion of projecs developed by a company has been presened in his paper. The problem of selecing an invesmen projec was formulaed as muli-objecive opimizaion problem. The algorihm is suied for enerprises wih mulisage producion cycles, e.g. enerprises in he meallurgical or chemical indusry. During he selecion process he mehod akes ino accoun saisical and economic inerdependencies exising among projecs. Upon choosing projecs he algorihm akes ino accoun wp crieria: maximizaion of he expeced NPV and minimizaion of projec porfolio risk. A company may develop an effecive invesmen projec porfolio for a few years ahead. The algorihm makes i possible o search for Pareo opimal soluions. I links compuer simulaion mehods wih a geneic algorihm and sandard procedure for linear opimizaion. An example of he use of he algorihm for selecing projecs in he meallurgical indusry is presened. Keywords: mahemaical programming, porfolio selecion, risk, simulaion