Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Transkrypt

1 /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania --9 Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstok Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5 kg, 6 kg, i 5 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w ie, u, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6 kg, kg, kg oraz 5 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła 5 5 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty. --9 Przykład Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła Kluczbork Białystok 5 5 Piła 5 5 DOSTAWCY DECYZJA? ODBIORCY --9

2 /9/ Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od dostawcy i, i,,, do odbiorcy j, j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok 6x 7x x x 7x 5x x 6 x 5x x x 5 Piła 5x Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od dostawcy i do odbiorcy j, i,,; j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas

3 /9/ Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok x x x x x x x x x 6 Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x x 5 Piła x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona i od odbiorcy i do dostawcy j, i,,; j,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie Koszty transportu 5 Kluczbork 6 Białystok 5 Piła x x x x x x x x x x x x x

4 /9/ Sformułowanie problemu zminimalizować: z x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x +x +5x +x +5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x +x +x 6 x +x +x x +x +x x +x +x 5 x ij, i,,; j,,, --9 Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować przy ograniczeniach n i m j n m i j c ij x ij x b, j, K m ij j, x a, i, K n ij i, x ij, i,,, m, j,,, n gdzie: i - indeks dostawcy, i,, n j - indeks odbiorcy, j,, m x ij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j c ij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j a i - zapas dostawcy i b j - zapotrzebowanie odbiorcy j całkowity koszt zapotrzebowanie zapas nieujemny przesył --9 Warianty zagadnienia transportowego całkowita podaż nie jest równa całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) maksymalizacja funkcji celu minimalne i maksymalne pojemności dróg Dodajemy sztucznego dostawcę lub odbiorcę. Mnożymy przez (-). Dodajemy ograniczenia. Własności zagadnienia transportowego Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania. niedopuszczalne połączenia Obciążamy bardzo dużymi kosztami

5 /9/ Własności zagadnienia transportowego n [ ] Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. L n... n... E n L L L L LA L n E n E n E n... E n Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n ) zmiennych bazowych. Jeżeli wszystkie a i i b j są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych. Własności zagadnienia transportowego Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: wierzchołkami są węzły (i,, dla których x ij > każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i, j ) (i, j ), że albo i i albo j j oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków i \ j Własności zagadnienia transportowego Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. i \ j Własności zagadnienia transportowego Niech x B będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i,, takich że x ij jest zmienną bazową, ą to spełniony jest następujący układ równań: c ij + +v j dla (i, B gdzie zmienne iv j noszą nazwę potencjałów. Macierz C [(c ij z ij )] [c ij + +v j ], i,..m, j,..,n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego x B. Na to, aby rozwiązanie bazowe x B zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna

6 /9/ Własności zagadnienia transportowego Układ równań: c ij + +v j dla (i, B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. Jeżeli macierz C zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. --9 Własności zagadnienia transportowego Przez cykl γ( oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej ( do rozwiązania bazowego. i \ j 5 5 Niech ( (,5) γ n ((,5) {(,5), (,)} γ p ((,5) {(,), (,5)} Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od wierzchołka (. Przez γ p ( oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez γ n ( o numerach nieparzytych. --9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metodakąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl min {c kj } albo c kl min {c il }

7 /9/ Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok Piła Białystok Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok 5 5. Piła Białystok. Piła

8 /9/ Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 5. Białystok 6. Piła 5 5 b j 6 5 a i Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Czy jest to rozwiązanie bazowe? c ij + +v j dla (i, B Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. --9 u --9 8

9 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B + + v + + v Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B 7 + u + ( ) 5 + ( ) + v

10 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B c ij + +v j dla (i, B + ( ) + v + u Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij + +v j dla (i, B 5 + ( 6) + v c ij c ij + +v j c ij dla (i, B

11 /9/ Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Piła v j v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j --9 Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j --9 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Piła v j v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j --9 Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j --9

12 /9/ Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij c ij + +v j c ij c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Zbadać, czy C. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ

13 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c min{ c : c < } kl ij ij Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie cyklu.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wyznaczyć ć ckl cykl γ p (, γ n (. Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ

14 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Usunąć ą z bazy zmienną ą x rs, taką, ą że x rs min j ) k, l θ { x : j ) B} θ ) ij.kluczbork 5. Białystok --9. Piła 5 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 γ ( + θ n( θ θ Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Czy jest to rozwiązanie bazowe?.kluczbork 5. Białystok. Piła Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków

15 /9/ Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m ) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli. Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs min : j ) B j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: γ ( + θ n( θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u

16 /9/ Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u c ij c ij + +v j.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Wyznaczanie cyklu.kluczbork 6 6. Białystok 7. Piła 5 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c min{ c : c < } kl ij ij Wyznaczyć ć ckl cykl γ p (, γ n (

17 /9/ Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Usunąć ą z bazy zmienną ą x rs, taką, ą że x rs min j ) k, l θ 5 { x : j ) B} θ ) ij.kluczbork 5. Białystok --9. Piła 5 65 Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 γ ( + θ n( θ θ 5.Kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła Wyznaczanie potencjałów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j dla (i, B u c ij c ij + +v j.kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j

18 /9/ Rozwiązanie.Kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j Równoważna macierz zerowa jest nieujemna rozwiązanie jest optymalne..kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła 5 Koszty transportu X 5 5 Kluczbork X 5 X 5 6 Białystok X X 5 X 5 5 Piła Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy Koszt całkowity Kluczbork x 5 5 Kluczbork x 5 Białystok x Białystok x Białystok x 5 5 Piła x 5 5 Razem 9 5 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metodakąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl min {c kj } albo c kl min {c il }

19 /9/ Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Postępujemy podobnie, jak w metodzie północnozachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów. Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Białystok Piła Piła

20 /9/ Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 5. Białystok Piła Białystok Piła

21 /9/. Oznaczmy przez (i,, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.. Oznaczmy przez d j (i,, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.. Wybierz α max{, d j }.. Jeżeli α, to wybierz element w wierszu k i oraz kolumnie l, takiej że c kl min{c kj }. 5. Jeżeli α d j, to wybierz element w kolumnie l j oraz wierszu takim że c kl min{c il }..Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j

22 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j

23 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α max{, d j } α max{, d j } c kl min{c il } Kluczbork Białystok Piła Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j

24 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j c kl min{c kj }.Kluczbork 7 6. Białystok Piła

25 /9/.Kluczbork 7 6.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Białystok Piła 5 5. Piła d j Kluczbork 7 6. Białystok Kluczbork 7 6. Białystok Piła Piła

26 /9/.Kluczbork 7 6. Białystok Piła Kluczbork Białystok Piła