Rozdziaª 2. Proste przykªady opcji egzotycznych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdziaª 2. Proste przykªady opcji egzotycznych"

Transkrypt

1 Rozdziaª 2 Proste przykªady opcji egzotycznych Cztery podstawowe typy opcji: europejskie/ameryka«skie opcje call/put to tzw. opcje waniliowe (vanilla options); b d je równie» okre±laª jako opcje zwykªe. Mo»na tworzy bardziej zªo»one ich wersje, modykuj c na przykªad funkcj wypªaty, prawo do realizacji (okre±lane te» jako styl wykonania), wprowadzaj c nietypowy instrument bazowy (na przykªad mo»e nim by inna opcja), tworz c opcj na kilka ró»nych instrumentów bazowych itd. Mo»liwo±ci s praktycznie nieograniczone. Prowadzi to do tzw. opcji egzotycznych. W tym rozdziale przyjrzymy si kilku prostym przykªadom takich opcji. Zostaªy wybrane pod k tem zastosowa«: jedne pomog nam w wycenie pewnych instrumentów pochodnych, inne b d przydatne w konstrukcji lokat strukturyzowanych. W»adnym wypadku nie jest to wyczerpuj ce opracowanie ±wiat opcji egzotycznych jest bardzo du»y i nawet tak obszerna pozycja jak [37] jest do± skrótowa. Przedstawione s wzory na wycen w modelu Blacka-Scholesa-Mertona, zwykle w najprostszej wersji, gdy instrumentem bazowym s akcje nie wypªacaj ce dywidendy, lub aktywa generuj ce stop dywidendy. Oczywi±cie wzory te mo»na ªatwo zmodykowa by uzyska wersj dla akcji z dywidend gotówkow, stosuj c schemat jak we wzorze (1.16). 29

2 30 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH 2.1 Opcje binarne Zaczniemy od opcji binarnych. S one w gruncie rzeczy prostszym, bardziej podstawowym instrumentem pochodnym ni» opcje waniliowe. Opcje binarne, okre±lane te» jako opcje cyfrowe (digital ) wypªacaj zero lub warto± jednej jednostki aktywów. Charakteryzuj si nieci gª funkcj wypªaty. Przykªadowo, opcja call wypªaci warto± jednej jednostki aktywów je±li S T ; w przeciwnym razie wypªata wynosi 0. Analogicznie b dzie w przypadku opcji put: tu wªa±ciciel dostanie 0 gdy S T, za± warto± jednostki aktywów w przeciwnym razie. Opcje binarne mo»na porówna do zakªadu: opcja call to zakªad,»e w chwili T warto± instrumentu bazowego wyniesie co najmniej, za± opcja put jest zakªadem,»e S T b dzie w dniu wyga±ni cia poni»ej. Nagrod za wygrany zakªad jest jednostka aktywów. B dziemy rozwa»a sytuacj, gdy aktywa w których dostaniemy wypªat to gotówka (opcje gotówka albo nic), a tak»e, gdy jest to instrument bazowy (opcje aktywa 1 albo nic). Mamy zatem cztery podstawowe typy opcji binarnych. Ich angielskie nazwy i stosowane w podr czniku skróty przedstawia tabela 2.1. Na przykªad w przypadku opcji kupna typu gotówka albo nic oznaczenie H con.c to odpowiadaj ca tej opcji funkcja wypªaty, za± C con.c (t) oznacza warto± opcji gotówka albo nic w chwili t. Tabela 2.1: Opcje binarne Opcja kupna Opcja sprzeda»y Gotówka cash or nothing call cash or nothing put albo nic con.c con.p Aktywa asset or nothing call asset or nothing put albo nic aon.c aon.p Funkcje wypªaty Wzory i schematyczne wykresy funkcji wypªaty dla opcji binarnych przedstawione s w tabeli 2.2 (w przypadku opcji gotówka albo nic przedstawiona zostaªa wypªata dla opcji). 1 Chyba wªa±ciwsza byªaby nazwa instrument bazowy albo nic, jednak wydaje si by troch za dªuga.

3 2.1. OPCJE BINARNE 31 Tabela 2.2: Opcje binarne: funkcja wypªaty S T S T H con.c=1 {ST } H con.p=1 {ST <} S T S T H aon.c=s T 1 {ST } H aon.p=s T 1 {ST <} Parytet dla opcji binarnych Jak wida, wykresy z tabeli 2.2 uzupeªniaj si. Mamy nast puj ce zale»no±ci mi dzy funkcjami wypªaty opcji binarnych: H con.c + H con.p = 1, H aon.c + H aon.p = S T. Innymi sªowy, portfel zªo»ony z opcji call i put typu gotówka albo nic ma tak sam wypªat jak wolny od ryzyka bon bezkuponowy o nominale 1 i terminie zapadalno±ci T. Podobnie portfel opcji call i put typu aktywa albo nic ma w chwili T tak sam warto± jak portfel zªo»ony z jednej akcji

4 32 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH (dokªadniej: jednej jednostki instrumentu bazowego). Wobec tego, je±li nie ma mo»liwo±ci arbitra»u, ceny opcji binarnych s ze sob powi zane (ceny wyliczone s w chwili t = 0): Oto kolejna prosta wªasno± : x1 {x 0} = max(x, 0). Wstawiaj c do powy»szego równania x = S T uzyskujemy zale»no± : S T 1 {ST } 1 {ST } = max(s T, 0), C con.c + C con.p = e rt, (2.1) C aon.c + C aon.p = Se qt. (2.2) Opcje binarne nie s ju» tak egzotyczne jak kiedy±. Walutowymi opcjami binarnymi mo»na handlowa na niektórych internetowych platformach foreksowych. Opcje gotówka albo nic zostaªy wprowadzone do obrotu w maju 2008 przez gieªd AMEX (American Exchange, w pa¹dzierniku 2008 przej ta przez NYSE Euronext) i w czerwcu 2008 przez CBOE (Chicago Board of Options Exchange). Na przykªad CBOE ma w obrocie europejskie opcje binarne oznaczone symbolem BSZ. Instrumentem bazowym jest indeks S&P 500 (SPX); opcje wypªacaj 0 lub $100. czyli portfel zªo»ony z opcji call aktywa albo nic i krótkich opcji put gotówka albo nic ma t sam wypªat co zwykªa (waniliowa) opcja call. Analogicznie, opcja put ma t sam wypªat, co portfel zªo»ony z opcji binarnych put typu gotówka albo nic i krótkiej opcji put aktywa albo nic: H aon.c H con.c = H c, H con.p H aon.p = H p. W sytuacji braku arbitra»u powy»sze zale»no±ci mi dzy funkcjami wypªaty przekªadaj si na zale»no±ci mi dzy cenami opcji. Jest to rodzaj parytetu dla opcji binarnych i waniliowych: C c = C aon.c C con.c, (2.3) C p = C con.p C aon.p. (2.4) Opcje binarne s wi c bardziej elementarnymi cegieªkami ni» opcje waniliowe: te ostatnie mo»na zbudowa z opcji binarnych. Przyjrzyjmy si wzorom na wycen opcji binarnych w modelu Blacka- Scholesa-Mertona. Zaczniemy od opcji gotówka albo nic. Jak wiadomo, warto± opcji europejskiej to zdyskontowana warto± oczekiwana funkcji wypªaty

5 2.1. OPCJE BINARNE 33 wzgl dem miary martyngaªowej Q, zob. (1.6). Warto± oczekiwan funkcji staªej liczy si oczywi±cie bardzo prosto: C con.c (t) = e r(t t) E Q (1 {ST } F t ) = e r(t t) Q{S T } = e r(t t) N(d ) na mocy formuªy (1.42). Analogicznie, C con.p (t) = e r(t t) E Q (1 {ST <} F t ) = e r(t t) N( d ). Powy»szy wzór wynika równie» z parytetu 2.1. olejne wersje parytetu, tzn. formuªy (2.3) oraz (2.4), daj pozostaªe wzory na ceny opcji binarnych: C aon.c (t) = Se q(t t) N(d + ), C aon.p (t) = Se q(t t) N( d + ). Mo»na je oczywi±cie wyprowadzi bezpo±rednio. Zrobimy to w bardziej ogólnym kontek±cie binarnych opcji pot gowych w nast pnej sekcji Binarne opcje pot gowe Binarne opcje pot gowe s wersj opcji binarnych typu aktywa albo nic wypªacaj cych 0 (opcja wygasa poza cen ) lub warto± jednostki aktywów, podniesion do pewnej pot gi naturalnej n (opcja wygasa w cenie): Denicja 2.1 Binarna pot gowa opcja call (odpowiednio put) wypªaca kwot S n (T ) je±li warto± S T jest wi ksza lub równa (odpowiednio: mniejsza) ni» cena realizacji ; w przeciwnym razie opcja wypªaca zero. Wypªata binarnej opcji pot gowej (w pot dze n) wynosi wi c H bpn.c = S n T 1 {ST } H bpn.p = S n T 1 {ST <} (call), (put). (b dziemy stosowa skrót bpn od sªów binary power option i stopnia n wykªadnika binarnej opcji pot gowej).

6 34 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Rysunek 2.1: Funkcje wypªaty kwadratowych opcji binarnych. 2. S T 2.. S T H bp2.c H bp2.p Funkcj wypªaty takiej opcji dla n = 2 (jest to wi c opcja kwadratowa) przedstawia Rysunek 2.1. Dla n = 0 i n = 1 dostajemy znane nam ju» zwykªe opcje binarne typu gotówka albo nic oraz aktywa albo nic. Wyliczmy warto± binarnej opcji pot gowej w chwili t = 0 (dla uproszczenia instrumentem bazowym b d akcje bez dywidendy): C bpn.c = e rt E Q (S n (T )1 {ST }). (2.5) Zaczniemy od wyprowadzenia wzorów na warto± oczekiwan wypªaty opcji call, liczon wzgl dem miary zycznej 2, zob. wzór (1.42). Oznaczymy j przez P (n) (), gdzie to cena realizacji opcji: P (n) () := E P ( S n (T )1 {ST }). (2.6) orzystamy ze wzoru (1.44) na g sto± rozkªadu S T : P (n) () = = d () x n φ(x)dx = x n N (y)dy. x n N (d (x))d (x)dx W ostatniej linii stosujemy narzucaj ce si podstawienie y = d (x). Wyliczamy x: x = (d ) 1 (y) = Se yσ T +(µ 1 2 σ2 )T, 2 Wzory te przydadz si do szacowania ryzyka portfeli opcyjnych w rozdziale 4.

7 2.1. OPCJE BINARNE 35 co wraz ze wzorem (1.45) na dystrybucj N ( ) daje: P (n) () = 1 d () S n e nµt e nyσ T 1 2 nσ2t e 1 2 y2 dy 2π = S n e nµt 1 d () e 1 2 (y2 +2ynσ T +nσ 2 T ) dy 2π = S n e nµt 1 d () e 1 2 (y+nσ T ) 2 e 1 2 (n2 n)σ 2T dy 2π Stosuj c podstawienie z = y + nσ T dostajemy: P (n) () = S n e nµt n(n 1)σ2 T 1 d ()+nσ T 2π = S n e nµt n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ). e 1 2 z2 dz Ostatecznie mamy wi c wzór na oczekiwan wypªat binarnej pot gowej opcji call: P (n) () = S n e nµt n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ). (2.7) W podobny sposób mo»na przeprowadzi obliczenia dla opcji put. Zamiast tego zauwa»my,»e w granicy, gdy 0, powy»szy wzór daje E P (S n (T )) = 0 x n φ(x)dx = S n e nµt n(n 1)σ2T, (2.8) wi c warto± oczekiwan wypªaty dla opcji put dostajemy jako ró»nic warto- ±ci dwóch caªek: (2.8) i (2.7). Zatem warto± oczekiwana wypªaty dla binarnej pot gowej opcji put wynosi S n e nµt n(n 1)σ2T N( d () nσ T ). Przechodz c do miar martyngaªowych i wykorzystuj c formuª (1.6) dostajemy wzory na ceny C bpn.c i C bpn.p binarnych pot gowych opcji call i put C bpn.c = S n e (n 1)rT n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ), C bpn.p = S n e (n 1)rT n(n 1)σ2T N( d () nσ T ). Oczywi±cie w szczególnych przypadkach n = 0 i n = 1 dostajemy odpowiednio wzory na ceny opcji gotówka albo nic oraz aktywa albo nic.

8 36 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH wiczenie 2.1 W przeciwie«stwie do opcji binarnych, rozwa»my zwykªe opcje pot gowe (power options). Zale»nie od ¹ródeª, okre±lane s w ten sposób opcje o wypªatach oraz opcje max(s n, 0) max( S n, 0) max(s, 0) n max( S, 0) n (opcja call) (opcja put) (opcja call) (opcja put) Dla rozró»nienia, te drugie mo»na nazwa opcjami spot gowanymi (powered options). Wykorzystaj rezultaty tego rozdziaªu by wyprowadzi wzory na cen tych opcji w modelu Blacka-Scholesa-Mertona. 2.2 Opcje zªo»one Opcja dla której instrumentem bazowym jest inna opcja to tzw. opcja zªo-»ona. Mamy tu cztery mo»liwo±ci: opcje call na opcje call, call na put, put na call i put na put. Wªa±ciciel opcji ma prawo kupi (odpowiednio sprzeda ) w przyszªej chwili τ, za okre±lon dzisiaj cen κ (cena realizacji opcji zªo»onej) opcj b d c instrumentem bazowym. Cen realizacji tej ostatniej oznaczymy przez, a termin realizacji przez T > τ. Oczywi±cie warto± instrumentu bazowego naszej opcji nie ma rozkªadu log-normalnego i zastosowanie wzorów Blacka-Scholesa-Mertona dla zwykªych opcji byªoby naiwne. Mo»emy jednak potraktowa opcje zªo»one jako opcje egzotyczne na instrument bazowy instrumentu bazowego, czyli na S(t), i wyprowadzi wzór na cen wykorzystuj c wzór (1.6). Przypu± my,»e mamy opcj call na call na akcje bez dywidendy. Cen w chwili t opcji call na akcje oznaczamy przez C c (t). Je±li w chwili τ warto± opcji bazowej C c (τ) przekroczy Na pierwszy rzut oka mogªo by si wydawa,»e opcje na opcje to zb dna abstrakcja. Tymczasem pomysª opcji zªo»onych wcale nie jest nowy i pojawia si ju» w sªynnej pracy Blacka i Scholesa [3]. W ko«cu to, co uwa»amy za zwykªe opcje na akcje mo»na traktowa jako opcje zªo»one: akcje rmy z ograniczon odpowiedzialno±ci s opcjami call na aktywa tej»e rmy, zob. [R]. W takim razie opcje na akcje to opcje zªo»one których instrumentem bazowym s aktywa rmy. Inne zastosowanie opcji zªo»onych, to wykorzystanie ich jako narz dzia wyceny pewnych bardziej egzotycznych opcji na akcje, zob. 2.3.

9 2.2. OPCJE ZŠO ONE 37 cen realizacji κ, inwestor zrealizuje opcj zªo»on i kupi opcj bazow za cen κ. W przeciwnym razie nie wykona opcji zªo»onej. W takim razie w chwili T inwestor b dzie miaª wypªat max(s T ; 0) w pierwszym przypadku (pomniejszon κe r(t τ), czyli o warto± przyszª premii, któr musi zapªaci, je±li w chwili τ zrealizuje opcj zªo»on ). W drugim przypadku wypªata wyniesie 0. Znajdziemy opis funkcji wypªaty opcji zªo»onej, w którym nie b dziemy si odwoªywali do ceny opcji b d cej instrumentem bazowym. Oznaczmy w tym celu przez S tzw. cen krytyczn. Jest to cena akcji dla której opcja, b d ca instrumentem bazowym, warta jest κ w chwili τ. Wyliczamy j wykorzystuj c wzory Blacka-Scholesa-Mertona, i rozwi zuj c (numerycznie) równanie C c (S,, T τ) = κ. Zauwa»my,»e warto± ceny krytycznej znana jest w chwili 0. Opcja zªo»ona call zostanie wykonana, je±li S τ > S. Mamy wi c nast puj cy opis funkcji wypªaty dla opcji zªo»onej (call na call): S T κe r(t τ) je±li S τ S, S T, H cc (S T ) = κe r(t τ) je±li S τ S, S T <, 0 w przeciwnym razie. Jak wida, nie jest nam potrzebna cena realizacji κ, wystarczy znajomo± ceny krytycznej S by wyliczy wypªat binarnej opcji zªo»onej. Je±li instrumentem bazowym jest opcja put, to równanie na cen krytyczn ma posta C p (S,, T τ) = κ. Podsumowuj c, opcja zªo»ona zostanie zrealizowana, je±li S τ > S gdy jest to call na call, lub put na put. Dla opcji call na put, lub put na call, warunkiem jest by S τ < S. Upro±cimy nieco rozwa»ania zwi zane z wycen, wyprowadzaj c binarne opcje zªo»one. Mo»na z nich zbudowa klasyczne opcje zªo»one; przydadz si równie» do wyceny opcji na akcje, warunkowo zabezpieczonych przed dywidend (sekcja 2.3) Binarne opcje zªo»one. Wªa±ciciel binarnej opcji zªo»onej call otrzymuje opcj b d c instrumentem bazowym za darmo, je±li w dniu wyga±ni cia τ jest ona warta co najmniej κ.

10 38 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Wracaj c do poprzedniego przykªadu, wypªata binarnej opcji zªo»onej call na call wynosi S T je±li S τ S, S T, H bcc (S T ) = 0 w przeciwnym razie. Wyprowadzimy wzór na cen tej opcji. Wiemy,»e C bcc = e rt E Q (H bcc ). Z równania 1.3 (pomijamy tyld nad W (t)) mamy: S τ = Se (r 1 2 σ2 )τ+σw (τ), S T = Se (r 1 2 σ2 )T +σw (T ). Interesuje nas sytuacja gdy S τ S oraz S T. Wyznaczaj c W (τ) i W (T ) z powy»szych wzorów i stosuj c przeksztaªcenia jak we wzorze 1.41 otrzymujemy: S τ > S 1 τ W (τ) < d (S, τ); S T > 1 T W (T ) < d (, T ). Šatwo sprawdzi, korzystaj c z wªasno±ci procesu Wienera,»e zmienne losowe X = 1 τ W τ, oraz Y = 1 T W T maj standardowy rozkªad normalny, korelacj ρ = τ T, oraz wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkªad normalny. Jego g sto± dana jest wzorem n 2 (x, y) = 1 e 2π 1 ρ 2 1 2(1 ρ 2 ) (x2 2ρxy+y 2 ).

11 2.2. OPCJE ZŠO ONE 39 Wyliczmy warto± oczekiwan wypªaty opcji: a b ( Se (r 1 2 σ2 )T yσ T ) n 2 (x, y)dxdy, przy czym, aby skróci zapis, stosujemy oznaczenie a ± = d ± (S, τ), b ± = d ± (, T ). (2.9) Skªadnik caªki podwójnej zawieraj cy wynosi oczywi±cie N 2 (a, b, ρ) (2.10) gdzie N 2 oznacza dystrybuant standardowego dwuwymiarowego rozkªadu normalnego n 2. Liczymy caªk drugiego skªadnika: a b = Se rt a = Se rt a+ Se (r 1 2 σ2 )T yσ T n 2 (x, y)dxdy b b+ e 1 2 σ2 T yσ T n 2 (x, y)dxdy e 1 2 σ2 T (y σ T )σ T n 2 (x σ τ, y σ T )dx dy (Mamy tu proste podstawienia: x = x+σ T oraz y = y+σ T). Wykªadnik funkcji exp w wyra»eniu n 2 (x σ τ, y σ T ) ma posta (x σ τ) 2 2ρ(x σ τ)(y σ T ) + (y σ T ) 2. (2.11) 2(1 ρ 2 ) Rozwini cie drugich pot g w liczniku i wstawienie ρ = τ T daje w wyniku Wobec tego caªka wynosi (x ) 2 2ρx y + (y ) 2 2(1 ρ 2 ) 1 2 σ2 T + y σ T. Se rt a+ b+ n 2 (x, y )dx dy = Se rt N 2 (a +, b +, ρ). Po uwzgl dnieniu caªki 2.10 i zdyskontowaniu dostajemy wzór na warto± binarnej opcji call na call: C bcc = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ).

12 40 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH W podobny sposób mo»na wyprowadzi wzór na warto± opcji binarnej call na put: C bcp = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ). W przypadku binarnej opcji zªo»onej put wªa±ciciel otrzymuje za darmo opcj b d c instrumentem bazowym je±li w chwili τ warto± tego» jest mniejsza ni» κ. Analogiczne wyliczenia daj : C bpc = SN 2 ( a +, b +, ρ) e rt N 2 ( a, b, ρ), dla opcji binarnej put na call, oraz C bpp = e rt N 2 (a, b, ρ) SN 2 (a +, b +, ρ). dla binarnej call na put. Wró my teraz do zwykªych opcji zªo»onych. Jedyne, co musimy dodatkowo (tzn. w porównaniu z opcjami binarnymi) uwzgl dni, to warunkowe premie: wªa±ciciel standardowej opcji zªo-»onej pªaci w chwili τ, je±li opcja zªo»ona zostanie wykonana, tzn. je±li S τ > S (opcja call na call lub put na put) lub je±li S τ < S (opcja call na put, put na call). Wªa±ciciel dªugiej pozycji w opcji zªo»onej ma zatem dodatkowo krótk pozycj w opcji binarnej typu gotówka albo nic. Standardowa opcja call na call lub Przeksztaªcenia w wyra»eniu (2.11) s elementarne, jednak do±»mudne. Mo»e warto je wykona samodzielnie bo zaskakuje w jaki sposób wszystkie skªadniki w magiczny sposób konspiruj si by si poskraca tak, by pod znakiem podwójnej caªki pozostaªa tylko g sto± dwuwymiarowego rozkªadu normalnego. To nie mo»e by przypadek! Rzeczywi±cie nieco inne podej±cie do problemu wyceny opcji daje rezultat w sposób równie prosty jak obliczanie skªadnika (2.10), zob. sekcja 2.4. call na put jest wi c portfelem skªadaj cym si z dªugiej binarnej opcji zªo-»onej call i krótkiej opcji gotówka albo nic. W przypadku zªo»onej opcji put mamy nieco inny zwi zek ni» dla call: w przypadku realizacji wªa±ciciel oddaje w chwili τ opcj bazow za cen realizacji κ, wi c (standardowa) zªo»ona opcja put jest równowa»na z portfelem skªadaj cym si z krótkiej binarnej zªo»onej opcji put i dªugiej opcji gotówka albo nic.

13 2.3. CENA OPCJI WARUNOWO ZABEZPIECZONYCH 41 Mamy ostatecznie: C cc = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) κe rτ N(a ), C cp = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ) κe rτ N( a ), C pc = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ) + κe rτ N( a ), C pp = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) + κe rτ N(a ), gdzie a ± i b ± s analogiczne do d ± we wzorach Blacka-Scholesa-Mertona, zob. równanie (2.9). Uwaga 2.1 Podej±cie do wyceny opcji egzotycznych przez zastosowanie rozkªadu na opcje binarne mo»na znale¹ w [28]. 2.3 Cena opcji warunkowo zabezpieczonych przed wpªywem dywidendy Zastosujemy teraz przedstawion wy»ej wycen binarnych opcji zªo»onych do wyceny opcji na akcje, które byªy w latach notowane na GPW. Byªy to opcje warunkowo zabezpieczone przed wpªywem dywidendy, zob. sekcja B dziemy zakªada,»e znany jest ostatni dzie«notowania akcji z dywidend, oznaczany tu jako τ, oraz warto± D dywidendy. Przyjmiemy te»,»e D jest jedyn dywidend wypªacan w trakcie»ycia opcji. Wªa±ciciel opcji call, warunkowo zabezpieczonej przed dywidend, zaobserwuje,»e w chwili τ zamieni si ona w 1. opcj call o cenie realizacji D, je±li S τ 10D, 2. opcj call o cenie realizacji, je±li S τ > 10D. Wobec tego opcja ta ma tak wypªat jak portfel skªadaj cy si z dªugiej pozycji w dwóch zªo»onych opcjach binarnych wygasaj cych w chwili τ: 1. opcji call na call o cenie realizacji, 2. opcji put na call o cenie realizacji D. (Mamy tu do czynienia z binarnymi, a nie zwykªymi opcjami zªo»onymi gdy» w chwili τ wªa±ciciel nie musi za pªaci za otrzyman now opcj ze zmodykowan cen realizacji.)

14 42 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Tak jak przedtem, nie jest potrzebna warto± ceny realizacji binarnej opcji zªo»onej; wystarczy znajomo± ceny krytycznej S akcji. Jest to wygodne, gdy» opcje zªo»one wchodz ce w skªad portfela maj ró»ne ceny realizacji, natomiast maj t sam, ªatw do wyliczenia warto± krytyczn instrumentu bazowego: wynosi ona oczywi±cie S = 10D. Zastosujemy model akcji z dywidend jak w równaniu (1.14). Mo»emy traktowa opcje na S(t) jako instrument pochodny którego instrumentem bazowym jest skªadowa ryzykowna S(t) instrumentu S(t) (zob. sekcja 1.2.1). Mamy zale»no± S τ = S τ + D, wobec tego cena krytyczna wynosi S = 9D i ceny opcji na akcje, warunkowo zabezpieczonych przed dywidend, mo»na zapisa jako C cdp.c ( S,, T, τ, D) = C bcc ( S,, T, 9D, τ) + C bpc ( S, D, T, 9D, τ), C cdp.p ( S,, T, τ, D) = C bcp ( S, D, T, 9D, τ) + C bpp ( S,, T, 9D, τ). Aby wyrazi ceny opcji jako funkcje ceny akcji notowanej w chwili t = 0, zauwa»my,»e S(0) = S(0) De rτ. W rezultacie otrzymujemy nast puj c formuª na cen opcji call warunkowo zabezpieczon przed dywidend : C cdp.c = (S De rτ )N 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) + (S De rτ )N 2 ( a +, b +, ρ) ( D)e rt N 2 ( a, b, ρ). Warunkowo zabezpieczona opcja put jest portfelem skªadaj cym si z dªugiej put na put o cenie realizacji oraz dªugiej call na put o cenie realizacji D, wobec tego C cdp.p = e rt N 2 (a, b, ρ) (S De rτ )N 2 (a +, b +, ρ) przy czym + ( D)e rt N 2 ( a, b, ρ) (S De rτ )N 2 ( a +, b +, ρ). a ± = d ± (S De rτ, 9D, τ), b ± = d ± (S De rτ,, T ), b ± = d ± (S De rτ, D, T ). Je±li podstawimy D = 0 to b ± = b ± i otrzymamy standardowe równania Blacka-Scholesa-Mertona, wystarczy wykorzysta zale»no± N 2 (a, b, ρ) + N 2 ( a, b, ρ) = N(b).

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4 Zadanie ODP = exp(, 4 )E W () = exp(, )E l (;+ ) (S()) ODP = exp(, )P (S() > ), gdzie oznacza miar martyngaªow. Przy MBS proces cen akcji ma posta S(t) = S() exp[t(µ, 5σ ) + σw t ], gdzie {W t, t } jest

Bardziej szczegółowo

Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe

Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów walutowych { opcje barierowe Ewa Kijewska BRE Bank 16 maja 2008 Ewa Kijewska (BRE Bank) Rynkowa wycena egzotycznych instrumentów pochodnych kursów

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR

Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR Jesteś tu: Bossa.pl Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR Depozyt zabezpieczający dla pozycji w kontraktach opcyjnych wyznaczany jest za pomocą Modelu Portfelowej Kalkulacji Ryzyka. Czym jest

Bardziej szczegółowo

Opcje. Dr hab Renata Karkowska; Wydział Zarządzania UW

Opcje. Dr hab Renata Karkowska; Wydział Zarządzania UW Opcje 1 Opcje Narysuj: Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Profil wypłaty dla nabywcy opcji sprzedaży. Profil wypłaty dla wystawcy opcji kupna. Profil wypłaty dla wystawcy opcji sprzedaży. 2 Przykład

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK Akcje Akcje są papierem wartościowym reprezentującym odpowiedni

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie:

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie: Opcje na GPW (III) Na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych notuje się opcje na WIG20 i akcje niektórych spółek o najwyższej płynności. Każdy rodzaj opcji notowany jest w kilku, czasem nawet kilkunastu

Bardziej szczegółowo

Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych

Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych Baza danych - Access 1 Baza danych Jest to zbiór danych zapisanych zgodnie z okre±lonymi reguªami. W w»szym znaczeniu obejmuje dane cyfrowe gromadzone zgodnie z zasadami przyj tymi dla danego programu

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007 GEO-SYSTEM Sp. z o.o. 02-732 Warszawa, ul. Podbipięty 34 m. 7, tel./fax 847-35-80, 853-31-15 http:\\www.geo-system.com.pl e-mail:geo-system@geo-system.com.pl GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Opcje Strategie opcyjne 1 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Analiza Portfela współczynnik Beta (β) Opcje giełdowe wprowadzenie Podstawowe strategie opcyjne Strategia Protective

Bardziej szczegółowo

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne?

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne? Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. OPCJE Opcja jest prawem do kupna lub sprzedaży określonego towaru po określonej cenie oraz w z góry określonym terminie. Stanowią formę zabezpieczenia ekonomicznego dotyczącego ryzyka niekorzystnej zmiany

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu Opcje giełdowe Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI Instrument pochodny (kontrakt opcyjny), Asymetryczny profil wypłaty, Możliwość budowania portfeli o różnych profilach

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego

Bardziej szczegółowo

OPCJE NA GPW. Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004

OPCJE NA GPW. Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004 OPCJE NA GPW Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004 CO TO JEST OPCJA, RODZAJE OPCJI Opcja - prawo do kupna, lub sprzedaży instrumentu bazowego po

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

OPCJE FINANSOWE, W TYM OPCJE EGZOTYCZNE, ZBYWALNE STRATEGIE OPCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA DARIA LITEWKA I ALEKSANDRA KOŁODZIEJCZYK

OPCJE FINANSOWE, W TYM OPCJE EGZOTYCZNE, ZBYWALNE STRATEGIE OPCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA DARIA LITEWKA I ALEKSANDRA KOŁODZIEJCZYK OPCJE FINANSOWE, W TYM OPCJE EGZOTYCZNE, ZBYWALNE STRATEGIE OPCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA DARIA LITEWKA I ALEKSANDRA KOŁODZIEJCZYK OPCJE Opcja jest umową, która daje posiadaczowi prawo do kupna lub sprzedaży

Bardziej szczegółowo

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na WIBOR

Kontrakty terminowe na WIBOR Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

Część X opcje indeksowe. Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego

Część X opcje indeksowe. Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego Część X opcje indeksowe Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego Agenda 1. Co to jest indeks? 2. Obliczanie indeksu 3. Kontrakty indeksowe 4. Opcje indeksowe 5. Syntetyki Co to jest indeks? Indeks

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Wykªad 3. Funkcje skrótu

Wykªad 3. Funkcje skrótu Wykªad 3 Funkcje skrótu Damian Niwi«ski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Funkcje jednokierunkowe Podstawowa intuicja funkcji jednokierunkowej jest: ªatwo obliczalna, ale trudno odwracalna,

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ?

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? Za pośrednictwem platformy inwestycyjnej DIF Freedom istnieje wiele sposobów inwestowania w ropę naftową. Zacznijmy od instrumentu, który jest związany z najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym

Bardziej szczegółowo

Instalacja programu. Omówienie programu. Jesteś tu: Bossa.pl

Instalacja programu. Omówienie programu. Jesteś tu: Bossa.pl Jesteś tu: Bossa.pl Program Quotes Update to niewielkie narzędzie ułatwiające pracę inwestora. Jego celem jest szybka i łatwa aktualizacja plików lokalnych z historycznymi notowaniami spółek giełdowych

Bardziej szczegółowo

Rynek opcji walutowych. dr Piotr Mielus

Rynek opcji walutowych. dr Piotr Mielus Rynek opcji walutowych dr Piotr Mielus Rynek walutowy a rynek opcji Geneza rynku opcji walutowych Charakterystyka rynku opcji Specyfika rynku polskiego jako rynku wschodzącego 2 Geneza rynku opcji walutowych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Strategie opcyjne Opcje egzotyczne 2 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają, o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania

Bardziej szczegółowo

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany

Bardziej szczegółowo