ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH"

Transkrypt

1 ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH WYKAZ PRZYRZĄDÓW:. Wahadło sprzężone. Linia metrowa 3. Szalka wagi 4. Statyw 5. Odważniki 6. Ostrze pryzmatyczne do wyznaczania środka ciężkości WYKONANIE ZADANIA:. Dokonaj symetryzacji wahadeł (punktów zaczepienia sprężyny, okresów wahań.. Dokonaj pomiaru okresu drgań wahadeł. 3. Dokonaj pomiar okresu drgań wahadeł sprzężonych dla ruchu w przeciwfazie. 4. Dokonaj pomiar okresu dudnień i okresu drgań wahadeł przy występowaniu dudnień. 5. Dokonaj pomiaru okresu drgań przy jednym z wahadeł unieruchomionym. 6. Za pomocą statywu, szalki odważników i skali mikrometrycznej dokonanej statycznego pomiaru stałej sprężyny. UWAGA: Należy wykonać przynajmniej z punktów i 4. Literatura do zadania 8 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Warszawa , 7.4; F.C. Crawford, Fale, Warszawa 97. str. 48-5, 00-0; C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, Warszawa 969. Rodz. 7;

2 ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH I. Wstęp Będziemy zajmować się dwoma wahadłami fizycznymi połączonymi sprężyną (tzw. wahadła sympatyczne jako przykładem oscylatorów sprzężonych. Dla prostoty rozważymy jednakowe wahadła, dla których punkty zaczepienia sprężyny leżą w tych samych odległościach od osi obrotów. Zakładamy również, że w położeniu równowagi sprężyna nie jest napięta (rys.. II. Podstawy teoretyczne. Rozwiązanie równań ruchu Rys.. Wahadła połączone sprężyną. Ruch każdego z wahadeł jest płaskim ruchem obrotowym wokół ustalonej osi. W tym przypadku równanie ruchu ma postać: d φ I = D i ( gdzie: φ kąt obrotu bryły, I moment bezwładności bryły liczony względem osi obrotu, D i moment i-tej siły działającej na bryłę liczony względem osi obrotu. (definicje występujących tu wielkości fizycznych podane są w podręcznikach mechaniki i

3 Z rys. widzimy, że i Rys.. D = F r i i gdzie F i jest i-tą siłą działającą na bryłę, przyłożoną w odległości r i od osi obrotu, a F i jest składową tej siły prostopadłą do prostej łączącej oś obrotu i punkt zaczepienia tej siły. Wprowadzamy następujące oznaczenia: m masa wahadła; I moment bezwładności wahadła; r odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu. Wielkości te są jednakowe dla obu wahadeł. Ponao wprowadzamy: φ, φ kąty obrotu poszczególnych wahadeł, k współczynnik charakteryzujący sprężynę (tzw. współczynnik sprężystości. Sprężyna rozciągnięta o x (skurczona gdy x < 0 działa siłą F = kx, k > 0, przeciwstawiającą się sile deformującej sprężynę. Ograniczymy się do małych wychyleń φ tak, aby z dobrym przybliżeniem spełnione były relacje sinφ φ, cosφ. Na każde z wahadeł działają dwie siły: siła ciężkości P = mg przyłożona w odległości r od osi obrotu, o momencie P r = mgr sin φ mgrφ siła sprężystości F = kx przyłożona w odległości a od osi obrotu. 3

4 ϕ π/ - ϕ P Rys. 3. P W celu obliczenia siły sprężystości F należy znaleźć przyrost długości sprężyny x. Z rys. 4 widać, że z dokładnością do czynnika rzędu cosφ x x x czyli x a(sinφ sinφ a( φ φ. Stąd na pierwsze wahadło działa siła F = kx ka( φ, φ a na drugie ta sama co do wartości, lecz przeciwnie skierowana F = F = ka( φ. φ ϕ ' F ϕ ϕ F X Rys. 4. X Ponieważ kąt γ między F a F jest mniejszy od max(φ, φ, więc dla małych wychyleń momenty sił F i F wynoszą: 4

5 F a = F cosγ a ka F a = F cosγ ( φ a ka ( φ φ φ. Ostatecznie otrzymujemy następujące równania ruchu dla wahadeł: d φ I = mgrφ ka ( φ φ d φ I = mgrφ + ka ( φ φ ( Zauważmy, że możemy wprowadzić nowe zmienne: = φ + φ, = φ φ + (3 φ =, φ = Równania ruchu wahadeł w nowych zmiennych dostaniemy dodając i odejmując stronami równania (: d + ω = 0 (4 d + ω = 0 gdzie wstawiliśmy: mgr mgr + ka ω = > 0, ω = > 0. (5 I I Równania (4 opisują ruch harmoniczny dla każdej zmiennej, osobno. Mają one postać równania dla zwykłego wahadła fizycznego. Wynika z tego, że ruch układu wahadeł scharakteryzowany jest przez dwie częstości ω i ω. Nazywamy je częstościami własnymi układu. Rozwiązanie ma postać: ( = A cos( ωt + B sin( ωt (6 ( = A cos( ω + B sin( ω. Stałe A, A, B i B wyznaczamy z warunków początkowych.. Szczególne przypadki ruchu Zbadamy teraz ruch wahadeł w kilku konkretnych przypadkach. Jako czas początkowy t 0 wybieramy 0, co nie zmniejsza ogólności rozważań. Aby jednoznacznie określić ruch układu należy podać cztery stałe, np. położenia i prędkości wahadeł w chwili t 0, czyli φ i (0 oraz definicyjnych dla i (3 łatwo wyznaczamy stałe d d (0,, (0, dφi t =0. Korzystając z równań 5

6 Kładąc w rozwiązaniach (6 otrzymujemy parę równań (7a i (7c. Różniczkując równania (6 stronami i kładąc dostajemy następną parę równań (7b i (7d: (0 = A (7a d = ωb (7b d (0 = A = ω B W ten sposób otrzymaliśmy układ czterech równań liniowych z niewiadomymi A, A, B i B, co pozwala wyznaczyć te niewiadome, a więc jednoznacznie określić rozwiązanie (6. Interesują nas następujące przypadki: a w chwili początkowej oba nieruchome wahadła wychylone są o taki sam kąt α, czyli dφ dφ φ (0 = φ(0 = α, = = 0. Wówczas z (3 wynika, że d d (0 = α, (0 = 0, = = 0. Stałe A, A, B i B obliczymy z równań (7. Wstawiając tak otrzymane stałe do rozwiązań (6 dostajemy ( = α cos( ωt ( = 0 czyli φ( = α cos( ωt φ( = α cos( ωt Jak widać, ruch każdego z wahadeł jest periodyczny. Okres wynosi π T = ω Ponieważ φ ( = φ (, więc sprężyna nie jest napięta, każde z wahadeł porusza się tak, jakby było niezależne od drugiego. (7c (7d b w chwili początkowej oba nieruchome wahadła wychylone są przeciwnie, każde o taki sam kąt α: dφ dφ φ (0 = φ(0 = α, = = 0. po obliczeniach ostatecznie otrzymujemy φ ( = α cos( ω φ( = α cos( ω Ruch jest periodyczny, okres wynosi π T = ω Ponieważ ω > ω, więc T < T. 6

7 Widać z powyższych przykładów, że obserwując ruch wahadeł przy odpowiednio zadanych warunkach początkowych, można wyznaczyć częstości własne układu. c w chwili początkowej wychylone jest tylko jedno wahadło: dφ dφ φ (0 = α, φ(0 = 0, = = 0. Otrzymujemy następujące rozwiązanie: α ω + ω ω ω φ( = (cos( ωt + cos( ω = α cos t cos t (8 α ω + ω ω ω φ( = (cos( ωt cos( ω = α sin t sin t Wprowadzamy nowe zmienne: ω + ω ω ω Ω =, Ω = (9 wtedy φ( = α cos(ωcos(ωt (0 φ( = α sin(ωsin(ωt Jeżeli Ω jest dostatecznie większe od Ω, wówczas ruch wahadeł można traktować jako drgania o częstości Ω i okresie π TT T = = ( Ω T + T ze zmiennymi w czasie amplitudami: cos(ω dla pierwszego i sin(ω dla drugiego wahadła. Na rys. 5 przedstawione są wychylenia wahadeł w funkcji czasu. Amplituda wychyleń jest również periodyczną funkcją czasu o odpowiednio większym niż T okresie: π TT T = = ( Ω T T Oczywiście T nie musi być całkowitą wielokrotnością T. Mówimy, że mamy do czynienia z dudnieniami o częstości Ω. W czasie ruchu energia przekazywana jest między wahadłami. Gdy jedno z nich spoczywa, wówczas drugie wykonuje drgania z maksymalną amplitudą, następnie oba drgają z pośrednimi amplitudami, a potem drugie zatrzymuje się w położeniu równowagi, podczas gdy pierwsze drga z maksymalną amplitudą. 7

8 Rys. 5. Wychylenie wahadeł w funkcji czasu dudnienia. d Na zakończenie rozważmy ruch jednego z wahadeł, np. pierwszego, gdy drugie jest umocowane w pozycji pionowej. Wtedy φ ( 0 i zgodnie z ( równanie ruchu dla pierwszego wahadła przybiera postać d φ + ω0φ = 0 gdzie mgr + ka ω 0 = > 0. (3 I Rozwiązaniem tego równania jest φ( = C sin( ωo t + δ. Stałe C i δ określone są przez warunki początkowe. Ruch wahadła odbywa się z częstością ω 0 i odpowiadającym jej okresie π T 0 =. ω 0 8

9 III. Doświadczenie. Wstęp Celem doświadczenia jest obserwacja przewidywanych zjawisk, sprawdzenie podanych praw oraz wyznaczenie współczynnika sprężystości k. Większość pomiarów dotyczy okresów wahadeł, dlatego poświęcimy nieco uwagi tym pomiarom. Przypominamy, że okresem wahadła nazywamy czas, jaki upłynął od chwili, gdy minęło ono pewne położenie z określoną prędkością do chwili, gdy wróci do tego położenia z tą samą co do wartości i kierunku prędkością. Na przykład wygodnie jest liczyć okres od chwili, gdy wahadło jest maksymalnie wychylone do chwili, gdy wróci ono do tego samego położenia. Zgodnie z założeniami teorii, którą sprawdzamy, należy zawsze wychylać wahadło o małe kąty (kilka stopni. W trakcie jednego pomiaru liczymy czas wielu wahnięć łącznie. Po podzieleniu wyniku przez liczbę wahnięć otrzymamy szukany okres. Postępujemy tak ze względu na błąd związany z czasem naszej reakcji upływającym od spostrzeżenia wahadła w określonym położeniu do naciśnięcia stopera. Dzieląc wyniki czasu łącznego sprawiamy, że wspomniany błąd rozkłada się na części. Gdy wahadło mija ustalone położenie, włączmy stoper i mówimy zero, po pełnym wahnięciu mówimy jeden, itd. aż do ustalonej liczby. W naszym przypadku podczas jednego pomiaru wystarczy liczyć czas 0 drgań łącznie. Pomiary powtarzamy ok. 0 razy. Obliczamy okres średni T śr oraz jego błąd średni kwadratowy δ(t śr. W oparciu o T śr obliczamy częstość ω. Średni błąd kwadratowy znalezionej w ten sposób częstości obliczamy traktując ją jako funkcję wielkości T śr obarczonej błędem δ(t śr : ω δ( ω = δ( Tśr. Tśr Przed przystąpieniem do pomiarów należy sprawdzić, czy zgodnie z naszymi założeniami wahadła są jednakowe (tzn. czy każde z nich ma w granicach błędu ten sam okres oraz czy sprężyna zaczepiona jest w równych odległościach od osi obrotów wahadeł. Uchwyty do sprężyny można przesuwać wzdłuż prętów wahadeł.. Wyznaczanie okresów i częstości własnych układu. Obserwacja dudnień. a Ustalając warunki początkowe jak w przypadku II..a można obserwować drgania z częstością ω. Zauważyliśmy wówczas, że w czasie tego ruchu sprężyna faktycznie nie ulega odkształceniu. W tej sytuacji lepiej jest rozłączyć wahadła i badać ruch dowolnego z nich (założyliśmy, że są one jednakowe. Będzie to również ruch okresowy z częstością ω. Aby przekonać się o tym, wystarczy rozwiązać jedno z równań ( w przypadku, gdy nie ma sprężyny (k = 0. π Wyznaczamy okres T, odpowiadającą mu częstość własną układu ω =. T Obliczamy błędy. b Ustalamy warunki początkowe jak w przypadku II..b. W chwili t 0 = 0 oba nieruchome wahadła wychylone są o równe co do wielkości bezwzględnej, a przeciwne kąty. Teoretycznie nie ma znaczenia, czy wahadła są rozsunięte (rys. 6a czy zsunięte (rys. 6b, wygodniej jest jednak zrealizować drugi przypadek. Zbliżamy wahadła ku sobie. Sprężyna jest teraz skurczona. Ponieważ ma ona 9

10 tendencję do wyginania się w łuk, należy na tyle zbliżyć wahadła, aby wygięcie to nie wystąpiło jeszcze, w przeciwnym razie zmienia się współczynnik sprężystości k. Związujemy nitką końce zsuniętych wahadeł. W równowadze oba nieruchome wahadła będą symetrycznie wychylone ku sobie. Po przepaleniu nitki nastąpi ruch opisany w punkcie II..b. Jest to ruch okresowy z częstością ω. Obserwując dowolne z wahadeł wyznaczamy okres T i odpowiadającą mu częstość własną π układu ω =. Obliczamy błędy. T c Znając odpowiadające częstościom własnym układu okresy T i T możemy wyznaczyć okresy T i T dane wzorami ( i (. Traktując T i T jako funkcje wielkości T i T obarczonych błędami δ(t śr i δ(t śr (do obliczeń bierzemy tu T śr i T śr wyznaczamy błędy kwadratowe ( T oraz ( T : δ δ T i Ti δ( T = (δ( Tśr + (δ( Tśr, i =, Tśr Tśr i. a b c Rys. 6. Schemat sprzężenia dla różnych warunków początkowych d Porównujemy powyższe przewidywania z wynikami doświadczalnymi. W tym celu ustalamy warunki początkowe jak w przypadku II..c. W chwili t 0 = 0 oba wahadła powinny być nieruchome. Jedno z nich jest wychylone o niewielki kąt (dodatni lub ujemny, a drugie spoczywa w położeniu pionowym (rys. 6c. Puszczamy wahadło, obserwujemy dudnienia. Pomiar okresów T i T odbywa się na podstawie obserwacji ruchu jednego z wahadeł. Pomiar okresu T (krótszego: Liczymy tu drgania jednego z wahadeł nie zważając, że odbywają się one ze zmienną amplitudą. Ze względu na warunki doświadczenia nie zawsze można liczyć czas dużej ilości drgań łącznie bez obawy popełnienia większego błędu, może się bowiem zdarzyć, że wahadło zatrzyma się w trakcie liczenia. W układzie zrealizowanym w Pracowni wahadło staje co kilka lub kilkanaście drgań w zależności od położenia punktu zaczepienia sprężyny. W trakcie jednego pomiaru liczymy czas 5 drgań łącznie. Obliczamy 0

11 stąd okres T. Pomiar powtarzamy ok. 0 razy. Obliczamy średnią i średni błąd kwadratowy δ(t śr. Pomiar okresu T (dłuższego: Znów obserwujemy ruch dowolnego wahadła. Należy pamiętać, że od jednego zatrzymania się wahadła do ponownego mija tylko pół okresu. Wygodnie jest rozpocząć liczenie, gdy wahadło staje. W trakcie jednego pomiaru liczymy czas 5 drgań łącznie. Ze względu na błąd spowodowany trudnością ustalenia momentu zatrzymania się wahadła pomiary powtarzamy większą niż dotychczas liczbę razy, np. 0. Obliczamy T i δ( T. Porównujemy otrzymane wyniki z przewidywaniami opartymi na podstawie pomiarów opisanych w punktach III..a i III..b. e Okres T 0 mierzymy obserwując ruch dowolnego z wahadeł, podczas gdy drugie umocowane jest za pośrednictwem statywu w pozycji pionowej. 3. Wyznaczanie współczynnika k sprężystości sprężyny a Metoda dynamiczna Należy posłużyć się równaniami (5 lub pierwszym z równań (5 i równaniem (3. Można też zastosować wszystkie równania (5 i (3 i wyznaczyć niezależne dwie wartości współczynnika k. Potrzebną wartość masy m uzyskujemy przez ważenie wahadła lub wykorzystując informację podaną na wahadle. Odległość r środka masy wahadła od osi obrotu znajdujemy równoważąc wahadła ułożone w poziomej pozycji na pryzmatycznym ostrzu (rys. 7. Wahadła należy w tym celu zdjąć ostrożnie z łożysk, a po pomiarze ułożyć precyzyjnie na powrót w ich właściwych łożyskach. śr śr Rys. 7. b Metoda statyczna Współczynnik k wyznaczamy mierząc przyrost długości sprężyny pod wpływem znanego przyrostu obciążenia (rys. 8.

12 Rys. 8. Czy wyznaczone obiema metodami współczynniki k są jednakowe w granicach błędów pomiaru? Skomentuj wyniki. Uwaga: czerwona kreska na pręcie wahadła znajduje się w odległości 5 cm od osi obrotu. Literatura do ćwiczenia 8 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Warszawa , 7.4; F.C. Crawford, Fale, Warszawa 97. str. 48-5, 00-0; C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, Warszawa 969. Rodz. 7

13 3