Zintegrowane sterowanie systemami zaopatrzenia w wodę pitną
|
|
- Nina Szczepańska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zespół Iteligetych Systemów Wspomagaia Decyzji i Sterowaia Semiarium Wydziałowe Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Wydział Elektrotechiki, Automatyki, Iformatyki i Elektroiki Kraków, 22 czerwca 2004r. Zitegrowae sterowaie systemami zaopatrzeia w wodę pitą Prezetacja wyików rozprawy habilitacyjej Przedstawia: Kazimierz Duzikiewicz,, dr iż. 1
2 1. Wprowadzeie Pla prezetacji: Pla prezetacji Ważo ość problemu, Cele działaia aia systemu, Różorodość sposobów realizacji celów, Tematy rozważae ae w rozprawie 2. Dwupoziomowa struktura zitegrowaego sterowaia systemem zaopatrzeia w wodę pitą Przesłaki struktury hierarchiczej, Problem sterowaia systemem górego g poziomu, Problem sterowaia systemem dolego poziomu 3. Modele fizycze i modele dla potrzeb sterowaia systemem Modelowaie hydrauliki i jakości wody, Modele dla problemów w sterowaia i estymacji górego g poziomu, Modele dla problemów w sterowaia dolego poziomu 4. Algorytmy sterowaia i estymacji systemu górego poziomu Rozwój j algorytmów w problemu optymalizacyjego sterowaia, Rozwój algorytmów w estymacji 5. Algorytmy sterowaia i estymacji systemu dolego poziomu Modele puktowo parametrycze, Estymacja parametrów w modeli puktowo parametryczych, Dopuszczale w sposób b krzepki sterowaie predykcyje z zastosowaiem stref bezpieczeństwa 6. Podsumowaie 2
3 Wprowadzeie O rozprawie: Badaia związae zae z tematyką rozprawy były y prowadzoe w okresie ostatich sześciu lat w Zespole Iteligetych Systemów, prowadzoym przez Prof. M. A. Brdysia Badaia wspierae były y przez Komitet Badań Naukowych projekt badawczy "Zitegrowae sterowaie operatywe produkcją i dystrybucją wody pitej w systemach wodociągowych miast średiej wielkości - SOPiD" " Nr 8 T11A ; realizacja , budżet projektu ~ PLN; rola w projekcie: kierowik; ocea projektu przez KBN: zakomity Tematyka rozprawy zalazła a kotyuację i rozszerzeie w ramach kolejego projektu badawczego KBN Moitorowaie i sterowaie jakości cią wody w systemach dostarczaia i dystrybucji (SDiDW( SDiDW) wody pitej MiSterJa Nr 4 T11A ; realizacja , budżet projektu ~ PLN; kierowik projektu: Prof. M.A. Brdyś; rola w projekcie: główy g wykoawca 3
4 Wprowadzeie Część prac była a fiasowaa przez projekt badawczy 5PR UE SMAart Cotrol of wastewater system SMAC EVK1-CT CT ; realizacja , budżet całkowity projektu Euros; budżet projektu w PG Euros, dofiasowaie projektu w PG przez KBN PLN; ; rola w projekcie: kierowik w PG Badaia związae zae z tematyką rozprawy zostały y zakończoe. Przygotowaa została a wersja robocza mauskryptu rozprawy 4
5 Uwarukowaia Wprowadzeie Zadaie zaopatrzeie miast w wodę w wymagaej ilości i o określoej jakości w czasie wyzaczoym potrzebami odbiorców zmiejszaie się zasobów dyspozycyjych wody degradacja jakości ujmowaej wody Wymagaia optymalizacja zaspokajaia zapotrzebowaia a wodę gwaracja spełiaia przez wodę wymagań jakości Zastosowaie zaawasowaych systemów sterowaia (struktury i algorytmy) 5
6 Wprowadzeie Zadaie zaopatrzeie miast w wodę w wymagaej ilości i o określoej jakości w czasie wyzaczoym potrzebami odbiorców Realizowae przez systemy zaopatrzeia w wodę Elemet cyklu użytkowaia wody, poprzez źródła zasobów wody związay z cyklem hydrologiczym Ujmowaie i trasport wody surowej Uzdatiaie wody Dostarczaie i dystrybucja wody uzdatioej Użytkowaie komuale i przemysłowe wody Syoimy - system zaopatrzeia w wodę: system wodociągowy system produkcji i dystrybucji wody system dostarczaia i dystrybucji wody Odprowadzaie ścieków oczyszczoych Oczyszczaie ścieków Odbiór ścieków 6
7 Wprowadzeie Sterowaie celowe oddziaływaie człowieka lub skostruowaych przez iego urządze dzeń a otoczeie lub a ie urządzeia Cele sterowaia systemem wodociągowym moża zgrupować w trzech kategoriach, uszeregowaych według priorytetu koieczości realizacji: 1. bezpieczeństwo życia i zdrowia użytkowików wody, w którym moża wyróżić: 1a. bezpieczeństwo bakteriologicze 1b. bezpieczeństwo toksykologicze 2. jakość wody (ie parametry), 3. jakość dostawy wody (ciśieie, ilość), 4. efektywość ekoomicza 7
8 Wprowadzeie Cele sterowaia systemem zaopatrzeia w wodę mogą być realizowae przez decyzje i sterowaia, związae z różymi horyzotami czasowymi 1. rozwój i modyfikacje sieci - zmiay topologii i wyposażeia sieci związae z rozwojem aglomeracji, zmiaami struktury poboru wody itp.; 2. moderizacja sieci - zmiay wyposażeia i waruków eksploatacji sieci związae z postępem techiczym i techologiczym dotyczącym sieci wodociągowych itp.; 3. remoty sieci - odowa resursów eksploatacyjych elemetów lub obiektów sieci; 4. obsługa sieci - zmiay topologii sieci wyikające z koieczości wykoaia czyości (okresowych) obsługi; 5. rozpływy i jakość wody w sieci sterowaie operacyje 8
9 Wprowadzeie Problematyka sterowaia operacyjego systemem zaopatrzeia w wodę wchodzi w zakres sterowaia działalo alością podstawową ą przedsiębiorstw wodociągowo - kaalizacyjych,, do której zalicza się działalo alość produkcyją i działalo alość dystrybucyją Sterowaie operacyje systemem zaopatrzeia w wodę polega a wyzaczaiu bieżą żących zadań/ustawień/trajektorii dla poszczególych obiektów systemu oraz a bieżą żącym adzorze pracy całego systemu i obiektów w wchodzących cych w jego skład W staach ormalych zadaia/ustawieia/trajektorie te powiy być tak wyzaczae, by system w każdej chwili pokrywał ilościowe zapotrzebowaie a wodę i spełia iał wymagaia jakościowe, przy jedoczesej miimalizacji kosztów w produkcji i dystrybucji wody, przestrzegając c przy tym wszystkich ograiczeń wewętrzych (techologiczych i techiczych) i zewętrzych (główie ochroa środowiska) 9
10 Dae charakteryzujące elemety systemu, wielkości sterowae Profil lustra wody w zbioriku Wysokość wyiesieia da S t = f(y t ) Stężeie substacji wskaźika jakości Spadek aporu a zaworze Przepływ przez zawór Pobór wody E t h v = f(q v ), D d Q v Zawory y t Zbioriki Poziom wody w zbioriku C m Pompy P p C d Przepływ przez pompę Przyrost aporu hydrauliczego a pompie Pukty moitorowaia jakości Dostawa wody h l(ij) = f(q l ), j h j Q l (ij) l(ij) Rezerwuary i h i E r E i h p = f(q p ), Q p Wprowadzeie Wysokość wyiesieia lustra Węzły Wysokość wyiesieia węzła Napór hydrauliczy w węźle Rurociągi Spadek aporu Przepływ w hydrauliczego w rurociągu rurociągu 10
11 Wielkości sterujące Wprowadzeie S t = f(y t ) y t E r E t Zawory h v = f(q v ), Q v Trajektorie/harmoogramy ustawieia zaworów D d C m P p C d h l(ij) = f(q l ), j h j Q l (ij) l(ij) i h i E i h p = f(q p ), Q p Pukty dozowaia Trajektorie dozowaia substacji - wskaźików jakości Pompy Trajektorie/harmoogramy pracy pomp 11
12 Wprowadzeie Zwrócić ależy uwagę że: W sterowaiu działalo alością podstawową systemów zaopatrzeia w wodę występuj pują dwie grupy zagadień: : problemy budowy układ adów w automatyczej regulacji,, czyli sterowaia bieżą żącego poszczególych procesów techologiczych występuj pujących w obiektach systemu oraz problem koordyacji pracy poszczególych obiektów systemu,, związay zay z wyzaczaiem dla ich bieżą żących zadań,, i z adzorem pracy tych obiektów czyli problem sterowaia operacyjego Dwa podejścia do sterowaia operacyjego systemami zaopatrzeia w wodę pitą: (i) sterowaie regułowe owe, (ii) sterowaie repetycyje,, sterowaie z modelem predykcyjym 12
13 Wprowadzeie Cechy problemu sterowaia operacyjego systemem zaopatrzeia w wodę pitą: dyamika jest zarówo skupioa jak i rozłożoa oa występuj pują sile ieliiowości oraz iestacjoarość szybkości zmia w procesach hydrauliki i jakości sąs róże występowaie iterakcji pomiędzy procesami hydrauliki i jakości sformułowaie owaie aalitycze problemu prowadzi do zagadień ze stosukowo dużą liczbą zmieych i ograiczeń zmiee decyzyje mają charakter hybrydowy sta systemu jest jedyie częś ęściowo dostępy pomiarowo występuje iepewość związaa zaa z wielkościami wejściowymi, parametrami modeli oraz błęb łędami modelowaia i pomiarów występuj pują wymagaia spełiaia ograiczeń a wyjściach w warukach iepewości 13
14 Wprowadzeie Zakres rozprawy habilitacyjej główe tematy Syteza struktur i algorytmów sterowaia operacyjego systemami zaopatrzeia w wodę pitą Trzy urty rozprawy: modele matematycze dla potrzeb sterowaia i estymacji algorytmy estymacji stau i parametrów metody i algorytmy sterowaia 14
15 Występowaie iterakcji pomiędzy hydrauliką i jakością wody Łącze traktowaie tych dwóch aspektów zitegrowae sterowaie optymalizujące Wprowadzeie Róże skale czasowe dyamiki wewętrzej systemu procesy hydrauliki i jakości Hierarchicza struktura systemu sterowaia Koieczość spełieia ograiczeń a wyjściach w warukach iepewości Krzepka dopuszczalość sterowaia 15
16 Sformułowaie problemu sterowaia Aaliza celów łączego sterowaia hydrauliką i jakością, przeprowadzoa w pracy, pokazuje, że jest to w istocie problem wielokryterialy Sformułowaie problemu jako jedokryterialego zagadieia optymalizacyjego z ekoomiczym kryterium jakości oraz podaiem iych celów jako zadań z określoymi poziomami aspiracji koszty pompowaia Miimalizowac + koszty zapewieia jakosci wody speliajac : rowaia dyamiki systemu ograiczeia zada systemu ograiczeia techicze systemu ograiczeia techologicze systemu 16
17 Dwupoziomowa struktura systemu sterowaia Cechy problemu sterowaia systemem zaopatrzeia w wodę: szybkości zmia w procesach hydrauliki i jakości sąs róże występuj pują wymagaia spełiaia ograiczeń a wyjściach w warukach iepewości sformułowaie owaie aalitycze problemu prowadzi do zagadień ze stosukowo dużą liczbą zmieych i ograiczeń Propozycja dwupoziomowej struktury sterowaia; (i) poziom góry sterowaie optymalizujące (sterowaie hydrauliki i jakości (zgrube); (ii) sterowaie korekcyje dozowaia chloru Poziom góry woly Poziom doly - szybki 17
18 Dwupoziomowa struktura systemu sterowaia Sterowaie optymalizujące - Poziom góry Taryfa elektrycza Predykcja poboru wody 24 godziy Zitegrowaa optymalizacja ilości i jakości wody Hierarchicza dwupoziomowa struktura sterowaia zitegrowaego ilością i jakością wody Zoptymalizowae przepływy w sieci Zoptymalizowae dozowaie chloru Moitorowaie ilości i jakości wody Sterowaie operatywe 24 godziy Zoptymalizoway harmoogram pracy pomp Graicze stężeia chloru Zoptymalizoway harmoogram ustawień zaworów Regulator jakości wody Sterowaie korekcyje stężeia chloru - Poziom doly Stężeie chloru w moitorowaych węzłach System dystrybucji wody pitej Korekcja dozowaia chloru Σ Trajektoria dozowaia chloru 18
19 Pierwsza publikacja Dwupoziomowa struktura systemu sterowaia Hierarchical cotrol of itegrated quality ad quatity i water distributio systems (2000). Proc.. of the A.S.C.E Joit Coferece o Water Resources Egieerig ad Water Resources Plaig ad Maagemet, Mieapolis, Miesota, July 30-August 2 wspólie z M.A. Brdys,, T. Chag i W. Chotkowski. Impulsy dla propozycji dwupoziomowej struktury zitegrowaego sterowaia i jej dalszego rozwijaia: 1. Zierolf, M.L., Polycarpou, M.M., Uber, J.G. (1996). A Cotrol Orieted Approach to Water Quality Modelig of Drikig Water Distributio Systems. Proceedigs of 1996 IEEE Coferece o Cotrol Applicatio, Dearbom,, MI, September 15-18, 18, Zierolf,, M.L., Polycarpou,, M.M., Uber,, J.G. (1998). Developmet ad Autocalibratio of a Iput-Output Model of Chlorie Trasport i Drikig Water Distributio Systems. IEEE Trasactio o Cotrol Systems Techology,, Vol. 6, No. 4 19
20 Dwupoziomowa struktura systemu sterowaia 3. Polycarpou, M.M., Uber, J.G., Wag,, Z., Shag,, F., Brdys,, M. (2002). Feedback Cotrol of Water Qality. IEEE Cotrol Systems Magazie, Jue Brdys, M.A., Duzikiewicz, K., Tao, C., Polycarpou M., Wag, Z., Uber J., Propato M. (2002): Hierarchical cotrol of itegrated quality ad quatity i drikig water distributio systems. I IFAC I Iteratioal Coferece "Techology, Automatio ad Cotrol of Wastewater ad Drikig Water Systems TiASWiK'02", Gdańsk sk- Sobieszewo,, Jue Zasadicze rysy propozycji: Problem sterowaia systemem górego g poziomu itegracja sterowaia hydrauliką i jakości cią,, rezygacja z dokłado adości sterowaia jakości cią Problem sterowaia systemem dolego poziomu korekcja sterowaia jakości cią,, założeie o zajomości hydrauliki Podstawowa techologia sterowaia a dwóch poziomach optymalizujące sterowaie predykcyje 20
21 Modele fizycze S t = f(y t ) y t Modele fizycze (white( box models) są podstawą modeli budowaych dla potrzeb estymacji i sterowaia E r E t h v = f(q v ), Q v C m h l(ij) = f(q l ), j hj Q l (ij) l(ij) i h i E i Modele rozprawy są modelami typu grey box (struktura wiedza apriorycza, parametry dae doświadczale C d Przykłady rówań modeli fizyczych D d P p h p = f(q p ), Q p 1) Rówaia algebraicze c C : N + c Q () t Q () t c c = 0 N -c 21
22 Modele fizycze S t = f(y t ) y t E r E t 2) Rówaia różiczkowe zwyczaje h v = f(q v ), Q v C m h l(ij) = f(q l ), j hj Q l (ij) l(ij) i h i E i dy dt () t 1 = Qs s A s ; S () t S C d D d P p h p = f(q p ), Q p 3) Rówaia różiczkowe cząstkowe c l t ( ij ) l( ij ) = Q A l ( ij ) c x l l ( ij ) ( ij ) + Θ ( c ) l ( ij ) 22
23 Modele fizycze S t = f(y t ) y t E r E t h v = f(q v ), Q v D d C m P p C d h l(ij) = f(q l ), j hj Q l (ij) l(ij) i h i E i h 4) Zależości empirycze h p = f(q p ), Ql ( p ij ) f,l ( ij ) l( ij ) ( R,Q ) = R f,l ( ij ) Ql ( ij ) Ql ( ij ) Wzór a spadek aporu hydrauliczego R 1 Haze- Williams L C D HW
24 Modele fizycze Przyjęte w pracy modele wskaźik ików w jakości: a) substacje zachowawcze C A + t = C ( ) ( ) A x,t C x,t v() A + t = 0 t x b) substacje iezachowawcze ( mod el trasportu fizyczego ) 0 C A + = t ( mod el trasportu fizyczego) + ( mod el kietyki reakcji) 0 ( x,t) ( x,t) C C A v() A + t + k A CA t t = ( x,t) 0 24
25 Obserwowae wejścia systemu Nieobserwowae wejścia systemu Nieobserwowae wyjścia systemu System (wodociągowy) Obserwowae wyjścia systemu Model iepewości Ihereta cecha problemu - iepewość ze względu a błędy modelowaia i błęb łędy pomiarowe. Nieobserwowae parametry systemu Obserwowae parametry systemu Niepewość pomiarów Niepewość struktury modelu Niepewe obserwowae wejścia systemu System pomiarowy Niepewe obserwowae parametry systemu/modelu Model systemu (wodociągowego) Niepewość pomiarów Niepewość pomiarów Niepewe obserwowae wyjścia systemu Kategorie iepewości: struktury modelu wartości parametrów wartości pomiarów Estymaty ieobserwowaych parametrów systemu Estymaty ieobserwowaych wejść systemu Estymaty ieobserwowaych wyjść systemu 25
26 Model iepewości Możliwe podejścia do modelowaia iepewości: probabilistycze założeia o stochastyczych charakterystykach iepewości determiistycze założeia o graicach przedziałów iepewości W rozważaym problemie: brak wystarczających cych daych dla sformułowaia owaia założeń o stochastyczych charakterystykach iepewości dążeie do zapewieia krzepkiej dopuszczalości ci sterowaia i gwaratowaej estymacji stau Determiistyczy przedziałowy model iepewości e e y d y ( t, p) = y( t ) y ( t, p) ( ) ( ) g t e t, p e ( t ) y m y 26
27 System górego poziomu Sterowaie optymalizujące - Poziom góry Taryfa elektrycza Predykcja poboru wody 24 godziy Zitegrowaa optymalizacja ilości i jakości wody Zoptymalizowae przepływy w sieci Zoptymalizowae dozowaie chloru Sterowaie operatywe 24 godziy Moitorowaie ilości i jakości wody Zoptymalizoway harmoogram pracy pomp Zoptymalizoway harmoogram ustawień zaworów System dystrybucji wody pitej 27
28 System górego poziomu Problemy systemu górego poziomu: gwaratowaa estymacja stau systemu okresowa łącza estymacja stau i parametrów w systemu zitegrowae optymalizujące sterowaie hydrauliką i jakości cią wody Rozwiązaia problemów systemu górego poziomu 1. Brdys,, M.A., Ulaicki,, B. (1994). Operatioal Cotrol of Water Systems. Pretice Hall 2. Ulaicki,, B. (1993). Metody modelowaia i optymalizacji do symulacji, sterowaia i projektowaia sieci dystrybucji wody, Wyd. Politechiki Białostockiej rozprawa habilitacyja 3. Che, K. (1997). Set Membership Estimatio of State ad Parameters rs ad Operatioal Cotrol of Itegrated Quatity ad Quality Models s of Water Supply ad Distributio Systems rozprawa doktorska 28
29 System górego poziomu Wkład w rozwiązaie problemów systemu górego poziomu: rozwój j algorytmów w gwaratowaej estymacji stau propozycja płatowej liearyzacji w problemie optymalizacyjym estymacji rozwój j algorytmów w zitegrowaego sterowaia optymalizującego propozycja zastosowaia techologii MIP i algorytmów w geetyczych do geerowaia sterowań Modele systemu górego poziomu dla potrzeb sterowaia i estymacji uzyskiwae drogą dyskretyzacji modeli fizyczych 29
30 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Estymacja: Jeda z wymieioych cech problemu sterowaia systemem sta systemu jest jedyie częś ęściowo dostępy pomiarowo Posiadaie pełej iformacji o staie systemu i wielkościach wyjściowych jest iezbęde dla skuteczego sterowaia oraz dla podejmowaia iych decyzji związaych zaych z bieżą żąca i przyszła a pracą systemu Z powodu iestacjoarości ci, wartości parametrów w modeli matematyczych wykorzystywaych przez algorytmy sterowaia muszą być a bieżą żąco uaktualiae. Niezbęde jest użycie u modeli matematyczych i ich właściwa w itegracja z iformacją pomiarową w jede schemat estymacji iemierzoych wielkości (łącza estymacja zmieych i parametrów) 30
31 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Model pomiarów x p = x + e p e p,d e p e p,g Dla poszczególych wielkości i kolejych pomiarów x () i e () i x() i x () i e () i, i 1, k p p,g p p, d = W zwartej postaci model pomiarów M ( k) ( X ( k) ) 0 W zwartej postaci wiedza a priori o wielkościach i parametrach systemu s oraz rówaia modelu systemu D I ( x, ) 0 γ i D ( x, ) II γ = 0 31
32 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Defiiujemy estymatę iezaych wielkości ( x * (k), γ * ) jako zbiór Ω(k) wszystkich wartości zmieych x(k) i parametrów γ, zgodych z pomiarami Y m (k) i wiedzą a priori: Ω(k) {( X(k), γ) : D I (x(i), γ) 0; D II (x(i), γ) = 0; M(k)(X(k)) 0; i=1,...,k} Problem estymacji defiiujemy mi(max){ F( X(k),γ ) x i ( or γ i )} spełiając: ( X(k), γ) Ω(k) 32
33 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Cechy problemu dla systemu zaopatrzeia w wodę: Problem programowaia matematyczego, ieliiowy, iewypukły,, o dużych rozmiarach Propozycja rozwiązaia zalezieie optimum globalego Sprowadzeie do problemu MIP (Mixed( Iteger Programmig) kosztem wprowadzeia dodatkowego błęb łędu liearyzacji i zwiększeia wymiaru, ale rozwiązywaego zywaego efektywie odpowiedio skostruowaym solverem Solver MIP z lieraryzacją płatami 33
34 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Rozważamy, fukcję która jest ieliiowa i ieseparowala h h = f(r,q) Zakładamy kładamy, że e zae sąs przedziały y zmieości R oraz Q,, ozaczoe odpowiedio [R lo, R up ] oraz [Q lo, Q up ] Defiiujmy siatkę puktów ( Rr,Qq ); r = 1,N R, q = 1, NQ Z każdym puktem siatki wiąże ążemy ieujemą zmieą λ rq Fukcję h h = f(r,q) możemy aproksymować za pomocą astępuj pujących zależo ości: N N R λrq R r = R Q r= 1 q= 1 N N Q λ h = λ f ( R, Q ) = R Q r= 1 q= 1 N N R Q r= 1 q= 1 rq Q q λ rq = 1 N N R Q r= 1 q= 1 rq r q 34
35 Dla liearyzacji płatp atamiami rozważaej aej fukcji płaszczyz geerowaych przez trzy pukty według Waruku 1 Góry poziom - gwaratowaa estymacja h = f ( R,Q) ( R,Q, h ) r q rq używa się wybieraymi ymi Waruek 1: Co ajwyżej trzy sąsiedie λ rq mogą mieć wartości iezerowe c 1, NR + NQ 1; ζ c = r N r 1 R ( c N ) q λ r, + 1 ( c+ 1) r Dla wprowadzoego w te sposób zbioru { } ζ..., ζ,..., ζ, c N + N 1 1 R Q ależy postawić waruek, aby był typu sos2 35
36 Q η NQ-2 >0 η NQ-1 >0 Góry poziom - gwaratowaa estymacja R ξ 2 >0 ζ 1 ζ 2 λ 11 λ 21 λ 12 λ 22 λ 13 λ 23 λ 1,NQ-2 λ 2,NQ-2 λ 1,NQ-1 λ 2,NQ-1 λ 1,NQ λ 2,NQ Postawioy waruek ozacza, że tylko z dwoma sąsiedimi przekątymi siatki zmieych mogą być związae iezerowe ζ ξ 3 >0 ζ 3 λ 31 λ 32 λ 33 λ 3,NQ-2 λ 3,NQ-1 λ 3,NQ Wady: Duża liczba owych zmieych ζ NR-2 λ NR-2,1 λ NR-2,2 λ NR-2,3 λ NR-2,NQ-2 λ NR-2,NQ-1 λ NR-2,NQ Zalety: Prosta kostrukcja liearyzacji ζ NR-1 λ NR-1,1 λ NR-1,2 λ NR-1,3 λ NR-1,NQ-2 λ NR-1,NQ-1 λ NR-1,NQ Łatwe oszacowaie ograiczeń a błąd liearyzacji λ NR,1 λ NR,2 λ NR,3 λ NR,NQ-2 λ NR,NQ-1 λ NR,NQ ζ NR >0 ζ NR+1 >0 ζ NR+2 ζ NR+NQ-3 ζ NR+NQ-2 ζ NR+NQ-1 36
37 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Fragmet systemu zaopatrzeia w wodę miasta Lębork 37
38 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Rekursywa estymacja z okem ruchomym o długości L= Nodal He ad [m] H Time (Hour) Pipe Flow Q14_19 [m^3/mi] Ti me (Ho u r) Napór w węźle H29 Przepływ w rurociągu Q
39 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Rekursywa estymacja z okem ruchomym o długości L= Resistace of Pipe R13_ Resistace of Pipe R17_ Time (Hour) Time (Hour) Rezystacja rurociągu R13-19 Rezystacja rurociągu R
40 Góry poziom - gwaratowaa estymacja Publikacja wyików Robust estimatio of itegrated hydraulics ad parameters i water distributio systems. Proc.. of the 4th ASCE Aual Water Distributio Systems Aalysis, 2001 World Water ad Evirometal Resources Cogress, Orlado, Florida, May 20-24, 2001 wspólie z M. A. Brdys,, M. Grochowski,, T. Rutkowski Robust estimatio of variables ad parameters i dyamic water distributio systems (2001). Proc.. of the 9 th IFAC/IFORS/IMACS/IFIP Symposium o Large Scale Systems: Theory & Applicatios,, Bucharest, July 18-20, 2001 wspólie M.A. Brdys,, M. Grochowski,, T.Rutkowski Optimisig model predictive cotroller for hierarchical cotrol of itegrated quality ad quatity i drikig water distributio systems (2002):. I IFAC I Iteratioal Coferece "Techology, Automatio ad Cotrol of Wastewater ad Drikig Water Systems TiASWiK'02", Gdańsk sk-sobieszewo,, Jue wspólie z Trawicki D., Brdyś M.A. 40
41 System dolego poziomu Problemy systemu dolego poziomu: modele dla potrzeb sterowaia a dolym poziomie estymacja parametrów w modeli systemu dolego poziomu wyzaczeie dopuszczalych sterowań przy istieiu ograiczeń a wyjście systemu i iepewości modelu i pomiarów decetralizacja sterowaia Graicze stężeia chloru Zoptymalizowae przepływy w sieci Regulator jakości wody Sterowaie korekcyje stężeia chloru - Poziom doly Stężeie chloru w moitorowaych węzłach Zoptymalizowae dozowaie chloru System dystrybucji wody pitej Korekcja dozowaia chloru Σ Trajektoria dozowaia chloru 41
42 System dolego poziomu Wkład w rozwiązaie problemów systemu dolego poziomu: Niepewość modeli parametryczych systemu Wymagaia dokładości predykcji wyjścia systemu propozycja modeli puktowo parametryczych typu wejście wyjście oraz przestrzei stau kostruktywe algorytmy estymacji parametrów w modeli puktowo - parametryczych 42
43 System dolego poziomu Wkład w rozwiązaie problemów systemu dolego poziomu: Wymagaia spełieia ograiczeń wyjścia systemu krzepkie w sesie dopuszczalości ci sterowaie predykcyje systemem dolego poziomu wykorzystujące przedziałowy model iepewości i strefy bezpieczeństwa kostruktywe algorytm wyzaczaia stref bezpieczeństwa Rozległość systemu i występowaie słabych powiązań decetralizacja wyzaczaia sterowań 43
44 Doly poziom modele parametrycze Podstawa wyprowadzeia modeli parametryczych typu wejście wyjście lub modeli stau: Model dyamiki trasportu i zaikaia chloru w rurociągu c l )( ) ( i, j x,t t + v l ( i, j ) c l )( ) ( i, j x,t t + α l c l )( ) ( i, j x,t = 0 z warukami początkowymi i brzegowymi c ( 0,x) c ( x) l = c ( t,0 ) c ( t) 0, l l = l, 0 Model dyamiki mieszaia i zaikaia chloru w zbioriku d ( V c ) s dt s = Q we, s () t c () t Q () t c () t + α V c () t dvs dt we, s () t = Q wy, s () t Q () t we, s wy, s s s s s 44
45 Doly poziom modele parametrycze z warukami początkowymi s ( 0) Vs, 0 V = c ( 0) s = cs, 0 Model mieszaia w węźw ęźle systemu: c wy, i ( t) = l WE i Q () t l () t c () t l WEi Q () t l l () t + + p Pi p Pi P P p p () t c () t () t p W wyprowadzeiu struktury modeli parametryczych systemu dolego poziomu wykorzystywae sąs rozwiązaia zaia rówar wań dyamiki przy założeiu iezmieości hydrauliki 45
46 Doly poziom modele parametrycze Modele parametrycze systemu dolego poziomu: Wartość wskaźika jakości wody stęż ężeia chloru a wyjściu systemu (węze zeł moitorowaia) lub w zbioriku systemu w wybraej chwili t w zależo ości od wartości tego wskaźika a wejściu systemu (węze zeł dozowaia) w odpowiedich uprzedich chwilach czasu Metoda wyprowadzeia modeli aaliza ścieżek trasportu a) i I D i I D i I D i I D i I D b) c) d) e) j J M j J M j J M j J M j J M 46
47 Doly poziom modele parametrycze Struktura modelu przypadek bez zbiorika y j () t ( ( ) t ) s = ( ) ( ( )) s l s ( ( )) exp α ( ) ( ) s s d s t ui t l p, l i I ( ) p P ( ) s QWE j ( s ) t D, j t j t i, s Postać zwarta Q ( ) d ( ) p, l s ( ( s) t ) y j () t = i I D, j ( t ) p Pj ( t ) i β p ( ) () t u t d () t i p Dalszy rozwój rozwiięcie a przypadek systemów ze zbiorikami Uproszczeie dyskretyzacja opóźień trasportowych 47
48 Doly poziom modele parametrycze Przykład zmieości opóźień trasportowych w czasie 48
49 Doly poziom modele parametrycze Możliwości różej parametryzacji modelu a) d p, d p,i d 2 max d p d p, d p,i d 2 max d p mi d p d 1 d p,i t t 0 t 1 t 2 t 3 = t 0 + T M b) d p, m p,i d 2 mi d p max d p d 1 d p,i t t 0 t 1 = t 0 + T M Przedziały czasowe stałej struktury modelu mi d p d 1 m p,i t t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 = t 0 + T M 49
50 50 Zitegrowae sterowaie systemami zaopatrzeia w wodę pitą Doly poziom modele parametrycze Struktura modeli typu wejście Struktura modeli typu wejście - wyjście wyjście ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = = + = = + = + = + = R Ru u u u Ry y y y max mi s s N 1 k k k N 1 k k k N 1 k k k T u T u y T y d d d d d N 1 s M c s D d d N 1 s M c s M c t θ t φ t θ t φ t θ t φ t t t t t t d t u t b s t y t a d t u t b s t y t a t y θ φ θ φ θ φ
51 Doly poziom modele parametrycze Ogóla procedura estymacji parametrów Dae z obmiarów, pomiarów i dokumetacji techiczej SDiDW - D p, L, e, g( ), D t e t, Predykcja poborów wody z SDiDW - D d Rozwiązaie zadaia sterowaia systemu górego poziomu P p, P v Symulator hydrauliki i jakości (modele typu iejawego) v, Q, c Kalibracja: a) parametrów hydrauliczych R p, R v b) parametrów jakości k b, k f, k w Określeie struktury modelu systemu dolego poziomu (model typu jawego) 1. Dae o hydraulice 2. Aaliza ścieżekek Estymacja parametrów modelu systemu dolego poziomu 3. Dae o jakości 4. Estymacja parametrów Modele typu wejście wyjście lub modele przestrzei stau systemu dolego poziomu 51
52 Doly poziom modele parametrycze Aaliza błędu modelowaia systemu dolego poziomu S c ( ) ( ) T ( ) M t = φ t θ t e ( t ) y + Trudości z oszacowaiem łączego błędu modelowaia wyikającego z: 1. iedokłado adości iformacji o hydraulice systemu, 2. uproszczoego modelu kietyki reakcji chloru, 3. z dyskretyzowaia opóź óźień trasportowych chloru dla dowolych puktów pracy systemu Modele puktowo - parametrycze 52
53 Doly poziom modele puktowo- parametrycze Modele puktowo parametrycze: uzależieie wartości parametrów od puktu pracy systemu - wartości wejść systemu dolego poziomu u h (t) u mi h Trajektoria obliczoa wybraej wielkości hydrauliczej, będącej wejściem systemu dolego poziomu ( t ) u max h ( t ) u( t ) Trajektoria rzeczywista uzasadioa iepewością predykcji poboru wody Graice przedziału zmieości u c t u h ( t ) ( t ) System dolego poziomu Model systemu dolego poziomu S y c M y c ( t ) ( t ) t 0 t 0 + T pq g u c u c (t) Dwie wybrae dopuszczale trajektorie sterowaia jakością d u c Graice przedziału zmieości t t 0 t 0 + T pq 53
54 Doly poziom modele puktowo- parametrycze Dwie kategorie modeli puktowo parametryczych Model puktowo parametryczy pierwszej (I) kategorii: zmiee w czasie parametry, brak błęb łędu modelowaia Modelem puktowo parametryczym kategorii I będziemy b azywać model dla którego rego, dla dowolej dopuszczalej trajektorii wejścia systemu dolego poziomu u( t ) istieje T M trajektoria θ ( t ) taka, że e rówaie r φ( t ) θ ( t ) = y ( t ) daje wartość y M ( t ) rówą wyjściu y S ( t ) systemu dolego poziomu dla t Ξ M Model puktowo parametryczy pierwszej (II) ) kategorii: stałe w czasie parametry, zmiey w czasie błąb łąd d modelowaia Wartości parametrów i błędu zapewiające spełieie waruku rówości wyjścia modelu i systemu wartości parametrów uzgadiających, wartość błędu uzgadiającego 54
55 Doly poziom estymacja parametrów modeli p-p Problem estymacji parametrów modeli puktowo parametryczych θ 2 g θ 2 Zbiory trajektorii parametrów uzgadiających d θ 2 t 0 τ θ 1 g θ 1 j = 1,N E d g (, θ ) Θ θ d θ 1, t = = 1,N ; t j θ Zewętrza aproksymacja zbiorów trajektorii parametrów uzgadiających d g ( t ) Θ ( θ, θ ) N T R j j j ( t ) R : y ( t ) = φ ( t ) θ ( t ) j g θ ( t ) θ, ( t ) 0, j θ d θ j θ d g θ 0; θ 0, j = 1,N E, t = 1,Nt Rozwiązaie zaie problemu estymacji parametrów w modeli p-p p, θ g, θ N R d, θ N R θ N R g,mi N R d,mi θ N R t 0 + T M d,mi θ 1 mi Θ d, θ 1 Θ g, θ 1 g,mi θ 1 θ 1 55
56 Doly poziom estymacja parametrów modeli p-p Zagadieia optymalizacyje problemu estymacji d g [ θ, θ ] = speliajac : arg mi d g j [ θ, θ ; θ ( t )] j θ d θ gdzie : d g ( θ, θ ) d g ( t ) Θ ( θ, θ ) θ J J d,mi II sformułowaie: owaie: g, θ Zagadieie ieliiowe θ g,mi I sformułowaie: owaie: d g g d T g d ( θ, θ ) = ( θ θ ) P( θ θ ) d, g, [ θ, θ ] = Zagadieie liiowo - kwadratowe przy y 0 j ( ) d g arg mi J θ, θ d g [ θ, θ ] spelieiu ograiczeń : g [ ( ) θ ] j T j d j ( t ) = φ ( t ) λ ( t ) θ + 1 λ ( t ) j λ ( t ) 1 d θ d θ dla : 0, θ d,mi g θ g, θ 0 j = 1,N θ E,t g,mi = 1,N t 56
57 Doly poziom estymacja plaowaie eksperymetu Plaowaie eksperymetu - kostki sceariuszy wejść Kombiacja wypukła 0 u mi u ( ) max t u u(2) u(3) u(2) u max u max u u u mi u mi u mi u max u mi u max u(1) u mi u max u(1) Kombiacja wypukła 57
58 Doly poziom estymacja plaowaie eksperymetu Udowodioe twierdzeia: Twierdzeie 1 (dla modeli puktowo parametryczych kategorii I) Niech będzie day zbiór j j { u ( Ξ WE ), y ( Ξ WY ); j = 1,N E } par pełych sceariuszy wierzchołkowych i odpowiadających im pełych obserwacji wyjścia systemu dolego poziomu. Niech dla przeprowadzoych eksperymetów wierzchołkowych trajektorie zbiorów j θ Ξ, j = 1,N, dla których: { } parametrów uzgadiających są ( M ) E j j T j j T j y ( t ) = y ( t ) θ y ( t ) + u ( t ) θ u ( t ) j T j = ( φ ( t )) θ ( t ); t =1,N t j Niech dodatkowo, ( Ξ ), j = 1,N Θ θ { θ } ależą do hiperprostopadłościau ( d,θ g ) M E, czyli θ j d g ( Ξ M ) Θ ( θ, θ ); j = 1,N E Wówczas, dla dowolego pełego sceariusza wejścia, określoego wzorem: istieje trajektoria ( t ) u N E N E j ( Ξ ) λ u ( Ξ ), λ 0, λ 1 = WE j WE j j = j = 1 j = 1 θ parametrów uzgadiających, czyli spełiająca: i ależąca do Θ, czyli: y T T ( t ) = y ( t ) θ y ( t ) + u( t ) θ u ( t ) T = ( φ ( t )) θ ( t ) d g ( Ξ ) Θ ( θ ) θ M,θ 58
59 Doly poziom estymacja wyiki badań Przykładowa sieć wodociągowa: Tak Source Pump
60 Doly poziom estymacja wyiki badań Ograiczeia wartości parametru Warotść Krzepka predykcja wyjścia Stężeie chloru x 0.25 [mg/l] Krok czasowy Wyjście modelu omialego Wyjście systemu Krok czasowy 60
61 Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie Krzepka dopuszczalość sterowań Wyjście r g y (t +H p t ) Strefa referecyja Dwie cechy sterowaia a dolym poziomie: y(t) r d koieczość spełieia ograiczeń a wyjściu iepewość modelu Przeszłość Przyszłość t t +2 t + i Czas t +1 t +H m t +H p 61
62 Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie Jak sprawdzić krzepką dopuszczalość sterowań? Wyjście r g y (t +H p t ) Strefa referecyja r d y(t) krzepka predykcja Przeszłość Przyszłość t t +2 t + i Czas t +1 t +H m t +H p 62
63 Krzepkie strefy bezpieczeństwa Wyjście r g Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie y (t +H p t ) Strefa referecyja r d y(t) Przeszłość t t +1 t +2 Przyszłość t + i t +H m t +H p Cel: zalezieie dopuszczalie krzepkich i dobrych sterowań Propoowae podejście: 1. sterowaie predykcyje w oparciu o model omialy 2. zastosowaie stref bezpieczeństwa Czas 63
64 Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie Struktura krzepkiego sterowaia predykcyjego Orygiale ograiczeia wyjścia Przeszłe sterowaie Przeszłe stay wyjścia Wyzaczaie stref bezpieczeństwa Strefy bezpieczeństwa Optymalizacja predykcyja Modele puktowo parametrycze omiale Propoowae sterowaie Krzepka predykcja wyjścia Trajektorie graicze wyjścia Modele puktowo parametrycze z przedziałową iepewością parametrów i błędu Możliwość aruszeia orygialych ograiczeń wyjścia Tak Nie Akceptacja propoowaego sterowaia 64
65 Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie Problem optymalizacyjy sterowaia predykcyjego systemu dolego poziomu oparty o model omialy w pełi sformułoway oway przez określeie: modelu omialego systemu dolego poziomu i predykcji wyjścia tego systemu w oparciu o te model; ograiczeń wejścia i wyjścia systemu; fukcji kryterialej (fukcji celu) sterowaia predykcyjego; metody rozwiązaia zaia zagadieia optymalizacyjego sterowaia predykcyjego 65
66 Doly poziom dopuszczalie krzepkie sterowaie Składowe fukcji kryterialej 1. składow adowa miimalizująca wysiłek eergetyczy związay zay ze sterowaiem 2. składow adowa wymuszająca osiągaie określoego stau wyjścia systemu a końcu horyzotu predykcji 3. składow adowa wprowadzająca kary za zmieość wyzaczaych sterowań Zalezc : Uˆ = arg mi J ( Uˆ ) speliajac : ograiczeia mod elu ograiczeia wejscia ograiczeia wyjscia Uˆ ; omi alego 66
67 Doly poziom krzepka predykcja Krzepka predykcja służy s y sprawdzeiu krzepkiej dopuszczalości ci wyzaczoego w oparciu o model omialy sterowaia Uwzględia: - modele z aktualym sceariuszem iepewości - iepewość pomiarów - iepewość realizacji sterowań Zagadieie optymalizacyjego programowaia ieliiowego Możliwe zastosowaie metod liearyzacji zapropoowaych dla poziomu omu górego 67
68 y g v 1 max y 1 g v i g y p,p Doly poziom krzepka predykcja Y max max y H p g y p,1 max y i g v H p g y p,h p d v 1 d y p,1 d v i d y p,p d y p,h p d v H p mi y 1 mi y i Y mi t t t +H p Waruki krzepkiej dopuszczalości Y d p mi g max Y Yp Y V 0 mi y H p 68
69 Strefy bezpieczeństwa y Doly poziom wyzaczaie stref bezpieczeństwa g σ 1 max y 1 g σ i max y i Y max max y H p g σ H p d σ 1 max y1, σ mi y1, σ Orygiale ograiczeia d σ i max yi, σ mi yi, σ Zmodyfikowae ograiczeia max Y Σ mi Y Σ y y max, σ H p mi, σ H p d σ H p mi y 1 t t T T T t +H p Σ d = g Σ = Σ Σ = Σ mi y i Y mi d d mi mi mi mi d mi [ σ1, K, σ H ] = [( y ) ( )] = [ ] p 1, σ y1, K, yh p, σ yh Y p Σ Y, T g g T max max max max max max σ1, K, σ = [( y1 y1, σ ), K, ( y y, σ )] = [ Y YΣ ] d g H p H p H p T, mi y H p 69
70 Doly poziom wyzaczaie stref bezpieczeństwa Zadaie wyzaczaia krzepkich stref bezpieczeństwa Wartości stref bezpieczeństwa Σ Trajektoria sterowaia predykcyjego Û = CU (,Σ ) Krzepka predykcja wyjścia Y P = C P (,C (,Σ )) U Miara aruszeia ograiczeń wyjścia V = C V (,C (,C (,Σ ))) P U V (,Σ ) Pierwote sformułowaie V ( Σ ) 0 c ( v k ) lub v d p ( ) g Σ 0, v ( ) p Σ 0 p = 1, K, H p c ( ) ( + v + ε ) k v = k v k v k + 4ε 0 2 jezeli jezeli v v + jezeli ε v k k + > ε k + < ε + ε + ε + ε 70
71 Doly poziom wyzaczaie stref bezpieczeństwa Drugie sformułowaie ( Σ ) 0 c d Σ g = 0, c Σ C = ( ) ( ) p p p = 0 p = 1, K, H Zapropoowao iteracyjy algorytm wyzaczaia stref bezpieczeństwa 1. Σ ( Σ ) ( + 1) ( ) ( ) ( ) = Σ + γ C γ - współczyik relaksacji 2. Σ ( ) ( + 1) ( ) ( ) ( ) = Σ + Γ C Σ Γ - diagoala macierz relaksacji Γ γ = d 1 O γ d p 0 O γ d H p γ g 1 O 0 γ g p O γ g H p 2H 2H p p 71
72 Doly poziom wyzaczaie stref bezpieczeństwa Sformułowao zadaie wyzaczaia stref bezpieczeństwa jako: Zalezc : Σ = spe liajac : C Σ arg ( Σ ) Σ mi = 0 Σ dop ( G( Σ, Ψ )) i wykazao zbieżość zapropoowaych algorytmów iteracyjych wykorzystując podejście możików Lagrage a i algorytm iteracyjy Newtoa {[ diag[ C( )]] 1 } γ = max Σ 0 Γ [ [ ( )]] diag C 1 = Σ 0 72
73 Doly poziom wyzaczaie stref bezpieczeństwa Iteracyje wyzaczaie stref bezpieczeństwa
74 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae Sterowaie zdecetralizowae Pętla 1 sterowaia predykcyjego Predykcja iterakcji Lokaly regulator jakości u2( t 1) z pętli 2... u ( t 1) z pętli Pomair y 1 ( t) Dozowaie u 1 ( t)... SDiDW Strefa 1 1. Predykcja iterakcji w oparciu o iformację z chwili t-1t 2. Wyzaczeie sterowaia lokalego z wykorzystaiem przedstawioych metod u 1( t 1) z pętli - 1 u ( t 1 1) z pętli 1 Predykcja iteracji Pętla sterowaia predykcyjego Lokaly regulator jakości Dozowaie Pomiar (t) u (t) y Strefa Węzeł dozowaia Węzeł moitorowaia 74
75 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae Obszar iterakcji Strefa pętli sterowaia Strefa pętli sterowaia 1 75
76 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae 76
77 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae 77
78 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae Podsumowaie możliwości przyszłego rozwoju tematyki rozprawy 1. Wielowskaźikowy problem jakości wody 2. Dopuszczalość a ieskończoym horyzocie 3. Stosowalość metod 4. Perspektywy wdrożeń 78
79 Doly poziom sterowaie zdecetralizowae 79
80 80
81 81
Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoArtykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej
1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowoSYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN
ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoKonica Minolta Optimized Print Services (OPS) Oszczędzaj czas. Poprawiaj efektywność. Stabilizuj koszty. OPS firmy Konica Minolta
Koica Miolta Optimized Prit Services (OPS) Oszczędzaj czas. Poprawiaj efektywość. Stabilizuj koszty. OPS firmy Koica Miolta Optimized Prit Services OPS Najlepszą metodą przewidywaia przyszłości jest jej
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu
dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Bardziej szczegółowoSiemens. The future moving in.
Ogrzewaczy wody marki Siemes zae są a rykach całego świata. Ich powstawaiu towarzyszą ambite cele: stale poszukujemy iowacyjych, przyszłościowych rozwiązań techologiczych, służących poprawie jakości życia.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Modele i arzędzia optymalizacji w systemach iformatyczych zarządzaia Prof. dr hab. iż. Joaa Józefowska Istytut Iformatyki Orgaizacja zajęć 8 godzi wykładów prof. dr hab. iż. J. Józefowska www.cs.put.poza.pl/jjozefowska
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU
Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWp³yw wdro enia Zintegrowanego Systemu Informatycznego na przewagê konkurencyjn¹ Grupy LOTOS SA
Wp³yw wdro eia Zitegrowaego Systemu Iformatyczego a przewagê kokurecyj¹ Grupy LOTOS SA Warszawa, 22 listopada 2004 r. Tadeusz Rogaczewski, Szef Biura Zarz¹dzaia Iformatyk¹ Warszawa, 22 listopada 2004 r.
Bardziej szczegółowoNa podstawie art. 55a ustawy z dnia 7 lipca 1994 r. Prawo budowlane (Dz. U. z 2013 r. poz. 1409) zarządza się, co następuje:
Projekt z dia 16.12.2013 r. Rozporządzeie Miistra Ifrastruktury i Rozwoju 1) z dia.. 2013 r. w sprawie metodologii obliczaia charakterystyki eergetyczej budyku i lokalu mieszkalego lub części budyku staowiącej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoo zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw.
SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ VIII KADENCJA Warszawa, dia 12 listopada 2013 r. Druk r 487 MARSZAŁEK SEJMU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pa Bogda BORUSEWICZ MARSZAŁEK SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zgodie
Bardziej szczegółowoWallace & Tiernan Analizator/Kontroler serii SFC Stała analiza parametrów wody
Wallace & Tiera Aalizator/Kotroler serii SFC Stała aaliza parametrów wody Ogóle Aalizator Wallace & Tiera serii SFC jest przezaczoy do ieprzerwaej kotroli róŝorodych parametrów i aalizy jakości wody. MoŜe
Bardziej szczegółowoANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 255-26, Gliwice 26 ANALIZA KSZTAŁTU SEGMENTU UBIORU TERMOOCHRONNEGO PRZY NIEUSTALONYM PRZEWODZENIU CIEPŁA RYSZARD KORYCKI DARIUSZ WITCZAK Katedra Mechaiki
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA CAŁKOWITOLICZBOWEGO W UTRZYMANIU POJAZDÓW I MASZYN. Paweł Mikołajczak
MOTROL, 007, 9, ZASTOSOWANE PROGRAMOWANA AŁKOWTOLZBOWEGO W UTRZMANU POJAZDÓW MASZN Katedra Budowy, Eksploatacji Pojazdów i Maszy Uiwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztyie Streszczeie. W artykule przedstawioo
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoZasilanie budynków użyteczności publicznej oraz budynków mieszkalnych w energię elektryczną
i e z b ę d i k e l e k t r y k a Julia Wiatr Mirosław Miegoń Zasilaie budyków użyteczości publiczej oraz budyków mieszkalych w eergię elektryczą Zasilacze UPS oraz sposoby ich doboru, układy pomiarowe
Bardziej szczegółowoAnaliza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych
zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoMichał Księżakowski Project Manager (Kraków, 17.02.2012)
Ekoomicze aspekty budowy biogazowi i dystrybucji biogazu Michał Księżakowski Project Maager (Kraków, 17.02.2012) Czyiki warukujące budowę biogazowi Uwarukowaia Ekoomicze Prawe Techologicze Aspekty Prawe
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekoomisty Mieriki wzrostu gospodarczego dr Baha Kaliowska-Sufiowicz Uiwersytet Ekoomiczy w Pozaiu 7 marca 2013 r. Ayoe who believes that expotetial growth ca go o for ever i a fiite world
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoTwierdzeie Closa Problem: Jak duże musi być m, aby trzysekcye pole Closa ν(m,, r) )było ieblokowale w wąskim sesie? Twierdzeie Closa: Dwustroe trzysek
Sieci i Systemy z Itegracą Usług Trzysekcye pole Closa m r r m Własości kombiatorycze pól komutacyych Prof. dr hab. iż. Wociech Kabaciński r m Pole Closa est edozaczie defiiowae przez trókę m,, r i ozaczae
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki
52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowo