Elementy teorii przeżywalności

Transkrypt

1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Przyjmijmy, że funkcja przeżycia s(x) = ax + b dla 0 x ω. Znaleźć medianę zmiennej X, jeśli wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) = 60. Zadanie 1.2 Mając funkcje przeżycia s(x) = 1 x P r(10 < X 40). 100 dla 0 x 100 obliczyć µ(x), F (x), f(x), Zadanie 1.3 Funkcja przeżycia określona jest wzorem s(x) = x dla 0 x 100. Znaleźć następujące wartości: f(36), µ(50), E(X). Zadanie 1.4 Mając funkcję przeżycia s(x) = 1 x 100 dla x [0, 100] obliczyć 17p 19, 15 q 36, q 36, µ(36), E(T (36)). Zadanie 1.5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = 1 x 10 e x dla x = 0, 1, 2,..., 9. dla 0 x 10. Obliczyć wartość Zadanie 1.6 Zmienna losowa T (x) ma dystrybuantę daną wzorem t, dla t [0, 100 x) 100 x F x (t) = 1, dla t 100 x. Obliczyć e x, m e (x), V ar(t (x)). Zadanie 1.7 Funkcja intensywności wymierania w pewnym rozkładzie przeżycia jest liniowa µ(x) = a + bx, a > 0, b > 0. Znaleźć funkcję przeżycia s(x), funkcję gęstości rozkładu f(x) oraz dominantę w tym rozkładzie. Zadanie 1.8 Znamy funkcję przeżycia s(x) = 1 ( ) 2 x 100 dla x [0, 100]. Znaleźć oczekiwane dalsze trwanie życia dla czasu trwania równego medianie. Zadanie 1.9 Mając funkcję przeżycia s(x) = (10 x)2 100 dla x [0, 10] obliczyć: 1. przeciętny czas dalszego trwania dla jednostki, która osiągnęła czas t = 1 2. intensywność wymierania dla t = 1 3. prawdopodobieństwo, że jednostka, która osiągnęła czas trwania t = 1 dozna wydarzenia przed upływem czasu t = 2. Zadanie 1.10 Mamy dane t p 30 = Zadanie 1.11 Mając dane obliczyć P r(t (x) > 20) t t µ x+t = 1 85 t t dla t [0, 60]. Obliczyć q 50 oraz µ(50). dla t [0, 85) Zadanie 1.12 Mając dane tp x = ( ) 1 + x 3 dla t x + t obliczyć oczekiwany przyszły czas życia osoby w wieku 41. 1

2 Zadanie 1.13 Obliczyć prawdopodobieństwo, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Weibulla tzn. µ x = kx n, k > 0, n > 0 dożyje wieku największej śmiertelności (chodzi tutaj o taki wiek x, w którym gęstość rozkładu trwania życia (0) jest maksymalna. Zadanie 1.14 Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 108 lat dana jest wzorem 1, dla x [0, 40] 55 x µ x = 2, dla x (40, 108). Wyznaczyć e 25 oraz f 25 (t). 108 x Zadanie 1.15 Załóżmy, że dla kazdego całkowitego t między wiekiem 12 a 40 w pewnej populacji 10% jednostek osiągnających wiek t umiera zanim osiągnie wiek t + 1; 1. znaleźć dla tej populacji prostą funkcję, którą możemy wykorzystać jako funkcję przeżycia s(t); 2. obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 30 lat przeżyje do 35 roku życia. Zadanie 1.16 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = c x dla x [0, c]. Wiadomo, że przeciętna liczba osób dożywających wieku 35 spośród noworodków jest równa Wyznaczyć c+x prawdopodobieństwo, że osoba 10-letnia dożyje wieku 30 lat i umrze przed ukończeniem 45 lat. Zadanie 1.17 Załóżmy, że ˆµ x = µ x k tylko dla x [40, 41) (dla pozostałych ˆµ x = µ x ). Mając dane 30 p 40 = 0, 675, 30ˆp 40 = 0, 725 znaleźć k. Zadanie 1.18 Grupa osób w wieku od 50 do 60 lat życia doświadcza podwyższonej śmiertelności w porównaniu ze śmiertelnościa daną w tablicy podstawowej. Podwyższona śmiertelność jest wyrażona w ten sposób, że do intensywności zgonów dodaje się wartość 0, 01 dla wieku 50 lat, a dla kolejnych lat życia wartości malejące liniowo w sposób ciągły, (czyli w postępie arytmetycznym) do 0 w wieku 60 lat. Wiedząc, że w tablicy podstawowej liczby dożywających wynoszą l 50 = 32669, 9, l 60 = 30039, 8 znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba 50-letnia przeżyje 10 lat. Zadanie 1.19 Jeżeli l x+t = a. Zadanie 1.20 Obliczyć 3 q 4 x+ 1 8 a x+t dla t [0, 1], l x+ 1 2 = 800, l x+1 = 700 wyznaczyć l x+ 3 4 wiedząc, że µ x+t = k dla t [0, 1) oraz 1 q x = 0, 6 1 q x. 4 2 Zadanie 1.21 Mając dane µ x = F + e 2x dla x > 0 oraz 0,4 p 0 = 0, 5 obliczyć F. bez znajdowania Zadanie 1.22 Przyjmując, że intensywność zgonów µ x+t jest liniowa dla t [0, 1] oraz wiedząc, że p x = e 0,25 oraz 1 p x = 9 3 p x znaleźć µ 4 4 x Zadanie 1.23 Załóżmy, że l 70 = 130 osób dożywa wieku 70 lat, po czym z roku na rok ich liczba maleje w postępie arytmetycznym. Przyjmując, że maksymalny wiek wynosi ω = 80 lat obliczyć e x oraz e x dla x = 70. Zadanie 1.24 Wiadomo, że jeśli 1. funkcja natężenia wymierania jest równa µ x+t dla t (0, 1), to q x = 0, 05 2

3 2. funkcja natężenia wymierania jest równa µ x+t c dla t (0, 1), to q x = 0, 07. Wyliczyć c. Zadanie 1.25 Niech s(x) = ax + b dla x [0, k]. Wiadomo, że 2 p 0 współczynnik zgonów 2 m 3. = 0, 75. Znaleźć centralny Zadanie 1.26 Mając dane q x = 0, 2 obliczyć centralny współczynnik zgonów m x stosując 1. hipotezę Balducciego 2. UDD Zadanie 1.27 W populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω centralny współczynnik zgonów dla osób w wieku x wynosi m x = 2. Obliczyć centralny współczynnik zgonów dla osób o 2 lata starszych. 117 Zadanie 1.28 (EA ) W populacji de Moivre a współczynnik śmiertelności w wieku x wynosi m x = 2, a dla osobników dwa razy starszych m 117 2x = 2. Podaj maksymalny wiek tej populacji. 27 Zadanie 1.29 (EA ) Populacja A jest populacją z wykładniczym rozkładem czasu życia oraz oczekiwanym czasem życia 125 lat. Rozkład czasu życia populacji B nie jest znany. Wiadomo tylko, że dla pewnego wieku x śmierć ma rozkład jednostajny na przedziale wieku [x, x + 1) m B x = 10m A x, gdzie m x oznacza centralny współczynnik zgonów. Podaj ile wynosi q B x q A x. Zadanie 1.30 (EA ) W pewnej populacji kohorta (x) zmniejsza po roku swą liczebność o 10%. O tej samej kohorcie wiadomo, że średnia liczba lat, którą przeżyli ci, którzy dożyli wieku x oraz nie dożyli wieku x + 1 wynosi a x = 0, 38. Dla omawianej kohorty oblicz wartość centralnego współczynnika zgonów. Zadanie 1.31 Z pewnej tablicy trwania życia wzięto następujące wartości l 0 = , l 1 = 97408, l 5 = 97015, L 0 = 97764, 4 L 1 = Jakie są przeciętne frakcje przeżyte przez zmarłych w przedziałach wieku 0 1 (a 0 ) oraz 1 5 ( 4 a 1 ). Zadanie 1.32 Niech n b x będzie średnią liczbą lat przeżytych powyżej wieku x przez osoby, które umierają w wieku do x do x + n. Mając dane l 35 = 1060, l 40 = 960 oraz 5 m 35 = 0, 02 obliczyć 5 b 35. Zadanie 1.33 Mamy dane l x = 1000(ω 3 x 3 ) dla x [0, ω]. Wyznaczyć E(T (0)) oraz V ar(t (0)). Zadanie 1.34 (1EA ) Wiadomo, że w przedziale [x, x + 1) śmiertelność ma liniowy rozkład, czyli gęstość śmiertelności g(t) = ct dla t [0, 1) oraz c > 0. Znajdź e x wiedząc, że p x = 0, 925 oraz e x+1 = 8.. Zadanie 1.35 Przyjmując, że w pewnej populacji proces przeżycia podlega intensywności danej wzorem 0, 01, dla x [0, 1) znaleźć 35 p 10. 0, 002, dla x [1, 4) µ(x) = 0, 001, dla x [5, 20) 0, 004, dla x [20, 40) 0, 0001x, dla x [40, ) 3

4 Zadanie 1.36 (EA ) Rozważmy wyjściową demografię D z intensywnością natężenia śmiertelności µ x dla x > 0. Dalej rozważmy następujące możliwe zaburzenia demografii D: D1 ma funkcję intensywności śmiertelności daną wzorem µ (1) x = µ x µ dla x > 0 D2 ma funkcję intensywności śmiertelności µ (2) x = mµ x dla x > 0. Wiadomo, że 50 p (1) 20 = 50 p (2) 20 = p oraz dane są µ = 0, 002, m = 0, 9. Oblicz p. Zadanie 1.37 Wiedząc, że 1 t q x 3 4 +t = 0, 004(1 t) dla t [0, 1) obliczyć 1 q x. 8 Zadanie 1.38 Jest 1000 osób mających obecnie 40 lat. Wiadomo, że dla tej grupy q 40 = 0, 032. Obliczyć ile osób z tej grupy umrze w przedziale wieku 40 3 do 40 3 przy warunku: 8 4 (a) 1 t q 40+t = (1 t)q 40 1 tq 40 dla t [0, 1] (b) 1 t q 40+t = (1 t)q 40 dla t [0, 1]. Zadanie 1.39 ((*) EA ) e x = (100 x)(175 x) 3(150 x) oznacza przeciętne dalsze trwanie życie (x) wylosowanego z populacji z nieprzekraczalnym wiekiem 100 lat. Obliczyć 24 p 46 oraz m 46. Zadanie 1.40 (EA ) Z rocznych tablic śmiertelności dane jest q x = 0, 1. Rozważ prawdopodobieństwo t 0,25 q x+0,25, gdzie 0, 25 < t < 1 i podaj wartość t, dla której hipoteza UDD daje wartość tego prawdopodobieństwa o 2% wyższą niż hipoteza Balducciego. Zadanie 1.41 (EA ) Śmiertelność populacji z ograniczonym wiekiem 100 lat opisuje funkcja µ x = 0,6 100 x. Oblicz prawdopodobieństwo dożycia przez noworodka wieku x = e 0. Zadanie 1.42 (EA ) Rozpatrzmy osobę, która 1 stycznia 1998 ukończyła 30 lat. Przy założeniu hipotezy Balducciego prawdopodobieństwo śmierci tej osoby w ciągu pierwszych 170 dni 2028 roku jest równe prawdopodobieństwu jej śmierci w pozostałej części tego roku. Znajdź p 60. Przyjmujemy, że 1 rok ma 365 dni. Zadanie 1.43 (EA ) Dla życia (x) dane są prawdopodobieństwa śmierci w trzech kolejnych latach q x = 0, 1, q x+1 = 0, 2, q x+2 = 0, 3. Przy założeniu UDD obliczyć wartość oczekiwaną liczby lat, którą przeżyje w trzyletnim okresie życia (x). Zadanie 1.44 (EA ) Rozważ grupę 1000 osób urodzonych r. żyjących r. Wyznacz oczekiwane dalsze trwanie życia tych osób (sumę przeżytych lat) w okresie od do jeśli wiadomo, że w tej populacji intensywność zgonów jest funkcją schodkową ze skokiem w każdą rocznicę urodzin i stałym poziomem aż do następnych urodzin. Dane są q 50 = 0, 10, q 51 = 0, 15, q 52 = 0, 20. Zadanie 1.45 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo q x = 0, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównoważenie prawdopodobieństwa śmierci u q x, u [0, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia u p x wyznaczone przy jednorodnym rozkładzie zgonów w x-tym roczniku. 4

5 Zadanie 1.46 (EA ) O populacji 1000 osób w wieku x wiadomo, że µ x+u = 0, 03046, µ x+1+u = 0, 07257, µ x+2+u = 0, 10536, gdzie x jest całkowite oraz u [0, 1). Wyznacz oczekiwane dalsze trwanie życia tej populacji (łączną liczbę przeżytych lat) do osiągnięcia wieku x + 3. Zadanie 1.47 (EA ) Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona 35-latków, które umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia i przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy. Przyjmujemy założenie Balducciego dotyczące umieralności w okresach ułamkowych. Dane są również q 35 = , q 3 = , q 37 = Zadanie 1.48 Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 lat dana jest wzorem 2, dla x [0, 30] 90 x µ x = 1, dla x (30, 120). 120 x Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej losowej T (10). Zadanie 1.49 W populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω centralny współczynnik zgonów dla osób w wieku x wynosi m x = 2. Obliczyć centralny współczynnik zgonów dla osób o 7 lat starszych. 89 Zadanie 1.50 Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 lat dana jest wzorem 1, dla x [0, 50) 90 x µ x = 2, dla x [50, 120). 120 x Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 30-latek umrze między 40 a 80 rokiem życia. Zadanie 1.51 W populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω centralny współczynnik zgonów 2 m x dla pewnego przedziału wieku od x do x + 2 wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo 10p x. Zadanie 1.52 Przyjmując, że q x = 0, 75 oraz l x+1 = 25 znaleźć taki czas trwania t, dla 0 t 1, by różnica między l x+t dla założenia liniowego a l x+t dla założenia Balducciego była jak największa. Zadanie 1.53 Przyjmując, że q x = 0, 75 oraz l x+1 = 25 znaleźć taki czas trwania t, dla 0 t 1, by różnica między l x+t dla założenia liniowego a l x+t wykładniczego była jak największa. Zadanie 1.54 Mając dane l x = 10000, l x+1 = 8100, q x+1 = 0, 25, L x+2 = 6000, m x+2 = 0, 3645 znaleźć 2 q x+0,5 korzystając z: 1. interpolacji wykładniczej 2. UDD 3. założenia Balducciego Zadanie 1.55 Rozpatrujemy grupę osób w wieku (x + 1 ) lat i analizujemy śmiertelność w tej grupie 3 do wieku (x+1) lat. Znamy jedynie q x = 0, 06, dlatego rozważamy założenie UDD oraz założenie Balducciego. Podaj, dla jakiego t intensywność wymierania µ x t będzie o 2% wyższa w/g Balducciego w stosunku do UDD. 5

6 Tablice selektywne Zadanie 2.1 Mamy fragment aktuarialnej tablicy trwania życia (funkcję l x ): [x] l [x] l [x]+1 l x+2 x , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , zapisać wzory oraz obliczyć trzy następujące prawdopodobieństwa dla tego samego wieku: q [52], q [51]+1 oraz q 52 ; wyjaśnić zróżnicowanie tych prawdopodobieństw; 2. zapisać wzory i obliczyć następujące prawdopodobieństwa: 2 q [51], 3 p [51]+1, 1 3 q [53] ; 3. obliczyć prawdopodobieństwo, że wyselekcjonowana osoba w wieku dokładnie 52 lat umrze w przedziale wieku od 53 do 56 lat. Obliczenia wykonać z dokładnością do 7 miejsc po przecinku. Zadanie 2.2 Korzystając z podanego fragmentu tablicy selektywno-ostatecznej AF80: 1. 2 p [30] 2. 5 p [30] 3. 1 q [31] 4. 3 q [31] q [32] p [31]+1 [x] 1000q [x] 1000q [x] q x+2 l [x] l [x]+1 l x+2 x , 222 0, 330 0, , , , , 234 0, 352 0, , , , , 250 0, 377 0, , , , , 269 0, 407 0, , , , , 291 0, 441 0, , , , obliczyć 7. obliczyć indeks selekcji dla x = 32 oraz t = 0 i t = 1. Zadanie 2.3 Mamy następującą selektywną tablicę trwania życia z 3-letnim okresem selekcji: [x] q [x] q [x 1]+1 q [x 2]+2 q x 70 0, 040 0, 070 0, 090 0, , 044 0, 077 0, 099 0, , 048 0, 084 0, 108 0, , 052 0, 091 0, 117 0, obliczyć wartości prawdopodobieństw 2 q [70] oraz 1 2 q [70]+1 ; 6

7 2. wypełnić brakujące elementy w następującej tabeli trwania życia: 3. obliczyć liczby zgonów d [70], d [70]+1 oraz d [70]+2. [x] l [x] l [x]+1 l [x]+2 l x Zadanie 2.4 Mamy fragment selektywno- ostatecznej tablicy trwania życia z dwuletnim okresem selekcji: [x] l [x] l [x]+1 l x+2 x Zakładając hipotezę Balducciego obliczyć (z dokładnością conajmniej do 5 miejsc po przecinku) 0,6q [60]+0,7. Zadanie 2.5 Mamy fragment selektywno- ostatecznej tablicy trwania życia z dwuletnim okresem selekcji: [x] l [x] l [x]+1 l x+2 x Zakładając, że zgony rozkładają się równomiernie między całkowitymi wartościami wieku, obliczyć (z dokładnością conajmniej do 5 miejsc po przecinku) 0,9q [60]+0,6. Zadanie 2.6 Selektywna i ostateczna tablica z trzyletnim okresem selekcji rozpoczyna się od wieku selekcji [0]. Mając następujące dane: l 6 = 90000; d x = 5000 dla x 3; q [0] = 1; 6 3p [0]+1 = p [1] ; 5p [1] = 4, znaleźć podstawę tablicy l 5 [0]. Zadanie 2.7 Mamy fragment selektywno- ultymatywnej tablicy trwania życia z dwuletnim okresem selekcji [x] l [x] l [x]+1 l x+2 x Zakładając UDD obliczyć 0,6 q [30]+0,5. 7

8 Ubezpieczenia grupowe Zadanie 3.1 ( ) Rozważmy emeryturę małżeńską dla męża (65) i żony (60), przy czym on jest wylosowany z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym 105 a ona jest wybrana z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym 120. Emeryturę będą otrzymywać w formie renty życiowej ciągłej. Póki żyją oboje roczna intensywność renty wynosi zł; po pierwszej śmierci intensywność emerytury dla owdowiałej osoby wynosi zł. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ = 0. Obliczyć jednorazową składkę netto. Zadanie 3.2 ( ) Polisa emerytalna dla pary(x) i (y) polega na tym, że przez najbliższe 40 lat, lub do pierwszej śmierci, będą płacić składkę w postaci renty życiowej ciągłej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto P. Jeżeli w ciągu tych 40 lat ona (x) umrze jako pierwsza, to on dostanie natychmiast świadczenie w wysokości 15; natomiast jeżeli w ciągu tych 40 lat on (y) umrze jako pierwszy, to ona dostanie natychmiast świadczenie 10. W przypadku, gdy oboje przeżyją najbliższe 40 lat, zostaje uruchomiona emerytura, która w formie renty życiowej ciągłej wypłacana jest z roczną intensywnością 1 aż do drugiej śmierci. Obliczyć składkę P. Ona (x) jest wylosowana z populacji wykładniczej z parametrem µ (k) = 1 ; on (y) jest wylosowany z populacji wykładniczej z parametrem 200 µ (m) = 1. Zakładamy, że T (x) i T (y) są niezależne. Techniczna intensywność oprocentowania 100 wynosi δ = 0, 04. Zadanie 3.3 ( ) Mąż (x) i żona (y) rozważają zakup ubezpieczenia rentowego typu A B. Wypłaca ono A tysięcy złotych w każdą rocznicę polisy (od zaraz) aż do pierwszej śmierci, a potem dożywotnio B tysięcy złotych w każdą rocznicę polisy owdowiałej osobie. Dla tej pary małżeńskiej aktuarialnie równoważne są dwa przypadki takiego ubezpieczenia: 12 7 oraz Oblicz jednorazową składkę netto w takim ubezpieczeniu, jeżeli ä x = 11 oraz ä y = 13. Zadanie 3.4 ( ) Mąż (30) wykupuje dla żony (20) rentę wdowia ciągłą, płacącą z intensywnością zł na rok od momentu jego śmierci. Składki płacone są do momentu pierwszej śmierci w formie renty ciągłej z intensywnością P na rok. Oblicz P jeśli dane są: µ (m) 30+t = 0, 02; µ (ż) 20+t = 0, 01; δ = 0, 05. Zadanie 3.5 ( ) Bezterminowe ubezpieczenie na życie dwojga osób w wieku x oraz y lat daje wypłatę w w wysokości 5000 po śmierci pierwszej osoby oraz wypłatę 2000 po śmierci drugiej osoby. Świadczenia pośmiertne płatne są na koniec roku śmierci. Wyznacz jednorazową składkę netto za to ubezpieczenie, jeśli dane są: ä x = 18, 5; ä y = 8, 5; A xy = 2 A xy ; v = 0, 95. Zadanie 3.6 ( ) Mąż x lat i żona x lat mają do wyboru: kupić bezterminowe ubezpieczenie na życie męża, ze świadczeniem w wysokości zł płatnym na koniec roku śmierci, kupić bezterminowe ubezpieczenie na życie obojga, ze świadczeniem płatnym zł płatnym na koniec roku pierwszej śmierci. Jeśli wybiorą pierwszy sposób ubezpieczenia, to roczna składka netto, płatna na początek roku, będzie wynosić 100 zł. Wyznacz roczną składkę, płatną na początku roku, dla drugiego typu ubezpieczenia, jeśli wiadomo, że śmiertelnością w tej populacji rządzi prawo Gompertza, z natężeniem zgonów oraz p x = 0, 995, v = 0, 95. µ x+t = B 2 x+t 8

9 Zadanie 3.7 ( ) Oblicz e 40:50, jeśli wiadomo, że osoba w wieku 50 lat jest niepaląca, zaś osoba w wieku 40 lat jest paląca. Ponadto µ p x = 2µ n x oraz l n x = 100(100 x) dla 0 x 100 (indeks górny p oznacza osobę palącą, zaś n- niepalącą). Zadanie 3.8 ( ) Żona (30) i mąż (35) rozważają zawarcie umowy ubezpieczenia ich wspólnego życia, z sumą ubezpieczenia 1zł, wypłacaną na koniec roku pierwszej śmierci osobie pozostałej przy życiu lub innym uprawnionym. Regularna składka roczna P 30:35, płatna do pierwszej śmierci jest o 1% mniejsza niż odpowiednia składka P 31:36, którą musieliby płacić jeśli ubezpieczą się za rok. Dane są ponadto: q 30 = 0, 00055; q 35 = 0, 003; v = 0, 95. Obliczyć P 30:35. Zadanie 3.9 ( ) Mając dane: 1. t p x = 1 t 2 q x, t [0, 1] 2. t p y = 1 t 3 q y, t [0, 1] 3. q x = 0, 2 4. q y = 0, 4 5. T (x) oraz T (y) są niezależne oblicz prawdopodobieństwo, że osoba (x) umrze w ciągu 9 miesięcy oraz jej śmierć będzie poprzedzona przez śmierć osoby (y). Zadanie 3.10 ( ) Rozważmy trzy ubezpieczenia rentowe: 1. pierwsze jest dożywotnia rentą ciągłą dla żony, obecnie w wieku y, wypłacającą świadczenie z intensywnością roczną 1 zł począwszy od śmierci męża, 2. drugie jest analogiczną rentą wdowią dla męża, obecnie w wieku x, 3. trzecie jest analogiczną rentą dla owdowiałej osoby, wypłacającą niezależnie od tego kto umrze wcześniej. Każde z ubezpieczeń kupowane jest za składkę netto, płatną w formie renty ciągłej ze stałą roczną intensywnością składki P j (j = 1, 2, 3 odpowiednio dla każdej z rent). Płatność składek przerywa pierwsze śmierć. Oblicz P 3, jeśli wiadomo, że: a x = 16, 2; a y = 18, 3; P 1 = 3 2 P 2. Zadanie 3.11 ( ) Trzy osoby w wieku (x), (y), (z) zakupiły bezterminowe ubezpieczenie na życie, wypłacające zł na koniec pierwszego roku pierwszej śmierci oraz zł na koniec roku drugiej śmierci. Roczna składka płacona jest w stałej wysokości na początku każdego roku ubezpieczenia do drugiej śmierci. Podaj roczną składkę netto w tym ubezpieczeniu. Dane są: ä x:y = 7, 6; ä x:z = 8, 0; ä y:z = 10, 0; ä x:y:z = 7, 2; d = 6%. Zadanie 3.12 ( ) Rozważmy emeryturę małżeńską dla niej (k) i dla niego (m). Ona jest wylosowana z populacji wykładniczej z µ k = 0, 05; natomiast on jest wylosowany z populacji wykładniczej z µ m = 0, 10. Emerytura ta została kupiona za jednorazową składkę netto w wysokości JSN = Będzie ona wypłacana w formie renty życiowej ciągłej, aż do drugiej śmierci, przy czym do pierwszej śmierci roczna intensywność emerytury wynosi E, a po pierwszej śmierci 0, 7E. Niech wreszcie E 10 oznacza wartość oczekiwaną rocznej intensywności emerytury po 10 latach pod warunkiem, że emerytura jest wówczas wypłacana. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ = 0, 04. Oblicz E 10. Zakładamy, że ich życia są niezależne. 9

10 Zadanie 3.13 ( ) Rozpatrujemy ciągły model bezterminowego ubezpieczenia na życie (x) oraz (y) z populacji, w której µ x = µ y = 0, 03. Ubezpieczenie wypłaca 1000 po śmierci drugiej osoby, lecz wypłata nie może nastąpić wcześniej, niż po 10 latach od zawarcia ubezpieczenia (tzn. wcześniejsza śmierć wywołuje odroczenie wypłaty). Wyznacz jednorazową składkę netto za to ubezpieczenie, jeśli δ = 0, 05. Zadanie 3.14 ((*) ) Rozważmy emeryturę małżeńską dla niej (x) i dla niego (y), która została zakupiona za składkę jednorazową netto JSN, i natychmiast zaczyna wypłacać: z intensywnością 2A, póki żyją oboje; z intensywnością A owdowiałej osobie, aż do jej śmierci. Oboje wylosowani są niezależnie z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 01. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wartość obecna świadczeń na moment wystawienia polisy przekroczy połowę JSN. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ = 0, 01. Zadanie 3.15 ( ) Rozważmy emeryturę małżeńską dla (x) oraz (y). Ona (x) jest wylosowana z populacji wykładniczej z µ x+t = 0, 01. Natomiast on (y) jest wylosowany z populacji wykładniczej µ y+t = 0, 02. Za jednorazową składkę netto JSN kupują następujące świadczenie emerytalne. Póki żyją oboje i t < min(e(t (x)), E(T (y))) otrzymują emeryturę z intensywnością A na rok (w postaci renty ciągłej). Gdy żyją obje, ale min(e(t (x)), E(T (y))) < t < max(e(t (x)), E(T (y))) intensywność emerytury wynosi 0, 9A. Wreszcie, gdy żyją oboje, ale t > max(e(t (x)), E(T (y))) intensywność świadczenia wynosi 0, 8A. Natomiast po pierwszej śmierci intensywność świadczenia emerytalnego wynosi 0, 7A. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi δ = 0, 03. Obliczyć JSN. Zakładamy, że T (x) i T (y) są niezależnymi zmiennymi losowymi. Zadanie 3.16 ((*) ) Rozpatrujemy ciągły typ ubezpieczenia dla (x = 65) oraz (y = 60), które w pierwszych 5 latach ubezpieczenia wypłaca jednorazowo w chwili śmierci (x), jeśli (y) żyje, a następnie (niezależnie od daty śmierci (x)) 5 lat po śmierci (x), jeśli (y) nadal żyje, zaczyna wypłacać (y) dożywotnią rentę z intensywnością na rok. Podaj jednorazową składkę netto za to ubezpieczenie, jeśli obydwa życia (x) i (y) są niezależne, mają wykładniczy rozkład czasu trwania życia µ x = 0, 03, µ y = 0, 02 oraz δ = 0, 05. Zadanie 3.17 ( ) Ona (40) wylosowana jest z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω k = 130; natomiast on (20) jest wylosowany z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω m = 110. Obliczyć liczbę lat z, która spełnia warunek: Zakładamy, że ich życia są niezależne. P r{ T (40) T (20) z min[t (40), T (20)] z} = 1 4. Zadanie 3.18 ( ) Ubezpieczenie dla dwóch niezależnych osób (z tej samej populacji) w wieku (x) oraz (x + 1) płaci 1000 zł na koniec pierwszego roku pierwszej śmierci. Wyznacz składkę netto dla tego ubezpieczenia, płatną w stałej kwocie na początku każdego roku, aż do pierwszej śmierci, jeśli wiadomo, ze p x = 0, 9; p x+1 = 0, 85; v = 0, 95; A x+1:x+2 = 0,

11 Zadanie 3.19 W danej populacji intensywność wymierania mężczyzn jest dla każdego wieku o połowę wyższa niż w przypadku kobiet. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna w wieku (x) będzie żył co najmniej tak długo jak losowo wybrana kobieta w wieku (x). Zadanie 3.20 Rozważmy ubezpieczenie dla pary osób (x), (y), które wypłaca 5000T (xy)zł w chwili pierwszej śmierci oraz 3000T (xy) w momencie drugiej śmierci. Zakładamy, że (x) pochodzi z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 01, zaś (y) jest z populacji wykładniczej z parametrem µ = 0, 03. Składki za tę polisę są płacone do pierwszej śmierci w stałej wysokości w formie renty dyskretnej z góry. Wyznaczyć tę składkę przyjmując, że δ = 0, 05 oraz, że zmienne T (x) i T (y) są niezależne. 11

12 Ubezpieczenia wieloopcyjne Zadanie 4.1 Mamy dane µ (j) x+t = j 150 dla j = 1, 2, 3 oraz t > 0. Obliczyć E(T x J x = 3). Zadanie 4.2 W pewnym modelu wieloobcyjnym mamy 3 ryzyka. Każde ryzyko ma jednostajne natężenie na każdym przedziale wieku (x, x + 1) dla każdego x całkowitego. Mamy dane µ (1) 30+0,2 = 0, 20, µ (2) 30+0,4 = 0, 10, µ (3) 30+0,8 = 0, 15. Obliczyć q 30. Zadanie 4.3 Dla tablicy dwuprzyczynowej mamy q x (2) = 1, 8 1 q x (1) = 1, 4 q(1) x+1 = 1. Obliczyć q (1) 3 x. Zadanie 4.4 Dla tablicy dwuprzyczynowej mamy q x (1) = 1, 15 1 q x (2) = 4, 33 q(2) x+1 = 2. Obliczyć q (2) 11 x. Zadanie 4.5 Dla tablicy dwuprzyczynowej mamy dane µ (1) x+0,5 = 0, 02, q x (2) = 0, 01. Każde ryzyko ma jednostajne natężenie na każdym przedziale jednorocznym. Obliczyć q x (1). Zadanie 4.6 W następującym fragmencie tablicy szkodowości na wiele ryzyk dla obu płci łącznie TSZ-PL99 dla x = 50,..., 54 uzupełnij brakujące kolumny x l x (τ) d (1) x d (2) x q x (1) q x (2) q x (τ) Obliczyć k p (τ) 50 dla k = 2, 3, 4,, 2 q (1) 52, 2 q (1) 52. Ile wynosi l (τ) 56? Zadanie 4.7 x l x (τ) d (1) x d (2) x Na podstawie tablicy (na dwa ryzyka) obliczyć 1. prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku z powodu ryzyka 1 w wieku 24 lat, 2. prawdopodobieństwo, że 25-latek umrze w ciągu roku z dowolnej przyczyny, 3. prawdopodobieństwo, że 26-latek umrze w ciągu dwóch lat z powodu ryzyka 2. Zadanie 4.8 Osoba, która 1 stycznia kończy 50 lat, należąca do populacji de Moivrea z wiekiem granicznym 80 lat będzie 1 października uczestniczyła wraz z grupą osób w krótkotrwałej imprezie (ekstremalny sport), którą przeżywa 80 procent uczestników. Obliczyć q (1) 50 oraz q (2) 50 gdzie 1 oznacza śmierć naturalną, a 2 śmierć podczas wspomnianej imprezy. Zadanie 4.9 ( ) W ubezpieczeniu na życie z terminem 20 lat świadczenie płatne w momencie śmierci wynosi: 1, 50 zł, gdy przyczyną śmierci był wypadek. 1zł, gdy śmierć spowodowała inna przyczyna. 12

13 Natężenia zgonów według obydwu przyczyn opisują odpowiednio: µ (1) x+t = t 60, µ(2) x+t = t 40. Wyznacz jednorazową składkę netto za tę polisę przy zerowej stopie procentowej. Zadanie 4.10 ( ) Na osobę (x) wystawiono roczne ubezpieczenie rentowe, wypłacające na koniec każdego kwartału. Ubezpieczony został zaliczony do populacji, której odpowiada p x = 0, 94. W populacji tej śmiertelność ma w ciągu roku jednostajny rozkład. W momencie zawierania ubezpieczenia wiadomo, że ubezpieczony podda się za 8 miesięcy krótkiej operacji, którą przeżywa tylko 60% pacjentów. Jeśli pacjent przeżyje operację, to jej wpływ na zdrowie i szanse dalszego życia może się ujawnić nie wcześniej niż po pół roku. Wyznacz składkę netto za to ubezpieczenie przy v = 0, 95. Zadanie 4.11 ( ) Rozważmy ciągły model 20-letniego ubezpieczenia na życie i dożycie z sumą ubezpieczenia zł, ze składką płaconą ze stałą intensywnością przez cały okres ubezpieczenia. Ubezpieczeni podlegają śmiertelności ze stałą intensywnością µ (s) = 0, 04 oraz rezygnują z kontynuacji ubezpieczenia ze stałą intensywnością µ (r) = 0, 01. Rezygnujący dostają zwrot połowy wpłaconych składek, bez oprocentowania. Wyznacz intensywność składki P przy oprocentowaniu δ = 0, 05. Zadanie 4.12 Rozważmy ciągły model 25-letniego ubezpieczenia na życie i dożycie z sumą ubezpieczenia 50000zł, ze składką płaconą ze stałą intensywnością przez cały okres ubezpieczenia. Ubezpieczeni podlegają śmiertelności ze stałą intensywnością µ (s) = 0, 04 oraz rezygnują z kontynuacji ubezpieczenia ze stałą intensywnością µ (r) = 0, 02. Rezygnujący dostają zwrot 60% wpłaconych składek, bez oprocentowania. Wyznacz intensywność składki P przy oprocentowaniu δ = 0, 04. Zadanie 4.13 ( ) Na osobę (x) wystawiono roczną polisę wypłacającą świadczenie na koniec okresu ubezpieczenia. Życie ubezpieczonego jest narażone na trzy niezależne od siebie ryzyka. Pierwsze jest typowym demograficznym ryzykiem śmierci i osiąga poziom q x (1) = 0, 05. Drugie wiąże się ze specyficznym schorzeniem ubezpieczonego i wynosi q x (2) = 0, 15. Trzecie wynika ze szczególnego trybu życia ubezpieczonego i osiąga poziom q x (3) = 0, 20. Wszystkie trzy ryzyka mają jednostajny rozkład w ciągu roku. Polisa wypłaca zł za śmierć z powodu pierwszego ryzyka lub zł za śmierć wywołaną drugim ryzykiem. Śmierć z tytułu trzeciego ryzyka nie jest objęta ubezpieczeniem. Wyznacz składkę za to ubezpieczenie przy v = 0, 95. Zadanie 4.14 ( ) Rozważmy roczne ubezpieczenie dla osoby (x) na kwotę zł. Życie ubezpieczonego jest narażone na trzy niezależne od siebie ryzyka. Pierwsze jest typowym demograficznym ryzykiem śmierci i osiąga poziom q x (1). Drugie wiąże się ze specyficznym schorzeniem ubezpieczonego i wynosi q x (2). Trzecie wynika ze szczególnego trybu życia ubezpieczonego i osiąga poziom q x (3). Wszystkie trzy ryzyka mają jednostajny rozkład w ciągu roku. Osoba ta może kupić polisę na dożycie za składkę netto 58140zł. Podaj ile kosztowałoby ubezpieczenie wypłacające na koniec roku jedynie w przypadku śmierci spowodowanej trzecim ryzykiem. Dane są: q (1) x = 0, 05, q (2) x = 0, 15, v = 0, 96. Zadanie 4.15 ( ) Rozważmy ciągły typ bezterminowego ubezpieczenia na życie (x) ze składką płaconą ze stałą intensywnością przez pierwsze 20 lat ubezpieczenia. W zależności od rodzaju śmierci ubezpieczenie wypłaca: za śmierć w nieszczęśliwym wypadku (NW); za śmierć wywołaną przez określone choroby (CH) 13

14 za śmierć z pozostałych przyczyn (PP) Wiadomo, że bezwarunkowe prawdopodobieństwo śmierci w populacji, z której pochodzi ubezpieczony, opisuje funkcja t q x = 1 0, 92 t, a ponadto 4µ (NW ) x+t = 3µ (CH) x+t = µ (P P ) x+t. Wyznacz roczną intensywność składki w tym ubezpieczeniu dla δ = 0, 05. Zadanie 4.16 ( ) W rozpatrywanym modelu o dwóch ryzykach współbieżnych niech q x (i), µ (i) x oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia oraz natężenie zajścia zdarzenia w stowarzyszonym modelu pojedynczego ryzyka. Przyjmijmy następujące oznaczenia: s-oznacza śmierć naturalną oraz n oznacza śmierć w wyniku nieszczęśliwego wypadku. Dane jest: i) q (s) x = 0, 06 oraz jest równomiernie rozłożone w ciągu roku. ii) µ (n) x+t = 0, 04 dla 0 t 1. Wyznacz składkę netto za ubezpieczenie na okres 1 roku (bez uwzględniania oprocentowania), z którego w przypadku zajścia zdarzeń objętych umową wypłacane są następujące świadczenia: w przypadku śmierci naturalnej (zajście zdarzenia a), w przypadku śmierci w wyniku wypadku (zajście zdarzenia b). Zadanie 4.17 ( ) Rozważmy polisę na życie wystawioną (x), która wypłaci świadczenie w chwili śmierci. Wysokość świadczenia jest uzależniona od rodzaju śmierci: gdy ubezpieczony zginie w wypadku (J = 2) zostanie wypłacona suma s > 1, gdy ubezpieczony umrze, ale nie w wypadku (J = 1) zostanie wypłacone 1. Niech Z oznacza wartość obecną wypłaty. Dane są: µ 1,x+t = 0, 01, µ 2,x+t = 0, 001, δ = 0, 03, E(Z) = 0, 3. Obliczyć V ar(z). Zadanie 4.18 ((*) ) Na osobę x = 60 wystawiono dożywotne ubezpieczenie rentowe wypłacające zł na koniec każdego roku ubezpieczenia. Ubezpieczony został zaliczony do populacji de Moivre a z parametrem ω 1 = 70. W momencie zawierania ubezpieczenia wiadomo, że ubezpieczony podda się za 8 miesięcy krótkiej operacji, którą przeżywa 50% pacjentów. W przypadku przeżycia operacji następuje natychmiastowa poprawa ogólnej kondycji i ubezpieczony przejdzie do populacji de Moivre a z parametrem ω 2 = 90. Podaj jednorazową składkę netto za to ubezpieczenie, jeśli v = 0, 95. Zadanie 4.19 (*) W bezterminowym ubezpieczeniu na życie w razie inwalidztwa (opcja 1) wypłaca się 30000zł na koniec kwartału stwierdzenia inwalidztwa oraz w razie śmierci (opcja 2) 10000zł na koniec miesiąca, w którym nastąpiła śmierć. Wiadomo, że µ (1) x+t = 0, 016, µ (2) x+t = 0, 024 dla t 0 oraz v = 0, 92. Przyjmujemy, że x jest całkowita. Obliczyć JSN. Zadanie 4.20 Osoba, która 2 stycznia kończy 50 lat, należąca do populacji de Moivrea z wiekiem granicznym 80 lat będzie 2 października uczestniczyła wraz z grupą osób w krótkotrwałej imprezie (ekstremalny sport), którą przeżywa 80 procent uczestników. Na jej życie wystawiono w dniu 50 urodzin polisę roczną, wypłacającą świadczenie na koniec roku z rozróżnieniem sumy ubezpieczenia w przypadku śmierci podczas udziału w tej niebezpiecznej imprezie (jako opcja 1) lub z innych powodów (opcja 2), sumy ubezpieczenia wynoszą odpowiednio: (opcja 1) i (opcja 2). Obliczyć JSN tego ubezpieczenia przy czynniku dyskonta v = 0,

15 Plany emerytalne Zadanie 5.1 ( ) Dany jest plan emerytalny, w którym przejście na emeryturę następuje nie później niż w wieku 65 lat (l τ 65 = 0). Roczna składka w wysokości 100 płatna jest w sposób ciągły. Wyznacz aktualną wartość przyszłych składek uczestnika planu w wieku 55 lat, jeśli wiadomo, że: 1. prawdopodobieństwo wypadnięcia z planu (łącznie z wszystkich powodów) ma rozkład jednostajny na przedziale wieku od 55 do 65 lat. 2. natężenie oprocentowania wynosi 0,1. Zadanie 5.2 (28,02.98) W pewnym planie emerytalnym przejście na emeryturę następuje nie później niż w wieku 65 lat (l τ 65 = 0). Aktywni uczestnicy wpłacają do planu składkę w formie renty ciągłej z intensywnością 300 na rok. Wyznacz aktualną wartość przyszłych składek uczestnika planu w wieku 45 lat, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wyjścia ze stanu aktywnego (ze wszystkich powodów) ma rozkład jednostajny na przedziale wieku od 45 do 65 lat. natężenie oprocentowania δ = 0, 05. Zadanie 5.3 ( ) Dany jest plan emerytalny, w którym przejście na emeryturę następuje nie póxniej niż w wieku 65 lat (l τ 65 = 0). Obecna roczna płaca 30-letniego uczestnika planu wynosi 3000zł i będzie rosła w sposób ciągły o 5% rocznie. Natężenie wypadania z planu przed osiągnięciem emerytalnego wieku opisuje funkcja µ τ 30+t = 0, 05. Wyznacz (podaj najbliższą wartość) aktualną wartość przyszłych składek uczestnika planu w wieku 30 lat, jeśli składki płacone są w sposób ciągły w wysokości 10% bieżącej płacy, a fundusz emerytalny osiąga stopę przychodów z lokat i = 5%. Zadanie 5.4 ( ) W pewnym planie emerytalnym przejście na emeryturę następuje nie później niż w wieku 60 lat (l τ 60 = 0). Wiadomo, że aktywny (płacący składki) uczestnik planu w wieku (x) lat, przechodzi przed osiągnięciem 60 lat w stan nieaktywny zgodnie z prawem de Moivre a z granicznym wiekiem 120 lat. Wyznacz obecną wartość (na początek roku, przed zapłaceniem składki) przyszłych składek 40 letniego uczestnika planu, jeśli wiadomo, że: składka płacona jest na początku każdego roku w wysokości 8% od 12 wynagrodzeń ze stycznia, obecne roczne wynagrodzenie 40 letniego uczestnika planu wynosi 25000zł wynagrodzenie zmienia się raz w roku, tuż przed zapłaceniem składki, zgodnie z formułą S 40+k = 1 1 0, 0125k, pracownicy, przechodzący na emeryturę dokładnie w wieku 60 lat, dostają w ostatnim dniu pracy jednorazową premię równą 12 wygrodzeniom miesięcznym. Należna składka emerytalna (8% premii) pobierana jest w ostatnim dniu roku, v = 0, 96. Podaj najbliższą wartość. 15

16 Zadanie 5.5 ( ) W pewnym planie emerytalnym przejście na emeryturę następuje nie później niż w wieku 60 lat (l τ 60 = 0). Wiadomo, że aktywny (płacący składki) uczestnik planu w wieku (x) lat, przechodzi przed osiągnięciem 60 lat w stan nieaktywny zgodnie z prawem de Moivre a z granicznym wiekiem 120 lat. Wyznacz obecną wartość (na początek roku, przed zapłaceniem składki) przyszłych składek 40 letniego uczestnika planu, jeśli wiadomo, że: składka płacona jest na początku każdego roku w wysokości 10% od 12 wynagrodzeń ze stycznia, obecne roczne wynagrodzenie 40 letniego uczestnika planu wynosi 50000zł wynagrodzenie zmienia się raz w roku, tuż przed zapłaceniem składki, zgodnie z formułą S 40+k = 1 1 0, 0125k, pracownicy, przechodzący na emeryturę dokładnie w wieku 60 lat, dostają w ostatnim dniu pracy jednorazową premię równą 12 wygrodzeniom miesięcznym. Należna składka emerytalna (10% premii) pobierana jest w ostatnim dniu roku, v = 0, 95. Podaj najbliższą wartość. Zadanie 5.6 ( ) Rozpatrujemy ciągły model planu emerytalnego. Plan wypłaca po osiągnięciu wieku emerytalnego 65 lat emeryturę z roczną intensywnością 300zł za każdy rok stażu w planie. Składka emerytalna, ustalona metodą entry-age, jest płacona ze stałą roczną intensywnością. Wypadnie z planu przed wiekiem emerytalnym opisuje prawo de Moivre a z granicznym wiekiem 125 lat. Jeśli wypadający otrzymują świadczenia, to są one finansowane z innych zasobów planu. Po przejściu na emeryturę uczestnicy wymierają według prawa de Moivr a z granicznym wiekiem 95 lat. Wyznacz wartość obecną przyszłych składek 45-letniego uczestnika, który przystąpił do planu w wieku 25 lat. Przyjmij δ = 0, 05. Wyznacz najbliższą wartość. Zadanie 5.7 ( ) Plan emerytalny wypłaca po osiągnięciu wieku emerytalnego 65 lat emeryturę z intensywnością roczną równą 200zł za każdy rok stażu. Składka emerytalna, ustalona metodą entry-age, jest płacona w sposób ciągły ze stałą roczną intensywnością. Podaj wartość obecną przyszłych składek 45-letniego uczestnika, który przystąpił do planu w wieku 25 lat. Wiadomo, że wypadanie z planu przed wiekiem emerytalnym opisuje prawo de Moivre a z granicznym wiekiem 145 lat. Wypadający, jeśli otrzymują świadczenia, to z innych zasobów planu. Po przejściu na emeryturę uczestnicy wymierają według prawa de Moivre a z granicznym wiekiem 105 lat. Przyjmij oprocentowanie δ = 0, 05. Podaj najbliższą wartość. Zadanie 5.8 ( ) Rozpatrujemy ciągły model planu emerytalnego. Po osiągnięciu wieku emerytalnego 65 lat plan wypłaca emeryturę roczną z intensywnością 400zł za każdy rok stażu w planie. Składka emerytalna, ustalona metodą entry-age, jest płacona ze stałą roczną intensywnością. Wypadanie z planu przed wiekiem emerytalnym opisuje prawo de Moivre a z granicznym wiekiem 120 lat. Jeśli wypadający otrzymują świadczenia, to są one finansowane z innych zasobów planu. Po przejściu na emeryturę uczestnicy wymierają według prawa de Moivre a z granicznym wiekiem 95 lat. Wyznacz wartość obecną przyszłych składek 50-letniego uczestnika, który przystąpił do planu w wieku 25 lat. Przyjmij δ = 0, 04. Wyznacz najbliższą wartość. Zadanie 5.9 ( ) Uczestnicy pewnego planu emerytalnego przystępują do planu w wieku 25 lat, a przechodzą na emeryturę w wieku 65 lat. Prawdopodobieństwo, że 25-letni uczestnik dojdzie w planie do emerytury wynosi 0,70. Plan wystartował w momencie t = 0 ze 100 uczestnikami w wieku 25 lat i od tej pory liczba wstępujących rośnie ze stałą intensywnością 4% na rok. Plan wypłaca każdemu emerytowi taką samą emeryturę z intensywnością 12000zł na rok. Wyznacz intensywność rocznego kosztu normalnego P (t) planu emerytalnego dla momentu t = 60, jeśli δ = 0, 04 oraz a 65 = 15. Podaj najbliższą wartość. 16

17 Zadanie 5.10 ( ) Uczestnicy pewnego planu emerytalnego przystępują do planu w wieku 25 lat, a przechodzą na emeryturę w wieku 65 lat. Prawdopodobieństwo, że 25-letni uczestnik dojdzie w planie do emerytury wynosi 0,65. Plan wystartował w momencie t = 0 ze 150 uczestnikami w wieku 25 lat i od tej pory liczba wstępujących rośnie ze stałą intensywnością 3% na rok. Plan wypłaca każdemu emerytowi taką samą emeryturę z intensywnością 10000zł na rok. Wyznacz intensywność rocznego kosztu normalnego P (t) planu emerytalnego dla momentu t = 50, jeśli δ = 0, 03 oraz a 65 = 14. Podaj najbliższą wartość. Zadanie 5.11 ( ) Rozpatrujemy ciągły model planu emerytalnego. Plan wypłaca każdemu uczestnikowi, który utrzymał aktywny status do wieku 65 lat, tę samą emeryturę ze stałą intensywnością wypłaty. Wszyscy uczestnicy przystępują do planu w wieku 30 lat, a utrzymanie statusu aktywnego opisuje funkcja tp τ 30 = 1 t dla t Plan wystartował 1 stycznia 1957 roku z grupą 100 osób w wieku 30 lat i od tej pory liczba wstępujących do planu rośnie ze stałą intensywnością 2% na rok. Wyznacz intensywność rocznego kosztu normalnego dla wszystkich uczestników planu w dniu 1 stycznia 2007 roku na 1 złotówkę ich rocznej emerytury. Dane są δ = 0, 02, a 65 = 15. Wskaż najbliższą wartość. Zadanie 5.12 ( ) Uczestnicy pewnego planu emerytalnego przystępują do planu w wieku 25 lat, a przechodzą na emeryturę w wieku 65 lat. Prawdopodobieństwo, że 25-letni uczestnik dojdzie w planie do emerytury wynosi 0,55. Plan wystartował w momencie t = 0 ze 120 uczestnikami w wieku 25 lat i od tej pory liczba wstępujących rośnie ze stałą intensywnością 4% na rok. Plan wypłaca każdemu emerytowi taką samą emeryturę ze stałą intensywnością wypłaty. Wyznacz intensywność rocznego kosztu normalnego P (t) dla momentu t = 60 na 1 złotówkę rocznej emerytury, jeśli δ = 0, 04 oraz a 65 = 12, 5. Podaj najbliższą wartość. Zadanie 5.13 ( ) Rozpatrujemy ciągły model planu emerytalnego z wiekiem granicznym wejścia do planu 30 lat oraz wiekiem przejścia na emeryturę 65 lat. Plan rozpoczął działalność w momencie t = 0, a wchodzenie do planu w chwili t (t 0) ma intensywność n(t) = e 0,03t. Utrzymanie uczestnictwa w planie opisuje funkcja s(x), zależna tylko od wieku uczestnika. Wiadomo, że s(65) = 0, 60. Emerytura jest wypłacana ze stałą intensywnością 1000zł rocznie. Wyznacz intensywność kosztu normalnego P (t) finansowania tego planu w momencie t = 60. Dane są δ = 0, 03 oraz a 65 = 20. Podaj najbliższą wartość. Zadanie 5.14 ( ) Uczestnicy pewnego planu emerytalnego przystępują do planu w wieku 30 lat, a przechodzą na emeryturę w wieku 65 lat. Prawdopodobieństwo, że 30-letni uczestnik dojdzie w planie do emerytury wynosi 0,6. Plan wystartował w momencie t = 0 ze 100 uczestnikami w wieku 30 lat i od tej chwili liczba wstępujących rośnie ze stałą intensywnością 4% na rok. Plan wypłaca każdemu emerytowi taką samą emeryturę ze stałą intensywnością wypłaty. Wyznacz intensywność rocznego kosztu normalnego P (t) dla momentu t = 60 i 1 złotówkę rocznej emerytury, jeśli δ = 0, 04 oraz a 65 = 12. Podaj najbliższą wartość. 17