Dodatek Matematyczny LICZBY ZESPOLONE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dodatek Matematyczny LICZBY ZESPOLONE"

Transkrypt

1 Dodatek Matematyczny D LICZBY ZESPOLONE

2 1. Wprowadzenie Liczby zespolone straszą swoją egzotyką. I choć działać mogą odstraszająco, to ich pojawienie się wprowadziło do matematyki wiele ładu. Dziś nie może się bez nich obyć ani matematyka ani fizyka. Główną motywacją wprowadzenia liczb zespolonych była chęć poradzenia sobie z wyrażeniami typu pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Można oczywiście zapostulować, że wyrażenie typu 1 nie istnieje, ale oznacza to odebranie prawa do obywatelstwa w królestwie matematyki ogromnej liczbie matematycznych wyrażeń. Efekty tego są przykre. Na przykład od razu pojawi się cały szereg równań nie mających rozwiązania. Oto prosty przykład takiego równania x = 0 Gdyby jednak wyrażenie pierwiastek z minus jednej miało sens, to i równanie (1.2) miałoby rozwiązanie. Jednakże nie istnieje liczba rzeczywista r, której kwadrat byłby równy -1 r 2 = 1; takie r nie istnieje wsród liczb rzeczywistych A gdyby tak założyć, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest kompletny, i że istnieje jednak liczba równa pierwiastkowi z minus jeden oznaczmy ją literką i. i = Czemu nie - należy jedynie pokazać, że i sensownie wpisze się w resztę matematyki. Sensownie, to znaczy że jej wprowadzenie nie będzie prowadziło do sprzecznych stwierdzeń. Podjęte w tym kierunku wysiłki dały rezultaty, które przeszły wszelkie oczekiwania. Liczba i nie tylko gładko zintegrowała się z pozostałymi liczbami, ale również wniosła do matematyki zadziwiająco wiele elegancji i prostoty. Wygląda na to, że nikt jej na siłę do matematyki nie wprowadził; ona tam już dawno była, tylko czekała na odkrycie. Dlatego dziś wielu matematyków jest skłonnych mówić, że liczba i została odkryta a nie wymyślona. Spójrz na równanie x 3 3ax 2b = Na sposób rozwiązywania takich równań wpadł Nicocolo Fontana (znany jako Tartaglia) około 1539, a wcześniej (co jest mniej znaną historią) Scipione del Ferro (około 1526). Rozwiązanie to ma postać: x = (b + t) (b + t)

3 t = (b 2 a 3 ) 1.7 Widać, że jeżeli b 2 < a to wielkość t staje się pierwiastkiem kwadratowym liczby ujemnej. A taką liczbę zawsze można skonstruować z liczby i i z liczb rzeczywistych. r = 1 r = 1 r = i r 1.9 Jeżeli podstawimy tak otrzymane t do wzoru na x (1.6) i całość przeliczymy, to może się zdarzyć, że wszystkie liczby mnożone przez i uproszczą się. Zatem nawet wtedy, gdy równanie ma rozwiązania rzeczywiste, jego uzyskanie wymaga wycieczki przez terytorium zamieszkiwane przez liczby mnożone przez i, które później dyskretnie ulatniają się (lub nie, wtedy rozwiązanie jest liczbą nierzeczywistą). Obok liczby i równej pierwiastkowi z minus jedynki powyżej używałem liczb skonstruowanych jako iloczyn liczby i i dowolnej innej liczby rzeczywistej. Liczbę i nazywamy jednostka urojoną, a liczby rzeczywiste przemnożone przez i nazywamy liczbami urojonymi. Definicja 1.1: Jednostka urojona Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z liczby minus jeden. Definicja 1.2. liczby urojone Liczba r jest liczbą urojoną gdy da się przedstawić jako iloczyn jednostki urojonej i i liczby rzeczywistej różnej od zera. Jak widać z definicji (1.2) po wprowadzeniu jednostki urojonej i liczb urojonych zero dalej zachowuje swój szczególny status. Mnożenie zera przez i daje ciągle zero, które zaliczamy do liczb rzeczywistych choć równie dobrze możemy je zaliczyć do liczb urojonych. Możemy również skonstruować mieszane liczby, które nazywamy liczbami zespolonymi Definicja 1.3: liczby zespolone Liczba z jest liczbą zespoloną, gdy daje się przedstawić w postaci z=a+i b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Oczywiście każda liczba rzeczywista r jak również każda liczba urojona u są równocześnie liczbami zespolonymi postaci r = r + i a u = 0 + i u 1.10b Warto zwrócić uwagę na to, że znak plus w powyższych wyrażeniach nie jest tym samym plusem jaki znamy z dodawania liczb rzeczywistych. To po prostu znak 3

4 zespolenia liczb rzeczywistych i liczb urojonych, który z powodów historycznych i wygody wygląda tak jak zwykły plus. Jest to kolejny przykład przeładowania znaczenia znaku plus. Definicja 1.4: dodawanie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną postaci w=a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci z=c+id, wtedy suma tych liczb zespolonych w+z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem w + z = a + c + i(b + d) 1.11 Widać, że dodajemy do siebie osobno części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych. Przypomina to dodawanie współrzędnych dwóch wektorów dwuwymiarowych. Liczby zespolone w wielu aspektach przypominają dwuwymiarowe wektory zdefiniowane nad ciałem liczb rzeczywistych, ale nie są z nimi tożsame (są różnice). Iloczyn liczb zespolonych definiujemy zgodnie z logiką obliczania wyrażenia typu (a+b)(c+d). Definicja 1.5: mnożenie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną postaci a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci, z=c+id, wtedy iloczyn tych liczb zespolonych w z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem w z = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ac bd + i(ad + bc) 1.12 Znak mnożenia w powyższych wyrażeniach nie oznacza tego samego mnożenia jaki znamy z mnożenia liczb rzeczywistych. W oczywisty sposób definicja (1.5) uogólnia operację mnożenia, tak aby pasowała do zbioru liczb zespolonych. Zdefiniuję cztery inne operacje często używane na zbiorze liczb zespolonych Definicja 1.6. Funkcja Re Funkcja Re w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem Re(z) = a 1.13 Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części rzeczywistej liczby zespolonej z. 4

5 Definicja 1.7. Funkcja Im Funkcja Im w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem Im(z) = b 1.14 Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części urojonej (bez liczby i) liczby zespolonej z. Definicja 1.8. Funkcja * sprzężenia zespolone Funkcja * w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem z = a ib 1.15 Zadaniem funkcji sprzężenia zespolonego jest zmiana znaku część urojonej liczby zespolonej. Fakt 1.1: W niektórych podręcznikach sprzężenie oznacza się również przez kreskę nad liczbą z to to samo co z 1.15a Definicja 1.9. Moduł liczby zespolonej Funkcja moduł liczby zespolonej w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem z = z z 1.16 Moduł liczby zespolonej jest równy pierwiastkowi z iloczynu tej liczby przez jej sprzężenie. Zachodzi ważne Twierdzenie 1.1. Moduł liczby zespolonej z=a+ib jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej z 2 = a 2 + b Dowód polega na prostym przeliczeniu definicji (1.9) z = z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 + iab iab = a 2 + b W zbiorze liczb zespolonych nie możemy zdefiniować relacji uporządkowania. Gdy mamy dwie liczby rzeczywiste (urojone), to wiemy, która jest większa, a która mniejsza. Nie można natomiast sensownie poukładać w rosnącym porządku liczb zespolonych. 5

6 Fakt 1.1: W zbiorze liczb zespolonych nie można zdefiniować operacji < lub > Jest to dość ważna różnic między zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem liczb zespolonych. Brak uporządkowania liczb zespolonych jest równoważny z faktem, że nie możemy ich przedstawić na jednej osi liczbowej. Potrzebujemy do tego dwóch osi Rysowanie liczb zespolonych Zwróciłem waszą uwagę, że już sama postać liczb zespolonych a+ib oraz reguły ich dodawania wskazują na bliski związek z dwuwymiarowymi wektorami. Nasuwa to pomysł na reprezentowanie liczby zespolonej na płaszczyźnie z wyróżnionym punktem początkowym reprezentującym liczbę 0=0+0i. Niech oś pozioma będzie osią rzeczywistą, a oś pionowa będzie osią liczb urojonych (choć moglibyśmy zadecydować na odwrót). Wtedy dana liczba zespolona powiedzmy 2+3i wyznacza punkt na tak opisanej płaszczyźnie (rys.1.1.1). Rysunek Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić na płaszczyźnie, gdzie na osi pionowej odkładamy liczby urojone, a na osi poziomej liczby rzeczywiste. Płaszczyznę taką nazywamy płaszczyzną Arganda Sumę dwóch liczb zespolonych reprezentujemy teraz tak jak sumę dwóch dwuwymiarowych wektorów przez regułę równoległoboku (rys ). 6

7 Rysunek Graficzna reprezentacja dodawania liczb zespolonych (jedna liczba to strzałka czerwona a druga to strzałka zielona). Tu liczby zespolone, podobnie jak wektory rysowane są jako strzałki. Koniec strzałki wskazuje punkt o współrzędnych równych odpowiednio rzeczywistej (oś x) i urojonej (oś iy) części liczby zespolonej. Dodawanie realizujemy korzystając z reguły równoległoboku (zielony wektor narysowany linią przerywaną). Czarny wektor reprezentuje sumę liczb zaznaczonych wektorem zielonym i czerwonym. Płaszczyzna, na której przedstawiamy liczby zespolone nie jest płaszczyzną euklidesową (choć jest do niej myląco podobna). Dla odróżnienia nazywamy ją płaszczyzną Arganda. Definicja 1.1.1: Płaszczyzna Arganda Płaszczyzna z wyróżnioną osią liczb rzeczywistych i prostopadłą do niej osią liczb urojonych nazywamy płaszczyzną Arganda Na rysunku (1.1.2) liczby zespolone przedstawione są przez strzałki. Długość strzałki, która reprezentuje liczbę z=a+ib to moduł liczby zespolonej (1.18) wynosi z = a 2 + b 2 Z rysunku (1.1.2) widać również, że z = z (cos(θ) + isin(θ)) Wzór (1.1.2) przedstawia trygonometryczną reprezentację liczby zespolonej z. Kąt nazywamy argumentem liczby zespolonej Definicja 1.1.2: Argument liczby zespolonej Argumentem liczby zespolonej z nazywamy kąt jej reprezentacji trygonometrycznej Istnieje jeszcze jedna nader ważna postać zapisu liczb zespolonych postać wykładnicza, która opiera się na wzorze Eulera e iφ = cos(φ) + isin(φ)

8 Dowód tego nader istotnego związku można przeprowadzić odwołując się do szeregów Taylora ( DB 3). Dla poszczególnych funkcji we wzorze (1.1.3) mamy e x = 1 + x + x2 2! + = xn n! i=1 sin(x) = x x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! i=1 x2n + = ( 1)n (2n)! i= a 1.1.4b 1.1.4c Korzystając z tych wzorów możemy zdefiniować funkcje eksponent, sinus i cosinus dla argumentów zespolonych Definicja 1.1.3: funkcje eksponent, sinus i cosinus w dziedzinie zespolonej W dziedzinie zespolonej funkcja, wykładnicza, sinus i cosinus zdefiniowane są poprzez szeregi, odpowiednio e z = 1 + z + z2 2! + = zn n! i=1 sin(z) = z z3 3! + z5 5! + = z 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! cos(z) = 1 z2 2! + z4 4! i=1 z2n + = ( 1)n (2n)! i= a 1.1.5b 1.1.5c Można pokazać, że szeregi (1.1.5) są zbieżne dla każdej liczby zespolonej z. Widać, że wzór (1.1.6a) można przedstawić jako kombinację wzorów (1.1.6b) i (1.1.6c) e iz = 1 + iz + (iz)2 2! + (iz)3 3! + (iz)4 4! = (1 z2 2! + z4 4! ) + i (z z3 3! + z5 ) = cos(z) + isin(z) 5! Korzystając ze wzoru Eulera dowolną liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci 8

9 z = ρe iφ z = a + ib; ρ = a 2 + b a Postać wykładnicza liczby zespolonej pozwala na graficzne przedstawienie iloczynu dwóch liczb zespolonych z 1 = a 1 + ib 1 = ρ 1 e iφ 1 z 2 = a 2 + ib 2 = ρ 2 e iφ 2 z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e iφ 1e iφ 2 = ρ 1 ρ 2 e i(φ 1+φ 2 ) 1.1.9a 1.1.9b Iloczyn dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów 1 i 2, a faza otrzymanej liczby jest równa sumie faz liczb składowych. Graficznie rzecz przedstawia rysunek (1.1.4). Rysunek Iloczyn dwóch liczb zespolonych z1 (zielony odcinek) i z2 (niebieski odcinek). Dla uproszczenia przyjąłem, że moduł liczby z1 jest równy jeden. Wtedy 3= 1 2= 2. Iloczyn reprezentuje odcinek czerwony. Jego długość jest równa 3, a kąt 3= Graficznie mnożenie liczb zespolonych sprowadza się do mnożenia ich modłów i obrotu odcinka jednego z nich o kąt drugiej liczby Wzór Eulera (1.1.3) daje nam ogromne możliwości. Weźmy kolejny przykład e i(α+β) = e iα e iβ = cos(α + β) + isin(α + β) = (cos(α) + isin(α))(cos(β) + isin(β)) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) + i(sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α)) Przyrównując odpowiednie wyrażenia rzeczywiste i urojone mamy

10 cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α + β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) a b W prosty sposób, za jednym rachunkiem, udowodniliśmy dwie znane tożsamości trygonometryczne. W podobnie prosty i elegancki sposób możemy wyprowadzić inne wzory znane z trygonometrii. Rozważmy wyrażenie e iωt Gdzie t jest czasem, a prędkością kątową. W wyrażeniu (1.1.12) kąt rośnie liniowo z czasem. Na płaszczyźnie Arganda punkty reprezentujące liczby (1.1.12) dla kolejnych chwil czasu tworzą okrąg o promieniu 1 (rys ). Rysunek Kolejne kropki reprezentują położenie punktu dla wyrażenia e iωt, dla kolejnych chwil czasu t. Jak widać, punkty te zakreślają jednostkowy okrąg. Wynika z tego, że wyrażenie ρe iωt Przedstawia ruch po okręgu o promieniu =1. Wniosek z tego jest taki, że wyrażenie (1.1.13), jako funkcja nie jest jednoznacznie określona. To znaczy, że mamy relację ρe iωt = ρe i(ωt+2πm)

11 Gdzie m jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że reprezentacja wykładnicza lub trygonometryczna nie jest jednoznaczna, co nie powinno dziwić. Zwykle jednak przyjmujemy, że chodzi nam o wartość główną, czyli taką dla której m=0. Zespolona potęga liczby e nie powinna nam teraz sprawić kłopotu. a ib a ib a e e e e cos b isin b Gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. 11

12 2. Potęgi i logarytmy Rozważmy n-tą potęgę liczby zespolonej z. z n = z n (e iφ ) n = z n e inφ Definicję tę można uogólnić na dowolny rzeczywisty wykładnik r z r = z r (e iφ ) r = z r e irφ Jeżeli dla przykłady weźmiemy r=1/2, to z 1 2 = z = z e iφ Wzór (2.3) nie wyczerpuje wszystkich możliwości. Korzystając z (1.1.14) mamy z 1 2 = z e i(φ 2 +m 2 2π) 2.4 Generuje to dwa różne rozwiązania, to znaczy, że mamy dwie liczby zespolone w 1 i w 2, takie, że w 1 w 2 oraz w 2 1 = w 2 2 = z 2.5 Wypiszę te liczby w 1 = z e iφ 2 oraz w w = z e i(φ 2 +π) 2.6 Ogólnie rzecz biorąc, pierwiastek n-tego (gdzie n jest liczbą naturalną) stopnia ma n różnych wartości danych wzorem z 1 n = z e i(φ n +m n 2π) 2.7 Wartości te uzyskujemy wstawiając kolejne m od 0 do n-1. Jeżeli n=r/k, gdzie r<k i ułamek r/k nie jest skracalny, to mamy k różny liczb w takich, że w = z r 2.8 k Pomyśl dlaczego tak jest. Gdy wykładnik jest liczbą niewymierną, to jest nieskończenie wiele liczb w takich, że w=z r. Rysunek (2.1) pokazuje rozmieszczenie liczby z n dla z o jednostkowym module i wybranych n. Gdy wykładnik potęgi jest większy od jeden, to dla zmieniającego się od zero do dwa punkt wykonuje więcej niż jedne obrót. Rysunek (2.2) pokazuje przebieg funkcji Re(z 2 ) i Re(z 5 ) na jednostkowym kole. Wykresy te tworzą powierzchnie o n-1 samoprzecięciach. 12

13 Rysunek 2.1. Rozmieszczenie pierwiastków n-tego stopnia dla liczby zespolonej o module jednostkowym dla: a) n=2/3; b) n=1/12; c) n=3/12. Zauważ, że w ostatnim przypadku ułamek jest skracalny do ¼, stąd zamiast 12 mamy cztery różne wartości. W pierwszym przypadku otrzymamy te same pierwiastki co dla n=1/3. Rysunek 2.2. a) wykres funkcji z 2 dla z leżącego w kole jednostkowym. Każdemu z odpowiadają dwie wartości, za wyjątkiem półosi dodatniej iy wzdłuż, której narysowane powierzchnie przecinają się; b) z 5 wykres funkcji z 5 dla z leżącego na kole jednostkowym. Półosie samoprzecięć leżą teraz na przemiennie, raz wzdłuż osi +iy raz wzdłuż osi iy. Niech a będzie liczbą rzeczywistą, a z liczbą zespoloną. Ile wynosi a z? Na razie wiemy tylko ile wynosi e z (1.1.5a), teraz szukamy definicji dla każdego a. Przy tym chcemy tak rozszerzyć operację potęgowania, aby rozszerzona definicja dawała znane wyrażenie potęgowe gdy zastosujemy ją w przypadku gdy z jest rzeczywiste (część urojona jest równa zeru) oraz by zachowała podstawowe własności funkcji wykładniczej o rzeczywistym wykładniku. Do takich własności należą na przykład 13

14 a z 1+z 2 = a z 1a z 2 a z 1 z2 = a z 1z 2 2.1a 2.1b Tutaj z 1 i z 2 są dwiema liczbami zespolonymi. Zależy nam również na funkcji logarytm. Chcemy aby można było rozszerzyć funkcję logarytm tak aby log z (a z ) = z Ponadto chcemy zachować najbardziej użyteczną cechę logarytmów to znaczy gdy z 1 i z 2 są liczbami zespolonymi, a a, b i c to liczby rzeczywiste, powinno zachodzić log c (a z 1 b z 2) = log c (a z 1) + log c (b z 2) Zacznę od tego, że dla funkcji eksponent z w e mamy z ln w 2.4 Zapiszę liczbę w w postaci wykładniczej ln i w e ln w i 2.5 To ciekawy wynik. Logarytm naturalny z liczby zespolonej to suma logarytmu naturalnego modułu tej liczby oraz jej argumentu przemnożonego przez i. Oczywiście tak zdefiniowany logarytm nie jest określony jednoznacznie. Zawsze możemy dodać wielokrotności 2. i i 2 m ln ln w e e w i im Z (2.5) wynika, że z ln w ln w z ln w w e oraz e e Mając to na uwadze, możemy zdefiniować wyrażenie w z a zln w z ln i 2 im 2.6 z w e e Zauważ, że wykładnik liczby e jest tu liczbą zespoloną. A e do liczby zespolonej potrafimy obliczać przez wzór (1.1.5a lub ). Zatem mamy definicję liczby zespolonej w podniesionej do potęgi zespolonej z. Dalej jednak musimy uważać na niejednoznaczność określenia logarytmu naturalnego z liczby zespolonej. Wynika z niej, że daną wartość w z możemy pomnożyć przez wyrażenie e 2 mi i otrzymamy to samo wyrażenie. Dla przykładu policzę wartość i i. Wiemy, że 1 ln i i 2 im 2 Przyjmę m=0 (wartość główna logarytmu) 1 ln i i 2 Zgodnie z (2.6) mamy 2.7a 2.7b 14

15 1 1 iln i i i i 2 2 i e e e 2.8 Na zakończenie tych krótkich rozważań chciałem przytoczyć wzór, który bywa nazywany najpiękniejszym wzorem matematyki i e Wzór ten wiąże tak podstawowe liczby jak 0, 1, i, i e. 15

16 3. Różniczka funkcji zespolonej Czas zastanowić się nad kwestią obliczania pochodnych i różniczek z funkcji zespolonej. Funkcja zespolona działa na dziedzinie liczb zespolonych a zbiorem jej wartości jest również zbiór liczb zespolonych. Spotkaliśmy się już z przykładami takich funkcji (na przykład def. 1.8). Ponieważ wartościami funkcji zespolonej są liczby zespolone możemy ją zapisać w postaci f(z = x + iy) = u(x, y) + i w(x, y) Możemy oczywiście obliczyć pochodne po zmiennej x lub y. Biorąc pod uwagę, że (3.1) jest sumą funkcji rzeczywistych, przy czym jedna jest pomnożona przez stałą i, mamy 3.1. f x = x u(x, y) + i 3.2a x w(x, y) f y = y u(x, y) + i 3.2b y w(x, y) Interesuje nas jednak pochodna po zmiennej zespolonej traktowanej integralnie, to jest bez jej dzielenia na część rzeczywistą i urojoną. Pytamy zatem o sens wyrażenia df 3.3 dz Czy operację obliczania pochodnej możemy sensownie rozszerzyć na wyrażenie postaci (3.3)? Wiemy, że pochodna w punkcie x 0 zdefiniowana jest pod warunkiem, że znamy najbliższe otoczenie tegoż punktu. Aby wiedzieć co jest tym otoczeniem, trzeba mieć pojęcie miary. W zbiorze liczb rzeczywistych istnienie takiej miary jest dla nas naturalne. Możemy wybrać małe, tak małe jak tylko chcemy i powiedzieć, że do sąsiedztwa punktu x 0 należą te punkty, które spełniają nierówność x x 0 < ε 3.4 Jednak zbiór liczb zespolonych nie ma naturalnego uporządkowania; nie istnieje w nim relacja mniejsze większe. Nie pozostaje nam nic innego tylko wprowadzić przynajmniej namiastkę takiego porządku. Wybierzmy zatem, tak małe jak chcemy. Powiemy, że liczba zespolona z należy do otoczenia o promieniu, liczby z 0, gdy z z 0 < ε

17 Przy czym proste nawiasy oznaczają teraz obliczenie modułu (def. 1.9) liczby zespolonej. Moduł jest liczbą rzeczywistą i jako taki może być porównywany z inną liczbą rzeczywistą; w naszym wypadku z. Wzór (3.5) oznacza, że na płaszczyźnie Arganda liczby z leżą wewnątrz okręgu o środku w liczbie z 0 i promieniu. Zgadza się to z naszą intuicją bliskości na płaszczyźnie, ale pamiętajmy, że płaszczyzna Arganda nie jest tożsama z płaszczyzną Euklidesa. Na szczęście przenoszenie większość intuicji między tymi dwoma płaszczyznami daje dobre rezultaty. Możemy teraz zdefiniować klasę funkcji ciągłych Definicja 3.1: Ciągła funkcja zespolona jeżeli Funkcja zespolona f(z) jest ciągła w punkcie z0, jeżeli dla każdego >0 istnieje takie >0, że f(z) f(z 0 ) < ε z z 0 < 3.6a 3.6b Definicja ta jest kopią definicji ciągłości dla funkcji rzeczywistych. To skopiowanie było możliwe, dzięki wprowadzeniu miary bliskości dwóch liczb zespolonych. Zdefiniowanie pochodnej nie stanowi już większej trudności Definicja 3.2: Pochodna funkcji zespolonej Pochodną ciągłej funkcji zespolonej f, w punkcie z0, nazywamy granicę, jeżeli istnieje, f(z) f(z 0 ) f lim = lim z z 0 z z 0 z 0 z = f (z 0) Zauważ, że definicja (3.2) nie nakłada żadnych ograniczeń na sposób w jaki z z 0. Na płaszczyźnie Arganda możliwe są różne ścieżki (rys. 3.1). Wymagamy zatem aby wartość wyrażenia (3.7) nie zależała od ścieżki, po której z zbliża się do z 0. Widać zatem, że posiadanie pochodnej zespolonej jest własnością bardziej wymagającą niż posiadanie pochodnej po zmiennej x lub y. Prowadzi nas to do ważnej klasy funkcji analitycznych Definicja 3.3: Funkcje analityczne Funkcję zespoloną nazywamy analityczną w punkcie z0, gdy posiada ona pochodne zespolone w punkcie z0 i na pewnym jego otoczeniu. Jakie są warunki przy których funkcja jest różniczkowalna? Rozważmy funkcję f(z) = u(x, y) + iw(x, y)

18 Rysunek Wartość pochodnej w punkcie z0 nie powinna zależeć od drogi po której zbliżamy się do tego punktu Jeżeli jest ona różniczkowalna w punkcie z 0 to f (z 0 ) = lim ( u w i z 0 z z ) Przy czym granica ta nie powinna zależeć od drogi, po której dążymy do punktu z 0. Przejdźmy wobec tego do punktu granicznego po osi rzeczywistej, to jest przyjmujemy, że y=0, x= z, wtedy f (z 0 ) = lim ( u w + i x 0 x x ) = u w + i x x Przy przejściu do granicy po osi urojonej, to jest gdy: że x=0, i y= z f (z 0 ) = lim ( w u i y 0 y y ) = w u i y y Te dwie granice muszą być sobie równe, skąd mamy u x = w y w x = u y a 3.12b Warunki (3.12) są nazywane warunkami Cauchy ego-riemanna. Stanowią one warunek konieczny na to, aby funkcja f była różniczkowalna w sensie zespolonym. Warunki wystarczające to: a) spełnienie równań Cauchy ego- Riemanna, b) istnienie pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u i w oraz ciągłość tych pochodnych w punkcie z 0. Dowody na warunki dostateczne można znaleźć w podręcznikach do analizy funkcji zespolonych. Twierdzenie 3.1. Funkcje zespolone różniczkowalne Funkcja zespolona f(z)=u+iw jest różniczkowalna w danym punkcie, gdy w dowolnie małym otoczeniu tego punktu spełniony jest warunek Cauchy ego- Riemanna, oraz gdy pierwsze pochodne cząstkowe u i w są funkcjami ciągłymi na otoczeniu tego punktu. Jako przykład zbadajmy funkcję 18

19 f(z) = zz = z 2 = x 2 + y 2 Obliczmy pochodne cząstkowe u x = x x2 + y 2 = x x 2 + y a w 3.14b x = 0 u y = y x2 + y 2 = y x 2 + y c w 3.14d y = 0 Widać, że warunki (3.12a) nie są spełnione poza punktem x=0 i y=0. Oznacza to że badana funkcja jest różniczkowalna tylko w tym jednym punkcie i nie jest nigdzie analityczna. Jako drugi przykład rozważmy funkcję e z = e x (cos(y) + isin(y)) 3.15 Obliczmy jej pochodne cząstkowe u x = x ex cos(y) = e x cos(y) w x = x e x sin(y) = e x sin(y) u y = y e x cos(y) = e x sin(y) w y = y e x sin(y) = e x cos(y) 3.16a 3.16b 3.16c 3.16d Stąd już widać, że warunki (3.12) spełnione są na całej płaszczyźnie. Funkcja (3.15) jest analityczna na całej płaszczyźnie. Z powyższych rachunków wynika również d 3.17 dz e z = e z Przy okazji, z równania Eulera mamy e iφ = cos(φ) + isin(φ) Skąd otrzymujemy

20 cos(φ) = eiφ + e iφ 3.18a 2 sin(φ) = eiφ e iφ 3.18b 2 Nadto możemy rozszerzyć definicję funkcji sinus i cosinus na wartości zespolone cos(z) = eiz + e iz 3.19a 2 sin(z) = eiz e iz 3.19b 2 Z podanych definicji oraz z (3.17) mamy d 3.20a dz cos(z) = sin(z) d dz sin(z) = cos(z) 3.20b Korzystając z (3.19) możemy wykazać, że wzory na cosinusy lub sinusy sumy kątów i inne szkolne tożsamości trygonometryczne są spełnione dla argumentów zespolonych. 20

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008

Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Liczby zespolone Katarzyna Grabowska Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF2008 1 /

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17 41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe

Bardziej szczegółowo

Kolorowa płaszczyzna zespolona

Kolorowa płaszczyzna zespolona Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych. Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski

Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski Matematyka w Instytucie Akustyki Maciej Radziejewski Prowadzący: Dr Maciej Radziejewski Zakład Algebry i Teorii Liczb, Wydział Matematyki i Informatyki UAM p. B2-10 (ew. B2-46). WWW: http://matematykaaku.weebly.com

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe 13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. 1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo