Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje. Politechnika Gdańska. Wydział Elektrotechniki i Automatyki"

Transkrypt

1 Reprezentacja wiedzy deklaratywnej - podstawowe pojęcia i definicje Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji Studia stacjonarne II stopnia: rok I, semestr II Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski SIW 2015 Na podstawie: Traczyk W. Inżynieria Wiedzy

2 Plan prezentacji Reprezentacja wiedzy deklaratywnej: Podstawowe określenia Stwierdzenia i ich związki Wyrażenia i formuły, Zdania, Agregaty, Predykaty, Relacje binarne Reguły i klauzule Reguły produkcji, reguły decyzyjne, Klauzule Semantyka formuł Tablice i drzewa decyzyjne Na podstawie: Traczyk W. Inżynieria Wiedzy SIW

3 Reguły produkcji (r) Formuły logiczne (Φ, Ψ) / Wyrażenia logiczne (ϕ,ψ),,,, Klauzule (k), Stwierdzenia (p,q),, Zdania Agregaty Predykaty Relacje Termy Stałe Zmienne Funkcje -to są - są składnikami (specjalnymi) SIW

4 Podstawowe określenia Pozyskiwanie wiedzy oraz jej wykorzystanie wymaga ustalenia odpowiednich sposobów reprezentacji wiedzy (semantyczna i składniowa konwencja jej zapisywania) w postaci czytelnej dla człowieka i łatwej do przetwarzania na komputerze SIW

5 Podstawowe określenia Forma prezentacji wiedzy: postać liczbowa liczby różne rodzaje postać symboliczna symbole litery, znaki lub ich zbitki: x, f, C++, USA nazwy wyrazy lub ich zbitki: JAN, imię, Krak_Miasto teksty zdania: Kup akcje firmy x SIW

6 Podstawowe określenia Treść prezentacji wiedzy: stałe obiekty (indywidua) : z uniwersum lub sortu liczby/dni-miesiąca: JAN, 24, π stałe logiczne wartości logiczne: T, F zmienne reprezentują stałe z pewnego zbioru, dziedziny (przypisanie wartości zmiennej to funkcja): v : X Y, v(x) Y x, dzień-rob. {PON, WT,..,PTK) funkcje odwzorowanie dziedziny w przeciwdziedzinę v(x) Cena(x) Średnia ocena studenta x za semestr y SIW

7 Podstawowe określenia Termy (wyrażenia funkcyjne): stałe i zmienne są termami jeżeli f jest n-argumentowąfunkcją, oraz t 1, t n, to f(t 1, t n ) jest termem SIW

8 Stwierdzenia i ich związki Wiedzę deklaratywną określa się często jako zbiór odwzorowań: INFORMACJE INFORMACJE a w szczególnej postaci implikacji wiążącej elementy o wartościach T i F jako: INFORMACJE INFORMACJE Stwierdzenie to prosty opis stanów, zdarzeń, cech, czynności, odczuć, o których można orzec czy są prawdziwe czy fałszywe: v(p) {T,F}. Złożone stwierdzenia: zdania: w których mogą występować spójniki logiczne (operatory): negacji ( ), alternatywy ( ), koniunkcji ( ) formuły: w których mogą występować składniki implikacji (, ), równoważności ( ) oraz kwantyfikatory szczegółowy ( ) i ogólny ( ). SIW

9 Stwierdzenia i ich związki Wyrażenia logiczne 1.Stwierdzenia (p,q, ) oraz stałe logiczne 0 i 1 są elementarnymi wyrażeniami logicznymi. 2. Jeśli ϕi ψsą wyrażeniami logicznymi to ϕ, ϕ ψ, ϕ ψteż są wyrażeniami logicznymi. Podstawowe tożsamości związane z wyrażeniami logicznymi: p p 0 p p 1 ϕ 0 0 ϕ 0 ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 1 1 SIW

10 Stwierdzenia i ich związki Formuły logiczne 1. Wyrażenia logiczne (ϕ, ψ) są formułami logicznymi. 2. Jeśli Φi Ψsą formułami logicznymi, to Φ Ψ, Φ Ψ, Φ Ψsą także formułami logicznymi. 3. Jeśli Φi Ψsą formułami logicznymi zależnymi od zmiennej indywiduowej x, to zależności x Φ(x) oraz x Ψ(x) są również formułami logicznymi. Praktyczne zastosowanie znalazły następujące stwierdzenia: zdania, agregaty, predykaty, relacje binarne. SIW

11 Stwierdzenia i ich związki Zdania Tekst o cechach stwierdzenia to zdanie o różnych treściach: zmienna zdaniowa zdanie oznajmujące o wartościach z {T,F} podatek wynosi 23% funkcja zdaniowa funkcja tekstowa o wartościach z {T,F} Warto kupować akcje x, x {KGHM, } W przypadku zmiennych wielowartościowych: Znane języki to ANGIELSKI, NIEMIECKI Przykład formuły zdaniowej: x,y,z x ma siostrę y z jest mężem y z jest szwagrem dla x SIW

12 Stwierdzenia i ich związki Agregaty Przykładowe zdania: kowalski ma 38 C poziom w zbiorniku Z1 wynosi 110 cm można zapisać w postaci: KOWALSKI, Temp., 38, ZBIORNIK Z1, Poziom, 110. Zapis w postaci obiekt, atrybut, wartość to agregat(podstawowy), odpowiada zdaniu, więc również ma wartości z {T,F}. Zmienna agregatowa agregat o elementach stałych. Funkcja agregatowa agregat ze zmiennymi: x, Nr.tel., Agregat podstawowy odpowiada zapisowi Atrybut(obiekt) = wartość, (atrybut jest tu funkcją). SIW

13 Stwierdzenia i ich związki Modyfikacje agregatów - ZAWĘŻENIA 1 obiekt znany, zbiorowy, abstrakcyjny: atrybut, wartość, inflacja, 3% atrybut = wartość, cena = 230 lub (cena jest WYSOKA). atrybut jest tu zmienną. 2 - atrybut domyślny: obiekt, wartość DOM, BIAŁY 3 obiekt abstrakcyjny: pojęcie, cecha kupno, uzasadnione rezerwacja, dokonana SIW

14 Stwierdzenia i ich związki Modyfikacje agregatów - ROZSZERZENIA 1 dodany czas: obiekt, atrybut, wartość, czas DOLAR, Cena, 3.1, WTOREK 2 atrybuty wielowartościowe: obiekt, atrybut, wartość1, wartość2,.. FLAGA, Kolor, BIAŁY, CZERWONY 3 obiekty wieloatrybutowe: obiekt, atr1, wart1, atr2, wart2,.. ABACKI, Pobory, 8000, Stanowisko, DYREKTOR, przy ustalonej strukturze (np. nazwisko, pobory, stanowisko, wiek ) wystarczy podawanie wartości ( ABACKI, 8000, DYREKTOR, 45 ). Przykłady formuł agregatowych: x, Zajęcie, STUDENT x, Średnia, 4.9 x, Status, GENIUSZ (Ból jest CIĄGŁY) (Temp. jest WYSOKA) (Operacja jest PILNA) SIW

15 Stwierdzenia i ich związki PREDYKATY 0 argumentów P - zdanie, stan Mży 1argument P(x) stan lub cecha P(obiekt) Uszkodzony(x) P(liczba) Ujemna(y) 2 argumenty P(x,y) relacja P(funkcja, liczba) Przekracza(Temperatura(x),39) P(obiekt, wartość) Cena(GW, 1.50) P(zdarzenie, zdarzenie) ALARM Po AWARIA 3 argumenty - P(x,y,z) funkcja, charakterystyka P(argument, argument, wartość) Odległość (WWA, KRA, 300) P(obiekt, atrybut, wartość) Ma(ABACKI, Pobory, 4000).. SIW

16 Stwierdzenia i ich związki Formuły predykatowe(rachunek predykatów I-go rzędu) Nikt nie lubi podatków. xlubi(x, PODATEK) Wszyscy koszykarze są wysocy. xkoszykarz(x) Wysoki(x) Wszyscy pracownicy zarabiający powyżej 300 zł. płacą podatek. x Pracownik(x) Większy(Zarobek(x), 300) Płaci(x, PODATEK) Dla każdego zbioru x istnieje zbiór y o mocy większej niż moc zbioru x. xzbiór(x) yzbiór(y) Większa(Moc(y), Moc(x)) Everybody loves somebody sometime xperson(x) y,tperson(y) Time(t) Loves(x,y,t) Rząd II-gidopuszcza kwantyfikatory dotyczące funkcji i predykatów: x,y(x=y) P P(x) = P(y) SIW

17 Stwierdzenia i ich związki Relacje binarne Zdania często opisują relacje, np.: co można prościej zapisać jako: inflacja przekracza 5%, Podatek pana xwynosi 19%, inflacja > 5%, Podatek(x) = 19%. Część agregatu obiekt, atrybut odpowiada funkcji Atrybut(obiekt), więc może także występować w relacjach: ABACKI, Średnia-sem. > 4.8, ABACKI, Wiek < BABACKI, Wiek. Predykaty o dwóch argumentach są naturalnymi relacjami binarnymi: Mniejszy(sin x, 0.5), Większy(Pensja(poseł), 4 pensja-sred.) z relacjami: sin x < 0.5, Pensja posła jest większy niż 4 średnie pensje. Pensja ofposeł is greater than4 timesśrednia pensja. SIW

18 Stwierdzenia i ich związki Relacje binarne Ogólnie do opisów zdaniowych, agregatowych i predykatowychczęsto wprowadza się relacje binarne między termami: R = t i ρ t j przy czym ρ {<,, po, młodszy,..}. Termy mogą dotyczyć liczb, zbiorów, zdarzeń, obiektów itp., oraz mogą zawierać złożone funkcje z typowymi operacjami (+,-,/,,..). SIW

19 Reguły REGUŁY PRODUKCJI Często wiedzę o świecie można wyrazić za pomocą charakterystycznych tekstów warunkowych: Jeśli pacjent ma gorączkę i dreszcze to ma grypę. Uzyskasz kredyt jeśli masz odpowiednie dochody lub zabezpieczenie hipoteczne. Odpowiada to formułom: p 1 p 2 q, q p 1 p 2. Reguły produkcji (RP) Jeśli ϕi ψsą wyrażeniami logicznymi, to ϕ ψi ψ ϕsą regułami produkcji, przy czym ϕ to warunki, a ψ to konkluzja reguły. Jeżeli r to reguła produkcji to zbiór reguł tworzy regułową bazę wiedzy: RBW={r 1, r 2 r n } (r 1 r 2 r n ) SIW

20 Reguły REGUŁY PRODUKCJI Łańcuchy reguł: masz grypę musisz położyć się do łóżka musisz położyć się do łóżka masz pilną pracę zawiadom szefa możesz zwiedzić USA uzyskasz wizę zgromadzisz pieniądze uzyskasz wizę masz szczęście masz czas SIW

21 Reguły Złożone formuły upraszcza się usuwając zbędne implikacje i kwantyfikatory: Usuwanie implikacji: ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ η to ϕ ψi ψ ϕ to ϕ ψ to ϕ ψi ψ η Usuwanie : Usuwanie : -jeśli yleży w zasięgu x za y podstaw f(x) i usuń y, -jeśli ynieleży w zasięgu x za y podstaw stałą i usuń y. - jeśli brak przeciwwskazań (domyślnie) SIW

22 Reguły Każdy informatyk zna jakiś język programowania x yinformatyk(x) Język(y) Zna( x,y) x Informatyk(x) Język(f(x)) Zna( x,f(x)) f(x) Ulubiony język x - funkcja Skolema Istnieje język programowania znany wszystkim informatykom y Język(y) x (Informatyk(x) Zna( x,y)) Język(A) x (Informatyk(x) Zna( x,a)) Język(A) (Informatyk(x) Zna( x,a)) A np. C SIW

23 Reguły Uproszczenia reguł produkcji Przyjmuje się, że {Φ, Ψ} Φ Ψ, więc: 1. ϕ p q jest równoważne parze ϕ p, ϕ q i 2. p q ψ jest równoważne parze p ψ, q ψ. dodatkowo: 3. w konkluzji unika się alternatywy, bo oznacza niejednoznaczność, 4. w prostej wersji ϕto koniunkcja stwierdzeń, a ψ to pojedyncze stwierdzenie. SIW

24 Reguły Przykład formuły z różnymi stwierdzeniami 1a. podatnik rozlicza się indywidualnie podstawa obliczania podatku nie przekracza 4000 zł podatek wynosi 19% podstawy minus 520 zł 1b. podatnik rozlicza się indywidualnie (podstawa < 4000) (podatek := 0.19 podstawa 520) 2. podatnik, Rodzaj-rozl., INDYWID. ( podatek, Podstawa 4000) (podatek := 0.19 podstawa 520) 3. Rozliczenie(podatnik, INDYWID.) Przekracza(podstawa, 4000) Wynosi(podatek, 0.19 podstawa 520) SIW

25 Reguły REGUŁY DECYZYJNE W praktycznych opisach konkluzja często zawiera polecenia czy akcje typu DRUKUJ tekst, WYWOŁAJ procedurę, USUŃ regułę, OBLICZ wartość-funkcji, ZAMKNIJ zawór-x, które nie są stwierdzeniami. Można założyć, że są to stwierdzenia zawsze prawdziwe, albo -zmniejszyć stopień sformalizowania. Reguły decyzyjne (RD) Jeśli w wyrażeniach logicznych ϕi ψsymbole,, zastąpi się nazwami not, and, or, to zapisy: if ϕ then ψ, if ϕ then ψ else ψ czy ψ if ϕ stają się regułami decyzyjnymi. SIW

26 Reguły Zalety reguł decyzyjnych Przez założenie, że RD wiąże przyczynę ze skutkiem, unika się paradoksu implikacji, wynikającego z (ϕ ψ) ( ϕ ψ) i sprawiającego, że prawdziwe są formuły: (2 + 2 = 4) (7 > 5), dziś jest sobota (2 + 2 = 5). Czytelny zapis z popularnymi słowami kluczowymi (angielskimi): if, then, else SIW

27 Klauzule Klauzula to wyrażenie logiczne będące alternatywą literałów: k= l 1 l 2 l l. Stwierdzenie bez negacji to literał pozytywny: l = p, stwierdzenie zanegowane to literał negatywny: l = p. Klauzula: Odpowiada regule: p 1 p 2 p n q 1 q 2 q n q 1 q 2 q n p 1 p 2 p n Koniunkcja klauzul bywa przedstawiana jako zbiór: (k 1 k 2 ) {k 1, k 2, }. SIW

28 Klauzule Klauzula która ma co najmniej jeden literał pozytywny nazywa się klauzulą Horna Odpowiednikiem klauzuli Horna jest najprostsza reguła produkcji q 1 q 2 q n p p q 1 q 2 q n Klauzula Horna bez literałów pozytywnych opisuje zespół stwierdzeń uznanych za prawdziwe q 1 q 2 q n SIW

29 Klauzule Klauzule ułatwiają działania i rozszerzają możliwości, w stosunku do reguł produkcji czy reguł decyzyjnych. Zamiast : CZ(x) K(x) M(x) będzie : k= CZ(x) K(x) M(x) Skąd można otrzymać : K(x) CZ(x) M(x) M(x) CZ(x) K(x) K(x) M(x) CZ(x)itp. SIW

30 Klauzule Każda formuła logiczna może być przedstawiona w postaci zbioru klauzul. Odpowiednie przekształcenie składa się z kilku etapów: 1 usuwanie kwantyfikatorów 2 zastępowanie równoważności p q formułą (p q) (q p) 3 zastępowanie implikacji p q wyrażeniem p q 4 sprowadzenie negacji bezpośrednio do stwierdzeń (stosowanie praw de Morgana): (p q) ( p r), (p q) ( p r) 5 stosowanie prawa rozdzielczości:p (q r) (p q) (p r) 6 usuwanie symboli koniunkcji: (p q) (p r) {p q,p r} Baza wiedzy to zbiór reguł r albo klauzul k: -regułowabaza wiedzy RBW = {r 1, r 2,, r R }, -klauzulowa baza wiedzy KBW = {k 1, k 2,, k K }. SIW

31 Reguły produkcji (r) Formuły logiczne (Φ, Ψ) / Wyrażenia logiczne (ϕ,ψ),,,, Klauzule (k), Stwierdzenia (p,q),, Zdania Agregaty Predykaty Relacje Termy Stałe Zmienne Funkcje -to są - są składnikami (specjalnymi) SIW

32 Semantyka formuł Podstawowa sprawa prawdziwości formuł często zależy od znaczenia ich składników, jak w przykładach: 1. x + 2 > x, x x 2 < x, q q p - zawsze prawdziwe 2. x 2 < x, x, Podatek, 19% - zależy od wartości x 3. podziwiamy Kubę, = 10 - zależy od interpretacji 4. Ma(x, Dyplom) Ma(x, Kwalifikacje) - interpretacja i niepewność 5. w tym roku inflacja w Polsce wyniesie 2% - niepewność Więc: - niektóre zmienne wolne wymagają wartościowania, - niekiedy potrzebna jest interpretacja, - często decyzja dotycząca prawdziwości jest niepewna. SIW

33 Semantyka formuł Formule Φza pomocą funkcji wartościowania vprzypisuje się wartość ze zbioru {T, F}: {T, F}: v(φ) {T, F} interpetacja = formuła prawdziwa I = Φ I jest modelem (środowiskiem, strukturą) dla Φ. np. IMIONA = kuba to Jakub, Środowisko I może być opisane zbiorem formuł logicznych Σ: Σ = Φ- Φ jest logiczną konsekwencją Σ, - Φ semantycznie wynika z Σ, - Φ jest spełnione przez Σ. np. x jest ojcem y = x jest starszy od y, (x = 5) = (x > 3), {p, q} = (p r) ( q r). SIW

34 Semantyka formuł Interpretacja jest szczególnie istotna w przypadku zmiennych i funkcji, których cechy trzeba często deklarować w postaci metadanych. Zwykle trzeba określić: typ - Boole owski - liczbowy (naturalne, rzeczywiste) - lingwistyczny (nazwy i teksty) nominalny, porządkowy - złożony liniowy, hierarchiczny zakres zmienności - przedział, wyliczanie jednostki miary strukturę - jedno- i wieloskładnikową. Inne: wartości domyślne, współczynniki oceny, źródło, czas (uzyskania, ważności). SIW

35 Tablice decyzyjne Skąd się biorą? np. baza danych upraw polowych właściciel gleba ziarno nawozy terminy klimat plon Pomijając atrybut np.: właściciel i wybierając wiersze plon = wysoki można uzyskać ważne informacje o zależności atrybutu x od pozostałych. Tworzy to tablicę decyzyjną z atrybutami warunkowymi c i decyzyjnymi d: u c 1 c 2 d 1 d 2 1 i k v 11 v 21. v 1i v 2i. v 1k v 2k. w 11 w 21. w 1i w 2i. w 1k w 2k. Każdy wiersz tablicy odpowiada regule (pesymistycznej): i. (c 1 =v 1i ) (c 2 =v 2i ) (d 1 =w 1i ) (d 2 =w 2i ) SIW

36 Tablice decyzyjne Wielowarstwowość w tablicach decyzyjnych Rozważmy tablicę decyzyjną określającą warunki przyznawania kredytu: dochody (3 wart.) zabezp. (3) zadłuż. (3) wiek (3) płynność (3) rentown. (3) decyzja (5) Prosta transformacja na reguły daje 3 6 =769 reguł o 6 warunkach. Lepiej zgrupować atrybuty pierwotnew sensowne atrybuty pośrednie, np. gwarancje kredytowe (3), stopień ryzyka (3), sytuacja finansowa (3): = 27 reguł o 2 warunkach = 27 reguł o 3 warunkach razem 769 reguł 5 razem 54 reguły SIW

37 Tablice decyzyjne Upraszczanie wyników Zwykle zbiór reguł można uprościć. u c 1 c 2 c 3 c 4 d 1 0 x α A T 2 0 x β B N 3 0 y α C N 4 0 y β A N 5 1 x α A T 6 1 x β B T 7 1 y α B T 8 1 y β C N Tu zamiast 8 reguł o 4 warunkach można wybrać 3 atrybuty, co daje 6 reguł o 2 warunkach: 1,5 (c 2 =x) (c 3 =α) (d=t) 2,4 (c 1 =0) (c 3 =β) (d=n) itd., albo 3 reguły dla d=t i (d=t) (d=n), albo 1 regułę złożoną i negację jw., albo 1 regułę decyzyjną z else. Wariant z 4-ma atrybutami: 1,5 - j.w. 6,7 - (c 1 =1) (c 4 =B) (d=t) (d=t) (d=n), SIW

38 Tablice decyzyjne Problem komplikują ciągłe wartości atrybutów: u c 1 c 2 c 3 d α β 2 45 α β α ε x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,5 4,5 A A B B C Jedna z metod: 1. Założyć punkty separujące wartości c i : c 1 : x 1 x 2 x 3 c 2 : y 1 y 2 y 3 2. Wyznaczyć warunki rozróżnialności u i i u j : ε(1,3) = x 1 y 1 y 2 y 3, ε(1,4) = x 1 x 2 y 2 y 3, itd. 3. Wyliczyć warianty separowalności: E = ε(1,3) ε(1.4) = = (y 2 x 3 ) (y 2 y 3 x 2 ) SIW

39 Tablice decyzyjne Dla x 3 = 18 i y 2 = 59 (środki przedziałów) ustala się nowe zmienne, np: c 1 = 0 gdy c 1 18 i c 2 = 0 gdy c 2 59 uzyskując nową tabelę, z której wynika, że (c 1 18) (c 2 > 59) (d = A) (c 1 18) (c 2 59) (d = B) u c 1 c 2 d A A B B C (c 1 > 18) (c 2 > 59) (d = C) Atrybuty dyskretne mogą pomóc w separacji. Wykorzystywane tu relacje o postaci c ρ V to tzw. selektory. SIW

40 Drzewa decyzyjne Węzły to nazwy atrybutów, etykiety gałęzi to wartości(ew. z relacjami), Liście to nazwy i wartości atrybutów decyzyjnych: c x v x1 v x2 c y v y1 d = w 1 v y2 c z c z v z1 d = w 2 v z2 d = w 1 ( cx = vx 1) ( cy = vy1) ( d = w1 ) itd Albo c y c x < v x > v x = v x < v y v y Zalety: - szybkie przeszukiwanie, Wady: - sztywna struktura, - kontrola pełności, - więcej elementów, - poglądowość. - duże trudno analizować. SIW

41 Drzewa decyzyjne Na przykład: u c 1 c 2 c 3 c 4 d c x α A 0 x β B 0 y α C 0 y β A 1 x α A 1 x β B 1 y α B 1 y β C T N N N T T T N 0 1 c 2 c 2 x y x y c 3 N T c 3 α β α β T N T N u c 1 c 2 c 3 c 4 d 1 2 3,4 5, x α 0 x β 0 y 1 x 1 y α 1 y β T N N T T N Więcej elementów. Kolejność atrybutów może mieć wpływ na złożoność drzewa. Niekiedy liściom przypisuje się odpowiadającą im liczbę wierszy tablicy lub dokładność aproksymacji. SIW

42 Bibliografia [1] W. Traczyk: Inżynieria Wiedzy, EXIT 2010 SIW

43 Zakończenie ;) Dziękuję za uwagę!!! SIW

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski Systemy ekspertowe i ich zastosowania Katarzyna Karp Marek Grabowski Plan prezentacji Wstęp Własności systemów ekspertowych Rodzaje baz wiedzy Metody reprezentacji wiedzy Metody wnioskowania Języki do

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Katedra Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka PODSTAWY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium PROGRAMOWANIE SYSTEMÓW EKSPERTOWYCH Opracowanie: Dr hab. inŝ. Jacek Kucharski Dr inŝ. Piotr Urbanek Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty programowania

Paradygmaty programowania Paradygmaty programowania Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz 15 kwietnia 2014 Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz () Paradygmaty programowania 15 kwietnia 2014 1 / 12 Zadanie 1 Zadanie 1 Rachunek predykatów

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Projekt 4: Programowanie w logice

Projekt 4: Programowanie w logice Języki Programowania Projekt 4: Programowanie w logice Środowisko ECL i PS e W projekcie wykorzystane będzie środowisko ECL i PS e. Dostępne jest ono pod adresem http://eclipseclp.org/. Po zainstalowaniu

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska DRZEWO REGRESYJNE Sposób konstrukcji i przycinania

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Jak wnioskują maszyny?

Jak wnioskują maszyny? Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Notacja. - operator implikacji, - operator koniunkcji v operator alternatywy - operator równoważności ~ operator negacji Duża litera (np.

Notacja. - operator implikacji, - operator koniunkcji v operator alternatywy - operator równoważności ~ operator negacji Duża litera (np. Systemy ekspertowe Notacja - operator implikacji, - operator koniunkcji v operator alternatywy - operator równoważności ~ operator negacji Duża litera (np. A) - fakt Klauzula Horna Klauzula Horna mówi,

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA SYSTEMY ROZMYTE Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii Biomedycznej Laboratorium

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Kultura logicznego myślenia

Kultura logicznego myślenia Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język

Bardziej szczegółowo

Inteligencja obliczeniowa

Inteligencja obliczeniowa Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.

STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI

Bardziej szczegółowo

dr inż. Jarosław Forenc

dr inż. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (.3.9) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /33 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika I

Internet Semantyczny i Logika I Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda

Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie i wnioskowanie Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wiedza AI to nauka o komputerowych modelach wiedzy umożliwiających rozumienie, wnioskowanie i działanie. Inteligentne

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Cel projektu: Wymogi dotyczące sprawozdania:

Cel projektu: Wymogi dotyczące sprawozdania: W ramach zajęć proszę wykonać sprawozdanie z logiki rozmytej. Sprawozdanie powinno realizować zadanie wnioskowania rozmytego. Cel projektu: Student projektuje bazę wiedzy wnioskowania rozmytego (kilka,

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Logice

Programowanie w Logice Programowanie w Logice Działanie Prologu Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] Składnia Programy Prologu składają się z termów. Term to stała, zmienna lub struktura (term złożony). Term zapisuje

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Po uruchomieniu programu nasza litera zostanie wyświetlona na ekranie

Po uruchomieniu programu nasza litera zostanie wyświetlona na ekranie Część X C++ Typ znakowy służy do reprezentacji pojedynczych znaków ASCII, czyli liter, cyfr, znaków przestankowych i innych specjalnych znaków widocznych na naszej klawiaturze (oraz wielu innych, których

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

Internet Semantyczny i Logika II

Internet Semantyczny i Logika II Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Synteza funkcji logicznych Terminy - na bazie funkcji trójargumenowej y = (x 1, x 2, x 3 ) (1) Elementarny

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL.

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Deficja zależności funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska. SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska INFORMACJE WSTĘPNE Hipotezy do uczenia się lub tworzenia

Bardziej szczegółowo

Języki programowania deklaratywnego

Języki programowania deklaratywnego Katedra Inżynierii Wiedzy laborki 14 Języki deklaratywne Główne różnice między paradygmatem deklaratywnym a imperatywnym Omów główne cechy paradygmatu programowania w logice na przykładzie Prologa Główne

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych (I)

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych (I) Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych (I) Wykład dla studentów III roku Informatyki Wersja 2.0, 05/10/2011 Podział układów logicznych Opis funkcjonalny układów logicznych x 1

Bardziej szczegółowo