WIELOCZYNNIKOWA PREDYKCJA MATEMATYCZNA CEN METALI KOLOROWYCH W KRYZYSIE ROKU 2008/9

Transkrypt

1 Andrzej Augustnek, Jan Tadeusz Duda WIELOCZYIOWA PREDYCJA MATEMATYCZA CE METALI OLOROWYCH W RYZYSIE ROU 008/9. Wprowadzenie Świat podjął walkę z krzsem. Rząd krajów wkonują skoordnowane (lub nie) ruch wspomagające b podtrzmać sstem finansowe i odblokować rnki kredtowo-pienięŝne i przede wszstkim b zahamować panikę. Taka stuacja równieŝ negatwnie wpłnęła na rnki towarowe. W reakcji na postępującą światową recesję spadł cen surowców w tm notowania metali kolorowch (patrz rs.). Od jesieni 008 roku nieustannie maleje ich konsumpcja. Wśród wielu ptań moŝna zadać ptanie, cz krzsowa stuacja na giełdach światowch bła przewidwalna z początkiem 008 roku? Jak w warunkach globalnego finansowoekonomicznego krzsu w bliskiej przszłości zachowa się rnek metali kolorowch? ied moŝna oczekiwać zmian trendów? Dla wielu producentów powrót do normalnch cen surowców jest ptaniem fundamentalnm gdŝ światowe cen niektórch z tch metali juŝ osiągnęł poziom poniŝej kosztów produkcji a niektórz z nich sprzedają swoje zapas poniŝej kosztów produkcji. iejasna przszłość światowej ekonomiki nie sprzja budowaniu prognoz w oparciu o modele wielocznnikowe. W artkule podejmuje się próbę zbudowania prognoz na gruncie analiz właściwości statstcznch szeregów cen wbranch metali w oparciu o ich korelacji w ostatnim dziesięcioleciu. W niniejszej prac pokazano skuteczność prognozowania z wprzedzeniem.miesiąca dla czterech metali: miedzi, aluminium, niklu i ebra w okresie 0 miesięc na przełomie roku. Wkorzstano modele matematczne wznaczone na podstawie szeregów czasowch z okresu od początku 00 do końca 008 r. (8 lat). Zastosowano modele prognostczne wkorzstujące ich zaleŝności regresjne dla miesięcznch przrostów. Właściwości statstczne notowań surowców bł przedmiotem wcześniejszch prac autorów [, 3, 6]. Analiza wzajemnch korelacji miesięcznch przrostów cen metali z wcześniejszmi miesięcznmi przrostami cen surowców w tm paliw ujawniła niezbt silne, ale stacjonarne i znaczące powiązania statstczne międz tmi szeregami [,, 4]. Sugeruje to moŝliwość uzskania prognoz nieco lepszch niŝ trwialne w horzoncie od jednego do kilku miesięc. Takie analiz umoŝliwia stosunkowo łatwa dostępność historcznch informacji o notowaniach na wszstkich waŝniejszch giełdach światowch [0], a takŝe moŝliwość pozskania odpowiednich informacji z rnków surowcowch [].. Charakterstka danch i zastosowane techniki ich przetwarzania Stuację na rnku metali kolorowch reprezentują dzienne notowania metali (cen setlement) na Londńskiej Giełdzie Metali (LME). Dla zobrazowania globalnej koniunktur gospodarczej na rsunku zamieszczono przebiegi notowań dziennch od stcznia 998 do marca 009, na rnku surowców energetcznch: rop naftowej - w trzech najwaŝniejszch ośrodkach: Londn (ropa Brent),. Jork (ropa WTI) i Singapur (koszk OPEC) - i węgla, którego stuację na rnku węgla kamiennego charakterzują wskaźniki ArchCoal [0]. Rs.. Szeregi czasowe cen surowców unormowane wartością maksmalną. Linie pionowe przerwane oddzielają kolejne kwartał, linie ciągłe pogrubione kolejne lata. Czter pionowe linie ciągłe z gwiazdką zaznaczają wdarzenia globalne: atak na WTC (. York), początek wojn w Iraku oraz akcesja 0 krajów Europ Centralnej, w tm Polski do Unii Europejskiej oraz kwiecień 007 umown początek światowego krzsu finansowego.

2 a górnm rsunku widać, Ŝe charakter zachowań notowań cen metali jest zbliŝon i charakterzuje się podobnmi trendami. Jeszcze bardziej jakościowo zbliŝon jest kształt przebiegów szeregów notowań cen rop naftowej wszstkich marek, indeksu ArchCoal i notowań cen cn. Widać równieŝ, Ŝe na objaw krzsu najszbciej zareagował rnek miedzi i aluminium, następnie cnku i niklu najpóźniej zareagował rnek ołowiu. Jednocześnie zwraca uwagę fakt, Ŝe począwsz od końca 008 roku cen ebra i złota zmienił swoje trend na rosnące, podczas gd pozostałe wielkości nadal charakterzował się trendem spadkowm. Z przebiegów przedstawionch na rsunkach moŝna wnioskować, Ŝe badane szeregi są niestacjonarne. Rsunki równieŝ zwracają uwagę na reakcję rnków na zdarzenia o charakterze globalnm, np. moŝna zauwaŝć, Ŝe po wbuch wojn w Iraku reakcja rnków bła natchmiastowa, podczas gd rozszerzenie Unii Europejskiej nie znalazło odzwierciedlenia w przebiegach notowań. Podstawową prognozowania matematcznego takich procesów jest analiza regresji, w której zakłada się, Ŝe wektor Y zawierając scentrowanch wartości zmiennej prognozowanej oraz wektor Yˆ jego warunkowch wartości oczekiwanch E{Y X} wraŝają się wzorami: n k x a + z ; tzn. Y X A+ Z ; oraz Y ˆ X A () k n d, k k n gdzie X jest macierzą, której kolumn k,.., są scentrowanmi szeregami wartości zmiennch objaśniającch x n d k, k opóźnionch względem szeregu Y o d k próbek, wektor reszt Z zawiera próbki z n zmiennch losowch reprezentującch łączn wpłw cznników losowch (nieuwzględnionch jawnie w modelu ), o którch zakłada się, Ŝe mają zerową wartość oczekiwaną, stałe odchlenie standardowe Z i są względem siebie T statstcznie niezaleŝne E{ Z Z} σzi (załoŝenia Gaussa), a wektor współcznników A i macierz ich kowariancji aa oblicza się metodą najmniejszch kwadratów (M). iech s, s z oznaczają estmat odchleń standardowch szeregu Y i reszt Z (wzór ), S X - macierz diagonalną estmat s x odchleń standardowch szeregów X, a XX, R XX i R X macierze współcznników kowariancji i korelacji tch szeregów. Obowiązują równości M: T T A [ X X] X Y SX RXX RXs ; () aa sz XX luczowm problemem jest taki dobór zmiennch objaśniającch X k i ich opóźnień d k, ab z jednej stron uzskać formułę () odwzorowującą z pomijalnm błędem faktczną zaleŝność wartości oczekiwanej Y od cznników zewnętrznch (tzn., b reszt Z spełniał załoŝenia Gaussa), a z drugiej stron uniknąć nadparametrzacji modelu (tj. włączania cznników niemającch istotnego wpłwu na Y), która implikuje duŝe błęd współcznników A (a tm samm zwiększa błęd prognoz). Jak wnika ze wzoru (), punktem wjścia do konstrukcji modelu prognostcznego winna bć zatem analiza korelacji szeregów Y i X przesuniętch względem siebie w czasie, czli funkcji korelacjnch. Dla szeregów X d {x,.. x -d }, Y { d+,.. } przesuniętch o d próbek funkcję korelacjną oblicza się ze wzoru: xd n d + x n n d * x xd R xd (3) ssx n n d + ; x x n d n d+ s x n n d+ x ( x ) s n n d+ ( ) (4) gdzie, x oznaczają dspersje i średnie ciągów X d i Y, a jest liczbą danch. Wzor (3, 4) moŝna zastosować dla dowolnch ciągów, ale funkcja R xd jest miarodajna, gd badane szeregi są próbkami procesów stacjonarnch [, 7, 8]. iech t α oznacza argument dstrbuant rozkładu Studenta dla poziomu istotności α. Graniczn poziom R a istotności statstcznej współcznnika korelacji wraŝa się wzorem [6]: Rα t (5) α + Do wzoru () włącza się te cznniki, dla którch wartości R xd są większe od R a i odpowiednio duŝe. Jeśli jednak w macierz X wstępują takie par kolumn X j X k, dla którch R XjXk, to formuła M () staje się źle uwarunkowana, Z drugiej stron, pominięcie cznników słabo skorelowanch z X k ale mającch istotn statstcznie wpłw na Y zwiększa znacząco odchlenie standardowe błędu resztowego s Z. tα

3 Rozwiązaniem, które pozwala przeprowadzić pełną analizę regresji wielowmiarowej z uniknięciem niekorzstnch efektów korelacji wzajemnej cznników objaśniającch jest transformacja arhunena-loevego (L) [9], ortogonalizująca wektor zmiennch objaśniającch. Transformację L wraŝa wzór: UX P, oraz X U P - (6) gdzie P jest kwadratową macierzą unormowanch wektorów własnch macierz kowariancji sgnałów X, a kolumn macierz U są ortogonalne, tzn. element macierz U T U poza jej przekątna główną są zerowe, a więc dla wszstkich par [U k U j ] k j mam R UkUj 0. Regresja cząstkowa dla kaŝdego z cznników U k daje zatem nieobciąŝoną estmatę jego wpłwu na Y (niezaleŝną od wpłwu innch cznników), a uzupełnianie modelu przez dodawanie kolejnch cznników nie zmienia estmat współcznników a k wznaczonch wcześniej. Jakość modelu regresjnego moŝna miarodajnie ocenić stosunkiem odchlenia standardowego s z jego reszt do odchlenia standardowego s szeregu Y (s moŝna postrzegać jako miarę jakości modelu trwialnego tzn. nie zawierającego Ŝadnch zmiennch objaśniającch). Dla modelu wkorzstującego cznniki ortogonalne U, stosunek ten wnosi: s s Z M R (7) m YUk m Formuła predkcji wielkości z wprzedzeniem p próbek (p d)ma postać: n+ p ank ( xn ( d p xn d p k ) ( k )) + n+ p k ˆ (8) gdzie a nk oznacza k-t współcznnik modelu () wznaczon w chwili bieŝącej n, x n-(d-p) jest wartością średnią szeregu X w oknie próbek kończącm się w chwili n-(d-p), n+p - przewidwaną wartością średnią szeregu Y w oknie próbek kończącch się w chwili n+p. Z formalnego punktu widzenia [, 8] formuła (8) jest optmalnm predktorem w sensie M, jeśli parametr a nie zaleŝą od czasu. W praktce wmaga się, ab wartości współcznników korelacji R xd i R XX nie ulegał istotnm zmianom, gd wzor (3) i (4) zastosujem dla okna estmacji obejmującego danch historcznch i przesuwanego w zakresie co najmniej p ostatnich próbek. Dla szeregów, w którch wstępują długoterminowe trend model prognostczn winien bć opracowan dla przrostów o odpowiednim rozstępie (pozwala to uniknąć obecności trendu w szeregach reszt modelu, w przpadku, gd nie uwzględnia on wszstkich skorelowanch wejść). Jako rozstęp przrostu najlepiej jest przjąć przedział o długości horzontu predkcji. Formuł tpu (8) są wówczas predktorem jednokrokowm przrostów zmiennej objaśnianej. 3. Omówienie wników badań iniejsza analiza jest ukierunkowane na prognozowanie cen miedzi, aluminium, niklu i ebra z wprzedzeniem.miesięcznm. W celu opracowania regresjnego modelu predkcjnego poddano analizie statstcznej miesięczne przrost szeregów. Wcześniejsze badania wkazał [], Ŝe akceptowalną stacjonarność wartości średniej i wariancji i kowariancji wkazują szeregi przrostów logartmicznch, w związku z tm takie przrost bł przedmiotem dalszej analiz korelacjnej, ukierunkowanej na dobór struktur modelu. W celu weliminowania niestacjonarności parametrów statstcznch (3, 4) wnikającej z obecności składowch cklicznch, estmacje tch parametrów prowadzono w oknie o szerokości okresu cklu, tj. 8.lat. Wniki analiz korelacjnch przedstawiono na rsunku. Analiza wzajemnch korelacji przrostów wskaźników z opóźnieniem miesięcznm wkazuje dość słabe statstcznie powiązania z opóźnionmi przrostami pozostałch cen surowców dla opóźnień większch niŝ miesiąc. atomiast współcznniki korelacji wzajemnej współbieŝnch (rozstęp zerow) przrostów cen badanch metali są wsokie (rzędu 0.5), a ich korelacje wzajemne z cenami pozostałch metali znacząco przekraczają poziom istotności statstcznej. iewielkie istotne korelacje wstępują teŝ międz notowaniami opóźnionmi o kilka miesięc. Daje to podstaw do przpuszczenia, Ŝe agregacja tch szeregów poprzez ich transformacje L (wzór 6) powinna umoŝliwić uzskanie modelu prognostcznego o nieduŝej liczbie zmiennch objaśniającch, a wkorzstującego w pełni informacje zawarta we wszstkich orginalnch szeregach cen. W związku z powŝszm, dla skonstruowania modelu umoŝliwiającego predkcję notowań w roku 008/9, dokonano ortogonalizacji szeregów logartmicznch przrostów.miesięcznch cen wg wzoru (6) w 8.letnim oknie, przesuniętm (opóźnionm) kolejno o,, 3 do miesięc względem okna szeregów objaśnianch. astępnie obliczono współcznniki korelacji międz prognozowanmi cenami, a zestawem 8 wektorów 3

4 (kolumn macierz U) ortogonalnch cznników objaśniającch. Zmienność tch współcznników w okresie ostatnich 3 lat dla opóźnienia miesięcznego ilustruje rsunek 3. Rs.. Funkcje korelacji dla przrostów logartmicznch.miesięcznch notowań cen metali dla opóźnień od 0 do miesięc Przerwane linie poziome oznaczają zakres istotności statstcznej na poziomie istotności %. Przedział estmacji 8 lat do r. Rs. 3. Zmienność współcznników korelacji.miesięcznch przrostów logartmicznch cen metali z 8.komponentami głównmi opóźnionmi o miesiąc w oknie 8 letnim. Zmienność współcznników korelacji jest znacząca, ale przejściowo osiągał one znacznie wŝsz poziom niŝ zakres istotności. Charakterstczne jest Ŝe pierwsz komponent główn uzskał na przełomie lat 008/9 względnie wsokie wartości absolutne dla wszstkich badanch metali oprócz ebra. Godne uwagi jest, Ŝe pomimo dość duŝch zmienności współcznników ich łączn efekt (zdolność wjaśniania) wraŝon wzorem (7) pozostaje na względnie stałm poziomie, co pokazuje rs 4. Rs.4. Zmian wskaźnika jakości dopasowania modeli regresjnch opartch na PC (9) w okresie ostatnich 3 lat. Z rsunku widać, Ŝe jakość dopasowania modeli regresjnch nie jest wsoka i waha się od 0,98 do ok. 0,9 co daje maksmalną poprawę efektwności przewidwania cen rzędu od do 8%. Wskaźnik ten pozostaje względnie stał w okresie ostatnich 3 lat tj. zakres zmienności jest stosunkowo niewielki. Interesująca jest natomiast zróŝnicowana reakcja na zakłócenia krzsowe od połow 007 roku (dla niklu i aluminium) i wraźna reakcja na załamanie rnku surowców energetcznch w jesieni 008. Z wkresu wnika teŝ, Ŝe moŝliwości predkcji miedzi i niklu znacznie się poprawił w roku 009. W przpadku miedzi wskaźnik osiągnął ostatnio wartość 0,9 co daje podstaw do oczekiwania, Ŝe prognoz robione w od marca 009 4

5 powinn bć względnie trafne. Dla prognoz niklu i ebra niestet nie moŝna oczekiwać błędów prognoz lepszch niŝ o % od prognoz trwialnch. Funkcje korelacji w zakresie od opóźnień od do miesięc, uzskane dla danch do końca roku 008 przedstawiają wkres na rsunku 5. Ujawniają one moŝliwości znaczącego usprawnienia prognoz wskaźników badanch cen metali z wprzedzeniem jednomiesięcznm, przez włączenie do modelu kilku cznników głównch o róŝnm opóźnieniu, najsilniej skorelowanch z prognozowanm wskaźnikiem. Dla miedzi są to: komponent I z opóźnieniem.miesiecznm, II z 6.mies., III i IV z 9 mies., dla aluminium: komponent I z opóźnieniem.miesiecznm, V z 5 mies. i II z 7 mies., dla niklu: komponent I i II z opóźnieniem.miesiecznm, dla ebra: komponent II z opóźnieniem 7.miesiecznm i IV z 5 miesięcznm. Rs. 5. Funkcje korelacji dla przrostów logartmicznch.miesięcznch notowań cen wbranch metali dla opóźnień od 0 do miesięc od komponentów głównch. Przerwane linie poziome oznaczają zakres istotności istotność %. Przedział estmacji 8 lat do Ze względu na zmieniające się współcznniki korelacji powstaje ptanie, cz formuł stosowane do predkcji naleŝ identfikować moŝliwie często - w praktce moŝna to robić po kaŝdej nowej próbce - cz teŝ lepiej wkorzstać modele o współcznnikach wznaczonch w okresie względnej stałości parametrów. Inaczej mówiąc, cz warto wkorzstwać dane krzsowe do adaptacji predktorów na rok 009. W celu rozstrzgnięcia tej kwestii zbadano, jakość predkcji opartą na danch do kwietnia 008r., a następnie, w oparciu o predktor zaktualizowane danmi do końca roku 008. W doborze cznników objaśniającch kierowano się wartościami funkcji korelacjnch pokazanch na rs 5. (patrz komentarz pod rsunkiem) uzskując predktor o zróŝnicowanej strukturze innej dla kaŝdej z prognozowanch cen. Współcznniki zidentfikowanego w ten sposób reprezentatwnego modelu (dla miedzi), przeliczone na współcznniki wpłwu poszczególnch cen na cen prognozowane, zestawiono w tabeli. Dla porównania zbadano równieŝ błęd predkcji uzskane w oparciu o modele wkorzstujące dla wszstkich badanch metali tlko pierwsz i drugi komponent główn, opóźnione o miesiąc (modele homogeniczne). Tabela. Współcznniki komponentów głównch modeli prognostcznch i ich statstki Studenta Model prognostczn dla miedzi r Cznnik Opóź. Wspł. tst Opóź. Wspł. tst Opóź. Wspł. tst Copper.mies mies mies Alumin.mies mies mies ickel.mies mies mies Lead.mies mies mies Tin.mies mies mies Zinc.mies mies mies Silver.mies mies mies Gold.mies mies mies Jakość prognoz uzskanch w oparciu o modele regresjne dla przrostów miesięcznch cen miedzi przedstawia rsunek 4. Czter górne grafiki dotczą modeli w funkcji dwóch komponentów głównch, czter 5

6 grafiki środkowe to modele w funkcji 5 komponentów głównch. Dla porównania na dolnch czterech grafikach pokazano wniki prognozowania uzskane w oparciu o modele zróŝnicowane ze współcznnikami wznaczonmi wg danch do kwietnia 008r. Przedział estmacji 088 dni, przrost dni. Rs. 6a. Jakość modeli regresjnch dla przrostów miesięcznch cen miedzi. Rsunki lewe: * - dane empirczne przrostów logartmicznch w polu korelacji (oś ) odniesione do wartości obliczonch wg modelu regresjnego (oś x) oraz zakres przedziału ufności dla błędów modeli (ciemne linie, poziom istotności ok.5%). Rsunki prawe: wartości empirczne miesięcznch przrostów logartmicznch ( * ) oraz wartości obliczone wg modelu regresjnego (kropki połączone linią ciągłą). Granice przedziału korelacji oznaczono pionową linią przerwaną, (po prawej stronie tej linii okres prognozowania), Wartości σ E /σ Yd (stosunek dspersji błędu modelu do dspersji danch patrz wzór 7) podane na rsunkach lewch dotczą pola korelacji, a σ Eval /σ Yd na rsunkach prawch okresu prognozowania. a rsunkach 7, zestawiono przebiegi błędów aproksmacji (w polu korelacji) i predkcji (na prawo od pionowch linii przerwanch) uzskane dla omówionch wŝej predktorów. 6

7 Rs.7a. Błęd prognoz.miesięcznch uzskanch na podstawie danch okresu 8 lat do r., z wkorzstaniem predktorów o zróŝnicowanej strukturze, takiej samej jak na rsunku powŝej (dla miedzi ze współcznnikami zamieszczonmi w tabeli ). Rs. 7b. Błęd prognoz.miesięcznch uzskanch na podstawie danch z okresu 8 lat do z wkorzstaniem predktorów o zróŝnicowanej strukturze, opóźnienia jak w tabeli. Rsunki od 7a do 7d pokazują, Ŝe błęd prognoz miesięcznch na rok 009 są podobne w przpadku zastosowania predktora wkorzstującego dane do kwietnia 008 i predktora wkorzstującego dane z włączeniem całego roku 008. iemniej, najlepsze wniki predkcji w roku 009 uzskano dla modelu o zróŝnicowanej strukturze (dobranej wg rsunku 5 i z parametrami wznaczonmi na podstawie danch 8 letnich z włączeniem okresu krzsowego 008). Warto zwrócić uwagę, Ŝe okres największch zakłóceń tj. jesień 008 charakterzuje się nie tlko duŝmi błędami prognoz, ale duŝmi a nawet większmi błędami aproksmacji modelem obejmującm dane z tego okresu. Rs. 7c. Błęd prognoz.miesięcznch uzskanch na podstawie danch z okresu 8 lat do , z wkorzstaniem predktorów o jednolitej strukturze zmienne objaśniające: pierwsz i drugi komponent główn opóźnion o jeden miesiąc. 7

8 Rs. 7d. Błęd prognoz.miesięcznch uzskanch na podstawie danch z okresu 8 lat do z wkorzstaniem predktorów o jednolitej strukturze zmienne objaśniające: pierwsz i drugi komponent główn opóźnion o jeden miesiąc. 4. Podsumowanie Przeprowadzone badania pokazał, Ŝe, błęd prognoz miesięcznch na rok 009 są podobne w przpadku zastosowania predktora wkorzstującego dane do kwietnia 008 (dane przedkrzsowe ) i predktora wkorzstującego dane z włączeniem całego roku 008. ajlepsze wniki predkcji w roku 009 uzskano dla modelu o zróŝnicowanej strukturze - prz doborze cznników objaśniającch kierowano się wartościami funkcji korelacjnch jak na rsunku 5 - i z parametrami wznaczonmi na podstawie danch 8 letnich z włączeniem okresu krzsowego 008. Oznacza to, Ŝe pomijając kilkumiesięczn okres drugiej połow 008 roku współzaleŝności statstczne badanch szeregów z okresu prosperit pozostał aktualne w okresie krzsu aŝ do l marca 009, tj. do końca omawianch tu badań. Wnika stąd, Ŝe zakłócenia na rnkach światowch związane z krzsem w niewielkim stopniu wpłnęł na moŝliwości prognozowania cen metali. Uzskiwane prognoz miesięczne wprawdzie nie są bardzo efektwne, ale mają dspersje od 5 do 8% mniejsze niŝ prognoz trwialne. Biorąc pod uwagę rząd wielkości kwot tpowch kontraktów miesięcznch moŝna uznać ze zastosowane narzędzie prognozowania moŝe się przcznić do wzrostu efektwności gospodarowania w przedsiębiorstwach metali kolorowch (np. GHM). Wniki te pokazują, Ŝe krzs roku 008 nie wpłnął znacząco na statstczne powiązania światowch cen metali i dla przełomu roku 008/9 mogą bć one względnie dobrze prognozowane w oparciu o zaleŝności wznaczone dla danch obejmującch ostatnie 8 lat. LITERATURA [] Augustnek A., Duda J.T., Analiza korelacjna notowań GHM z indeksami Giełd Warszawskiej i wiodącch giełd światowch. W prac zbiorowej: Zarządzanie przedsiębiorstwem w warunkach integracji europejskiej Część. Ekonomia, informatka i metod numerczne, red.m.czŝ i Z.Cięciwa, AGH UWD, raków 004, str [] Duda J.T., Augustnek A., A Stud of Cross-correlation on-stationarit of World Econom Indices and Energ Prices. Rozdział w monografii Sstem informatczne i metod obliczeniowe w zarządzaniu UWD AGH, raków 005, Red. naukow J.T. Duda, str.6 7. [3] Duda J.T., Augustnek A., Cclic properties and predictivit of LME prices of selected metals in one month to one-ear horizon. [w] Współczesne problem zarządzania przedsiębiorstwami w gospodarce rnkowej (red. nauk. H. Howaniec, W.Waszkielewicz), Wdawnictwo Akademii Techniczno- Humanistcznej, Bielsko-Biała 008 p.p [4] Duda J.T., Augustnek A., O moŝliwościach ulepszenia krótkoterminowch prognoz wskaźników giełdowch Zarządzanie przedsiębiorstwem w warunkach integracji europejskiej. Część. Ekonomia, informatka i metod numerczne Zagadnienia techniczno-ekonomiczne AGH UWD, raków 004, [5] Duda J.T., Augustnek A., Przewidwalność wskaźników giełd światowch w roku 008 w świetle cklu koniunktur światowej i analiz korelacjnch rnków surowcowch, [w]: Zarządzanie przedsiębiorstwem teoria i praktka XI międznarodowa konferencja naukowa : raków, 7 9 listopada

9 [6] Duda J.T., Augustnek A., A.Duda-ękuś: Formalne ocen efektwności średnio-okresowego prognozowania matematcznego cen miedzi na LME. Materiał onferencjne Szkoł Eksploatacji Podziemnej 006, str. [7] Hamilton J.D., Time Series Analsis. Princeton Universit Press, Princeton: 994 [8] Jajuga., Statstczna analiza wielowmiarowa, Wdawnictwo aukowe PW, Warszawa, 993 [9] Shaw Peter J.A.: Multivariate statistics for the Environmental Sciences. Hodder-Arnold, 003. [0] []